Mathematik üben mit Erfolg

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2 Steffen Beuthan /Günter Nordmeier Mathematik üben mit Erfolg 7. Schuljahr Realschule MANZ VERLAG

3 Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu 52a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk gestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. Manz Verlag Klett Lernen und Wissen GmbH, Stuttgart 2008 Alle Rechte vorbehalten Lektorat: Jürgen Grimm, Braunschweig Herstellung: S.M.P Oehler, Remseck Umschlagkonzept: KünkelLopka, Heidelberg Umschlagfoto: Fotostudio Maurer, Bamberg Druck: Finidr s.r.o., Č eský T ě š ín ISBN:

4 Tipps zum Training mit diesem Buch Dieses Buch enthält alle Inhalte, die üblicherweise im Mathematik Unterricht der 7. Klasse behandelt werden. Damit du dich besser zurechtfindest, sind die Abschnitte einheitlich aufgebaut: Jedes Thema beginnt mit einem farbig unterlegten Kasten, der das für das jeweilige Kapitel benötigte Wissen kurz zusammenfasst. Daran schließt sich ein Beispiel mit ausführlicher Lösung manchmal auch mehrere mit einer typischen Aufgabenstellung für dieses Thema an. Es folgen verschiedene Aufgaben, die in ihrem Schwierigkeitsgrad anwachsen. Aufgaben von höherem Schwierigkeitsgrad sind mit einem kleinen Dreieck gekennzeichnet. An vielen Stellen findest du Tipps mit Lösungs- und Merkhilfen. Im Kapitel Grundlagen sind die mathematischen Inhalte zusammengefasst, die du für die Arbeit in der 7. Klasse immer wieder benötigst. Zu den Themen Prozent- und Zinsrechnung, Gleichungen und Ungleichungen und Konstruktionen und Dreiecke findest du jeweils am Ende des Kapitels eine Probe Klassenarbeit. Mit ihrer Hilfe kannst du feststellen, ob du in diesen Themen schon fit bist oder dich auf Klassen- und Schularbeiten vorbereiten. Mithilfe der Lösungen ab Seite 91 kannst du überprüfen, ob du die Aufgaben richtig gelöst hast.

5 Inhalt A B C D E Grundlagen 1 Brüche Bruchzahlen 6 2 Bruchrechnung 7 3 Dezimalbrüche 8 4 Rechnen mit Dezimalbrüchen 9 5 Taschenrechner ein nützliches Hilfsmittel 10 6 Spiegelung und Achsensymmetrie 11 7 Punktspiegelung und Punktsymmetrie 12 8 Flächen- und Rauminhalte 13 Zuordnungen und Proportionalitäten 1 Proportionale Zuordnungen 14 2 Indirekt proportionale Zuordnungen 17 3 Dreisatzrechnung 20 Prozent- und Zinsrechnung 1 Die Grundaufgaben der Prozentrechnung 22 2 Prozentuale Veränderungen 26 3 Anwendungen der Prozentrechnung 28 4 Einfache Zinsrechnung 29 Probe-Klassenarbeit: Prozent- und Zinsrechnung 31 Rationale Zahlen 1 Ganze Zahlen 32 2 Rationale Zahlen 33 3 Der Betrag einer rationalen Zahl 34 4 Negative Zahlen im Alltag 35 5 Rationale Zahlen addieren und subtrahieren 36 6 Klammern einsparen 38 7 Rechenregeln und Rechenvorteile 39 Terme und Termumformungen 1 Terme mit einer Variablen 40 2 Rechenregeln bei Termen 41 3 Terme aufstellen 42 4 Gleichwertige Terme 44 5 Terme umformen und vereinfachen 45

6 F G H I J Gleichungen und Ungleichungen 1 Grundlagen 48 2 Gleichungen durch Äquivalenzumformungen lösen 50 3 Spezialfälle 52 4 Formeln und Größengleichungen 53 5 Sachaufgaben 54 6 Ungleichungen lösen 55 Probe-Klassenarbeit: Gleichungen 57 Parallelverschiebung und Drehung 1 Die Parallelverschiebung 58 2 Vektoren 60 3 Winkel an geschnittenen Parallelen 62 4 Die Winkelsumme im Dreieck 63 5 Die Drehung 64 6 Die Punktspiegelung 66 7 Drehsymmetrie 67 Konstruktionen und Dreiecke 1 Grundkenntnisse 68 2 Kongruenzsätze Dreieckskonstruktionen 70 3 Besondere Dreiecke und Vierecke 72 4 Umkreise und der Satz des Thales 74 5 Besondere Linien im Dreieck 76 Probe-Klassenarbeit: Konstruktionen und Dreiecke 78 Probleme geometrisch lösen 1 Ortslinien 79 2 Lösungsstrategien 81 3 Weitere Übungen und Anwendungen 84 Daten und Zufall 1 Vom Umgang mit Daten 86 2 Zufallsexperimente 89 Lösungen 91

7 A Grundlagen 1 Brüche Bruchzahlen Wenn du die natürliche Zahl a durch die natürliche Zahl b ( 0) dividierst, erhältst du die Bruchzahl } a b. Der Term } a heißt Bruch, a ist der Zähler, b der Nenner des Bruchs. b Bruchzahlen kannst du der Größe nach ordnen. Bruchzahlen, die größer als 1 sind, schreibt man auch als gemischte Zahlen. Kürzen: Zähler und Nenner werden durch die gleiche Zahl dividiert. Erweitern: Zähler und Nenner werden mit der gleichen Zahl multipliziert. Geht ein Bruch durch Kürzen oder Erweitern aus einem anderen Bruch hervor, dann sind beide Brüche wertgleich, ihre Marken liegen auf dem Zahlenstrahl an der gleichen Stelle, sie bezeichnen die gleiche Bruchzahl. Beispiel 1 Beispiel 2 a) 3 : 4 = } 3, 3 ist der Zähler, 4 der Nenner des Bruchs. 4 b) 7 : 4 = } 7 4 = 1 } 3 4 Ordne der Größe nach: 1 } 2, 1 4 } 5, 2 } 5, 9 } 10 und 5 } } 5 1 } 2 2 } 5 < 1 } 2 < 9 } 10 < 5 } 4 < 1 4 } 5. 9 } } } 5 2 Beispiel 3 a) Kürze 4 } 8. b) Erweitere 1 } 4. 4 } 8 = }} 4 : 2 8 : 2 = } } 4 = }} 2 : 2 4 : 2 = } } 4 = }} = } } 8 = }} = } 4 16 Man kann auch } 4 8 sofort durch 4 Man kann auch } 1 sofort mit 4 4 kürzen: }} 4 : 4 8 : 4 = } 1 2. erweitern: }} = }

8 2 Bruchrechnung Brüche mit gleichem Nenner werden addiert (subtrahiert), indem man die Zähler addiert (subtrahiert) und den gemeinsamen Nenner beibehält. Sind die Nenner der Brüche verschieden, so bringt man die Brüche durch Erweitern oder Kürzen auf den gleichen Nenner, bevor man sie addiert oder subtrahiert. Ein Bruch wird mit einer natürlichen Zahl multipliziert, indem man den Zähler mit der natürlichen Zahl multipliziert und den Nenner beibehält. Ein Bruch wird mit einem Bruch multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert. Gemischte Zahlen werden vorher in Brüche umgeformt. Ein Bruch wird durch eine natürliche Zahl dividiert, indem man den Zähler durch die natürliche Zahl dividiert und den Nenner beibehält. Ist der Divisor kein Teiler des Zählers, dann multipliziert man den Nenner mit der natürlichen Zahl. Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert ( Kehrwertregel ). Rechne aus: } } 7 24 } 5 36 Lösung: Bestimme den Hauptnenner. Die Vielfachen von 18 sind: 36, 54, 72, 90, 108,... Die Vielfachen von 24 sind: 48, 72, 96, 120, 144,... Die Vielfachen von 36 sind: 72, 108, 144,... Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache (das kgv) von 18, 24 und 36, hier also 72. Beispiel 1 Rechnung: } } 7 24 } 5 36 = } } } = } a) 3 } 1 4 = }} = 3 } 4 b) } 3 4 } 9 8 = }} = } c) 2 } = } = } 55 4 = 11 } 1 4 Beispiel 2 a) } 14 3 : 7 = } 2 3 b) } 12 5 : 5 = }} = } c) } 8 7 : } 4 3 = } 8 7 } 3 4 = }} = } 6 7 Beispiel 3 7

9 A Grundlagen 3 Dezimalbrüche Das Ergebnis einer Division zweier natürlicher Zahlen kann man auch als Kommazahl (als Dezimalbruch) schreiben. Es können abbrechende und nicht-abbrechende (periodische) Dezimalbrüche entstehen. Abbrechende Dezimalbrüche sind wertgleich zu Brüchen mit den Nennern 10 oder 100 oder 1000 oder.... Die Stellenwerttafel wird nach rechts erweitert. Tausender Hunderter Zehner Einer Zehntel Hundertstel Tausendstel Bei der Dezimalschreibweise bedeutet die 1. (2., 3.,...) Stelle hinter dem Komma Zehntel (Hundertstel, Tausendstel,...). Die Ziffern hinter dem Komma heißen Dezimalen. Erweitern und Kürzen: Nach dem Komma darf man am Ende eines Dezimalbruchs beliebig viele Nullen anhängen oder weglassen. Sein Wert bleibt gleich. Größenvergleich: Von zwei verschiedenen Dezimalbrüchen ist derjenige größer, der von links gelesen an derselben Stelle als erster eine größere Ziffer hat. Runden: Wird ein Dezimalbruch auf Zehntel (Hundertstel, Tausendstel,...) gerundet, so entscheidet die 2. (3., 4., ) Dezimale darüber, ob aufoder abgerundet wird. Ist die erste wegzulassende Dezimale eine 0, 1, 2, 3 oder 4, wird abgerundet, ansonsten wird aufgerundet. Beispiel 1 Beispiel 2 Beispiel 3 a) 2 : 8 = } 2 8 = } 1 b) 8 : 5 = } = 1 } 3 c) 8 : 3 = } = 2 } : 8 = 0,25 8 : 5 = 1,6 8 : 3 = 2, = 2, } _ 6_ , } 6 wird gelesen: zwei Periode sechs 0 abbrechend abbrechend periodisch 0,3 = 0,30 = 0,300 = = } 3 10 = }} = }} = a) 2,517 < 2,523, denn 1 < 2 b) 3,4 < 3,47, denn 3,40 < 3,47 c) Runde die Zahl 3,5382 auf Ganze: 3, (aufgerundet) auf Zehntel: 3,5382 3,5 (abgerundet) 8

10 4 Rechnen mit Dezimalbrüchen Für das Addieren und Subtrahieren von Dezimalbrüchen schreibt man die Zahlen so untereinander, dass Komma unter Komma steht. Unbesetzte Dezimalstellen darf man dabei mit Nullen auffüllen. Dann addiert / subtrahiert man die Zahlen wie üblich und setzt im Ergebnis das Komma so, dass es unter den anderen steht. a) 13,5 + 7,82 + 8,4 b) 9,437 5,62 Überschlag: = 30 Überschlag: 9,4 5,6 = 3,8 Beispiel 1 Rechnung: 1 3, , , , 7 2 Rechnung: 9, , , Beim schriftlichen Multiplizieren rechnet man zunächst ohne Rücksicht auf das Komma. Im Ergebnis setzt man das Komma so, dass das Produkt so viele Dezimalen enthält wie die Faktoren zusammen. Wenn man einen Dezimalbruch durch eine natürliche Zahl dividiert, setzt man im Ergebnis ein Komma, sobald man beim Rechnen das Komma überschreitet. Wenn man durch einen Dezimalbruch dividieren will, dann verschiebt man zunächst im Dividenden und im Divisor das Komma jeweils um gleich viele Stellen nach rechts, bis der Divisor eine natürliche Zahl ist. Besonders einfach ist das Multiplizieren mit 10, 100, 100, bzw. das Dividieren durch 10, 100, 1000,, wie die folgenden Aufgaben zeigen: a) 28,21 10 = 282,1 b) 28, = 2821 c) 28, = d) 28,21 : 10 = 2,821 e) 28,21 : 100 = 0,2821 f) 28,21 : 1000 = 0,02821 Beispiel 2 a) 6,73 4,8, Überschlag: 7 5 = 35 Rechnung: 6, 7 3 4, , b) 73,2 : 4 73,2 : 4 = 18,3 Sobald das 4 Komma in 73,2 33 überschritten 32 wird, setzen wir 12 Komma im Ergebnis auch 12 ein Komma. 0 9 Beispiel 3

11 A Grundlagen 5 Taschenrechner ein nützliches Hilfsmittel Umfangreiche Rechnungen lassen sich oftmals nur mit viel Mühe im Kopf oder schriftlich erledigen. In solchen Fällen kann ein Taschenrechner weiterhelfen. Wichtig ist jedoch, dass man den Taschenrechner richtig bedienen kann. Beispiel 1 Aufgabe Eingabe am Taschenrechner Ergebnis a) 14, ybo«ªp ná 428,9 Moderne Taschenrechner beachten die Punkt-vor-Strich-Regel selbstständig. b) }}}}} c ªp m odeczª ndá 8, Der Bruchstrich steht für eine Geteilt-Rechnung. Die Rechenausdrücke in Zähler und Nenner werden jeweils in Klammern zusammengefasst. c) 1, ,4 3 b{0«byzªá 16,384 d) TIPP: Statt Z haben manche Taschenrechner die Taste,. 2 } } 12 HFGBDHFBFGHJ 2 11 } 20 Viele Taschenrechner haben eine Taste für die Eingabe von Brüchen. Ist das Ergebnis der Rechnung wieder ein Bruch, so zeigt der Taschenrechner es z. B. so an: Man kann es auch in einen Dezimalbruch umwandeln lassen und erhält 2,55. Beispiel 2 Ein Kreis mit dem Radius 4 cm (Durchmesser 8 cm) hat einen Flächeninhalt A < 3,14 (4 cm) 2 < 50 cm 2 und einen Umfang U < 3,14 8 cm < 25 cm. Hat dein Taschenrechner eine.-taste, so kannst du A bzw. U durch die Eingaben.8A0J bzw..8<j noch einfacher berechnen. Tipp Manchmal gibt man beim Rechnen mit dem Taschenrechner aus Versehen eine falsche Zahl oder ein falsches Rechenzeichen ein. In solch einem Fall musst du nicht immer die ganze Rechnung von vorne beginnen. Viele Taschenrechner besitzen eine Taste, mit der man die das zuletzt eingetippte Zeichen löschen bzw. überschreiben kann. Probiere dies an deinem Taschenrechner einmal aus. 10

12 6 Spiegelung und Achsensymmetrie Wichtige Eigenschaften der Achsenspiegelung (1) Ein Punkt P und sein Spiegelbild P liegen auf verschiedenen Seiten der Achse, sodass die Achse Mittelsenkrechte der Strecke }} PP ist. Sonderfall: Ein Punkt auf der Achse ist sein eigenes Spiegelbild. (2) Eine Gerade g, die schräg zur Achse s läuft, und ihr Spiegelbild g schneiden die Achse unter gleichem Winkel. Die Achse ist die Winkelhalbierende des Winkels zwischen g und g. Sonderfall: Eine Senkrechte zur Achse geht in sich selbst über. (3) Eine Gerade, die parallel zur Achse verläuft, geht in eine Parallele g auf der anderen Seite der Achse über. Die Achse ist die Mittelparallele von g und g. Sonderfall: Die Achse ist ihr eigenes Spiegelbild. (4) Spiegelt man ein Dreieck, Viereck,... ein n-eck, dann entsteht eine deckungsgleiche Figur allerdings mit geändertem Umlaufsinn. Gegeben sind ein Pfeildreieck ABC und eine Gerade s. Gesucht ist das Spiegelbild C C des Dreiecks, wenn s die Spiegelachse ist. Konstruktion: Zeichne der Reihe nach die Bildpunkte A, B und C und verbinde sie zu einer Pfeilfigur. Das Pfeildreieck A A A B C hat die gleiche Form und die gleiche Größe wie das Pfeildreieck ABC, aber s B B einen anderen Umlaufsinn. Folgt man den Pfeilen, dann geht es im Original linksherum, im Spiegelbild jedoch rechtsherum. Beispiel Geht eine Figur F bei der Spiegelung an der Geraden s in sich selbst über, dann heißt s Spiegelachse (Symmetrieachse) von F. Die Figur F ist dann achsensymmetrisch. In achsensymmetrischen Figuren sind entsprechende Strecken gleich lang und entsprechende Winkel gleich groß. s F 11

13 A Grundlagen 7 Punktspiegelung und Punktsymmetrie Wichtige Eigenschaften der Punktspiegelung (1) Ein Punkt P und sein Bildpunkt P liegen auf einer Geraden durch das Zentrum M der Punktspiegelung. M ist der Mittelpunkt der Strecke }} PP. Sonderfall: M geht bei der Punktspiegelung in sich selbst über. (2) Eine Gerade g und ihr Bild g bilden einen Streifen. Seine Mittelparallele geht durch das Zentrum der Punktspiegelung. Sonderfall: Eine Gerade durch M geht in sich selbst über. (3) Führt man mit einem Dreieck, Viereck,..., n-eck eine Punktspiegelung durch, entsteht eine deckungsgleiche Figur mit gleichem Umlaufsinn. Beispiel Gegeben sind ein Pfeildreieck ABC und das Zentrum M einer Punktspiegelung. Gesucht ist das Abbild des Dreiecks. Konstruktion: Zeichne der Reihe nach die Bildpunkte A, B und C und verbinde sie zu einer Pfeilfigur. A C B M B C A Geht eine Figur F bei der Punktspiegelung mit M als Zentrum in sich F selbst über, dann heißt M das M Symmetriezentrum von F. Die Figur F ist dann punktsymmetrisch. In punktsymmetrischen Figuren sind entsprechende Strecken gleich lang und entsprechende Winkel gleich groß. Geht eine Figur F bei der Drehung um einen Punkt M mit einen Winkel a in sich selbst über, so heißt sie drehsymmetrisch. Treten bei drehsymmetrischen Figuren Drehwinkel von 180 (Sonderfall!), 90, 60, 45, 30, 22,5, 20, 18, 15, 12, 10,... auf, dann sind die Figuren auch punktsymmetrisch. a M F 12

14 8 Flächen- und Rauminhalte Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist A Rechteck = a b. Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist A Dreieck = }} g h 2. Umrechnung von Flächeneinheiten km 2 ha a m 2 dm 2 cm 2 mm 2 a b h g : 100 : 100 : 100 : 100 : 100 : 100 a) 1 km 2 = 1 m = m 2 b) 1 m 2 = 0, km 2 Der Fußboden einer Küche wird mit quadratischen Fliesen (s = 20 cm) ausgelegt. Die Küche ist 4,20 m lang und 3,60 m breit. Wie viele Fliesen müssen mindestens bestellt werden? Gegenständliche Lösung: Man legt an die Längsseite der Küche eine Reihe Fliesen, es sind 21. Man braucht 18 Reihen, bis der Boden ganz bedeckt ist. Der Mindestbedarf beträgt also Fliesen = 378 Fliesen. Rechnerische Lösung: Fußbodenfläche : Flächeninhalt einer Fliese = Anzahl der Fliesen Eingesetzt: (420 cm 360 cm) : 400 cm 2 = 378 Antwort: Es werden 400 Fliesen (mindestens jedoch 378) bestellt. Beispiel 1 Beispiel 2 Der Rauminhalt (das Volumen) eines Quaders beträgt V Quader = a b c, der eines Würfels V Würfel = a 3. Umrechnung von Volumeneinheiten a a a a b c m 3 dm 3 cm 3 mm 3 : 1000 : 1000 : 1000 Weißt du noch? 1 Liter = 1 dm 3 = 1000 cm 3 1 m = 1 cm 3 13

15 B Zuordnungen und Proportionalitäten 1 Proportionale Zuordnungen Gehört zum Doppelten, Dreifachen, Vierfachen,... einer Ausgangsgröße auch das Doppelte, Dreifache, Vierfache der zugeordneten Größe, dann liegt eine proportionale Zuordnung vor. Zur Hälfte, zum dritten Teil, zum vierten Teil,... der Ausgangsgröße gehört auch die Hälfte, der dritte Teil, der vierte Teil,... der zugeordneten Größe. Die Größenpaare einer proportionalen Zuordnung x y sollen (x 1 y 1 ), (x 2 y 2 ), (x 3 y 3 ) usw. heißen. Dann gilt: y 1 } x 1 = y 2 } x 2 = y 3 } x 3 = Die Größenpaare einer proportionalen Zuordnung sind quotientengleich. Eine Gleichung der Form y 1 } x 1 = y 2 } x 2 heißt Proportion. Beispiel An Franzis Tankstelle kostet 1 Liter Super heute 1,448. Die Zuordnung Benzinmenge Preis (m p) ist proportional. Die doppelte (dreifache, vierfache,...) Menge kostet das Doppelte (Dreifache, Vierfache,...). Wertetabelle Benzinmenge in Litern Preis in Euro 7,24 14,48 21,72 28,96 36,20 43,44 50,68 57,92 Quotientengleiche Größenpaare: 7,24 1 }}} 5 ø Diagramm Preis in Benzinmenge in ø = 24,48 }}} 10 ø = 21,72 }}} 15 ø Proportion = }}} 28,96 = = 1,448 } 20 ø ø Preis }}} Menge = } p m = }}} 1,488 1 ø Daraus folgt die Gleichung: p = 1,448 1 ø m Aufgabe 1. Franzis Wagen verbraucht im Durchschnitt 5,9 Liter Super auf 100 km. Lege eine Wertetabelle für den Verbrauch bei Fahrstrecken von 50 km, 100 km, 150 km,..., 500 km an. Zeichne ein passendes Diagramm. 14

16 1 Proportionale Zuordnungen Stellt man eine proportionale Zuordnung im Achsenkreuz dar, dann liegen alle Punkte auf einer Halbgeraden, die im Ursprung beginnt. Fehlende Größen einer proportionalen Zuordnung kannst du zeichnerisch oder rechnerisch bestimmen. Zur Berechnung bieten sich folgende Verfahren an: (1) Eine Zuordnungstabelle anlegen und Operatorpfeile hinzufügen (2) Die Dreisatzrechnung (Seite 20) (3) Eine Proportion lösen Franzi tankt heute 36 Liter Super. Wie viel 1 muss sie bezahlen? Rechne mit dem Einheitspreis von 1,448 1 ø. Lösung mithilfe der Zuordnungstabelle und Operatorpfeilen Beispiel 1 36 Benzinmege (in ø) Preis (in 1) 1 1, x 36 Rechnung 1, = 52,128 1 Franzi bezahlt 52,13 3. Ein 720 m² großes Grundstück kostet Wie teuer ist das Nachbargrundstück von 810 m² bei gleichem Quadratmeterpreis? Lösung : Grundstücksgröße in m 2 Grundstückspreis in : Rechnungen : 720 = = Das Nachbargrundstück kostet Beispiel 2 Anderer Lösungsweg: Weil eine proportionale Zuordnung vorliegt, kannst du folgende Proportion aufstellen: Preis des Nachbargrundstrücks }}}}}}}}}}} Größe des Nachbargrundstücks = p }}} 810 m = }}} 720 m 2 Daraus folgt: p = }}} 720 m m2 = 60 }} 1 m m2 = Entscheide, ob eine proportionale Zuordnung vorliegt. a) Je schwerer ein Brief ist, desto mehr Porto kostet er. b) Je mehr Personen mitfahren, desto mehr Benzin verbraucht das Auto. c) Je mehr Blätter Papier übereinander gelegt werden, desto höher wird der Papierturm. Aufgaben 15

17 B Zuordnungen und Proportionalitäten 3. Ein Liter Frischmilch kostet im Supermarkt 55 ct. Wie viel kosten 3 (5, 7, 12) Liter Frischmilch? 4. Eine Fabrik stellt pro Stunde 8500 Glühlampen einer bestimmten Sorte her. Wie viele solcher Glühlampen werden in dieser Firma während a) einer Schicht (= 8 Stunden), b) eines Arbeitstages (= 24 Stunden) c) einer Arbeitswoche (= 120 Stunden) hergestellt? 5. In derselben Fabrik (siehe Aufgabe 4) werden pro Schicht Energiesparlampen hergestellt. Wie viele Energiesparlampen stellt man demnach a) in einer Stunde, b) an einem Arbeitstag her? 6. Sind die dargestellten Zuordnungen proportional? Begründe deine Entscheidungen. a) b) c) d) Für 42 Liter Benzin zahlt Herr Hoffmann 47,46 1. a) Wie viel kostet der Liter Benzin an dieser Tankstelle? b) Wie viel muss man hier für 35 Liter der gleichen Sorte zahlen? c) Frau Graf tankt zur selben Zeit die gleiche Sorte Benzin und zahlt dafür 50,85 1. Wie viele Liter hat sie getankt? 8. Peter möchte Futter für seinen Hund kaufen. Welches Angebot ist das günstigste? Tipp: Vergleiche die Angebote, indem du jeweils ausrechnest, wie teuer 100 g der jeweiligen Marke sind. Also zum Beispiel 1,20 1 : 8 = 9. Das Diagramm zeigt, wie viel 3 bzw. 6 gleichartige Bauplatten wiegen. Bestimme zeichnerisch (also ohne Rechnung), wie viel 2 bzw. 4 dieser Bauplatten wiegen. Wie viel wiegen 100 solche Bauplatten? 16

18 2 Indirekt proportionale Zuordnungen Gehört zum Doppelten, Dreifachen, Vierfachen,... einer Ausgangsgröße die Hälfte, der dritte Teil, der vierte Teil,... der zugeordneten Größe, dann liegt eine indirekt (umgekehrt) proportionale Zuordnung vor, manchmal auch antiproportionale Zuordnung genannt. Die Größenpaare einer indirekt proportionalen Zuordnung sind produktgleich. Stellt man eine indirekt proportionale Zuordnung im Achsenkreuz dar, dann liegen alle Bildpunkte auf einer zunächst steil fallenden und dann immer flacher werdenden Kurve, auf einer Hyperbel. Von einer Baustelle sollen 120 m 3 Erdreich abtransportiert werden. Wenn ein Lkw mit einer Fahrt 4 m 3 Erdreich abfährt, dann sind 30 Fahrten erforderlich. Die Zuordnung Ladevolumen des Lkw Anzahl der Fahrten (V n) ist umgekehrt proportional, weil ein Lkw mit doppeltem (mit dreifachem) Ladevolumen nur halb (nur ein Drittel) so viele Fahrten machen müsste. Beispiel Wertetabelle Ladevolumen V in m Anzahl n der Fahrten Diagramm Produktgleiche Größenpaare 1 m = 2 m 3 60 = 3 m 3 40 = 4 m 3 30 =... = 120 m 3 Produktgleichung Ladevolumen Anzahl der Fahrten = V n = 120 m Es müssen von einer anderen Baustelle 1260 m 3 Erdreich abgefahren werden. Lege eine Wertetabelle für die Anzahl der Fahrten bei einem Ladevolumen von 4 m 3, 5 m 3, 6 m 3, 7 m 3 usw. bis 12 m 3 an. Zeichne ein passendes Diagramm. Aufgabe 17

19 B Zuordnungen und Proportionalitäten Fehlende Größen einer indirekt proportionalen Zuordnung kannst du zeichnerisch oder rechnerisch bestimmen. Zur Berechnung bieten sich folgende Verfahren an: (1) Eine Zuordnungstabelle anlegen und Operatorpfeile hinzufügen (2) Die Dreisatzrechnung (Seite 20) (3) Eine Produktgleichung lösen Beispiel 1 Wie viele Fahrten eines Lkws sind nötig, um 120 m³ Erdreich abzufahren, wenn dieser 7,5 m³ laden kann? Lösung 7,5 Ladevolumen in m 3 Anzahl der Fahrten ,5 x : 7,5 Rechnung: 120 Fahrten : 7, Fahrten : 75 = 16 Fahrten Es sind 16 Fahrten erforderlich. Beispiel 2 Fünf Bagger heben eine Baugrube in sechs Stunden aus. Wie lange würden drei Bagger brauchen? Lösung Vorüberlegung: Die Zuordnung Anzahl der Bagger benötigte Zeit ist indirekt proportional, weil die doppelte Anzahl von Baggern nur die halbe Zeit brauchen. : 5 3 Anzahl der Bagger 3 Bagger würden 10 Stunden brauchen. Arbeitszeit in h : 3 Die Rechnungen folgen den Pfeilen: 6 h 5 = 30 h 30 h : 3 = 10 h Anderer Lösungsweg: Die Größenpaare sind produktgleich. Also gilt: 3 Bagger x h = 5 Bagger 6 h x h = }}}}} 5 Bagger 6 h = 10 h 3 Bagger Aufgaben 11. Entscheide, ob eine indirekt (umgekehrt) proportionale Zuordnung vorliegt. a) Je mehr Wasser pro Minute in die Badewanne fließt, desto weniger Zeit vergeht, bis die Badewanne gefüllt ist. b) Je mehr Jochen von seinen 5 1 Taschengeld für Comics ausgibt, desto weniger Geld bleibt ihm für andere Dinge. c) Je mehr Personen sich eine Pizza in gleiche Stücke aufteilen, desto weniger bekommt jeder von der Pizza. 18

20 Stichwortverzeichnis Achsenspiegelung 11 achsensymmetrisch 11 achsensymmetrische Dreiecke 72 Addition zweier Vektoren 61 allgemeine Zinsformel 30 allgemein gültig 52 Anfangswert 26 Äquivalenzumformungen 50 Ausmultiplizieren 47 Berechnung der Jahreszinsen 29 des Zinssatzes 29 eines Grundwerts 24 eines Prozentsatzes 23 eines Prozentwerts 22 von Tageszinsen 30 Betrag 34 Bruchzahl 6 Daten 86 Dezimalbrüche abbrechend 8 periodisch 8 drehsymmetrisch 67 Drehung 64 Dreiecksformen 72 Dreisatz 20 Endwert 26 Ereignis 90 Ergebnisse 89 Erweitern 6, 8 Flächeninhalt 13 Formeln 53 Ganze Zahlen 32 Gegenvektor 61 Gegenzahl 32 Gleichung 48 Grundwert 22 Häufigkeitsverteilung 86 Höhe 76 Hyperbel 17 Inkreis 76 Innenwinkel 63 Kapital 29 kongruent 58 Kongruenzsätze 70 Kürzen 6, 8 Laplace-Experiment 90 Lösung 48 Lösungsmenge 48 Median 86 Minusklammern 38 Mittelparallele 79 Nebenwinkel 62 Netto 28 Ortsliniensätze 79 Parallele 69 Parallelenpaar 79 Parallelverschiebung 58 Plusklammern 38 Potenzschreibweise 47 Probe 49 Probefigur 81 produktgleich 17 Promille 28 Proportion 14 Prozentfaktor 26 Prozentsatz 22 prozentuale Abnahme 26 Veränderung 26 Zunahme 26 Prozentwert 22 Punktspiegelung 12, 66 punktsymmetrisch 12, 67 quotientengleich 14 Rabatt 28 Rationale Zahlen 33 Addition 36 Division 39 Multiplikation 39 Subtraktion 36 Rauminhalt 13 Rechnen mit Dezimalbrüchen 9 Brüchen 7 Relationszeichen 55 Repräsentant 60 Satz des Thales 75 Säulendiagramm 86 Scheitelwinkel 62 Schwerpunkt 77 Seitenhalbierende 77 Skonto 28 Sortieren 51 spitzer Winkel 63 Strecke 68 Stufenwinkel 62 stumpfer Winkel 63 Summenregel 90 Symmetriezentrum 12 systematisches Probieren 81 Taschenrechner 10 Terme 40 umformen 45 vereinfachen 45 Umkreis 74 Umlaufsinn 11 Ungleichung 55 Variable 40 Variable isolieren 51 Vektor 60 Vereinfachen 51 Wahrscheinlichkeit 89 Wechselwinkel 62 Winkelhalbierende 69, 76 Zahlengerade 32 Zinsen 29 Zinssatz 29 Zufall 89 Zuordnung indirekt proportional 17 proportional