Intel-Leipniz-Challenge(ILC) 2008 Runde 1

Transkript

1 2008 Runde März 2008, Bremen Inhaltsverzeichnis 1 Aufgabe 1a Beschreibung des EVA-Prinzips Zuordnung von Beispielen zum jeweiligen Informationsverarbeitungsprozess Komponenten des Computers und ihre Zuordnung zu einem Informationsverarbeitungsprozess Der Arbeitsspeicher Aufgabe 1b Aufgaben eines Bussystems Die wichtigsten Bussysteme eines modernen Computers Tabellarischer Vergleich Koordinierung der Kommunikation in einem Intel-CPU Aufgabe 1c Berechnung der aufgeführten Tabelle Zahl 1013: Umrechnung vom Dezimalsystem ins Binärsystem Zahl 927: Umrechnung vom Dezimalsystem ins Binärsystem Addition von (927) und (1013) Zahl : Umrechnung vom Binärsystem ins Dezimalsystem Zahl 733: Umrechnung vom Dezimalsystem ins Binärsystem Zahl -733 Bildung des Zweierkomplements Addition von (1940) und (-733) Zahl : Umrechnung vom Binärsystem ins Dezimalsystem Zahl 31767: Umrechnung vom Dezimalsystem ins Binärsystem Zahl 31767: Bildung des Zweierkomplements Addition von ( ) und ( ) Zahl : Umrechnung vom Binärsystem ins Dezimalsystem Zahl 20000: Umrechnung vom Dezimalsystem ins Binärsystem Addition von (-30560) und (20000) Zahl : Umrechnung vom Binärsystem ins Dezimalsystem Zahl 15764: Umrechnung vom Dezimalsystem ins Binärsystem Zahl 15764: Bildung des Zweikomplements Addition (-10560) und (-15764) Zahl : Umrechnung vom Binärsystem in Dezimalsystem Zahl 26366: Umrechnung vom Dezimalsystem in Binärsystem Addition von (-26324) und (26366) Zahl : Umrechnung vom Binärsystem ins Dezimalsystem Umfang des Binärsystems Warum verwendet der Computer das binäre System Größte darstellbare Zahl Größe des Bereichs Multiplikation von Binärzahlen

2 3.3.1 Zahl : Umrechnung vom Dezimalsystem ins Binärsystem Zahl 2: Umrechnung vom Dezimalsystem ins Binärsystem Multiplikation von ( ) und 10 (2) Zahl : Umrechnung vom Dezimalsystem ins Binärsystem Zahl 4: Umrechnung vom Dezimalsystem ins Binärsystem Multiplikation von ( ) und 100 (4) Zahl : Umrechnung vom Dezimalsystem ins Binärsystem Zahl 64: Umrechnung vom Dezimalsystem ins Binärsystem Multiplikation von ( ) und (64) Binärzahl : Umrechnung vom Binärsystem ins Dezimalsystem Zahl : Umrechnung vom Dezimalsystem ins Binärsystem Zahl 5: Umrechnung vom Dezimalsystem ins Binärsystem Multiplikation von ( ) und 101(5) Binärzahl : Umrechnung vom Binärsystem ins Dezimalsystem Zahl : Umrechnung vom Dezimalsystem ins Binärsystem Zahl 111: Umrechnung vom Dezimalsystem ins Binärsystem Multiplikation von ( ) und (111) Binärzahl : Umrechnung vom Binärsystem ins Dezimalsystem Zahl : Umrechnung vom Dezimalsystem ins Binärsystem Zahl 129: Umrechnung vom Dezimalsystem ins Binärsystem Multiplikation von ( ) und (129) Binärzahl : Umrechnung vom Dezimalsystem ins Binärsystem

3 1 Aufgabe 1a 1.1 Beschreibung des EVA-Prinzips Das EVA-Prinzip beschreibt das Arbeiten eines Computers. Eine Eingabe ist die Ursache dafür, dass der Computer folgend zu arbeiten beginnt. Als Eingabe ist jeder Einfluss von außerhalb des Computers zu sehen, der eine Auswirkung auf den Computer hat. Zum Beispiel eine Eingabe mit der Tastatur, Sounderkennung über ein Mikrofon oder eine Anfrage über die Netzwerkkarte. Der nächste Schritt ist dann die Verarbeitung, in der das Eingabe-Signal im Computer verarbeitet wird. Das Soundsignal des Mikrofons wird zum Beispiel digitalisiert und wird von der Soundkarte an die gewünschte Stelle weiter geleitet, die von der Software bestimmt wird. Das EVA- Prinzip endet mit der Ausgabe und schließt damit den Kreis, da die Ausgabe an anderer Stelle wiederum die Eingabe darstellen kann. Das weitergeleitete Signal wird bei der Ausgabe zum Beispiel an die Lautsprecher gesendet und es kann die eigene Stimme gehört werden. Ebenso kann es über ein Netzwerk an einen anderen Computer Abbildung 1: EVA-Prinzip gesendet werden, wo es dann wieder als Eingabe dient und von der Netzwerkkarte angenommen und verarbeitet wird. In diesem Fall würde ein neuer EVA Prozess beginnen. Schließlich kommt dieses nach Verarbeitung als Ausgabe aus den Lautsprechern des Gesprächspartners (VoIP). Mit diesem Prinzip funktioniert jede einzelne Operation am Computer und es ist genau geregelt welche Eingabe durch welche Verarbeitung zu der gewünschten Ausgabe führt. 1.2 Zuordnung von Beispielen zum jeweiligen Informationsverarbeitungsprozess Eingabe: Verarbeitung: Ausgabe: Zuordnung Die Kassiererin scannt den Barcode der Ware. Ich schalte den Computer ein. Das Text-Dokument wird vom USB-Stick auf die Festplatte kopiert. Der Brief wird gedruckt. Aus dem Lautsprecher des Radios tönt Musik. 3

4 1.3 Komponenten des Computers und ihre Zuordnung zu einem Informationsverarbeitungsprozess Maus Tastatur Trackball Touchpad Joystick Red Point Komponentenbeschreibung Die Maus ist das vom Benutzer neben der Tastatur am Häufigsten benutzte Eingabegerät. Sie besteht aus einem Abtaster, der zur Positionsbestimmung dient, und mindestens einer Taste (Apple-Mac-Mäuse). Sie dient zur schnellen koordinierung auf dem Desktop und ist für ein Befehlszeilen-OS überflüssig. Die Tastatur hat das gesamte Alphabet, die Ziffern des Dezimal- Systems und einige Sonderzeichen und Funktionstasten in der jeweiligen Sprach- und Modellausführung, um Zeicheneingaben zu machen. Damit ist die Tastatur das wichtigste Eingabeinstrument, da durch Short-cuts und die Pfeiltasten eine Maus sogar teilweise ersetzt werden kann. Ein Trackball hat die selbe Funktion wie die Maus nur mit dem Unterschied, dass die Abtastung, um den Mauszeiger zu bewegen, nicht auf der Unterseite abläuft sondern der Benutzer die Kugel des Trackballs in seiner Fassung bewegt. Der Trackball wird meistens bei mobilen Geräten verwendet. Das Touchpad ist wiederum ein Ersatz für die konventionelle Maus und wird bei Notebooks verwendet, um das Zubehör zu verringern, da das Touchpad direkt in das Notebook zwischen Tastatur und Benutzer eingebaut ist. Das Touchpad ist eine ebene Fläche auf der die Mausbewegung mit dem Finger vorgegeben wird. Manche Touchpads haben auch Zusatzfunktionen mit denen man ein Fenster mini-/maximieren und Dateien und Ordner öffnen kann ohne die Tasten, die dazu vorgesehen sind zu nutzen. Der Joystick ist besonders für Simulationen geeignet und existiert in verschiedenen Ausführungen. Der Joystick ist ein Stick, der nach rechts und links (X-/Y-Achse) bewegt werden kann und meistens noch einige Knöpfe hat. Mit der Bewegung des Sticks wird dann die Bewegung eines Fahrzeuges oder einer Figur auf dem Bildschirm gesteuert. Eine weitere Ersatzmethode für die Maus. Der Red-Point ist ein, in die Tastatur einiger Laptops eingelassener, kleiner Knopf. Er ist der Vorgänger des Touchpads. Durch seine Bewegung wird eine Mausbewegung simuliert. Die rechte und linke Maustaste sind dabei wie beim Touchpad vor der Tastatur. 4

5 Scanner WebCam Mikrofon Floppy,CD/DVD- Laufwerk/Brenner Prozessor Motherboard Chipsatz Grafikkarte Soundkarte Netzwerkkarte TV-Karte Bildschirm Drucker Lautsprecher Plotter Floppy,CD/DVD-Brenner Ein Scanner digitalisiert Bilder. Verschiedene Ausführungen können dabei entweder nur Unterschiede in der Helligkeit erkennen und somit ein Schwarz-Weiß-Bild des Originals auf dem PC erzeugen. Moderne Geräte sind in der Lage Bilder in Truecolor einzuscannen. Eine WebCam ist eine Digitalkamera die ein Sofortbild an einen Gesprächspartner weiter gibt oder lediglich über die Schnittstelle ein Echtzeitbild auf den Bildschirm bringt. Via Soundkarte wird das, durch ein Mikrofon aufgenommene Soundsignal, an den Prozessor weiter geleitet und verarbeitet. Die angebenen Laufwerke lesen von eingelegten Datenträgern Informationen und geben sie an das Betriebssystem weiter. Der Prozessor ist die zentrale Rechenstation des Computers. Hier werden alle Berechnungen und Lesesprünge gemacht, die Anfallen und bearbeitet werden müssen. Dabei wird aus dem Arbeitsspeicher gelesen und von der Memory Management Unit weiteres überwacht. Das Motherboard ist der Körper des Computers. Auf ihr sind alle Bestandteile zusammengefügt. Über die PCI-Schnittstellen werden Sound- /Netz-/Grafikkarte angeschlossen und bilden damit einen festen Bestandteil des Systems. Es existieren Ausführungen, bei denen die Komponenten auch onboard produziert(d.h. direkter Bestandteil des Motherboards) sind. Über weitere Schnittstellen (ATA, SATA, IDE) werden diverse Laufwerke und Datenträger in das System integriert. Außerdem ist das Bios auf dem Motherboard gespeichert. Der Chipsatz eines Computer ist in North- und Southbridge aufgeteilt, wobei die jeweiligen Einheiten bestimmte Rechenoperationen des Prozessors übernehmen um den Prozessor zu entlassten und damit das Gesamtsystem zu beschleunigen. An der Grafikkarte wird der Bildschirm angeschlossen. Des weiteren werden dort jegliche Berechnungen zur Grafik betrieben. Die Soundkarte verarbeitet digitale und analoge Soundsignale. Es existieren neben PCI-Karten auch onboard, USB oder FireWire Varianten. Die Soundkarte dient als Mixer, Aufzeichner, Bearbeiter und Ausgabegerät. Die Netzwerkkarte stellt via Ethernet (sofern sie keine Wireless-LAN- Unterstützung hat) eine Verbindung zu einem Netzwerk her. Als TV-Karte sind alle Karten zusammengefasst, die terrestrisches, Kabel- oder Satellitenfernsehen für den Computer empfangbar machen. Auf dem Bildschirm werden die meisten Resultate der Verarbeitung visualisiert. Der Drucker bringt Resultate der Verarbeitung auf Papier, Pape oder anderen Materialien. Damit macht er die Resultate nicht so flexibel wie die Anzeige auf dem Bildschirm aber dafür mobiler. Die Lautsprecher sind das Ausgabegerät für jegliche Audio-Signale, die von der Soundkarte ausgegeben werden. Ein Plotter stellt Vektorgrafiken und Funktionsgraphen auf Papier da. Diese Laufwerke bearbeiten die verarbeiteten Informationen des Systems und speichern sie auf den jeweilig zugehörigen Medien um sie mobil zu machen. Sie sind im Gegensatz zum Plotter oder Drucker jedoch Dateitypunabhängig und können alles speichern. 5

6 Abbildung 2: Die Komponenten eines Computers nach dem EVA-Prinzip sortiert 1.4 Der Arbeitsspeicher Der Arbeitsspeicher dient als Denkstütze für den Prozessor, der die von Datenträgern gelesenen Informationen schnell, dynamisch und vor allem temporär abspeichern muss, um Echtzeitinformationen zu liefern(videos, Sound, Grafiken, u.ä. ohne ruckeln laden und verändern), bzw. generell Daten mit denen der Prozessor arbeitet vorrübergehend zu speichern, ehe der Prozessor sie weiterverarbeitet. Wenn der Arbeitsspeicher nicht genügend verfügbaren Speicher aufweist, so muss der Prozessor auf andere Medien ausweichen, was längere Arbeitszeiten zur Folge hat, da Festplatten und Flashspeicher weitaus höhere Zugriffszeiten als RAM haben. Im Endeffekt steht der Arbeitsspeicher außerhalb aller Stufen des EVA- Prinzips, da er nur ein passives Objekt in der Verarbeitung ist und nicht direkten Einfluss auf das Wirken hat, da die Daten nicht von dem Arbeitsspeicher verändert werden, sondern vom Prozessor. Trotzdem ist er notwendig zur Verabeitung. Andere Speichermedien haben die gleiche Aufgabe: die (Zwischen-)Speicherung von Information. Sie unterscheiden sich vom Arbeitsspeicher nur in der Speicherkapazität, Zugriffszeit und Zeitraum der Datenerhaltung. 6

7 2 Aufgabe 1b 2.1 Aufgaben eines Bussystems Die Funktion eines Bussystems besteht darin dem Prozessor verschiedene Informationen bereit zu stellen oder Aufgaben von der Recheneinheit an die Ausgabegeräte weiter zu leiten. Dabei spielt es keine Rolle ob es extern oder intern ist. Lediglich die Bezeichnung macht einen Unterschied, da externe Geräte nicht direkt mit der Hauptplatine verbunden sind (z.b. USB, FireWire, Ethernet), sondern das System nur von außen betreten. Bei einem internen Bus (z.b. PCI(-Express), ATA, nubus) handelt es sich um Verbindungen zwischen Motherboard und Peripherie, die innerhalb des Computers Verbindungen herstellen (z.b. Grafikkarte, Soundkarte, Festplatte, Laufwerke, Netzwerkkarte). Es gibt nur weniges Ausnahmen, wie zum Beispiel den SCSI-Bus, der sowohl extern als auch intern Verwendung findet. Was jedoch all diese Bussysteme gemeinsam haben ist die Aufgabe: Ein Bussystem koordiniert Energie und Datenaustausch zweier oder mehrerer Komponenten und Peripherieeinheiten in einem Computer bzw. auch zwischen mehreren Computern. Sie werden in Adress-, Daten-, und Kontrollbus unterteilt: Der Datenbus dient nur zum Austausch von Daten zwischen den Knotenpunkten, die alle über den selben Leitersatz miteinander verbunden sind. Der Adressbus spricht mit einer Speichergröße von 2 n (n=anzahl der Adressleitungen) Speicherzellen an, um Speicheradressen an den Prozessor oder andere DMA-Geräte (direct memory Access; Geräte, die ohne Umwege über den Prozessor mit Hilfe des DMA-Controllers Daten in den Speicher schreiben können) weiter zu geben. Der Kontrollbus steuert das Bussystem und überwacht u.a. die Richtung, in der auf dem Datenbus gesendet werden soll. 2.2 Die wichtigsten Bussysteme eines modernen Computers In der von Neumann-Architektur werden meistens nur wenige Bussysteme verwendet, die heutzutage den Standard bilden, damit die Hardware mit möglichst vielen Computern kompatibel ist. Trotz der großen Vielfalt im Bereich der Bussysteme für Grafikkarten werden zum Beispiel größten Teils Grafikkarten mit PCI oder neuere auch schon mit PCIe hergestellt. Auch Anschlüsse für andere Hardware wie Festplatten und Laufwerke haben ihre eigenen Standards. Hier wird meist ATA oder SCSI verwendet. Damit wären die internen Bustypen abgeschlossen und wir widmen uns nun den externen Bussystemen, die da wären: USB, PS/2,Firewire und SCSI. SCSI zählt sowohl als interner als auch externer Bus. Da er intern (direkter Anschluss an die Hauptplatine) die Peripherie anspricht aber auch extern des Gehäuses zum Kommunizieren mit Scannern und Druckern eingesetzt werden kann. Dabei ist ein externer Anschluss der Hauptplatine an der Rückseite des Gehäuses vorgesehen. PS/2 ist der Tastatur und Mausanschluss, meist durch grün für die Maus und lila für das Keyboard an Gerät (männlich) und Anschluss (weiblich) dargestellt. FireWire stellt eine Konkurenz zum USB dar, da es auch als externer Bus dient. Er wird aber meist nur für Bildübertragung von Camcordern, Massenspeicher und Sound-Interfaces genutzt, da er eine hohe Übertragungsrate bietet und auch eine Stromversorgung zulässt, was beim USB Anschluss nicht funktioniert, da der maximal zulässige Strom von 0.5A für eine Festplatte nicht ausreichend ist und somit ein zusätzliches Netzteil gebraucht würde. Der letzte häufig verwendete Bus ist der USB-Anschluss (Universal Serial Bus), der auch als Hotplug bezeichnet wird, da man USB-Geräte auch während des Betriebes angesteckt und sobald der Treiber installiert 7

8 wurde auch benutzten kann. Ein weiteres wichtiges Bussystem ist der Ethernet-Bus. Dieser verbindet jedoch nicht Komponenten eines einzigen Computers sondern die Komponenten (bzw. die Netzwerkkarten) verschiedener Computer. Aus diesem Grund wird auf diesen sehr wichtigen Bus nicht weiter eingangen. 2.3 Tabellarischer Vergleich Name Übertragungsrate Teilnehmer Datenübertragung max. Länge in m SAS 600 MByte/s seriell 25 Ethernet meistens seriell - MBit/s USB 240 KBit/s 27 seriell 5 PCI 4 GBit/s 10(*) parallel 0 (*) wobei ein nicht verwendeter Anschluss als zwei zählt und ein verwendeter als einer. Auf Grund der vielen Unterschiede, die nicht alle in der Tabelle aufgeführt werden können ist es nützlich verschiedene Bussysteme zu verwenden, da sie alle ihre Vor- und Nachteile haben und somit in verschiedenen Gebieten das bestmögliche sind. Zum Beispiel ist ein USB Anschluss dann besser und funktioneller als eine 1394-Verbindung(FireWire), wenn das Gerät nur einen niedrigen Versorgungsstrom benötigt um zu laufen. So ist es dasselbe in anderen Fällen. Ein Ethernet Bus ist um einiges schneller als der US-Bus und eignet sich so bei der Übertragung von vielen Daten viel eher. Somit muss bei der Entwicklung eines neuen Peripheriegerätes bedacht werden, welche Anforderungen das Gerät an die Technik(z.B.: Zuverlässigkeit, Datenübertragung, max Länge, Anzahl der Teilnehmer) und Ökonomie(z.B.: Preis, Erweiterbarkeit) des Busses stellt. 2.4 Koordinierung der Kommunikation in einem Intel-CPU In einem modernen Intel-CPU koordiniert der Steuerbus die Kommunikation. Er verbindet alle Einheiten des Computersystems miteinander. Dabei legt er fest welche Peripherie in einem gewissen Moment die Erlaubnis hat, Information auf dem Datenbus zu senden bzw. zu empfangen. Damit ist der Steuerbus in der Lage die gesamte Kommunikation zwischen den Komponenten zu regeln, wie: Lesen/Schreiben des RAMs Bidirektionaler Informationsaustausch mit Peripheriegeräten Generell Interrupts die durch Eingaben von außen oder über interne Einheiten (z.b. einen Timer) ausgelöst werden 8

9 3 Aufgabe 1c 3.1 Berechnung der aufgeführten Tabelle Zahl 1013: Umrechnung vom Dezimalsystem ins Binärsystem Um eine Dezimalzahl in eine Binärzahl umzuwandeln, muss man die Dezimalzahl solange immer wieder durch 2 dividieren, bis sie gleich 0 ist. Das Ergebnis jeder einzelnen Division soll eine natürliche Zahl sein. Dabei wird der Rest der Division am Rand vermerkt. Das folgende Beispiel verdeutlicht den Vorgang: Beginnend von der letzten Division wird der Rest der Reihe nach aufgeschrieben. Bei dieser Umwandlung lautet das Ergebnis nun Diese Zahl entspricht also der Dezimalzahl im Dualsystem. Um nun eine Binärzahl mit 16 Binärstellen zu bilden, füllt man sie vorne mit Nullen auf. Nullen besitzen im Binärsystem keinen Wert, dadurch verändern sie nicht den Wert der Zahl. Aus folgt nun also Probe: Um das Ergebnis zu überprüfen, rechnet man die Binärzahl wieder ins Dezimalsystem zurück. Im Dezimalsystem kann man den Wert der Zahlen noch anders darstellen wie üblich: entspricht Genauso kann man den dezimalen Wert einer Binärzahl ausrechnen. Mit der Ausnahme, dass es im Binärsystem nur 2 Zustände gibt, währenddessen es im Dezimalsystem 10 Zustände gibt. Dadurch ergibt sich: = = = Das erste Bit ( die erste Ziffer ) der Binärzahl fällt weg, da es keinen Zahlenwert enthält sondern nur zeigt ob es sich um eine negative oder positive Zahl handelt. Die Ziffern die den Wert 0 besitzen kann man in der Umformung wegfallen lassen, sie enthalten keinen Zahlenwert. 9

10 3.1.2 Zahl 927: Umrechnung vom Dezimalsystem ins Binärsystem 927 / 2 = 463 Rest / 2 = 231 Rest / 2 = 115 Rest / 2 = 57 Rest 1 57 / 2 = 28 Rest 1 28 / 2 = 14 Rest 0 14 / 2 = 7 Rest 0 7 / 2 = 3 Rest 1 3 / 2 = 1 Rest 1 daraus folgt die Binärzahl und mit 16 Binärstellen Probe: = = = Addition von (927) und (1013) Es wird genau so addiert wie im Dezimalsystem. Man schreibt die zu addierenden Zahlen untereinander. Von links beginnend addiert man die untereinander stehenden Zahlen. Wenn die Zahl im Binärsystem nicht darstellbar ist, also zum Beispiel eine 2 herauskommt, so überträgt man das Ergebnis. Das heißt: man verschiebt das Ergebnis nach links, da hier der Wert der Zahl höher ist. Beispiel: entspricht Übertrag Zahl : Umrechnung vom Binärsystem ins Dezimalsystem = = = Zur Kontrolle überprüft man das Ergebnis in dem ganz normal im Dezimalsystem addiert: = 1940 Das Ergebnis ist also richtig. 10

11 3.1.5 Zahl 733: Umrechnung vom Dezimalsystem ins Binärsystem 733 / 2 = 366 Rest / 2 = 183 Rest / 2 = 91 Rest 1 91 / 2 = 45 Rest 1 45 / 2 = 22 Rest 1 22 / 2 = 11 Rest 0 11 / 2 = 5 Rest 1 5 / 2 = 2 Rest 1 2 / 2 = 1 Rest 0 daraus folgt die Binärzahl und mit 16 Binärstellen = = = Zahl -733 Bildung des Zweierkomplements Um eine Binärzahl zu Subtraktieren muss man den Zweierkomplement der zur subtrahierenden Zahl berechnen. Um den Zweierkomplement zu bilden, kehrt man alle Ziffern um (invertieren) und addiert zum Ergebnis 1 hinzu. Mit dem Zweierkomplement kann man negative Zahlen wie positive Zahlen miteinander addieren. Negative Zahlen können wie positive Zahlen addiert werden invertieren: eins addieren: Die Zahl -733 ist im Binärsystem also Addition von (1940) und (-733) Die vorderste Eins muss abgeschnitten werden, da der Übertrag hinein- und hinauslaufende Übertrag am Most-Significant-Bit (Vorzeichenbit) gleich ist. Es tritt kein Überlauf ein und das Ergebnis ist somit richtig. Ist der Übertrag vor und nach dem Most-Significant-Bit nicht gleich, so wird bei der Addition der gültige Zahlenbereich verlassen und das Ergebnis stimmt nicht. Das Ergebnis der Addition lautet also Zahl : Umrechnung vom Binärsystem ins Dezimalsystem = = = Probe: =

12 3.1.9 Zahl 31767: Umrechnung vom Dezimalsystem ins Binärsystem / 2 = Rest / 2 = 7941 Rest / 2 = 3970 Rest / 2 = 1985 Rest / 2 = 992 Rest / 2 = 496 Rest / 2 = 248 Rest / 2 = 124 Rest / 2 = 62 Rest 0 62 / 2 = 31 Rest 0 31 / 2 = 15 Rest 1 15 / 2 = 7 Rest 1 7 / 2 = 3 Rest 1 3 / 2 = 1 Rest 1 daraus folgt die Binärzahl und mit 16 Binärstellen Probe: = = = Zahl 31767: Bildung des Zweierkomplements invertieren: eins addieren: Die Dezimalzahl ist also im Binärsystem Addition von ( ) und ( ) Übertrag Zahl : Umrechnung vom Binärsystem ins Dezimalsystem Die Binärzahl kann nicht direkt ins Dezimalsystem umgewandelt werden, da sie eine negative Zahl ist. Zuerst muss die Binärzahl in eine positive Binärzahl umgewandelt werden. Der Vorgang Bildung des Zweierkomplements muss also vollzogen werden invertieren: eins addieren: Die positive Binärzahl kann jetzt ins Dezimalsystem umgewandelt werden. 12

13 = = = Da die Binärzahl zum Anfang negativ war, so ist die Dezimalzahl auch negativ also Probe: = Zahl 20000: Umrechnung vom Dezimalsystem ins Binärsystem / 2 = Rest / 2 = 5000 Rest / 2 = 2500 Rest / 2 = 1250 Rest / 2 = 625 Rest / 2 = 312 Rest / 2 = 156 Rest / 2 = 78 Rest 0 78 / 2 = 39 Rest 0 39 / 2 = 19 Rest 1 19 / 2 = 9 Rest 1 9 / 2 = 4 Rest 1 4 / 2 = 2 Rest 0 2 / 2 = 1 Rest 0 daraus folgt die Binärzahl und mit 16 Binärstellen Probe: = = = Addition von (-30560) und (20000) Übertrag Zahl : Umrechnung vom Binärsystem ins Dezimalsystem invertieren: eins addieren: == = = Die Dezimalzahl von der Binärzahl ist also Probe: =

14 Zahl 15764: Umrechnung vom Dezimalsystem ins Binärsystem / 2 = 7882 Rest / 2 = 3941 Rest / 2 = 1970 Rest / 2 = 985 Rest / 2 = 492 Rest / 2 = 246 Rest / 2 = 123 Rest / 2 = 61 Rest 1 61 / 2 = 30 Rest 1 30 / 2 = 15 Rest 0 15 / 2 = 7 Rest 1 7 / 2 = 3 Rest 1 3 / 2 = 1 Rest 1 daraus folgt die Binärzahl und mit 16 Binärstellen Probe: = = = Zahl 15764: Bildung des Zweikomplements invertieren: eins addieren: Die Dezimalzahl ist also im Binärsystem Addition (-10560) und (-15764) Übertrag Die erste Ziffer fällt weg. Die Binärzahl lautet also Zahl : Umrechnung vom Binärsystem in Dezimalsystem invertieren: eins addieren: = = = Die Dezimalzahl von der Binärzahl ist also

15 Zahl 26366: Umrechnung vom Dezimalsystem in Binärsystem / 2 = Rest / 2 = 6591 Rest / 2 = 3295 Rest / 2 = 1647 Rest / 2 = 823 Rest / 2 = 411 Rest / 2 = 205 Rest / 2 = 102 Rest / 2 = 51 Rest 0 51 / 2 = 25 Rest 1 25 / 2 = 12 Rest 1 12 / 2 = 6 Rest 0 6 / 2 = 3 Rest 0 3 / 2 = 1 Rest 1 daraus folgt die Binärzahl und mit 16 Binärstellen Probe: = = = Addition von (-26324) und (26366) Übertrag Die erste Ziffer fällt weg. Die Binärzahl lautet also Zahl : Umrechnung vom Binärsystem ins Dezimalsystem = = = Umfang des Binärsystems Warum verwendet der Computer das binäre System Ein Computer kann nur 2 Zuständen darstellen. Er kennt die Zustände Strom ein (1) und Strom aus (0). Aus diesen Grund kann ein PC nur Dualzahlen verarbeiten. 15

16 3.2.2 Größte darstellbare Zahl Pro Ziffer einer Binärzahl gibt es zwei Möglichkeiten 1 und 0. Das heißt für eine n-ziffrige Zahl gibt es 2 n verschiedene Zahlen. Mit n = 24 ist die größte darstellbare Zahl x = 2 24 = Umrechung in das hexadezimale Zahlensystem (analog zur Umrechnung ins binäre System): /16= Rest /16=65536 Rest /16=4096 Rest /16=256 Rest 0 256/16 = 16 Rest 0 16/16 = 1 Rest 0 1/16 = 0 Rest 1 Hexadezimal: Größe des Bereichs Ein Bereich kann negative und positive Zahlen enthalten. In diesem Fall muss eine Ziffer der Binärzahl das Vorzeichen angeben. Das heißt es bleiben 31 Ziffern zur Darstellung von Zahlen übrig. Daraus ergibt sich die größte negative Zahl als 2 31 = Die größte postive Zahl ist = , also 1 weniger, da es auch eine Zahl geben muss, welche die 0 repräsentiert. Es wäre genauso gut anders herum möglich, d.h. dass die kleinste Zahl wäre und die größte Umrechnung der beiden Zahlen ins hexadezimale Zahlensystem: /16= Rest /16 = Rest /16 = Rest /16 = Rest / 16 = 2048 Rest /16 = 128 Rest 0 128/16 = 8 Rest 0 8/16 = 0 Rest = (Eine 15 entspricht einem F) /16 = Rest 15=F /16 = Rest 15=F /16 = Rest 15=F /16 = Rest 15=F 32767/16 = 2047 Rest 15=F 2047/16 =127 Rest 15=F 127/16 = 7 Rest 15=F 7/16 = 0 Rest 7 7F F F F F F F 16 = Es kann also ein Bereich von 7F F F F F F F 16 bis bzw ein Bereich von bis 7F F F F F F F 16 angegeben werden. 1 Es wird von der üblichen Definition für N = {1, 2, 3...} ausgegangen 16

17 3.3 Multiplikation von Binärzahlen Zahl : Umrechnung vom Dezimalsystem ins Binärsystem / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = 8191 Rest / 2 = 4095 Rest / 2 = 2047 Rest / 2 = 1023 Rest / 2 = 511 Rest / 2 = 255 Rest / 2 = 127 Rest / 2 = 63 Rest 1 63 / 2 = 31 Rest 1 31 / 2 = 15 Rest 1 15 / 2 = 7 Rest 1 7 / 2 = 3 Rest 1 3 / 2 = 1 Rest 1 daraus folgt die Binärzahl Zahl 2: Umrechnung vom Dezimalsystem ins Binärsystem 2 / 2 = 1 Rest 0 daraus folgt die Binärzahl

18 3.3.3 Multiplikation von ( ) und 10 (2) Die Multiplikation im Binärsystem funktioniert im Prinzip genauso wie im Dualsystem. Das Binärsystem hat anstelle von 10 verschiedenen Zuständen wie im Dualsystem nur 2 verschiedene Zustände nämlich 1 oder 0. Dieser Umstand erleichtert die Multiplikation im Binärsystem. Wenn eine Ziffer des zweiten Faktors den Wert 1 besitzt so schreibt man die erste Binärzahl rechtsbündig unter diese Ziffer. Diesen Vorgang wiederholt man mit allen anderen Einsen. Die Ziffern mit den Wert 0 können vernachlässigt werden. Die errechneten Zahlen addiert man miteinander. Das Ergebnis ist die Lösung der Multiplikation * Binärzahl = = = Um das Ergebnis zu überprüfen berechnet man das Produkt auf herkömmliche Weise im Dezimalsystem. Probe: =

19 3.3.4 Zahl : Umrechnung vom Dezimalsystem ins Binärsystem / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = 8738 Rest / 2 = 4369 Rest / 2 = 2184 Rest / 2 = 1092 Rest / 2 = 546 Rest / 2 = 273 Rest / 2 = 136 Rest / 2 = 68 Rest 0 68 / 2 = 34 Rest 0 34 / 2 = 17 Rest 0 17 / 2 = 8 Rest 1 8 / 2 = 4 Rest 0 4 / 2 = 2 Rest 0 2 / 2 = 1 Rest 0 daraus folgt die Binärzahl Zahl 4: Umrechnung vom Dezimalsystem ins Binärsystem 4 / 2 = 2 Rest 0 2 / 2 = 1 Rest 0 daraus folgt die Binärzahl

20 3.3.6 Multiplikation von ( ) und 100 (4) * = = = Probe: * 4 = Zahl : Umrechnung vom Dezimalsystem ins Binärsystem / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = 8191 Rest / 2 = 4095 Rest / 2 = 2047 Rest / 2 = 1023 Rest / 2 = 511 Rest / 2 = 255 Rest / 2 = 127 Rest / 2 = 63 Rest 1 63 / 2 = 31 Rest 1 31 / 2 = 15 Rest 1 15 / 2 = 7 Rest 1 7 / 2 = 3 Rest 1 3 / 2 = 1 Rest 1 daraus folgt die Binärzahl

21 3.3.8 Zahl 64: Umrechnung vom Dezimalsystem ins Binärsystem 64 / 2 = 32 Rest 0 32 / 2 = 16 Rest 0 16 / 2 = 8 Rest 0 8 / 2 = 4 Rest 0 4 / 2 = 2 Rest 0 2 / 2 = 1 Rest 0 1 / 2 = 1 Rest 1 daraus folgt die Binärzahl Multiplikation von ( ) und (64) * Binärzahl : Umrechnung vom Binärsystem ins Dezimalsystem = = = Probe: =

22 Zahl : Umrechnung vom Dezimalsystem ins Binärsystem / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = 5465 Rest / 2 = 2732 Rest / 2 = 1366 Rest / 2 = 683 Rest / 2 = 341 Rest / 2 = 170 Rest / 2 = 85 Rest 0 85 / 2 = 42 Rest 1 42 / 2 = 21 Rest 0 21 / 2 = 10 Rest 1 10 / 2 = 5 Rest 0 5 / 2 = 2 Rest 1 2 / 2 = 1 Rest 0 daraus folgt die Binärzahl Zahl 5: Umrechnung vom Dezimalsystem ins Binärsystem 5 / 2 = 2 Rest 1 2 / 2 = 1 Rest 0 daraus folgt die Binärzahl

23 Multiplikation von ( ) und 101(5) * Übertrag Binärzahl : Umrechnung vom Binärsystem ins Dezimalsystem = = = Probe: * 5 = Zahl : Umrechnung vom Dezimalsystem ins Binärsystem / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = 9387 Rest / 2 = 4693 Rest / 2 = 2346 Rest / 2 = 1173 Rest / 2 = 586 Rest / 2 = 293 Rest / 2 = 146 Rest / 2 = 73 Rest 0 73 / 2 = 36 Rest 1 36 / 2 = 18 Rest 0 18 / 2 = 9 Rest 0 9 / 2 = 4 Rest 1 4 / 2 = 2 Rest 0 2 / 2 = 1 Rest 0 daraus folgt die Binärzahl

24 Zahl 111: Umrechnung vom Dezimalsystem ins Binärsystem 111 / 2 = 55 Rest 1 55 / 2 = 27 Rest 1 27 / 2 = 13 Rest 1 13 / 2 = 6 Rest 1 6 / 2 = 3 Rest 0 3 / 2 = 1 Rest 1 daraus folgt die Binärzahl Multiplikation von ( ) und (111) Bei vielen zu addierenden Zahlen kann es vorkommen, dass in einer Zeile ein Ergebnis wie zum Beispiel 4 vorkommt. Eine 4 entspricht einer 1 die um zwei Stellen nach links verschoben ist. Damit man die Übersicht behält führt man für diesen Fall einen zweiten Übertrag ein * zweiter Übertrag Übertrag Binärzahl : Umrechnung vom Binärsystem ins Dezimalsystem = = = Probe: =

25 Zahl : Umrechnung vom Dezimalsystem ins Binärsystem / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = 8128 Rest / 2 = 4064 Rest / 2 = 2032 Rest / 2 = 1016 Rest / 2 = 508 Rest / 2 = 254 Rest / 2 = 127 Rest / 2 = 63 Rest 1 63 / 2 = 31 Rest 1 31 / 2 = 15 Rest 1 15 / 2 = 7 Rest 1 7 / 2 = 3 Rest 1 3 / 2 = 1 Rest 1 daraus folgt die Binärzahl Zahl 129: Umrechnung vom Dezimalsystem ins Binärsystem 129 / 2 = 64 Rest 1 64 / 2 = 32 Rest 0 32 / 2 = 16 Rest 0 16 / 2 = 8 Rest 0 8 / 2 = 4 Rest 0 4 / 2 = 2 Rest 0 2 / 2 = 1 Rest 0 1 / 2 = 1 Rest 1 daraus folgt die Binärzahl

26 Multiplikation von ( ) und (129) * Binärzahl : Umrechnung vom Dezimalsystem ins Binärsystem = = = Probe: * 129 =