Erläuterungen zu den zentral vorgegebenen Mathematik-Aufgaben anhand von Beispielen

Transkript

1 Erläuterungen zu den zentral vorgegebenen Mathematik-Aufgaben anhand von Beispielen VERA 2004 Projekt VERA Arithmetik Lebensweltbezug - Bedeutsamkeit für die Schülerinnen und Schüler Zahlen und der Umgang mit ihnen begegnet den Schülerinnen und Schülern tagtäglich und auf vielfältige Weise. Ein grundlegendes Verständnis und ein flexibler Umgang mit arithmetischen Operationen ist Voraussetzung für die Orientierung in vielen Lebensbereichen und unumgänglich für das Erschließen weiterer Gebiete der Mathematik bereits in der Grundschule (Sachrechnen/Größen, Geometrie). 1.1 Zentrale Aufgabe 7 Teilaufgabe c) Finde die passenden Rechenzeichen: +, -,, :! c) 50 1 = 7 7 Korrekte Lösung F1 F2 F3 F4 - und (Minus und Mal) Fehler: : und (in der ersten Operation nur erkannt, dass eine Verminderungsoperation eingesetzt werden soll, aber die falsche gewählt) Fehler: : und + (in der ersten Operation nur erkannt, dass eine Verminderungsoperation eingesetzt werden soll, in der zweiten die Vergrößerungsoperation, jeweils die falsche gewählt) Fehler: und (erste Operation falsch verstanden, in der zweiten Operation nur erkannt, dass eine Vergrößerungsoperation eingesetzt werden soll) Fehler: : und - (evtl. Probleme beim Verständnis der Ziffern 1 und 0, da in der ersten Operation, durch 1 geteilt wird, in der zweiten das Ergebnis 0 berechnet wird) VERA - Fähigkeitsniveau 3 (fortgeschrittene Fähigkeiten) Allgemein: Es werden auch anspruchsvollere Aufgaben hinreichend sicher gelöst. Arithmetik: Flexible Beherrschung der Grundrechenarten Zahlen können durch geeignete Operationen zu einer Zielzahl kombiniert werden. 1.2 KMK Bildungsstandards für den Primarbereich (Inhalt) Die Zuordnung zu den Standards wird hier auf der detailliertesten Ebene angegeben. Zahlen und Operationen Rechenoperationen verstehen und beherrschen die vier Grundrechenarten und ihre Zusammenhänge verstehen

2 1.3 Didaktische und methodische Hinweise Das Aufgabenformat beinhaltet in einer Gleichung zwei einzusetzende Rechenzeichen und eine einigen Kindern möglicherweise weniger geläufige Form der Gleichheitsrelation, denn zu beiden Seiten des Gleichheitszeichens befindet sich eine operationale Verknüpfung. Die Aufgabe selbst erfordert einen flexiblen Umgang mit den Grundrechenarten und ein solides Zahlen- und Operationsverständnis. Beim Lösen dieser Art von Aufgaben ist der Umgang mit systematischen Probierverfahren zum Auffinden von Lösungsmöglichkeiten erforderlich. 1.4 Beispiele für Übungsaufgaben (bei aufgetretenen Schwächen in den Aufgaben) Eine mögliche Herangehensweise bietet das Arbeiten mit einer (echten) Waage, damit die Schülerinnen und Schüler den Begriff der Gleichwertigkeit auf anschauliche Weise erlernen können. Wenn keine Waage vorhanden sein sollte, kann diese Art von Aufgaben nach dem Prinzip Waage bearbeitet werden. Die Aufgaben werden mit Anschauungsmaterialien gelegt. Dabei gilt die Maxime, dass zu beiden Seiten des Gleichheitszeichens das Ergebnis gleich groß sein muss, egal welche arithmetischen Operationen auf jeder Seite verwendet werden. Damit die Schülerinnen und Schüler einen anschaulichen Zugang erhalten und lernen, die handelnden Abläufe in der Vorstellung nach zu vollziehen, sollten viele unterschiedliche Verknüpfungen durchgespielt werden. Auch kann als Unterrichtsprojekt z.b. mit den Schülerinnen und Schülern ein Kartenspiel (Quartett, o.ä.), entworfen werden, wobei immer vier Karten ein gleiches Ergebnis (aber unterschiedliche arithmetische Operationen) zeigen. 2 Geometrie Lebensweltbezug - Bedeutsamkeit für die Schülerinnen und Schüler Die räumliche Geometrie besitzt fundamentale Bedeutung für die Entwicklung grundlegender Fähigkeiten beim Kind (räumliche Orientierung, räumliches Vorstellungsvermögen, räumliches Denken), die Grundlage des flexiblen Denkens sind. Diese Fähigkeiten sind später entscheidend für die Vorstellung von alltäglichen Situationen und Vorgängen und zur Bewältigung von komplexeren mathematischen Problemen (nicht nur geometrischen, sondern auch arithmetischen). 2.1 Zentrale Aufgabe 3 Teilaufgabe a) Wie viele Kugeln werden für diese Pyramiden gebraucht? a) a) Es werden Kugeln gebraucht. 2

3 Korrekte Lösung 5 F1 Fehler: 4 (die hintere Kugel übersehen) F2 F3 F4 Fehler: 6 (eine Kugel zuviel gezählt) Fehler: 8 (sichtbare Kugeln verdoppelt) Fehler: 12 (sichtbare Kugeln verdreifacht) VERA-Fähigkeitsniveau 1 (elementare bzw. grundlegende Fähigkeiten) Allgemein: Einfache Aufgaben mit grundlegenden Anforderungen werden hinreichend sicher gelöst. Geometrie: Kenntnisse grundlegender geometrischer Formen und Abbildungen Aufgaben zu Umfang, Fläche oder Volumen, die sich durch Abzählen lösen lassen, werden bewältigt. 2.2 KMK Bildungsstandards für den Primarbereich (Inhalt) Die Zuordnung zu den Standards wird hier auf der detailliertesten Ebene angegeben. Raum und Form sich im Raum orientieren über räumliches Vorstellungsvermögen verfügen räumliche Beziehungen erkennen, beschreiben und nutzen (Anordnungen, Wege, Pläne, Ansichten) geometrische Figuren erkennen, benennen und darstellen Modelle von Körpern und ebenen Figuren herstellen und untersuchen (Bauen, Legen, Zerlegen, Zusammenfügen, Ausschneiden, Falten...) Die übrigen Teilaufgaben der Zentralaufgabe 3 besitzen auch Bezüge zur Standard- Kategorie Muster und Strukturen, da die Teilaufgaben aufeinander aufbauen und die Anzahlen der Kugeln der Berechnung der Quadratzahlen folgen (in der zweiten Figur b) ist eine Pyramide mit 14, bei der dritten Figur c) eine mit 30 und bei der vierten Figur d) eine mit 55 Kugeln abgebildet): Muster und Strukturen Gesetzmäßigkeiten erkennen, beschreiben und darstellen Gesetzmäßigkeiten in geometrischen und arithmetischen Mustern (z.b. in Zahlenfolgen oder strukturierten Aufgabenfolgen) erkennen, beschreiben und fortsetzen 2.3 Didaktische und methodische Hinweise Die Entwicklung einer Raumvorstellung steht im Mittelpunkt von Aufgaben dieser Art. Bei der hier dargestellten Teilaufgabe a) ist ein Abzählen der Kugeln noch möglich (daher Fähigkeitsniveau 1). Bei den hier nicht dargestellten Teilaufgaben b) - d) ist ein tieferes Verständnis geometrischer Figuren erforderlich, um die Aufgaben lösen zu können, z.b. muss erkannt werden, dass sich die Figur aus einzelnen Ebenen ( Flächen ) zusammensetzt, die zunächst einzeln berechnet und dann addiert werden können (diese Aufgaben liegen auf den höheren Fähigkeitsniveaus). 3

4 2.4 Beispiele für Übungsaufgaben (bei aufgetretenen Schwächen in den Aufgaben) Da die Verwendung von Kugeln bei der Darstellung von Pyramiden eher ungewöhnlich ist, können zunächst Würfel für das Arbeiten verwendet werden. Dies hat den Vorteil, dass die Pyramiden von den Kindern nachgebaut werden können. Insbesondere Kinder, die bei der Lösung 4 statt 5 angegeben haben (d.h. nur die zweidimensional klar erkennbare Kugeln gezählt haben), sollten von einem Nachbau der Figuren profitieren und der Transfer von der zweidimensionalen Darstellung zur dreidimensionalen Betrachtung kann erleichtert werden. Die Zerlegung des dreidimensionalen Körpers in einzelne Flächen, hilft den Kindern, 1. den Körper gedanklich zu gliedern und 2. so den Berechnungsprozess (wie viele Würfel insgesamt?) für den gesamten Körper nachzuvollziehen. Die Flächen können mit Würfeln für die Kinder sichtbar übereinander gestapelt werden, so ist für die Kinder erkennbar, dass über die Berechnung der einzelnen Flächen das Volumen der Pyramide errechnet werden kann. Durch sukzessives Aufbauen der einzelnen Flächen der Pyramiden können die Gesetzmäßigkeiten der Quadratzahlen erarbeitet werden (beginnend mit der Grundfläche 1x1, 2x2, 3x3, usw.) Anregung: Zusätzlich kann die arithmetische Regel Punkt- vor Strichrechnung an diesem Beispiel erläutert werden (1x1) + (2x2) Sachrechnen Lebensweltbezug - Bedeutsamkeit für die Schülerinnen und Schüler Der Inhalt der Aufgabe orientiert sich an der Lebenswelt der Schüler. Die Frage Bei welcher Packung erhalte ich das meiste für mein Geld? interessiert uns alle, und der Sinn sollte auch mit den Schülern so früh wie möglich nachhaltig erarbeitet werden. Von daher ist es wünschenswert, dass entsprechende Aufgaben, die die Schüler rechnerisch bewältigen, gestellt werden. 3.1 Zentrale Aufgabe 10 Im Supermarkt gibt es verschieden große Gläser mit Schokoladencreme. Welches Glas ist am preiswertesten? 400 g 1, g 2, g 8 A B C # Glas A # Glas B # Glas C # A und B sind gleich preiswert. # B und C sind gleich preiswert. 4

5 Korrekte Lösung Glas B F1 Fehler: Glas A (die Menge nicht in Bezug zum Preis gesetzt, das billigste angegeben) F2 F3 F4 Fehler: Glas C (die Menge nicht in Bezug zum Preis gesetzt, das mit dem meisten Inhalt angegeben) Fehler: A und B sind gleich preiswert Fehler: B und C sind gleich preiswert VERA-Fähigkeitsniveau 2 (erweiterte Fähigkeiten) Allgemein: Aufgaben mittleren Anforderungsniveaus werden hinreichend sicher gelöst. Sachrechnen: Entwickelte Fähigkeiten im Umgang und Rechnen mit Größen Im Umgang mit vertrauten Maßeinheiten (Längen-, Zeit- Gewichtsund Geldeinheiten) können Aufgaben bis in den Tausender- Zahlenraum gelöst werden. Lösungen von authentischen Aufgaben, die Umrechnungen von Maßeinheiten erfordern, gelingen. 3.2 KMK Bildungsstandards für den Primarbereich (Inhalt) Die Zuordnung zu den Standards wird hier auf der detailliertesten Ebene angegeben. Muster und Strukturen funktionale Beziehungen in Sachsituationen erkennen, beschreiben und darstellen funktionale Beziehungen in Sachsituationen erkennen, sprachlich beschreiben (z.b. Menge - Preis) und entsprechende Aufgaben lösen Größen und Messen Größenvorstellungen besitzen Standardeinheiten aus den Bereichen Geldwerte, Längen, Zeitspannen, Gewichte und Rauminhalte kennen 3.3 Didaktische und methodische Hinweise Diese Aufgabe setzt voraus, dass die Schüler gelernt haben, Umrechnungsaufgaben auch im Dezimalbereich (einfache Proportionalitäten) durchzuführen. Andernfalls erfordert diese Aufgabe ein hohes Maß an Zahlenverständnis und Transferfähigkeit. Durch das Ankreuzen - und nicht exakte Ausrechnen - lassen sich auch Näherungswerte ermitteln, die für die richtige Beantwortung hilfreich sind (Überschlagsrechnungen). Der Aufgabentyp erscheint ebenfalls in Schulbüchern. Es werden z.b. Ausflugsziele in preislicher Hinsicht für Gruppen und Klassen verglichen, oder Essenswünsche oder vorräte von Familienmitgliedern. Die Aufgabe verlangt rechnerische Grundkenntnisse und auch sichere Fertigkeiten im Kopfrechnen: Division, Umwandlung von Euro in Cent, Suche nach der Vergleichsmenge (100 g), Überschlag. 5

6 Sie verlangt zudem: die Fähigkeit, sich vom optischen Bild nicht täuschen zu lassen. die Fähigkeit, sich nicht von den Zahldarstellungen ablenken zu lassen (wie insbesondere beim o.g. Fehler 1 (F1) zu vermuten ist. Hier wird das billigste, nicht das preiswerteste Glas angegeben). evtl. tabellarische Hilfsmittel einzusetzen. kreative Rechenwege zu verfolgen und sich trotzdem nicht zu verzetteln, d.h. nach einer Reflexionsphase, eine Entscheidung zu treffen. 3.4 Beispiele für Übungsaufgaben (bei aufgetretenen Schwächen in den Aufgaben) Kindern sollte im Unterricht ausreichend Zeit gegeben werden, sich auch einmal mit Aufgaben zu beschäftigen, die Kreativität, Flexibilität und Transferdenken verlangen. Diese oder eine ähnliche Aufgabe würde sich dazu eignen. Dabei wäre es sicherlich zu begrüßen, wenn folgende Aspekte beachtet werden: Schüler arbeiten in Dreiergruppen oder mit einem Partner (zwecks Kommunikation, Argumentation, Probleme, Fehler und Lösungswege zu verbalisieren, Umwege zu gehen, Strategien zu entwickeln). Es sollten konkrete Gegenstände vorhanden sein (z.b. verschiedene Gummibärchen-, Nudelpackungen). Materialien zur handelnden Erarbeitung sollten zur Verfügung stehen z.b. Spielgeld und Holzwürfel oder Messbecher, Sand. Die Schülerinnen und Schüler sollten Protokolle vom Lösungsweg führen. Konkreter Vorschlag für ein Unterrichtsprojekt: Damit Schüler sich mit dem Problem des preiswerten Einkaufs beschäftigen, erscheint es sinnvoll und überlegenswert in Form eines Unterrichtsprojektes (mit Unterstützung von Schülereltern) z.b. Weihnachtsbasteln, bäckerei oder feier, etc. die Schüler den Einkauf durchführen zu lassen: Es wird bestimmt, welche Mengen jeweils gebraucht werden. Jede Gruppe erhält den Auftrag in einem bestimmten Geschäft die Preise bestimmter Lebensmittel festzustellen und zu notieren, unter der der Maßgabe, so preiswert wie möglich. Packungsgrößen müssen berücksichtigt werden. Die Preise der verschiedenen Geschäfte werden verglichen. Es wird zusammen erarbeitet, in welchen Geschäft nun die einzelnen Zutaten, auch bezüglich der Mengen, am günstigsten eingekauft werden können. 6

7 Weitere Überlegungen und Fragestellungen zur Unterrichtsgestaltung in Mathematik, ausgehend von den festgestellten Defiziten durch die Vergleichsarbeit und unter Berücksichtigung der Standards Welchen Inhaltsbereichen habe ich bisher noch nicht ausreichend Beachtung geschenkt (z.b. Geometrie, Muster und Strukturen, Sachaufgaben)? In welchem Inhaltsbereich werden mir durch VERA größere Defizite aufgezeigt? Welche Wege können zur Schließung von evtl. vorhandenen Lücken führen? Haben Kollegen besondere Erfahrungen in bestimmten Inhaltsgebieten, die ich nutzen kann? Welche Medien könnten in der Erarbeitungsphase bessere Hilfen geben? Wie kann ich durch die Veränderung meiner Unterrichtsgestaltung die mathematischen Kompetenzen erhöhen? Muss ich der differenzierten Förderung mehr Raum geben? Wenn ja, wie mache ich das? Ergibt die Fehleranalyse Aussagen zu einer notwendigen Prozessveränderung? Formalisiere ich eigene Notationsformen nicht zu vorschnell? Wie kann ich durch die Einbeziehung anspruchsvoller Aufgaben das Anforderungsniveau erhöhen? - Problemaufgaben - Knobelaufgaben - Anwendungen - Projektaufträge Wie führe ich Kinder an diese Aufgaben heran? Wie gestalte ich anregende Lernumgebungen, wie präsentiere ich Aufgaben, welche Arbeitsmittel und -hilfen stelle ich bereit? Haben Kinder Freiräume für Kreativität, Zeit zum Probieren, zum Entdecken? Haben Kinder Möglichkeit zur Kommunikation, zur Präsentation und zur Selbsteinschätzung? Werden sie von mir angehalten, Lösungswege vorzutragen, Vorgehensweisen zu begründen? Beachte ich psychologische Gesetzmäßigkeiten in meinem Unterricht? (z.b. bei Übungs- und Einprägungsprozessen, Wechsel von Anund Entspannung...) Entwickele ich auch im Mathematikunterricht Lesekompetenz (Texte, Fachbegriffe, Tabellen, Diagramme, Schaubilder...)? 7