DNA Implementierung einer Turingmaschine

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1 Zum Seminar Unkonventionelle Computer die Ausarbeitung zum Thema Biocomputer mit Schwerpunkt DNA Implementierung einer Turingmaschine von Gerald Winter Technische Universität Braunschweig Juli 2001

2 Inhaltsverzeichnis 1 Überblick Biocomputer Beispiel Amorphe Computer Beispiel DNA Computer Beispiel Experimente mit Blutegel Neuronen Beispiel Programmierung von Zellen DNA Turingmaschine Grundlagen zur DNA Grundlagen zur Turingmaschine Klasse IIS Restriktions Endonucleasen Grundlagen Operationen durch Klasse IIS Restriktions Endonucleasen Umsetzung einer Turingmaschine auf DNA Kodierung der Bandsymbole Kodierung des Schreib- / Lesekopfes Kodierung der Zustände Kodierung der Überführungsfunktionen Ablauf eines Turingschrittes Verwendbare DNA Sequenzen Eine Universelle 4 x 7 Turingmaschine Auswertung Abschließende Bemerkungen Referenzen

3 1 Überblick Biocomputer Bei der Suche nach dem Biocomputer im Internet stellt man schnell fest, dass eine Vielzahl von Vorstellungen zu diesem Thema existieren. Daher erscheint folgende Definition zum Begriff Biocomputer sinnvoll: Biocomputer = Computer using biological processes, siehe [1] Auch das menschliche Gehirn wird in einigen Dokumenten aufgrund seiner enormen Leistung als Biocomputer bezeichnet. Einige typische Forschungsbeispiele sollen hier kurz skizziert werden, bevor auf das Teilgebiet der Implementierung einer Turingmaschine auf DNA Basis eingegangen wird. 1.1 Beispiel Amorphe Computer Amorphe Computer Systeme bestehen aus irregulär platzierten, asynchron arbeitenden, lokal interagierenden, programmierbaren Partikeln. Diese Partikel können biologische Zellen sein. Auf Grundlage sogenannter Growing Points, die beispielsweise durch Ausströmen von Botenstoffen realisiert werden, können sich die Zellen differenzieren und komplexe Strukturen bilden. Das MIT Artificial Intelligence Laboratory beschäftigt sich unter anderem besonders mit diesem Thema, siehe [2]. Kernpunkte sind die extrem hohe Ausfallsicherheit, die einfache Vervielfältigungsmöglichkeit programmierter Abbildung 1: Simulation eines Amorphen Computers, Quelle [2] Zellen, das hohe Speicherpotenzial und die geringe Erhaltungs- bzw. Betriebskosten. Über Amorphe Computer wird im Rahmen dieses Seminars noch referiert werden. 1.2 Beispiel DNA Computer Mit DNA Molekülen lassen sich einige kombinatorische Aufgaben lösen, wie bereits im Rahmen dieses Seminars gezeigt wurde. Ebenfalls sind Bestrebungen im Gange, einen Universellen, also vielseitig einsetzbare DNA Computer zu entwickeln. Der Schwerpunkt dieses Vortrages ist diesem Aspekt zuzuordnen. 1.3 Beispiel Experimente mit Blutegel Neuronen Professor Ditto, Universität Georgia Tech, führte Experimente mit Blutegel-Neuronen durch, siehe [3]. Durch selbständige Verknüpfung der Nervenzellen war es bislang möglich, einfache Rechnungen wie fünf plus drei durchzuführen. Ziel ist die Erschaffung eines flexiblen Computers, welcher selbständig einen Weg sucht, Probleme zu lösen. Abbildung 2: Sticky End eines DNA Stranges Abbildung 3: Experiment mit Blutegel-Neuronen, Quelle [3] 3

4 1.4 Beispiel Programmierung von Zellen Ron Weiss, ebenfalls Mitarbeiter im MIT Artificial Intelligence Laboratory, schlug eine Möglichkeit der Programmierung von Zellen vor, siehe [4]. Hierbei werden in einer Zelle mehrere Inverter implementiert, die durch ihr Zusammenwirken komplexe Gatter erzeugen können. Die Signale werden dann durch spezielle Proteine realisiert. Abbildung 4: Gatter durch Inverter erzeugt, Quelle [4] 2 DNA Turingmaschine Zu Beginn werden die Grundlagen der DNA und Turingmaschine wiederholt, und dann auf die mögliche Realisierung einer DNA Turingmaschine nach Paul W. K. Rothemund A DNA and restriction enzyme implementation of Turing Machines eingegangen, siehe [5]. Anschließend folgen einige Angaben bezüglich der tatsächlichen Durchführbarkeit. 2.1 Grundlagen zur DNA Das Rückrad der DNA besteht aus zwei Bändern, bezeichnet als Zucker-Phosphat Teil, welche durch Basenpaare verbunden sind. Dabei existieren nur die Basenkombinationen Adenin Thymin und Cytosin Guanin. Man spricht von einem Plasmid, wenn das DNA Molekül als Ring vorliegt. Mit Hilfe von Enzymen gibt es zahlreiche Möglichkeiten, die DNA zu manipulieren. Für das vorgestellte Modell der Turingmaschine spielen beispielsweise eine bestimmte Klasse von Restriktionsenzymen eine große Rolle, wie später noch genauer gezeigt wird. Abbildung 5: Skizzen der DNA, Quelle [6] 2.2 Grundlagen zur Turingmaschine Es existieren verschiedene Definitionen einer Turingmaschine, eine lässt sich formal als Septtupel darstellen: TM = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, B, F), q 0 Q, B Γ, Σ Γ, F Q, δ: (Q x Γ) P(Q x Γ x {L, R}) Q = endliche Menge der Zustände, Σ =Alphabet, Γ = Bandalphabet, δ = endliche Menge von Übergängen, q 0 = Startzustand, B = Blanksymbol, F = Menge finaler Zustände Übersetzt ist dies ein Gerät, dass ein Band als Speichermedium und einen Schreib-/ Lesekopf besitzt. In jedem Turingschritt liest der Kopf ein Symbol und je nach Zustand überschreibt der Kopf dieses Symbol, macht eine Bewegung nach Links oder Rechts und ändert seinen Zustand. Das Verhalten wird in einer Überführungstabelle definiert. Die Churchsche These besagt, dass durch Turingmaschinen jedes berechenbare Problem auch berechnet werden kann. Ebenfalls existieren sogenannte Universelle Turingmaschinen, welche als Eingabe eine andere (binär kodierte) Turingmaschine erhalten, die dann simuliert wird. Eine derartige Universelle Turinmaschine wird später noch vorgestellt. 4

5 2.3 Klasse IIS Restriktions Endonucleasen Grundlagen Restriktions Endonucleasen sind Enzyme, die einen DNA Strang zerschneiden können. Dies machen sie in bestimmter Entfernung einer speziellen Nucleotid-Sequenz, welche daher als restriction site oder Erkennungsregion bezeichnet wird. Abbildung 6: Skizze der Funktion einer Klasse IIS Restriktions Endonuclease, Quelle: [5] Der Schnitt erfolgt nicht in einer geraden Linie, sondern erzeugt immer einen Überhang bestimmter Länge. Dieser Überhang wird als Sticky End bezeichnet, da er sich mit einem komplementären Überhang leicht wieder verbinden kann. Mit komplementär werden Sticky Ends bezeichnet, die durch die Reihenfolge Ihrer Basen genau zusammenpassen und beim Zusammenfügen wieder korrekte Basenpaare bilden, siehe Abbildung 2. Das Zusammenfügen zweier DNA Stränge kann durch das Enzym Ligase veranlasst werden. In der oberen Grafik wird ein Beispiel dargestellt, wobei N {A, C, T, G}. Dadurch ergibt sich der große Vorteil, durch nur ein Enzym dieser Art verschiedene Sticky Ends erzeugen zu können, je nach dem, für was die N gerade stehen Operationen durch Klasse IIS Restriktions Endonucleasen Abbildung 7: Einfügen eines ausgerichteten DNA Fragments, Quelle: [5] Durch die vorgestellten Enzyme ergeben sich mehrere Operationen. Diese werden an Plasmiden durchgeführt. Die obere Abbildung verdeutlicht das Auftrennen des Plasmids durch das Klasse IIS Restriktions Enzym Fok I, wodurch die erwähnten Sticky Ends entstehen. Ein gerichtetes DNA Fragment kann nun hinzugefügt werden, sofern es über entsprechende Sticky Ends verfügt. Ligase verbindet die Moleküle wieder zu einem Plasmid. Abbildung 8: Löschen eines Fragments, Quelle: [5] Die gleichen Eigenschaften können auch zum Löschen eines Fragments benutzt werden. Hier geben zwei Erkennungsregionen die Schnittstellen an. 5

6 Abbildung 9: Ersetzen eines Fragments, Quelle: [5] In diesem Beispiel wird das DNA Fragment C mit D ausgetauscht. Beachten Sie, dass in diesem Fall nach dem Schnitt durch Fok I die Sticky Ends (des vorherigen Plasmids) nicht selbst-komplementär sind und sich so nicht verbinden können. Erst das Hinzufügen des Fragments D mit entsprechenden Enden lässt mit Ligase wieder ein Plasmid entstehen. Abbildung 10: Löschen eines Fragments mit Selbtentfernung, Quelle: [5] Es können sich auch die Erkennungsregionen selbst mitlöschen, wie oben skizziert wird. Das Plasmid wird wiederhergestellt, ohne Erkennungsregionen zu besitzen. Abbildung 11: Ersetzen eines ausgerichteten DNA Fragments, Quelle: [5] Bei dieser Operation handelt es sich um eine Kombination der bereits vorgestellten zweiten und dritten Operation. 6 Abbildung 12: Bewegung einer Sequenz durch einen DNA Strang, Quelle: [5]

7 Die letzte Darstellung zeigt die Möglichkeit, eine Kopf-Sequenz durch einen DNA Strang laufen zu lassen, und es dabei zu modifizieren. Das Enzym entfernt zuerst diese Kopf- Sequenz, da es entsprechende Erkennungsregionen besitzt, samt dem zu modifizierenden DNA Stück. Das neue DNA Fragment beinhaltet wieder eine Kopfsequenz und die modifizierten DNA Sequenz. Die Trennbereiche werden wieder so gewählt, dass sich das Plasmid nicht ohne Fragment verbinden kann. Dies ähnelt bereits der Kopfbewegung einer Turingmaschine. 2.4 Umsetzung einer Turingmaschine auf DNA In Folgendem wird beschrieben, wie die bereits erwähnten Verfahren dazu genutzt werden können, eine Turingmaschine zu erstellen Kodierung der Bandsymbole Abbildung 13: Kodierung der Bandsymbole, Quelle: [5] Ein Bandsymbol besteht aus zwei sich unterscheidenden Hälften (A). Jedes Symbol wird von zwei kurzen Sequenzen umgeben, den sogenannten Invarianten. Da diese nicht identisch sind, werden sie mit den Buchstaben L, wie Links, und R, wie Rechts bezeichnet (B). Das Band der Turingmaschine wird durch Aneinanderreihung derartiger Symbole erzeugt (C) Kodierung des Schreib- / Lesekopfes Abbildung 14: Kodierungen eines Kopfes mit aktuellem Symbol Schwarz, Quelle: [5] Wie schon in der letzten Operation der Klasse IIS Restriktions Enzyme gezeigt wurde, ist der Kopf der Turingmaschine im Band realisiert. Zwei Rücken an Rücken stehende asymmetrische Erkennungsregionen repräsentieren den Kopf. Der State Cutter, in der Abbildung 14 nach dem Zustand q1 benannt, zeigt auf das aktuelle Symbol. Die zweite Erkennungsregion Inv verweist immer auf eine Invariante. Die beiden in Abbildung 14 gezeigten Beispiele stellen die gleiche Situation dar, wobei jedoch der Kopf mal rechts, mal links vom aktuellen Symbol liegt. Erklärbar ist dies durch die letzte Bewegung des Kopfes: liegt der Kopf rechts vom aktuellen Symbol, war die letzte Bewegung des Kopfes nach links. Gleiches gilt entsprechend auch umgekehrt. 7

8 2.4.3 Kodierung der Zustände Abbildung 15: Kodierungen verschiedener Zustände durch Variierung der Länge, Quelle: [5] Die Länge des Raumes zwischen der Erkennungsregion des State Cutters (Fok I) und dem aktuellen Symbol bestimmt den Zustand der Turingmaschine. W sei hier die Hälfte eines Symbols. Durch Variierung der Länge erzeugt der State Cutter Fok I sich voneinander unterscheidende Sticky Ends. Eine passende Auswahl der DNA Sequenzen für die Symbole lässt so für jede Zustand-Symbol Kombination einmalige Sticky Ends erzeugen, wie in Abbildung 16 deutlich werden sollte. Abbildung 16: Für jede Zustand-Symbol Kombination gibt es ein einmaliges Sticky End, Quelle: [5] Kodierung der Überführungsfunktionen Zur Kodierung der Überführungsfunktionen verwendet man Oligonukleotide (kurze DNA- Sequenzen), welche durch die oben beschriebenen eindeutigen Sticky Ends Anwendung finden. Grundsätzlich lassen sich diese Oligonukleotide in fünf Bereiche unterteilen: 8

9 Abbildung 17: fünf Bereiche eines Überführungsoligonukleotids, Quelle: [5] - Coh ist das spezifische Gegenstück eines Sticky Ends einer Zustands-Symbol Kombination. Somit wird dieses Oligonukleotid nur bei entsprechendem Zustand und Symbol angewendet. Coh wird durch die Erkennungsregion Em = End Marker erzeugt. Dies ermöglicht ein Restriktions - Enzym, welches das gleiche Schnittmuster wie der State Cutter anwendet, aber eine andere Erkennungsregion besitzt. Dies ist notwendig, um schrittweise Reaktionen stattfinden zu lassen. - Der neue Kopf wird wieder durch die State Cutter und Inv Erkennungsregionen definiert. - Res bezeichnet das neue Symbol, das durch Anwenden dieser Regel entstehen soll, umrandet mit den bereits erläuterten Invarianten L und R. - die Erkennungsregionen X stehen für Symbol Excision und sind für das Löschen des alten Symbols verantwortlich. - Cap ist ebenfalls eine Erkennungsregion, welches das Gegenstück für eine geteilte Invariante erzeugt Die Funktion der fünf geschilderten Bereiche wird im nächsten Abschnitt an einem Beispiel veranschaulicht. Abbildung 18: Überführungsoligonukleotid für den Haltezustand, Quelle: [5] Die Ausnahme dieser Konstruktion ist die Haltregel, welche eine spezielle Haltesequenz besitzt. Diese dient unter anderem zur Selektion beendeter Berechungen. Da es für eine Situation zwei verschiedene Kopfpositionen (siehe Abbildung 14) geben kann, müssen zwei Oligonukleotide pro Regel kodiert werden. Berücksichtig man die zukünftige Bewegung des Kopfes, sind zwei von den folgenden Formen zu wählen: Abbildung 19: Formen der Überführungsoligonukleotide, Quelle: [5] 9

10 2.4.5 Ablauf eines Turingschrittes Abbildung 20: Ablauf eines Turing - Schrittes, Quelle: [5] Die obige Skizze soll veranschaulichen, wie nun die DNA Turingmaschine arbeitet. - Schritt 0 ist die Ausgangssituation, die bereits bekannt sein sollte. - Schritt 1 zeigt die Entfernung des Schreib- / Lesekopfes durch die Anwendung der in den Erkennungsregionen angegebenen Enzyme. Beachten Sie dabei, dass sich zwei Sticky Ends bilden, wobei das rechte durch Spaltung eines Symbols entsteht, und somit nur zu einem Überführungsoligonukleotid passt. - In Schritt 2 wurden sämtliche Oligonukleotide hinzugegeben, und die einzig passende Überführungsregel mit Ligase an das vorher entstandene Sticky End des Symbols gebunden. Da das Sticky End der gespaltenen Invariante nicht einzigartig ist, schützt die Cap Sequenz eines Oligonukleotids davor, dass sich zuvor falsche Moleküle an die Invariante binden. - Erst in Schritt 3 erzeugt Cap das passende Gegenstück zur Invariante - In Schritt 4 wird das Plasmid durch Ligase wiederhergestellt, allerding existiert noch das alte Symbol und die X Erkennungsregionen. - Schritt 5 löscht das alte Symbol und erzeugt komplementäre Enden der Invariante R. - Durch Ligase wird in Schritt 6 das Plasmid wiederhergestellt und die neue Bandsituation liegt vor. Es ist zu beachten, dass dies keine One-Pot Reaktion ist. Jeder Schritt wird getrennt durchgeführt. Die Reihenfolge der Hinzugabe von Enzyme und Oligonukleotide spielt eine wichtige Rolle, so muss beispielsweise vermieden werden, dass sich Oligonukleotide vorzeitig an die Invariante binden, die nicht zum Sticky End des geteilten Symbols passen. 10

11 2.4.6 Verwendbare DNA Sequenzen Abbildung 21: Klasse IIS Restriktions-Endonucleotide, Quelle: [5] Abbildung 22: Verwendbare Symbole, Quelle: [5] Da bislang die Symbole und Erkennungsregionen schematisch dargestellt wurden, sind hier die tatsächlichen Sequenzen aufgelistet. Erkennbar ist das gleiche Schnittmuster von Fok I und dem End Maker Bbv I. Sie unterscheiden sich in ihrer Erkennungsregion, was für die Steuerung der Abfolge der Reaktionen relevant ist. Ebenfalls existiert hier noch ein zusätzlicher State Cutter Sta, welcher im Umgang mit mehr als zwei Symbolen Anwendung findet, um noch mehr ungleiche Sticky Ends zu erschaffen. Es sei erwähnt, dass alle diese Enzyme kommerziell verfügbar, allerdings sehr teuer sind. 2.5 Eine Universelle 4 x 7 Turingmaschine Abbildung 21: Überführungstabelle der UTM von Minsky, Quelle: [5] Wie schon zu Beginn erwähnt, bekommt eine Universelle Turingmaschine als Eingabe eine weitere Turingmaschine, welche zu simulieren ist. Marvin Minsky hat eine 4 x 7 Universelle Turingmaschine entwickelt, die dafür 7 Zustände und 4 Symbole benötigt. Zur Realisierung der 4 Symbole wird ein weiterer State Cutter Sta (siehe oben) verwendet. 56 Überführungsoligonukleotide (4x7x2) kodieren die Überführungsfunktionen. Bislang wurde die Funktion der Universellen Turingmaschine auf DNA Basis nur theoretisch bewiesen. 11

12 2.6 Auswertung Zur besseren Einschätzung des vorgestellten Modells sind folgend einige nennenswerte Aspekte aufgelistet. - Verschiedene Fehler können während den beschriebenen Reaktionen auftreten, beispielsweise das Verbinden zweier Plasmide, fehlerhafte Ligationen oder fehlgeschlagene Restriktionen. Derartige Fehler können mit zusätzlichem Aufwand selektiert bzw. minimiert werden. - Die verwendeten Enzyme sind meist sehr teuer, und - Es handelt sich um keine One Pot Reaktion, sämtliche Schritte sind getrennt durchzuführen. - Um das Verschmelzen mehrerer DNA Bänder untereinander zu minimieren, ist die Wasserkonzentration und die Länge der DNA entscheident. Nach Schätzungen hat die größte sinnvolle DNA eine Länge von 4,7 Mio. Nukleotide, was bei 4 Symbolen 80 KB Speicher pro Band entspricht. - Eine Restriktion benötigt 1h, eine Ligation 30 min. Daraus folgt, dass ein Turing-Schritt unter Solid Support 4,5h benötigt. - Abhängig von der Anzahl der bekannten Klasse IIS Restriktions Endonucleasen wird eine Realisierung einer Turingmaschine mit einem Symbol Zustand Produkt von 60 möglich gehalten. Zur Verdeutlichung: Die Universelle Turingmaschine von Marvin hat ein Symbol Zustand Produkt von Leider sind solche Universellen Turingmaschinen extrem langsam, da die Laufzeit exponentiell mit der Länge des Eingabebandes wächst. Eine 10x6 Universelle Turingmaschine braucht Schritte, um einen Schritt einer 2x2 Turingmaschine mit 6 Symbolen zu simulieren. Eventuell benötigen für spezielle Anwendung konzipierte Turingmaschinen nur kleine polynomiale Zeit in Bezug zur Eingabegröße, vielleicht sogar lineare Zeit. Vorstellbar wären beispielsweise Selektionsalgorithmen. Daher ließen sich evtl. derartige Turingmaschinen als Präprozessoren für andere DNA Computer vorstellen. 3 Abschließende Bemerkungen Wie zu Beginn gezeigt wurde, existieren verschiedene Forschungen unter dem Überbegriff Biocomputer, meist mit dem Ziel, heutige Rechnerstrukturen zu ersetzen. Wie im Vortrag Die Grenzen von Moores Law gezeigt werden sollte, gehen einige Forscher davon aus, dass die übliche Technik in ca. 15 Jahren ihre physikalischen Grenzen erreichen wird. Es ist unwahrscheinlich, dass eine Umsetzung des hier vorgestellte Modells irgendwann die heutigen Homecomputer ersetzen wird. Allerdings sind alternative Bestrebungen im Gange, welche sich nicht an dem Turing Model, sondern am sogenannten Lambda Kalkül orientieren. Hierbei handelt es sich um ein rein funktionales zustandsloses Berechnungsmodell, das aber ebenfalls alle berechenbare Probleme berechnen kann. Ralf Zimmer, siehe [7], weist auf die bessere Abbildungsmöglichkeit des Lambda- Kalküls auf DNA-Technologie hin und sieht für derartige Universelle DNA Computer eine größere Chance in der Zukunft. Abbildung 22: Berechnungsmodelle und Realisierung, Quelle: [7] 12

13 4 Referenzen [1] Biocomputing - Computing using biological processes [2] Amorphous Computing Home Page [3] BBC News: Biological computer born [4] Ron Weiss Programming Colonies of Biological Cells [5] Paul W. K. Rothemund A DNA and restriction enzyme implementation of Turing Machines [6] Rolf Knippers Molekulare Genetik Georg Thieme Verlag Stuttgart [7] Ralf Zimmer Ein universeller DNA-Computer Vom Chip zu den Erbmolekülen html/sites/06zimmer.html [8] M. Godisch DNA-Implementierung von Turing-Maschinen 13