PROTOKOLL ZUM ANFÄNGERPRAKTIKUM PHYSIK. Elektromagnetischer Schwingkreis. Sebastian Finkel Sebastian Wilken

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1 PROTOKOLL ZUM ANFÄNGERPRAKTIKUM PHYSIK Elektromagnetischer Schwingkreis Sebastian Finkel Sebastian Wilken Versuchsdurchführung:. Mai 6

2 . Inhalt. Einleitung. Theoretischer Teil.. Idealer L-Schwingkreis.. Realer RL-Schwingkreis.3. Serien-Schwingkreis.4. Erzwungene elektromagnetische Schwingungen im Serienkreis mit periodischer Anregung 3. Praktischer Teil 3.. Eigenfrequenz und Dämpfung im Serienkreis 3.. Resonanzverhalten des Serienkreises 4. Anhang 4.. Literatur 4.. Abbildungsnachweis 5. Anlage (Messwertabellen)

3 . Einleitung Wir wollen in diesem Versuch analog zum harmonischen Oszillator aus Feder und Masse nun den elektrischen Schwingkreis betrachten. Wie wird schon im letzten Semester feststellen konnten, gibt es so etwas wie einen idealen, ungedämpften Oszillator nicht, dies gilt auch für unseren elektrischen Schwingkreis. In unserem Fall führen ohmsche Widerstände der Bauteile zur Dämpfung unseres idealen Systems aus Kondensator und Spule. Weiterhin greifen wir durch unsere Messverfahren viel stärker in das System ein, so dass wir in der Praxis recht schnell komplexe Netzwerke erhalten, deren Analyse recht aufwändig ist. Aus diesem Grund betrachten wir nun zunächst einmal einen idealen L-Schwingkreis und werden uns schrittweise dem System nähern.. Theoretischer Teil.. Idealer L-Schwingkreis Wir sehen in Abbildung eine Schaltung mit einem Kondensator der Kapazität, der zunächst über eine Spannungsquelle mit der Betriebsspannung U aufgeladen wird. Danach wird der Schalter S in Position gebracht, wodurch der Kondensator dann über die Spule mit der Induktivität L entladen wird. Abb. : Idealer L-Schwingkreis Sei die Ladung des Kondensator nach der Aufladung gegeben durch: () Q = U So ist in ihm die elektrische Feldstärker E e gespeichert, die sich ergibt aus:

4 () Ee = U Ab dem Zeitpunkt t, wenn der Schalter in Position gebracht wird, fließt der Entladestrom (3) I ( t) = dq dt Und für die momentane Spannung am Kondensator ergibt sich dann: (4) Q( t) U ( t) = Damit lässt sich der momentane Entladestrom auch schreiben als: (5) du I( t) = dt Ist der Kondensator nun völlig entladen, ist die elektrischee Feldenergie E e = und sämtliche Energie durch die Spule in magnetische Feldenergie E m umgewandelt: (6) E ( ) m t = LI ( t) Zum Zeitpunkt t sei E e = und dadurch E m maximal. Nun fließt der maximale Strom I = I und der Kondensator beginnt sich nun mit umgekehrter Polarität wieder aufzuladen. Zum Zeitpunkt t ist dieser Vorgang dann abgeschlossen. Vergleichen wir unseren Energien nun mit unserem mechanischen Fall, so entspräche E e der potenziellen Energie E pot und E m der kinetische Energie E kin (vgl. Frage ). Der Kondensator lädt und entlädt sich, wie wir gesehen haben, periodisch in einem Zeitintervall T. So fällt also eine Wechselspannung mit genau dieser Periode über ihm ab. Genau dies kann man zeigen, wenn man sich jeweils den Spannungsabfall über Spule und Kondensator überlegt und erkennt, dass diese zu jedem Zeitpunkt gleich sein müssen: Q( t) di (7) L = dt mit: U L ( t) = di L dt 3

5 Und somit gilt: d U ( t) (8) + U ( t) = dt L Wir lösen nun diese Differentialgleichung und stellen sie nach U um und erhalten eine Beschreibung für die harmonische Schwingung: (9) t) = U cos( ω t + ) U ( ϕ Wobei U die Amplitude, φ die Anfangsphase und ω die Eigenfrequenz ist, für die gilt: () ω = L Gleichung (9) beschreibt also nun unsere ungedämpfte Schwingung, die nach einmaliger Anregung unendlich lange weiterschwingen würde. In der Realität finden wir aber nur gedämpfte Systeme vor. Wenn wir an dieser Stelle erneut die Parallele zur mechanischen Schwingung suchen, so ergibt sich für Gleichung (8) und (9): d F( t) () m K + D F( t) = und F( t) = F sin( ) ω + ϕ dt mit F = Kraft, m K = Masse und D = Federkonstante (vgl. Frage )... Realer RL-Schwingkreis Wir sehen nun in Abbildung eine Schaltung mit so genannten Ersatzschaltbildern, die dem realen Schwingkreis schon wesentlich näher kommt. Am Kondensator haben wir so den Widerstand R, der sich hier zusammensetzt aus dem Isolationswiderstand R und dem dazu parallelen Eingangwiderstand R E des angelegten Messgerätes, so dass gilt: () R = + R R E 4

6 Abb. : Realer RL-Schwingkreis Der Widerstand R ergibt sich dann durch einen in Serie geschalteten Lastwiderstand R und dem Widerstand der Spule R L : (3) R = R + L R Dies waren jedoch nur einfache Beispiele, in der Realität kann die Situation durch Fremdkapazitäten und Fremdinduktivitäten oder noch weiteren Widerständen verkompliziert werden. Wir wollen dies jedoch außer Acht lassen, da ihr Einfluss hier zu klein ist und betrachten nun unsere Schaltung zum Zeitpunkt t =, in der wir den Schalter in Position bringen. Dann erhalten wir für die beiden Maschen jeweils: (4) U = U R und U R = U L + U R Abb. 3: Realer RL-Schwingkreis Fassen wir beide Gleichungen zusammen, ergibt sich: Außerdem erhalten wir mit der Knotenregel: (5) U U U L = R 5

7 (6) I = I + I Mit (7) I U R = =, R U R I du U = und dt R di = L dt U L erhalten wir dann aus Gleichung (5): (8) di U L RI dt = Nutzen wir nochmal die Ergebnisse aus Gleichung (7) sieht unsere Gleichung dann folgendermaßen aus: d U du (9) + a + bu dt dt Wobei a und b gegeben sind durch: () R a : = + R L und R = + b : L R Gleichung (9) ist wieder eine Differentialgleichung die wir lösen können und dann für die gedämpfe harmonischer Schwingung folgendes Ergebnis erhalten: α t () U ( t) = U e sin( ωt + ϕ) Mit der Dämpfungskonstanten a R () α = = + R L Und der Eigenkreisfrequenz (3) ω = b a R 4 R = ω + + R R L 6

8 Wir wollen im folgenden Abschnitt Gleichung () für einen wichtigen Spezialfall betrachten..3. Serien-Schwingkreis Wir untersuchen nun das Verhalten eines Schwinkreises für R, so dass dieser zu vernachlässigen ist, was jedoch nicht für R gilt, da wir hier gezielt einen Lastwiderstand einsetzen. Wir erhalten dann ein Schaltbild wie in Abbildung 4. Abb. 4: Gleichwertige Darstellungen eines Serien-Schwingkreises Die Dämpfungskonstante und die Kreisfrequenz vereinfachen sich dann zu: (4) α = R L Und der Eigenkreisfrequenz (5) ω = ω R 4 L Weiterhin gilt für die Halbwertszeit: (6) T / L = ln R 7

9 .4. Erzwungene elektromagnetische Schwingungen im Serienkreis mit periodischer Anregung Bisher haben wir uns nur mit einmailger Anregung unseres Schwingkreises beschäftigt. Nun wollen wir genau betrachten, was passiert, wenn wir den Schwingkreis periodisch anregen. In Abbildung 5 ist unser Serienschwinkreis zu sehen, der durch eine periodische Wechselspannung angeregt wird: Mit der Maschenregel erhalten wir: (7) U t) = U sin( ω t) ( d Q( t) R dq( t) (8) + + Q( t) = U sin( ωt) dt L dt L L Für unsere mechanischen Fall aus dem letzen Semester sah unsere Funktion dann folgendermaßen aus: d x b dx D (9) + + x = F sin( ωt) dt m dt m m Mit m = Masse, D = Federkonstante, x = Auslenkung, F = Kraft und b = Reibungskoeffiziet (vgl. Frage 3). Vergleichen wir die Mechanischen Größen mit unseren elektronischen, ergibt sich: x = Q, b = R F = U, m = L, D = /, Mit dem Lösungsansatz: (3) U t) = Q cos( ω t + ) ( ϕ mit φ als Verschiebung zwischen Q(t) und U(t) und Q als maximale Ladung am Kondensator erhält man dann: (3) Q = ( ω ω ) U L ωr + L 8

10 und (3) = arctan ω ω ω ϕ L R { } ω ω π > für Tragen wir unsere Ergebnisse graphisch auf, erhalten wir die uns schon bekannten Phasenkurven und Amplituden-Resonanzkurven wie in Abbildung 5 zu sehen. Abb. 5: Amplituden-Resonanzkurven (oben) und Phasenkurven für einen Serienschwingkreis Tragen wir nun den Strom I über der Frequenz ω auf, mit der unser System angeregt wird, erwarten wir den maximalen Stromfluss genau bei der Eigenfrequenz ω des Systems. Es gilt: ( ) + = = L R L U Q I ω ω ω ω ω 9

11 Dieser Term wird genau dann maximal, wenn ω = ω, da dann der Teil unter dem Bruchstrich minimal wird. Abbildung 6 zeigt den möglichen Verlauf einer solchen Strom/Frequenz-Kurve für den einfachen Fall L = R = U = ω = (vgl. Frage 4): Abb. 6: Möglicher Verlauf für I über ω In der Praxis ist die Ladung recht schlecht zu messen, so dass wir lieber die Spannung am Kondensator messen und es gilt: Q (33) U ( ) sin( ω ϕ) sin( ω ϕ t = t + = U t + )

12 3. Praktischer Teil In den folgenden Versuchsteilen werden wir verschiedene Eigenschaften des elektromagnetischen Schwingkreises untersuchen. Dazu verwenden wir zu Auswertungen ein Digital-Speicher- Oszilloskop, zur Erzeugung von Spannungssignalen einen Funktionsgenerator sowie zwei Widerstands- und je eine Spulen- und Kondensatordekade. 3.. Eigenfrequenz und Dämpfung im Serienkreis Wir wollen zunächst das Verhalten eines Serienkreises bei einmaliger Anregung untersuchen. Um eine einmalige Anregung und somit eine einmalige Aufladung des Kondensators zu realisieren, verwenden wir eine Rechteckspannung U als Betriebspannung. Zunächst bauen wir eine Schaltung gemäß Abb. 8 auf: Abb. 7: Serienkreis mit Anregung durch Rechteckspannung U aus Funktionsgenerator FG Über den Widerstand R v = ±, kω (Fehler gemäß Angabe auf der Widerstandsdekade), welcher der Strombegrenzung dient, legen wir eine Rechteckspannung mit einer Amplitude von V, einer Frequenz von khz an den Widerstand R des Serienkreises. Zu dem Serienkreis gehören noch die Spule L und der Kondensator. Zur Auswertung der folgenden Versuchsteile betrachten wir die Eingangsspannung U und die Spannung über dem Kondensator U gleichzeitig auf dem Oszilloskop Eigenkreisfrequenz Wir wollen nun die Eigenkreisfrequenz ω des Serienkreises in Abhängigkeit des Kondensators bestimmen. Dazu wählen wir einen Widerstand R von ±, Ω und eine Spule L mit einer Induktivität von 47 ± 3,5 μh (Fehler gemäß Angabe auf der Widerstands- und Spulendekade).

13 Den Wert des Kondensators variieren wir für elf Werte zwischen,5 nf und nf. Der Fehler des Kondensators beträgt laut Angabe auf der Kaskade jeweils ± %. Für jeden Kondensator bestimmen wir aus der Frequenz der Spannung U die jeweilige Kreisfrequenz gemäß der Formel ω = π f. Die Frequenz f bestimmen wir durch Ablesen am Oszilloskop. Dabei nehmen wir einen Ablesefehler von ±, khz = Hz an. Für den Fehler der Kreisfrequenz gilt somit: Δω = π Δf = 57 Hz =,6 khz. Um die Messwerte mit den theoretisch erwarteten Werten vergleichen zu können, verwenden wir folgende Formel: erw = R mit 4 L = L Für den Fehler des erwarteten Wertes ω erw gilt gemäß der Fehlerfortpflanzung: erw = erw R R erw L L erw Hinweis: Dieser recht komplizierte Ausdruck wurde mit dem omputer-algebra-system MAPLE ausgewertet. Da die Ergebnisse sehr kompliziert sind, wird auf die exakte Berechnung der Fehler für jeden einzelnen Kondensator verzichtet und stattdessen ein Größtfehler für ω erw von ± 5% abgeschätzt. Nun können wir unsere Messwerte und die erwarteten Werte notieren: / nf f / khz ω / khz ω erw / kh,5 ±,5 84, ±, 785,5 ±,6 6,8 ± 3, ±, 56,3 ±, 98,6 ±,6 3,4 ± 5,6 4 ±,4 3,6 ±, 73,77 ±,6 79, ± 36,5 6 ±,6 93,3 ±, 586, ±,6 595,4 ± 9,8 8 ±,8 8,7 ±, 57,5 ±,6 55,6 ± 5,8 ±, 7,7 ±, 456,79 ±,6 46, ± 3, ±, 67, ±, 4,3 ±,6 4,9 ±, 4 ±,4 6,9 ±, 388,93 ±,6 389,7 ± 9,5 6 ±,6 57,5 ±, 36,8 ±,6 364,5 ± 8, 8 ±,8 54, ±, 339,9 ±,6 343,6 ± 7, ±, 5, ±, 37,35 ±,6 35,9 ± 6,3 Tab. : Gemessene und erwartete Kreisfrequenzen ω für verschiedene Kapazitäten

14 Nun können wir die gemessenen Werte für ω sowie die die Funktion der Erwartungswerte in einem Diagramm über den verschiedenen Kapazitäten auftragen: Abb. 8: Messwerte für die Kreisfrequenz ω (schwarz) sowie Funktion der Erwartungswerte (rot) über verschiedenen Kapazitäten Es ist eindeutig zu erkennen, dass unsere Messwerte in erster Näherung sehr gut mit den zu erwartenden Werten übereinstimmen. Ledigleich bei kleinen Kapazitäten bis circa 5 nf ist eine nenneswerte Abweichung zu erkennen. Dies lässt sich durch die bei der Auswertung vernächlässigten Kapazitäten des verwendeten Kabelmaterials, der Eingangskapazität des Oszilloskops und der Restkapazität der Kondensatordekade erklären. Um diese Einflüsse zu quantifizieren, führen wir die Störkapazität S ein, welche addiert mit der an der Kondensatordekade gewählten Kapazität die Gesamtkapazität der Schaltung ergibt. Setzt man nun S + in die Gleichung für die Eigenkreisfrequenz ein und löst nach S auf, erhält man: S = L R 4 L Mit Hilfe dieser Formel erhalten wir Störkapazitäten um, nf = pf. Dies entspricht größenordnungsmäßig der Kapazität von Koaxialkabeln (vgl. Versuch Messung von Kapazitäten im APR ). Diese Störkapazität müsste parallel zu in die Schaltung eingezeichnet werden. (vgl. Frage 5). 3

15 3... Dämpfung In diesem Versuchsteil wollen wir die Halbwertszeit der Serienschaltung für verschiedene Widerstände R bestimmen. Dazu wählen wir einen Kondensator mit =,3 ±,3 nf und eine Spule mit L = 47 ± 3,5 μh. Als Eingangsspannung U wählen wir wieder eine Rechteckspannung mit einer Amplitude von V und einer Frequenz von khz. Wir messen nun mit Hilfe des Oszilloskops für zehn verschiedene Widerstände R im Bereich von 5 Ω bis 5 Ω die Halbwertszeit T /, also die Zeitspanne, in der die Amplitude von U auf die Hälfte ihres Anfangswertes abfällt. Dies lässt sich am einfachsten mit Hilfe der ursor verwirklichen. Für die angezeigte Differenz zwischen beiden ursorn nehmen wir einen Fehler von ±,5 μs an. Zur Berechnung der erwarteten Werte der Halbwertszeiten verwenden wir folgende Formel: T / ;erw = ln L R Für den entsprechenden Größtfehler gilt gemäß der Fehlerfortpflanzung: T / ;erw = ln L R R R ln L Nun können wir unsere Messwerte und die theoretischen Werte samt Fehler notieren: R / Ω T / / μs T /;erw / μs 5 ±,5 34 ±,5 56,6 ±,6 ±, 6 ±,5 8,3 ±,3 5 ±,5 ±,5 8,9 ±, ±, 8 ±,5 4, ±, 5 ±,5 5 ±,5,3 ±, 3 ±,3 4 ±,5 9,4 ±, 35 ±,35 ±,5 8, ±, 4 ±,4 ±,5 7, ±, 45 ±,45 9 ±,5 6,3 ±, 5 ±,5 8 ±,5 5,7 ±, Tab. : Gemessene und erwartete Halbwertszeiten T / für verschiedene Widerstände R Tragen wir nun T / für die gemessenen und die erwarteten Werte über den Widerständen R auf, erhalten wir folgendes Bild: 4

16 Abb. 9: Messwerte für die Halbwertszeit T / (schwarz) sowie Funktion der Erwartungswerte (rot) über verschiedenen Widerständen R Es ist zu erkennen, dass die erwarteten Werte vor allem im Bereich kleinerer Widerstände deutlich von unseren Messwerten abweichen. Dies ist ähnlich wie bei den Kapazitäten durch einen Störwiderstand R S in den einzelnen Komponenten unserer Schaltung zu erklären. Im Vergleich zu Versuch 3.. scheinen die Störeinflüsse bei den Widerständen erheblich größer zu sein. Diese berechnen sich wie folgt (Bestimmung der Gleichung wie bei der Störkapazität): R S = ln L T / R Nach dieser Formel erhalten wir Störwiderstände um Ω. Diese müssten in der Schaltung in Reihe zu R eingezeichnet. Im Verhältnis zu den verwendeten Widerständen von R ist R S recht groß, wodurch sich die zum Teil großen Unterschiede zwischen den erwarteten und gemessenen Werten erklären lassen (vgl. Frage 6). 5

17 3.. Resonanzverhalten des Serienkreises Um das Resonanzverhalten des Serienkreises zu untersuchen bauen wir folgende Schaltung auf: Abb. : Schaltung zur Messung von Resonanzkurven am Serien-Schwingkreis Der Funktionsgenerator liefert und eine sinusförmige Wechselspannung U(t) einer Amplitude von U = V bei unterschiedlichen Frequenzen im Bereich zwischen khz und khz. Die Variation der Frequenz soll automatisch geschehen, weswegen wir wie im letzten Versuch ( Operationsverstärker ) die Sweep-Funktion des Funktionsgenerators AGILENT 33A benutzen. Wir stellen ein Zeitintervall von 5 ms ein, in der die Frequenz schrittweise von khz auf khz erhöht wird. Zur Vermeidung von Aliasing-Effekten verwenden wir am Oszilloskop die Option Erfassung Spitzenwert, mit der sich das Oszilloskop auf die Darstellung der Einhüllenden des Signals beschränkt. Zur richtigen Triggerung des Frequenz-Sweeps verbinden wir die SYN-Buchse des Funktionsgenerators mit dem Trigger-Eingang des Oszilloskops. Auf dem Oszilloskopschirm stellen wir die Signale U(t) und U (t) gleichzeitig dar. Wir schalten einen Widerstand R p = ±, Ω parallel zum Funktionsgenerator, damit wir eine für verschiedene Frequenzen ungefähr konstante Amplitude U = 5 mv vorliegen haben. Für die Spule wählen wir L = 47 ± 3,5 μh und für den Kondensator = ±, nf. Wir wollen nun jeweils für die drei Widerstände R = ±, Ω, R = ±, Ω und R = 5 ±,5 Ω eine Amplituden-Resonanzkurve aufnehmen. Dafür messen wir mit Hilfe der ursor am Oszilloskop für circa 5 verschiedene Frequenzen im Bereich der Resonanzfrequenz die Amplitude U der Spannung U (t) über dem Kondensator und die Amplitude U des Eingangssignal U(t). Da U im Bereich größerer Frequenzen leicht ansteigt, bilden wir anschließend den Quotienten U /U, 6

18 welchen wir dann über der Kreisfrequenz ω auftragen. Die Kreisfrequenzen ω ermitteln wir aus den am Oszilloskopsschrim abgelesenen Zeiten t. Da ein Frequenz-Sweep 5 ms dauert und die Frequenz zwischen khz und khz linear ansteigt, können wir daraus leicht Frequenzen f bestimmen. Diese werden dann durch Multiplikation mit π in Kreisfrequenzen umgerechnet. Als Ablesefehler für die Zeiten t nehmen wir ± ms an. Daraus folgt ein Fehler für die Kreisfrequenzen von ungefähr ± khz. Für die Spannungen legen wir einen Größtfehler von ±,5 mv fest; für den Fehler des Quotienten U /U nehmen wir ± 5% an. Für die drei verschiedenen Widerstände haben wir nun folgende Werte ermittelt: () R = ±, Ω t / ms ω / khz U / mv U / V U /U ± 5,66 ± 5 ±,5 56 ±,5, ±,6 5 ± 38,76 ± 5 ±,5 68 ±,5,33 ±,7 75 ± 95,3 ± 5 ±,5 8 ±,5,56 ±,8 ± 35,86 ± 5 ±,5 4 ±,5,38 ±, 5 ± 48,4 ± 5 ±,5 ±,5 3,84 ±,9 37,5 ± 436,68 ± 5 ±,5 4 ±,5 8,6 ±,4 5 ± 464,96 ± 48 ±,5 784 ±,5 6,33 ±,8 6,5 ± 493,3 ± 5 ±,5 376 ±,5 7,58 ±,38 75 ± 5,5 ± 53 ±,5 ±,5 3,79 ±,9 ± 578,5 ± 53 ±,5 96 ±,5,8 ±, 5 ± 634,6 ± 54 ±,5 48 ±,5,9 ±,4 5 ± 69,5 ± 54 ±,5 4 ±,5,74 ±,4 3 ± 84,5 ± 55 ±,5 4 ±,5,43 ±, 4 ± 3,44 ± 57 ±,5 ±,5, ±, 5 ± 56,64 ± 59 ±,5 4 ±,5,7 ±, Tab. 3: Gemessene und berechnete Werte für R = Ω () R = ±, Ω t / ms ω / khz U / mv U / V U /U ± 5,66 ± 5 ±,5 4 ±,5,78 ±,4 5 ± 38,76 ± 5 ±,5 56 ±,5,8 ±,5 ± 35,86 ± 5 ±,5 ±,5,5 ±, 5 ± 48,4 ± 5 ±,5 9 ±,5 3,69 ±,8 7

19 t / ms ω / khz U / mv U / V U /U 37,5 ± 436,68 ± 5 ±,5 344 ±,5 6,6 ±,33 5 ± 464,96 ± 49 ±,5 488 ±,5 ±,5 6,5 ± 493,3 ± 5 ±,5 3 ±,5 6,5 ±,3 75 ± 5,5 ± 5 ±,5 ±,5 3,85 ±,9 ± 578,5 ± 53 ±,5 8 ±,5,5 ±,8 5 ± 634,6 ± 53 ±,5 48 ±,5,9 ±,5 5 ± 69,5 ± 53 ±,5 3 ±,5,6 ±,3 35 ± 97,35 ± 56 ±,5 6 ±,5,9 ±, 45 ± 43,54 ± 58 ±,5 8 ±,5,4 ±, Tab. 4: Gemessene und berechnete Werte für R = Ω (3) R = 5 ±,5 Ω t / ms ω / khz U / mv U / V U /U ± 5,66 ± 5 ±,5 5 ±,5 ±,5 5 ± 38,76 ± 5 ±,5 68 ±,5,3 ±.7 75 ± 95,3 ± 5 ±,5 8 ±,5,54 ±.8 ± 35,86 ± 5 ±,5 4 ±,5 ±. 5 ± 48,4 ± 5 ±,5 48 ±,5,85 ±.4 5 ± 464,96 ± 4 ±,5 8 ±,5 3,46 ±.7 75 ± 5,5 ± 5 ±,5 8 ±,5,46 ±. ± 578,5 ± 54 ±,5 8 ±,5,49 ±.7 5 ± 634,6 ± 54 ±,5 56 ±,5,3 ±.5 5 ± 69,5 ± 55 ±,5 36 ±,5,65 ±.3 3 ± 84,5 ± 56 ±,5 ±,5,35 ±. 4 ± 3,44 ± 58 ±,5 ±,5, ±. 5 ± 56,64 ± 59 ±,5 8 ±,5,4 ±. Tab. 5: Gemessene und berechnete Werte für R = 5 Ω Nun können wir für jeden Widerstand R eine Amplituden-Resonanzkurve zeichnen, indem wir U / U über ω auftragen: 8

20 Abb. : Amplituden-Resonanzkurve für den Widerstand R = Ω Abb. : Amplituden-Resonanzkurve für den Widerstand R = Ω 9

21 Abb. 3: Amplituden-Resonanzkurve für den Widerstand R = 5 Ω In allen drei Diagrammen ist ein Maximum bei etwa 46 khz zu erkennen. Dies entpricht der Resonanzfrequenz ω. Des Weiteren ist zu erkennen, dass der Wert des Maximums mit steigenden Widerstand R abnimmt: Bei R = Ω beträgt es circa 6,5, bei R = Ω etwa und bei R = Ω ungefähr 3,5. Wir wollen nun die Phasenverschiebung φ zwischen der anregenden Spannung U(t) und der Kondensatorspannung U (t) bestimmen. Dazu deaktivieren wir die Sweep-Funktion am Funktionsgenerator und wählen eine sinusförmige Wechselspannung mit einer Amplitude von V. Die Frequenz ν von U(t) variieren wir manuell für 5 Werte zwischen khz und khz. Als Dämpfungwiderstand wählen wir R = 5 ±,5 Ω. Wir stellen nun die Signale für U(t) und U (t) gleichzeitig auf dem Oszilloskop dar und bestimmen mit Hilfe der ursor die Zeitdifferenz Δt zwischen zwei Nulldurchläufen der Signale. Dann bestimmen wir den zugehörigen Frequenz, indem wir die Berechnungsvorschrift ω = /Δt π anwenden. Um nun die Phasenverschiebung bestimmen zu können, müssen wir noch die Anregungsfrequenz ν in Kreisfrequenzen umwandeln, für die gilt: ω = ν π. Dann gilt für die Phasenverschiebung: = = = t t

22 Als Ablesefehler für die Zeitdifferenz Δt nehmen wir ±, μs an, als gerätebedingten Fehler der Anregungsfrequenz ω ±,6 Hz. Für den Fehler von ω gilt: Δω = /(ΔΔt) π = 6,8 Hz. Für den Größtfehler von φ gilt somit gemäß Fehlerfortpflanzung: = t t Um die theoretisch erwarteten Werte der Phasenverschiebung angeben zu können, verwenden wir folgende Formel: erw [ R ] L = arctan { für } Da die Fehlerbetrachtung für diese Formel zu recht komplizierten und unübersichtlichen ausdrücken führt, schätzen wir einen Fehler von 5% ab. Damit können wir nun die gemessenen und alle daraus errechneten Werte tabellarisch auflisten: ν / khz ω / khz Δt / μs ω / khz φ / rad φ erw / rad ± -6 5,7 ± 6-7, ±, 535,99 ±,6 -,5 ±,6 -,7 ±,3 3 ± -6 88,5 ± 6-7,8 ±, 7853,98 ±,6 -,5 ±,9 -, ±,5 4 ± -6 5,3 ± 6-7,9 ±, 698,3 ±,6 -,3 ±,3 -,8 ±,6 6 ± ,9 ± 6-7,6 ±, 396,99 ±,6 -,6 ±,9 -,5 ±,9 8 ± -6 5,7 ± 6-7 4, ±, 53,48 ±,6 -,6 ±,5 -, ±, 9 ± ,5 ± 6-7 4,5 ±, 46, ±,6 -,84 ±,3 -,84 ±,6 ± -6 68,3 ± 6-7 4,4 ±, 396,6 ±,6 -,54 ±,8 -,63 ±,4 5 ± ,7 ± 6-7 4,3 ±, 48, ±,6 -,76 ±,3 -,79 ±,5 ± -6 69, ± 6-7 4, ±, 57,8 ±,6 -,76 ±,35 -,87 ±,7 ± ,9 ± 6-7 3,7 ±, 698,6 ±,6 -,79 ±,38 -,9 ±,9 4 ± ,6 ± 6-7 3,4 ±, 848, ±,6 -,99 ±,44 -,98 ±, 6 ± -6 5,3 ± 6-7,9 ±, 66,6 ±,6 -,9 ±,5-3, ±,5 8 ± -6 3,9 ± 6-7,6 ±, 46,6 ±,6 -,94 ±,57-3,3 ±,8 9 ± -6 93,8 ± 6-7,6 ±, 46,6 ±,6-3, ±,6-3,4 ±,3 ± -6 56,6 ± 6-7,4 ±, 67,99 ±,6-3, ±,63-3, ±,3 Tab. 6: Messwerte für die Zeitdifferenz zwischen U(t) und U (t) für verschiedene Anregungsfrequenzen sowie die draus errechnete Phasenverschiebung. Daneben die erwarteten Werte für die Phasenverschiebung.

23 Nun können wir die Phasenverschiebung φ über der Anregungsfrequenz ω auftragen und erhalten folgendes Diagramm: Abb. 4: Gemessene und erwartete Phasenverschiebungen φ über verschiedenen Anregungsfrequenzen ω Wir erkennen bei etwa 46 khz eine Wendestelle in beiden Graphen. Diese Frequenz entspricht der Resonanzfrequenz unseres Serienkreises und bestätigt da Ergebnis des Teilversuchs zu den Amplituden-Resonanzkurven. Die quantitativen Abweichungen zwischen der Kurve der Messwerte und der Kurve der Erwartungswerte lässt sich durch verschiedene Störeinflüsse (Widerstände und Kapazitäten von Verbindungsmaterial und Messgeräten) sowie Messungenauigkeiten erklären (vgl. Frage 7). Um unsere graphisch ermittelte Resonanzfrequenz mit dem theoretischen Wert vergleichen zu können, verwenden wir die Formel: = L Für den Fehler der erwarteten Resonanzfrequenz ergibt sich gemäß Fehlerfortpflanzung: = L L L 3 L 3 Mit Hilfe dieser Formeln und der bekannten Werte für L und sowie deren Fehler, erwarten wir eine Resonanzfrequenz von 46,3 ± 3, khz. Damit liegt unser Messwert im zu erwartenden Bereich.

24 4. Anhang 4.. Literatur [] Skript zum Anfängerpraktikum Physik II, vo Universität Oldenburg, Institut für Physik, Oktober 5 [] dtv-atlas Physik, Band, Deutscher Taschenbuch Verlag, 7. Auflage, August 4 [3] Elektronik Gar nicht schwer Bd. &, Adrian Schommers, elektor Verlag Aachen, 8.Auflage, 5 [4] Abbildungsnachweis Abb. : Skript zum Anfängerpraktikum Physik II, siehe [] Abb. : Skript zum Anfängerpraktikum Physik II, siehe [] Abb. 3: Skript zum Anfängerpraktikum Physik II, siehe [] Abb. 4: Skript zum Anfängerpraktikum Physik II, siehe [] Abb. 5: Skript zum Anfängerpraktikum Physik II, siehe [] Abb. 7: Skript zum Anfängerpraktikum Physik II, siehe [] Abb. : Skript zum Anfängerpraktikum Physik II, siehe [] 3