Bilder zur Geodäsie und Navigation auf dem Rotations-Ellipsoid

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1 Bilder zur Geodäsie und Navigation auf dem Rotations-Ellipsoid Christian Reinsch Geodäsie und Navigation verwenden ein Rotations-Ellipsoid als Modell der Erde: x 2 + y 2 a 2 + z2 b 2 = 1, x = acos η cos ϕ, y = acos η sin ϕ, z = bsin η, π/2 η π/2. (1) Der Winkel η ist von den Winkeln ϑ und β zu unterscheiden: ϑ ist die sphärische Deklination (d.h. ϑ, ϕ sind die Kugelkoordinaten) und β ist die geographische Breite (Neigung der Flächennormale). Es gilt tan η = (a/b)tan ϑ = (b/a)tan β. Es ist also ϑ η β. b z ϑ ϑ = 45 a β = 45 β Normale (Zenit) Tangente (Horizont) ρ Fig. 1 Sphärische Deklination ϑ und geographische Breite β Eine Kurve η(t),ϕ(t) auf dem Rotations-Ellipsoid hat die Bogenlänge s ṡ(t) = (a 2 sin 2 η + b 2 cos 2 η) η 2 + a 2 cos 2 η ϕ 2, ( d/dt). (2) Im ersten Teil dieses Referates wurden die geodätische Kurven auf einer Oberfläche eingeführt als die Kurven ohne Umwege: zwischen je zwei ihrer Punkte gibt es keinen 1

2 kürzeren Weg. Das erfordert, dass geodätische Kurven die Euler-Lagrange-Gleichung erfüllen müssen. Für das Rotations-Ellipsoid (1) als Oberfläche war die Lösung η(t),ϕ(t) hergeleitet worden. In der dort gewählten Parametrisierung ist η(t) = arcsin (sin ˆη sin t), sin η(t) = sin ˆη sin t. (3) ηˆ t = (n+0.5) π -sin ηˆ t = n π sin ηˆ t = (n-0.5) π - ηˆ 90º η ˆ Fig. 2a Zu (3): η als Funktion von sin ˆη sin t 0º η ˆ -90º 0 π 2π 3π 4π 5π 6π Fig. 2b η als Funktion von t 2

3 Für das zugehörige ϕ lautet die Aussage bei dieser Parametrisierung: ϕ(t) = ϕ 0 + f(t) g(t) a b a cos ˆη. (4) Dabei ist ϕ 0 die zweite Integrations-Konstante und f(t) die Windungszahl des Punktes x = cos t, y = cos ˆη sin t, der auf der Ellipse mit den Halbachsen 1 und cos ˆη um den Nullpunkt kreist (in Programmiersprachen ATAN2 mit vertauschten Argumenten): f(t) := arg (cos t, cos ˆη sint) = arctan (cos ˆη tan t) + n π, n IN. (5) x(t),y(t) f(t) f(t) = arg (x(t), y(t)) Fig. 3 Die Windungszahl arg (x(t), y(t)) ϕ 0 + f(t) ist die Lösung für die Kugel wo a = b. Die Funktion g(t) ist gegeben durch g(t) := t 0 a + b a + b 1 + ǫsin 2 τ dτ (6) mit der Konstanten ǫ := (a 2 /b 2 1) sin 2 ˆη von der Ordnung der Abplattung. g(t) ist die einzige nicht-elementare Funktion, aber völlig harmlos und leicht zu berechnen, besonders in der Form t... Zum Beispiel durch eine Entwicklung nach Potenzen von ǫsin 2 t oder durch Entwicklung des Integranden in eine Cosinus-Reihe und gliedweise Integration. Wegen der Gewichtung mit dem Abplattungsfaktor (a b)/a gibt sie in (4) nur einen kleinen Korrektur-Beitrag und die Berechnung mit Hilfe von Routinen für die unvollständigen elliptischen Integrale lohnt sich nicht. Für die Bogenlänge s(t) erhält man ṡ(t) 2 = a 2 sin 2 η + b 2 cos 2 η = b 2 (1 + ǫsin 2 t), s(t) = b t ǫ sin 2 τ dτ. (7) Bei geringer Abplattung (a b)/a bzw. ǫ entspricht s ungefähr der Parametrisierung bt. 3

4 Der Abstand zweier aufeinander folgenden Äquator-Knoten ist ϕ(π) ϕ(0) = π (ˆη), wobei (ˆη) := a b π a + b cos ˆη a 0 a + b dτ. (8) 1 + ǫsin 2 τ Der Faktor cos ˆη vor dem Integral bestimmt praktisch allein die Abhängigkeit von ˆη, denn das Integral g(π) ist bei geringer Abplattung ungefähr gleich π. (ˆη) fällt von π(a b)/a bei ˆη = 0 ab auf 0 bei ˆη = π/2. Für die Erde mit den Halbachsen a = m, b = m ( Best Estimates der NASA aus dem Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac, 1992) gilt folgende Tabelle: ˆη g(π) (ˆη) π (ˆη) (Hinweis: ist bei Mathematikern eine Abkürzung für π/180, sodass 180 = π usw.) Anhand dieser Tabelle kann man sehen, was die geodätische Kurve zwischen zwei Wegpunkten auf dem Äquator ist: bis zum Abstand liegt diese Kurve auf dem Äquator. Bei größeren Winkeln verläuft sie dagegen in der Nord- oder Südhalbkugel. Bei 180 geht sie durch einen der beiden Pole. Es gibt also einen Verzweigungspunkt beim Winkelabstand º 60º 30º 0º -30º -60º -90º 179º 179.5º 180º Fig. 4 Verzweigungspunkt bei abgeplattetem Rotations-Ellipsoid (Erde) 4

5 Der übernächste Äquatorknoten befindet sich bei 2π 2 (ˆη). Eine volle geodätische Schleife schließt sich also nicht exakt: ihre beiden Enden haben auf dem Äquator den Versatz 2 (ˆη), und die folgenden Schleifen sind Drehungen der ersten Schleife um die z-achse. Geodätische Kurven mit ihrer Präzession gleichen also dem Faden auf einem Schnurknäuel, siehe Fig. 5. Dort Halbachsen a : b = 16 : 15, damit bei ˆη = 60 ein sichtbarer Versatz ( ) zustande kommt Fig. 5 Das Knäuel einer langen geodätischen Kurve ˆη = 60, Halbachsen a : b = 16 : 15, Verzweigungspunkt bei

6 Zu Kurs und Marschrichtung Mit P auf dem Rotations-Ellipsoid, also P = (acos η cos ϕ, acos η sin ϕ, bsin η) T, gilt Osten: O := [ P/ ϕ] normalisiert = ( acos η sin ϕ, acos η cos ϕ,0) T /(acos η). Norden: N := [ P/ η] normalisiert = ( asin η cos ϕ, asin η sin ϕ, bcos η) T / a 2 sin 2 η + b 2 cos 2 η. Nord P Ost Fig. 6 Ost- und Nord-Richtung für die Navigation Die Tangente einer beliebigen Kurve η(t),ϕ(t) auf dem Rotations-Ellipsoid ist d P dt sodass (a cos η) ϕ und Der Kurswinkel ist = P ϕ ϕ + P η η = O (acos η) ϕ + N a 2 sin 2 η + b 2 cos 2 η η, a 2 sin 2 η + b 2 cos 2 η η ihre Ost- und Nord-Komponente sind. α = arg ((acos η) ϕ, a 2 sin 2 η + b 2 cos 2 η η ), auf der Kompass-Skala in der lokalen Tangentialebene (Horizont) mit der üblichen Landkarten- Orientierung (Ost = x-achse, Nord = y-achse). Für geodätische Kurven vereinfacht sich das mit η, ϕ aus (11), (12) in Teil 1 zu α = arctan (tan ˆη cos t). 6

7 Die geodätische Kurve zwischen zwei gegebenen Wegpunkten Zwischen zwei Punkten auf dem Rotations-Ellipsoid gibt es viele Wege. Einer davon ist der kürzeste. Auf einem Globus kann man ihn finden, wenn man einen Bindfaden zwischen den Wegpunkten spannt. Mathematisch gesehen handelt es sich um ein Randwertproblem zu der Differentialgleichung von Euler-Lagrange, illustriert in Fig. 7. t 1 ηˆ η ϕ 1 t 2 1 η2 ϕ2 Fig. 7 Randwertproblem für zwei gegebene Wegpunkte P 1 = (η 1,ϕ 1 ) und P 2 = (η 2,ϕ 2 ) Rot: ˆη richtig selektiert, Grün: ˆη ± 10 Vier Parameter t 1 < t 2 und ϕ 0, ˆη spezifizieren ein geodätisches Kurvensegment zwischen zwei Wegpunkten P 1 = η 1,ϕ 1 and P 2 = η 2,ϕ 2. (Beachte dazu die Umrechnung einer geographischen Breite β in die hier benutzte Winkel-Koordinate η, wie nach (1) vermerkt.) Die ersten drei dieser Parameter ergeben sich unmittelbar. Die harte Nuss ist die Selektion der geodätische Kurve durch die Bestimmung des Scharparameters ˆη. Die ausgewählte Kurve schneidet die Breitenkreise η 1 und η 2 bei ϕ(t 1 ) und ϕ(t 2 ). Nur die richtige Wahl von ˆη ergibt die dafür vorgeschriebenen Werte ϕ 1 und ϕ 2. 7

8 Als erstes berechnet man t i zu gegebenem η i aus (3): sinη i = sin ˆη sin t i (ˆη), (i = 1,2), (9) jeweils mit zwei Lösungen, t i (ˆη) und π t i (ˆη). Einsetzen in (4) führt zu einer univariaten, nicht-linearen Gleichung für den Scharparameter ˆη: mit Φ(ˆη) = ϕ 2 ϕ 1 Φ(ˆη) := f(t 2 (ˆη)) f(t 1 (ˆη)) a b a t2 (ˆη) cos ˆη t 1 (ˆη) a + b a + b dt. (10) 1 + ǫ sin 2 t Nicht-lineare Gleichungen in nur einer Variablen sind meistens unschwer numerisch zu lösen. Im vorliegenden Fall gilt das bestimmt für Entfernungen der beiden Wegpunkte bis etwa 179. Man kann zum Beispiel das Such-Intervall [max ( η 1, η 2 ), π/2] mittels Bisektion immer weiter verkleinern, oder man benutzt suksessive lineare Interpolation um ˆη aus (10) mit gewünschter Genauigkeit zu berechnen. Wer will, benutzt das Newton- Verfahren, welches eine Näherung ˆη (i) für ˆη iterativ verbessert nach der Formel ˆη (i+1) := ˆη (i) + (ϕ 2 ϕ 1 Φ(ˆη (i) ))/Φ (ˆη (i) ), i = 0,1,2,... Dazu muss man allerdings die Ableitung Φ (ˆη) = dφ(ˆη)/dˆη berechnen und benötigt dafür die Ableitungen von t i (ˆη) und f(t i (ˆη)). Differenzieren der Identität (9) gibt nach dem Impliziten Funktions-Theorem 0 = cos ˆη sint i + sin ˆη cos t i dt i /dˆη, also dt i dˆη = tan t i, (i = 1,2). tan ˆη Die beiden nach (9) genannten Alternativen für tan t i haben entgegengesetzte Vorzeichen. Für f(t i ) gilt nach (5) arg(cos t i, cos ˆη sin t i ). Ein Dreieck mit diesen beiden Katheten hat die Hypotenuse cos η i. Daher gilt neben (5) auch f(t i (ˆη)) = arcsin(tan η i /tan ˆη)+nπ, was sich leicht nach ˆη differenzieren läßt. Man erhält so d dˆη f(t i(ˆη)) = tan t i, (i = 1,2). sin ˆη Die Abhängigkeit der Konstanten ǫ von ˆη sollte vernachlässigbar sein wenn (a b)/a klein ist. Tatsächlich kann man ǫ auf null setzen für die Berechnung von dφ/dˆη. (In einer Newton-Iteration könnte das nur die Konvergenz-Geschwindigkeit beeinflussen, nicht aber die berechnete Lösung.) Mit dieser Vereinfachung erhält man d dˆη Φ(ˆη) (tan t 1 tan t 2 ) ( b/a sin ˆη + a b sin ˆη) (t 1 t 2 ) a b a a Den Startwert ˆη (0) kann man aus der Ebenen-Approximation beziehen (s.u.) sin ˆη. Das Randwertproblem kann mehr als eine Lösung besitzen, wie Fig. 5 zeigt: zwischen den mit 1 und 2 bezifferten Äquatorknoten verläuft außer der schleifenartigen roten Kurve auch der grün eingezeichnete kurze Äquatorbogen, und beides sind geodätische Kurven. Daher die Einschränkung bei der Definition der geodätischen Kurven als Kurven ohne Umwege. Fig. 8 zeigt ein anderes Beispiel. Bei starker Abplattung können die beiden Lösungen des Randwertproblems in einer Hemisphäre liegen! 8

9 P 1 P 2 Fig. 8 Starke Abplattung: Halbachsen 16 : 5 Die beiden Lösungen des Randwertproblems liegen in einer Hemisphäre (Verdeckter Teil gestrichelt) 9

10 Die Ebenen-Approximation Die Lösung des geodätischen Randwertproblems wie zuvor beschrieben ist ohne große Schwierigkeiten möglich für Winkelabstände kleiner als etwa 179. Sie ist aber zumindest für Zwecke der Geo-Navigation überflüssig, weil es dann eine viel einfacher zu berechnende Kurve gibt, die bis auf 0.001% gleich lang ist, und das sind meist nur einige Meter! Man legt dazu durch den Nullpunkt (Erdmittelpunkt) und die beiden Wegpunkte P 1,P 2 eine Ebene, welche das Rotations-Ellipsoid in einer Ellipse schneidet. Ihre große Halbachse ist a und ihre kleine Halbachse leicht zu berechnen liegt zwischen a und b, sodass ihre Exzentrizität nicht größer ist als die des Rotations-Ellipsoids. Auf dieser Ellipse liegen per Konstruktion die beiden Wegpunkte und das Segment zwischen ihnen ist die Approximation für die geodätische Kurve. Die Abweichung der beiden Kurven hat die Größenordnung der Exzentrizität. Sie ist umso kleiner, je näher die Schnittkurve am Äquator oder einem Meridian liegt. Weil die Kurvenlänge in der Nähe der geodätischen Kurve stationär ist, kann man bei der Länge mit einem Fehler in der Größenordnung des Quadrats der Exzentrizität rechnen. In der Navigation hat man es vorläufig immer mit der Erde zu tun, wo die Exzentrizität (a b)/a = 1/ ist (wieder laut NASA, l.c.). Als Demonstrations-Beispiel wählen wir die Route des derzeit längsten Nonstop-Fluges New York/Singapur (19 Stunden), Fig. 9. Koordinaten der beiden Wegpunkte sind New York (Kontrollturm John F Kennedy Airport): Breite = Nord, η 1 = Länge = West, ϕ 1 = Singapur (Kontrollturm Changi International Airport): Breite = Nord, η 2 = Länge = Ost, ϕ 2 = Das geodätische Kurven-Segment hat eine Länge von Meter. Die Ebenen- Approximation ist um weniger als 1 Meter länger. (Das Ergebnis ist so gut, weil die Schnittkurve sehr nahe am Nordpol vorbei führt und deshalb einem Meridian sehr nahe ist.) Bei anderen Beispielen wurden Unterschiede bis zu 30 Meter beobachtet. Solche Unterschiede sind nicht viel größer als die Auswirkungen der Unsicherheit in den NASA-Werten für die Halbachsen a und b und Abweichungen des dynamischen Geoids von einem starren Rotations-Ellipsoid. Jet-Piloten, die fast die ganze Zeit in Flughöhe H kreuzen, müßten mit Halbachsen a + H und b + H rechnen und ihrer Flugstrecke O(ωH) zufügen (ω = Winkel P 1,P 2.) 10

11 Fig. 9 Rot markiert New York Singapur, die zur Zeit längste Non-Stop-Flugroute In der Figur als roter Rahmen angedeutet die etwas geneigte Schnittebene für die Ebenen- Approximation, sowie als roter Pfeil die zugehörige Normale und als rotes 3D-Achsenkreuz der Erdmittelpunkt, der zusammen mit den beiden Wegpunkten die Schnittebene definiert. 11