Didaktische Analyse n. Wolfgang Klafki

Transkript

1 FSU Jena Seminar Didaktische Konzepte und Unterrichtsmethoden SS 09 01DKUSS09 Dozent: Ralph Hepp Thema des Seminars Thema der Unterrichtsreihe Fach/ Fächer Klassenstufe/ Schulart Didaktische Analyse n. Wolfgang Klafki Stochastik Mathematik Datum Autoren Literaturempfehlung Ferdinand Rewicki Tino Engelhardt Jana Siedlewski Frances Petrow Klassenstufe 8 (Regelschule) Klassenstufe 10 (Gymnasium) ferdinand.rewicki@gmx.de tino.engelhardt1@gmx.de Jana.Siedlewski@uni-jena.de champion1@arcor.de Thüringer Lehrplan für das Fach Mathematik (Gymnasium, Regelschule): abzurufen unter der Methodische Anmerkungen Materialien Bei dem vorliegenden Material handelt es sich um einen Vorschlag für eine Unterrichtseinheit für den Stochastikunterricht, in der 10. Klasse des Gymnasiums bzw. in der 8. Klasse der Regelschule. Dabei ist zu berücksichtigen, dass bei der Verwendung in der Regelschule der Wahrscheinlichkeitstheoretische Teil minimiert bzw. ganz ausgelassen werden sollte und statt dessen der Fokus auf die beschreibende Statistik gelegt wird. Am Gymnasium ist dem hierin beschriebenen Projekt die Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung voranzustellen. Somit ergibt sich hier eine Zweiteilung. Die Einführung in die Stochastik erfolgt laut dem enthaltenen Stoffverteilungsplan. Für jede Gruppe sind die notwendigen Informationen in altersgerechter Form vorzubereiten. Diese umfassen u.a. Materialien zum Entwurf einer Untersuchung sowie deren Auswertung. Dafür ist den Schülern der Zugang zu Computern mit geeigneter Software (Excel) zu ermöglichen. Für die Präsentationen sollten die Schüler aus einer Palette von Präsentationsmöglichkeiten (Flip Chart, Folien, Beamer) wählen können.

2 Begründungszusammenhang thematische Strukturierung Zugangs- und Darstellungsmöglichkeiten 3 Exemplarische Bedeutung 4 Struktur des Inhalts 5 Zugänglichkeit, Anschaulichkeit Statistik sowohl als die Methode der empirischen Forschung als auch als Gegenstand der Forschung selbst. - Statistik als mathematische Disziplin - Statistik als Methode in der Soziologie, Psychologie, etc. 2 Gegenwartsbedeutung Die Schüler lernen anhand einer eigenen Untersuchung grundlegende Methoden der beschreibenden Statistik kennen. Förderung der Fähigkeit Statistiken kritisch zu lesen und Ergebnisse zu hinterfragen(z.b. Verfälschung von Ergebnissen durch falsche Skalierung) Ziele Grundlegende Methoden der beschreibenden Statistik sowie der Wahrscheinlichkeitsrechnung kennen lernen und praktisch anwenden. Fähigkeit zum kritischen interpretieren von Statistiken fördern. Weitestgehend selbstständige Planung und Durchführung eines Projektes. Probleme - Selbstständiges Anwenden der theoretisch erarbeiteten Methoden auf einen realen Sachzusammenhang. Motivation Arbeiten an einem eigenen Projekt innerhalb einer Gruppenarbeit. Freies Arbeiten und Forschen. Einsatz verschiedener Medien. starker Praxisbezug sowie unmittelbare Anwendung der erarbeiteten theoretischen Grundlagen

3 Begründungszusammenhang thematische Strukturierung Zugangs- und Darstellungsmöglichkeiten 3 Zukunftsbedeutung Sowohl im Alltag als auch in vielen Berufen ist es notwendig Statistiken richtig zu interpretieren, die Methoden zu kennen, wie diese erstellt werden, bzw. selbst in der Lage zu sein Erhebungen zu planen und durchzuführen. Erziehung zu mündigen, hinterfragenden Bürgern. - Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik wird nicht klar. - Überblick geht durch Komplexität des Themas verloren. - Zusammenhang zwischen mathematischer Methode und zu bearbeitender Fragestellung wird nicht erkannt. Grobstruktur, Zusammenhang Std.: Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung, Zufallsexperimente und Modellierung Std.: Arbeit am Projekt, Erarbeitung der Methoden, Durchführen der Befragung, Auswertung der Ergebnisse, Vorbereitung der Präsentation Std.: Schülerpräsentationen, Feedback & Reflexion Schüleraktivität, Selbstständigkeit sowie Anwendung und Übung Die Schüler planen selbstständig eine Befragung, führen diese durch, werten sie aus und präsentieren ihre Ergebnisse. Die dazu benötigten Voraussetzungen werden teils im Klassenverband, teils in den Arbeitsgruppen selbst erarbeitet und in der Projektarbeit vertieft.

4 Stoffverteilungsplan für das Fach Mathematik mit dem Schwerpunktteil Stochastik Klasse 8 (Regelschule) / Klasse 10 (Gymnasium) Stunde Thema/Teilziele Lerntätigkeit Unterrichtsmittel 1 Einführung in die Thematik - Auffassen durch Tafel Geschichtlicher Zuhören Einstieg - Einführung durch den Was ist ein Lehrer Glücksrad? - Unterrichtsgespräch - Entwicklung Tafelbild zum Verständnis Zufallsexperiment mit Münze und Würfel Was kann man mit Zufallsexperimenten alles erfassen? Definition der gefundenen Begriffe Verteilung der Hausaufgaben Erkunden durch Experimente bzw. Beobachten Auffassen durch Visualisierung Begriffe intuitiv durch Experimente nennen genannte Begriffe niederschreiben Auffassen durch Lesen Würfel, Münze Tafel, Heft, Stift Hefte 2 Wiederholung grundlegender bereits gelernter Begriffe Einführung von Definitionen Festigung des Unterrichtsstoffes Auffrischung des Gelernten durch mündliche Wiedergabe Auffassen durch Zuhören Definitionen niederschreiben

5 Erarbeitung eines Glücksrads Erwartungswert berechnen 3 Wiederholung von letzter Stunde Präsentation der Gruppenarbeit Zusammenfassung durch Lehrkraft 4 Wiederholung letzter Stunde Einführung von Urnen- und Baumdiagrammen Erarbeitung von Begriffen und Varianten Zusammenfassung aller Modelle Gruppenarbeit ( Schüler wollen Glücksrad bauen) Auffrischung von Begriffen und Definitionen Leistung darstellen und erläutern Gelerntes vertiefen Wissen austauschen Auffassen durch Visualisierung Festigung des Unterrichtsstoffes gelerntes Wissen aufrufen Logisches Operieren Bildliches Darstellen durch Zeichnen einfache Beispiele zum berechnen und anschauliche Übersicht Festigung durch Visualisierung Farbe, Blätter.. Glücksrad Tafel, Hefte, Stift, Folie Folie

6 Planung der Einzelstunde Vorbetrachtung und theoretische Anforderungen an die Unterrichtsstunde Im Thüringer Lehrplan für das Gymnasium ist der Themenkomplex der Stochastik eine feste Größe. Bevor jedoch in der Klassenstufe 12 die Möglichkeit besteht, neben der Differential- und Integralrechnung die Stochastik zu vertiefen, müssen erst einmal die Grundlagen hierfür gelegt werden. Dies wird in der 10. Klasse getan, in der das Themengebiet einen großen Zeitrahmen in Anspruch nimmt. In den 28 Unterrichtswochen entfallen 112 oder 84 Unterrichtsstunden auf den Mathematikunterricht, abhängig davon, ob die jeweilige Schule mathematischnaturwissenschaftlich oder sprachlich, bzw. musisch-künstlerisch orientiert ist. Daraus ergeben sich für die Schüler der 10. Klasse entweder 48 oder 36 Unterrichtsstunden zur Stochastik. Hieraus folgt der Anspruch, das Thema motivierend einzuführen, da sich alle Beteiligten über einen langen Zeitraum damit zu befassen haben. Aus dieser Überlegung heraus habe ich mich deshalb dazu entschlossen, eine Einführungsstunde zu planen. Doch zunächst ist es mein Ziel, knapp die wichtigsten Anforderungen an den Mathematikunterricht in Bezug auf die Stochastik herauszuarbeiten, um die praktischen Überlegungen besser an die Erwartungen anlehnen zu können. Das Thema eignet sich dabei besonders gut, um die Schüler in den erforderlichen Basisqualifikationen der allgemeinen Studierfähigkeit zu schulen. Diese erfordern folgende Punkte: zum einen die Fähigkeit, einen Sachverhalt möglichst präzise auszudrücken, zum anderen, komplexe Sachtexte zu lesen und deren Inhalt zu erfassen, und der sichere Umgang mit mathematischen Symbolen und Modellen. Im Stochastikunterricht ist es von Nöten, zufällige Ereignisse zu modellieren, um sie mathematisch fassbar zu machen und um Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Vor dem Beginn der Stundenplanung ist es weiterhin unabdingbar, die im Lehrplan formulierten Ziele der Stochastik zu kennen. Hier wird festgelegt, dass Schüler in der Lage sein sollen, vom Zufall abhängige Vorgänge quantitativ zu beschreiben. Weiterführend sollen vom Lehrer die grundlegenden Termini der Wahrscheinlichkeitsrechnung eingeführt werden, mit besonderem Vermerk auf den Begriffen der Zufallsgrößen, der Verteilung, dem Erwartungswert und den Häufigkeiten. Auch ein kritischer Umgang mit erhaltenen Ergebnissen wird gefordert. Selbstverständlich lässt sich all das nicht innerhalb einer Unterrichtsstunde praktisch darstellen, jedoch soll die folgende eine Basis schaffen,

7 um den Schülern den Einstieg in die Thematik so angenehm wie möglich zu gestalten. Einführende Unterrichtsstunde in die Stochastik Die einführende Unterrichtsstunde soll mit einem geschichtlichen Einstieg beginnen. Hierbei geht es ganz konkret um die Anfänge des Glücksspiels, und um die ersten Überlegungen im 17. Jahrhundert am französischen Hofe hinsichtlich der Gewinnchancen dieser Spiele. Im Anschluss daran überlegen die Schüler gemeinsam, was man alles meint, wenn man vom Glücksspiel spricht. Ziel des Lehrers ist es hierbei, den Schülern einen praktischen Einstieg in Phänomene zu geben, die vom Zufall anhängig sind. Für diesen Einstieg sollten nicht mehr als sechs Minuten eingeplant werden. Nach diesem Start wird begonnen, dass Tafelbild zu entwickeln. Die Überschrift Stochastik, welche vom Lehrer durchaus schon vorher angeschrieben werden kann, wird nun um die Definition des Zufallsexperimentes erweitert, und dieser erste Teil wird nun von den Schülern in den Hefter übertragen, was ungefähr fünf Minuten in Anspruch nimmt. Danach ist abermals ein unmittelbarer Bezug zur Praxis angedacht. Hierbei spielt der Lehrer die Zufallsexperimente des einmaligen Münzwurfs mit einer fairen Münze und des einmaligen Würfelns mit einem fairen Würfel durch. Hierzu können entweder Schüler mit nach vorn geholt werden, oder der Lehrer geht rum und spielt pro Bank ein Experiment mit je einem Schüler durch. Alternativ kann man den Schülern auch Münzen oder Würfel austeilen, sodass sie mit ihren Banknachbarn diese Experimente durchspielen können. Dabei wird im Vorhinein die Frage gestellt, was man bei einem solchen Zufallsexperiment alles erfassen kann. Sinnvoll ist es, wenn der Lehrer durch geschicktes Fragen die Schüler in eine bestimmte Richtung lenkt, zum Beispiel mit folgenden Fragen: Ist das Experiment gerecht, wenn ich bei den Zahlen 1,2,3,4 gewinne, und du bei den Zahlen 5,6? Was muss man bei dem Experiment mit dem Würfel vorher wissen, um zu sagen, wann wer gewinnt? Solche Fragen führen zu dem Lernziel, dass die Schüler intuitive Begriffe anhand der durchgeführten Experimente für vier Fachtermini der Stochastik nennen, und zwar für fair, Ergebnismenge, Ereignis und Ausgangsmenge. Für diesen Schritt sind in etwa

8 zehn Minuten einzuplanen. Anschließend formuliert der Lehrer die von den Schülern gefundenen Begriffe mathematisch korrekt um und hält deren Definitionen im Tafelbild fest, welches die Schüler vervollständigen. Dieser Schritt sollte mit einer Viertelstunde veranschlagt werden, da hier das Wissen etabliert und nachhaltig durch das Tafelbild gesichert wird. Die nächsten 5 Minuten werden dazu genutzt, um zum nächsten Lernziel zu gelangen. Die Schüler wenden die abstrakten Begriffe anhand der Definitionen auf das Experiment des einmaligen fairen Münzwurfs an. Sie sollen zu der Erkenntnis gelangen, dass beispielsweise das Experiment deshalb fair ist, weil jede Seite der Münze vom Aufdruck abgesehen gleich geschaffen ist oder das die Ergebnismenge 2-elementig ist, und die Elemente Wappen und Zahl erhält. Dabei wird auf das Vorwissen zur Mengenlehre zurückgegriffen, welches die Schüler in den bereits durchlaufenen Klassenstufen erhalten haben (Nachdem in Klasse 5 der Begriff der Menge eingeführt wurde, hat man in Klasse 6 Lösungsmengen aufgeschrieben oder Teiler von 2 Zahlen in Venn-Mengendiagrammen erfasst.). In den verbleibenden zwei Minuten wird die Hausaufgabe angesagt und an die Tafel angeschrieben. Die Schüler sollen nach dem vorausgegangenen Beispiel die vier eingeführten Begriffe auf das Experiment des 1-maligen Würfelns mit fairem Würfel anwenden, sich also überlegen, dass ein normaler Würfel fair ist, dass die Ergebnismenge 6-elementig ist oder welche Ereignisse, also Gewinnbedingungen man sich überlegen könnte. Die letzten zwei Minuten sind als Puffer vorgesehen und können zur Stundenzusammenfassung genutzt werden.

9 Zur Gewährleistung der Übersichtlichkeit erfolgt die Illustration der Unterrichtsstunde anhand einer Tabelle. Zeit Inhalt Methode Lernziel Struktur Medien 6 min geschichtlicher Einstieg Lehrervortrag, Lehrer Schüler Gespräch Motivationsphase 5 min Def.: Zufallsexperiment Lehrervortrag Stoffvermittlung, Wissenssicherung Tafel 10 min Was kann man bei einem Zufallsexperiment erfassen? Partnerarbeit/ interaktives Lehrer Schüler Gespräch Nennen intuitiver Begriffe anhand der Experimente für 4 Termini der Stochastik spielerische Stoffvermittlung Würfel, Münzen 15 Formulieren der Grundbegriffe Lehrervortrag Stoffvermittlung/ Wissenssicherung Tafel 5 Üben der Begriffsanwendung Lehrer Schüler Gespräch Schüler wenden die abstrakten Begriffe anhand der Definitionen auf den 1 maligen Münzwurf mit fairer Münze an. Übungsphase Schüler wenden die abstrakten Begriffe 4 Hausaufgaben, Rückschau auf den Unterricht anhand der Definitionen auf das 1 malige Würfeln mit Abschluss Tafel fairem Würfel an. (Hausaufgabe)

10 Planung für ein Projekt im Stochastikunterricht Der Thüringer Lehrplan für das Fach Mathematik beinhaltet für die 8. Klasse an der Regelschule und für die 10. Klasse am Gymnasium das Thema Stochastik Beschreibende Statistik. Im Zuge dessen wird ein fächerübergreifendes Projekt vorgeschlagen, bei dem im Fach Mathematik eine Befragung durch die Schüler durchgeführt werden soll. Exemplarisch wollen wir ein fächerübergreifendes Projekt mit dem Fach Biologie planen. Hier sollen die inhaltlichen Grundlagen zum gewählten Projektthema Rauchen gelegt werden. Als Gesamtergebnis des Projektes soll von jedem Schüler ein Projektheft vorgelegt werden, indem alle Ergebnisse dargestellt werden. Sollte das Projekt durch zwei verschiedene Lehrer durchgeführt werden, ist es eventuell sinnvoll zwei Projekthefte (für jedes Fach eines) anlegen zu lassen. Im Fach Mathematik ist es im Rahmen des Projektes die Aufgabe der Schüler eine statistische Erhebung zu planen und durchzuführen. Dies soll in Gruppen in Eigenverantwortlichkeit durch die Schüler erfolgen. Der Lehrer steht dabei beratend zur Seite. Im Vorfeld sollte sich der Lehrer über Durchführung und Ziele des Projektes Gedanken machen. Da die Schüler in Gruppen arbeiten sollen ist zunächst zu überlegen, ob der Lehrer die Gruppen festlegt oder die Schüler eigene Gruppen zusammenstellen dürfen. Für das von uns ausgewählte Projekt schlage ich vor, nicht mehr als 4 Gruppen, zu vier bis sechs Schülern, zu bilden. Als zeitlichen Rahmen haben wir 6 Unterrichtsstunden zur Verfügung. Außerdem ist es sinnvoll das Projekt zeitlich so zu legen, dass nach der Hälfte der Unterrichtsstunden ein Wochenende liegt, so dass die Schüler ihre Umfrage durchführen können. Eine weitere wichtige Fragestellung für den Lehrer ist die Motivation für die Umfrage. Vielleicht gibt es an der Schule eine Schülerzeitschrift in der die Ergebnisse veröffentlicht werden können oder ähnliches. Im ungünstigsten Fall ist die Befragung nur Teil des fächerübergreifenden Projektes. Letztlich gilt es die Ziele des Vorhabens zu formulieren: Die Schüler sollen in Gruppen eine Befragung zu einem selbst gewähltem Thema, innerhalb des vorgegebenen Problems Rauchen, planen und durchführen. im Team zusammenarbeiten, die Aufgaben gemeinsam strukturieren und verteilen. ihre Ergebnisse in geeigneter Weise vorstellen. bereits bekannte Begriffe in ihrer Auswertung verwenden und diese auf ihre konkrete Befragung anwenden.

11 Die Aufgabenstellung für die Schüler könnte wie folgt lauten:»stellt euch folgende Situation vor: Die örtliche Tageszeitung sucht freiwillige Helfer, die eine Umfrage zum Thema Rauchen - plant und durchführt. Das konkrete Thema ist durch die Arbeitsgruppe zu bestimmen. Insgesamt sollen mindestens fünf und höchstens sieben Fragestellungen (inklusive der statistischen Angaben, wie z.b. Alter) betrachtet werden. Die Ergebnisse sind am [Datum] in unserer Redaktion zu präsentieren. Dazu stehen Ihnen maximal 10 Minuten zur Verfügung. Insgesamt habt ihr für das Projekt 6 Unterrichtsstunden zur Verfügung. Stellt einen Arbeitsplan auf, den ihr am Ende der ersten Stunde dem Lehrer vorlegt (überlegt euch auch WANN ihr die Befragung, außerhalb des Unterrichts, durchführen wollt). Aufgaben für den Projekthefter: 1. Protokolliert euren Arbeitsablauf! Vergesst nicht eure Fragen und die Antworten der Befragten festzuhalten. 2. Stellt die Arbeitsergebnisse in geeigneter Form dar und interpretiert sie! Benutzt dabei die Wörter: Grundgesamtheit, Merkmal, Stichprobe, Durchschnitt, absolute und relative Häufigkeit.«Für dieses Projekt muss der Lehrer bereit sein, den Arbeitsprozess der Schüler zu überwachen und ihnen bei Fragen oder Problemen zur Seite stehen. Des weiteren muss er die Arbeitspläne der Schüler beurteilen und die von den Schülern gewählten Fragen für die Erhebung begutachten. Dies ist für den Lehrer zum einen ein großer Zeitaufwand, zum anderen ein großer Organisationsauf-wand. Aus diesem Grund würde ich, wie bereits erwähnt, nur vier Gruppen in der Klasse vor-schlagen. Aber auch an die Schüler stellt die Aufgabe viele Anforderungen. Sie müssen sich als Team organisieren und die Umfrage ohne viele Vorgaben planen. Dabei sollten sie z.b. die statistischen Angaben, die eine Erhebung beinhaltet, nicht vergessen. Die Aufgabenstellung ist so gewählt, dass der Lehrer frühzeitig in den Arbeitsprozess eingreifen kann, wenn eine Gruppe zu scheitern droht. So ist das Aufstellen eines Zeitplanes für die Schüler von großer Bedeutung. Zum einen ist bereits hier ihr Organisationstalent gefragt und zum anderen können mögliche auftretende Probleme bereits hier erkannt und korrigiert werden. Der weitere Ablauf des Projektes liegt zum größten Teil in der Hand der Schüler und kann im Voraus nur schwer geplant werden. Ein möglicher Arbeitsplan könnte wie folgt aussehen: 1. Stunde: Zeitplan aufstellen, evtl. Beginn Themenfindung 2. Stunde: Themenfindung und Beginn Fragen auszusuchen 3. Stunde: Fragen aufstellen und jedem Gruppenmitglied zukommen lassen; Festlegung,

12 wie viele Menschen pro Gruppenmitglied befragt werden sollen Wochenende: Befragung findet statt 4. Stunde: Ergebnisse werden zusammengetragen; Beginn der Auswertung 5. Stunde: Beenden der Auswertung und Präsentation überlegen 6. Stunde: Vorstellen der Ergebnisse Aufgrund des großen Umfangs und der offenen Aufgabenstellung können einige Probleme auftreten. Die Schüler müssen viel selbst organisieren. Das kann sie an ihre Grenzen führen und sie überfordern. In großen Klassen ergeben sich große Arbeitsgruppen. So ist es für einzelne Schüler eventuell möglich sich in der Masse abzuducken. Dies wird ein wenig abgefangen, weil jeder Schüler die Ergebnisse der Arbeit in seinem eigenen Projektheft festhalten soll. Auch der sehr eng gesteckte zeitliche Rahmen kann zu Problemen führen. Die Schüler müssen genau planen, um ihre Ziele zu erreichen. Letztlich kann es dazu führen, dass die Präsentation der Ergebnisse unter dem Zeitdruck leidet. Ein Ausweg könnte sein, weitere Unterrichtsstunden für das Projekt einzuplanen. Unter Umständen ist ein fächerübergreifender Unterricht auch so möglich, dass die Schüler im Fach Biologie an ihren Mathematikaufgaben weiterarbeiten können, wenn sie ihre Aufgaben dort bereits erledigt haben.