Begriffsbildung Wahrscheinlichkeit

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Käte Schulz
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1 Gymnasium Neureut Dienstag, Arbeitskreis Anwendungsorientierter Mathematikunterricht Rolf Reimer, Staatliches Seminar für Didaktik und Lehrerbildung (Gymnasien) Karlsruhe Begriffsbildung Wahrscheinlichkeit Unterrichtseinheit, Klasse 7

2 Anwendungscharakter der Mathematik: Modellieren und Problemlösen Mathematikunterricht als Prozess, in dem Produkte entstehen. Vernetzung mit der Alltagswelt: Modellierungskreislauf (Vier Phasen Vier Prozesse) Ge- und erlebte Welt des Alltags (Bereichert durch nützliche math. Werkzeuge...) Welt der Schulmathematik (Ort an dem Werkzeuge gemacht werden...) Problemstellung prüfen auf Brauchbarkeit überführen in Mathematische Beschreibung Aufgabe lösen der Aufgabe 4. Lösung des Problems interpretieren der Lösung Lösung der Aufgabe 3. Aufgabe des Mathematikunterrichts: Es wird ein Werkzeugkasten mit Gebrauchsanweisungen für die blaue Welt entwickelt, welcher in der grünen Welt nützlich ist. Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 1

3 Grundvorstellungen zur Wahrscheinlichkeit Empirisch: Relative Häufigkeit Experiment Relative Häufigkeiten sind (bestmögliche) Schätzungen für die Wahrscheinlichkeit. Annahmen: Relativer Anteil Denken Anzahl der günstigen Ergebnisse Anzahl aller Ergebnisse Subjektives Vertrauen Persönliche Erfahrungen Prognostischer Aspekt Maß für eine Erwartung Mit Wahrscheinlichkeiten will man das Auftreten von Ereignissen bei Zufallsexperimenten möglichst objektiv vorhersagen. Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 2

4 Idee: Grundvorstellungen durchgängig über Beispiele ausbilden Vorwissen nutzen: Anteile, Prozente, Rechnen Drei Werkzeuge verwenden: - Experiment (Versuchsreihen auswerten) - Denken (Annahmen machen) - Strukturelles Hilfsmittel (Baumdiagramm) Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 3

5 Einstiegsaufgabe Wer nichts weiß, probiert! Tisch abräumen Der Zufall als Streitschlichter Michi und Niki streiten sich täglich, wenn es darum geht, den Tisch abzuräumen. Und gemeinsam ist es am allerallerallerdoooooofsten. Michi schlägt Niki vor, dass von jetzt an der Zufall darüber entscheiden soll, wer täglich abräumt. Sie sagt: Du darfst jeden Tag dreimal würfeln. Wenn du dabei eine Sechs würfelst, muss ich abräumen. Sonst räumst du ab. Soll Niki den Vorschlag annehmen? Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 4

6 Schätzen Experimentieren Häufigkeiten - Lesen - Verstehen: Spiel durchführen spielen, Fehlvorstellungen ausräumen - Schätzungen abgeben - Bankweise 10 mal spielen, Ergebnisse sammeln, vorstellen, diskutieren - Ergebnisse sukzessive kumulieren, absolute und relative Häufigkeit des Versuchs bestimmen - Vergleich des Gesamtergebnisses (320 Versuche) mit den ersten Ergebnissen (10 Versuche) Niki wird wohl nicht mitspielen! Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 5

7 Üben und Vertiefen: Zufallsgeräte analysieren und variieren Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 6

8 Noten Würfeln mit System Vom Würfeln zum Denken Die Schüler der Klasse 7 beschweren sich beim Mathelehrer, weil die Noten in den Klassenarbeiten zu schlecht ausfallen. Lehrer Reimer macht zwei Vorschläge: 1. Ich würfle für jede Note mit einem Würfel. Die Augenzahl ist die Note. Wer Mathe lernt, hat mehr vom Leben. 2. Ich würfle für jede Note mit zwei Würfeln. Die Summe der beiden Augenzahlen wird halbiert. Danach wird auf Ganze abgerundet. Das Ergebnis ist die Note. Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 7

9 Handlungsorient Tabelle relativer Anteil Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 8

10 K.O. - Spiel Durchblick mit einem Baumdiagramm In einer Socke befinden sich 7 Plättchen mit dem Buchstaben O und 2 Plättchen mit dem Buchstaben K. Man zieht zweimal mit Zurücklegen. Beim Ziehen des Wortes OK gewinnt man, beim Ziehen des Wortes KO verliert man. O K O O O O O K O Bestimme die Gewinnchancen. Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 9

11 Propädeutik der Pfadregel : Stochastischer Abakus nach A. Engel K O 7 9 K 40 O 140 K 140 O 490 Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 10

12 Spiele mit Zufallsgeräten Übungsblatt: Experimentieren oder Denken? Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 11

13 Die Kür: Tisch abräumen Lösung ohne Experiment Baumdarstellung nutzen Denken Baumdarstellung: maximal 3 Stufen, Ergebnisse: 6 und 6 Einzelwahrscheinlichkeiten der Stufen aufschreiben Experiment gedanklich mit 4320 Versuchen durchführen und die erwarteten Aufteilungen an den Stufen vornehmen Auswertung W(Michi) = 0,42 42% W(Niki) = 0,58 58% 4320 Vergleich mit dem Experiment Michi Niki Experiment (320 reale Versuche) 39,1% 60,3% Theorie (4320 gedachte Versuche) 42% 58% Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 12

14 Problemlösen: Eine Wahrscheinlichkeit schätzen und verwenden Fische im Teich Im trüben Schulteich des GiPS schwimmen 13 Fische. Ihre Farbe ist entweder gelb oder rot. Man möchte herausfinden, wie viele Fische gelb und wie viele Fische rot sind. Wegen des Tierschutzes darf man jedoch immer nur einen Fisch fangen und seine Farbe feststellen. Danach muss er gleich wieder zurück in Wasser. Wie kann man unter diesen Bedingungen (Teichwasser ablassen, Teich leerfischen usw. ist nicht erlaubt) sinnvoll schätzen, wie viele Fische im Teich rot oder gelb sind? Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 13

15 Was haben wir gelernt? Die Wissenskarte zur Wahrscheinlichkeit - Die relative Häufigkeit eines Ergebnisses bei einem Zufallsversuch wird berechnet durch absolutehäufigkeit desergebnisses Anzahl derversuch e. - Relative Häufigkeiten sind bestmögliche Schätzwerte für Wahrscheinlichkeiten. - Mit Annahmen kann man Wahrscheinlichkeiten ohne Versuchsreihe angeben. - Mit Wahrscheinlichkeiten kann man die Häufigkeit von Ergebnissen bei langen Versuchsreihen (in etwa) vorhersagen. - Bei Zufallsexperimenten, die mehrstufig sind hilft ein Baumdiagramm zur Ermittlung der Wahrscheinlichkeiten (z.b. 2-maliges Drehen am Glücksrad, 3-maliges Würfeln ). Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 14

16 Quellen, Literatur, Tipps - Seminar Karlsruhe: Unterrichtseinheit Begriffsbildung Wahrscheinlichkeit, Klasse 7. - Julia Neumann, Hinführung zum Wahrscheinlichkeitsbegriff, DUE, Seminar Karlsruhe, Karla Höning, Herausbildung einer Grundvorstellung von Wahrscheinlichkeit in Klasse 7 mittels Vernetzung von auftragsgesteuertem mit dialogischem Lernen, DUE, Seminar Karlsruhe, Günther Malle und Sonja Malle, Was soll man sich unter einer Wahrscheinlichkeit vorstellen?, mathematik lehrern, Heft 118, Wolfgang Riemer, Internet-Seite: Anfragen zu Materialien des Seminars: rolf-reimer@freenet.de Fachbereich Mathematik, Rolf Reimer 15

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