Träge Masse und Kräfte

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1 Träge Masse und Kräfte Wir haben Masse definiert als die Eigenschaft (von Materie) sich einer Bewegungsänderung zu widersetzen. In diesen Texten wird schon etwas eingegangen auf den Zusammenhang zwischen Beschleunigung, Masse und Kraft. Zu machen: (a) Beispiel 1 oder 3, (b) plus noch ein anderes Beispiel nach Wahl, und (c) von einem dritten Beispiel den Text zusammenfassen. Beispiel 1: Planetenbewegung Wenn die Sonne uns durch die Gravitationskraft anzieht, warum prallen wir dann nicht auf die Sonne? Warum fällt der Mond nicht auf die Erde? Wenn wir sagen, dass die Erde den Mond anzieht, warum sehen wir dann nicht, dass der Mond seinen Kurs ändert und in unsere Richtung kommt? Mit solchen Fragen beschäftigte sich der Gelehrte Isaac Newton auch 1. Newton fand eine befriedigende Antwort, die auch jetzt noch eine wichtige Rolle in der klassischen Mechanik spielt. Er stellte sich zuerst die Frage, was mit der Erde passieren würde, wenn die Sonne auf einmal nicht mehr da wäre. (Vergleiche mit Beispiel 3.) Weil dann keine anziehende Kraft auf die Erde ausgeübt wird, fliegt die Erde in einer Gerade weiter! Wenn ein Objekt keine Kraft spürt, dann ändert sich die Bewegung nicht, d.h. dass die Geschwindigkeit sich nicht mehr ändert. Insbesondere die Richtung der Geschwindigkeit ändert sich nicht. Um Geschwindigkeit zu beschreiben brauchen wir also eigentlich Vektoren! Aufgabe: Zeichne die Bahn eines Planeten um die Sonne. Gebe in einigen (ca. 5) Punkten der Bahn die Richtung der Geschwindigkeit des Planeten an. Zeichne, wie sich der Planet weiterbewegen würde, wenn die Sonne auf einmal nicht mehr da wäre. Erkläre in eigenen Worten was ein Vektor ist. Sonne Erde Eine Frage können wir also schon beantworten: der Mond ändert schon die ganze Zeit seine Bewegung, eben weil er sich in einem Kreis um die Erde dreht. Gleiches gilt für 1 Hier ist einen Bonus zu verdienen: Beschreibe in etwa 250 Worten was Newton während seiner Lebenszeiten entdeckt hat. Irgendwann bei mir abzugeben. 1

2 2 die Erde: sie bewegt sich in einem Kreis um die Sonne, und ändert schon die ganze Zeit die Richtung ihrer Bewegung. Es ist hier kurz zu bemerken, dass die Planetbahnen im Allgemeinen Ellipsenbahnen sind; Kreise sind sehr besondere Ellipsen. Die Bahn der Erde um die Sonne ist zwar nicht ein perfekter Kreis, aber einem Kreis doch sehr ähnlich. Daher werden wir zuerst mal annehmen, dass die Bahn der Erde um die Sonne ein Kreis ist. Aber noch immer die Frage: warum fallen wir dann nicht auf die Sonne? Anscheinend handelt es sich hier um ein Gleichgewicht, um eine Balance! Die Bewegungsänderung, die wir durch die Sonne machen, ist gerade stark genug um uns - die Erde - in einer Kreisbahn um die Sonne drehen zu lassen. Wie können wir das Gleichgewicht zerstören? Wie würde die Erde ihre Bahn um die Sonne ändern, wenn wir die Kreisgeschwindigkeit niedriger machen? Oder wenn wir die Masse der Erde ändern würden? Wenn wir die Geschwindigkeit der Erde erhöhen, aber nicht die Richtung ändern, dann zieht die Sonne nicht stark genug, ums uns in der Bahn zu halten. Dadurch wird dann zuerst die Distanz Erde-Sonne zunehmen. Was danach passiert ist schwierig vorhersagbar, weil die Gleichungen ziemlich schwierig sind. Darum macht man oft Simulationen für solche Berechnungen. Es ist überhaupt nicht sicher ob die neue Bahn der Erde wieder genau so ausschaut; vielleicht wird es eine Ellipsenbahn die überhaupt nicht mehr einer Kreisbahn ähnlich ist. Wenn wir die Geschwindigkeit zu groß machen, wird ermöglicht, dass wir soviel Bewegung haben, dass wir uns der Kraft der Sonne entziehen können und das Solarsystem verlassen. Vorteilhaft wäre das nicht; wenn die Distanz Sonne-Erde nur ein paar Prozent größer wird, wird es hier auf der Erde ziemlich schnell viel kälter. Umgekehrt, wenn wir die Richtung der Geschwindigkeit nicht ändern, aber die Größe kleiner machen, wird es anfangs wärmer! Aufgabe: Warum wird es dann zuerst etwas wärmer? Mit der Masse ist etwas Komisches: es wird sich nichts ändern. Die Erklärung ist ein wenig schwierig, wenn man sie das erste Mal hört. Wenn die Gravitationskraft der Sonne sich nicht ändern würde und also die Kraft, die uns in der Bahn um die Sonne hält, konstant bleibt, aber unsere Masse größer wird, dann zieht die Sonne uns nicht mehr stark genung an, weil wir mit mehr Masse unsere Bewegung weniger leicht ändern. Wir werden also ein wenig aus der Bahn rutschen. Folge wäre dann, dass der Radius der Kreisbahn größer wird. Aber, die Anziehungskraft der Sonne wird auch größer wenn die Masse zunimmt, und zwar soviel, dass diese Effekte einander in Balance halten. Es ändert sich dann nichts. Aufgabe: Erkläre warum man ab und zu sagt, dass Masse eine Doppelrolle spielt. Hinweis: denke an die Schwerkraft und an die Trägheit der Masse. Beispiel 2: Verkehrsunfälle und Sicherheitsgurt Warum müssen wir eigentlich im Auto einen Sicherheitsgurt tragen? Ich glaube, dass jeder wohl irgendwann gelesen hat, dass die Beteiligten an einem Verkehrsunfall aus dem Wagen geschleudert wurden. Intuitiv können wir uns das gut vorstellen. Wenn das Auto in einer Sekunde von 80 km/h auf 0 km/h bremst, dann schießt man halt aus dem Auto hinaus! Aber warum eigentlich?

3 3 Die Antwort ist sehr leicht: weil Masse träge ist! Ein Objekt (in dem Fall ein Körper eines Menschen) bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit weiter, wenn es keine Kraft spürt. Das heißt, dass eine Masse sich einer Bewegungsänderung widersetzt. Umso mehr Bewegungsänderung man realisieren will, umso mehr Kraft braucht man. In einem Auto wird fast keine Kraft auf dich ausgeübt, die deine Bewegung von 80 km/h vorwärts ändern könnte. Das impliziert, dass du nach vorne schießt wenn das Auto auf einmal nicht mehr 80 km/h fährt (weil durch zb einen Baum eine sehr große Kraft auf das Auto ausgeübt wird), und du fliegst durch das Fenster. Aufgabe: Erkläre, warum sich ein Sicherheitsgurt etwas bewegen können muss; er darf nicht zu fest sein. Macht es etwas aus, ob die Person im Auto schwer ist oder nicht? Mann könnte sich fragen, ob eine schwere Person mehr Gefaht läuft aus dem Auto geschleudert zu werden, als ein Baby. Stell dir vor, du sitzt drinnen ganz fest angeschnallt, und du musst die lenkende Person während eines Aufpralls gegen einen Baum festhalten. Würdest du mehr Kraft ausüben müssen, wenn diese Person schwer oder leicht ist? Aufgabe: Um eine Bewegungsänderung von einem Objekt zu realisieren, brauchen wir dann mehr oder weniger Kraft wenn das Objekt schwer oder leicht ist? Gib eine Erklärung! Wie hängt die benötigte Kraft von der zu realisierenden Beschleunigung ab? Erkläre! Wir sehen also, dass die Kraft, die nötig ist einem Objekt mit Masse M eine Beschleunigung a mitzugeben, zunimmt, wenn M oder a zunimmt. Aufgabe: Was ist die Einheit von Masse? Und was die von Beschleunigung? Was ist dann die Einheit von der Größe Ma? Beispiel 3: Kugelstoßen Beim Kugelstoßen dreht sich der Athlet in einem Kreis und lässt nach ein paar Kreisen die Kugel aus der Hand fliegen. Umso schneller sich der Athlet dreht, umso weiter kommt die Kugel. Die Frage ist jetzt: wenn Masse sich einer Bewegungsänderung widersetzt, warum sich die Kugel dann nach dem Loslassen nicht in einem Kreis weiterbewegt? Aufgabe: Zeichne die Bewegung der Kugel, wenn sich der Athlet in Kreisen mit der Kugel in der Hand bewegt. Gebe in einigen Punkten der Bahn der Kugel die Richtung der

4 4 Geschwindigkeit an. Um eine Bewegung zu änderen, muss nicht nur die Größe geändert werden, aber auch die Richtung. Geschwindigkeit ist also ein Vektor. Aufgabe: Erkläre in eigenen Worten, was ein Vektor ist. Im Besonderen, erkläre was der Unterschied zu einem Skalar ist. Nach dem Loslassen bewegt sich die Kugel also mit der Geschwindigkeit, die sie im Moment des Loslassens hatte. Vor allem auch die Richtung ändert sich nicht. Daher bewegt sie in einer geraden Bahn weiter; bei einer Kreisbewegung ändert sich die Richtung der Bewegung ständig. Aufgabe: Doch bleibt die Geschwindigkeit nach dem Loslassen nicht wirklich konstant, und auch ist die Bahn nicht ganz gerade, weil die Kugel ja auf die Erde fällt. Warum? Aufgabe: Diskutiere so wie etwa bei Beispiel 1, welchen Einfluss Masse und Drehgeschwindigkeit haben auf wie weit die Kugel kommt. Dieses Mal brauchen wir keine Simulationen! Stell dir vor, im Jahr 2100 ist es möglich die Olympischen Spiele auf dem Mond zu veranstalten. Wenn wir Menschen uns in den nächsten 100 Jahren nicht zu viel ändern (sodass wir nicht auf einmal durchschnittlich so stark sind wie Schwarzenegger jetzt), was kann man dann über die Weltrekorde Kugelstoßen sagen? Werden die dann vielleicht gebrochen, wenn wir auf dem Mond spielen? Aufgabe: Können wir auf dem Mond weiter, gleich weit, oder weniger weit kugelstoßen? Beispiel 4: Bergwandern und Knieverletzungen Eine Verletzung, die man beim Bergwandern erleiden kann, ist ein überbelastetes Knie. Man sagt immer, dass wenn man schneller bergabwärts wandert, man sich leichter das Knie verletzt. Ist das so? Und wenn ja, warum? Die übliche Antwort ist, dass man mehr Druck auf das Knie ausübt. Aber warum soll man mehr Druck ausüben, wenn man schneller bergabwärts spaziert? Eine Tatsache ist, dass beim Spazieren immer ein Fuß auf dem Boden stillsteht. Beim normalen Spazieren bewegt sich dein Unterschenkel eine bestimmte Zeit und steht dann auf einmal still. Durch die Abwicklung im Kniegelenk, dreht sich in der Zeit, in der dein Unterschenkel stillsteht, der Oberschenkel weiter, und so bewegt sich der Körper relativ stetig weiter. Beim bergabwärts Spazieren sind einige Sachen anders. Das Wichtigste ist, dass dein Körper sich wegen der Schwerkraft während eines Schritts sich beschleunigt. Aufgabe: Mache eine Skizze von einer in der Ebene spazierenden Person, und zeige warum dein Körper während eines Schritts nicht so viel beschleunigt wie beim bergabwärts gehen. Wenn sich aber dein Körper bei einem Schritt sich beschleunigt, dann muss er beim Kontaktmoment vom Fuß mit dem Boden gebremst werden. Bremsen ist auch eine Beschleunigung. Aufgabe: Erkläre die vorige Behauptung; warum ist Bremsen ebenso eine Beschleunigung? Ändert sich die Richtung oder die Größe der Geschwindigkeit? Jetzt müssen wir uns aber fragen, durch welche Kraft diese bremsende Beschleunigung verursacht wird. Nachdem ihr den Titel dieses Abschnitts lesen könnt, muss es klar sein,

5 5 dass das Knie dafür sorgt, dass der Körper bremst. Aufgabe: Erkläre mittels einer Skizze warum es auch das Knie ist, das für die bremsende Bewegung verantwortlich ist. Damit sind wir fast fertig. Dein Knie muss also beim bergabwärts Gehen dafür sorgen, dass die Bewegung des Körpers sich ändert. Da sich aber die Masse deines Körpers dieser Bewegung wiedersetzt, muss das Knie sich bemühen; es muss eine Kraft liefern. Das Liefern einer Kraft ist der Druck auf deinem Knie, obwohl das physikalisch gesprochen eine falsche Behauptung ist. Bonusauftrag: Warum ist diese Behauptung physikalisch falsch? Wenn deine Kniemuskeln immer eine Kraft ausüben müssen, ist der Verschleiß groß, und die Kraft, die man auf diese Weise beim bergabwärts Gehen ausüben muss, ist größer als was man (als normale Person) gewöhnt ist. Daher ist der Verschleiß auch größer, und das Knie wird überbelastet. Aufgabe: Mache mittels Skizzen klar, dass obige Argumentierung nicht die volle Erklärung ist; was fehlt da im Argument? Was ist noch mehr Grund dafür, dass der Muskelund Sehnenverschleiß beim bergabwärts Gehen größer ist? Bonusaufgabe: Gehen wir davon aus, dass die Kraft, die man beim abwärts Gehen mit einer bestimmten Geschwindigkeit benötigt, proportional ist zur Masse der Person. Wir schreiben L für den minimalen Durchmesser des Oberschenkelmuskels, sodass diese Person keine Knieverletzung beim bergabwärts Gehen vom Schneeberg bekommt. Generell ist L eine Funktion L(M) von der Masse M einer Person. Wie hängt L von der Masse M der Person ab? Beispiel 5: Big Bang Wer hat noch nie davon gehört, dass das Weltall mit einer großen Explosion entstanden ist? Es handelt sich hier um eine Theorie, für die aber viele Beweise geliefert sind! Gehen wir mal davon aus, dass diese Theorie, die den Namen Big Bang Theorie trägt, stimmt und gehen wir mal nach, wie man Beweise dafür finden kann. Natürlich kann ich nicht alle Beweise nennen, aber einen bestimmten Hinweis möchte ich in diesem Beispiel erklären.

6 Wenn ein Objekt, wie ein Stern, eine gleichförmige Bewegung macht und keine Kraft auf das Objekt ausgeübt wird, dann wird sich die Geschwindigkeit nicht ändern. Deswegen werden sich alle Sterne im Weltall mit einer bestimmten Geschwindigkeit bewegen müssen, wenn sie mal mit einer Explosion weggeschossen sind. Aufgabe: Welche Kraft üben Sterne aufeinander aus? Die Frage ist jetzt, wie sich diese Geschwindigkeit auf die relativen Geschwindigkeiten von den Sternen auswirkt. Aus der allgemeinen Relativitätstheorie von Einstein folgt Folgendes: die Geschwindigkeit mit der sich zwei gegebene Punkte auseinander bewegen, ist proportionall zu der Distanz zwischen den zwei Punkten. Um diese Tatsache richtig zu erklären braucht man schon einiges an theoretischen Hilfsmitteln, die wir leider noch nicht behandeln können. Aber die Tatsache an sich ist relativ leicht. Also werden wir sie als Tatsache annehmen, und damit weiter gehen. Aufgabe: Wenn d die Distanz zwischen zwei Sternen ist, dann ist die Geschwindigkeit v mit der sie sich von einander wegbewegen also gegeben durch v = Hd, wobei H eine Konstante ist, die man die Hubblesche Konstante nennt, nach dem Astronomen Ed Hubble. Suche in Wikipedia oder so, wie groß H ist. Achte dabei auf die Einheiten! Eine oft für Distanz benutzte Einheit in der Astronomie ist das Parsec: 1 Parsec = 3, m. Berechne die Geschwindigkeit mit der der nächste Stern (alpha Centauri) sich von uns wegbewegt. Der Astronom Hubble hat gezeigt, dass diese Geschwindigkeit, mit der sich Sterne von uns wegbewegen, sehr gut durch die Regel v = Hd beschrieben werden. Das war eine erste Indiz dafür, dass diese komische Big Bang Theorie mal richtig sein könnte. Warum bewegen die Sterne sich immer auseinander? Bewegen sie sich wirklich immer auseinander? Nach einer Explosion auf Erde werden die Fetzen ja auch nicht ewig auseinander fliegen! Auf der Erde gibt es Luft, und wenn ein Objekt durch die Luft fliegt, ist es der Reibungskraft fällig. Dadurch ändert sich die Geschwindigkeit des fliegenden Objekts, bis die Geschwindigkeit Null ist (oder bis es den Boden trifft, und dadurch gebremst wird). Tatsache bleibt: wir brauchen eine Kraft um die Bewegung zu ändern, aber im Weltall gibt es keine Luft! Aber es gibt ja die Schwerkraft, und diese bremst die Sterne. Doch, der Einwand ist zwar gut, aber die Schwerkraft zwischen der Sonne und dem nächsten Stern ist sehr klein. Daher ist das Bremsen nicht so effektiv. Aufgabe: Erkläre, dass Bremsen auch eine Art von Beschleunigung ist. Die Sterne im Weltall werden sich also noch wohl einige Zeit auseinander bewegen gemäß der Hubbleschen Regel. Der Grund dafür ist, dass die Masse eines Sterns träge ist und sich der Schwerkraft widersetzt! Aufgabe: Umso schwerer ein Stern ist, desto mehr wird er sich der Schwerkraft widersetzen. Doch ist die Geschwindigkeit, mit der sich zwei Sterne aus einander bewegen, unabhängig von der Masse der Sterne. Wie ist das möglich? Hinweis: Siehe Beispiel 1, letzten Abschnitt. Wir sehen auch hier wieder, dass die Masse eine Doppelrolle spielt: (1) Masse ist träge, und ist daher der Grund, warum ein Objekt sich einer Kraft widersetzt aber auch (2) Masse ist gravitierend, womit gemeint ist, dass Masse eine Schwerkraft erzeugt, welche proportional zur Masse ist. Im Grunde hätten diese zwei Arten von Masse, diese zwei Eigenschaften der Materie unabhängig sein können. 6

7 7 Aufgabe: Spekuliere, was sich alles ändern könnte, wenn diese zwei Eigenschaften der Materie unabhängig wären. Beispiel 6: Wetter - die Wege eines Hochs bzw. Tiefs Ist dir jemals aufgefallen, dass ein Hoch auf einer Wetterkarte immer einem bestimmten Weg folgt? Warum kommt ein Tief immer aus dem Südwesten, vom Atlantik? Im Osten der Vereinigten Staaten ist das auch so; die Hochs und Tiefs kommen dort auch aus dem Südwesten. Also ist es nicht so, dass der Atlantik dafür verantwortlich ist, wie ein Tief sich bewegt. Dazu die folgende Frage: warum dreht der Wind sich so komisch um einen Hoch und um ein Tief? Der Wind geht doch einfach von Hoch nach Tief? Warum dann nicht in einer Gerade? Aufgabe: Finde eine Wetterkarte, oder besser eine Animation im Internet, und überzeuge dich, dass der Wind nicht in einer Gerade von Hoch zum Tief geht. Jetzt müssen wir auch in diesem Fall bedenken, dass ein Objekt seine Geschwindigkeit nicht ändert, wenn keine Kraft auf das Objekt ausgeübt wird. Aber Geschwindigkeit hat nicht nur eine Größe, sondern auch noch eine Richtung! Daher wird sich ein Objekt mit konstanter Geschwindigkeit auf einer Gerade fortbewegen, wenn keine Kräfte auf das Objekt ausgeübt werden. Aber, welche Kräfte werden dann auf den Wind ausgeübt? Doch ist es hier nicht so einfach! Die Schwerkraft wirkt nach unten, also diese spielt hier keine Rolle. Beantworte zuerst mal die folgende Frage: Aufgabe: Die Erde dreht sich um ihre Achse. Stelle dir eine Gerade auf der Erde vor, und lasse ein Objekt entlang dieses Gerade bewegen, während sich die Erde dreht. Ist die Bahn des Objekts dann eine Gerade? Beim Beantworten der vorigen Frage bist du wahrscheinlich drauf gekommen, dass was für uns gerade scheint, nicht immer gerade ist. Wenn du denkst, dass du dich auf einem Karussell entlang einer Gerade bewegst, dann sieht das von außerhalb des Karoussels nicht so gerade aus. Oder, stell dir vor, jemand schießt einen Pfeil von einem Karussell ab; diese Person sieht den Pfeil nicht entlang einer Gerade bewegen! Aufgabe: Skizziere die Bahn des Pfeils!

8 Wenn du auf einem Karussell vom Zentrum aus hinaus gehst, in Richtung Rand des Karussells, dann spürst du auch eine Kraft. Diese Kraft ist eigentlich nur eine Scheinkraft: die Richtung der Geschwindigkeit des Karussells dreht sich die ganze Zeit, und um auf dem Karussell zu bleiben, musst du in der Bahn gehalten werden. Vergleiche mit Beispiel 1! Um dich also in der Bahn des Karussells zu halten, oder um dich in einer (auf dem Karussel) Gerade zu bewegen, muss eine Kraft ausgeübt werden. Weil Masse träge ist, wird sie sich dieser Kraft widersetzen; dein Körper wird in Abwesenheit von Kräften von dem Karussell geschleudert. So auch für die Winde, die durch den Druckunterschied von einem Hoch zu einem Tief angezogen werden; sie werden ein wenig von der geraden Bahn weggeschleudert. Aufgabe: Stell dir vor, ein Wind geht vom Nordpol in Richtung Äquator. In welcher Richtung wird die Bahn gebeugt? Hinweis: Denke an die vorige Aufgabe. Verallgemeinere und argumentiere ob sich der Wind um ein Hoch im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn dreht! Weil es in den Tropen sehr warm ist, steigt dort warme Luft auf. Dadurch entsteht dann ein Tief. Von den etwas kälteren Regionen kommt dann ein Wind über Land in der Richtung der Tropen. Diese Winde heissen Passatwinde. Aufgabe: Erkläre, warum es auf der Nordhalbkugel Nordost-Passate und auf der Südhalbkugel Südost-Passate gibt. Hinweis: Denke an die Aufgabe mit dem Pfeil und schaue auf die Erde vom Nordpol aus! 8