Eichtheorien - Standardmodell. Katharina Müller Universität Zürich

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1 Eichtheorien - Standardmodell Katharina Müller Universität Zürich kmueller@physik.unizh.ch 28. Juni 2002

2 Inhaltsverzeichnis 1 Eichtheorien Einleitung Was ist eine Eichtheorie? Elektromagnetismus: lokale Eichinvarianz der Maxwellgleichung Schrödingergleichung Diracgleichung Eichprinzip Höhere Symmetriegruppen Nicht abelsche Eichtheorien Erweiterung auf SU(3) Elektroschwache Vereinheitlichung Higgsmechanismus Massive Eichbosonen und Fermionen? Spontane Symmetriebrechung Higgs und SU(2) L U(1) Y Masse von Fermionen und Quarks Standardmodell Zusammenfassung Standardmodell Erfolg des Standardmodells Bestimmung des Weinbergwinkels Z-Breite und Anzahl Neutrinos Katharina Müller 1 Eichtheorien

3 4.3 Higgs Suche Higgs Suche bei LEP Literatur 39 Katharina Müller 2 Eichtheorien

4 Kapitel 1 Eichtheorien 1.1 Einleitung Bisheriges Verständnis (KTI): Materie besteht aus Quarks und Leptonen (je drei Familien), beide sind nach unserem Wissen strukturlos und haben Spin 1/2. Die Wechselwirkung der Leptonen und Quarks wird bestimmt durch die elektromagnetische, schwache und die starke Wechselwirkung (plus Gravitation), die in ihrer Struktur sehr ähnlich sind. Jede dieser Wechselwirkungen wird durch den Austausch von Vektorbosonen (Spin=1) vermittelt. Dabei können die Gluonen, da sie selbst Farbe tragen untereinander wechselwirken, ebenso die Bosonen der schwachen Wechselwirkung, nicht aber die Photonen. Weiter wissen wir, dass an der schwachen Wechselwirkung nur linkshändige Neutrinos beteiligt sind. Wechselwirkung el.mgn. schwach stark Kopplung an Ladung schwache Ladung Farbe Austauschteilchen Photon W ±, Z 0 8 Gluonen Masse 0 80GeV 0 Leptonen neutral - x (nur l) - geladen x x (nur l) - Quarks x x (nur l) x Die elektromagnetische Wechselwirkung kann sehr erfolgreich durch die Maxwell Gleichungen beschrieben werden, zusammen mit der Quantenmechanik erhalten wir die Quantenelektrodynamik (QED). Wie wir sehen werden, kann die schwache und die starke Wechselwirkung als Verallgemeinerung der QED beschrieben werden. Katharina Müller 1 Eichtheorien

5 Symmetrieprinzipien spielen in der Teilchenphysik eine grosse Rolle. Die Forderung nach Invarianz eines physikalischen Prozesses unter einer Symmetrieoperation führt zu Erhaltungssätzen in Form von Quantenzahlen, die uns sagen, was erlaubt und was verboten ist. Nun werden wir sehen, dass Symmetrien die Kraftgesetze festlegen Heute glaubt man, dass alle Wechselwirkungen durch Symmetrien bestimmt werden. Dies bedeutet auch, dass die erhaltenen Grössen wie Ladung oder Farbe lokal und nicht nur global erhalten sind. Die systematische Formulierung der Wechselwirkungen durch Symmetrien hat in der Teilchenphysik an grundlegender Bedeutung gewonnen. 1.2 Was ist eine Eichtheorie? Es gibt sogenannte Symmetrieoperationen das sind Transformationen des Objektes die die Physik nicht ändern (auch Invarianz unter Transformation). Beispiel: Gravitation: Translations- und Rotationsinvarianz, Newton, Relativitätstheorie Maxwell Gleichungen: Nullpunkt des Potentials kann frei gewählt werden. Schwache WW: schwacher Isospin Starke WW: Rotation im Farbraum, egal wie Koordinatensystem gewählt wird rgb brg... Globale Symmetrie (Invarianz): die gleiche Transformation wird überall bei allen Raum-Zeitpunkten durchgeführt Lokale Symmetrie (Invarianz):verschiedene Transformationen werden an verschiedenen Raum-Zeitpunkten durchgeführt. Beispielsweise snd lokale Transformationen nötig für den Übergang von der speziellen zur allgemeinen Relativitätstheorie Globale Invarianz muss nicht lokale Invarianz bedeuten. Wir werden nun erstmal nochmals die elektromagnetische Wechselwirkung unter dem Aspekt der Symmetrie betrachten. Später werden wir die Verallgemeinerung für die starke und die schwache Wechselwirkung betrachten. Katharina Müller 2 Eichtheorien

6 1.3 Elektromagnetismus: lokale Eichinvarianz der Maxwellgleichung Die E und B Felder können mit Hilfe des Vektorpotentials A und dem skalaren Potential V wie folgt geschrieben werden: Potential V, A(x) A µ = (V, A) Viererpotential Strom ρ, j(x) j µ = (ρ, j) Viererstromdichte Felder B = A(x) F µν = µ A ν ν A µ E = V (x) A t F µν = Maxwellglg µ F µν = j ν Kontinuitätsglg µ j µ = 0 0 E x E y E z E x 0 B z B y E y B z 0 B x E z B y B x 0 (1.1) F µν nennt man auch den Feldstärkentensor. µ = / x µ Treffen zwei gleiche Indizes aufeinander (einer oben, einer unten), so muss über alle möglichen Werte des Index summiert werden. Tritt ein Index nur einfach auf, so gilt die Gleichung für jeden Wert des Index, es handelt sich also um mehrere Gleichungen bzw. eine Vektorgleichung. Eine (lokale) Umeichung der Potentiale, die beschrieben werden kann durch A A + χ A µ A µ = A µ µ χ, χ(x) = χ( x, t) V V = V χ t (1.2) ändert den Feldstärkentensor beziehungsweise die Felder nicht, wir können den Nullpunkt der Potentiale frei wählen. (Bew. χ = 0, F µν = µ A ν ν A µ µ A ν µ ν χ ν A µ + ν µ χ ) Die Maxwellgleichungen sind also invariant unter einer lokalen Eichtransformation. Lange Zeit wurde die lokale Eichinvarianz der Maxwellgleichungen als eine Spezialität der elektromagnetischen Wechselwirkung betrachtet. Bemerkungen: 1) Das Photon ist offenbar masselos, da mit einem Term m 2 A µ A µ die Eichinvarianz nicht mehr erfüllt werden kann. Katharina Müller 3 Eichtheorien

7 2) Die Maxwellgleichung ausgedrückt durch die Potentiale µ F µν = j ν enthält automatisch die Kontinuitätsgleichung, die die lokale Ladungserhaltung beschreibt. µ j µ = ρ t + j = 0 (1.3) In der Quantenfeldtheorie kann gezeigt werden, dass diese lokale Erhaltung der Ladung direkt mit der Symmetrie zusammenhängt. Ein einfaches Argument für diesen Zusammenhang stammt von Wigner (1949): Wir versuchen Ladung lokal zu erzeugen und wieder zu vernichten: die Ladung soll am Punkt x mit Potential V erzeugt werden, dann wird sie an den Punkt x mit dem Potential V verschoben und wieder vernichtet. Die Energiebilanz lautet W Erzeugung + Q(V V ) W V ernichtung = 0. Wenn W nicht von V abhängt, da der Nullpunkt frei gewählt werden kann, kann sie also nur erfüllt werden, wenn Q = 0. Ladungserhaltung ist also äquivalent zur Forderung, dass der Absolutwert des Potentials frei gewählt werden kann. 1.4 Schrödingergleichung Frage: bleibt die Eichinvarianz in der Quantenmechanik erhalten? Wir betrachten dazu die Schrödingergleichung für ein nicht relativistisches Teilchen im elektrischen Feld: totale Energie: E = 1 ( p q A) 2 + qv daraus ergibt sich die Schrödingergleichung durch die Ersetzung 2m E i / t und p i : ( 1 2m ( i qa)2 + qv )Ψ = i Ψ t (1.4) Im Vergleich mit der Schrödingergleichung für ein freies Teilchen, wird die elektromagnetische Wechselwirkung offenbar eingebunden durch die Ersetzung: µ D µ = µ + iqa µ (, / t) (D = iqa, D 0 = / t + iqv ) (1.5) D µ wird die kovariante Ableitung genannt und wird später noch wichtig beim Übergang von QED zu QCD und zur elektroschwachen Vereinheitlichung. Die Wellenfunktion Ψ beschreibt das Teilchen im Potential A vollständig, aber wir wissen, dass dieses Potential nicht eindeutig ist. Fragen: Beschreibt die Schrödingergleichung noch dieselbe Physik, wenn wir das Potential umeichen? Was passiert mit Ψ? Katharina Müller 4 Eichtheorien

8 Wir machen also folgende Eichtransformation: die transformierte Schrödingergleichung lautet dann: A µ A µ = A µ µ χ (1.6) sie ist erfüllt für ( 1 2m ( i qa ) 2 + qv )Ψ = i Ψ t (1.7) Ψ (x, t) = exp(iqχ(x, t))ψ(x, t) (1.8) also eine einfache Phasenverschiebung, die aber von Ort und Zeit abhängt. Die Phase eines Zustandes ist aber nicht direkt beobachtbar, Ψ beschreibt also dieselbe Physik. Wir überprüfen nun, ob dies auch für den relativistischen Fall gilt. Starten wir umgekehrt mit der Schrödingergleichung für ein freies Teilchen ( 1 Ψ(x, t) 2m ( i )2 )Ψ(x, t) = i t so muss sie modifiziert werden, wenn wir eine lokale Phasenverschiebung Ψ Ψ = exp(iα(x, t))ψ machen, da und / t auf α(x, t) wirken. Eichinvarianz der Schrödingergleichung kann nur in Präsenz eines Feldes erfüllt sein. (1.9) 1.5 Diracgleichung Wir haben gesehen, dass die Schrödingergleichung invariant ist unter folgender Transformation: A µ A µ = A µ µ χ Ψ Ψ = e iqχ Ψ (1.10) ( A A = A + χ), V V = V + χ t ) (1.11) gilt dies auch im relativistischen Fall? Die Diracgleichung für ein relativistisches Spin 1/2 Teilchen im Vakuum lautet: (iγ µ µ m)ψ = 0 (1.12) Ψ ist ein vierdimensionaler Vektor (Dirac Spinor). Katharina Müller 5 Eichtheorien

9 Dabei sind γ µ die Diracschen γ Matrizen (4er Matrizen) wobei α k und β (mit σ k : Paulimatrizen): α k = ( 0 σk σ k 0 ) γ µ = (γ 0, γ) = (β, β α) (1.13) β = ( ) erweiterte Einheitsmatrix (1.14) Es gilt: γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2g µν (1.15) Ψ ist ein vierdimensionaler Vektor genannt Dirac-Spinor. Die Diracgleichung hat vier unabhängige Lösungen, die den Basisvektoren der Spinoren entsprechen. Es gibt je eine Lösung für Spin up und Spin down mit positiver und (gleich grosser) negativer Energie. Die Lösung mit negativer Energie wird als die Lösung für die Antiteilchen interpretiert. Da Ψ e (ipx Et) sind diese äquivalent zu Teilchen, die sich rückwärts in der Zeit bewegen. In die Schrödingergleichung wurde die Wechselwirkung mit dem elektromagnetischen Feld eingebaut durch die Transformation µ D µ = µ + iqa µ, A µ = (V, A) (1.16) Wenn wir hier dieselbe Ersetzung machen, wird die Diracgleichung für ein Teilchen im elektromagnetischen Feld: µ D µ : (iγ µ D µ m)ψ = (iγ µ µ qa µ m)ψ = 0 (1.17) Dies ist die richtige Beschreibung für ein Spin-1/2 Teilchen im elektromagnetischen Feld. Man sieht leicht, dass auch die Diracgleichung eichinvariant ist. Dies waren die Vorbereitungen für den Formalismus der Eichtheorie 1.6 Eichprinzip Bis jetzt sind wir von einer bekannten Gleichung (Maxwell, Schrödinger, Dirac) ausgegangen und haben überprüft, dass sie unter der Transformation A A, Ψ Ψ invariant sind. Nun verlangen wir von der Theorie, dass sie eichinvariant ist unter der lokalen Transformation (Phasenverschiebung)Ψ Ψ = exp(iqχ(x))ψ. Dies ist unsere Symmetrietransformation unter der sich die Physik nicht ändern soll. Katharina Müller 6 Eichtheorien

10 Wir haben gesehen, dass dann aber die Schrödinger- und die Diracgleichung nicht mehr erfüllt sind, man muss die Ableitung ersetzen durch die kovariante Ableitung: Die modifizierte Dirac-Gleichung lautet dann: µ D µ = µ + iqa µ (1.18) 1/2m( i ea) 2 )Ψ = (i ev )Ψ (1.19) t sie ist invariant unter Ψ Ψ = exp(iqχ(x))ψ, wenn sich das Feld wie folgt transformiert: A A = A + µ χ. Die modifizierte Gleichung beschreibt also die Wechselwirkung mit dem elektromagnetischen Feld. Bemerkungen: 0) Die Anforderung, dass die Theorie bei einer lokalen Phasenverschiebung von Ψ invariant sein soll, hat das Feld A µ erzeugt, das sich mittransformiert. Dies nennt man auch das Eichprinzip: eine lokale Invarianzbedingung erzeugt ein neues Feld = Eichfeld oder eine lokale Phasenverschiebung und der Effekt von einem neuen Feld führen zur selben Beobachtung. 1) Eine globale Invarianzbedingung Ψ Ψ = e iα Ψ mit α = konst. erzeugt kein neues Feld. Die Schrödinger- und die Diracgleichung sind invariant unter einer globalen Phasentransformation, nicht aber unter einer lokalen, da und auf die Phase wirken. t 2) Führen wir die Transformation für die Schrödingergleichung eines freien Teilchens durch, so ändert sich die Schrödingergleichung, sie beschreibt nicht mehr ein freies Teilchen. Dh. lokale Invarianz ist für ein freies Teilchen nicht möglich. Die Invarianzbedingung kann erst in Präsenz von einem Feld erfüllt werden. 3) In der Quantenfeldtheorie wird der Faktor q in der Phase die Kopplungskonstante des Teilchens Ψ an die Feldquanten von A µ. 4) Aus der Forderung nach Eichinvarianz folgt eine Theorie mit Wechselwirkung mit einem Vektorfeld. Die Wechselwirkung mit einem geladenen Teilchen ist dann bestimmt und ist insbesonders gleich für jedes Teilchen mit gleicher Ladung, da es nur einen Parameter q gibt. 5) Die elektrische Ladung tritt als Kopplungskonstante und als Erhaltungsgrösse auf. 6) Die Annahme dass das Eichfeld Masse hat, zerstört die Eichinvarianz, ein Term m 2 A µ A µ ist nicht eichinvariant. 7) Anschauliches Beispiel für den Zusammenhang zwischen lokaler Invarianz und Kräften: Katharina Müller 7 Eichtheorien

11 globale Symmetrietransformation Drehung um die Achse Lage der Punkte ändert sich überall lokale Symmetrietransformation Verschiebung der Punkte untereinander Form bleibt elastische Kräfte Das Eichfeld Photon trägt natürlich zur Energie des Gesamtsystems bei, so dass die Lagrangedichte um einen entsprechenden Term erweitert werden muss; L QED = Ψ( iγ µ µ m }{{} + qγ µa µ )Ψ 1 }{{} 4 F µνf µν }{{} freies Kopplung an freies Diracfeld Photonfeld Photonfeld (1.20) Wir haben also gesehen wie die Forderung nach lokaler U(1)-Eichinvarianz der Diracgleichung zu der wechselwirkenden Feldtheorie der QED führt. Ausserdem folgt, dass das Photon masselos sein muss, da ein eventuell vorhandener Massenterm die Eichsymmetrie zerstören würde. Die erfolgreiche Anwendung des Eichprinzips auf die elektromagnetische Wechselwirkung mit der inneren Symmetrie U(1) legt den Gedanken an Verallgemeinerung auf den Fall höherer Symmetrien nahe. Dies ist die Grundlage für eine einheitliche Beschreibung der Wechselwirkungen. In Analogie kann man zu höheren Symmetriegrupen übergehen und lokale Invarianz verlangen. Auch hier wird sich zeigen, dass die Theorie des freien Materienfeldes nicht eichinvariant ist, es müssen entsprechende Eichfelder eingeführt werden, die mit der Materie und auch mit sich selbst wechselwirken. Ausgehend von den Eichgruppen SU(2) und U(1) kann so ein Modell für die elektroschwache Wechselwirkung gemacht werden. Eine Erweiterung auf SU(2) ausgehend vom Isospin der Hadronen wurde 1954 von Yang und Mills vorgeschlagen. Katharina Müller 8 Eichtheorien

12 Kapitel 2 Höhere Symmetriegruppen 2.1 Nicht abelsche Eichtheorien Bis jetzt haben wir Invarianz unter abelschen Transformationen betrachtet, die Phasenfaktoren kommutieren. Nun erweitern wir die Betrachtungen auf den allgemeineren Fall, der einen Mehrteilchenzustand beschreiben soll (mehr als eine Wellenfunktion) in dem die Phasen Matrizen sind und nicht mehr kommutieren (nicht abelsche Eichtheorien). Ursprünglich wurde dieser Ansatz benutzt für die Symmetrie des hadronischen Isospin in der Hoffnung, damit die starke Wechselwirkung zu beschreiben. Wir werden jetzt sehen, dass sich eine lokale SU(2) Symmetrie im schwachen Isospinraum für die Beschreibung die schwache Wechselwirkung und eine lokale SU(3) Symmetrie im Farbraum für die starke Wechselwirkung eignet. Dabei ist SU(n) die Gruppe der speziellen unitären Matrizen (Det(U) = +1 ) mit Dimension n. Wir betrachten als einfachstes Beispiel SU(2), also Drehungen im Raum der unitären 2 2 Matrizen mit Det(U) =1. Unsere Wellenfunktion soll jetzt einen 2-Teilchen Zustand beschreiben. Wir betrachten Teilchen, die in Paaren vorkommen (Beispiel (e L, ν) oder (n, p)) und durch einen zweikomponentigen Isospinor Ψ beschrieben werden. Wir fordern, dass sich die Physik bei einer beliebigen unitären Transformation nicht ändert. Diese Transformation kann beispielsweise so gewählt werden, dass e ν oder p n. Formal können wir das so schreiben: ) Ψ (1,2) = ( Ψ1 Ψ 2 Ψ (1,2) Ψ (1,2) = ( Ψ 1 Ψ 2 ) = U ( Ψ1 Ψ 2 ) (2.1) dabei ist U eine unitäre 2 2 Matrix (UU t = U t U = 1). Analog können Mehr-Teilchen Katharina Müller 9 Eichtheorien

13 Zustände eingeführt werden, wobei dann U eine n n Matrix ist. Für den Spezialfall n=1, den wir eben betrachtet haben, kann U geschrieben werden als U = e iα. Falls die Matrix U speziell ist (det(u) = +1), kann sie geschrieben werden als (Ansatz von Yang Mills 1954) 3 U = exp(ig α(x) j τ j /2) x = (t, x) (2.2) also j=1 Ψ (1,2) Ψ (1,2) = exp(igατ/2)ψ (1,2) (2.3) (Summe wird in der Schreibweise häufig weggelassen), dies kann durch eine Rotation der Phase erreicht werden. g ist analog zu q im elektromagnetischen Fall gewählt und beschreibt die Kopplungsstärke. In der obigen Formel sind τ j die Pauli Matrizen und sind die Erzeugenden von SU(2), die Gruppe braucht 2 2-1=3 Erzeugende. Es gibt nun also drei Funktionen α i, die der Funktionχ entsprechen. Im Vergleich mit dem 1 dimensionalen Fall haben wir dimensionslose Kopplungskonstante g statt q 3 Phasenwinkel α j statt χ nicht kommutierende Matrizen neu tauchen auf: Paulimatrizen τ Bemerkung: für Lie Gruppen (Gruppe der speziellen unitären Matrizen) reicht es infinitesimale Drehungen zu betrachten U = 1+i 3 j=1 η j τ j /2, wobei η j drei spurlose, hermitesche Matrizen sind. 3 Ψ (1,2) Ψ (1,2) = (1 + ig η j (x)τ j /2)Ψ (1,2) (2.4) Wir suchen nun wieder die Modifikation der Diracgleichung, die auch Ψ erfüllt und gehen ganz analog vor: wir ersetzen die Ableitung durch die kovariante Ableitung, in der wir nun drei Eichfelder W µ j (x) (Yang Mills Felder) haben, die bei der Transformation umzueichen sind. Wenn man verlangt, dass die transformierte Diracgleichung noch erfüllt ist, j=1 (iγ µ D µ m)ψ = 0 D µ = µ + igτ/2w µ (2.5) erhält man die Eichtransformation für die Eichfelder: W µ = W µ µ η(x) gη(x) W µ (x) (2.6) Katharina Müller 10 Eichtheorien

14 wenn infinitesimale Drehungen zweiter Ordnung vernachlässigt werden. U(1) SU(2) Wellenfunktion Ψ = Ψ = exp(iqχ)ψ Ψ (1,2) Ψ (1,2) = (1 + igη(x)τ/2)ψ (1,2) kov. Ableitung D µ = µ + iqa µ (x) D µ = µ + ig 3 j=1 τ j W µ j (x)/2 wirkt auf 1d Wellenfunktion Ψ 2d Isospinor Ψ (1,2) Felder A µ elektromagnetisches Feld W µ (x)=(w µ 1, W µ 2, W µ 3 ) Yang Mills Felder unabhängige SU(2) Eichfelder Eichtransform. A µ = A µ + µ χ W µ = W µ µ η(x) gη(x) W µ (x) Die mit dem Eichprinzip erhaltene Diracgleichung für den Isospinor Ψ (iγ µ D µ m)ψ = 0 3 D µ = µ + ig τ j /2W µ j (2.7) j=1 beschreibt die Kopplung des Materienfeldes Ψ an die äusseren Eichfelder W µ. Es genügt ein Kopplungsterm g, im Unterschied zur elektromagnetischen Wechselwirkung, wo die Kopplung mit der Ladung geht. (Bew.Bethge S 78.) η(x) sind 3 beliebige infinitesimale Funktionen η W : Für die Transformation der Vektorfelder muss das Vektorprodukt mitberücksichtigt werden. Dieser zusätzliche Term taucht auf, weil die Gruppe nicht abelsch ist. Die Eichfelder erzeugen einen zusätzlichen Term der kinetischen Energie in der Lagrangedichte: L = T V = Ψγ µ (i µ g 1 3 τ j W 2 µ)ψ j m ΨΨ 1 j=1 4 W µνw µν (2.8) Damit die Eichinvarianz des kinematischen Terms erfüllt ist, muss für den Feldstärkentensor gelten: W µν = µ W ν ν W µ }{{} gw µ W ν }{{} nicht eichinvariant nicht linear! (2.9) Katharina Müller 11 Eichtheorien

15 Der letzte Term ist ein wesentlicher neuer faktor für nicht-abelsche Eichtheorien. Er bewirkt Wechselwirkung der Eichfelder untereinander, das heisst die Eichfelder beeinflussen sich gegenseitig, sind also der Grund für die Selbstwechselwirkung der Eichfelder ( dritte und vierte Potenz). Selbstwechselwirkung wird beobachtet in der schwachen (WWZ) und der starken (Wechselwirkung der Gluonen untereinander) nicht aber der elektromagnetischen Wechselwirkung. Die Selbst-Kopplungsstärke ist proportional zu g rsp. g 2 (selbe Kopplungskonstante!). ) ( ) ( W µ ) Ψ ( j ) g ( g Ψ g 2 Für nicht-abelsche Eichtheorien gibt es neben der Wechselwirkung des Eichfelder mit den Materiefelder weitere fundamentale Graphen, die der Selbstkopplung der W und Z Felder entsprechen Ein expliziter Masseterm für das Eichfeld (1/2)m 2 W µ W µ ist wie im elektromagnetischen Fall bei der Transformation von W nicht eichinvariant. Das Eichboson ist also masselos. für finite Drehungen wird die Transformation der Eichfelder komplizierter. Das Eichfeld in Matrixschreibweise lautet: ( τw µ W µ 3 W µ 1 iw µ ) ( 2 W µ = W µ 1 + iw µ 2 W µ 3 = W µ+ 1 2 W µ W µ 3 ) (2.10) Aus der verallgemeinerten Ableitung D µ erhalten wir für den Kopplungsterm des Lagrangian mit dem Spinor für das Neutrino und Elektron: ( ) L Kopplung = g/2 Ψγ ν µ τw µ Ψ = g/2( ν, ē)γ µ τw µ e = g/2(w µ3 ( νγ µ ν ēγ µ e) + 2W µ + νγ µ e + 2Wµ ēγ µ ν) (2.11) Katharina Müller 12 Eichtheorien

16 W µ+ vernichtet ein W und erzeugt ein W + W µ vernichtet ein W + und erzeugt ein W 2.2 Erweiterung auf SU(3) Für die Beschreibung der starken Wechselwirkung (QCD) gehen wir von folgenden Annahmen und experimentellen Beobachtungen aus: Kraft zwischen den Quarks hängt nur von der Farbe ab Die Quarks kommen in 3 Zuständen vor, die sich durch die Farbe unterscheiden. Die Masse ist dieselbe (sonst Feinstruktur im Massenspektrum der Hadronen). Das heisst es gibt eine Farbsymmetrie des Hamiltonoperators Beobachtete Hadronen sind invariant unter (SU(3)) Rotation im Farbraum Alle beobachteten hadronischen Zustände sind Colour Singlets: Mesonen q q, Barionen qqq. Bemerkung: der Versuch, die starke Wechselwirkung in eine dreidimensionale Repräsentation von SU(2) einzubauen scheitert, da dann auch qq oder q q Zustände möglich wären (Aitchinson S286). Analog wie oben geht nun die Erweiterung auf drei Teilchen (Quarks mit drei verschiedenen Farben). Da die Farben nicht beobachtbar sind, sollen die Achsen im Farbraum an einem beliebigen Raum-Zeitpunkt frei wählbar sein, wir fordern also Invarianz unter einer lokalen Eichtransformation im Farbraum: Ψ Ψ = QΨ = exp(ig s α i (x)λ i /2Ψ (2.12) wobei Q unitäre 3 3 Matrizen sind. Als Erzeugende der Gruppe werden die = 8 linear unabhängigen hermitischen, spurlosen Gell-Mann Matrizen λ i genommen. Sie erfüllen folgende Kommutationsregel: dabei sind c ijk die Strukturkonstanten der Gruppe. [λ i, λ j ] = ic ijk λ k (2.13) Die kovariante Ableitung wird dann zu (minimale Substitution) µ D µ = µ + ig s G µ (x), mit G µ (x) = G µ i λ i /2 (2.14) Katharina Müller 13 Eichtheorien

17 Die acht Felder G µ i werden mit den Gluonfeldern identifiziert. Wir erreichen Eichinvarianz der Diracgleichung durch folgende Transformation der acht Gluonfelder: G µ i = G µ i µ α i (x) g s c ijk α j G µ k (2.15) Man sagt auch, die Eichfelder transformieren nach der regulären Darstellung der Gruppe, die Transformationskonstanten entsprechen den Strukturkonstanten der Gruppe. Für jedes der acht Eichfelder G a µ kann ein kinetischer Term in der Lagrangedichte addiert werden, der natürlich auch eichinvariant sein muss: E kin = 1 4 Ga µνg µν a (2.16) mit G µν i = µ G ν i ν G µ i g s c ijk G µ j G ν k (2.17) Der Feldstärkentensor G µν enthält die Selbstwechselwirkung zwischen den Eichbosonen, da die Gluonen selbst Farbladung tragen (3 bzw 4-Gluonen-Vertex mit Kopplung g bzw g 2 ). Mit den Quarkfeldern q f (x) mit den Flavours f = (u, d, s, c, b, t) wird dann die Lagrangedichte L QCD = 1 4 G µνg µν + f q f (iγ µ D µ m f )q f Wegen der SU(3) Invarianz sind die Gluonen masselos. Die Kopplung der Gluonfelder an die Quarkfarbströme ist: D µ = µ + ig s G µ i λ i /2 (2.18) L qqg = g s 8 i=1 q f γ µ λ i /2q f G µ i (2.19) Beispiel für eine SU(3) Gruppe: Farbladung R, G, B der Quarks. R = 1 0 0, G = 0 1 0, B = (2.20) Katharina Müller 14 Eichtheorien

18 i g j a Quark-Gluon-Kopplung Der Übergang von G R beispielsweise wird dann beschrieben durch die Transformation 1/2(λ 1 + iλ 2 ). 1 2 (λ 1 + iλ 2 )G = = (2.21) λ 8 G 1/2(λ + 1 i λ 2 ) R λ 3 1/2(λ + 6 i λ 7 ) 1/2(λ 4 i λ 5 ) B Abbildung 2.1: Aktion der SU(3) Generatoren 2.3 Elektroschwache Vereinheitlichung Glashov, Salem, Weinberg, Standardmodell der elektroschwachen Wechselwirkung Wir wissen, dass Leptonen und Quarks als linkshändige Paare ((ν el, e L ), (u L, d L)), die sich in der dritten Komponente des schwachen Isospins T unterscheiden und rechtshändigen Katharina Müller 15 Eichtheorien

19 Singlets (e R, u R, d R) auftreten. Die Paare und die Singlets werden durch die Hyperladung Y unterschieden. Der schwache Isospin hat nichts mit dem Isospin zu tun, er ist ein Attribut der Leptonen und der Quarks und charakteristisch für die schwache Wechselwirkung. Der Austausch von geladenen W -Bosonen bewirkt dann eine Erhöhung (Erniedrigung) des schwachen Isospins von -1/2 auf +1/2. Flavour Quantenzahlen von Leptonen und Quarks: t: schwacher Isospin mit dritter Komponente t 3 y: schwache Hyperladung q: Ladung q = t 3 + y Bemerkung: manchmal wird auch die Definition y = 2(q t 3 ) benutzt, da die Normierung des Generators einer abelschen Gruppe frei ist. Leptonen Quarks Teilchen t t 3 y q ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) νµl ντl 1/2 1/2 1/2 0 e L µ L τ L 1/2 1/2 1/2 1 e R µ R τ R ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cl tl 1/2 1/2 1/6 2/3 d L s L b L 1/2 1/2 1/6 1/3 u R c R t R 0 0 2/3 2/3 d R s R b R 0 0-1/3-1/3 ( νel ( ul Die Quarks, die als linkshändige Partner von (u, c, t) auftreten sind nicht identisch mit (d, s, b) sondern Linearkombinationen. Damit man den richtigen Quarkstrom erhält, muss man die Cabibbo Mischung für die d-quarks nehmen: d s b = V CKM d s b (2.22) Wir verlangen Invarianz unter einer Drehung im schwachen Isospinraum (SU(2) L ) und im Hyperladungsraum (U(1) Y ). Die Eichtransformation der Hyperladungsgruppe geschieht wie in der QED. Statt der Ladung q haben wir jetzt aber die Hyperladung Y. Wir wenden nun beide Transformationen an: Einkomponentig mit Feld B µ und Kopplungskonstante g, die an die Hyperladung Y koppelt. 2-komponentig mit 3 Eichfeldern W µ 1,2,3 und Kopplungskonstante g. Die kovariante Ableitung wird dann zu D µ = µ + igt W µ + ig Y B µ (2.23) Katharina Müller 16 Eichtheorien

20 Die Matrizen T i und Y haben die Gestalt T i = ( 1/2τi ) Y = y L y L y r (2.24) sie bilden die Erzeugenden der Gruppe SU(2) L U(1) Y Für die Feldstärkentensoren können wir direkt die Ergebnisse aus den vorhergehenden Kapiteln nehmen: B µν = µ B ν ν B µ (2.25) W µν = µ W ν ν W µ gw µ W ν }{{} nichtabelsch (2.26) Die Lagrangedichte für die elektroschwache Wechselwirkung folgt dann mit minimaler Substitution: L el.weak = Ψγ µ (i µ gt W µ g Y B µ )Ψ 1 4 W µνw µν 1 4 B µνb µν = Ψ L γ µ (i µ gτ/2w µ g y L B µ )Ψ L + Ψ R γ µ (i µ g y R B µ )Ψ R 1 4 W µνw µν 1 4 B µνb µν (2.27) Der Kopplungsterm im Lagrangian wird dann beispielsweise für einen Spinor mit Elektronneutrino und Elektron (y L = 1/2, y R = 1): ( ) L Kopplung = ( ν, l) L γ µ ( gτ/2w µ + g ν /2B µ ) + l l R γ µ g B µ l R = g 2 (W µ+ ν L γ µ l l + W µ ll γ µ ν L ) 1 2 (gw µ 3 g B µ ) ν L γ µ ν L (gw µ 3 + g B µ ) l l γ µ l l + g B µ lr γ µ l r (2.28) L geladener Strom L cc = g 2 ( ν L γ µ l L W µ+ + l L γ µ ν L W µ ) Für die geladenen W ± Bosonen gibt sich die bekannte V-A Theorie. W ± = 1/ 2(W µ 1 ± iw µ 2 ) werden als die geladenen W -Bosonen identifiziert. W ± erzeugen und vernichten W +, W Katharina Müller 17 Eichtheorien

21 gw µ 3 g B µ koppelt an die Neutrinos, hat also keine Komponente des Photonfeldes, da das Neutrino ungeladen ist. Normiertes Feld Z µ = 1/ g 2 + g 2 (gw µ 3 g B µ ) = cos θ W W µ 3 sin θ W B µ Der Weinbergwinkel θ W ist der Mischungswinkel der Felder W µ 3 und B µ. g sin θ W = cos θ W = g g 2 +g 2 g 2 +g 2 orthogonales Feld A µ = 1/ g 2 + g 2 (gw µ 3 + g B µ ) = sin θ W W µ 3 + cos θ W B µ Z µ und A µ sind also Linearkombinationen von W µ 3 und B µ, wobei W µ 3 der schwache Isospinpartner von W µ+ und W µ ist und B µ das Feld der schwachen Hyperladung. neutraler Strom Mit den Feldern A und Z o lässt sich der neutrale Strom schreiben: L nc = g 2 ( l L γ µ l L ν L γ µ ν L )(cos θ W Z + sin θ W A) + g 2 ( l L γ µ l L ν L γ µ ν L + 2 l R γ µ l R )(cos θ W A sin θ W Z (2.29) Der Weinbergwinkel misst die Stärke der elektromagnetischen Wechselwirkung relativ zur schwachen Wechselwirkung. Da die Kopplungsstärke der elektromagnetischen Wechselwirkung q ist, folgt: q = g sin θ W = g cos θ W. g /g = tanθ W Eichinvarianz ist nur möglich, wenn die Fermionen keine Massen haben (ein Masseterm ΨΨ = Ψ L Ψ R ist nicht invariant unter SU(2) L ). (1 ± γ 5 )/2 projiziert auf die Zustände negativer (positiver) Helizitäten: e L,R = 1 2 (1 ± γ 5)e, mitγ 5 = iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 Die elektrische Ladung ist bis auf eine Drehung um den Weinbergwinkel so gross wie die schwache Ladung e = g sin θ W. dass die elektromagnetische Wechselwirkung wesentlich stärker ist als die schwache liegt am Propagatorterm der Austauschteilchen. Im Nenner steht die Masse des Austauschteilchens (P = i/(q 2 m 2 c) Wir haben gezeigt, dass durch Eichung der Gruppe SU(2) L U(1) Y die elektromagnetische und die schwache Wechselwirkung beschrieben werden kann. Die Theorie entstand 1961, sagte also die Existenz des Z-Bosons voraus, der schwache Strom wurde erst 1973 entdeckt. Der Weinbergwinkel θ W ist frei und muss durch das Experiment angepasst werden. Katharina Müller 18 Eichtheorien

22 Experimentell wurde folgender Wert für den Mischungswinkel gefunden: sin 2 θ W = 0.231, θ W = 28.7 (2.30) Die Theorie hat aber einen entscheidenden Fehler: sowohl die Massen der schwachen Eichbosonen als auch der Elektronen (µ, τ) und der Quarks fehlen. Katharina Müller 19 Eichtheorien

23 Kapitel 3 Higgsmechanismus 3.1 Massive Eichbosonen und Fermionen? Die mit der Bedingung der Eichinvarianz erzeugten Eichfelder haben einen grossen Nachteil: sie dürfen keine Masse haben. Versucht man einen zusätzlichen Masseterm (M 2 W µ W µ ) einzuführen, geht die Invarianz verloren und vor allem wird die Theorie nicht renormalisierbar. D.h. die Störungsrechnung divergiert (Aitchison, Kap 11). Für die Beschreibung der elektromagnetischen (U(1)) und starken WW (SU(3)) funktioniert der Mechanismus perfekt, da das Photon und die Gluonen keine Masse haben, nicht aber für die schweren Bosonen der schwachen Wechselwirkung. Man kann aber auch zeigen, dass die absolute Phase des Vakuumzustandes noch nicht festgelegt ist. Dies wird im folgenden ausgenutzt, um den Eichbosonen eine Masse zu geben und die schwache und die elektromagnetische Wechselwirkung gemeinsam zu beschreiben. Das Modell für die Erzeugung von Massen wurde von Peter Higgs aufgestellt. Er postuliert ein Feld (Higgsfeld) das den ganzen Raum durchdringt und einen Vakuumserwartungswert ungleich Null hat. Alle Teilchen, die sich in dem Raum bewegen, treten in Wechselwirkung mit dem Feld, wodurch sie Masse gewinnen. Das mit dem Higgsfeld assoziierte Teilchen (Higgs Boson) ist neutral und hat Masse (Festkörperphysik: Phononen). 3.2 Spontane Symmetriebrechung Symmetriebrechung bedeutet, dass die Grundgleichungen eines Systems eine Symmetrie besitzen, die der Grundzustand nicht anzeigt. Katharina Müller 20 Eichtheorien

24 Beispiel: Ein Teilchen in einem symmetrischen Potential V (Figur3.1) V (Φ) = 1 2 µ2 Φ λφ4, µ 2 < 0, Λ > 0 (3.1) Abbildung 3.1: Higgs Potential Der Grundzustand ist entartet: für Φ 0 = ± µ 2 /λ = ±f ist die Energie minimal. Anderes Beispiel: spontane Magnetisierung eines Festkörpers: die Magnetisierung M entspricht einem Feld Φ. Der Erwartungswert von M im Grundzustand ist ungleich Null, aber nur sein absoluter Wert ist festgelegt, nicht seine Richtung. Der Grundzustand zeichnet also eine Richtung aus dies nennt man spontane Symmetriebrechung oder hidden Symmetry, weil die Symmetrie ja noch da ist. Die folgende Diskussion des Higgs Mechanismus bezieht sich im Wesentlichen auf Kapitel 14 und 15 von Martin und Halzen. Die Lagrangedichte von einem skalaren Feld ist L Higgs = T V = 1 2 ( µφ) 2 V (Φ) (3.2) mit dem Minimum für Φ 0 = ±f Wir brechen nun die Symmetrie und wählen +f als Grundzustandswert. Für die Störungstheorie entwickeln wir das Feld um den Grundzustand Φ(x) = f + η(x) (3.3) Damit wird die Lagrangedichte: L Higgs = 1 2 ( µφ) µ2 Φ λφ4 = 1 2 ( µ η) 2 λf 2 η 2 λfη 3 λ/4η 4 + const (3.4) Katharina Müller 21 Eichtheorien

25 Das neue Feld η hat also einen Masseterm mit Masse m η = 2λf 2 = 2µ die Terme mit η 3 und η 4 beschreiben die Selbstwechselwirkung des Feldes. Analog geht die Erweiterung auf ein komplexes Feld: Φ = (Φ 1 + iφ 2 )/ 2: L Higgs = 1 2 ( µφ) ( µ Φ) µ2 2 Φ Φ λ 4 (Φ Φ) 2, µ 2 < 0, λ > 0 = 1 2 ( µφ 1 ) ( µφ 2 ) 2 µ2 2 (Φ2 1 + Φ 2 2) λ 4 (Φ2 1 + Φ 2 2) 2 (3.5) mit dem Minimum Φ Φ 2 2 = Φ 2 0 = µ 2 /λ = f 2. Wir wählen für den Grundzustand Φ 1 = +f, Φ 2 = 0 und machen wieder die Entwicklung um den Grundzustand: daraus folgt Φ(x) = 1 2(f + η(x) + iξ(x)) (3.6) L Higgs = 1 2 ( µη) ( µξ) 2 + µ 2 η 2 + O(η 3 ) + O(η 4 ) + O(ξ 3 ) + O(ξ 4 ) + const (3.7) Wir kriegen einen Masseterm für η (M η = 2µ) während ξ masselos bleibt. Man nennt ξ auch das Goldstone Boson. Die endliche Masse ergibt sich wegen der Potentialkrümmung in radialer Richtung. Da entlang des Potentialminimums keine Krümmung existiert folgt umgekehrt, dass das zweite Teilchen keine Masse hat. Dieses Auftreten eines masselosen Teilchens wird im Goldstone Theorem beschrieben: masselose Skalare treten auf, wenn die Symmetrie spontan gebrochen wird. Ihre Zahl ist gleich der Zahl spontan gebrochener Erzeugenden der Symmetriegruppe. Für die Existenz dieser zusätzlichen masselosen Teilchen gibt es aber keinen experimentellen Hinweis. Zitat Martin & Halzen S 325: Our hope of finding a gauge theory of weak interactions with massive gauge bosons looks forlorn. It appears that we shall also have unwanted (unobserved) massless scalar particles to worry about. Nevertheless, let us proceed from a global to a local gauge theory. A miracle is about to happen. Wir betrachten nun also Symmetriebrechung und verlangen lokale Eichinvarianz U(1), wir müssen also die Ableitung durch die kovariante Ableitung ersetzen: die Lagrangedichte lautet dann : µ D µ = µ iea µ (3.8) L = ( µ + iea µ )Φ ( µ iea µ )Φ µ 2 /2Φ Φ λ/4(φ Φ) F µνf µν (3.9) Katharina Müller 22 Eichtheorien

26 wir entwickeln um das Minimum und erhalten: L = 1 2 ( µη) ( µξ) 2 f 2 λη e2 f 2 A µ A µ efa µ µ ξ 1 4 F µνf µν +WW-Terme (3.10) Wir haben nun ein massives Skalar η mit Masse M η = 2λf 2 = 2µ ein massives Vektorboson A µ mit Masse M A = ef ein masseloses Skalar ξ Term efa µ µ ξ, können wir nicht als Teilchen interpretieren Wir machen folgende Eichtransformation Φ 1/ 2(f + h(x))e iθ(x)/f A µ A µ + 1 ef µ Θ (3.11) Θ ist so gewählt, dass h reell ist. Damit wird L = 1 2 ( µh) 2 λf 2 h e2 f 2 A 2 µ λfh λh e2 A 2 µh 2 + fe 2 A 2 µh 1 4 F µνf µν (3.12) Der Lagrange beschreibt jetzt ein massives Eichboson A µ und ein massives Skalar h (Higgs) der Masse m H = 2µ. In dieser Formel taucht Θ nicht mehr auf! Das Goldstone Boson wurde gebraucht für die longitudinale Polarisation des massiven Eichbosons. (Man sagt auch das Eichfeld hat das Goldstone Boson aufgegessen). Dies nennt man den Higgs Mechanismus, der uns erlauben würde ein massives Photon zu erzeugen. Durch die Kopplung an das Eichfeld wird also die Entstehung des Goldstone Bosons verhindert, die Freiheitsgrade des Goldstone Bosons kombinieren mit den Eichfeldern, so dass massive Vektorbosonen entstehen können. Wir machen jetzt das noch einmal und verlangen Eichinvarianz unter SU(2): L = ( µ Φ) t ( µ Φ) µ 2 Φ t Φ λ(φ t Φ) 2 (3.13) wobei Φ ein SU(2) Dublett ist: Φ = ( Φα Φ β ) ( Φ1 + iφ = 2 Φ 3 + iφ 4 ) (3.14) Katharina Müller 23 Eichtheorien

27 L soll lokal eichinvariant sein, wir ersetzen also die Ableitung µ D µ = µ + ig τ 2 W µ, W µ W µ 1 g µ α α W (3.15) Wir brechen die Symmetrie und wählen den Grundzustand Φ 0 = 1 2 ( 0 f ) (3.16) und machen die Entwicklung Φ(x) = 1 ( 2 0 f + h(x) ) (3.17) Dieser Ansatz reicht vollkommen, da eine Drehung die allgemeine Form wiederherstellen kann. Wir eichen die Goldstone Bosonen analog wie im Beispiel für U(1), dadurch kann Θ in die Eichfelder absorbiert werden. Für den Masseterm erhalten wir igτ/2w µ Φ 0 2 = g2 8 ( gw µ 3 g(w µ 1 iw µ 2 ) g(w µ 1 + iw µ 2 ) gw µ 3 ) ( 0 f ) 2 = g2 f 2 8 [(W µ 1 ) 2 + (W µ 2 ) 2 + (W µ 3 ) 2 ] (3.18) und somit folgt für die Masse der W-Bosonen: M W = 1 gf. Die drei Eichfelder haben 2 die drei Goldstone Bosonen aufgegessen und sind massiv geworden. Übrig bleibt noch ein massives Higgs Boson der Masse m H = 2µ. 3.3 Higgs und SU(2) L U(1) Y Weinberg und Salem benützten das Prinzip der spontanen Symmetriebrechung, um den Eichbosonen der schwachen Wechselwirkung, sowie den Fermionen Masse zu geben. Analog wie oben wird zusätzlich zu den Vektorfeldern ein komplexes skalares Feld Φ, (Higgs- Feld) mit dem Potential V(Φ)eingeführt (Isospin Dublett mit Hyperladung Y = 1, Isospin 1/2 und T 3 = 1/2. Φ = ( Φ + Φ 0 ) = 1 2 ( Φ1 + iφ 2 Φ 3 + iφ 4 ) (3.19) Das Potential ist symmetrisch und hat ein Minimum für f 2 = φ φ 2 2, mit dem Vakuumserwartungswert Φ 0 =< 0 Φ 0 >= f/ 2. Wir brechen die Symmetrie und wählen Katharina Müller 24 Eichtheorien

28 das Feld im Grundzustand reell und parallel zur unteren Komponente des Spinors im schwachen Isospinraums: Φ 0 = 1 ( ) 0 (3.20) 2 f Er ist so gewählt, dass das Photon masselos bleibt. Wenn Φ 0 von einer Untergruppe der Eichtransformationen invariant bleibt, bleibt das entsprechende Eichboson masselos. Durch Eichtransformationen kann man erreichen, dass ein einziges reelles (Higgs)Feld h für die Parametrisierung ausreicht, die anderen drei möglichen Felder werden weggeeicht: Φ = 1 ( ) Φ1 + iφ 2 = e iατ/2 1 ( ) 0 (3.21) 2 Φ 3 + iφ 4 2 f + h(x) Die den Leptonen, Quarks und Higgs Teilchen zugeordneten Quantenzahlen sind nochmals in der folgenden Tabelle zusammengefasst: Leptonen Quarks Higgs Teilchen t t 3 y q ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) νel νµl ντl 1/2 1/2 1/2 0 e L µ L τ L 1/2 1/2 1/2 1 e R µ R τ R ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ul cl tl 1/2 1/2 1/6 2/3 d L s L b L 1/2 1/2 1/6 1/3 u R c R t R 0 0 2/3 2/3 d R s R b R 0 0-1/3-1/3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Φ + 1/2 1/2 1 1 Φ 0 1/2 1/2 1 0 Die eichinvariante Lagrangedichte der elektroschwachen Wechselwirkung kriegt jetzt noch zusätzliche Terme durch das skalare Higgsfeld: µ D µ = µ igt W µ i Y 2 g B µ L skalar = (i µ gτ/2w µ g 1 2 Bµ )Φ 2 V (Φ) (3.22) Wir gehen analog wie bei SU(2) vor. Für die Masseterme der Eichbosonen ersetzen wir im Lagrange Φ(x) durch Φ 0 und erhalten für die relevanten Terme ( W µ W µ etc): ( ig τ 2 W µ i g 2 Bµ )Φ 0 2 = 1 8 ( gw µ 3 + g B µ g(w µ 1 iw µ 2 ) g(w µ 1 + iw µ 2 ) gw µ 3 + g B µ ) ( 0 f Katharina Müller 25 Eichtheorien ) 2

29 = 1 8 f 2 g 2 (W µ2 1 + W µ2 2 ) f 2 (g B µ gw µ3 )(g B µ gw µ 3 ) = 1 8 f 2 g 2 (W µ2 1 + W µ2 2 ) f 2 (g B µ gw µ 3 ) (g B µ + gw µ 3 ) 2 = M 2 W W 2 µ M 2 ZZ 2 µ M 2 AA 2 µ (3.23) Daraus folgt sofort für die Masse von W und Z = 1/ g 2 + g 2 und M A = 0 g 2 + g 2 (gw µ 3 g B µ ) M W = 1/2fg, M Z = 1/2f Daraus folgt insbesonders m W /m Z =cos θ W. Dass die Massen für die W und Z Bosonen nicht gleich gross sind, liegt daran, dass Z eine Mischung von W µ 3 und B µ ist. Für θ W = 0 werden die Massen für die schwachen Eichbosonen gleich gross. Der Vakuumserwartungswert des Higgsfeldes kann also durch Messungen festgelegt werden: f = 2M Z / g 2 + g 2 = 174GeV (3.24) Durch die spezielle Wahl vom Grundzustand des Higgsfeldes, gibt es keinen Term für die Kombination g B µ + gw µ 3, deshalb bleibt das Photon wie gewünscht masselos Masse von Fermionen und Quarks Ohne, dass die Eichinvarianz verlorengeht, kann noch ein Term hinzugefügt werden, der das Higgs an die Fermionen koppelt und somit die Masse der Fermionen erzeugt (Yukawa Term). e (T=0, Y=-2) R e (T=1/2,Y=-1) L h (T=1/2,Y=1) Abbildung 3.2: Yukawa Kopplung von Higgs Die Kopplung beschreibt die Isospin-invariante Kopplung an das linkshändige Fermiondublett und das rechtshändige Singlett (Beispiel für Kopplung and Elektronen-Neutrino). L Y ukawa = c e [ ΨL ΦΨ R + Ψ R Φ t Ψ L ] Katharina Müller 26 Eichtheorien

30 = c e [ ( ν, ē) L ( Φ + Φ 0 Wir brechen die Symmetrie und schreiben für Φ: Φ Φ = 1 ( 2 ) e R + ē R (Φ, Φ 0 ) 0 f + h(x) ) ( ν e ) e L ] (3.25) (3.26) und erhalten für den Yukawa Term: L Y ukawa = c e 2 f(ē L e R + ē R e L ) c e 2 (ē L e R + ē R e L )h (3.27) Daraus folgt sofort für die Masse der Elektronen: M e = c ef 2 (3.28) Da c e eine beliebige Konstante ist, ist diese Masse ist keine Voraussage des Standardmodells. Der Wechselwirkungsterm koppelt das skalare Higgs an die Elektronen, er ist aber sehr klein (m e /f 0.5MeV/250GeV ) und konnte bis heute nicht nachgewiesen werden. Die Quark Massen werden analog generiert, aber wir brauchen ein neues Higgs DublettΦ c mit Y = 1 um an die up-quarks zu koppeln: Φ c = ( Φ0 Φ ) = 1 ( ) f + h 2 0 Und damit wird die Yukawa Kopplung für Quarks: (3.29) L Y uk.quarks = c d (ū, d) L Φd r c u (ū, d) L Φ c d r + h.c. = c d f 2 dd cu f 2 ūu c d 1 2 ddh cu 1 2 ūuh (3.30) Wieder ist die Kopplungsstärke nicht bestimmt, wir kriegen also einen Parameter für jede Fermionmasse. Katharina Müller 27 Eichtheorien

31 Kapitel 4 Standardmodell 4.1 Zusammenfassung Standardmodell Die mit Hilfe des Eichprinzips und dem Higgsmechanismus konstruierte Lagrangedichte lautet nun also L = 1W 4 µνw µν 1B 4 µνb µν kin. Energie und Selbstwechselwirkung + Lγ µ (i µ gτ/2w µ g Y/2B µ )L kin. Energie der Leptonen und Quarks + Rγ µ (i µ g Y/2B µ )R und Wechselwirkung mit W ±, Z, γ + (i µ gτ/2w µ g Y/2B µ )Φ 2 V (Φ) (c 1 LΦR + c2 LΦc R + h.c.) Zusammenfassend haben wir nun: Masse von W ±, Z, γ und Higgs und Kopplung der Eichbosonen an Higgs Masse von Leptonen und Quarks und Kopplung an Higgs masseloses Vektorboson: Photon mit Feld A µ drei massive Vektorbosonen W ±, Z masselose linkshändige Fermionen: ν massive Fermionen massives neutrales Boson mit Spin 0 und Masse M h die elektroschwache Theorie ist renormierbar, das heisst, Beiträge höherer Ordnung können als endliche Korrekturen berechnet werden. Katharina Müller 28 Eichtheorien

32 elektroschwache Eichtheorie erlaubt korrekte Beschreibung der Phänomene bei niedrigen Energien Üblicherweise sind die freien Parameter des Standardmodells: e, sin θ W, M 2 W, M 2 h sowie die Massen der Fermionen 1979, noch bevor das Z entdeckt wurde, bekamen Glasow, Salem und Weinberg den Nobelpreis for their contributions to the theory of the unified weak and electromagnetic interaction between elementary particles, including inter alia the prediction of the weak neutral current. Bis heute ist das Standardmodell eine sehr erfolgreiche Theorie, viele Parameter sind sehr genau gemessen und alle in Übereinstimmung mit dem Standardmodell. Unbefriedigend: die Massen der Fermionen werden ad hoc eingeführt, Massenspektrum nicht erklärt SU(2) L U(1) Y ist nur eine teilweise Vereinigung, sie enthält immer noch zwei verschiedene Kopplungskonstanten, die über θ W gekoppelt sind. θ W muss aber experimentell bestimmt werden. Kopplungskonstanten g,g und g s werden nicht erklärt warum drei Familien? Neutrinos mit Masse nicht möglich es gibt keine Verbindung zwischen Quarks und Leptonen, obwohl sie die gleiche Anzahl Familien haben und sich Ladung von Elektron und Proton genau aufheben. wo bleibt die Gravitation? Grand Unifikation (GUT): werden die drei Kopplungskonstanten g, g und g s extrapoliert, sieht man, dass sie bei Energien von GeV etwa gleich gross werden. Warum treffen sie sich nicht genau bei der Planckmasse (Figur 4.1)? Katharina Müller 29 Eichtheorien

33 Abbildung 4.1: Energieabhängigkeit der Kopplungskonstanten Problem der Theorie: es gibt divergente Quantenkorrekturen des Higgsfeldes, die sich gegenseitig aufheben. Die Vermutung ist, dass es noch eine höhere Symmetrie gibt. Theorien ausserhalb des Standardmodells Grand Unified Theories (GUT) Composite Models Supersymmetry String Models Katharina Müller 30 Eichtheorien

34 4.2 Erfolg des Standardmodells Das Standardmodell erlaubt Vorhersagen, die experimentell überprüft werden können. Bis jetzt wurde die Theorie hervorragend bestätigt. Zu den wichtigsten Vorhersagen gehörte die Existenz von neutralen schwachen Strömen und dem c Quark. Ausser dem Higgs wurden alle Teilchen, die vom Standardmodell vorausgesagt wurden auch gefunden: Charm Quark (J/Ψ) 1974 Brookhaven, Stanford τ Lepton 1974, Stanford neue schwere Quarks Bottom Quark (Υ = b b) Fermilab 1977 Gluonen am DESY 1979 Z am CERN 1983, schwacher neutraler Strom erstmals beobachtet 1973 W am CERN 1983 Top Quark Fermilab 1995 τ Neutrino am Fermilab 2000 Der Durchschnittswert für den Weinberg Winkel ist sin 2 θ W = ± Die experimentellen Beobachtungen sind alle sehr gut konsistent. Die Massen, sowie die Breiten der W und Z Bosonen stimmen hervorragend mit den Voraussagen des Modells überein. Mit dem obigen Wert für den Weinbergwinkel erhält man in niedrigster Ordnung als Voraussage für die Massen der schweren Eichbosonen: M W (SM) 78GeV, M Z (SM) 89GeV (4.1) Wenn Korrekturen höherer Ordnung und Strahlungskorrekturen berücksichtigt werden, liegen die berechneten Massen um etwa 2GeV höher. Die gemessenen Massen: Teilchen Masse [GeV ] Breite [GeV ] W ± ± ± 0.06 Z ± ± γ < Bestimmung des Weinbergwinkels Eine Möglichkeit für die Bestimmung des Weinbergwinkels ist das Massenverhältnis der W-und Z Bosonen m W /m Z = cos θ W. Eine indirektere Messung ist das Verhältnis von charged-current und neutral-current Neutrino-Nukleon Streuprozessen. Der Durchschnittswert für den Weinberg Winkel ist sin 2 θ W = ± Katharina Müller 31 Eichtheorien

35 4.2.2 Z-Breite und Anzahl Neutrinos Beispiel: Z Zerfallsbreite: Die Zerfallsbreite von Z Bosonen folgt bis auf Phasenraumfaktoren direkt aus der Kopplungskonstante: wobei Γ(Z f f) = 1 24Π M Z(g 2 ZL + g 2 ZR) = g 2 24Π cos θ W 2 M Z(c 2 L + c 2 R) (4.2) c L = t 3 Q sin 2 θ W, c R = Q sin 2 θ W (4.3) die Kopplung an das linkshändige Dublett rsp. das rechtshändige Singulett beschreiben. Somit ergibt sich für die relativen Zerfallsraten und Breiten: Kanal t 3 Q c L c R c 2 L + c 2 R Zerfallsrate % Breite MeV pro ν ν 1/ pro l + l -1/ pro q q (u Typ) 1/2 2/ pro q q (d Typ) -1/2-1/ Den Zerfall in die Neutrinos kann man nicht direkt nachweisen, da man die Neutrinos nicht messen kann, aber man kennt aus anderen Experimenten die totale Breite und kann somit die Anzahl Neutrino Familien bestimmen. Zerfallsrate % Breite MeV Kanal erwartet gemessen erwartet gemessen unsichtbar l + l hadronisch (total unkorr. 2711) korrigiert ± ± 2.6 durch Korrekturen (Quark und Leptonmassen) werden die erwarteten Werte noch ein wenig korrigiert Zerfall in (unbeobachtbare) Neutrinos doppelt so häufig wie in geladene Leptonen für Quarks muss berücksichtigt werden, dass sie in 3 Farben vorkommen Aus der Zahl der unsichtbaren Zerfälle kann insbesondere die Zahl der verschiedenen Neutrinos abgeschätzt werden (mit Masse < M Z /2): Katharina Müller 32 Eichtheorien

36 würde es noch eine vierte Sorte leichter Neutrinos geben, wäre die Breite 165 MeV grösser. Abbildung 4.2: Hadronische Crosssection als Funktion der CMS Energie. Erwartung für 2,3 oder 4 Neutrinos als Linien (ALEPH). 4.3 Higgs Suche Das Higgs ist das einzige Teilchen des Standardmodells, was noch nicht nachgewiesen wurde. Es ist aber essentiell für die spontane Symmetriebrechung und somit entscheidend für die Bestätigung des Standardmodells. M. + I. Butterworth, D. + V. Teplitz: Proving the Higgs particle does not exist would be scientifically every bit as valuable as proving it does. Katharina Müller 33 Eichtheorien

37 Das Higgs koppelt an alle Fermionen, W und Z Bosonen und an sich selbst. Die Kopplungsstärke ist proportional zu m 2 resp. m für Fermionen. Zerfall Kopplungsstärke ρ W + W 2m 2 W /ρ 0 ZZ m 2 Z/ρ 0 f f m f /ρ 0 das heisst, das Higgs wird vorwiegend in das schwerste Teilchen zerfallen, was energetisch möglich ist. Theoretische Abschätzungen: m<700 GeV: sonst hätten wir eine sehr starke WW und erwarten, dass das Standardmodell so nicht gilt. m>7 GeV: falls die Masse zu klein ist, werden Quantenkorrekturen zum Higgs Potential wichtiger als das Potential. Aus elektroschwachen Strahlungskorrekturen bestimmte empirische Untergrenze ist 78GeV Experimentell: m> 95.3 GeV, 95% confidence level Abbildung 4.3: Erlaubter Massebereich für Higgs als Funktion von Λ (M t = 175GeV ) In der Figur 4.3 ist die erlaubte Bereich für die Higgsmasse als Funktion des Parameters Λ, der in der Berechnug von Loop-Korrekturen wichtig ist, gezeigt. Λ gibt an, bis zu welchen Energien das Modell gültig sein soll. Wenn man annimmt, dass das Standardmodell bis zur Planckmasse gültig ist, schränkt das den erlaubten Bereich für die Higgsmasse auf GeV ein. Figur 4.4 zeigt die Higgsmasse als Funktion der Top-Masse und die Bereiche, die aus Katharina Müller 34 Eichtheorien

38 Messungen schon ausgeschlossen sind Γ Z, σ had, R l, R q asymmetries ν scattering M W m t 200 all data 90% CL M H [GeV] excluded m t [GeV] Abbildung 4.4: PDG 2000: Erlaubter Massenbereich (95% confidence level) für M H M t, (M t = ± 5.1GeV ) vs 2000 erste Indizien für Higgs am CERN, LEP Experimente, aber noch nicht signifikant. Wie kann das Higgs erzeugt werden? Da die Kopplung an die Fermionen proportional mit deren Masse geht, geht die Produktion mit m 2, man muss also möglichst schwere Fermionen nehmen. Bei genügend hoher Energie kann ein Higgs auch von einem Z Boson abgestrahlt werden Higgs Suche bei LEP Referenz: Im Herbst 2000 kurz vor Ende des LEP-Runs berichtete Aleph über 4-Jet Ereignisse, die als Kandidaten für Higgs mit einer Masse von 114 GeV gelten werden können (3σ Effekt). Katharina Müller 35 Eichtheorien

39 Jet 1) Jet H Z H b b, Z l l 2 isolierte Leptonen und zwei akoplanarejets l Jet l Jet Detektoreffizienz: 70% Branchingratio 6% 2) H Z H b b, Z ν ν 3) ν Jet ν Jet Missing energy und zwei akoplanare Jets Detektoreffizienz: 50% Branchingratio 20% Jet H Z H b b, Z q q 4 Jets, b-tagging von Higgs Jets (BR 65%) 4) Jet Jet Jet Detektoreffizienz: 25% Branchingratio 65% τ τ H Z H b b, Z τ τ H τ τ, Z q q Taus + Jets Detektoreffizienz: 25% Branchingratio 9% Abbildung 4.5: Topologie von Ereignissen mit Higgs Katharina Müller 36 Eichtheorien