Topologieerkennung von Sensornetzwerken

Transkript

1 Institut für Theoretische Informatik - Algorithmik I 26. Januar 2010

2 Übersicht Motivation Definitionen Überlegungen Algorithmus Resultate

3 Motivation Definitionen Überlegungen Algorithmus Resultate

4 Grundlagen Problemstellung Extraktion der Topologie eines Sensornetzwerks nur mit Verbindungsinformationen insbesondere ohne festgelegte Anker und ohne Abstandsinformationen

5 Beispiel zugrundeliegendes Paper Connectivity-based Localization of Large Scale Sensor Networks with Complex Shape (Lederer, Wang, Gao, 2008) Topologie ist wichtig Wenn 2% der Sensorknoten eine erhöhte Temperatur melden kann das statisches Rauschen sein Sind diese 2% in Form einer Feuerschneise angeordnet sieht es schon anders aus

6 Existierende Lösungen Bisherige Ansätze lokale Optimierung Multidimensionale Skalierung (MDS) Gummiband-Algorithmus Probleme mit lokaler Optimierung bleibt in lokalen Minima hängen benötigt Abstandsinformationen

7 Existierende Lösungen II Multidimensionale Skalierung Form bleibt ungefähr erhalten Löcher werden vergrößert Rubberband für Routing noch geeignet Form nicht mehr erkennbar

8 Motivation Definitionen Überlegungen Algorithmus Resultate

9 Steifheit Steifheit Ein Graph heißt steif, wenn seine Einbettung in der Ebene nicht kontinuierlich deformiert werden kann, ohne die Kantenlängen zu ändern. Steifheit vs. Nicht-steifheit Abbildung: nicht steif Abbildung: steif

10 Globale Steifheit Globale Steifheit Ein Graph heißt global steif, wenn seine Einbettung in die Ebene eindeutig ist. Steif, aber nicht global steif. = Mehrdeutigkeit durch umklappen möglich. Resultat Globale Steifheit ist entscheidend für die Erkennung der Topologie.

11 Globale Steifheit Globale Steifheit Ein Graph heißt global steif, wenn seine Einbettung in die Ebene eindeutig ist. Steif, aber nicht global steif. = Mehrdeutigkeit durch umklappen möglich. Resultat Globale Steifheit ist entscheidend für die Erkennung der Topologie.

12 Erinnerung: lokale Optimierung Problem Anfälligkeit gegenüber Fehlern durch Umklappen von Teilgraphen.

13 Landmarken Landmarken einzelne Knoten/Punkte an charakteristischen Stellen meist an Rändern eines Graphen/Netzes dienen zur Orientierung werden auch in der Wegfindung verwendet

14 Voronoiregionen Zur Erinnerung Eine Voronoiregion eines Punktes ist der Bereich, der diesem Punkt näher liegt als jedem anderen. Voronoiregionen sind definitionsgemäß überschneidungsfrei

15 Delaunaygraph Definition V = Landmarken Zwei Landmarken sind im Delaunaygraphen durch eine Kante verbunden, wenn ihre Voronoiregionen aneinander angrenzen intuitiver: wenn sie benachbart sind. Voronoiregion Punkt Delaunaydreiecke sind ebenfalls überschneidungsfrei Delaunaydreieck

16 Hop count Definition d(a, B) := Anzahl der nötigen Sprünge zwischen Knoten A und B A B hier: d(a, B) = 3 durch Fluten zu ermitteln erfüllt die Dreiecksungleichung = als Abstandsmaß brauchbar Nebenwirkungen bisher wurde nur der kontinuierliche Fall betrachtet entspräche unendlich dichtem Sensornetz leider real meist nur endliche Mengen an Knoten = Modell wird diskret

17 Voronoigraph Voronoigraph Der Voronoigraph besteht aus jenen Knoten, welche auf der Grenze zwischen 2 Voronoiregionen liegen Unterschied zum kontinuierlichen Modell: Knoten, welche zu mehreren Landmarken die gleiche Entfernung haben = Knoten, welche in mehreren Voronoiregionen enthalten sind

18 Mittelachse Definition Die Mittelachse besteht aus allen Punkten, die zwei nächste Randpunkte haben. Für uns ist nur die innere Mittelachse interessant. Mittelachse Rand

19 ILFS (= inner local feature size) Definition ILFS(p) eines Randpunktes p ist definiert als der Abstand von p zur inneren Mittelachse. Mittelachse I LF S(p) Rand p

20 Motivation Definitionen Überlegungen Algorithmus Resultate

21 Laman-Kriterium Laman-Graph Ein Graph mit n Knoten heißt Laman-Graph, wenn er 2n 3 Kanten enthält jede Knotenteilmenge mit k Knoten höchstens 2k 3 Kanten aufspannt Laman-Kriterium Ein Graph G ist (in 2 Dimensionen) steif genau dann, wenn G einen Laman-Graphen G enthält.

22 Laman-Kriterium Laman-Graph Ein Graph mit n Knoten heißt Laman-Graph, wenn er 2n 3 Kanten enthält jede Knotenteilmenge mit k Knoten höchstens 2k 3 Kanten aufspannt Laman-Kriterium Ein Graph G ist (in 2 Dimensionen) steif genau dann, wenn G einen Laman-Graphen G enthält.

23 Steifheit Laman Voronoigraph zusammenhängend = Delaunaygraph erfüllt das Laman-Kriterium Beweis aus Platzgründen übergangen Zu wenig Landmarken unzusammenhängender Voronoigraph Delanauygraph nicht steif

24 Globale Steifheit Kombinierung Vorherige Folie: Voronoigraph zusammenhängend = Delaunaygraph steif Außerdem: Delaunaydreiecke überschneidungsfrei = keine Mehrdeutigkeit durch Umklappen Was tun bei Degenerierungen (4- oder Mehrecke)? Kein Problem, bereits eindeutig einbettbar. Resultat Damit: Voronoigraph zusammenhängend = Delaunaygraph global steif!

25 Dichte der Landmarken Wir brauchen global steifen Delaunaygraph = zusammenhängenden Voronoigraph = genug Landmarken Wieviele sind genug? Es ist hinreichend, wenn jedem Randpunkt eine Landmarke näher ist als die Mittelachse. = p Rand: d(p, Landmarke) ILFS(p) Die notwendige Anzahl der Landmarken hängt nur von der Form des Sensornetzes ab, nicht von der Anzahl der Knoten!

26 Dichte der Landmarken Wir brauchen global steifen Delaunaygraph = zusammenhängenden Voronoigraph = genug Landmarken Wieviele sind genug? Es ist hinreichend, wenn jedem Randpunkt eine Landmarke näher ist als die Mittelachse. = p Rand: d(p, Landmarke) ILFS(p) Die notwendige Anzahl der Landmarken hängt nur von der Form des Sensornetzes ab, nicht von der Anzahl der Knoten!

27 Dichte der Landmarken Wir brauchen global steifen Delaunaygraph = zusammenhängenden Voronoigraph = genug Landmarken Wieviele sind genug? Es ist hinreichend, wenn jedem Randpunkt eine Landmarke näher ist als die Mittelachse. = p Rand: d(p, Landmarke) ILFS(p) Die notwendige Anzahl der Landmarken hängt nur von der Form des Sensornetzes ab, nicht von der Anzahl der Knoten!

28 Motivation Definitionen Überlegungen Algorithmus Resultate

29 Vorgehen Übersicht 1. Ränder finden 2. innere Mittelachse finden 3. ILFS bestimmen 4. Landmarken wählen 5. Voronoigraphen erzeugen 6. Delaunauygraphen berechnen 7. Einbettung in die Ebene

30 Ränder finden Vorgehen Verwende den Algorithmus aus Boundary Recognition in Sensor Networks by Topological Methods von Wang, Gao und Mitchell. Abriss

31 innere Mittelachsen finden Vorgehen 1. Randknoten beginnen zu fluten 2. Hop count bei jeder Weiterleitung um eins erhöhen 3. = jeder Knoten kennt nächsten Randknoten 4. Knoten mit zwei nächsten Randknoten bilden die Mittelachsen Beim Fluten werden redundante Nachrichten unterdrückt.

32 ILFS berechnen Vorgehen 1. Mittelachse flutet 2. Randknoten p erfahren Distanz zur Mittelachse und damit ILFS(p) Mittelachse I LF S(p) Rand p

33 Landmarken wählen Vorgehen Pro Randknoten p: 1. p wartet eine zufällige Zeit 2. trifft Nachricht über Landmarke ein, erkennt p diese an 3. andernfalls wird p selbst zur Landmarke 4. p unterrichtet alle Randknoten q mit d(p, q) ILFS(p) Resultat Für alle zueinander benachbarten Landmarken A, B gilt: d(a, B) max(ilfs(a), ILFS(B))

34 Voronoigraphen erzeugen Vorgehen Sehr ähnlich dem zum Finden der Mittelachse: 1. Alle Landmarken fluten das Netz mit Nachrichten 2. erhöhe Hop count bei jeder Weiterleitung 3. = jeder Knoten kennt nächste Landmarke 4. damit auch Voronoiregion

35 Delaunaygraphen berechnen Vorgehen Sei k ein Knoten mit zwei nächsten Landmarken A, B = k liegt auf der Grenze der Voronoiregionen somit ein Zeuge dafür, dass A und B benachbart sind füge Kante A, B dem Delaunaygraphen hinzu nimm Hopcount(A, B) als Länge der Kante Einige Probleme, die durch den diskreten Fall auftreten können, vernachlässigen wir hier.

36 Einbettung Vorgehen 1. Wähle ein zufälliges Delaunauy-Dreieck als Anfang 2. Weise diesem Koordinaten zu 3. Konstruiere von diesem aus den Graphen, sodass sich keine Überschneidungen ergeben Relaxation Da der Hop count nur ein recht grobes Entfernungsmaß ist, wird noch ein Mass-Spring-Algorithmus angewendet, um den Fehler zu verteilen.

37 Lokalisierung Vorgehen Nachdem die Landmarken auf die Ebene projiziert wurden und somit Koordinaten erhalten haben, können sich alle anderen Knoten an diesen orientieren und ihre eigene Position ermitteln.

38 Motivation Definitionen Überlegungen Algorithmus Resultate

39 Vergleich

40 Vergleich

41 Zusammenfassung Problemstellung Erkennung der Topologie eines Sensornetzwerks nur mit Verbindungsinformationen Verbreiteter Fehler in vorherigen Ansätzen Verfälschung der Topologie durch Umklappen Entscheidende Idee Erzeugung eines global steifen Graphen = eindeutige Einbettung ohne Umklappfehler

42 Ende Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! Fragen?