Feldwinkelspektrum und Fourieroptik

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1 Übung 9 Abgabe: bzw Elektromagnetische Felder & Wellen Frühjahrssemester 2015 Photonics Laboratory, ETH Zürich Feldwinkelspektrum und Fourieroptik 1 Fouriertransformation und Faltung (20 Pkt.) Wir überzeugen uns im Folgenden von einigen bei den verbleibenden Aufgaben hilfreichen Umständen. Sofern nicht anders angegeben, seien die Integrationsgrenzen in dieser Aufgabe stets von bis. Wir haben die Fouriertransformation einer Funktion f(x 1,..., x n ) definiert als F[f] = ˆf(k 1,..., k n ) = 1 (2π) n dx 1... dx n f(x 1,..., x n ) e i(k 1x k nx n) (1) und die inverse Fouriertransformation als F 1 [ ˆf] = f(x 1,..., x n ) = dk 1... dk n ˆf(k1,..., k n ) e i(k 1x k nx n). (2) Es gilt F 1 F[f({x i }] = f({x i }). Ausserdem ist die Faltungsoperation zwischen den Funktionen f(x 1,..., x n ) und g(x 1,..., x n ) definiert als (f g)(x 1,..., x n ) = dy 1... dy n f(y 1,..., y n )g(x 1 y 1,..., x n y n ). (3) Die Dirac sche Delta-Funktion ist über die Faltungsoperation definiert als f(x) = (f δ)(x). (4) (a) (2 Pkt.) Zeigen Sie, dass die Delta-Funktion dargestellt werden kann als δ(x) = 1 dk x e ikxx. (5) 2π (b) (2 Pkt.) Überzeugen Sie sich, dass gilt F[1] = δ(k). (c) (2 Pkt.) Leiten Sie her, dass gilt F[e iαx ] = δ(k x α). (d) (optional) Zeigen Sie, dass die Fouriertransformation der Faltung zweier Funktionen f(x) und g(x) proportional zum Produkt der Fouriertransformationen der gefalteten Funktionen ist F[(f g)] = 2π F[f] F[g]. (6) 1

2 (e) (4 Pkt.) Beweisen Sie, dass die Fouriertransformation des Produktes zweier Funktionen gleich der Faltung der Fouriertransformierten der Funktionen ist F[f g] = F[f] F[g]. (7) Jede periodische Funktion lässt sich darstellen durch ihre diskrete Fourierreihe. Die Funktion p(x) mit Periode L kann so geschrieben werden als p(x) = n= c n e i 2πnx L, mit Fourier-Koeffizienten cn = 1 L/2 2πnx i p(x) e L dx. (8) L L/2 (f) (3 Pkt.) Zeigen Sie, dass die Fouriertransformierte der Funktion p(x) mit Periodizität L lautet F[p(x)] = n= ( ) 2πn c n δ L k x. (9) (g) (3 Pkt.) Wir wenden uns einem Beispiel zu. Berechnen Sie die Fouriertransformation der Rechtecksfunktion, die definiert ist als { 1 wenn s a s, rect s (a) = 0 sonst. (10) Formulieren Sie Ihr Ergebnis unter Gebrauch der sinc Funktion, die definiert ist als sinc(x) = sin(x) x. (11) (h) (4 Pkt.) Bestimmen Sie den Funktionswert sinc(x = 0) und erstellen Sie eine aussagekräftige Skizze der sinc Funktion. 2

3 2 Beugung an einem Gitter (80 Pkt.) Optische Gitter sind Strukturen mit periodisch modulierten optischen Eigenschaften. Gitter erlauben durch Beugung die Manipulation elektromagnetischer Strahlung auf mannigfaltige Weise. Besonders herausragend ist die Bedeutung optischer Gitter als dispersive Elemente in der Spektroskopie, die es erlauben, Strahlung nach der Frequenz räumlich zu separieren und auf diese Weise spektral zu analysieren. Betrachten Sie ein (infinitesimal) dünnes periodisches Gitter in der xy-ebene mit Periodizität L in x-richtung und transversal invariant in y-richtung, dessen komplexe Amplitudentransmissionsfunktion t(x) sei. Das Gitter habe eine endliche Ausdehung 2L x in x-richtung, sowie 2Ly in y-richtung und sei umgeben von einer intransparenten Blende, wie in Abb. 1(a) gezeigt. Eine ebene Welle E in (r) = E 0 e ikin r falle aus der negativen z-richtung kommend senkrecht auf das Gitter ein, so dass die Feldamplitude in der Ebene z = 0 nach Durchgang durch das Gitter gegeben sei durch E(x, y, z = 0) = rect Lx (x) rect Ly (y) t(x) E in (x, y, z = 0). Der gesamte Aufbau befinde sich in Vakuum. Beachten Sie, dass n im Folgenden stets einen Summationsindex bezeichnet und nicht den Brechnungsindex. (a) n=2 n=1 (b) d CCD { x L{ 2L x n=0 n=-1 n=-2 0 Abbildung 1: (a) Illustration eines Beugungsgitters mit linearer Dimension 2L x und Periodizität L, das von einer ebenen Welle unter normalem Einfall bestrahlt wird. Die Pfeile rechts des Gitters illustrieren die ausfallenden Beugungsmaxima, die jeweils mit ihrer Ordnung beschriftet sind. (b) Illustration der chromatischen Dispersion durch ein Gitter, schematisch illustriert durch zwei Wellenlängen, die unterschiedlich stark gebeugt werden. Auf einem Schirm oder einer Kamera im Abstand d ergeben sich so verschiedene Auftreffpunkte für die beiden Wellenlängen innerhalb derselben Beugungsordung. (a) (4 Pkt.) Berechnen Sie das Feldwinkelspektrum der einfallenden ebenen Welle vor Interaktion mit dem Gitter in der Ebene z = 0. (b) (6 Pkt.) Wir suchen nun das Feldwinkelspektrum Ê(k x, k y ; 0) des Feldes nach Interaktion mit dem Gitter. Formulieren Sie zunächst die Fouriertransformation der Aperturfunktion F[rect Lx rect Ly ]. (c) (4 Pkt.) Berechnen Sie die (zweidimensionale) Fouriertransformation der Amplitudentransmissionsfunktion F[t(x)] = ˆt(k x, k y ). 3

4 (d) (7 Pkt.) Leiten Sie nun das Feldwinkelspektrum Ê(k x, k y ; 0) aus der Feldverteilung direkt hinter dem Gitter E(x, y, z = 0) her. Machen Sie Gebrauch von den Ergebnissen aus den Aufgaben (b) und (c) sowie der Faltungseigenschaft der Fouriertransformation. (e) (7 Pkt.) Berechnen Sie die Intensität I(s) = (1/2Z) E (s) 2 in der Richtung s = (s x, s y, s z ) T = (k x /k, k y /k, k z /k) T = (x/r, y/r, z/r) T im Abstand r. Zeigen Sie, dass die Intensität unter der Annahme, dass das Gitter viele Perioden aufweise (also L L x gilt), lautet I(s) = 2 Z E 0 2 (L x L y k z ) 2 π 2 r 2 sinc 2 (k y L y ) n= c n 2 sinc [(k 2 x n 2π ] L )L x. (12) Wir nennen den nten Summanden die nte Beugungsordnung und c n 2 die Beugungseffizienz des Gitters in die nte Ordnung. (f) (optional) Erstellen Sie einen Farbgraphen (color plot) der Intensität (normiert auf die maximale Intensität) auf einem Schirm im Abstand d = 500 mm von einem Gitter mit Dimensionen L x = 0.5 mm, L y = 1 mm, das von einer senkrecht einfallenden ebenen Welle bei der Telekomwellenlänge λ = 1550 nm bestrahlt wird. Das Gitter habe eine Periodizität von 20 lpmm (lines per mm). Betrachten Sie den Bereich x = ±40 mm sowie y = ±25 mm und erstellen Sie eine Vergrösserung des Bereiches um ein Beugungsmaximum. Nehmen Sie hier exemplarisch an, dass für das Gitter gilt c n = 1 n. Zeigen Sie, dass diese Funktion t(x) gerade einer linearen, periodischen Anordnung von Delta-förmigen (punktartigen) Löchern in einer Blende entspricht. (g) (7 Pkt.) Zeigen Sie anhand des Ausdrucks für die Intensität in Gl. (12), dass das Maximum der Beugungsordnung n unter dem Winkel α n = sin 1 (nλ/l) zur Ausbreitungsrichtung entsteht. Leiten Sie dieses Ergebnis geometrisch anhand einer Skizze her. (h) (7 Pkt.) Zeigen Sie, dass, sofern n niedrig genug gewählt ist, so dass n 2π/L k gilt und Sie k z k annehmen können, die in die nte Beugungsordnung abgestrahlte Leistung P n = I in A c n 2 (13) ist, wobei I in die Intensität der auf das Gitter einfallenden Welle ist und A die vom Gitter eingenommene Fläche. Hinweis: Das Integral du sin2 (u) = π kann hilfreich sein. u 2 (i) (7 Pkt.) Wir können also die in die jeweiligen Beugungsordungen gebeugte Leistung durch die Wahl von t(x), bzw. seinen Fourierkomponenten, beeinflussen. Berechnen Sie die Beugungseffizienz in sämtliche Ordnungen für ein Gitter mit der Amplitudentransmissionsfunktion t(x) = cos( 2π L x). Hinweis: Machen Sie Gebrauch von den Orthogonalitätsrelationen für die sin und die cos Funktion sowie von dem Integral π π cos2 (u)du = π. Sie sollten finden, dass gilt n c n 2 = 1/2, was gerade dem Mittelwert t(x) 2 der Intensitätstransmission des Gitters entspricht. 4

5 (j) (optional) Berechnen Sie die Beugungseffizienz in die nullte, erste und zweite Ordnung für ein Gitter mit einer Amplitudentransmission ( πx ) t(x) = cos. L (k) (optional) Betrachten Sie ein Gitter mit einer Amplitudentransmissionsfunktion gegeben durch { 1/2 tm für L/4 x < L/2 t(x) = 1/2 + t m für 0 x < L/4 mit 0 t m 1/2 und t(x + sl) = t(x) für s Z (periodische Fortsetzung). Finden Sie die Beugungseffizienz in die erste und zweite Ordnung für t m = 1 4. Berechnen Sie zudem den Anteil der absorbierten und transmittierten Intensität. (l) (12 Pkt.) Ein periodisches sägezahnförmiges Phasengitter mit einer Periode von 0 bis L habe folgendes Phasenprofil Φ(x) = Φ 0(x mod L) L und somit die Amplitudentransmissionsfunktion (14) t(x) = e iφ(x). (15) Berechnen Sie die Beugungseffizienz dieses Gitters in die nullte, erste und zweite Ordnung für Φ 0 = π, 3π/2 und 2π. Verwenden Sie zur Berechnung der Fourierkoeffizienten die Integrationsgrenzen 0 und L. Nachdem wir nun wissen, wie ein Beugungsgitter zu konstruieren ist, um das Signal in einer bestimmten Beugungsordnung zu maximieren, wenden wir uns der Optimierung zum Gebrauch in der Spektroskopie zu. Ziel ist es, Strahlung verschiedener Wellenlängen voneinander zu trennen, um ein Frequenzspektrum aufzunehmen. Wir betrachten dazu ein Gitter, das im Abstand d vor einem Schirm (oder einer Kamera) steht, wie in Abb. 1(b) gezeigt. Die Transmissionsfunktion des Gitters sei optimiert, um maximale Intensität in die erste Ordnung zu beugen. (m) (8 Pkt.) Berechnen Sie für gegebene Parameter d, L, L x die Position x(λ), bei der Strahlung der Wellenlänge λ in der ersten Beugungsordnung auf dem Schirm auftrifft. Berechnen Sie weiterhin die Breite x(λ) der Beugungsordnung auf dem Schirm. Nehmen Sie hierzu als Kriterium den halben Abstand zwischen den beiden ersten Minima um das globale Maximum der Beugungsordung. (n) (5 Pkt.) Zeigen Sie, dass die (normierte) Wellenlängenauflösung des Gitters lautet λ λ = 2L x L. (16) Bestimmen Sie dazu die Wellenlängendifferenz λ zu einer gegebenen Wellenlänge λ, für die die beiden Wellenlängen durch ihren Auftreffpunkt auf dem Schirm gerade noch voneinander zu unterscheiden sind. Wir definieren als Auflösungsgrenze hierbei, dass das Beugungsmaximum der Wellenlänge λ ± λ gerade in das erste Minimum der zugehörigen Beugungsordnung von λ fällt. 5

6 (o) (4 Pkt.) Die Wellenlängenauflösung eines Gitters ist also umso besser, je kleiner die Gitterperiode ist. Existiert eine Periodizität L min, die ein Gitter nicht unterschreiten darf, um Strahlung der Wellenlänge λ noch stets zu beugen? (p) (2 Pkt.) Berechnen Sie die Wellenlängenauflösung λ, die Sie im roten Spektralbereich (um 600 nm) von einem Gitter mit 500 lpmm (lines per mm) erwarten, wenn Ihr Gitter eine Ausdehnung von einem Zoll hat. 6