Ruhr - Universität Bochum Fakultät für Mathematik. Bachelorarbeit. Explizite Runge-Kutta Verfahren. Nadine Kumbartzky.

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1 Ruhr - Universität Bochum Fakultät für Mathematik Bachelorarbeit Explizite Runge-Kutta Verfahren Nadine Kumbartzky im September 009 Betreuer und Erstgutachter Prof. Dr. Rüdiger Verfürth Zweitgutachter Prof. Dr. Christiane Helzel

2 Kumbartzky, Nadine: Explizite Runge-Kutta Verfahren Bachelorarbeit Fakultät für Mathematik Ruhr - Universität Bochum

3 Inhaltsverzeichnis Einleitung Idee der Runge-Kutta Verfahren. Herleitung des Verfahrens Butcher Schema Maximal mögliche Ordnung Invarianz unter Autonomisierung Klassische Runge-Kutta Verfahren 4 3. Taylorentwicklung des Phasenflusses und diskreten Flusses Aufstellen der Bedingungsgleichungen Lösen der Bedingungsgleichungen Beispiele Simpson-Regel Newtonsche 3 -Regel Runge-Kutta Verfahren höherer Ordnung 4 4. Motivation und Einführung in die Methodik der Wurzelbäume Taylorentwicklung des Phasenflusses und diskreten Flusses Aufstellen der Bedingungsgleichungen Lösen der Bedingungsgleichungen Literatur 33 i

4 Einleitung In der Mathematik beschäftigt sich ein Teilbereich mit gewöhnlichen Differentialgleichungen und versucht eine exakte Lösung dieser Gleichungen zu bestimmen. Da dies aus den verschiedensten Gründen nicht immer möglich ist, hat die Numerik es sich zur Aufgabe gemacht, die Lösungen der Differentialgleichung zumindest näherungsweise zu bestimmen. Betrachtet man Anfangswertprobleme, so kann man eine Näherungslösung mit Hilfe von sogenannten Einschrittverfahren bestimmen. Hierbei wird im Gegensatz zu Mehrschrittverfahren die neue Näherungslösung ausschließlich mit Werten aus der aktuellen Näherung berechnet. Ein einfaches Beispiel für ein explizites Einschrittverfahren ist das explizite Euler-Verfahren. Es verfügt jedoch nur über die Konsistenzordnung p =. Diese Arbeit behandelt explizite Runge-Kutta Verfahren. Sie stellen eine Klasse von Einschrittverfahren dar, die über eine Konsistenzordnung p > verfügen. Im zweiten Kapitel werden zunächst einige Hilfskonstrukte eingeführt, um im Anschluss die Idee und Herleitung dieser Verfahren darstellen zu können. Nach der konkreten Angabe des Verfahrens werden ein paar grundlegende Eigenschaften erläutert. Im dritten Kapitel geht es dann um klassische Runge-Kutta Verfahren. Es wird eine Anleitung vorgestellt, um explizite Runge-Kutta Verfahren der Konsistenzordnung p N zu konstruieren. Wir führen dies exemplarisch für den Fall p = 4 durch. Im letzten Kapitel soll ein Einblick in die Konstruktion von Runge-Kutta Verfahren höherer Konsistenzordnung gegeben werden. Dazu gebe ich zunächst eine kleine Einführung in die Methodik der Wurzelbäume. Im Anschluss daran wird analog zum dritten Kapitel die Vorgehensweise zur Konstruktion der Verfahren vorgestellt. Diese Arbeit ist im Rahmen des Seminars Seminar über Numerik unter der Leitung von Prof. Dr. Rüdiger Verfürth an der Ruhr-Universität Bochum im Sommersemester 009 entstanden. Als Grundlage dient das Kapitel 4. aus dem Buch Numerische Mathematik II von Deuflhard/Bornemann.

5 Idee der Runge-Kutta Verfahren. Herleitung des Verfahrens Bevor wir uns mit der konkreten Gestalt von Runge-Kutta Verfahren beschäftigen, möchte ich an die uns vorliegende Problemstellung erinnern: Wir betrachten das Anfangswertproblem (AWP) x = f(t, x) x(t 0 ) = x 0 mit f : I Ω 0 = Ω R R d. Φ t+τ,t 0 x 0 = x ist die exakte Lösung des AWPs. Wir wählen Zeitpunkte t 0 < t <... < t n = T aus, die auch Gitter genannt werden. τ j = t j+ t j für j = 0,,..., n Δ bezeichne dabei die Schrittweite. Das Einschrittverfahren ist charakterisiert durch die diskrete Evolution Ψ t+τ,t 0, welche die diskrete Lösung auf dem Gitter Δ darstellt. Um das Nachvollziehen späterer Rechenschritte zu vereinfachen, führen wir folgende Hilfskonstruktionen ein: Definition.. Sei (t, x) Ω. Die für hinreichend kleines τ erklärte Differenz ε(t, x, τ) = Φ t+τ,t x Ψ t+τ,t x heißt Konsistenzfehler der diskreten Evolution Ψ. Lemma.. Die diskrete Evolution Ψ t+τ,t x sei für festes (t, x) Ω und hinreichend kleines τ bezüglich τ stetig differenzierbar. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent: (i) Die diskrete Evolution ist konsistent.

6 (ii) Die diskrete Evolution besitzt die Darstellung Ψ t+τ,t x = x + τψ(t, x, τ) ψ(t, x, 0) = f(t, x), mit einer bezüglich τ stetigen Funktion ψ, der Inkrementfunktion. Beispiel.3. Die simple Wahl ψ(t, x, τ) = f(t, x) für die Inkrementfunktion liefert uns gerade die diskrete Evolution des expliziten Euler-Verfahrens Ψ t+τ,t x = x + τf(t, x). Definition.4. Eine diskrete Evolution Ψ besitzt die Konsistenzordnung p, wenn der Konsistenzfehler die Beziehung ε(t, x, τ) = O(τ p+ ) für τ 0 lokal gleichmäßig in Ω erfüllt. Betrachten wir an dieser Stelle einmal den Nachweis, dass das explizite Euler- Verfahren die Konsistenzordnung p = besitzt. Zu zeigen ist also: ε(t, x, τ) = O(τ ). Beweis: Der Konsistenzfehler konnte dargestellt werden als ε(t, x, τ) = Φ t+τ,t x Ψ t+τ,t x = ( Φ t+τ,t x x ) τψ(t, x, τ). Der Term in Klammern wird bis zur gewünschten Ordnung nach τ entwickelt. 3

7 Dazu setze ich zunächst Φ t+τ,t x =: φ(τ) und beginne mit der Taylorentwicklung: φ(τ) = φ(0) + τ dφ dτ (0) + O(τ ) φ(0) = Φ t+0,t x = Φ t,t x = x dφ d (τ) = dτ dτ Φt+τ,t x = f(t + τ, Φ t+τ,t x) n. Def. dφ dτ (0) = f(t, Φt,t x) = f(t, x). Somit erhalten wir folgende Darstellung: Φ t+τ,t x = x + τf(t, x) + O(τ ). Nach Beispiel.3 gilt für das explizite Euler-Verfahren ψ(t, x, τ) = f(t, x). Somit folgt also ε(t, x, τ) = τf(t, x) + O(τ ) τψ(t, x, τ) = O(τ ). Führen wir die Taylorentwicklung einen Schritt weiter, so erhalten wir φ(τ) = x + τf(t, x) + τ d φ dτ (0) + O(τ 3 ) d φ d (dφ (τ) = dτ dτ dτ (τ)) aaoivii = d dτ f(t + τ, Φt+τ,t x) aaoivii = f t (t + τ, Φ t+τ,t x) + f x (t + τ, Φ t+τ,t x) d φ dτ (0) = f t(t, x) + f x (t, x)f(t, x) 4 d dτ Φt+τ,t x }{{} f(t+τ,φ t+τ,t x)

8 Φ t+τ,t x = x + τf(t, x) + τ ( ft (t, x) + f x (t, x)f(t, x) ) + O(τ 3 ) Φ t+τ,t x x = τf(t, x) + τ ( ft (t, x) + f x (t, x)f(t, x) ) + O(τ 3 ). Wählen wir die Inkrementfunktion für ein f C (Ω, R d ) als ψ (t, x, τ) = f(t, x) + τ ft (t, x) + f x (t, x)f(t, x) ( ), so erhalten wir eine diskrete Evolution der Konsistenzordnung p =. Analog lassen sich für Funktionen f C p (Ω, R d ) Einschrittverfahren der Ordnung p N, also beliebig hoher Ordnung konstruieren. Dazu muss nur die Taylorentwicklung des Phasenflusses bis zur Ordnung p durchgeführt und das Taylorpolynom p-ten Grades als τψ gewählt werden. Die so konstruierten Verfahren nennt man Taylorverfahren. Der Aufwand des Taylorverfahrens der Konsistenzordnung p = entspricht maximal 4 f-auswertungen. Wir suchen nun nach einer Klasse von Verfahren, die den Aufwand verringern können. Dazu betrachten wir folgende Situation: Die Konsistenzordnung p des Taylorverfahrens wird natürlich nicht beeinträchtigt, wenn wir statt der Inkrementfunktion ψ eine neue Inkrementfunktion ψ(t, x, τ) = ψ (t, x, τ) + O(τ p ) wählen, welche also nur in p-ter Ordnung von der ursprünglichen Inkrementfunktion abweicht. Wir wollen dies nur mit Hilfe von f-auswertungen bewerkstelligen. Um ein Gefühl dafür zu bekommen, führen wir das exemplarisch für den Fall p = durch: Die Integraldarstellung des Restgliedes der Taylorentwicklung lautet wie folgt: Φ t+τ,t x = x + τψ (t, x, τ) + O(τ 3 ) τψ (t, x, τ) = Φ t+τ,t x Φ}{{} t,t x +O(τ 3 ) = x τψ (t, x, τ) = τ 0 f(t + σ, Φ t+σ,t x)dσ + O(τ 3 ). 5

9 Dieses Integral approximieren wir mit der gleichen Fehlerordnung durch die Mittelpunktsregel. Sie lautet allgemein: b a ( ) a + b f(x)dx f (b a). Wenden wir die Mittelpunktsregel auf unseren Fall an, so erhalten wir: τ 0 f(t + σ, Φ t+σ,t x)dσ = τf(t + τ, Φt+ τ,t x) + O(τ 3 ). Man könnte auf den ersten Blick meinen, dass wir unser Ausgangsproblem nur um einen Faktor in der Schrittweite verändert hätten. Tatsächlich liegt aber eine andere Situation vor. Dadurch, dass wir den Restterm der Taylorentwicklung mit τ multiplizieren, genügt es ihn auf O(τ ) zu approximieren. Dies liefert uns gerade das explizite Euler-Verfahren. So erhalten wir für eine Funktion f C (Ω, R d ) mit der dazugehörigen Inkrementfunktion ψ(t, x, τ) = f ( t + τ, x + τ f(t, x)) ein Einschrittverfahren der Konsistenzordnung p =. Dieses wurde erstmals 895 von C. Runge angegeben und nach ihm benannt. Das Taylorpolynom ψ wird durch einen neuen Ausdruck ψ von ineinandergeschachtelten f-auswertungen ersetzt. Vergleicht man dieses Vorgehen mit dem Taylor- Verfahren, so erkennt man, dass der Aufwand in etwa halbiert wurde. Definition.5. Die rekursive Schreibweise des Verfahrens von C. Runge lautet: k = f(t, x) k = f ( t + τ, x + τ k ) Ψ t+τ,t x = x + τk. Das Verfahren wurde in seiner Gestalt 90 von W. Kutta zu allgemeineren Schachtelungen von f-auswertungen erweitert: 6

10 Definition.6. Ein s-stufiges explizites Runge-Kutta Verfahren hat folgende Gestalt: i k i = f(t + c i τ, x + τ a ij k j ) Ψ t+τ,t x = x + τ b i k i. i =,..., s Dabei bezeichne k i = k i (t, x, τ) die i-te Stufe des Verfahrens.. Butcher Schema Die Koeffizienten des Verfahrens lassen sich wie folgt zusammenfassen: b = (b,..., b s ) T R s c = (c,..., c s ) T R s 0 a 0 A = a 3 a 3 0 R s s a s a s... a s,s 0 Die oberen Werte der Matrix A werden auch mit a ij bezeichnet, wobei gilt: a ij = 0 i j. Das 963 eingeführte Butcher Schema dient zur verkürzten und übersichtlichen Darstellung von Runge-Kutta Verfahren. Es hat folgende Gestalt: c a a... a s c A b T = c a a... a s c s a s a s... a ss b b... b s 7

11 Beispiele: Butcher Schema des expliziten Euler-Verfahrens: 0 0 Butcher Schema des Verfahrens von C. Runge: Durch die Angabe von b, c und A ist das Verfahren vollständig charakterisiert. Man spricht daher auch kurz von Runge-Kutta Verfahren (b, c, A)..3 Maximal mögliche Ordnung In diesem Abschnitt möchten wir untersuchen, was die maximal mögliche Ordnung von expliziten Runge-Kutta Verfahren ist. Wir versuchen dazu die Verfahrensparamter b, c und A so zu bestimmen, dass wir eine möglichst hohe Konsistenzordnung p erreichen können. Bevor wir eine konkrete Aussage über die Konsistenzordnung machen können, beschäftigen wir uns allgemein mit der Frage der Konsistenz. Unser Verfahren liege in der inkrementellen Form vor. Demnach gilt Ψ t+τ,t x = x + τψ(t, x, τ) mit ψ(t, x, τ) = b i k i. (vgl. Def..6) Setzen wir τ = 0, so erhalten wir k i = k i (t, x, 0) = f(t, x), also Def..6 ( ψ(t, x, 0) = b i k i = b i )f(t, x). 8

12 Lemma. sagt aus, dass die diskrete Evolution genau dann konsistent ist, wenn ψ(t, x, 0) = f(t, x) gilt. Dies führt uns zu unserem nächsten Lemma: Lemma.7. Ein explizites Runge-Kutta Verfahren (b,c,a) ist genau dann konsistent für alle f C(Ω, R d ), wenn gilt: b i =. Um eine möglichst hohe Konsistenzordnung p zu bekommen, liegt die Vermutung nahe, dass der Aufwand steigen wird. Dies wird sich in der wachsenden Stufenanzahl s ausdrücken. Eine einfache Abschätzung liefert uns das nachstehende Lemma: Lemma.8. Ein s-stufiges explizites Runge-Kutta Verfahren besitze für alle f C (Ω, R d ) die Konsistenzordnung p N. Dann gilt: p s. Beweis: Wir betrachten das AWP x = x x(0) =. Die exakte Lösung dieses Problems ist Φ τ,0 = e τ = + τ + τ Taylor! + τ 3 p τ ! p! + O(τ p+ ). Außerdem sieht man rekursiv, dass k i (0,, ) P i, Nach Definition.6 ist i =,..., s. Ψ t+τ,t x = x + τ b i k i, 9

13 also ist Ψ τ,0 = x + τ b i k i ein Polynom in τ vom Grad s. Damit der Konsistenzfehler ε(0,, τ) die Bedingung ε(0,, τ) = Φ τ,0 Ψ τ,0 = O(τ p+ ) erfüllen kann, muss also gelten: p s..4 Invarianz unter Autonomisierung In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit der Frage, wann ein explizites Runge-Kutta Verfahren invariant unter Autonomisierung ist. Bevor wir uns das konkret für die uns vorliegende Verfahrensklasse anschauen, möchte ich allgemeiner über die Definition und den Nutzen der Autonomisierung sprechen. Eine gewöhnliche Differentialgleichung bzw. ein Anfangswertproblem heißt autonom, wenn die Funktion f nicht explizit von der Variablen t abhängt. Autonome Differentialgleichungen haben gegenüber nicht-autonomen den Vorteil, dass sich eine Lösung für alle Zeiten t bestimmen lässt, da die Differentialgleichung nicht mehr von der Zeitvariablen t abhängt. Sie besitzen in der Regel zeitlich konstante, sogenannte stationäre Lösungen. Diese kann man leicht ausrechnen, indem man die im Allgemeinen nichtlineare Differentialgleichung f(x) = 0 löst, also indem man die Ableitung von x gleich Null setzt. Wir wollen unsere Verfahrensklasse nun vereinfachen. Dazu erinnern wir uns, dass wir für die Konsistenzordnung p gefordert hatten, dass f C p (Ω, R d ) ist. Da die Funktion f zum einen von der Zeitvariablen t und zum anderen von Vgl. Verfürth (008) S. 5. Vgl. Eck/Garcke/Knabner (008) S

14 der Zustandsvariablen x abhängt und von beiden die gleiche Differentiationsordnung verlangt, können wir an dieser Stelle unsere Notation vereinfachen. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit überführen wir die Zeitvariable durch Autonomisierung in eine Zustandsvariable. Wir betrachten nun statt des ursprünglichen Anfangswertproblems x = f(t, x) x(t 0 ) = x 0 auf dem erweiterten Phasenraum Ω ein äquivalentes erweitertes System auf dem Phasenraum ˆΩ 0 = Ω: x = f(s, x) x(0) = x 0 s = s(0) = s 0. Die Evolution des erweiterten Systems bezeichnen wir mit ˆΦ t,s. Dann gilt folgende Äquivalenz zwischen den zwei Systemen: Φ t+τ,t x = ˆΦ t+τ,t x t + τ = ˆΦ t+τ,t t. Die Invarianz unter Autonomisierung ist eine wünschenswerte Eigenschaft von Runge-Kutta Verfahren. Was bedeutet nun Invarianz unter Autonomie? Invarianz unter Autonomie heißt, dass das Verfahren angewandt auf das äquivalente autonome Anfangswertproblem das gleiche Resultat liefern sollte, als würde man es auf das ursprüngliche Anfangswertproblem anwenden. 3 Es soll also gelten: Ψ t+τ,t x = ˆΨ t+τ,t x t + τ = ˆΨ t+τ,t t. Konkret für explizite Runge-Kutta Verfahren bedeutet das: 3 Vgl. Verfürth (008) S. 4 f.

15 Lemma.9. Ein explizites Runge-Kutta Verfahren (b,c,a) ist genau dann invariant unter Autonomisierung, wenn es konsistent ist und zusätzlich gilt: c i = a ij für i =,..., s. Beweis: Wir bezeichnen die Stufen von ˆΨ mit K i = (ˆk i, θ i ). Dann gilt nach der Definition von expliziten Runge-Kutta Verfahren: ˆΨ t+τ,t x = x + τ ˆΨ t+τ,t t = t + τ mit b iˆki b i θ i ˆk i = f(t + τ θ i = a ij θ j, x + τ a ijˆkj ) für i =,..., s. Die Stufen der ursprünglichen diskreten Evolution Ψ t+τ,t x hatten wir mit k i bezeichnet. Für die Invarianz unter Autonomisierung hatten wir gefordert: Ψ t+τ,t x = ˆΨ t+τ,t x t + τ = ˆΨ t+τ,t t. Schauen wir uns das im Einzelnen an: x + τ Ψ t+τ,t x b i k i =! ˆΨ t+τ,t x = x + τ b iˆki k i = ˆk i f(t + c i τ, x + τ a ij k j ) = f(t + τ a ij θ j, x + τ a ijˆkj )

16 t + c i τ = t + τ c i = Außerdem soll gelten: a ij a ij θ j }{{} = für i =,..., s.! t + τ = ˆΨ t+τ,t t t + τ = t + τ b i =, b i θ i }{{} = was nichts anderes heißt, als dass das Verfahren konsistent sein muss. Wir werden im Folgenden unter Autonomisierung invariante Runge-Kutta Verfahren kurz mit Runge-Kutta Verfahren (b, A) bezeichnen. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit genügt es für diese Verfahren stets autonome Probleme x = f(x) x(0) = x 0 auf einem Phasenraum Ω 0 R d mit Phasenfluss Φ τ zu betrachten. Unsere Notation des diskreten Flusses vereinfacht sich ebenfalls zu Ψ τ x = x + τψ(x, τ). Der Konsistenzfehler hängt nun auch nicht mehr von der Zeitvariablen t ab und kann dargestellt werden als ε(x, τ) = Φ τ x Ψ τ x. 3

17 3 Klassische Runge-Kutta Verfahren Um Runge-Kutta Verfahren (b, A) der Konsistenzordnung p N zu konstruieren, benötigen wir zwei Schritte:. Das Aufstellen von Bedingungsgleichungen an die s(s+) Koeffizienten (b, A) derart, dass das Verfahren die gewünschte Konsistenzordnung p für alle f C p (Ω, R d ) hat.. Das Lösen dieser Bedingungsgleichungen, also die Angabe konkreter Koeffizientensätze, welche diesen Gleichungen genügen. Wir wollen das Vorgehen exemplarisch für den Fall p = 4 durchführen. Dazu betrachten wir die eben vorgestellte autonome Differentialgleichung x = f(x) auf dem Phasenraum Ω 0 R d mit f C 4 (Ω 0 ). Wir wollen den Konsistenzfehler ε(x, τ) = Φ τ x Ψ τ x abschätzen, indem wir die Taylorentwicklung des Phasenflusses und des diskreten Flusses bis auf O(τ 5 ) vorantreiben. 3. Taylorentwicklung des Phasenflusses und diskreten Flusses Beginnen wir mit der Taylorentwicklung des Phasenflusses Φ τ : Im vorherigen Kapitel hatten wir die Taylorentwicklung von Φ τ schon so weit bestimmt, dass wir ein Verfahren der Konsistenzordnung p = erhalten hatten. Das Taylorpolynom hatte folgende Gestalt: Φ t+τ,t x = x + τf(t, x) + τ ( ft (t, x) + f x (t, x)f(t, x) ) + O(τ 3 ). Da wir an dieser Stelle statt der ursprünglichen die autonome Differentialgleichung betrachten, vereinfacht sich unser Taylorpolynom zu Φ τ x = x + τf(x) + τ f (x)f(x) + O(τ 3 ). ( ) 4

18 An dieser Stelle können wir nun ansetzen und mit der Taylorentwicklung fortfahren. Dazu setzen wir diese Darstellung der Lösung in die Differentialgleichung ein und erhalten: d dτ Φτ x = f(φ τ x) = f ( x + τf(x) + τ f ) (x)f(x) + O(τ 3 ) }{{} =: τz = f(x) + τf (x)z + τ f (z, z) + O(τ 3 ) = f(x) + τf (x) ( f(x) + τ f (x)f(x) +... ) + τ f (x) ( f(x) + τ f (x)f(x) +..., f(x) + τ f (x)f(x) +... ) + O(τ 3 ) = f(x) + τf (x)f(x) + τ ( f (x)f (x)f(x) + f (x)(f, f) ) + O(τ 3 ). Um die Notation noch weiter zu vereinfachen, lasse ich ab jetzt das Argument der Funktion f weg. Wir integrieren die obige Gleichung und erhalten: d Φ τ x = dτ Φτ x = f + τf f + τ ( f f f + f (f, f) ) + O(τ 3 )! = τf + τ! f f + τ 3 ( f f f + f (f, f) ) + O(τ 4 ) + c. 3! Um die Integrationskonstante c zu bestimmen, schauen wir uns den Phasenfluss für den Fall τ = 0 an: Φ 0 x ( ) = x. Setzen wir τ = 0 in die eben integrierte Gleichung ein, so folgt c = x und wir erhalten Φ τ x = x + τf + τ! f f + τ 3 3! ( f f f + f (f, f) ) + O(τ 4 ) + c. 5

19 Wiederholung dieser Technik liefert: f(φ τ x) = f + τf f + τ ( f f f + f (f, f) )! + τ 3 ( f (f, f, f) + 3f (f f, f) + f f (f, f) + f f f f ) + O(τ 4 ). 3! Integration ergibt die gesuchte Taylorformel: Φ τ x = x + τf + τ! f f + τ 3 ( f f f + f (f, f) ) 3! + τ 4 ( f (f, f, f) + 3f (f f, f) + f f (f, f) + f f f f ) + O(τ 5 ). 4! Die Abschätzung des Restgliedes der Taylorentwicklung erfolgt lokal gleichmäßig in Ω 0. Nun widmen wir uns der Taylorentwicklung des diskreten Flusses Ψ τ : Wir gehen völlig analog zur Taylorentwicklung des Phasenflusses vor und setzen rekursiv die aktuelle Entwicklung der Verfahrenstufen k j in die bestimmenden Gleichungen k i = f(x + τ a ij k j ) für i =,..., s ein. Da die Stufen von der Form k i = f(x + h) sind, können wir wie bei der Taylorentwicklung des Phasenflusses die multivariate Taylorformel anwenden. 4 Dadurch, dass die Stufen innerhalb der Funktion mit τ multipliziert werden, gewinnen wir praktischerweise jeweils eine weitere Ordnung. Da die Funktion f stetig ist, erhalten wir zunächst k i = O() für i =,..., s. Setzen wir dies in die Bestimmungsgleichungen ein, so erhalten wir k i = k i (τ) = f(x + O(τ)) = T aylor k i (0) + O(τ) = f + O(τ). Das Ergebnis setzen wir wieder in die Bestimmungsgleichungen ein: 4 Vgl. Deuflhard/Bornemann (00) S

20 k i = f ( x + τ = f + f ( τ = f + τ a ij f + O(τ ) ) a ij f + O(τ ) ) a ij }{{} =.9 c i Ein drittes Mal einsetzen ergibt k i = f(x + τ = f + f ( τ + f ( τ f f + O(τ ) = f + τc i f f + O(τ ) für i =,..., s. a ij (f + τc j f f) + O(τ 3 ) a ij (f + τc j f f) ) a ij (f + τc j f f), τ a ij (f + τc j f f) ) + O(τ 3 ) = f + τc i f f + τ a ij c j f f f + τ c i f (f, f) + O(τ 3 ) für i =,..., s. Der vierte und letzte Schritt liefert uns die gewünschte Entwicklung der Stufen k i = f ( x + τc i f + τ + τ 3 a ij c j f f + τ 3 a ij c jf (f, f) + O(τ 4 ) ) = f + τc i f f + τ a ij c j f f f + τ + τ 3 a ij c jf f (f, f) + τ 3 + O(τ 4 ) für i =,..., s. a ij a jk c k f f f j,k= c i f (f, f) + τ 3 a ij a jk c k f f f f j,k= c i a ij c j f (f f, f) + τ 3 6 c3 i f (f, f, f) 7

21 Nun können wir diese Entwicklung in die Definition der diskreten Evolution (Definition.6) einsetzen und erhalten unsere gewünschte Taylorentwicklung bis auf O(τ 5 ): Ψ τ x = x + τ b i k i ( ) = x + τ b i f + τ (! + τ ( 3 3 b i c i f (f, f) + 6 3! i, + τ ( 4 4 b i c 3 i f (f, f, f) + 4 4! + b i a ij c jf f (f, f) + 4 i, ) b i c i f f ) b i a ij c j f f f b i c i a ij c j f (f f, f) i, i,j,k= ) b i a ij a jk c k f f f f + O(τ 5 ). Um diese Rechenschritte überhaupt durchführen zu können, müssen wir voraussetzen, dass f C 4 (Ω 0, R d ) ist. Wir erhalten eine in Ω 0 lokal gleichmäßige Abschätzung des Restgliedes. 3. Aufstellen der Bedingungsgleichungen Wir haben im vorherigen Abschnitt die Taylorentwicklungen des Phasenflusses Φ τ und des diskreten Flusses Ψ τ wie gewünscht durchgeführt. Wenn wir nun die Vorfaktoren der einzelnen elementaren Differentiale beider Entwicklungen vergleichen, so können wir die gewünschten Ordnungsbedingungen aufstellen. Satz 3.. Ein Runge-Kutta Verfahren (b,a) besitzt für jede rechte Seite f C p (Ω 0, R d ), jeden Phasenraum Ω 0 R d und jede Dimension d N genau dann die Konsistenzordnung p =, wenn die Koeffizienten des Verfahrens der Bedingungsgleichung b i = () genügen; genau dann die Konsistenzordnung p =, wenn sie zusätzlich der 8

22 Bedingungsgleichung b i c i = () genügen; genau dann die Konsistenzordnung p = 3, wenn sie zusätzlich den zwei Bedingungsgleichungen b i c i = (3) 3 b i a ij c j = (4) 6 i, genügen; genau dann die Konsistenzordnung p = 4, wenn sie zusätzlich den vier Bedingungsgleichungen genügen. b i c 3 i = 4 b i c i a ij c j = 8 i, b i a ij c j = i, b i a ij a jk c k = 4 i,j,k= (5) (6) (7) (8) 3.3 Lösen der Bedingungsgleichungen Wir möchten nun die s(s+) Koeffizienten (b, A) so bestimmen, dass sie die 8 nichtlinearen Gleichungen erfüllen. Wählen wir s = 3, so haben wir genau 6 Unbekannte und 8 Gleichungen. Das Gleichungssystem ist demnach überbestimmt. Lemma.8 zeigt auch, dass es nicht lösbar ist, da p s 4 3 9

23 nie erfüllt ist. Für s = 4 hingegen haben wir 0 Unbekannte und ein unterbestimmtes Gleichungssystem. Wir wollen versuchen, eine eindeutige Lösung zu finden. Dazu schreiben wir uns das Gleichungssystem zunächst einmal konkret für diese Stufenzahl hin: b + b + b 3 + b 4 = () b c + b 3 c 3 + b 4 c 4 = b c + b 3 c 3 + b 4 c 4 = 3 b 3 a 3 c + b 4 (a 4 c + a 43 c 3 ) = 6 b c 3 + b 3 c b 4 c 3 4 = 4 b 3 c 3 a 3 c + b 4 c 4 (a 4 c + a 43 c 3 ) = 8 b 3 a 3 c + b 4 (a 4 c + a 43 c 3) = () (3) (4) (5) (6) (7) b 4 a 43 a 3 c = 4. (8) Da unser Verfahren invariant unter Autonomisierung ist, gilt: c i = 4 a ij für i =,, 3, 4. Also ist insbesondere c = 0, da A eine untere Dreiecksmatrix mit Nullen auf der Diagonalen ist. Bei näherer Betrachtung der Gleichungen ()-(3) und (5) fällt auf, dass sie von der Struktur her den Gleichungen der Newton-Cotes-Quadratur ähneln, wobei die Koeffizienten b die Gewichte und die Koeffizienten c die Knoten einer Quadraturformel auf [0,], 4 b i φ(c i ) 0 0 φ(t)dt,

24 darstellen, die für Polynome vom Grad 3 exakt ist. Daher wollen wir nun versuchen bestimmte Newton-Cotes-Formeln, die für P 3 exakt sind, zu Runge- Kutta Verfahren der Konsistenzordnung p = 4 auszubauen. In Band I zur Numerischen Mathematik von Deuflhard/Hohmann wurden zwei Formeln mit maximal 4 Knoten vorgestellt, die dazu in Frage kommen würden: die Simpson-Regel und die Newtonsche 3 8 -Regel.5 Diese zwei wollen wir nun genauer betrachten. 3.4 Beispiele 3.4. Simpson-Regel Die Simpson-Regel besitzt ursprünglich nur die drei Knoten (0,, ). Aus Symmetriegründen wird der zweite Knoten verdoppelt und wir erhalten als Knoten mit den dazugehörigen Gewichten c = ( 0,,, )T b = ( 6, 3, 3, 6 )T. Betrachten wir zunächst einmal die Gleichungen (4), (6) und (8): (4) b 3 a 3 c + b 4 (a 4 c + a 43 c 3 ) = 6 6 a 3 + (a 4 + a 43 ) = 6 a 3 + (a 4 + a 43 ) = (6) b 3 c 3 a 3 c + b 4 c 4 (a 4 c + a 43 c 3 ) = 8 a 3 + (a 4 + a 43 ) = 8 a 3 + a 4 + a 43 = 3 5 Vgl. Deuflhard/Hohmann (00) S. 300.

25 (4),(6) = a 3 =, a 4 + a 43 = (8) a 43 = a 4 = 0. Aufgrund der Invarianz unter Autonomisierung folgt dann noch a + a + a 3 + a 4 = c = a = c = a 3 + a 3 = c 3 = a 3 = a 3 = 0 a 4 + a 4 + a }{{ 43 = c } 4 = = a 4 = 0. Nachdem alle Koeffizienten bestimmt wurden, können wir nun das Butcher Schema aufstellen. Das Runge-Kutta Verfahren, das wir mit Hilfe der Simpson-Regel gewonnen haben, bezeichnet man auch als klassisches Runge-Kutta Verfahren. Das Butcher Schema wurde erstmals 90 von W. Kutta aufgestellt und lautet wie folgt: Newtonsche 3 8 -Regel Bei der Newtonschen 3 -Regel geht man analog vor. Hier haben wir als Knoten 8 und als Gewichte

26 c = ( 0, 3, 3, )T b = ( 8, 3 8, 3 8, 8 )T. Setzt man diese in unser Gleichungssystem ein, so erhält man folgendes Butcher Schema, das ebenfalls von W. Kutta 90 angegeben wurde:

27 4 Runge-Kutta Verfahren höherer Ordnung 4. Motivation und Einführung in die Methodik der Wurzelbäume Die Berechnungen, die wir im letzten Abschnitt durchgeführt haben, sind für höhere Konsistenzordnungen nicht länger praktikabel. Wie man einer Tabelle in einem späteren Absatz entnehmen kann, muss man für die Konsistenzordnung p = 5 ein Gleichungssystem mit 7 Bedingungsgleichungen lösen, für die Ordnung p = 6 hat das System dann schon 37 Gleichungen. Die Berechnungen werden also sehr unübersichtlich und damit auch fehleranfällig. Das Problem liegt vor allem darin, die elementaren Differentiale, die in der Taylorentwicklung auftreten, vollständig hinzuschreiben. Die Idee, die in diesem Abschnitt vorgestellt werden soll, geht auf die fundamentale Arbeit des neuseeländischen Mathematikers J. C. Butcher aus dem Jahre 963 zurück. Butcher hat erkannt, dass wir es hier mit einem Problem der Kombinatorik zu tun haben. Er hat nach einem Weg gesucht, um die elementaren Differentiale adäquat und übersichtlich durch Objekte mit äquivalenter Aufzählstruktur darstellen zu können. Dies führte ihn zu den sogenannten Wurzelbäumen, deren grundlegende Idee ich hier kurz einführen möchte. Betrachten wir einmal das elementare Differential f (f f f, f f, f f, f). Es muss sich hier allein schon um eine vierte Ableitung handeln, da vier Argumente eingesetzt werden. Es genügt also völlig, wenn wir die Struktur des Einsetzens von Elementen angeben, da unser Differential so vollständig charakterisiert ist. Dies kann beispielsweise mit geeigneten Graphen geschehen. In unserem Fall sind dies gerade die (unbezeichneten) Wurzelbäume, z.b. für f f (f, f) für f (f f, f) 4

28 Bäume finden nicht nur in der Mathematik ihre Verwendung, sondern sind auch für andere Fachgebiete sehr interessant, wie beispielsweise in der Informatik als Datenstrukturen für das effiziente Verwalten von Datenbanken, für Such- und Sortierverfahren oder in der Biologie zur Darstellung von Stammbäumen. Wurzelbäume zeichnen sich gegenüber normalen Bäumen dadurch aus, dass sie, wie der Name schon verrät, über eine Wurzel verfügen, also einen Ursprung besitzen. Es handelt sich um zusammenhängende, gerichtete und kreisfreie Graphen mit einer Quelle, der Wurzel. 6 Bei einem Wurzelbaum mit n Kindern steht jeder Knoten für eine n-te Ableitung unserer Funktion f an der festen Stelle x Ω 0. In die Ableitung werden die n Ausdrücke dann so eingesetzt, wie der Baum es in seiner Struktur vorgibt. Die Wurzel markiert dabei die Stelle, an der das Einsetzen beginnt. Nimmt man die Wurzel und die zu ihr führenden Kanten weg, so zerfällt der ursprüngliche Wurzelbaum β in n Wurzelbäume β,..., β n niedrigerer Knotenzahl. Die Wurzeln der Teilbäume β,..., β n sind gerade die n Kinder der Wurzel des Wurzelbaums β. Der Wurzelbaum β lässt sich also auf diese Weise als ein ungeordnetes Tupel aus den Teilbäumen β = [β,..., β n ], #β = + #β + + #β n, darstellen, wobei #β für die Ordnung des Wurzelbaums β, die Anzahl seiner Knoten, steht. Die Wurzel wird dabei durch das leere, also kinderlose Tupel = [ ] dargestellt. Wenn wir die obigen Wurzelbäume nun als ungeordnetes Tupel von Wurzelbäumen darstellen wollen, so erhalten wir rekursiv für unsere beiden Beispiele: [[, ]] für f f (f, f) und [[ ], ] für f (f f, f). 6 Vgl. Tittmann (003) S. 05 ff. 5

29 Wir können unsere elementaren Differentiale nun sehr kompakt darstellen. Die rekursive Darstellung des zum Wurzelbaum β = [β,..., β n ] gehörigen elementaren Differentials f (β) (x) ist definiert durch f (β) (x) = f (n) (x) ( f (β ) (x),..., f (βn) (x) ). Aufgrund der Tatsache, dass die n-lineare Abbildung f (n) symmetrisch ist, kommt es bei der Angabe des ungeordneten n-tupels β nicht auf die Reihenfolge der Teilbäume β,..., β n an. Das elemtentare Differential f (β) hängt nur von β ab und ist somit wohldefiniert. Da wir die Wurzel als leeres Tupel [ ] dargestellt hatten, folgt noch f ( ) = f. 4. Taylorentwicklung des Phasenflusses und diskreten Flusses Beginnen wir wieder mit der Taylorentwicklung des Phasenflusses Φ τ. Die allgemeine Form der Taylorentwicklung kann für die Konsistenzordnung p erraten werden. Um die Koeffizienten konkret angeben zu können, muss das nachfolgende Lemma bewiesen werden. Lemma 4.. Für f C p (Ω 0, R d ) gilt Φ τ x = x + #β p τ #β β! α βf (β) (x) + O(τ p+ ). Die Koeffizienten β! und α β definiert durch sind für einen Baum β = [β,..., β n ] rekursiv β! = (#β) β! β n!, α β = δ β n! α β α βn. Hierbei bezeichne δ β die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, dem ungeordneten n-tupel β = [β,..., β n ] ein geordnetes Tupel (β,..., β n ) zuzuordnen. 6

30 Beweis: Wir führen einen Induktionsbeweis: Induktionsanfang: Für p = 0 erhalten wir Φ τ x = x + O(τ). Diese Behauptung ist offensichtlich richtig. Induktionsannahme: Die Behauptung gelte für ein beliebiges, festes p N. Induktionsschritt: p p + : Wir gehen analog zum letzten Kapitel vor und setzen die Entwicklung des Phasenflusses in die rechte Seite der Differentialgleichung ein: d dτ Φτ x = f(φ τ x) = f = = ( x + #β p p n=0 p n=0 τ #β β! ( (n) τ #β f n! β! #β p n! + O(τ p+ ) p = n=0 = #β p+ #β + +#β n p β=[β,...,β n] #β p+ #β τ #β β! ) α β f (β) (x) + O(τ p+ ) #β τ #β β! α β f (β ),..., τ #β + +#β n β! β n! δ β #β n p τ #βn β n! α βn f (βn) ) + O(τ p+ ) α β α βn f (n)( f (β ),..., f (βn)) n! α β α βn f (β) + O(τ p+ ) }{{} = α β α β f (β) + O(τ p+ ). Bei den einzelnen Umformungen wurde die multivariate Taylorformel benutzt. Des Weiteren wurde beim Übergang der zweiten zur dritten Zeile beachtet, dass nur Terme der Summe berücksichtigt werden müssen, die nicht von der Ordnung O(τ p+ ) sind. Von der dritten zur vierten Zeile durfte aufgrund der Symmetrie von geordneten n-tupeln zu ungeordneten gewechselt werden. Jedoch musste beachtet werden, dass jeder Summand zuvor δ β -fach auftrat. Integrieren wir die obige Gleichung, so erhalten wir Φ τ x = #β p+ τ #β β! α β f (β) + O(τ p+ ) + c. 7

31 Setzen wir τ = 0, so können wir wie im vorherigen Abschnitt die Integrationskonstante c bestimmen. Es folgt: c = x. Wir erhalten also Φ τ x = x + #β p+ τ #β β! α β f (β) + O(τ p+ ). Dies war unsere Behauptung. Kommen wir nun zur Taylorentwicklung des diskreten Flusses Ψ τ. Bei der Taylorentwicklung des diskreten Flusses im vorherigen Abschnitt hatten wir vor jedem elementaren Differential gewisse Vorfaktoren stehen, die sich aus den Koeffezienten des Runge-Kutta Verfahrens (b, A) zusammensetzten. Bei näherer Betrachtung der formalen Struktur dieser Faktoren zeigt sich auch hier eine Möglichkeit der Darstellung durch Wurzelbäume. Hierfür definieren wir uns für den Wurzelbaum β = [β,..., β n ] den Vektor A (β) R d durch A (β) i = ( A A ) (β )... ( A A (βn)), i =,..., s. i i Da die rechte Seite symmetrisch ist, kommt es bei der Angabe des ungeordneten n-tupels β auch hier nicht auf die Reihenfolge der β,..., β n an. Der Vektor A (β) hängt also nur von β ab und ist somit wohldefiniert. Für die Wurzel selbst gilt A ( ) = (,..., ) T R s. Im Folgenden wird zur Verkürzung oft von der Beziehung c i = a ij für i =,..., s aus dem Lemma.9 Gebrauch gemacht. Das folgende Lemma gibt nun Auskunft über die Taylorentwicklung von Ψ τ : Lemma 4.. Für f C p (Ω 0, R d ) gilt Ψ τ x = x + #β p τ #β α β b T A (β) f (β) (x) + O(τ p+ ). 8

32 Beweis: Aufgrund der folgenden Darstellung unseres diskreten Flusses Ψ τ x = x + τ b i k i genügt es, per Induktion die folgende Entwicklung der Stufen k i zu beweisen: k i = #β p τ #β α β A (β) i f (β) (x) + O(τ p ). Um die Darstellung nicht unnötig kompliziert aussehen zu lassen, lassen wir im Folgenden wieder das Argument der Funktion f weg. Induktionsanfang: Für p = 0 erhalten wir k i = O() und somit Ψ τ x = x + τ b i O() = x + O(τ) = x + O(τ). b i }{{} = Die Behauptung ist also für diesen Fall erfüllt. Induktionsannahme: Die Behauptung gelte für ein beliebiges, festes p N. Induktionsschritt: p p + : Setzen wir die Darstellung der Verfahrensstufen k i in die autonomisierte Version der Definition.6 des diskreten Flusses ein, so erhalten wir unter Berücksichtigung der multivariaten Taylorformel ( k i = f x + τ ) a ij k j ( = f x + ( τ #β α ) ) β A A (β) f (β) + O(τ p+ ) i #β p = p ( n! f (n) τ #β ( α ) β A A (β ) f (β),..., i #β p ( τ #βn α ) ) βn A A (β n) f (βn) + O(τ p+ ) i n=0 #β n p 9

33 = p n=0 n! #β + +#β n p τ #β + +#β n α β... α βn ( A A ) (β )... ( A A (βn)) f (n) ( f (β),..., f (βn)) + O(τ p+ ) i i p = τ #β δ β n! α β... α βn i f (β) + O(τ p+ ) }{{} n=0 = #β p+ β=[β,...,β n] #β p+ (β) A = α β τ #β α β A (β) i f (β) + O(τ p+ ). Der Beweis erfolgte analog zu dem Beweis des letzten Lemmas. Beim Übergang von der dritten zur vierten Zeile wurden nur solche Summanden berücksichtigt, die nicht von der Ordnung O(τ p+ ) sind. Von der vierten zur fünften Zeile durfte aufgrund der Symmetrie von geordneten n-tupeln zu ungeordneten gewechselt werden. Jedoch musste beachtet werden, dass jeder Summand in der Zeile zuvor δ β -fach auftrat. Unsere Behauptung ist damit bewiesen. 4.3 Aufstellen der Bedingungsgleichungen Nachdem wir nun die beiden Taylorentwicklungen bestimmt haben, können wir jetzt die Bedingungsgleichungen aufstellen. Diese ergeben sich wieder aus dem Vergleich der Vorfaktoren aus der Taylorentwicklung x + #β p Φ τ x = Ψ τ x τ #β β! α βf (β) (x) + O(τ p+ ) = x + τ #β α β b T A (β) f (β) (x) #β p b T A (β) = β!. + O(τ p+ ) Dies führt uns zum nächsten Satz, welcher 963 von J. C. Butcher angegeben wurde. 30

34 Satz 4.3. Folgende Aussagen sind äquivalent: (i) Ein Runge-Kutta Verfahren (b,a) besitzt für jede rechte Seite f C p (Ω 0, R d ) eines Anfangswertproblems die Konsistenzordnung p N, wenn b T A (β) = β! für alle Wurzelbäume β der Ordnung #β p gilt. (ii) Diese Gleichungen werden andererseits von den Koeffizienten (b,a) erfüllt, wenn das Runge-Kutta Verfahren für jede Dimension d N und jede rechte Seite f C (R d, R d ) eines Anfangswertproblems mit Anfangswert x(0) = 0 die Konsistenzordnung p besitzt. Beweis: Die in (i) behauptete Gleichung haben wir durch den Koeffizientenvergleich der beiden Taylorentwicklungen schon gesehen. Die Behauptung in (ii) wird durch ein weiteres Lemma 7 bewiesen, welches ich an dieser Stelle nicht angeben möchte. Das Lemma thematisiert die lineare Unabhängigkeit der elementaren Differentiale, die die Notwendigkeit der Bedingungsgleichungen dieses Satzes hervorruft. Der Satz macht es uns nun möglich die Bedingungsgleichungen auch für höhere Konsistenzordnungen p aufzustellen. Mit Hilfe der Kombinatorik können wir aber auch ohne die Bedingungsgleichungen für die Ordnung p konkret angeben zu müssen eine Aussage über ihre Anzahl N p treffen. Die nachfolgende Tabelle gibt einen kleinen Einblick für die ersten Ordnungen: p N p Tabelle 4.. Anzahl der Bedingungsgleichungen N p für Runge-Kutta Verfahren 7 Siehe Deuflhard/Bornemann (00) Lemma 4.5 S

35 4.4 Lösen der Bedingungsgleichungen Nachdem wir nun die Bedingungsgleichungen für ein Runge-Kutta Verfahren der Konsistenzordnung p aufgestellt haben, müssen wir sie im nächsten Schritt noch lösen. Dadurch, dass das Gleichungssystem für große Konsistenzordnungen p auch mehr Gleichungen enthält, ist es immer schwieriger zu lösen. Jedoch wurden in dem Satz von Butcher nicht nur die Gleichungen aufgestellt, ihnen wurde auch eine gewisse Struktur verliehen. Nähere Betrachtung dieser Struktur führt uns zu vereinfachenden Annahmen an die Koeffizienten (b, A) des Verfahrens, die man zu einem großen Teil auf die Überbestimmtheit des Systems zurückführen kann. Mit Hilfe eines graphischen Eliminationsprozess ist es dann möglich, bestimmte Wurzelbäume auf einfachere zurückzuführen und damit die Anzahl an Bedingungsgleichungen zu reduzieren. Mit diesen vereinfachenden Annahmen kann man Runge-Kutta Verfahren bis zur Konsistenzordnung p = 0 per Hand konstruieren. Die richtige Wahl der Stufenzahl s ist kritisch für die Systeme und muss geschickt gewählt werden. Für p 6 ist das Gleichungssystem lösbar, wenn es drastisch überbestimmt ist, wenn es also weitaus mehr Gleichungen als Koeffizienten enthält. Aufgrunddessen wächst die Größe s p, die die minimale Stufenzahl eines Runge-Kutta Verfahrens der Ordnung p darstellt und damit gleichbedeutend für den minimalen Aufwand an f-auswertungen steht, nicht exponentiell. Butcher hat sich in seiner wissenschaftlichen Arbeit der Bestimmung von s p gewidmet. Seine Ergebnisse können der nachfolgenden Tabelle entnommen werden: p s p p + 3 Tabelle 4.. Minimale Stufenzahlen Die meisten theoretischen Konstruktionen sind in der Praxis leider nicht zu gebrauchen. Wirklich brauchbare Verfahren müssen noch weitere Kriterien erfüllen. 8 8 Siehe dazu Deuflhard/Bornemann (00)

36 Literatur [] Eck, Christof/Garcke, Harald/Knabner, Peter: Mathematische Modellierung. Berlin 008. [] Deuflhard, Peter/Hohmann, Andreas: Numerische Mathematik. Eine algorithmisch orientierte Einführung. 4. überarbeitete und erweiterte Auflage. Berlin 00. [3] Deuflhard, Peter/Bornemann, Folkmar: Numerische Mathematik. Gewöhnliche Differentialgleichungen. 3. durchgesehene und korrigierte Auflage. Berlin 00. [4] Tittmann, Peter: Graphentheorie. Eine anwendungsorientierte Einführung. Leipzig 003. [5] Verfürth, Rüdiger: Numerik I. Gewöhnliche Differentialgleichungen und Differenzenverfahren für partielle Differentialgleichungen. Vorlesungsskriptum WS 008/09. Bochum

37 Selbständigkeitserklärung Hiermit versichere ich, dass ich die vorliegende Bachelorarbeit selbständig und ohne unerlaubte fremde Hilfe angefertigt, andere als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel nicht benutzt und die den benutzten Quellen und Hilfsmitteln wörtlich oder inhaltlich entnommenen Stellen als solche kenntlich gemacht habe. Bochum, den. September 009 Name 34