Das zehnte Hilbertsche Problem. Seminar Arbeit von Jurij Bernhardt ( )

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1 Das zehnte Hilbertsche Problem Seminar Arbeit von Jurij Bernhardt ( )

2 (11) In dem 10 en Hilbertschen Problem geht es um Existenz eines Algorithmus oder einer Methode zur Bestimmung ganzzahliger Lösungen von diophantischen Gleichungen Antwort auf dieses Problem lautet: Es gibt kein solches allgemeines/e Algorithmus (Methode), das bei der Eingabe von der diophantischer Gleichung deren Lösbarkeit korrekt entscheidet Die diophantischen Gleichungen sind die Polynomgleichungen der Form f(x 1,, x n ) = 0 mit Nullstellen x i Z, wo i I N und alle Koeffizienten von f auch in Z liegen Natürlich kann man jede solche Gleichung f=0 als g+h=0 darstellen, wo man g+h=f als Bedingung definiert Diophantische Gleichungen, oder Systeme der diophantischen Gleichungen, können als Spezialfall von arithmetischen Formeln aufgefaßt werden Es existieren so genannte UND- und ODER- Funktionen, die Lösungsproblem von UND- bzw ODER- verknüpften Systemen der diophantischen Gleichungen nachweisen Also sei f 1 (x 1,, x n ) = = f k (x 1,, x n ) = 0 UND- verknüpftes System der obengenannten Gleichungen Dann gilt: (12) Dieses System ist genau dann lösbar, wenn k i=1 (f i(x 1,, x n )) 2 = 0 (UND-Fkt) lösbar ist Genau so gilt: ODER-verknüpftes System der diophantischen Gleichungen f 1 (x 1,, x n ) = 0 oderoder f k (x 1,, x n ) = 0 ist genau dann lösbar, wenn (13) k j=1 (f j(x 1,, x n ) = 0 (ODER-Fkt) lösbar ist Definition (14): Sei G eine Menge, dann ist Dioph(G) das (Entscheidungs-) Problem, ob die Lösungen einer gegebenen diophantischen Gleichung in G liegen Jetzt zeigen wir Dioph(Z) < T Dioph(N), dh Dioph(Z) ist turingreduzierbar auf Dioph(N) f(x 1,, x n ) = 0 ist genau dann lösbar, wenn eine der 2 n Gleichungen f(x 1,, x n ) = 0 f( x 1,, x n ) = 0 f( x 1, x 2, x n ) = 0 f( x 1,, x n ) = 0 1

3 eine Lösung in N hat Damit wird Existenz von Dioph(Z) < T Dioph(N) bewiesen Wenden wir (13) auf unser System an Dadurch beweisen wir, dass Dioph(Z) < m Dioph(N) (dh many-one Reduktion zwischen Dioph(Z) und Dioph(N)) gilt Wir wissen, dass man jede natürliche Zahl x in der Form x = u 2 + v 2 + w 2 + z 2 darstellen kann, wo u, v, w, z Z sind Daraus folgt, dass unsere diophantische Gleichung f(x 1,, x n ) = 0 natürlichzahlige Lösungen genau dann hat, wenn f(u v w z 2 1,, u 2 n + v 2 n + w 2 n + z 2 n) = 0 ganzzahlige Lösungen besitzt Folglich gilt Dioph(N) < m Dioph(Z) (14) Jetzt modifizieren wir die Definition von Dioph(G) auf das Problem ExpDioph(G), die wir für unseren Hauptbeweis benutzen werden, um Halteproblem für Registermachine zu reduzieren Definition(15): Sei G eine Menge, dann ist ExpDioph(G) ein Entscheidungsproblem Dioph(G) mit zusätzlich eingefügter Eigenschaft: es sind Exponentialterme (zb x, y G, x, y - Variablen :x y ) zugelassen Definition(16): Dominanzrelation x y ist eine partielle Ordnung auf N, die durch exponential-diophantische Gleichungen beschreibbar ist x y bedeutet, dass alle Bits der Binärdarstellung von x kleiner oder gleich aller Bits der Binärdarstellung von y sind Satz(17):(Satz von Kummer und Lucas) Es gilt x y genau dann, wenn ( x y) ungerade ist Beweis(17): x y ( x y) =: z ungerade ist n: 2n + 1 = z Für Binomialkoeffizienten ( n k ) gilt: m = ( n k ) u, v, w : u = 2n + 1 Nach dem binomischen Lehrsatz gilt: n i=0 (n i )ui = (1 + u) n = wu k+1 + mu k + v, v < u k, m < u Wegen ( n i ) 2n gilt für u > 2 n : ( n i ) < u = (n i ) sind Koeffizienten in u-adischer Darstellung von (1 + u) n Für unseren Unentscheidbarkeitsbeweis des 10 ten Hilbertschen Problems werden wir Registermaschine als Berechnungsmodell benutzen Deswegen brauchen wir auch einige Vorbereitungen 2

4 Definition (18): Eine Registermaschine ist ein Berechnugsmodell, das eine endliche Menge von Registern R 1,, R n verwendet, die beliebig große natürliche Zahlen als Werte annehmen können Programm einer Registermaschine besteht aus einer durchnummerierten Folge der Anweisungen A i 1: A 1 2: A 2 n: A n Anweisungen A i sind folgendermaßen definiert: INC R j (bzw DEC R j ) GOTO l IF R j GOTO j HALT (19): Man kann R j = 0 folgendermaßen simulieren: 1: IF R j = 0 GOTO d 2: DEC R j 3: GOTO 1 4: (20): Genau so kann man R j := R n simulieren 1: R n := 0 2: R p := 0 3: IF R j = 0 GOTO 8 4: DEC R j 5: INC R n 6: INC R p 7: GOTO 3 8: IF R p = 0 GOTO 12 9: DEC R p 10: INC R j 11: GOTO 8 12: Damit unsere obendefinierte Anweisungen durchführbar sind, nehmen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit an: 3

5 Die letzte Anweisung des Programms ist immer die einzige HALT Anweisung Sobald das Programm durch die HALT Anweisung gestoppt wird, werden alle Register auf Null gesetzt Jedes Ausführen einer DEC R j Anweisung setzt voraus, daß das Register R j den Wert unterschiedlich von 0 enthält (21) Das Halteproblem H = {P P ist ein Programm für eine Registermaschine und diese hält, wenn sie mit auf Null gesetzten Registern gestartet wurde } ist unentscheidbar (H ist nicht rekursiv) (22) Wir reduzieren Halteproblem H auf ExpDioph(N) durch Angabe einer Menge von (exponential) diophantischen Gleichungen, die sich in eine einzige Gleichung überführen lassen, welche eine Lösung besitzt, wenn P H gilt Beweis (10): (Unentscheidbarkeistsbeweis des 10 ten Hilbetschen Problems) Sei P ein Programm der Form: 1: A 1 2: A 2 n: A m R 1,, R k sind zugehörige Register OBdA gelten obere Einschränkungen Sei B eine (geeignet große) Basiszahl, die ein Repräsentant einer Folge der natürlichen Zahlen (n 0,, n s ) ist Wir repräsentieren eine solche Folge (n 0,, n s ) durch die Zahl s i=0 n ib i S ist die Länge der codierten Folgenzahlen (dh S ist die Anzahl der Rechenschritten bis zum Erreichen des HALT- Zustandes) Variable T = (1,, 1) repräsentiert nur die Einsen- Folge W j, (j = 1,, k) ist ein Repräsentant (Folgen- Zahl) des Registerwertes zu jedem Zeitpunkt 0,, s S für jedes Register R j N i (i = 1, m) ist die Folgen- Zahl für jede Anweisungsnummer, die zu jedem Zeitpunkt 0,, s S den Wert 1 annimt, falls die Anweisung ausgeführt wird, sonst 0 Die Wahl der Größe von B ist sehr wichtig Deswegen wählen wir B = 2 K mit B > k, B > m, B > 2 S um Überträge zu vermeiden Damit definieren wir Mindestgröße von B Folglich hat B = 2 k+m+s die passende Größe 4

6 Jetzt spezifizieren wir T durch die Gleichung 1 + (B 1) T = B s+1 BT T = B s+1 1 B s i=0 Bi s i=0 Bi = B s+i B o Bedingung für die Variable N i, i = 1,, m: N i T und m i=1 N i = T, dh daß zu jedem Zeitpunkt nur eine Anweisung ausgeführt wird 1 N 1 liegt die erste ausgeführte Anweisung in der Zeile 1 fest B s N m zeigt,dass die letzte ausgeführte Anweisung in der Zeile m ist W s B s+1 B, (j = 1, k): Alle Register sollen zu Beginn den Wert Null erhalten Folgende Gleichungen stellen die korrekte Übergangsverhalten zu jedem Zeitpunkt sicher: i : GOT O j :Es wird die Gleichung der Art B N i N j ausgeführt Dh zum Zeitpunkt i wird eine Eins, was Ausführung der i-ter Zeile signalisiert Als Nächstes wird die Zeile j ausgeführt i : INC R j und i : DEC R j : Nächste ausgeführte Zeile wird i + 1 Es gilt: B N i N i+1 und Wirkung von INC und DEC kann mit W j = B (W j + N i - N i ), (j = 1, k) simuliert werden Die erste Summe läuft über alle i für i : INC R j, die zweite Summe läuft über alle i für i : DEC R j B garantiert, dass die Anweisung zu nachfolgendem Zeitpunkt in Kraft tritt i : IF R j = 0 GOT O l : Wir simulieren diese Anweisung durch B N i N l + N i+1 Dh Die Nachfolgeanweisung kann nur l oder i + 1 sein, und R j = 0 kann mit nachgeprüft werden B N i N i+1 + B T 2 W j 5

7 Nach (17) lässt sich die Dominanzrealtion mit Hilfe exponential diophantischer Gleichungen ausdrücken Deswegen kann man jede Anweisung und Bewegung von Registermaschine mit diophantischen Gleichungen oder Systeme von Gleichungen beschreiben Mit Hilfe von (12) und (13) können wir diophantische Gleichung bestimmen, die nach (22) genau dann lösbar ist, wenn P H gilt 6