Einführung in MATLAB

Transkript

1 Einführung in MATLAB

2 MATLAB - Eine Einführung Was ist MATLAB? Abkürzung für matrix laboratory reines Numerikprogramm für das Rechnen mit großen Zahlenfeldern (arrays) bzw. Matrizen Interpretersprache Werkzeug zur Erzeugung von graphischen Darstellungen (und -oberflächen) Was ist MATLAB nicht? MATLAB ist eigentlich kein Arithmetikprogramm für symbolisches Rechnen. (Allerdings gibt es inzwischen ein Zusatzpaket, welches symbolische Rechnung durch MAPLE ausführen läßt.) Matlab - Eine Einführung 2

3 Anwendungsgebiete von MATLAB Matrizenrechnung Probleme, die sich in Matrixformulierung lösen lassen: numerische Lösung von Differentialgleichungen Signalverarbeitung Regelungstechnik Statistik Systemidentifikation Neuronale Netze... Für spezielle Anwendungen gibt es Werkzeugkisten (toolboxes) Matlab - Eine Einführung 3

4 Haupt-Arbeitsfenster After the >> symbol, you can type the commands Matlab - Eine Einführung 4

5 Anzeige- Fenster Grafik (Figure) Fenster M-file Editor/Debugger - Fenster Erzeugen und Editieren von Skripts Matlab - Eine Einführung 5

6 Hilfe Hilfe erhalten: MATLAB main menu -> Help -> MATLAB Help Matlab - Eine Einführung 6

7 Hilfe Schreibe eins der folgenden Kommandos ins command window : help lists all the help topics help topic provides help for the specified topic help command provides help for the specified command helpwin opens a separate help window for navigation Lookfor keyword search all M-files for keyword Online resource Matlab - Eine Einführung 7

8 Befehlseingabe in MATLAB Skriptsprache: Eingabe erfolgt durch einen ASCII-Text (sog..m-file) oder über die Tastatur. Skripte mit Parameterübergabe heißen Funktionen. Befehl wird nach dem Enter -Zeichen sofort ausgeführt. Durch den Befehl wird das gleichnamige.m-file gestartet, welches wiederum eine Folge von Befehlen enthält. Also: Jedes selbstgeschriebene Programm erweitert Matlab um einen neuen Befehl! Grundlegende Funktionen sind eingebaut, brauchen also kein.m-file Matlab - Eine Einführung 8

9 Datenstruktur in MATLAB Alle Variablen sind mehrdimensionale Felder von Fließkommazahlen doppelter Präzision (64 Bit). Ausnahme: Strings sind 1xN-Felder vom Typ Character (8-Bit-ASCII-Zeichen). In der Bildverarbeitung werden oft Felder von vorzeichenlosen 8-Bit-Ganzzahlen verwendet. Dimensionierung zu keiner Zeit erforderlich! IEEE-Standard Matlab - Eine Einführung 9

10 Dateneingabe über die Tastatur 1. Eingabe von Skalaren (Testen Sie selbst!): >> a=2 a= 2 >> a=sqrt(-16) a= i Ein Semikolon (;) unterdrückt die Ausgabe des Ergebnisses: >> a= * 2; Nachträgliche Abfrage: >> a a= >> Matlab - Eine Einführung 10

11 Dateneingabe über die Tastatur 2. Eingabe von Vektoren: >> b=[2,4,6,8] b= Dies ist ein (1x4)-Vektor, also ein Zeilenvektor. Im Unterschied dazu ist >> b2=[2;4;6;8] b2= ein (4x1)-Vektor, also ein Spaltenvektor. >> Matlab - Eine Einführung 11

12 Dateneingabe über die Tastatur 3. Der Doppelpunkt: >> b=2:2:8 b= Der : erzeugt Zeilenvektoren. Die Parameter sind Anfang, Schrittweite und Ende der Folge. Alternative Befehle: linspace logspace Die Parameter sind Anfang, Ende und Anzahl : Vektor mit linear gestaffelten Elementen Vektor mit logarithmisch gestaffelten El. >> b2=linspace(1,3,5) b2 = Matlab - Eine Einführung 12

13 Dateneingabe über die Tastatur 4. Eingabe von Matrizen: >> A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 0] A= Dies ist ein (3x3)-Matrix. Die Transposition erfolgt mit dem Apostroph: >> A2 =[1 2 3; 4 5 6; 7 8 0] A2= >> Matlab - Eine Einführung 13

14 Teilen von Matrizen; Indices Lineare Indizierung: >> A(6) liefert die 8 (spaltenweise Zählung) Indizierung über Zeile und Spalte: A= >> A(2,3) liefert die 6: Name(Zeile, Spalte) Indizierung mit Vektoren: >> A([1,3],2) hier ist der Index ein Vektor! >> A(2,:) liefert die gesamte 2. Zeile >> A(:,3) liefert die gesamte 3. Spalte >> A(4:end) liefert alle Elemente ab dem Matlab - Eine Einführung 14

15 Manipulation von Matrizen Die Änderung von Werten erfolgt durch Zuweisung mit Indices: >> A(4,4)=28 A = Beachte: Die Matrixgröße wird zur Laufzeit automatisch angepaßt! Informationen über Matrizen (Variablen): who, whos size(a) length(a) welche Variablen gibt es / Größe Dimension einer Variablen Länge einer Variablen Matlab - Eine Einführung 15

16 Matrizen automatisch erzeugen Weitere hilfreiche Befehle zum Erzeugen spezieller Matrizen: zeros Matrix gefüllt mit Nullen ones Matrix gefüllt mit Einsen eye Einheitsmatrix rand Matrix mit zufälligen Elementen (gleichverteilt in [0,1]) randn Matrix mit zufälligen Elementen (normalverteilt) magic Magisches Quadrat repmat periodische Fortsetzung Probieren Sie: >> x=rand(1,4) >> plot(x) Matlab - Eine Einführung 16

17 Besondere Variable Die folgenden Variablen sind beim Start von Matlab vorhanden, können aber nachträglich überschrieben werden(!): pi = , i,j imaginäre Einheit inf unendlich NaN not a number eps Fließkomma-Rechengenauigkeit (IEEE: 2-52) realmax größte Fließkommazahl (IEEE: ) realmin kleinste Fließkommazahl (IEEE: ) flops Anzahl der ausgeführten FK-Operationen computer Computertyp und Betriebssystem Matlab - Eine Einführung 17

18 Der Arbeitsbereich Alle unter dem Prompt >> oder in Skripten erzeugten Variablen liegen im sog. Arbeitsbereich (workspace). Funktionen haben ihren eigenen, lokalen Arbeitsbereich. Abfrage der im Arbeitsbereich befindlichen Variablen: >> who Your variables are: a b b2 c Detailliertere Aufstellung: whos Löschen des Arbeitsbereiches: clear Matlab - Eine Einführung 18

19 Laden und Speichern save speichert den gesamten Arbeitsbereich unter matlab.mat im aktuellen Verzeichnis. save fname speichert den gesamten Arbeitsbereich unter fname.mat im aktuellen Verzeichnis. save fname A b speichert nur die Variablen A und b unter fname.mat im aktuellen Verzeichnis. save A.xyz A -ascii speichert die Variable A unter A.xyz als ASCII-Tabelle. load lädt alle Variablen aus matlab.mat in den Arbeitsbereich. load fname lädt alle Variablen aus fname.mat in den Arbeitsbereich. load A.xyz lädt die ASCII-Tabelle A.xyz in die Variable A Matlab - Eine Einführung 19

20 Arithmetische Ausdrücke Verknüpfungszeichen für Matrizen: + Addition - Subtraktion * Matrix-Multiplikation ^ Matrix-Potenzierung / Matrix-Division \ Matrix-Linksdivision komplex-konjugierte Transposition Elementweise Verknüpfungen:.* elementweise Multiplikation.^ elementweise Potenzierung./ elementweise Division Matlab - Eine Einführung 20

21 Geben Sie bitte jetzt ein:»clear»load Loading from: matlab.mat»who Your variables are: x y A»x x= -1 02»A A=» Matlab - Eine Einführung 21

22 »B=A? Matlab - Eine Einführung 22

23 »B=A B=» Matlab - Eine Einführung 23

24 »B=A B=»C=A+B ? Matlab - Eine Einführung 24

25 »B=A B= »C=A+B C= » A und B wurden addiert Matlab - Eine Einführung 25

26 »B=A B= »C=A+B C= »D=A*B? Matlab - Eine Einführung 26

27 »B=A B= »C=A+B C= »D=A*B D=» D ist das Matrixprodukt von A und B Matlab - Eine Einführung 27

28 »F=A.*B F= elementweise Multiplikation von A und B»G=A./B Warning: Divide by zero. G = NaN elementweise Division von A und B»w=x.*x w= elementweise Multiplikation zweier Vektoren Matlab - Eine Einführung 28

29 »x x=»y=x ? Matlab - Eine Einführung 29

30 »x x= »y=x-1 y= » Von jedem Element von x wurde 1 subtrahiert Matlab - Eine Einführung 30

31 »x x= »y=x-1 y= »x * y? Matlab - Eine Einführung 31

32 »x x= »y=x-1 y= »x * y ans=» 4 Das Skalarprodukt von x und y ist gleich Matlab - Eine Einführung 32

33 Außerdem gibt es zwei äußere Produkte von x und y:»x * y ans=»x * y 4?»y * x? Matlab - Eine Einführung 33

34 Außerdem gibt es zwei äußere Produkte von x und y:»x * y ans=»x * y ans=»y * x ans=» Matlab - Eine Einführung 34

35 Natürlich kann man einen Vektor mit einem Skalar multiplizieren:»pi * x ans=» Matlab - Eine Einführung 35

36 Natürlich kann man einen Vektor mit einem Skalar multiplizieren:»pi * x ans=»b=a * x ans= 5 8-7» oder mit einer Matrix: Matlab - Eine Einführung 36

37 Matrix- Division Es gibt zwei Arten von Matrixdivision in MATLAB: X = A \ B bedeutet X = inv(a) * B Hier ist X die Lösung von A * X = B. Diese Linksdivision ist definiert, wenn A genauso viele Zeilen hat, wie B. Falls die Matrix A quadratisch ist, wird sie nach dem Gaußschen Eliminationsverfahren berechnet. Hat A mehr oder weniger Zeilen als B, dann ist X die Lösung des überoder unterbestimmten Gleichungssystems A*X=B im Sinne kleinster Quadrate. X = A / B ist definiert durch A/B = (B \A ). Hier ist X die Lösung von X * A = B Matlab - Eine Einführung 37

38 Lösen Sie nun das folgende Gleichungssystem: 1 z z z 3 = 5 4 z z z 3 = 8 7 z z z 3 = - 7» Zum Gedächtnis: A= b= Matlab - Eine Einführung 38

39 Lösen Sie nun das folgende Gleichungssystem: 1 z z z 3 = 5 4 z z z 3 = 8 7 z z z 3 = - 7»z= A\b Zum Gedächtnis: A= b= 5 8-7? Matlab - Eine Einführung 39

40 Lösen Sie nun das folgende Gleichungssystem: 1 z z z 3 = 5 4 z z z 3 = 8 7 z z z 3 = - 7»z= A\b z= » Zum Gedächtnis: A= b= Matlab - Eine Einführung 40

41 Lösen Sie nun das folgende Gleichungssystem: 1 z z z 3 = 5 4 z z z 3 = 8 7 z z z 3 = - 7»z= A\b z= » Es ist z gleich x. Das überrascht uns kaum, weil wir x über x = A*b berechnet haben. Zum Gedächtnis: A= b= Matlab - Eine Einführung 41

42 Vergleichsoperatoren: Logische Ausdrücke = = gleich? ~ = nicht gleich? > größer? >= größer gleich? usw. Logische Verknüpfungen: & logisches UND logisches ODER ~ logisches NICHT xor logisches EXKLUSIV-ODER Matlab - Eine Einführung 42

43 Boolesche Variable Ergebnisse von Logik-Operationen werden in 0-1-Matrizen gespeichert: >> L=(A>=5) L = Zum Gedächtnis: A= Matlab - Eine Einführung 43

44 Boolesche Variable Ergebnisse von Logik-Operationen werden in 0-1-Matrizen gespeichert: >> L=(A>=5) L = Diese Boole-Matrix kann zur Indizierung verwendet werden: >> B=A(L) B = >> Zum Gedächtnis: A= Matlab - Eine Einführung 44

45 Graphische Darstellung MATLAB verfügt über umfangreiche Funktionen zum Erzeugen von graphischen Darstellung: einfache Darstellung von Meßreihen in kartesischen Koordinaten Polarplots 3-dimensionale, farbcodierte Pixelbilder 3D-Flächen mit Höhenlinien beleuchtete 3D-Flächen mit Schatten und Glanzlichtern Matlab - Eine Einführung 45

46 Graphische Darstellung Matlab hat die Funktion plot( ), die Werte in der xy-ebene zeichnet Allgemeines Format: plot(x,y, symbols ) Die Symbole repräsentieren die Farbe, die Punktform und den Linien-Typ Matlab - Eine Einführung 46

47 Plot Symbole Farben Symbole Linien y yellow. point - solid line m mag o circle : dots c cyan x xmark -. line dot r red + plus - - dashes g green * star b blue s square w white d diamond k black v triangle down ^ triangle up < left < right p pentagram h hexagram Matlab - Eine Einführung 47

48 Plot Beispiel t = linspace(0, 2*pi); y1 = cos(t); y2 = sin(t); y3 = y1.* y2; plot(t,y1, - ) ; plot(t,y3, r: ) results in 100 data points - cosine of the points - sine of the points - cos(t)*sin(t) - plots cosine verse t with a straight line. - plots cosine*sine verse t with red dots Matlab - Eine Einführung 48

49 Der plot-befehl Den Verlauf von y1 zeigt man mit plot an:»plot(t,y1) Wendet man dann plot auf y3 an:»plot(t,y3) so stellt man fest, dass der erste Graph überschrieben wurde! Um dies zu verhindern, muss man nach dem ersten plot die Eigenschaft hold auf on setzen: 1»hold on»plot(t,y3)»hold off Matlab - Eine Einführung 49

50 Beispiel: plot(t,y1, -,t,y2, g*,t,y3, r-. ) - plots all 3 axis( [0 2*pi ]) - adds axes legend( cos(t), sin(t), cos(t)*sin(t) ) - legend Beachte: [ ] Feld ( ) Funktion Symbole cos(t) sin(t) cos(t)*sin(t) Matlab - Eine Einführung 50

51 Funktion Gestaltung des Plots Das Graphikfenster wird mit»clf zurückgesetzt. Wenden Sie plot jetzt wie folgt an:»plot(t,y1, r--,t,y2, ro ) Anschließend kann man z.b. Titel und Achsenbeschriftung hinzufügen:»title( Sinus und Cosinus )»xlabel( Zeit t [s] )»ylabel( Funktion ) Sinus und Cosinus Zeit t [s] Matlab - Eine Einführung 51

52 Speichern des Plots MATLAB besitzt Hardcopy-Routinen für viele Formate. Sinnvoll ist z.b. das PostScript-Format:»print meinbild -depsc speichert das aktuelle Graphikfenster als farbige Encapsulated Postscript -Datei meinbild.eps. Solche Dateien können mit dem Programm GhostView betrachtet und ausgedruckt oder in LATEX-Dokumente eingebunden werden Matlab - Eine Einführung 52

53 Speichern des Plots»print -dbitmap kopiert das aktuelle Graphikfenster in das Windows-Clipboard. Von dort kann man es sofort mit Strg-V in Powerpoint importieren: Matlab - Eine Einführung 53

54 »print -dbitmap Speichern des Plots kopiert das aktuelle Graphikfenster in das Windows-Clipboard. Von dort kann man es sofort mit Strg-V z.b. in Powerpoint importieren: Matlab - Eine Einführung 54

55 Übungsaufgabe Erzeugen Sie einen Vektor y, dessen Komponenten die Abtastwerte zweier überlagerter Schwingungen repräsentieren! Zeitintervall: t=1..5 s Abtastrate: fa=50hz Sinusfrequenzen f 1 =1Hz und f 2 =2,5Hz Erzeugen Sie einen weiteren Vektor z, der zusätzlich (additiv) weißes Rauschen der Leistung p=0,2 enthält.» t=1:0.02:5;» y=sin(2.*pi.*1.*t)+sin(2.*pi.*2.5.*t); 3 2 1» r=randn(1,length(t)).*sqrt(0.2);» z=y+r; » plot(t,z,t,y) Matlab - Eine Einführung 55

56 Gestaltung des Plots Das Graphikfenster wird mit»clf zurückgesetzt. Wenden Sie plot jetzt wie folgt an:»plot(t,y, r--,t,z, ro ) Matlab - Eine Einführung 56

57 Gestaltung des Plots Das Graphikfenster wird mit»clf zurückgesetzt. Wenden Sie plot jetzt wie folgt an:»plot(t,y, r--,t,z, ro ) Fügen Sie anschließend Titel, Achsenbeschriftung und Legende hinzu:»title( Überlagerte Schwingungen )»xlabel( Zeit t [s] )»ylabel( Auslenkung [willk. Einh.] )»legend('theorie','meßwerte') Matlab - Eine Einführung 57

58 Speichern des Plots MATLAB besitzt Hardcopy-Routinen für viele Formate. Sinnvoll ist z.b. das PostScript-Format:»print meinbild -depsc speichert das aktuelle Graphikfenster als farbige Encapsulated Postscript -Datei meinbild.eps. Solche Dateien können mit dem Programm GhostView betrachtet und ausgedruckt oder in LATEX-Dokumente eingebunden werden Matlab - Eine Einführung 58

59 »print -dbitmap Speichern des Plots kopiert das aktuelle Graphikfenster in das Windows-Clipboard. Von dort kann man es sofort mit Strg-V in Powerpoint importieren: Matlab - Eine Einführung 59

60 Auslenkung [willk. Einh.]»print -dbitmap Speichern des Plots kopiert das aktuelle Graphikfenster in das Windows-Clipboard. Von dort kann man es sofort mit Strg-V in Powerpoint importieren: 3 2 Überlagerte Schwingungen Theorie Meßwerte Zeit t [s] Matlab - Eine Einführung 60

61 Polynome The polynomials are represented by their coefficients in MATLAB Consider the following polynomial: A(s) = s ^ * s ^ * s + 1; If s is scalar: use scalar operations A = s ^ * s ^ * s + 1; If s is a vector or a matrix: use array or element by element operation A = s.^ * s.^ * s + 1; Function polyval(a,s): evaluate a polynomial with coefficients in vector a for the values in s Matlab - Eine Einführung 61

62 Polynomials MATLAB: A(s) = s ^ * s ^ * s + 1 >> s = linspace(-5,5,100); >> coeff = [ ]; >> A = polyval(coeff,s); >> plot(s,a) >> xlabel('s') >> ylabel('a(s)') Matlab - Eine Einführung 62

63 Polynome Operation MATLAB Command Description Addition C = A + B Sum of polynomial A and B, the coefficient vectors must have the same length. Scalar Multiple B = 3 * A Multiply the polynomial A by 3. Polynomial Multiplication Polynomial Division Derivatives C = conv(a, B) [q,r] = deconv(a,b) polyder(a) polyder(a,b) [n,d] = polyder(b,a) Returns the coefficient vector for the resulting from the product of polynomial A and B. Returns the long division of A and B. q is the quotient polynomial coefficient, and r is the remainder polynomial coefficient. Returns the coefficients of the derivative of the polynomial A. Returns the coefficients of the derivative of the product of A and B. Returns the derivative of ratio B/A, represented as N/D. Find Roots roots(a) Returns the roots of the polynomial A in column vector form. Find Polynomials Poly(r) Returns the coefficient vector of the polynomial having roots r Matlab - Eine Einführung 63

64 Programmieren in Matlab Ein Programm ist eine Folge von Anweisungen. Matlab Programs werden in scripts gespeichert. Ein script ist ein File mit der Endung.m Matlab - Eine Einführung 64

65 Bedingung If-Anweisung if condition End statements condition ist ein Boolscher Ausdruck Matlab - Eine Einführung 65

66 Bus-Fahrscheine Given the following bus fare schedule: Regular fare $1.50 Children under 5 free Youth fare (ages 5-17) $0.85 Senior fare (age 65+) $0.85 Goal: write a piece of code that determines a passenger's fare Matlab - Eine Einführung 66

67 Code for bus fare example %suppose age contains the passenger's age fare = 1.50; if age < 5 fare = 0; disp('under 5, free') end if (age >= 5 & age <= 17) age >= 65 fare = 0.85; disp('discount fare') end Matlab - Eine Einführung 67

68 Schleifen Allgemeine Form einer while Schleife while condition end statements Matlab - Eine Einführung 68

69 Summe der Quadrate von 1 bis 20 sum = 0; n = 1; while n <= 20 sum = sum + n^2; n = n + 1; end disp([ Die Summe ist ', num2str(sum)]) Matlab - Eine Einführung 69

70 for Schleifen for counter = first : last end statements oder for counter = first : incr : last end statements Matlab - Eine Einführung 70

71 Beispiel einer for Schleife: Summe der Quadrate von 1 bis 20 sum = 0; for n = 1 : 20 sum = sum + n^2; end disp([ Die Summe ist ', num2str(sum)]) Matlab - Eine Einführung 71

72 Beispiel: Fibonacci Zahlen 1, 1, 2, 3, 5, 8, Die ersten beiden Fibonacci Zahlen sind 1, 1. Jede weitere Fibonacci Zahl ist die Summe ihrer beiden Vorgänger. Aufgabe: Erzeuge in Matlab die ersten N Fibonacci Zahlen Matlab - Eine Einführung 72

73 Fibonacci Zahlen N = 10; fib = [1 1]; for k = 3 : N fib(k) = fib(k-1) + fib(k-2); end disp([ Die ersten ', num2str(n), ' Fibonacci Zahlen sind: ']) disp(fib) Matlab - Eine Einführung 73

74 Programmflusssteuerung: break zum vorzeitigen verlassen einer for- bzw. while-schleife continue zum Sprung in die nächste Iteration

75 Funktionen: Matlab bietet die Möglichkeit umfangreiche Aufgaben in Unterprogramme aufzuteilen dazu Definition von Funktionen, die jeweils in einer eigenen Datei abgelegt werden aber auch Definition von Funktionen innerhalb von Unterprogrammen möglich

76 Funktionen: Dateiname testfunktion.m Dateikopf function [A, B] = testfunktion(c,d,e); A =... B =... Aufruf der Funktion im eigentlichen Programm durch [M, N] = testfunktion (A,B,C);

77 Beispiel: Bisektion function [xvect,xdif,fx,nit] = bisect (a,b,toll,nmax,fun) err=toll+1; nit=0; xvect=[]; fx=[]; xdif=[]; while (nit < nmax & err > toll) nit=nit+1; c=(a+b)/2; x=c; fc=eval(fun); xvect=[xvect;x]; fx=[fx;fc]; x=a; if (fc*eval(fun) > 0) a=c; else b=c; end; err=abs(b-a); xdif=[xdif;err]; end return Matlab - Eine Einführung 77

78 Befehle zum Filemanagement Files können (in beliebigem Editor) geschrieben und in den Speicher geladen werden. echo on/off Echo aktiver m-files what Anzeige der Files im aktuellen Verzeichnis type - Anzeige des Fileinhalts Matlab - Eine Einführung 78

79 Matlab Files Es gibt verschiedene Typen von Files: Daten Files Matlab Files haben ihr eigenes Format Ascii-Files sind Standard Textfiles, die ausgedruckt werden können. m-files Programm Files. function files sind Funktionen ähnlich wie sin(x), cos(x), etc Matlab - Eine Einführung 79

80 Daten Files Es gibt zwei Typen von Daten Files : Matlab Format ascii Format Matlab - Eine Einführung 80

81 Matlab Datenformat MatLab erzeut ein Datenfile mit der Bezeichnung filename.mat File kann geladen werden mit: load filename t = linspace(0, 2*pi) x = cos(t) save data1 t x clear what data1.mat load data Matlab - Eine Einführung 81

82 ASCII Format Erzeugen mit save filename.dat ascii Laden mit load filename.dat ascii t = linspace(0 2*pi) x = sin(t) save data2.dat t x -ascii dir data2.dat clear load data2.dat -ascii Matlab - Eine Einführung 82