Seminar zur Algebraischen Topologie II: Topologie vs. Kombinatorik. C. Löh Juli 2013

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1 Seminar zur Algebraischen Topologie II: Topologie vs. Kombinatorik C. Löh Juli 2013 Viele topologische Objekte lassen sich durch einfache kombinatorische Daten beschreiben, was einerseits die Berechnung von Invarianten aus der algebraischen Topologie erleichtert und andererseits auch eine geeignete Abstraktionsebene liefert, um klassische topologische Invarianten in andere Gebiete zu übertragen. Umgekehrt können manche kombinatorischen Objekte geeignet zu topologischen Objekten erweitert werden und dann mit Methoden aus der (algebraischen) Topologie analysiert werden. Zum Beispiel liefert dies einen eleganten Zugang zu Färbungs- und Einbettungsresultaten für Graphen. a? b b a R 3 In diesem Seminar werden wir uns sowohl mit kombinatorischen Aspekten der (algebraischen) Topologie als auch mit Anwendungen der (algebraischen) Topologie in der diskreten Mathematik beschäftigen. Im wesentlichen werden wir dem Buch Using the Borsuk-Ulam Theorem von Jiří Matoušek folgen. Falls Sie daran interessiert sind, im Zusammenhang mit diesem Seminar eine Abschlussarbeit zu schreiben, geben Sie bitte möglichst bald Bescheid. Themen Simpliziale Komplexe Vortrag 1 (Grundlagen der Graphentheorie). Grundbegriffe der Graphentheorie; chromatische Zahl; planare Graphen; Satz von Kuratowski (ohne Beweis). Literatur: Alle Bücher über Graphentheorie, z.b. [3, Kapitel 4.2, 4.4, 5.1, 5.2] Vortrag 2 (Simpliziale Komplexe). Geometrische simpliziale Komplexe; Triangulierungen; (abstrakte) simpliziale Komplexe; geometrische Realisierung simplizialer Komplexe; Quotienten von simplizialen Komplexen; Beispiele simplizialer Komplexe; Zusammenhang mit partiell geordneten Mengen. Literatur: [7, Kapitel , Kapitel 4.1], [9] Vortrag 3 (Simpliziale Approximation). Simpliziale Abbildungen; Beispiele; baryzentrische Unterteilung; der simpliziale Approximationssatz (mit Beweis); Beispiele. Literatur: [4, Satz 2.C.1], [1, Kapitel 6.3], [9] Vortrag 4 (Simpliziale Homologie). Definition simplizialer Homologie (mit Z- und mit Z/2-Koeffizienten); Funktorialität; Skizze des Beweises der Homotopieinvarianz; Beispiele. Literatur: [1, Kapitel 8], [9], [7, S. 41f] 1

2 Der Satz von Borsuk-Ulam und seine Anwendungen Vortrag 5 (Der Satz von Borsuk-Ulam). Verschiedene Formulierungen des Satzes von Borsuk-Ulam; Äquivalenz dieser Formulierungen; Brouwerscher Fixpunktsatz; Beweis des Satzes von Borsuk-Ulam und des Brouwerschen Fixpunktsatzes. Literatur: [7, Kapitel ] Vortrag 6 (Das Lemma von Tucker). Verschiedene Formulierungen des Lemmas von Tucker; Äquivalenz zum Satz von Borsuk-Ulam; Beweis des Lemmas von Tucker über den Abbildungsgrad. Literatur: [7, Kapitel ] Vortrag 7 (Das Sandwich-Theorem und Aufteilung von Ketten). Wiederholung der benötigten maßtheoretischen Grundbegriffe; Sandwich-Theorem (und Verallgemeinerung) mit Beweis; Sandwich-Theorem für diskrete Mengen mit Beweis; Aufteilung von farbigen Ketten. Literatur: [7, Kapitel ], [11] Vortrag 8 (Die Kneser-Vermutung). Wiederholung der chromatischen Zahl von Graphen; Formulierung der Kneser-Vermutung; Kneser-Graphen; Satz von Lovász-Kneser mit Beweis; Satz von Dol nikov und Satz von Schrijver (wenn möglich mit Beweis). Literatur: [7, Kapitel ] Vortrag 9 (Verallgemeinerte Antipoden und Z/2-Index). Z/2-Räume, (freie) Z/2-Operationen, Z/2-Abbildungen; Beispiele; Z/2-Index; Beispiele für den Z/2- Index; Eigenschaften des Z/2-Index (insbesondere auch die Verbindung mit Joins und k-zusammenhang) mit Beweis. Literatur: [7, Kapitel , Kapitel ] Vortrag 10 (Nicht-Einbettbarkeit I topologisches Radon-Theorem). Topologisches Radon-Theorem mit Beweis; reduzierte Joins (zur Motivation evtl. auch reduzierte Produkte); Beweis, dass K 3,3 nicht planar ist. Literatur: [7, Kapitel 5.1, (5.4), 5.5.] Vortrag 11 (Nicht-Einbettbarkeit II Satz von van Kampen-Flores). Satz von van Kampen-Flores mit Beweis; Beweis, dass K 5 nicht planar ist; Bier-Sphären; Ungleichung von Sarkaria. Literatur: [7, Kapitel 5.1, 5.6, 5.7] Vortrag 12 (Nicht-Einbettbarkeit III Kneser-Färbungen und Abschätzungen der chromatische Zahl). Der Färbungs-/Einbettungssatz von Sarkaria mit Beweis; Beispiele für daraus folgende Nicht-Einbettbarkeitsresultate (insbesondere K 3,3 und RP 2 ); untere Schranke für die chromatische Zahl eines Graphen mit Beweis. Literatur: [7, Kapitel ] 2

3 Simpliziale Mengen Vortrag 13 (Simpliziale Mengen). Simpliziale Mengen; Vergleich mit simplizialen Komplexen; der totale singuläre Komplex; simpliziale Objekte in Kategorien; Kan-Komplexe; simpliziale Abbildungen; zwei Charakterisierungen von Homotopie simplizialer Abbildungen. Literatur: [6, S. 1 16] Vortrag 14 (Geometrische Realisierung simplizialer Mengen). Geometrische Realisierung simplizialer Mengen; Beispiele; Vergleich mit der geometrischen Realisierung simplizialer Komplexe; adjungierte Funktoren; Eigenschaften/Beispiele adjungierter Funktoren; Vergleich simplizialer Mengen und topologischer Räume. Literatur: [6, S ], alle Bücher über Kategorientheorie, z.b. [5] Vortrag 15 (Homologie simplizialer Mengen). Definition von Homologie von simplizialen Mengen; Homotopieinvarianz; Vergleich mit singulärer Homologie (mit Beweisskizze). Literatur: [6, S. 5, 13, 63] 3

4 Ablauf des Seminars Notwendig für den Scheinerwerb sind: Ein 80-minütiger Vortrag; die verbleibenden 10 Minuten der Sitzung werden wir für die Diskussion verwenden. Regelmäßige Anwesenheit und aktive Teilnahme im Seminar (stellen Sie Fragen während der Vorträge, wenn Sie etwas nicht verstehen!). Ein Handout von ein bis zwei Seiten zu Ihrem Vortrag, das die wichtigsten Aspekte des Vortrags und ein paar kleine Übungsaufgaben für die anderen Teilnehmer enthält; diese Aufgaben sollen dazu anregen, sich nochmal mit den Inhalten des Vortrags zu beschäftigen. Eine schriftliche Ausarbeitung des Vortrags; diese muß bis spätestens eine Woche vor dem Vortrag abgegeben werden. Bitte kommen Sie spätestens zwei Wochen vor Ihrem Vortrag vorbei, um etwaige Fragen zu klären und den Vortrag durchzusprechen. Die Seminarleistungen werden wie in den entsprechenden Prüfungsordnungen benotet und angerechnet. Hinweise zur Vorbereitung Beginnen Sie frühzeitig mit der Vorbereitung (am besten vor Beginn des Semesters) und nutzen Sie Sprechstunden und sonstige Betreuungsangebote. Grundvoraussetzung für einen Seminarvortrag ist das mathematische Verständnis des Stoffes. Dabei sollten Sie mehr über das Thema wissen als Sie im Vortrag erwähnen werden. Geben Sie zu Beginn einen kurzen Überblick über Ihren Vortrag. Stellen Sie die Hauptaussagen Ihres Vortrags soweit wie möglich an den Anfang; damit vermeiden Sie es, diese am Ende des Vortrags unter Zeitdruck erläutern zu müssen. Unterscheiden Sie für das Publikum klar erkennbar zwischen Wichtigem und weniger Wichtigem. Überfordern Sie die Zuhörer nicht durch zuviele technische Details (Sie sollten diese aber selbstverständlich verstanden haben). Erklären Sie lieber die wesentlichen Ideen/Beweisschritte. Strukturieren Sie Ihren Vortrag; Überschriften für einzelne Abschnitte können dabei helfen. Je logischer und natürlicher Ihr Vortrag aufgebaut ist, desto leichter hält sich der Vortrag und desto verständlicher ist er. Machen Sie sich im Aufbau des Vortrags unabhängig von der Literatur. Ein Aufbau, der für einen Text sinnvoll ist, kann für einen Vortrag ungeeignet sein. 4

5 Seien Sie der Literatur gegenüber kritisch. Sie sollten auch versuchen, selbst geeignete ergänzende Literatur zu finden. Geeignete Ausgangspunkte sind zum Beispiel: Planen Sie den zeitlichen Ablauf des Vortrags. Überlegen Sie sich schon vor dem Vortrag, welche Teile Sie bei Zeitnot kürzen können und welche Sie, wenn es die Zeit erlaubt, ausführlicher behandeln wollen. Ein Probevortrag kann helfen den zeitlichen Ablauf des Vortrags abzuschätzen. Berücksichtigen Sie bei der Vorbereitung, was in den Vorträgen vor bzw. nach Ihrem eigenen Vortrag vorgesehen ist im Zweifel sollten Sie sich mit den anderen Votragenden absprechen, damit es nicht zu Lücken, Inkonsistenzen oder Überschneidungen kommt. Überlegen Sie, welche Begriffe/Aussagen aus den vorherigen Vorträgen Sie nochmal kurz wiederholen sollten. Sie können die Ausarbeitung und das Handout handschriftlich abgeben. Andererseits bieten die Ausarbeitung und das Handout aber auch eine gute Gelegenheit, das Textsatzsystem L A TEX besser kennenzulernen [8]; dafür werden auch L A TEX-Vorlagen zur Verfügung gestellt: ws1314/ Achten Sie darauf, in der Ausarbeitung eigenständig zu formulieren und alle verwendeten Quellen vollständig und korrekt zu zitieren. Hinweise zum Halten des Vortrags Schreiben Sie lesbar und lassen Sie Ihren Zuhörern genug Zeit zum Lesen. Vermeiden Sie es unbedingt, das gerade Geschriebene sofort wieder hinter einer anderen Tafel verschwinden zu lassen, wegzuwischen, oder zu schnell auf die nächste Folie umzuschalten. Planen Sie Ihr Tafelbild bzw. Ihre Folien. Schreiben Sie alle Definitionen an. Machen Sie bei allen Sätzen klar, was die genauen Voraussetzungen sind. Versuchen Sie, Definitionen und Sätze anschaulich bzw. durch Anwendungsbeispiele zu motivieren. Oft können im Vortrag auch komplizierte Rechnungen durch geeignete geometrische Argumente ersetzt werden. Alle eingeführten Begriffe sollten durch Beispiele illustriert werden. Sprechen Sie laut und deutlich. Versuchen Sie, Ihre Zuhörer für Ihren Vortrag zu interessieren und beziehen Sie Ihr Publikum mit ein. Eine Frage an das Publikum gibt diesem Zeit nachzudenken, selbst wenn niemand die Antwort weiß. 5

6 Versetzen Sie sich in Ihr Publikum hinein. Könnten Sie Ihrem Vortrag folgen, auch wenn Sie sich nicht vorher ausführlich mit dem Thema beschäftigt hätten? Haben Sie keine Angst vor Fragen des Publikums freuen Sie sich lieber über das Interesse! Zwischenfragen der Zuhörer helfen Ihnen auch einzuschätzen, wie gut das Publikum folgen kann und welche Dinge Sie etwas genauer erklären sollten. Literatur [1] M.A. Armstrong, Basic Topology, korrigierter Nachdruck des Originals von 1979, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, [2] A. Beutelspacher. Das ist o.b.d.a. trivial!, neunte Auflage, Vieweg+Teubner, Ein nettes Büchlein, das dabei hilft, mathematisch sauber und verständlich zu formulieren. [3] R. Diestel. Graph theory, dritte Auflage, Graduate Texts in Mathematics, Band 173, Springer, [4] A. Hatcher. Algebraic Topology, Cambridge University Press, Online verfügbar unter hatcher/. [5] S. MacLane. Categories for the Working Mathematician, zweite Auflage, Springer, [6] J.P. May. Simplicial Objects in Algebraic Topology, University of Chicago Press, [7] J. Matoušek. Using the Borsuk-Ulam Theorem, Lectures on topological methods in combinatorics and geometry. Written in cooperation with Anders Björner and Günter M. Ziegler, Universitext, Springer, [8] F. Mittelbach, M. Goossens, J. Braams, D. Carlisle, C. Rowley. The L A TEX Companion, zweite Auflage, Addison-Wesley, Eines der Standardwerke zur Benutzung von L A TEX; weitere Unterstützung finden Sie unter [9] J.R. Munkres. Elements of algebraic topology, Addison-Wesley, [10] T. Tantau. The TikZ and PGF Packages, Dokumentation des TikZ-Pakets für L A TEX, das es erlaubt, auf einfache Weise Graphiken in L A TEX zu erstellen. [11] W. Rudin. Real and complex analysis, dritte Auflage, McGraw-Hill Book Co.,