Fronten von Reaktions-Diffusions-Gleichungen

Transkript

1 Technische Universität Berlin Fronten von Reaktions-Diffusions-Gleichungen Technische Universität Berlin Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften Markus Osenberg Magnus Happach

2 Inhalt Motivation Nernstlampe Eisendraht in Wasserstoff Das Schlögl-Modell Front zwischen zwei stabilen Zuständen Front zwischen einem stabilen und einem instabilen Zustand Ausblick Zusammenfassung

3 Nernstlampe 1897 vom Physikochemiker Prof. Walther Nernst erfunden Leuchtmittel ist ein Ionenleiter (ab 600 C) aus Zirkon(IV)-oxid dotiert mit Yttrium(III)-oxid

4 Nernstlampe

5 Eisendraht im Wasserstoff Magnus Happach, Markus Osenberg 5

6 Eisendraht im Wasserstoff In einem Strombereich entstehen 3 Schnittpunkte zwischen Q + und Q - Die Schnittpunkte bei T 1 und T 3 sind stabil der bei T 2 nicht Es können sich also Wellenfronten zwischen den beiden stabilen Zuständen ausbilden Für genau ein I Kr bewegen sich diese Fronten nicht, je weiter wir uns von I Kr entfernen desto schneller werden diese Magnus Happach, Markus Osenberg 6

7 Eisendraht im Wasserstoff Magnus Happach, Markus Osenberg 7

8 Eisendraht im Wasserstoff Wird hingegen die Spannung konstant gehalten, so stellt sich ein I Kr ein. Die Fronten wandern nun so lange, bis sich der richtige Widerstand eingestellt hat und die Fronten stehen bleiben Magnus Happach, Markus Osenberg 8

9 Motivation Reaktions-Diffusions-Gleichungen sind im Allgemeinen nur schwer lösbar. Wie z.b. im Vortrag zu Tumoren zu sehen wahr, reicht es allerdings oft aus, nur die Reaktionsfronten zu betrachten. Ziel sind Aussagen über z.b. Geschwindigkeit, Form, und Stabilität Sowohl die Mechanik als auch die Quantenmechanik helfen bei der Lösung Magnus Happach, Markus Osenberg 9

10 Das Schlögl-Modell Das Schlögl-Modell beschreibt das Phänomen mit 3 Fixpunkten (2 stabil, 1 instabil) Magnus Happach, Markus Osenberg 10

11 Mechanisches Analogon Wie schnell ist die Wellenfront? Übergang in mitlaufendes Koordinatensystem Diese Formel ist aus der Mechanik bekannt, wobei die Frontgeschwindigkeit durch die Reibung dargestellt wird Magnus Happach, Markus Osenberg 11

12 Mechanisches Analogon Magnus Happach, Markus Osenberg 12

13 Analytische Lösung Für die Frontlösung muss gelten: Mit den Randbedingungen eingesetzt erhällt man die Geschwindigkeit (bzw. Reibung) und die Frontlösung Magnus Happach, Markus Osenberg 13

14 Analytische Lösung Magnus Happach, Markus Osenberg 14

15 Stabilitätsanalyse Nun wird eine lineare Stabilitätsanalyse durchgeführt: Wir erhalten mit diesem Ansatz eine bekannte Gleichung: Dies entspricht der Schrödingergleichung mit Magnus Happach, Markus Osenberg 15

16 Stabilitätsanalyse Das Potential der Schrödingergleichung sieht dann wie folgt aus: Magnus Happach, Markus Osenberg 16

17 Stabilitätsanalyse Aus der Schrödungergleichung kann nun über die Quantenmechanik 3 Fälle abgeleitet werden Es existiert eine stabile Mode (Grundzustand) mit Es existiert ein kontinuierliches Spektrum von Eigenmoden mit Für spezielle R existieren diskrete Eigenmoden z.b. eine Zusammensetzung aus unterschiedlichen Cosinus Die Frontlösung ist Translationsinvariant, die Grundzustandsmode entspricht genau der Verschiebung der Front, die Stabilität bleibt also erhalten Alle anderen Moden relaxieren exponentiel schnell Magnus Happach, Markus Osenberg 17

18 Wellenfront - Lösungen Reaktions-Diffusionsgleichung: x,t = ' ' x,t f Koordinatentransformation: gewöhnliche DGL: v ' ' y = y= x v t V v ' v y Magnus Happach, Markus Osenberg 18

19 Betrachtung des Potentials Das Potential V sei: V = bei t= startet das Teilchen bei =1 mit infinitesimaler Geschwindigkeit bei t= wird das Teilchen zur Ruhe kommen, wenn Reibung v nicht Null ist Magnus Happach, Markus Osenberg 19

20 Amplitudenbetrachtung Kugel in Potential Amplitude Magnus Happach, Markus Osenberg 20

21 Phasenraum Kugel in Potential Phasenraum Die Extrema des Potentials werden zu Fixpunkten des Phasenraums Welche Lösungen sind stabil gegen Störungen? lineare Stabilitätsanalyse v kr =2 v ' ' (0)= Magnus Happach, Markus Osenberg 21

22 lineare Stabilitätsanalyse Ansatz: lineare x,t = v x vt v x, t -Näherung: = ' ' f v v f v ' ' f ' v v in einem mit v bewegten Koordinatensystem: v ' v x,t =v ' ' v x, t ' v x,t f ' v x v x, t wobei f ' v x =V ' ' v x Magnus Happach, Markus Osenberg 22

23 lineare Stabilitätsanalyse Grenzwertbetrachtung: x strebt V ' ' v x V ' ' 0 = v 2 c 4 =1 damit erhält man eine lineare PDGL mit konstanten Koeffizienten v x,t =v ' ' v x, t ' v x,t v x,t Der Lösungsansatz v ~e i K x e t führt in der Grenzwertbetrachtung auf =i K v k 2 1 K = i v 2 ± v Magnus Happach, Markus Osenberg 23

24 lineare Stabilitätsanalyse R =1 v2 4 q2 Für v 2 sind die um =0 oszillierenden Lösungen instabil. Für v=2 ist die Lösung marginal stabil Magnus Happach, Markus Osenberg 24

25 erweiterte Stabilitätsanalyse Sind dann alle Lösungen mit v 2 stabil? Betrachtung des Störterms in den höheren Ableitungen v x,t =v ' ' v x, t ' v x,t f ' v x v x, t 1 2 f ' ' v 2 v... v x,t =L v v x,t 3 v x 2 v x,t mit dem linearen Operator L v =v x 2 x v x Magnus Happach, Markus Osenberg 25

26 erweiterte Stabilitätsanalyse Entwickeln von v nach den Eigenfunktionen von L v L v u n v x = n v u n v x v x,t = n a n t u n v x so folgt aus der Entwicklung des Störterms: n a n u n v = n a n n v u n v 3 v x v Magnus Happach, Markus Osenberg 26

27 erweiterte Stabilitätsanalyse Durch Multiplikation mit der Eigenfunktion v u n des adjungierten Operators L v und einer Integration nach x erhält man: a n = v n a n 3 dx un v v x v 2 O a n 3 Betrachtung der Translationsmode u v 0 x = ' v x mit v 0 =0 a 0 t =3 dx e vx ' v x v x 2 v x,t Für v 0und v 0, ' v 0 für v 2 ist das Integral negativ. Daher werden alle Wellenfronten mit v 2 abgebremst. Folglich sind diese nicht stabil gegen Störung Magnus Happach, Markus Osenberg 27

28 Ausblick Hat der Reaktionsterm mehr als 3 Fixpunkte existieren im Fall (stabil zu stabil) weitere langsamere diskrete Frontgeschwindigkeiten, welche ebenfalls in die schnellste Lösung relaxieren Das Fischer-Kolmogorov-Modell ist neben dem Schlögl-Modell ein weiteres Modell für einen Reaktionsterm Es beschreibt 2 Fixpunkte (einen stabilen und einen instabilen) R u =u 1 u Ähnlich wie im Schlögl-Modell diskutiert, ist für die Entstehung einer stabilen Frontlösung eine Mindestgeschwindigkeit dieser Front notwendig. v Kr =2 V ' ' Magnus Happach, Markus Osenberg 28

29 Zusammenfassung Schlögl-Modell analytisch lösbar Hilfe durch Mechanik und Quantenmechanik Schlögl-Modell kann Übergänge von stabilen zu stabilen Zuständen beschreiben Mit einer stabilen Frontlösung Schlögl-Modell kann Übergänge von stabilen zu instabilen Zuständen beschreiben v> v kr v=v kr v< v kr Wellenfronten ist nicht stabil Wellenfront ist marginal stabil Wellenfronten sind nicht stabil Magnus Happach, Markus Osenberg 29

30 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit Magnus Happach, Markus Osenberg 30

31 Quellen Wim van Saarloos, Three basic issues concerning interface dynamics in nonequilibrium pattern formation Instituut-Lorentz, Leiden University (Submitted on 23 Jan 1998) A. Allroth, Partielle Differentialgleichungen: Dynamische Stabilitätsanalyse, Institut für Festkörperforschung, Kernforschungsanlage Jülich Peter Grauel, Dissertation: Das Ag/Peroxoldisulfatsystem: Grenzfläche und raumzeiltiche Dynamik, FU-Berlin, Mai 1999 J. Löber 1, M. Bär 2, H. Engel 1, Propagation Of Waves In Periodic- Heterogeneous Bistable Systems,, 1 TU-Berlin, 2 PTB, (Submitted on 21 Mar 2012) H.-J. Qaudbeck-Seeger, E.Diemann, Facetten einer Wissenschaft,Chemie aus ungewöhnlichen Perspektiven,, WILEY-VCH Verlag 2004 Weinheim Seite einzeln/items/gluehlampe.html ( ) Magnus Happach, Markus Osenberg 31