Einführung in die optische Nachrichtentechnik. Modulationsverhalten von Halbleiterlasern (MOD)

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1 MOD/ Modulationsverhalten von Halbleiterlasern (MOD) (siehe auch: K. Petermann, Laser diode modulation and noise, Kluwer Academic, 99) Bilanzgleichungen Das Modulationsverhalten von Halbleiterlasern läÿt sich am einfachsten beschreiben mit den sogenannten Bilanz- (oder Raten-) Gleichungen.. Bilanzgleichung für die Photonen Wir betrachten einen spektral einwelligen Laser, in dessen Lasermodus sich S Photonen benden. Es gilt dann für die zeitliche Veränderung der Photonenanzahl im Laserresonator: ds dt = r st S S= ph + r sp () Dabei bezeichnet r st die eektive stimulierte Emissionsrate im Lasermodus r st = R st (2) die nach Maÿgabe des Füllfaktors (vgl. S. HL/6) gegenüber der Volumenrate der stimulierten Emission R st reduziert ist. Entsprechend reduziert sich auch die spontane Emissionsrate wobei wir mit dem Verhältnis r sp = R sp ; (3) n sp = r sp =r st = R sp =R st (4) den sogenannten Inversionsfaktor bezeichnen. Entsprechend Seite L/, L/2 gilt so daÿ R st = R stim R abs = R sp R abs ; (5) n sp = R sp R sp R abs = R abs =R sp : (6) Damit ist stets n sp >. Nur für vollständige Inversion (Besetzungswahrscheinlichkeit im Valenzband f V = 0 bzw. Besetzungswahrscheinlichkeit im Leitungsband f L = ) wird R abs = 0 und damit n sp = (Dies entspricht übrigens auch dem Fall minimalen Rauschens für Laserverstärker, vergleiche Kapitel EDFA). Typischerweise ist bei Halbleiterlasern n sp ; 5:::2; 5. ph in Gl. () bezeichnet die sogenannte Photonenlebensdauer und beinhaltet sowohl die Streuverluste s als auch die Spiegelverluste m ( m = 2L ln( R R 2 ) für den Fabry-Perot-Laser auf Seite HL/0) gemäÿ = ( s + m )c=n (7) ph

2 MOD/2 mit der Lichtgeschwindigkeit c und dem Gruppenindex N im Laserresonator. Damit läÿt sich die Bilanzgleichung () auch schreiben: ds dt = r st(s + n sp ) S= ph : (8) Um einen Eindruck vom Einuÿ der spontanen Emission (n sp ) zu erhalten, ist es zweckmäÿig, eine typische Photonenanzahl S im Laserresonator abzuschätzen... Zusammenhang zwischen Photonenanzahl S und optischer Leistung P Die gesamte (von beiden Spiegelfacetten) emittierte optische Leistung P des Lasers läÿt sich abschätzen gemäÿ: P = (h ) ext i (Anzahl stimuliert erzeugter Photonen/Zeit): (9) Mit (vergl. Seite HL/5) ext = i = m =( s + m ); (0) ergibt sich dann aus Gl. (9): m P = (h ) r s + st S: () m Wenn man weiterhin berücksichtigt, daÿ für S >> n sp im stationären Gleichgewicht ( dt d = 0 in Gl. (8)) r st ' ph gilt, erhält man mit Gl. (7) schlieÿlich folgenden Zusammenhang: P = (h ) m (c=n)s (2) Mit typischen Parametern sowohl für kantenemittierende als auch ächenemittierende (VCSEL) Halbleiterlaser ( m ' 28=cm, c=n = m=s, = ; 55m) gilt beispielsweise S = 40:000 [P=mW ], so daÿ sich dann für eine emittierte Leistung von 5 mw immerhin Photonen im Laserresonator benden und damit n sp in der Bilanzgleichung (8) im allgemeinen vernachlässigt werden kann (n sp bestimmt allerdings ganz wesentlich das Rauschverhalten von Laserdioden und Laserverstärkern)..2 Bilanzgleichung für die Ladungsträger Für die Bilanz der Ladungsträgerdichte n gilt: dn dt = I ev R(n) r st S=V (3) Dabei bezeichnet der erste Term auf der rechten Seite (I - Injektionsstrom, e - Elementarladung, V - Volumen der aktiven Zone) die Anzahl der in die aktive Zone injizierten Ladungsträger pro Volumen und Zeit. Der zweite Term R(n) beschreibt die spontane und die nichtstrahlende Ladungsträgerrekombination. Der dritte Term beschreibt schlieÿlich den Ladungsträgerverbrauch aufgrund der stimulierten Emission.

3 MOD/3 R(n) kann entwickelt werden um die Ladungsträgerdichte n = n s (n s - Ladungsträgerdichte oberhalb der Laserschwelle) entsprechend: R(n) = R(n s ) + dr dn (n n s) = R(n s ) + e (n n s ) (4) mit der Elektronenlebensdauer e = (dr=dn). Mit dem Schwellstrom I s = e V R(n s )läÿt sich (3) umschreiben: dn dt = I I s (n ev e n s ) G S=(V ph ); (5) wobei noch zusätzlich die normierte Verstärkung eingeführt wurde. G = r st ph = g=g s (6) 2 Einschaltverhalten von Halbleiterlasern Idealerweise würde sich die emittierte Leistung bei moduliertem Strom durch Spiegelung an der Licht/Strom-Kennlinie ergeben, wie dies in Abb. schematisch dargestellt ist. Das dynamische Modulationsverhalten ist aber komplizierter, und zunächst soll die Reaktion des Lasers auf einen Stromsprung von I 0 (I 0 < I S ) auf I (I > I S ) analysiert werden. Entsprechend Abb. 2 führt der Unterlegstrom I 0 zunächst zu einer Ladungsträgerdichte n 0 < n S. Wird nun der Strom sprunghaft auf I erhöht, steigt die Ladungsträgerdichte allmählich (bestimmt durch die Elektronenlebensdauer e in Gl. (5)) bis auf n = n S an, wo die Laserschwelle erreicht wird und die Laseremission einsetzt. Das Einsetzen der Laseremission ist dann begleitet von Relaxationsoszillationen der Frequenz f r. Diese Relaxationsoszillationen entstehen aufgrund des Wechselspiels zwischen der Dynamik der Photonen (ausgedrückt durch die Photonenlebensdauer ph von einigen ps) und die Ladungsträgerdynamik (ausgedrückt durch die Ladungsträgerlebensdauer e in der Gröÿenordnung von ns). Das dynamische Verhalten wird damit bestimmt durch die Einschaltverzögerung t S und die Relaxationsoszillationen der Frequenz f r. 2. Einschaltverzögerung Die Einschaltverzögerung t S bezeichnet die Zeit, die vergeht, bis die Ladungsträgerdichte n S erreicht wird. Während dieser Zeit ist die Photonenanzahl im Laserresonator noch sehr gering (S 0).Zur Zeit t=0 werde der Strom von I 0 < I S auf I > I S geschaltet, und als Lösung von Gl. (5) (für S=0) ergibt sich für t t S : n(t) Im Kapitel HL war vereinfachend R(n) = n= e gesetzt worden n S = e ev [(I I S ) (I I 0 )exp( t= e )] (7)

4 MOD/4 Abb. : Ideales Modulationsverhalten eines Halbleiterlasers Für t = t S gilt n(t S ) = n S woraus sich die Einschaltverzögerung t S aus Gl. (7) für t = t S ergibt: t S = e ln I I 0 I I S ; (I 0 < I S, I > I S ) (8) Die Einschaltverzögerung verschwindet für I 0 = I S.Deshalb ist eine Regelung für den Unterlegstrom I 0 erforderlich, um Schwankungen des Schwellstroms I S z.b. aufgrund von Temperaturschwankungen auszugleichen. Sie verschwindet auch für Unterlegströme I 0 > I S, allerdings ist man im allgemeinen an einem möglichst hohen Extinktionsverhältnis P =P 0 interessiert, weshalb I 0 möglichst nahe am Schwellstrom I S liegen sollte. Um auf jegliche Regelung des Vorstroms I 0 zu verzichten, ist man gelegentlich auch an einem vorstromfreien Betrieb (I 0 = 0) des Lasers interessiert. Für I =I S >> können sich u.u. genügend kleine Einschaltverzögerungen ergeben. Aus Gl. (8) folgt für I 0 = 0 und I =I S >> : t S = e I I S Der vorstromfreie Betrieb ist im allgemeinen auf Bitraten B Gbi t=s beschränkt, um B t S << zu gewährleisten. (9)

5 2 J J J Einführung in die optische Nachrichtentechnik MOD/5 = 2 J 5 B H 2 5 >? Abb. 2: Einschaltverhalten eines Halbleiterlasers (Injektionsstrom (a), Emittierte optische Leistung (b), Ladungsträgerdichte (c)) 3 Kleinsignalmodulationsverhalten Das Modulationsverhalten wird mit den Gl. (8), (5) durch 2 gekoppelte nichtlineare Dierentialgleichungen beschrieben. Für einen einfachen Überblick ist es zweckmäÿig, die Bilanzgleichungen um einen festen Arbeitspunkt herum zu linearisieren: I = I 0 + Re( Iexp(j! m t)) (20) S = S 0 + Re( Sexp(j! m t)) (2) n = n 0 + Re( nexp(j! m t)) (22) mit j n j<< n 0 ; j S j<< S 0 ; j I j<< I 0. Hier soll der Strom im Arbeitspunkt I 0 > I S gewählt sein und S 0, n 0 bezeichnen die Photonenanzahl bzw. die Ladungsträgerdichte für I = I 0. Wie schon in Gl. (5) wird auch in Gl. (8) die normierte Verstärkung G = r st ph eingeführt, wobei zusätzlich noch berücksichtigt werden soll, daÿ aufgrund optisch nichtlinearer Eekte bei extrem hohen Photonenanzahlen die Verstärkung abnimmt, so daÿ für G in Erweiterung von Gl. (6) geschrieben

6 MOD/6 werden kann G = r st ph ( s S) (23) Man kann typischerweise davon ausgehen, daÿ bei einer Photonendichte S 0 = S=V = 0 6 cm 3 die Verstärkung um ca. 0 Prozent zurück geht, also s S = 0: für S=V = 0 6 cm 3 und damit s ( =V )0 7 cm 3. Wenn man n sp in Gl. (8) noch vernachlässigt, gilt ph ds dt Die Linearisierung von Gl. (24) mit (2), (22) ergibt: = (G(n; S) )S (24) j! m ph S = S n s S) (25) wobei bereits von und G(n 0 ; S 0 ) = Gebrauch gemacht wurde. Entsprechend ergibt sich aus Gl. (5) für die Ladungsträgerbilanz: j! m n = I ev n e S V ph S 0 V n s S): (26) Wenn die rechte Seite von Gl. (25) in Gl. (26) eingesetzt wird, führt dies auf: (j! m + = e ) n = I ev S V (j! m + = ph ) (27) Wir sind an der Übertragung vom modulierten Strom I zur modulierten Lichtleistung bzw. Photonenanzahl S interessiert, wozu Gl. (25) nach n aufgelöst und in Gl. (27) für n eingesetzt wird, so daÿ von den Kleinsignalgröÿen nur I und S verbleiben und eine Übertragungsfunktion H(j! m ) formuliert werden kann: (Annahme bei der Berechnung: s = e << (@G=@n)=( ph V )) S I = ph e H(j! m) (28) mit H(j! m ) = + j! m =! d + (j! m =! r ) 2 : (29) Dabei ergeben sich = K! d (2) 2 + e! r 2 (30) K ist eine arbeitspunktunabhängige Konstante (auch bezeichnet als 'modulation K-factor'), die gegeben ist als Mit G = g=g s, g = K (2) 2 = ph + s V g st, g s = s + m sowie ph gemäÿ Gl. (7) läÿt sich (3) umschreiben: (3) K (2) 2 = ( s V= ) ph + (@g st =@n)(c=n) (32)

7 MOD/7 Der Faktor K ist damit durch relativ universelle Gröÿen festgelegt. So ergibt sich mit ( s V= ) = 0 7 cm 3 (vgl. unterhalb Gl. st =@n = cm 2 (siehe Seite HL/3) und c=n = m=s K (2) 2 = ph + 4ps (33) ph ist typischerweise in der Gröÿenordnung von ca. ps, so daÿ sich daraus insgesamt ein K 0; 2ns (34) ergibt. Wie weiter unten gezeigt, sollte K für schnell modulierbare Laser so klein wie möglich sein, wobei aber einer Verringerung von K enge physikalische Grenzen gesetzt sind. Die verbleibende Gröÿe! r in Gl. (29), (30) ist gegeben durch! r S 0 (35) ph V und bezeichnet die Relaxationsresonanzfrequenz (f r =! r =2). Wenn man wie bei Gl. st g st s + = ph einführt, läÿt sich für die Relaxationsresonanzfrequenz f r =! r =2 aus Gl. (35) auch schreiben f r (S =V )(c=n) (37) ph Die Relaxationsresonanzfrequenz hängt damit unmittelbar mit der Photonendichte S 0 = (S =V ) im Laserresonator zusammen. Wie schon bei Gl. (23) erwähnt, liegt die maximale Photonendichte im Laserresonator bei ca. 0 6 cm 3, so daÿ sich mit ph = ps, c=n = st =@n = cm 2 eine maximale Relaxationsresonanzfrequenz von ca. ergibt. 4 Diskussion des Modulationsverhaltens (36) f r j max 25GHz (38) Die Übertragungsfunktion H(j! m ) gemäÿ Gl. (29) ist in Abb. 3 dargestellt. Klar zu erkennen ist die Resonanz bei! r (vergl. auch Abb. 2), die allerdings mit zunehmendem! r weniger ausgesprägt ist.! r ist gemäÿ Gl. (37) arbeitspunktabhängig und nimmt mit zunehmender Photonenanzahl (bzw. emittierter optischer Leistung) zu. Für! r! ist die Grenzfrequenz durch f g =! d =2 bzw. gemäÿ Gl. (30) durch f g;max = 2=K (39)

8 & $ " Einführung in die optische Nachrichtentechnik * > A H J H = C K C I B K J E 0 M & $ " M M M M # M M " $ M M # & H E A H J K = J E I B H A G K A M Abb. 3: Kleinsignalmodulationsverhalten von Halbleiterlasern gegeben, wofür sich mit Gl.(34) f g;max 30GHz (40) ergibt, was ca. die maximal mögliche Modulationsbandbreite eines Halbleiterlasers angibt. Mit digitalen binären Signalen und dem geforderten hohen Ein/Aus-Verhältnis ist eine direkte Laser- Modulation bis zu Bitraten von ca. 0 Gbit/s möglich. Es muÿ jedoch berücksichtigt werden, daÿ bei der Lasermodulation nicht nur die optische Leistung, sondern auch die optische Emissionsfrequenz moduliert wird (chirp), worunter die Übertragung bei einer Langstreckenübertragung leidet, vergleiche auch die Diskussion in Kapitel ÜB, Abschnitt 3.2. Typische Halbleiterlaser weisen dabei einen chirp- Parameter ch 2:::6 auf. Wegen dieser chirp-probleme werden bei Langstreckensystemen und Kanalraten > 0Gbi t=s überwiegend externe Modulatoren (entweder interferometrisch oder durch Elektroabsorption) eingesetzt, die bis ca. 40 Gbit/s verfügbar sind. Neben der inneren Dynamik des Lasers, ausgedrückt durch die Bilanzgleichungen, ist die Modulationsbandbreite auch durch parasitäre elektrische Bauelemente begrenzt. In der einfachsten Form ist das E A H A = I A A Abb. 4: Prinzipielles Ersatzschaltbild eines Halbleiterlasers elektrische Ersatzschaltbild eines Lasers in Abb. 4 dargestellt (ohne Berücksichtigung der Zuleitungs-

9 MOD/9 induktivitäten), wobei sich mit C s ; R s ein Tiefpaÿverhalten mit einer Grenzfrequenz f g;el = 2C s R s (4) ergibt. Bei Lasern mit einer geringen parasitären Kapazität von z.b. C s = 0:5pF ergibt sich z.b. mit R s = 0 ein f g;el 30GHz, so daÿ dann die erreichbare Modulationsgrenzfrequenz eher durch die innere Laserdynamik mit! d ;! r bestimmt wird. Hochfrequent modulierbare Laser erfordern auch eine entsprechende Aufbautechnik, wobei das Modulationssignal mit einer Leitung möglichst dicht an den Laser herangeführt wird. Ein Beispiel dazu mit der entsprechenden Modulationscharakteristik zeigt Abb. 5. Abb. 5: Hochfrequent modulierbarer.55m-halbleiterlaser (Quelle: P.A. Morton et. al., Electron. Lett. (30)994, pp )