Institut für Geometrie und Praktische Mathematik Mathematisches Praktikum (MaPra) Sommersemester Aufgabe 5

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1 Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule Institut für Geometrie und Praktische Mathematik Mathematisches Praktikum (MaPra) Sommersemester 01 Prof. Dr. Wolfgang Dahmen Yuanjun Zhang, M.Sc., Dipl.-Math. Jens Berger Aufgabe 5 Bearbeitungszeit: knapp drei Wochen (bis Montag, 11. Juni 01) Testattermin: Donnerstag, der 14. Juni 01 Mathematischer Hintergrund: Berechnung und Zeichnen von Splines Elemente von C++: Schleifen, arrays, Ein-/Ausgabe, Einbinden einer Grafikbibliothek, Strukturen, Klassen 0 Punkte Aufgabenstellung und Verfahren Wie aus Numerikvorlesungen bekannt ist, sind Polynome hohen Grades ein ungeeignetes Mittel, um durch eine große Anzahl gegebener Punkte (x i R l, i = 1... n) eine glatte Kurve zu legen. Man geht daher zu sogenannten Splines über. Die hier benutzten Hermite-Splines (es wird in den Punkten x i auch die dortige Ableitung berücksichtigt) bestehen stückweise aus Polynomen 3. Grades, lassen sich also analytisch wie folgt beschreiben: (1) h i (t) = a i t 3 + b i t + c i t + d i ; 0 t T i, i = 1... n 1, a i, b i, c i, d i R l. Wir nehmen zunächst an, dass außer den x i auch die Ableitungen x i mit x i = 1 für i = 1... n und die T i für i = 1... n 1 gegeben sind. Dann lassen sich die a i, b i, c i und d i aus () h i (0) = x i, h i (T i ) = x i+1, h i (0) = x i, h i (T i ) = x i+1 bestimmen. Lösen Sie als erstes dieses lineare Gleichungssystem. Für die Bestimmung der T i wählen wir statt T i = x i+1 x i, der Standardmethode, einen insbesondere für Geometrieanwendungen wesentlich besser geeigneten Ansatz. Aus (3) ( ) Ti h i = 1 erhält man für T i eine quadratische Gleichung. Wie man leicht sieht, hat diese Gleichung zwei reelle Lösungen die eine positiv, die andere negativ. Für uns ist lediglich die positive Wurzel (4) T i = 6 ( xi ), x i + x i+1 + ( xi, x i ) ( 16 ( ) ) x i + x i+1, x i + x i+1 ( xi, x i + x i+1 ) 16 ( ) x i + x i+1, x i + x i+1 von Interesse, wobei x i := x i+1 x i. Diese Formel sieht schwierig aus, ist aber verhältnismäßig schnell und einfach auszuwerten man beachte das wiederholte Auftreten einiger Terme. Die Wahl der T i gemäß 1

2 (4) bedeutet, dass sie für die einzelnen Splineabschnitte eine Approximation der Bogenlänge im Sinne der Simpsonregel darstellen: l = T i 0 ( x i (t) dt Simpson 1 = (T i 0) 6 x i(0) ( Ti x i ) + 1 ) 6 x i(t i ) = T i Damit haben die hier benutzten Splines drei wertvolle Vorteile gegenüber den üblichen Splines: a.) In der Praxis - insbesondere bei geometrischen Anwendungen - ist oft die Tangente bekannt. Diese kann nun in Form der Ableitung unmittelbar eingehen. b.) Für die einzelnen Splineabschnitte sind die Koeffizienten lokal festgelegt. Das bedeutet, dass man Punkte einfügen kann und nur ein einziger Abschnitt davon beeinflusst wird. Dies ist speziell für interaktives Arbeiten ein enormer Vorteil. c.) Oft müssen Kurven gestrichelt oder strichpunktiert dargestellt werden. Sollen alle Teilstriche gleich lang sein, so benötigt man dazu eine Approximation der Bogenlänge. Diese wird von den Splines mitgeliefert. Bisher haben wir vorausgesetzt, dass die Ableitungen bekannt sind. Da dies nicht immer der Fall ist, wollen wir nun einen Algorithmus zur näherungsweisen Bestimmung der Ableitungen angeben. Die folgenden drei Punkte sollen dabei so gut wie möglich erfüllt werden. a.) Das Ergebnis soll eine glatte Kurve sein. b.) Die Änderung eines Punktes oder einer Ableitung soll sich nur lokal auswirken. c.) Die Berechnung soll einfach, d.h. schnell, durchführbar sein. Ein weiterer Punkt ist die Reproduktion von geraden Teilstücken. Das ist hier natürlich automatisch gegeben, da der Algorithmus auf Interpolation mit Polynomen vom Grad 3 basiert. Sieht man sich die Formeln für T i, a i und b i genauer an, so stellt man leich fest: Für x i = x i+1 = x i x i ist T i = x i und somit a i = b i = 0. Der Spline ist in diesem Fall also ein Geradenstück. Die durch den nun folgenden Algorithmus produzierten Ableitungen führen zu einem Spline, der die oben erwähnten Eigenschaften hat. (x 1, x, x 3 ), falls i = 1 ( ) Setze (a, b, c) := xn, x n 1, x n, falls i = n ( ) xi 1, x i, x i+1, sonst. Interpoliere ( b a, a), (0, b), ( c b, c) komponentenweise (quadratisch) p. p ( b a ), falls i = 1 Setze x i := p ( c b ), falls i = n p (0), sonst. Normiere x i. Bemerkungen: a.) Da bei allen Überlegungen nirgends die Dimension eingegangen ist, gelten alle Resultate im R l, insbesondere also im R und R 3.

3 b.) Bei der Schätzung der Ableitung muss man voraussetzen, dass der Spline aus mindestens drei Punkten besteht. Besteht er nur aus zwei Punkten und ist genau eine der Ableitungen bekannt, so lässt sich die im obigen Algorithmus beschriebene quadratische Interpolation damit noch durchführen. c.) Ist x 1 unbekannt, so kann der Fall i = 1 durch Angabe eines Punktes x 0 in den Fall sonst umgewandelt werden. Dies gilt analog auch für unbekanntes x n. So läßt sich das Aussehen zyklischer Splines entscheidend verbessern, indem man x 0 :=x n 1 und x n+1 :=x setzt. In Figur 1 ist eine Ellipse mittels 8 Ellipsenpunkten (ohne Tangenten) einmal mit und einmal ohne die gerade beschriebene Umwandlung durch einen Spline approximiert worden. Zum Vergleich ist auch die Ellipse (gestrichelt) eingezeichnet. P=P9 P1=P8 P0=P7 Da man auf einem Ausgabegerät nur Strecken zeichnen kann, sind endliche Unterteilungen der Intervalle [0,T i ] (der Index i wird bei den t s unterdrückt) (5) 0 = t 0 < t 1 <... < t j <... < t m = T i gesucht, so dass bei linearer Interpolation (6) l j (s) = x(t j ) + s (x(t j+1 ) x(t j )), 0 j < m für jedes j der Interpolationsfehler R (j) kleiner oder gleich einem vorgegebenen ε ist. Weiterhin soll m möglichst klein sein. Dazu benutzen wir die aus der Numerik bekannte Abschätzung (7) R (j) (t j+1 t j ) max 8 x(t) t [t j,t j+1 ] =: K j [1] Wir müssen also K j ε erreichen. Da aus (1) (8) x i (t) = 6 a i t + b i, 0 t T i folgt, lässt sich ein rekursiver Algorithmus wie folgt formulieren: 3

4 PlotSpline ( t 0, t 1, z 0, z 1 ) // rekursiv { z = max{z 0, z 1 }; ( ) (t 1 t 0 ) if z ε plot(h(t 0 ) h(t 1 )); // add Polygonpunkt 8 else { } t = t 0+t 1 ; z = 6 a i t + b i ; PlotSpline(t 0, t, z 0, z); PlotSpline(t, t 1, z, z 1 ); } Aufruf: PlotSpline(0, T i, b i, 6 a i T i + b i ) Schnittstellen Sie sollen nun ein Programm schreiben, das zu vorgegebenen Punkten x i und optional gegebenen Ableitungen x i den oben beschriebenen Spline berechnet und durch ein Polygon approximiert. Die Programmgliederung sieht wie folgt aus: GetDaten, Ableitungen berechnen und normieren, Spline berechnen; TestSpline, Spline durch Polygonzug approximierem und mittels PlotOut ausgeben (benutzen Sie das Schema der obigen rekursiven Prozedur PlotSpline, sammeln sie die Ecken des Polygons in einem array bis Sie AnzMaxPlot viele Ecken haben, vergessen Sie den letzten Aufruf von PlotOut nicht), TheEnd (schließt alles ab). In der Funktion PlotOut gibt die Variable Anzahl die Anzahl der Eckpunkte des Polygons an, das zu zeichnen ist. Ist eine Ableitung nicht bekannt, so wird als Ableitung der Nullvektor übergeben. In Beispiel 1 sind sämtliche Ableitungen gegeben, in Beispiel zumindest die Äußeren (1 und anzknoten). Achtung: Die Ableitungen sind nicht normiert! Um den Code für diese Programm schreiben zu können, benötigen Sie eine Klasse, die Vektoren der Länge zwei und all die Operationen, die mit ihnen durchgeführt werden müssen, modelliert. Modifizieren Sie hierzu die von Ihnen geschriebene Vektorklasse aus Aufgabe 4 wie folgt: a.) Kommentieren Sie die Funktion ReDim aus. b.) Sorgen Sie dafür, dass jeder Konstruktor die Länge des Objekts auf festschreibt. Stellen Sie also insbesondere auch keinen Konstruktor mehr bereit, der eine Längenangabe erwartet. Stellen Sie anstelle dessen einen Konstruktor bereit, der als übergebene Parameter zwei double-werte erwartet, die der X- und der Y-Koordinate des Vektors entsprechen sollen. c.) Die von uns bereitgestellte Objektdatei unit5.o erwartet in Ihrer Vektor-Klasse öffentliche Memberfunktionen der Form double getx () const ; und double gety () const ; 4

5 also sogenannte getter. Diese Methoden sind dazu da, um externen Funktionen einen Lesezugriff auf die privaten Daten der Vektor-Klasse zu ermöglichen (es wäre auch möglich den überladenen Operator mit den runden Klammern zu benutzen, aber das soll hier nicht geschehen). d.) Desweiteren soll aus Gründen der Komfortabilität eine Funktion geschrieben werden, die außerhalb der Klasse lebt und den Abstand von zwei übergebenen Vektoren bezüglich der euklidischen Norm zurückgibt: double Distance ( const Vektor &, const Vektor &); Diese Funktion muss kein Freund der Klasse sein. Nach diesen Modifikationen ist die Vektorklasse kompatibel mit der von uns bereitgestellten Objektdatei. Darüberhinaus ist sie natürlich von sich aus in der Lage alle benötigten Vektoroperationen durchzuführen, so dass die Aufgabe nun problemlos gelöst werden kann. Literatur [1] Dahmen, W. und A. Reusken: Numerische Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Springer Verlag, Heidelberg,. Auflage,