Einführung in die Theorie der Kleinschen Gruppen. Katharina und Lutz Habermann

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1 Einführung in die Theorie der Kleinschen Gruppen Katharina und Lutz Habermann Juli 1999

2 Inhaltsverzeichnis 1 Vorbereitungen Grundlagen aus der komplexen Analysis Gruppen Möbius-Transformationen Die Automorphismen der Riemannschen Zahlenkugel Die Automorphismen der komplexen Ebene Die Automorphismen der Einheitskreisscheibe und der oberen Halbebene Fixpunkte und Normalformen Kleinsche Gruppen Definition und Beispiele Abgeschlossenheit und Diskretheit

3 Kapitel 1 Vorbereitungen 1.1 Grundlagen aus der komplexen Analysis Im folgenden sei U eine offene Teilmenge der komplexen Zahlenebene. Für r > 0 und z 0 C sei B r (z 0 := {z C : z z 0 < r}, B r (z 0 := {z C : z z 0 r} und S r (z 0 := {z C : z z 0 = r}. Dabei sei S r (z 0 positiv, d.h. entgegengesetzt dem Uhrzeigersinn orientiert. Definition Eine Abbildung f : U C heißt holomorphe Funktion, falls f an jeder Stelle z U komplex differenzierbar ist, d.h., falls für jedes z U existiert. f (z := lim h 0 f(z + h f(z h Für eine holomorphe Funktion f : U C und n N 0 := {0, 1, 2,...} bezeichne f (n die n-te komplexe Ableitung von f. Insbesondere ist f (0 = f und f (1 = f. Satz (Cauchysche Integralformel Sei f : U C holomorph. Ist B r (z 0 U, so gilt f (n (z 0 = n! f(z 2πi S r(z 0 (z z 0 n+1 dz für n N 0. Bemerkung Mittels der Parametrisierung ϕ : t [0, 2π] z 0 +re it S r (z 0 erhält man, daß f(z 2π f(z 0 + re it dz = i S r(z 0 (z z 0 n+1 0 r n e itn dt. 2

4 Aus Satz erhält man unmittelbar Folgerung (Cauchysche Abschätzung Sei f : U C holomorph und B r (z 0 U. Dann gilt f (n (z 0 n! r n max{ f(z : z S r(z 0 } für jedes n N 0. Satz (Satz von Liouville Ist f : C C holomorph und beschränkt, so ist f konstant. Beweis. Da f beschränkt ist, ist M := sup{ f(z : z C} <. Da f auf ganz C holomorph ist, impliziert die Cauchysche Abschätzung für n = 1, daß f (z M r für alle z C und alle r > 0. Also ist f 0 und somit f konstant. Bemerkung Nach Weierstrass heißen holomorphe Funktionen f : C C ganze Funktionen. Satz (Entwicklungssatz von Cauchy-Taylor Sei f : U C holomorph, und sei B r (z 0 U. Dann konvergiert die Taylor-Reihe von f um z 0, d.h. die Potenzreihe auf B r (z 0, und es gilt n=0 f(z = a n (z z 0 n mit a n = f (n (z 0 n! a n (z z 0 n für alle z B r (z 0. n=0 Satz (Identitätssatz Sei U C zusammenhängend und offen, und seien f, g : U C holomorph. Hat die Menge {z U : f(z = g(z} einen Häufungspunkt in U, so gilt f = g. Satz (Gutzmersche Formel Sei f(z = n=0 a n(z z 0 n eine Potenzreihe mit Konvergenzradius s > 0. Dann gilt für r mit 0 < r < s: n=0 a n 2 r 2n = 1 2π f(z 0 + re it 2 dt (max{ f(z : z S r (z 0 } 2. 2π 0 3

5 Beweis. Zunächst bemerken wir, daß für m, n N 0 : 2π { e it(n m 0 für m n dt = 2π für m = n 0 Da f(z 0 + re it = a n r n e itn n=0 und da diese Reihe gleichmäßig in t konvergiert, folgt 2π 0 f(z 0 + re it e itm dt = 2π a n r n e it(n m dt = 2πa m r m. (1.1.1 Weiter ist f(z 0 + re it 2 = f(z 0 + re it f(z 0 + re it = ā n r n f(z 0 + re it e itn. Da diese Reihe wiederum gleichmäßig in t konvergiert, können wir mittels ( π 0 ableiten. Die Abschätzung f(z 0 + re it 2 dt = n=0 n=0 0 0 n=0 2π ā n r n f(z 0 + re it e itn dt = 2π a n 2 r 2n n=0 ist trivial. 2π 0 f(z 0 + re it 2 dt 2π (max{ f(z : z S r (z 0 } 2 Satz (Maximumprinzip Sei U C zusammenhängend und offen und f : U C holomorph. Hat f in z 0 U ein lokales Maximum, d.h., existiert eine Umgebung U 0 U von z 0 mit f(z 0 f(z für alle z U 0, (1.1.2 so ist f konstant. Beweis. Da f holomorph ist, können wir f nach Satz in einer Umgebung von z 0 als Potenzreihe f(z = a n (z z 0 n n=0 darstellen. Nach Satz gilt dann für kleine r > 0 a a n 2 r 2n (max{ f(z : z S r (z 0 } 2. n=1 Andererseits folgt aus (1.1.2, daß a 0 max{ f(z : z S r (z 0 }. 4

6 Somit muß gelten, was wiederum impliziert. Wir erhalten, daß a n 2 r 2n 0 n=1 a n = 0 für n N f(z = a 0 für z B r (z 0. Da U zusammenhängend ist, folgt mit Hilfe von Satz 1.1.8, daß f a 0 auf U. Sei z 0 U, und sei f : U \ {z 0 } C holomorph. Definition z 0 heißt hebbare Singularität von f, falls f zu einer holomorphen Funktion auf U fortgesetzt werden kann. z 0 heißt Pol von f, falls z 0 keine hebbare Singularität ist und ein solches n N existiert, daß die Funktion (z z 0 n f(z holomorph auf U fortgesetzt werden kann. Ist z 0 weder eine hebbare Singularität noch ein Pol von f, so heißt z 0 wesentliche Singularität von f. Satz (Hebbarkeitssatz z 0 ist genau dann eine hebbare Singularität der holomorphen Funktion f : U \ {z 0 } C, wenn es eine solche Umgebung U 0 U von z 0 gibt, daß f auf U 0 \ {z 0 } beschränkt ist. Satz (Satz von Casorati-Weierstrass Sei z 0 U, und sei f : U \ {z 0 } C holomorph. Ist z 0 eine wesentliche Singularität von f, so existiert zu jedem a C eine Folge (z n in U \ {z 0 } mit lim n z n = z 0 und lim n f(z n = a. Beweis. Wir nehmen an, daß die Aussage falsch ist. Dann existieren ein a C, eine Umgebung U 0 U von z 0 und ein ε > 0 mit Wir setzen f(z a ε für alle z U 0 \ {z 0 }. g(z = 1 f(z a. Dann ist g holomorph und beschränkt auf U 0 \ {z 0 }. Also ist z 0 nach Satz eine hebbare Singularität von g. Dies impliziert im Widerspruch zur Voraussetzung, daß f(z = a + 1 g(z im Fall lim z z0 g(z 0 eine hebbare Singularität und im Fall lim z z0 g(z = 0 einen Pol in z 0 hat. 5

7 1.2 Gruppen Definition Eine Gruppe ist ein Paar (G, bestehend aus einer nichtleeren Menge G und einer binären Operation (g 1, g 2 G G g 1 g 2 G mit: (i Für alle g 1, g 2, g 3 G gilt g 1 (g 2 g 3 = (g 1 g 2 g 3. (ii Es existiert ein Element e G mit der Eigenschaft, daß e g = g e = g für alle g G. (iii Zu jedem g G existiert ein Element g 1 G mit g g 1 = g 1 g = e. e wird neutrales oder Einselement von G genannt, g 1 heißt inverses Element von g. Bemerkung (i Für eine Gruppe (G, sind das Einselement e und das inverse Element g 1 von g G eindeutig bestimmt. (ii Statt g 1 g 2 werden wir häufig g 1 g 2 schreiben. Beispiel R + := (0,, R := R \ {0}, C := C \ {0} und U(1 := {z C : z = 1} sind mit der Multiplikation als binäre Operation Gruppen. Beispiel Die bijektiven Abbildungen f : X X bilden zusammen mit der Verknüpfung von Abbildungen, d.h. mit f 1 f 2 := f 1 f 2, wobei f 1 f 2 (x := f 1 (f 2 (x für x X, eine Gruppe. Lemma Die Menge {( a b SL(2, C := c d ist mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe. } : a, b, c, d C und ad bc = 1 Beweis. Die Eigenschaft (i aus Definition erhält man durch direktes Nachrechnen. Außerdem sieht man sofort, daß mit ( 1 0 e := 0 1 die Bedingung (ii erfüllt wird. Schließlich ist ( 1 ( a b d b = c d c a 6 für ( a b SL(2, C. c d

8 Definition Sei (G, eine Gruppe. Eine Teilmenge H G heißt Untergruppe von (G,, falls folgendes gilt: (i Sind g 1, g 2 H, so ist auch g 1 g 2 H. (ii Ist g H, so ist auch g 1 H. Bemerkung Ist H eine Untergruppe von (G,, so ist H mit der Einschränkung der binären Operation auf H eine Gruppe. Beispiel Die Menge {( a b SL(2, R := c d } : a, b, c, d R und ad bc = 1 ist eine Untergruppe von SL(2, C. Definition Eine Abbildung f : G H zwischen Gruppen G und H heißt Gruppenhomomorphismus, falls f(g 1 g 2 = f(g 1 f(g 2 für alle g 1, g 2 G gilt. Beispiel Die Abbildungen z U(1 z n U(1 für ein n N und sind Gruppenhomomorphismen. z U(1 ( z 0 0 z SL(2, C 7

9 Kapitel 2 Möbius-Transformationen 2.1 Die Automorphismen der Riemannschen Zahlenkugel Sei Ĉ die disjunkte Vereinigung von C und { }, Ĉ := C { }. Mittels stereographischer Projektion können wir Ĉ als Riemannsche Zahlenkugel verstehen. Ist nämlich S2 die Einheitssphäre in C R = R 3, d.h. S 2 := {(ζ, ξ C R : ζ 2 + ξ 2 = 1}, so wird durch ζ für (ζ, ξ (0, 1 σ(ζ, ξ := 1 ξ für (ζ, ξ = (0, 1 eine bijektive Abbildung σ : S 2 Ĉ definiert. Die inverse Abbildung von σ ist durch ( 2z σ 1 (z := z 2 + 1, z 2 1 z 2 für z C + 1 (0, 1 für z = gegeben. Wir definieren die Abbildung s : Ĉ Ĉ durch 1 für z C := C \ {0} s(z := z 0 für z = für z = 0 Offensichtlich ist s s = idĉ und folglich s 1 = s. Um von stetigen Abbildungen f : Konvergenzbegriff auf Ĉ ein. Ĉ Ĉ reden zu können, führen wir folgendermaßen einen Definition Eine Folge (z n in Ĉ konvergiert gegen z Ĉ, falls die Folge (σ 1 (z n in S 2 gegen σ 1 (z konvergiert, d.h., falls lim σ 1 (z σ 1 (z n = 0. n 8

10 Bemerkung Da die Einschränkung σ S 2 \{(0,1} : S2 \ {(0, 1} C von σ auf S 2 \ {(0, 1} ein Homöomorphismus ist, verallgemeinert Definition den Konvergenzbegriff von C, d.h., eine Folge (z n in C Ĉ konvergiert genau dann gegen z C im Sinne von Definition 2.1.1, wenn lim z z n = 0. n Außerdem sieht man, daß eine Folge (z n komplexer Zahlen z n genau dann gegen Ĉ konvergiert, wenn lim n z n =. Definition Sei f : Ĉ Ĉ stetig. (i Ist z C und f(z C, so heißt f komplex differenzierbar in z, falls f(z + h f(z lim h 0 h existiert. Ist z C und f(z =, so heißt f komplex differenzierbar in z, falls s f in z komplex differenzierbar ist. f heißt komplex differenzierbar in, falls f s komplex differenzierbar in 0 ist. (ii f heißt holomorph, falls f in jedem z Ĉ komplex differenzierbar ist. Bemerkung Nach Definition ist f : Ĉ Ĉ genau dann eine holomorphe Abbildung, wenn wobei Ĉ := Wir setzen jetzt f C f 1 (C : C f 1 (C C, s f C f 1 (Ĉ : C f 1 (Ĉ C, f s C s f 1 (C : C s f 1 (C C und s f s C s f 1 (Ĉ : C s f 1 (Ĉ C, Ĉ\{0}, holomorphe Funktionen sind. Insbesondere ist s eine holomorphe Abbildung. Aut(Ĉ := {f : Ĉ Ĉ : f ist bijektiv und f und f 1 sind holomorph}. Bemerkung Da die Verknüpfung holomorpher Abbildungen wieder holomorph ist, ist Aut(Ĉ mit der Verknüpfung eine Gruppe. Aut(Ĉ wird Gruppe der holomorphen Transformationen von Ĉ oder Automorphismengruppe von Ĉ genannt. 9

11 Im Rest dieses Abschnitts wollen wir Aut(Ĉ explizit beschreiben, d.h., wir wollen alle Elemente von Aut(Ĉ auflisten. Sei ( a b γ = SL(2, C. c d Wir definieren eine stetige Abbildung L γ : Ĉ Ĉ durch L γ (z := az + b cz + d. (2.1.1 Zunächst ist die rechte Seite von (2.1.1 nur definiert, wenn z C und cz + d 0. Ist cz + d = 0, so ist az + b 0, denn sonst wäre ad bc = acz + ad acz bc = a(cz + d c(az + b = 0 im Widerspruch zu ad bc = 1. Also impliziert die Forderung, daß L γ stetig sein soll, daß Aus der Stetigkeit von L γ folgt außerdem, daß L γ (z =, falls cz + d = 0. az + b a + b L γ ( = lim z cz + d = lim z z c + d z und somit { a falls c 0 L γ ( = c falls c = 0 Bemerkung Die oben definierten Abbildungen werden Möbius-Transformationen genannt. Lemma Für alle γ 1, γ 2 SL(2, C gilt L γ1 γ 2 = L γ1 L γ2. Beweis. Sei Dann ist und ( a1 b γ 1 = 1 c 1 d 1 ( a2 b und γ 2 = 2 c 2 d 2 ( a1 a γ 1 γ 2 = 2 + b 1 c 2 a 1 b 2 + b 1 d 2 c 1 a 2 + d 1 c 2 c 1 b 2 + d 1 d 2 ( a2 z + b 2 L γ1 L γ2 (z = L γ1 c 2 z + d 2 = a 1 a 2 z + b 2 c 2 z + d 2 + b 1 c 1 a 2 z + b 2 c 2 z + d 2 + d 1. 10

12 = a 1(a 2 z + b 2 + b 1 (c 2 z + d 2 c 1 (a 2 z + b 2 + d 1 (c 2 z + d 2 = (a 1a 2 + b 1 c 2 z + a 1 b 2 + b 1 d 2 (c 1 a 2 + d 1 c 2 z + c 1 b 2 + d 1 d 2 = L γ1 γ 2 (z. Satz Für alle γ SL(2, C ist L γ Aut(Ĉ. Beweis. Für jedes γ SL(2, C ist L γ bijektiv. Nach Lemma ist nämlich L γ 1 Abbildung zu L γ. Demzufolge müssen wir nur noch zeigen, daß L γ für jedes ( a b γ = SL(2, C c d die inverse holomorph ist. Dies folgt aber aus Bemerkung und der Tatsache, daß die Einschränkungen von L γ (z = az + b cz + d, s L γ(z = cz + d az + b, auf C rationale Funktionen sind. L γ s(z = bz + a dz + c Aus Satz folgt insbesondere, daß jede Abbildung z C αz C und s L γ s(z = dz + c bz + a für ein α C zu einem Automorphismus von Ĉ fortgesetzt werden kann. Setzen wir nämlich ( a 0 γ := 0 a 1 mit a 2 = α, so ist γ SL(2, C und Umgekehrt haben wir L γ (z = a 2 z = αz. Lemma Sei f Aut(Ĉ mit f(0 = 0 und f( =. Dann existiert ein α C mit f(z = αz für z C, d.h., es ist f = L γ mit γ := ( a 0 0 a 1 für ein a C. Beweis. Wegen f( = ist f(c = C. Die Einschränkung von f auf C ist also eine bijektive holomorphe Funktion von C auf C, deren inverse Funktion ebenfalls holomorph ist. Sei a n z n n=0 11

13 die Potenzreihenentwicklung von f in 0. Dann ist a 0 = f(0 = 0. Da f (0 = f ( f 1 (0 = gilt außerdem a 1 = f (0 0. Also wird durch eine holomorphe Funktion f : C C mit F (z := f(z z 1 (f 1 (0, F (0 = a 1 0 (2.1.2 definiert. Da für f := s f s ebenfalls f(0 = 0 und f( = gilt, können wir analog schließen, daß F (z := f(z z eine holomorphe Abbildung F : C C mit liefert. Für z C haben wir F (z = f(z z Aus (2.1.3 und (2.1.4 folgt, daß lim F (z = lim z z = f s ( 1 z = z 1 F ( 1 z F (0 0 ( z s f s ( 1 z = 1 = lim 1 w 0 F (w = 1 F (0 <. F (. ( z Also ist die holomorphe Funktion f : C C beschränkt. Nach dem Satz von Liouville ist dann F konstant α C und somit f(z = αz für alle z C. Wegen (2.1.2 gilt schließlich α 0. Lemma Für alle z, w Ĉ existiert ein γ SL(2, C mit Beweis. Wir nehmen zunächst an, daß w = 0. Dann gilt (2.1.5 für ( 1 z γ :=, 0 1 L γ (z = w. (2.1.5 falls z C, und für falls z =. γ := ( 0 i i 0, 12

14 Sei nun w Ĉ beliebig. Wie wir eben gesehen haben, existieren γ 1, γ 2 SL(2, C mit L γ1 (z = 0 und L γ2 (w = 0. Wir setzen γ := γ 1 2 γ 1 und schließen mit Hilfe von Lemma 2.1.7, daß L γ (z = L 1 γ 2 L γ1 (z = L 1 γ 2 (0 = w. Die Hauptaussage dieses Abschnitts ist Satz Die Automorphismengruppe Transformationen überein. Aut(Ĉ von Ĉ stimmt mit der Gruppe der Möbius- Beweis. Aufgrund von Satz genügt es zu zeigen, daß zu jedem f Aut(Ĉ ein γ SL(2, C mit f = L γ existiert. Sei also f Aut(Ĉ, und sei w := f(. Wir wenden Lemma an und wählen γ 1 SL(2, C derart, daß L γ1 ( = w. Folglich gilt L 1 γ 1 f( =. Sei z := f 1 L γ1 (0. Für haben wir dann woraus die Beziehungen γ 2 := ( 1 z 0 1 SL(2, C L γ2 (z = 0 und L γ2 ( =, L 1 γ 1 f L 1 γ 2 (0 = L 1 γ 1 f(z = 0 und L 1 γ 1 f L 1 γ 2 ( = L 1 γ 1 f( = folgen. Somit können wir Lemma auf L 1 γ 1 L 1 γ 1 f L 1 γ 2 ( f L 1 a 0 γ 2 = L γ3 mit γ 3 = 0 a 1 Aut(Ĉ anwenden und erhalten, daß für ein a C. Also ist f = L γ1 L γ3 L γ2 = L γ1 γ 3 γ 2. Unsere bisherigen Überlegungen (vgl. Lemma 2.1.7, Satz und Satz zeigen, daß die Abbildung γ SL(2, C L γ Aut(Ĉ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus ist. Für diesen Homomorphismus gilt außerdem Lemma Für γ 1, γ 2 SL(2, C ist L γ1 = L γ2 genau dann, wenn γ 1 = ±γ 2. 13

15 Beweis. Aufgrund von Lemma gilt L γ1 = L γ2 dann und nur dann, wenn L γ1 γ 1 = idĉ. Also 2 genügt es zu zeigen, daß für γ SL(2, C die Relation L γ = idĉ zu äquivalent ist. Sei Ist L γ = idĉ, so gilt und somit Daraus folgt γ = ±e mit e := ( ( a b γ = SL(2, C. c d az + b cz + d = z für z C az + b = (cz + dz, d.h. cz 2 + (d az b = 0 für z C. c = b = 0 und a = d. Nutzen wir nun ad bc = 1, so haben wir außerdem a 2 = 1, d.h. a = ±1. Also ist γ = ±e. Ist umgekehrt γ = ±e, so gilt offensichtlich L γ = idĉ. 14

16 2.2 Die Automorphismen der komplexen Ebene Definition Für eine offene und zusammenhängende Teilmenge U von C sei Aut(U := {f : U U : f ist bijektiv und f und f 1 sind holomorphe Funktionen}. Die Elemente von Aut(U werden holomorphe Transformationen oder Automorphismen von U genannt. Man kann diese Definition für U Abbildungen f : U Ĉ zuläßt. Ĉ formulieren, wenn man in Definition In diesem Abschnitt untersuchen wir die Gruppe Aut(C. Ist ˆf Aut(Ĉ mit ˆf( =, so ist die Einschränkung von ˆf auf C ein Element von Aut(C. Wir werden zeigen, daß man auf diese Weise alle Elemente von Aut(C erhält. Satz Ist f Aut(C, so ist f eine affine Transformation, d.h. von der Gestalt f(z = αz + β mit α C und β C. (2.2.1 Beweis. Sei f Aut(C. Wir zeigen zunächst, daß 0 keine wesentliche Singularität der durch f(z := f(s(z definierten holomorphen Abbildung f : C C ist. Dazu nehmen wir an, daß 0 eine wesentliche Singularität von f ist. Nach dem Satz von Casorati- Weierstrass existiert dann eine Folge (z n in C mit lim z n = 0 und lim f(z n = f(0. n n Da die Folge (z n als konvergente Folge auch beschränkt ist, haben wir z n M für alle n N und ein M > 0. Es folgt, daß wobei Da f injektiv ist, ist f(z n A M für alle n N, A M := f ({ z C : z 1 }. M A M = ( f 1 ({ 1 z C : z 1 }. M Dies und die Stetigkeit von f 1 implizieren, daß A M eine abgeschlossene Teilmenge von C ist. Demzufolge muß f(0 = lim f(z n A M n gelten. Das widerspricht aber der Tatsache, daß f bijektiv ist. Damit haben wir gezeigt, daß 0 eine hebbare Singularität oder ein Pol von f ist. 15

17 Nach dem Entwicklungssatz von Cauchy-Taylor ist f eine auf ganz C konvergente Potenzreihe, also f(z = a n z n für alle z C. Dann ist f(z = n=0 a n z n für alle z C. n=0 Da 0 keine wesentliche Singularität von f ist, existiert ein solches k 0 N 0, daß sich die Abbildung z C z k f(z C für jedes k k 0 holomorph auf C fortsetzen läßt. Folglich ist z k f(z dz = 0 für k k0. S 1 (0 Dies gilt nach dem Cauchyschen Integralsatz. Man erhält diese Aussage aber auch, indem man die Cauchysche Integralformel für n = 0 auf die Funktion z k+1 f(z anwendet. Andererseits ist z k f(z dz = a n z k n dz Wir erhalten, daß S 1 (0 = n=0 a n i n=0 S 1 (0 2π 0 = 2πi a k+1. a k = 0 für k > k 0 e it(k+1 n dt und somit f ein Polynom ist. Nehmen wir o.b.d.a. a k0 0 an, so haben wir k 0 k 0 f(z = a n z n = a k0 (z b n. n=0 Es bleibt zu zeigen, daß k 0 = 1. Wäre k 0 = 0, so wäre f konstant und somit nicht injektiv. Andererseits würde aus k 0 2 aufgrund der Injektivität von f folgen. Da auch f 1 holomorph ist, gilt aber n=1 b 1 =... = b k0 und somit f (b 1 = 0 f (b 1 (f 1 (f(b1 = 1 und somit f (b 1 0. Da offensichtlich jede affine Transformation von C auch eine holomorphe Transformation von C ist, haben wir Folgerung Aut(C stimmt mit der Gruppe der affinen Transformationen von C überein. 16

18 Bemerkung (i Mit nur wenig mehr Aufwand läßt sich zeigen, daß bereits jede injektive holomorphe Abbildung f : C C affin ist. [vgl. Remmert: Funktionentheorie 1, Abschnitt ] (ii Satz impliziert Lemma Ist nämlich ˆf Aut(Ĉ mit ˆf( = und ˆf(0 = 0, so ist die Einschränkung f von ˆf auf C ein Element von Aut(C. Also hat f nach Satz die Gestalt ( Dabei muß β = 0 gelten, da wir zusätzlich f(0 = 0 haben. Sei Aut (Ĉ die Untergruppe von Aut(Ĉ, die von den Automorphismen gebildet wird, die als Fixpunkt haben, also Aut (Ĉ := { ˆf Aut(Ĉ : ˆf( = }. Satz Die Abbildung ˆf Aut (Ĉ ˆf C Aut(C ist ein Isomorphimus (d.h. ein bijektiver Gruppenhomomorphismus. Beweis. Offensichtlich ist die angegebene Abbildung ein injektiver Gruppenhomomorphismus. Es bleibt zu zeigen, daß die Abbildung auch surjektiv ist. Sei also f Aut(C. Nach Satz gilt dann ( Setzen wir ( a b γ := 0 a 1 mit a 2 = α und b = β a, so ist γ SL(2, C und f = L γ C. 17

19 2.3 Die Automorphismen der Einheitskreisscheibe und der oberen Halbebene Bezeichne D die Einheitskreisscheibe und H die obere Halbebene von C, also Wie üblich sei D := {z C : z < 1} und H := {z C : Im(z > 0}. S 1 := S 1 (0 = {z C : z = 1}. Wir beginnen mit der Berechnung von Aut(D. Dafür benutzen wir das Schwarzsche Lemma. Satz (Schwarzsches Lemma Sei f : D D eine holomorphe Funktion mit f(0 = 0. Dann gilt f(z z für alle z D und f (0 1. Gibt es wenigstens einen Punkt z 0 D \ {0} mit f(z 0 = z 0 oder gilt f (0 = 1, so ist f eine Drehung um 0, d.h., es gibt ein α S 1 mit f(z = αz für alle z D. Beweis. Nach dem Entwicklungssatz von Cauchy-Taylor ist f(z = a n z n für z D. n=0 Wegen f(0 = 0 ist a 0 = 0. Also wird durch g(z = f(z z für z D \ {0} und g(0 = f (0 = a 1 eine holomorphe Funktion g : D C definiert. Da f(z < 1 für jedes z D, gilt max{ g(z : z S r (0} 1 r für jede positive reelle Zahl r < 1. Aus dem Maximumprinzip folgt dann, daß Wäre nämlich max{ g(z : z B r (0} 1 r. max{ g(z : z B r (0} > max{ g(z : z S r (0}, (2.3.1 so hätte g in einem Punkt z 1 B r (0 ein lokales Maximum und wäre nach dem Maximumprinzip im Widerspruch zur Annahme (2.3.1 konstant. Indem wir r gegen 1 streben lassen, erhalten wir, daß g(z 1 für alle z D und somit f(z z für alle z D und f (0 = g(0 1. Ist f (0 = 1 oder f(z 0 = z 0 für ein z 0 D \ {0}, so ist g(0 = 1 oder g(z 0 = 1. (

20 Folglich nimmt g in D ein Maximum an. Nach dem Maximumprinzip ist dann g konstant α C und somit f(z = αz für alle z D. Benutzen wir nochmals (2.3.2, so erhalten wir α S 1. Für die Automorphismen von D ergibt sich Folgerung Jeder Automorphimus f Aut(D mit f(0 = 0 ist eine Drehung um 0. Beweis. Ist f Aut(D mit f(0 = 0, so liefert die Anwendung des Schwarzschen Lemmas auf f und f 1, daß f(z z und z = f 1 (f(z f(z für alle z D. Es gilt also stets f(z = z, woraus wiederum mit Hilfe des Schwarzschen Lemmas f(z = αz für alle z D und ein α S 1 folgt. Sei SU(1, 1 := {( } a b : a, b C und a b 2 b 2 = 1. ā Lemma SU(1, 1 ist eine Untergruppe von SL(2, C. Beweis. Offensichtlich ist SU(1, 1 SL(2, C. Sei ( aj b γ j = j SU(1, 1 für j = 1, 2. bj ā j Dann liegen auch γ 1 j = ( āj b j b j a j ( a1 a und γ 1 γ 2 = 2 + b 1 b2 a 1 b 2 + b 1 ā 2 ā 1 b2 + b 1 a 2 ā 1 ā 2 + b 1 b 2 in SU(1, 1, denn a 1 a 2 + b 1 b2 2 a 1 b 2 + b 1 ā 2 2 = a 1 2 a b 1 2 b 2 2 a 1 2 b 2 2 b 1 2 a 2 2 = a 1 2 ( a 2 2 b 2 2 b 1 2 ( a 2 2 b 2 2 = a 1 2 b 1 2 = 1. Die Bezeichnung SU(1, 1 rührt daher, daß { ( 1 0 SU(1, 1 = γ SL(2, C : γ 0 1 ( γ T 1 0 = 0 1 }. Außerdem haben wir 19

21 Lemma Für alle z 1, z 2 D existiert ein γ SU(1, 1 mit L γ (z 1 = z 2. Beweis. Seien z 1, z 2 D. Für j = 1, 2 setzen wir ( aj b γ j := j mit a bj ā j := j 1 1 zj 2 und b j := Dann ist γ j SU(1, 1 und L γj (0 = z j. Für γ := γ 2 γ 1 1 erhalten wir L γ (z 1 = L γ2 L 1 γ 1 (z 1 = L γ2 (0 = z 2. z j 1 zj 2. Lemma Für jedes γ SU(1, 1 ist L γ (D = (D. Beweis. Sei z D und Dann ist d.h. Es folgt, daß γ = ( a b b ā SU(1, 1. ( a 2 b 2 z 2 a 2 b 2, a 2 z 2 + b 2 b 2 z 2 + a 2. und somit Also gilt az + b 2 = a 2 z 2 + a bz + āb z + b 2 b 2 z 2 + a bz + āb z + a 2 = bz + ā 2 L γ (z 2 = az + b 2 bz + ā 2 1. L γ (D D für jedes γ SU(1, 1. Da mit γ aber auch γ 1 in SU(1, 1 liegt, haben wir auch L γ 1(D D, d.h. D L γ (D für jedes γ SU(1, 1. Nach Lemma ist die Einschränkung von L γ auf D für jedes γ SU(1, 1 ein Element von Aut(D. Es gilt auch die Umkehrung: Satz Der Gruppenhomomorphismus ist surjektiv. γ SU(1, 1 L γ D Aut(D 20

22 Beweis. Sei f Aut(D. Nach Lemma existiert ein γ SU(1, 1 mit L γ (0 = f(0. Dann ist L γ 1 f Aut(D und L γ 1 f(0 = 0. Also existiert nach Folgerung ein α S 1 mit L 1 γ f(z = αz für alle z D. Setzen wir nun ( a0 0 γ 0 := 0 ā 0 mit a 2 0 = α, so ist γ 0 SU(1, 1 und L 1 γ f(z = L γ0 (z, d.h. f(z = L γγ0 (z für alle z D. Sei Aut D (Ĉ := { ˆf Aut(Ĉ : ˆf(D = D}. Offensichtlich ist Aut D (Ĉ eine Untergruppe von Aut(Ĉ. Eine Konsequenz der bisherigen Überlegungen ist Folgerung Die Abbildung ist ein Isomorphismus. ˆf Aut D (Ĉ ˆf D Aut(D (2.3.3 Beweis. Daß der Gruppenhomomorphismus (2.3.3 injektiv ist, folgt aus dem Identitätssatz. Daß (2.3.3 auch surjektiv ist, sieht man mittels Satz Ist nämlich f Aut(D, so existiert nach diesem Satz ein γ SU(1, 1 mit f = L γ D. Wir kommen jetzt zur Bestimmung der holomorphen Transformationen der oberen Halbebene H. Dazu betrachten wir die Untergruppe SL(2, R SL(2, C (vgl. Beispiel ( a b Lemma Sei γ = c d SL(2, R und sei z C mit cz + d 0. Dann gilt Im L γ (z = Im z cz + d 2. Beweis. Da die Koeffizienten von γ reell sind, können wir 2i Im L γ (z = L γ (z L γ (z = az + b cz + d a z + b c z + d ad bc Im = (z z = 2i cz + d 2 z cz + d 2 schließen. Folgerung Für jedes γ SL(2, R gilt L γ (H = H. 21

23 Beweis. Nach Lemma gilt Im L γ (z > 0 für γ SL(2, R dann und nur dann, wenn Im z > 0. Dies liefert die Behauptung. Folgerung sagt uns, daß die Einschränkung von L γ auf H für jedes γ SL(2, R in Aut(H liegt. Die Umkehrung dieses Sachverhalts werden wir mit Hilfe der Cayley-Transformation auf Satz zurückführen. Die Cayley-Transformation h C : H D ist durch h C (z = z i z + i definiert. Wie man leicht verifiziert, ist h C bijektiv. Außerdem sieht man, daß h C = L H γc für γ C := 1 i ( 1 i SL(2, C. 2 1 i Folglich sind h C und h 1 C = L γ 1 C D holomorph. Lemma Ist γ SU(1, 1, so ist γ 1 C γγ C SL(2, R. Beweis. Sei γ = ( a b b ā SU(1, 1. Dann ist γ 1 C γγ C SL(2, C. Also genügt es einzusehen, daß die Koeffizienten von γ 1 C γγ C reell sind. Dies erhält man, indem man unter Benutzung von γ 1 C = 1 i ( i i, die Beziehung γ 1 C γγ C = 1 2 ( 1 1 i i ( a b b ā ( 1 i 1 i = ( Re(a + b Im(a b Im(a + b Re(a b nachrechnet. Bemerkung Die Abbildung γ SU(1, 1 γ 1 C γγ C SL(2, R ist sogar ein Isomorphismus. Satz Der Gruppenhomomorphismus ist surjektiv. γ SL(2, R L γ H Aut(H 22

24 Beweis. Sei f Aut(H. Dann ist h C f h 1 C γ 0 SU(1, 1 mit Demnach gilt f(z = h 1 C h C f h 1 C = L γ 0 D. Aut(D. Also existiert nach Satz ein L γ 0 h C (z = L γ 1 C γ 0γ C (z für alle z H. Da γ 1 C γ 0γ C nach Lemma in SL(2, R liegt, folgt die Behauptung. Analog zu Folgerung beweist man Folgerung Die Abbildung ˆf Aut H (Ĉ ˆf H Aut(H mit Aut H (Ĉ := { ˆf Aut(Ĉ : ˆf(H = H} ist ein Isomorphimus. 23

25 2.4 Fixpunkte und Normalformen Zunächst wollen wir zeigen, daß eine Möbius-Transformation L γ idĉ entweder genau einen oder genau zwei Fixpunkte besitzt. Dazu werden wir Ĉ mit dem komplex projektiven Raum CP 1 identifizieren. Definition Der komplex projektive Raum CP 1 ist der Faktorraum CP 1 := (C 2 \ {0}/ C, wobei die Äquivalenzrelation C auf C 2 \ {0} dadurch definiert ist, daß w 1 C w 2 genau dann gilt, wenn ein α C mit w 1 = αw 2 existiert. Die Äquivalenzklasse von (w 0, w 1 C 2 \ {0} bezüglich C wird mit [w 0 : w 1 ] bezeichnet. Bemerkung Offensichtlich gilt w 1 C w 2 für w 1, w 2 C 2 \ {0} genau dann, wenn w 1 und w 2 denselben eindimensionalen komplexen Unterraum von C 2 erzeugen. Somit kann CP 1 mit der Menge der eindimensionalen komplexen Unterräume von C 2 identifiziert werden. Wir definieren j : CP 1 Ĉ durch j([w 0 : w 1 ] := w 0 w 1 für w 1 0 für w 1 = 0 Wie man leicht sieht, ist die Abbildung j bijektiv. Die inverse Abbildung j 1 ist durch j 1 (z = [z : 1] für z C und j 1 ( = [1 : 0] gegeben. Die Abbildung j 1 L γ j : CP 1 CP 1 für γ SL(2, C bezeichnen wir ebenfalls mit L γ. Damit haben wir L γ j = j L γ für jedes γ SL(2, C. (2.4.1 Sei p : C 2 \ {0} CP 1 die kanonische Projektion, also p(w := [w 0 : w 1 ] für w = (w 0, w 1 C 2 \ {0}. Die Elemente von SL(2, C verstehen wir als lineare Abbildungen γ : C 2 C 2. Das heißt, für ( a b γ = SL(2, C und w = (w 0, w 1 C 2 c d ist Offensichtlich gilt γ(w = w γ T = (aw 0 + bw 1, cw 0 + dw 1. (γ 1 γ 2 (w = γ 1 (γ 2 (w für γ 1, γ 2 SL(2, C und w C 2. Lemma Für jedes γ SL(2, C gilt p γ = L γ p. 24

26 Beweis. Sei Dann ist Andererseits ist ( a b γ = SL(2, C und w = (w 0, w 1 C 2. c d p(γ(w = [aw 0 + bw 1 : cw 0 + dw 1 ]. ( w L γ (p(w = L γ ([w 0 : w 1 ] = L γ j 1 0 w 1 ( ( w = j 1 0 a w 0 L γ w 1 = j 1 + b w 1 c w0 + d w ( 1 aw = j bw 1 cw 0 + dw 1 = [aw 0 + bw 1 : cw 0 + dw 1 ] für w 1 0 und ( L γ (p(w = L γ ([w 0 : 0] = j 1 L γ ( = j 1 a c für w 1 = 0. = [a : c] = [aw 0 : cw 0 ] Satz Eine Möbius-Transformation L γ zwei Fixpunkte. idĉ besitzt entweder genau einen oder genau Beweis. Aufgrund von (2.4.1 genügt es zu zeigen, daß eine von der Identität verschiedene Transformation L γ : CP 1 CP 1 mindestens einen und höchstens zwei Fixpunkte besitzt. Sei w C 2 \ {0}, und sei p(w CP 1 ein Fixpunkt von L γ, d.h. Nach Lemma gilt dann L γ (p(w = p(w. p(γ(w = p(w und somit γ(w = αw für ein α C. Folglich ist p(w genau dann ein Fixpunkt von L γ, wenn w ein Eigenvektor der linearen Abbildung γ ist. Da eine komplex lineare Abbildung mindestens einen Eigenvektor besitzt, existiert damit wenigstens ein Fixpunkt von L γ. Wir nehmen jetzt an, daß p(w 1, p(w 2, p(w 3 CP 1 drei verschiedene Fixpunkte von L γ sind. Dann ist w 3 = β 1 w 1 + β 2 w 2 mit β 1, β 2 C. Wegen erhalten wir, daß γ(w k = α k w k für ein α k C und k = 1, 2, 3 γ(w 3 = α 3 β 1 w 1 + α 3 β 2 w 2 und γ(w 3 = β 1 α 1 w 1 + β 2 α 2 w 2. Da {w 1, w 2 } linear unabhängig ist, folgt α 1 = α 2 = α 3. Also ist γ ein Vielfaches der Identität und somit L γ = id CP 1. Als nächstes wollen wir die Konjugationsklassen (siehe folgende Definition von Möbius- Transformationen bestimmen. 25

27 Definition Zwei Elemente g 1 und g 2 einer Gruppe G heißen konjugiert, falls ein g 0 G mit g 2 = g 0 g 1 g 1 0 existiert. Wir schreiben dann g 1 g 2. Die folgende Definition ist durch Lemma gerechtfertigt. Definition Für eine Möbius-Transformation f = L γ definieren wir Tr 2 (f := Tr 2 (γ. Lemma Sind f 1 und f 2 zwei konjugierte Möbius-Transformationen, so gilt: (i f 1 und f 2 haben dieselbe Anzahl von Fixpunkten. (ii Tr 2 (f 1 = Tr 2 (f 2. Beweis. Ist f 2 = f 0 f 1 f0 1 für ein f 0 Aut(Ĉ, so ist z 0 Ĉ genau dann ein Fixpunkt von f 1, wenn f 0 (z 0 ein Fixpunkt von f 2 ist. Dies liefert (i. Die zweite Behauptung folgt aus Tr ( γ 0 γ 1 γ0 1 = Tr(γ1 für γ 0, γ 1 SL(2, C. Wir definieren m α Aut(Ĉ für α C durch m α (z := αz, falls α 1, und m 1 (z := z + 1. Dann ist ( a 0 m α = L γα für γ α = 0 a 1 mit a 2 = α, falls α 1, und Demzufolge ist m 1 = L γ1 für γ 1 = ( Tr 2 (m α = α + 1 α + 2. (2.4.2 Der nächste Satz besagt, daß die m α Normalformen von Möbius-Transformationen sind. Satz Für jede Möbius-Transformation f idĉ existiert ein α C mit f m α. Beweis. Sei f Aut(Ĉ und f id Ĉ. Nach Satz hat f mindestens einen Fixpunkt z 0 Ĉ. Nach Lemma können wir f 1 Aut(Ĉ derart wählen, daß f 1(z 0 =. Für f := f 1 f f1 1 gilt dann f( = und somit (vgl. Satz f(z = αz + β mit α C und β C. Hat f einen zweiten Fixpunkt, so hat nach Lemma auch f einen weiteren Fixpunkt. Demzufolge ist α 1. Wir definieren dann f 2 Aut (Ĉ durch f 2 (z := z + β α 1 26

28 und erhalten also ( f 2 f f2 1 (z = f 2 f z β ( = f 2 αz α 1 (f 2 f 1 f (f 2 f 1 1 = m α. β = αz, α 1 Hat f nur einen Fixpunkt, so muß α = 1 und β 0 sein. In diesem Fall definieren wir f 2 Aut (Ĉ durch f 2 (z := z β. Damit ist d.h. f 2 f f 1 2 (z = f 2 f(βz = f 2 (βz + β = z + 1, (f 2 f 1 f (f 2 f 1 1 = m 1. Bemerkung Satz kann auch mit Hilfe der Jordanschen Normalform bewiesen werden. Danach ist jede von ±e verschiedene Matrix γ Sl(2, C zu ( ( ( a 0, oder a 1 für ein a C konjugiert. Der nächste Satz gibt eine vollständige Beschreibung der Konjugationsklassen von Möbius- Transformationen. Satz Seien f 1 und f 2 zwei von der Identität verschiedene Möbius-Transformationen. Dann gilt f 1 f 2 dann und nur dann, wenn Tr 2 (f 1 = Tr 2 (f 2. Beweis. Die eine Richtung der Aussage ist Lemma 2.4.7(ii. Es gelte Tr 2 (f 1 = Tr 2 (f 2. Nach Satz existieren α 1, α 2 C mit f 1 m α1 und f 2 m α2. Wegen Lemma 2.4.7(ii gilt dann auch Tr 2 (m α1 = Tr 2 (m α2, d.h. (vgl. (2.4.2 α α = α α Die letzte Relation ist äquivalent zu α1α α 2 = α 1 α2 2 + α 1 bzw. (α 1 α 2 1(α 1 α 2 = 0. Demnach ist α 1 = α 2 oder α 1 = α2 1 und α 1, so ist m α m α 1, denn ( 1 ( α s m α s(z = s m α = s = z z z α = m α 1(z. Damit folgt, daß m α1 m α2 und somit auch f 1 f 2. 27

29 Definition Sei f idĉ eine Möbius-Transformation. (i f heißt parabolisch, falls f m 1. (ii f heißt elliptisch, falls f m α für ein α S 1, α 1. (iii f heißt loxodromisch, falls f m α für ein α C mit α 1. Außerdem nennt man eine loxodromische Transformation hyperbolisch, falls f m α für ein α (0,, α 1. Bemerkung Eine Möbius-Transformation f ist genau dann parabolisch, wenn f genau einen Fixpunkt hat (vgl. Lemma 2.4.7(i oder den Beweis von Satz Satz Für eine Möbius-Transformation f idĉ gilt: (i f ist genau dann parabolisch, wenn Tr 2 (f = 4. (ii f ist genau dann elliptisch, wenn Tr 2 (f [0, 4. (iii f ist genau dann loxodromisch, wenn Tr 2 (f [0, 4]. (iv f ist genau dann hyperbolisch, wenn Tr 2 (f (4,. Beweis. Wir zeigen (i, (ii und (iv. Die Aussage (iii ist eine Konsequenz von (i und (ii. Sei f m α. Dann ist (vgl. Satz und (2.4.2 Tr 2 (f = α + 1 α + 2. Ist f parabolisch, so ist α = 1 und Tr 2 (f = 4. Umgekehrt folgt aus Tr 2 (f = 4, daß α = 1 und somit f parabolisch ist. Damit ist (i bewiesen. Ist f elliptisch, so ist α = e iθ für ein θ R mit cos θ 1. Dann ist Tr 2 (f = 2 cos θ + 2, woraus Tr 2 (f [0, 4 folgt. Zum Beweis der Umkehrung schreiben wir α = re iθ für ein r (0, und θ R. Damit ist ( Tr 2 (f = r + 1 ( cos θ i r 1 sin θ. (2.4.3 r r Daraus sehen wir, daß r = 1 oder sin θ = 0, falls Tr 2 (f R. Ist sin θ = 0 und r 1, so ist cos θ = ±1 und r + r 1 > 2, was ( r + 1 cos θ + 2 [0, 4] r impliziert. Also folgt aus Tr 2 (f [0, 4, daß r = 1 und cos θ 1, d.h. α S 1 und α 1, was bedeutet, daß f elliptisch ist. Damit haben wir (ii gezeigt. Ist f hyperbolisch, so ist α (0, und α 1. Folglich muß Tr 2 (f (4, gelten. Ist Tr 2 (f (4,, so schließt man mit Hilfe von (2.4.3, daß α (0, und α 1, also f hyperbolisch ist. Eine unmittelbare Konsequenz aus Satz (iv ist Folgerung Ist γ SL(2, R und L γ loxodromisch, so ist L γ auch hyperbolisch. 28

30 Kapitel 3 Kleinsche Gruppen 3.1 Definition und Beispiele Im weiteren werden wir für Möbius-Transformationen f und g statt f g einfach fg schreiben. Sei G eine Gruppe von Möbius-Transformationen, d.h. eine Untergruppe von Aut(Ĉ. Definition Die Limesmenge Λ(G von G ist die Menge aller Punkte z Ĉ, für die ein w Ĉ und eine Folge (g n in G mit (i z = lim n g n(w und (ii g n g m für n m existieren. Die Menge Ω(G := Ĉ \ Λ(G heißt Diskontinuitätsbereich von G. Bemerkung Insbesondere ist ein Punkt z Ĉ, welcher Fixpunkt von unendlich vielen g G ist, ein Element von Λ(G. Definition G heißt Kleinsche Gruppe, falls Ω(G. Im Rest dieses Abschnitts werden wir sowohl elementare Eigenschaften der Limesmenge angeben als auch einfache Beispiele für Kleinsche Gruppen betrachten. Satz Ist G endlich, so ist Λ(G =. Insbesondere ist jede endliche Untergruppe von Aut(Ĉ eine Kleinsche Gruppe. Beweis. Ist G endlich, so existiert keine Folge (g n in G mit g n g m für n m. Somit folgt die Behauptung direkt aus Definition Satz Ist G 0 eine Untergruppe von G, so ist Λ(G 0 Λ(G. Insbesondere ist eine Untergruppe einer Kleinschen Gruppe wieder eine Kleinsche Gruppe. Beweis. Die Behauptung ist offensichtlich. 29

31 Satz Die Mengen Λ(G und Ω(G sind G-invariant, d.h., für jedes g G gilt g(λ(g = Λ(G und g(ω(g = Ω(G. Beweis. Da Ω(G = Ĉ \ Λ(G, genügt es zu zeigen, daß Λ(G G-invariant ist. Sei g G beliebig und z Λ(G. Dann existieren ein w Ĉ und eine Folge (g n in G mit z = lim g n(w und g n g m für n m. Da g : Ĉ Ĉ stetig ist, folgt n g(z = lim n g(g n(w = lim n (gg n(w. Außerdem gilt gg n gg m für n m. Also ist g(z Λ(G, d.h., wir haben g(λ(g Λ(G. Da dies für jedes g G gilt, haben wir auch g 1 (Λ(G Λ(G, d.h. Λ(G g(λ(g. Satz Für eine Möbius-Transformation f ist Λ(fGf 1 = f(λ(g und Ω(fGf 1 = f(ω(g. Beweis. Es genügt wieder, die erste Behauptung zu zeigen. Sei z Λ(fGf 1. Dann existieren ein w Ĉ und eine Folge (g n in G mit z = lim (fg nf 1 (w n und fg n f 1 fg m f 1 für n m. Dies impliziert f 1 (z = lim g n(f 1 (w und g n g m für n n m. Dabei haben wir genutzt, daß f 1 : Ĉ Ĉ stetig ist. Folglich ist f 1 (z Λ(G und z = ff 1 (z f(λ(g. Ist umgekehrt z f(λ(g, so existieren ein w Ĉ und eine Folge (g n in G mit f 1 (z = lim g n(w und g n g m für n m, woraus, da f : Ĉ Ĉ stetig ist, z = lim (fg nf 1 (f(w n n und fg n f 1 fg m f 1 für n m, also z Λ(fGf 1 folgt. Für eine Möbius-Transformation f bezeichnen wir mit f die von f erzeugte zyklische Gruppe, d.h. f := {f n : n Z} und mit F(f die Menge der Fixpunkte von f. Satz Sei f idĉ eine Möbius-Transformation. Ist f parabolisch oder loxodromisch, so ist Λ( f = F(f und folglich f eine Kleinsche Gruppe. Ist f elliptisch und f nicht endlich, so ist Λ( f = Ĉ und somit f keine Kleinsche Gruppe. Beweis. Sei f 0 Aut(Ĉ derart, daß f = f 0m α f 1 0 für ein α C. Dann gilt (vgl. den Beweis von Lemma 2.4.7(i und Satz F(f = f 0 (F(m α und Λ( f = f 0 (Λ( m α. Folglich können wir o.b.d.a. annehmen, daß f = m α. Ist f parabolisch, so ist α = 1 und F(f = { }. Für die Potenzen von f gilt f n (z = z + n für z C und n Z. (3.1.1 Ist f loxodromisch, so ist α 1 und F(f = {0, }. Hier ist f n (z = α n z für z C und n Z. (

32 In beiden Fällen folgt, daß f n f m für n m und n, m Z. Da jeder Fixpunkt von f auch Fixpunkt von f n für alle n Z ist, erhalten wir aufgrund von Bemerkung 3.1.2, daß F(f Λ( f. Ist umgekehrt z 0 Λ( f, so existieren ein w Ĉ und eine Folge (k n in Z mit lim k n = n und z 0 = lim f kn (w, woraus für parabolisches und loxodromisches f mit Hilfe von (3.1.1 und n (3.1.2 die Beziehung z 0 F(f folgt. Also gilt auch Λ( f F(f. Sei nun f elliptisch und f nicht endlich. Dann ist f(z = αz für ein α S 1. Da S 1 kompakt ist, besitzt jede Folge in S 1 eine konvergente Teilfolge. Insbesondere existiert eine Folge (k n in Z mit lim n αkn = α 0 S 1 und somit z = lim f kn (α 1 n 0 z für jedes z Ĉ. Da f unendlich ist, gilt außerdem f n f m für n m und n, m Z. Wäre nämlich f n = f m für zwei ganze Zahlen n m, so wäre f n m = idĉ und folglich f endlich. Damit ist gezeigt, daß jeder Punkt z Ĉ in Λ( f liegt, also Λ( f = Ĉ gilt. Aus Satz können wir folgende Charakterisierung elliptischer und loxodromischer Transformationen ableiten. Folgerung Sei f eine Möbius-Transformation und f idĉ. Dann gilt: (i f ist genau dann elliptisch, wenn f genau zwei Fixpunkte besitzt und f entweder endlich oder keine Kleinsche Gruppe ist. (ii f ist genau dann loxodromisch, wenn f genau zwei Fixpunkte besitzt und f eine unendliche Kleinsche Gruppe ist. Eine Konsequenz aus Satz und Satz ist Folgerung Ist G eine Kleinsche Gruppe, so enthält G keine elliptischen Transformationen unendlicher Ordnung. Beweis. Sei G eine Kleinsche Gruppe. Wir nehmen an, daß g G elliptisch und von unendlicher Ordnung ist. Dann ist g eine unendliche Untergruppe von G, die nach Satz keine Kleinsche Gruppe ist. Dies widerspricht Satz 3.1.5, wonach jede Untergruppe einer Kleinschen Gruppe selbst eine Kleinsche Gruppe ist. Sei Dabei ist G(1 := {g Aut(Ĉ : g = L γ für ein γ SL(2, Z}. {( a b SL(2, Z := c d } : a, b, c, d Z und ad bc = 1. G(1 ist eine Untergruppe von Aut(Ĉ und wird Modulgruppe genannt. 31

33 Satz Die Limesmenge von G(1 ist ˆR := R { }. Inbesondere ist G(1 eine Kleinsche Gruppe. Beweis. Wir zeigen zuerst, daß H Ω(G(1. Dazu nehmen wir an, daß z 0 = x 0 + iy 0 H ein Punkt in Λ(G(1 ist. Dann existieren ein w = x + iy Ĉ und eine Folge (g n paarweise verschiedener Elemente von G(1 mit z 0 = lim n g n(w. Da g(h = H für jedes g G(1 (vgl. Folgerung und da H offen ist, muß w H, d.h. y > 0 gelten. Außerdem können wir o.b.d.a. voraussetzen, daß Re g n (w Re z 0 < 1 2 für alle n N. (3.1.3 Sei g n = L γn mit Dann ist (siehe Lemma ( an b γ n = n SL(2, Z. c n d n Im g n (w = y c n w + d n 2. Da die Folge (Im g n (w gegen Im z 0 = y 0 > 0 konvergiert, muß die Folge ( c n w+d n 2 beschränkt sein. Das heißt, es existiert ein solches M > 0, daß Wegen c n w + d n 2 = (c n x + d n 2 + c 2 ny 2 folgt woraus wir weiter c n w + d n 2 < M 2 für alle n N. c n x + d n < M und c n y < M für alle n N, c n < M y und d n c n x + d n + c n x < M + M y x für alle n N schließen. Da c n und d n ganz sind, erhalten wir, daß die Menge {(c n, d n : n N} endlich ist. Gelte (c n, d n = (c m, d m. Dann ist Hieraus folgt wegen γ n γ 1 m γ n γ 1 m = ( an,m b n,m 0 d n,m. SL(2, Z, daß a n,m = d n,m = ±1. Demnach ist g n gm 1 = L γ0 mit ( 1 b0 γ 0 = für ein b Z. Da g n = L γ0 γ m gelangen wir zu und ( am + b γ 0 γ m = 0 c m b m + b 0 d m c m d m, g n (z = (a m + b 0 c m z + b m + b 0 d m c m z + d m = a mz + b m c m z + d m + b 0 = g m (z + b 0. 32

34 Die Bedingung (3.1.3 impliziert nun, daß b 0 = Re g n (w Re g m (w Re g n (w Re z 0 + Re g m (w Re z 0 < 1 und somit b 0 = 0. Also ist g n = g m, falls (c n, d n = (c m, d m. Insgesamt erhalten wir, daß die Folge (g n im Widerspruch zu unserer Annahme nur endlich viele verschiedene Folgenglieder hat. Damit ist H Ω(G(1 gezeigt. Es kann auch kein Punkt z 0 C mit Im z 0 < 0 in Λ(G(1 liegen. Wegen g(w = g( w wäre sonst nämlich auch z 0 H ein Element von Λ(G(1. Es bleibt zu zeigen, daß ˆR Λ(G(1. Zuerst bemerken wir, daß m 1 G(1 und folglich m 1 G(1. Als Anwendung von Satz und Satz erhalten wir { } = F(m 1 = Λ( m 1 Λ(G(1. Sei x R. Wir wählen eine Folge paarweise verschiedener rationaler Zahlen q n 0, für die x = lim n q n, und schreiben q n = b n mit b n, d n Z. Dabei nehmen wir an, daß b n und d n teilerfremd sind. d n Folglich existieren ganze Zahlen a n und c n mit a n d n b n c n = 1. Setzen wir jetzt ( an b g n := L γn mit γ n = n, so haben wir g n G(1 für n N, g n g m für n m und c n d n lim g b n n(0 = lim = x, n n d n woraus x Λ(G(1 folgt. Bemerkung Nach Satz ist jede Untergruppe von G(1 eine Kleinsche Gruppe. Beispiele für Untergruppen von G(1 sind die sogenannten Hauptkongruenzgruppen G(n mit n N, die aus denjenigen Möbius-Transformationen L γ bestehen, für die γ SL(2, Z von der Gestalt γ = e + nγ 0 oder γ = e + nγ 0 mit γ 0 SL(2, Z ist. 33

35 3.2 Abgeschlossenheit und Diskretheit Im ersten Teil dieses Abschnitts untersuchen wir weitere Eigenschaften der Limesmenge. Sei weiterhin G eine Untergruppe von Aut(Ĉ. Für w Ĉ definieren wir Λ w(g als die Menge derjenigen Punkte z Ĉ, für die eine Folge (g n in G mit g n g m für n m und z = lim g n(w n existiert. Offensichtlich ist Λ w (G Λ(G. Außerdem haben wir Lemma (i Λ w (G ist G-invariant. (ii Für jedes f Aut(Ĉ ist Λ f(w(fgf 1 = f(λ w (G. Beweis. Die Behauptung beweist man ähnlich wie Satz und Satz Satz Λ w (G ist abgeschlossen. Beweis. Sei z 0 ein Häufungspunkt von Λ w (G. Wir müssen zeigen, daß z 0 Λ w (G. Zuerst nehmen wir an, daß z 0 C. Dann existiert eine Folge (z n in Λ w (G mit z 0 z n < 1 n für n N. Wegen z n Λ w (G können wir eine Folge (g n in G derart wählen, daß g n (w z n < 1 n für n N und g n g m für n m. Dann haben wir g n (w z 0 g n (w z n + z 0 z n < 2 n 0 für n und folglich z 0 Λ w (G. Ist z 0 =, so existiert eine Folge (z n in Λ w (G mit s(z n < 1 n für n N. Die Folge (g n in G wählen wir derart, daß s(g n (w s(z n < 1 n für n N und g n g m für n m. Wie oben folgt s(g n (w für n 0. Das bedeutet, daß und somit Λ w (G. = lim n g n(w Wir wollen zeigen, daß Λ(G = Λ w (G, falls w Ω(G. Dafür werden wir das folgende Lemma benutzen. 34

36 Lemma Sei Ω(G, und sei (g n eine Folge paarweise verschiedener Elemente von G. Ist g n = L γn mit ( an b γ n = n, so gilt c n d n lim c n =. n Beweis. Angenommen, lim n c n = gilt nicht. Dann gibt es eine Teilfolge von (g n, die wir wieder mit (g n bezeichnen, mit c n c 0 C für n. (3.2.1 Da Λ(G, enthalten die Folgen (gn 1 (, (g n ( und (g n (0 keine gegen konvergierenden Teilfolgen. Das bedeutet, daß gn 1 ( = d n < M, g n( = a n < M und g n(0 = b n < M c n für ein M > 0 und alle n n 0 N. Daraus folgt, daß eine Teilfolge (n k von (n existiert, für die die Folgen (g 1 n k (, (g nk ( und (g nk (0 in C konvergieren, also c n d n d nk c nk α 1, a nk c nk α 2 und b nk d nk α 3 für k mit α 1, α 2, α 3 C. Dies impliziert zusammen mit (3.2.1, daß d nk = c nk d nk c nk c 0 α 1 =: d 0, a nk = c nk a nk c nk c 0 α 2 =: a 0 und b nk = d nk b nk d nk d 0 α 3 =: b 0 für k. Wegen a nk d nk b nk c nk = 1 gilt a 0 d 0 b 0 c 0 = 1. Wir erhalten insgesamt, daß ( a0 b γ nk γ 0 := 0 SL(2, C für k. c 0 d 0 Hieraus leiten wir lim g ( n k L 1 γ k 0 ( ( = L γ0 L 1 γ 0 ( = ab. Folglich ist im Widerspruch zur Voraussetzung ein Element von Λ(G. Satz Sei w Ω(G. Dann ist Λ(G = Λ w (G. Beweis. Indem wir Satz und Lemma 3.2.1(ii für eine Möbius-Transformation f mit f(w = anwenden, können wir o.b.d.a. annehmen, daß w =. Wir müssen Λ(G Λ (G zeigen. Sei also z 0 Λ(G. Dann ist z 0 = lim n g n(w (3.2.2 für ein w Ĉ und eine Folge (g n paarweise verschiedener Elemente von G. Sei g n = L γn ( an b γ n = n. c n d n mit 35

37 Ist c n = 0, so ist g n ( =. Da als Punkt in Ω(G nicht Fixpunkt von unendlich vielen Transformationen aus G sein kann (vgl. Bemerkung 3.1.2, können wir folglich o.b.d.a. annehmen, daß c n 0 für alle n N. Wir machen jetzt folgende Fallunterscheidung. Entweder gilt (a c n w + d n 1 für alle n n 0 N oder (b c nk w + d nk < 1 für eine Teilfolge (n k von (n. Mit Hilfe von Lemma erhalten wir im Fall (a, daß g n (w g n ( = a n w + b n a n c n w + d n = 1 c n c n w + d n 1 c n 0 für n. Hieraus folgt zusammen mit (3.2.2, daß und somit z 0 Λ (G. Im Fall (b haben wir z 0 g n ( z 0 g n (w + g n (w g n ( 0 für n w g 1 n k ( = c n w + d n k = c nk w + d nk 1 c nk 0 für k. c nk Demzufolge ist w Λ (G. Nach Lemma 3.2.1(i ist dann auch g n (w Λ (G für alle n N. Da Λ (G abgeschlossen ist (vgl. Satz 3.2.2, folgt c nk z 0 = lim n g n(w Λ (G. Bemerkung Ist w Λ(G, so gilt Λ(G = Λ w (G i.allg. nicht. Man betrachte z.b. die Kleinsche Gruppe m α für ein α C mit α 1. Dann ist Λ( m α = {0, } (vgl. Satz 3.1.8, aber Λ 0 ( m α = {0} und Λ ( m α = { }. Folgerung Die Limesmenge Λ(G ist abgeschlossen und der Diskontinuitätsbereich Ω(G somit offen. Beweis. Ist Ω(G =, so gilt die Behauptung trivialerweise. Ist Ω(G, so ist nach Satz Λ(G = Λ w (G für w Ω(G, woraus die Behauptung mittels Satz folgt. Im zweiten Teil dieses Abschnitts wollen wir zeigen, daß Kleinsche Gruppen diskret sind. Definition Eine Teilmenge A von R n heißt diskret, falls zu jedem x A ein solches ε > 0 existiert, daß {y R n : x y < ε} A = {a}. Beispiel Jede endliche Teilmenge des R n ist diskret. N und {n 1 : n N} sind diskrete Teilmengen von R. Dagegen sind Q und {n 1 : n N} {0} nicht diskret. 36

38 Lemma Eine diskrete Teilmenge A R n ist abzählbar. Beweis. Sei A R n diskret. Nach Definition können wir zu jedem x A ein solches ε(x > 0 wählen, daß x y ε(x für alle y A. (3.2.3 Dann sind die Kugeln U(x := { y R n : x y < ε(x } 2 für x A paarweise disjunkt. Um dies einzusehen, betrachten wir zwei verschiedenen Elemente x 1 und x 2 von A, wobei wir o.b.d.a. annehmen, daß ε(x 1 ε(x 2. Gilt U(x 1 U(x 2, so existiert ein y R n mit x 1 y < ε(x 1 2 woraus mit Hilfe der Dreiecksungleichung und x 2 y < ε(x 2 2, x 1 x 2 x 1 y + x 2 y < ε(x ε(x 2 2 ε(x 1 folgt. Die letzte Ungleichung ist aber ein Widerspruch zu ( Also gilt Da Q n eine dichte Teilmenge von R n ist, ist U(x 1 U(x 2 = für x 1 x 2. (3.2.4 U(x Q n für jedes x A. Somit können wir zu jedem x A ein q(x U(x Q n wählen. Wegen (3.2.4 ist die Zuordnung x A q(x Q n injektiv. Da außerdem Q n abzählbar ist, folgt die Behauptung. Lemma Eine Menge A R n ist genau dann diskret, wenn keine Folge (x n in A mit (i x n x m für n m und (ii existiert. lim x n A n Beweis. Existiert eine Folge (x n in A mit (i und (ii, so enthält die Menge {y R n : x 0 y < ε} A mit x 0 := lim x n A für jedes ε > 0 unendlich viele Elemente. Also ist A in diesem Fall n nicht diskret. Ist umgekehrt A nicht diskret, so existieren ein x 0 A und eine Folge (x n in A mit x n x 0 und x 0 x n < 1 n für jedes n N. Wie man leicht sieht, enthält dann (x n eine Teilfolge (x nk mit (i und (ii. 37

39 Definition (i Eine Teilmenge A von SL(2, C heißt diskret, falls das Bild von A unter der Abbildung ( a b J : SL(2, C (a, b, c, d C 4 c d eine diskrete Teilmenge von C 4 = R 8 ist. (ii Eine Folge (γ n in SL(2, C konvergiert gegen ein γ SL(2, C, falls die Folge (J (γ n gegen J (γ konvergiert. Bemerkung Offensichtlich konvergiert eine Folge (γ n in SL(2, C mit ( an b γ n = n genau dann gegen ( a b γ = SL(2, C, c d wenn a n a, b n b, c n c und d n d für n. c n d n Lemma Eine Untergruppe Γ von SL(2, C ist genau dann diskret, wenn keine Folge (γ n in Γ mit (i γ n γ m für n m und (ii existiert. lim γ n = e n Beweis. Ist (γ n eine Folge in Γ mit (i und lim γ n = γ Γ, n so ist (γ 1 γ n eine Folge in Γ mit (i und (ii. Somit folgt die Behauptung nach Definition aus Lemma Satz Sei G Aut(Ĉ eine Kleinsche Gruppe. Dann ist die Gruppe diskret. Γ := {γ SL(2, C : L γ G} Beweis. Angenommen, Γ ist nicht diskret. Dann existiert nach Lemma eine Folge (γ n paarweise verschiedener Elemente von Γ mit Daraus folgt (vgl. Bemerkung , daß lim L γ n n (z = z lim γ n = e. n für jedes z Ĉ und somit Λ(G = Ĉ. Das bedeutet, daß G keine Kleinsche Gruppe ist. Eine unmittelbare Konsequenz aus Lemma und Satz ist 38

40 Folgerung Ist G Aut(Ĉ eine Kleinsche Gruppe, so ist G abzählbar. Das folgende Beispiel zeigt, daß nicht jede Gruppe G von Möbius-Transformationen, für die {γ SL(2, C : L γ G} diskret ist, eine Kleinsche Gruppe ist. Beispiel Sei {( a b Γ Pic := c d } SL(2, C : a, b, c, d Z + iz, und sei G Pic := { } L γ Aut(Ĉ : γ Γ Pic. Die Gruppe G Pic wird Picard-Gruppe genannt. Offensichtlich ist Γ Pic diskret. G Pic ist jedoch keine Kleinsche Gruppe. Dies kann man folgendermaßen einsehen. Da m 1 G Pic, gilt nach Satz und Satz 3.1.8, daß Sei z Q + iq. Dann existieren a, c Z + iz mit { } = Λ( m 1 Λ(G Pic. (3.2.5 z = a c. Dabei können wir o.b.d.a. annehmen, daß a und c teilerfremd sind. Das bedeutet, daß dann und nur dann gilt, wenn a α Z + iz und c α Z + iz Folglich existieren solche b, d Z + iz, daß Dann ist α (Z + iz := {±1, ±i}. ad bc = 1. für ein α Z + iz ( a b γ z := Γ c d Pic und L γz ( = z. (3.2.6 Da Λ(G Pic G Pic -invariant ist (siehe Satz 3.1.6, implizieren (3.2.5 und (3.2.6, daß z Λ(G Pic. Also gilt Q + iq Λ(G Pic. Hieraus und aus der Tatsache, daß die Limesmenge nach Folgerung abgeschlossen ist, folgt schließlich Λ(G Pic = Ĉ. 39