Werkzeuge in der mathematischen Lehre und Forschung: CAS

Transkript

1 Werkzeuge in der mathematischen Lehre und Forschung: CAS Karl Josef Fuchs Einführung in das Mathematikstudium und dessen Umfeld (Unterrichtsfach) WS 2017/

2 Computer Algebra Systeme (CAS) Werkzeuge (exemplarisch) Wovon sprechen wir? MATHEMATICA MAPLE, MATHCAD MAXIMA REDUCE (GeoGebra)

3 Computer Algebra Systeme (CAS) - Werkzeuge (exemplarisch) Wovon sprechen wir? Held Held Technologie: TI NSPIRE CAS CASIO CLASSPAD

4 Computer Algebra Systeme (CAS) - Charakterisierung Zur Beantwortung der Frage Was charakterisiert CAS? greifen wir bei den Antworten #1 bis #3 zunächst auf die Autoren (Franz) WINKLER 1) (RISC) und (James H.) DAVENPORT 2) zurück. 1) Softwaresystems for Symbol Manipulation Expert Verlag:Ehningen, S. 1ff) 2) Computer Algebra past, present and future. Euromath Bulletin 1994, Vol. 1, No. 2, S )

5 Computer Algebra Systeme (CAS) - Charakterisierung Antwort #1: - Lösen von Gleichungen / Gleichungssystemen mit Formvariablen

6 Computer Algebra Systeme (CAS) - Charakterisierung Antwort #2: - Auffinden geschlossener Formeln

7 Computer Algebra Systeme (CAS) - Charakterisierung Antwort #3: - Integration gebrochen rationaler Funktionen

8 Computer Algebra Systeme (CAS) - Charakterisierung Antwort #4: - Verwendung von Symbolen (engl. Symbolic Computation)

9 Computer Algebra Systeme (CAS) - Charakterisierung Antwort #5: - Erstellen komplexer 2-/3-dim Graphen

10 Computer Algebra Systeme (CAS) - Charakterisierung Antwort #6: - Veranschaulichen - Beweisen

11 Experimentieren Die Attribute in den nachfolgenden Aufzählungen betonen die aktive Rolle des Users. Beispiele: Grafisches - Handeln (Plotten der Graphen prototypischer reeller Funktionen sowie s. Antwort #5) Numerisches - Handeln (Generieren von Listen von Werten)

12 Experimentieren Symbolisches - Handeln (z. B. Vermutungen über Differentiationsregeln anstellen)

13 Interpretieren und Argumentieren (vgl. Kompetenzmodelle AHS / BHS) auf verschiedenen Ebenen der Repräsentation (z. B. Ein quasi-algorithmischer Beweis für den Zwischenwertsatz der Analysis durch einen (determinierenden) Algorithmus in Funktionaler Modellierung) Demonstrationsbsp.:

14 Interpretieren und Argumentieren auf verschiedenen Ebenen der Repräsentation (vgl. Kontrollstrukturen) (z. B. Ein quasi-algorithmischer Beweis für den Zwischenwertsatz der Analysis durch einen (determinierenden) Algorithmus in Funktionaler Modellierung s. Algorithmisches Denken/Rekursion)

15 Algorithmus als Fundamentale Idee der Mathematik & Informatik Inkludiert die Aspekte Modellbildung 3) 3) : Blum, W. & Fuchs, KJ (2008). Selbständiges Lernen im Mathematikunterricht mit beziehungsreichen Aufgaben

16 Algorithmisches Denken / Modellierung erfolgt über die Schritte: Vorstellung eines (komplexen) Problems, Kodierung (Implementierung), Ausführung & Effizienz- /Endlichkeitsprüfung Experimente der Schülerinnen und Schüler zu den Schritten eins und zwei (s. Aspekte der Modellbildung/Modellierungskreislauf)

17 Algorithmisches Denken in der Mathematik / Informatik bedeutet: Repräsentation durch Kontrollstrukturen (einschließlich deren Darstellung)

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20 Quelle 4) : Nassi, I. & Shneiderman, B. (1973). Flowchart Techniques for Structured Programming In: SIGPLAN Notices, 8, 8, S

21 Modellierungs-/Implementierungsparadigmen aus Sicht der Informatik Das prozedurale Modellierungsparadigma Die Implementierung von Algorithmen (also ein Programm) wird als Abfolge von Anweisungen verstanden, wobei Kontrollstrukturen (Sequenz, Verzweigung, Wiederholung) die Ausführung der Befehle beschreiben. Sämtliche Maßnahmen, die einer besseren Übersichtlichkeit der Programmstrukturen dienen, werden unter dem Begriff Prozedurale imperative Programmierung zusammengefasst.

22 Das prozedurale Modellierungsparadigma mit CAS Beispiel Binomialkoeffizient Define binomial()= Prgm Request "n:",n Request "k:",k If k=0 or k=n Then b:=1 Disp "Binomialkoeffizient:",b Else b:=n-k+1 For i,2,k b:=((b*(n-k+i))/(i)) EndFor Disp "Binomialkoeffizient:",b EndIf EndPrgm

23 Das Funktionale Modellierungsparadigma (vgl. Interpretieren und Argumentieren Funktionale Modellierung) Einzige Sprachelemente zur Implementierung von Algorithmen (also von Programmen) sind Funktionen (in durchaus strengem mathematischen Sinne). Die Ausführung von Programmen besteht dann im Wesentlichen aus einer Verkettung der einzelnen Funktionen.

24 Das funktionale Modellierungsparadigma Beispiel Binomialkoeffizient (Rekursion) Define binom(n,k)= Func If k=0 or k=n Then EndIf EndFunc 1 Else binom(n-1,k-1)+binom(n-1,k)

25 CAS verändern die Einstellungen zur Mathematik / zu mathematischem Tun Änderungen zeichnen sich in folgende Richtungen ab: Zunehmende Motivation zu mathematischem Tun (dabei) zunehmendes Selbstvertrauen in die eigenen Fertigkeiten

26 CAS verändern die Einstellungen zur Mathematik / zu mathematischem Tun (Unterrichtliche) Rahmenbedingungen (mehr) Selbsttätigkeit in einem höheren Ausmaß (dazu sind Veränderungen im Rollenverständnis von Lehrenden und Lernenden notwendig) Die Kompetenzen Kommunikation und Präsentation müssen stärker berücksichtigt werden

27 CAS verändern die Einstellungen zur Mathematik / zu mathematischem Tun (Unterrichtliche) Rahmenbedingungen: Die Vielfalt an Unterrichtsmethoden wird bedeutsam (das meint stärkere Fokussierung auf Lernerzentrierung, auf Anwendungen) Zunahme an individualisierten Lehr-/Lernformen (Projekte, Team Teaching)

28 Modellieren als zentrale Idee beim Gebrauch von CAS (vgl. Kompetenzmodelle AHS / BHS) (Fuchs, KJ. Computer algebra systems in mathematics education. (2003), ZDM 35/1, S )

29 Ein Shift mathematischer Akzente & Themen (in den mathematischen Curricula) Folgenden Themen wird deutlich mehr Beachtung geschenkt: Elementen der Diskreten Mathematik (z.b. Grundlagen der Logik) Elementen der Numerischen Mathematik (z. B. Aspekte wie die Effizienz/Endlichkeit im Kontext Algorithmus) Elementen der Stochastik (z.b. regression analysis)

30 Bedeutende Argumente der mathematische community (Lehrerbildn(innen) auf den Gebrauch von CAS (in Lehre und Forschung) CAS sind wertvolle Instrumente, die die user von (numerischen, grafischen und symbolischen) Routinetätigkeiten befreien CAS sind vor allem ein mächtiges Werkzeug zur Veranschaulichung mathematischer Ideen (dies erweist sich sehr oft als wertvoller erster Schritt zur Vermittlung und Verinnerlichung dieser mathematischen Ideen) CAS können (damit) wesentliche Schritte zur Begriffsbildung in der Mathematik (vgl. Experimentieren Symbolisches Handeln) leisten