Informatik mit einem Hand Held. von: Hans Stefan Siller Karl Josef Fuchs

Transkript

1 Funktionales Modellieren Informatik mit einem Hand Held von: Hans Stefan Siller Karl Josef Fuchs

2 Was versteht man unter Modellbilden in der Mathematik Reale Situation ti mit Hilfe mathematischer ti h Modelle beschreiben und damit zur Problemlösung zu gelangen Bekannte/Vorhandene Strategien bei der Beschreibung/Lösung von neuen Problemen verwenden BeimModellierungsprozesswerden neben mathematischen Kenntnissen und Fertigkeiten auch interpretierende und wertende Fähigkeiten im Zusammenspiel von Mathematik und Wirklichkeit verlangt.

3 Modellbildung als Bindeglied Modellbildung hat die Funktion ki eines Verbindungsglied zwischen Mathematischen Inhalten Mathematische Realer Inhalten Situation Modellbilden Realer Situation Mathematischer Kultur Mathematischem Denken Mth Mathematische ti h Mth Mathematischem ti h Kultur Denken

4 Sicht der Mathematik Modellieren/Modellbilden: Beschreibung und Behandlung einer Problemstellung durch Betrachtung eines Kreislaufes, in unterschiedlicher Detailiertheit Immanent vorhandene Modellierungssäulen: Reale Ausgangssituation Mathematische Modell Aussagen, Folgerungen Aussagen über die Ausgangssituation

5 Grafische Darstellung des Modellbildungsprozesses (nach Blum) 1 Reales Modell/Problem Math. Modell/Problem Realsituation Situationsmodell Reale Resultate Math. Resultate Rest der Welt Mathematik 1 Blum, W.; Leiß, D., 2005: Modellieren im Unterricht mit der "Tanken" Aufgabe, in: Mathematik lehren, H. 128, S

6 Modellbilden eine zentrale Leitidee für den Unterricht 2 Mathematik als Hilfe für spezielle Anwendungen (z.b. Verstehen und kritisches Beurteilen von Diagrammen) Förderung von Problemlösefähigkeiten (Beurteilung des Grades der Brauchbarkeit von Vorliegendem) Modellbildung ermöglicht einen Anwendungsorientierten Unterricht 2 Siller, H. St., 2006: Modellbilden eine zentrale Leitidee der Mathematik, Dissertation, Universität Salzburg

7 Was versteht man unter Modellbilden in der Informatik Futschek k(informatische Dfiiti Definition Modellbilden 1990) 3 :... Zur Lösung eines Anwenderproblems entwirft der Informatiker zunächst ein Modell der Anwendung, (...) Das erste Modell wird in eine Reihe neuer Modelle umgeformt, die immer genauer und formaler werden, bis ein ablauffähiges Modell in einer bestimmten Programmiersprache erreicht ist... Informatische Modellbildung unterstützt die Bh Beherrschung h komplexer Strukturen, insbesondere Modelle der Mathematik 3 Futschek, G., 1990: Informatik als Wissenschaft. In: Reiter, A.; Rieder, A.: Didaktik der Informatik.

8 Sicht der Informatik Vier Programmierparadigmen (Modellierparadigmen) Imperativisches Programmieren/Modellieren (vgl. Futschek) Zustandsorientiertes Programmieren/Modellieren Funktionales Programmieren/Modellieren Ein System wird aus mehreren Moduln aufgebaut, die miteinander kommunizieren. Objektorientiertes Programmieren/Modellieren Daten und Prozeduren werden als gemeinsame Objekte benutzt. Programmtechnische Abläufe sind sekundär.

9 Was ermöglicht Modellbildung in der Mathematik und Informatik Modellbilden ermöglicht die Beschreibung und Bearbeitung komplexer Systeme Übersichtlich, intuitiv, strukturiert, aussagekräftig, g und detailiert.

10 Funktionales Modellieren BiA Bei Anwendungen wird idder Funktionsbegriff iffzur Modellbildung verwendet, d.h. Abhängigkeiten zwischen Größen werden durch passende Funktionen beschrieben. Häufig handelt es sich hier nur um eine Annäherung, da oft nicht klar ist, ob tatsächlich eine funktionale Abhängigkeit (Vollrath 1989) 4 vorliegt. Die Annahme eines funktionalen Zusammenhangs stellt also einen Modellbildungsprozess dar. 4 Vollrath, H. J., 1989: Funktionales Denken. In: Journal für Mathematikdidaktik, pp. 3 37

11 Funktionales Modellieren eine gemeinsame Idee von Mathematik und Informatik Modellbildungsprozess ist im Falle der Mathematisierung eine Basis für die Darstellung, die Beschreibung von (anwendungsorientierten) Inhalten. Modellbildungsprozess ist im Falle der funktionalen Modellierung eine Umwelterschließung mithilfe von Funktionen, und fördert Funktionales Denken, d.h. Zuordnungscharakter, im Sinne einer streng math. Funktion, Änderungsverhalten, im Sinne eines Studiums des Einflusses von Parametern auf den Output.

12 Was benötigt man für die funktionale Modellierung? Definiendum > Funktionsname und trägt die atomaren Argumente (z. B. f(x), Fak[n_], Define Konj(a,b), f:n), Definiens > Funktionsausdruck (determinierender Teil (z. B. Log(x), Apply[Times, Range[n]], Piecewise(a=1 and b=1, 1,0), product(i,i=1..n)), DefiniendumundDefiniens und Definiens werden durchdasdas Definitionszeichen :=, = -> verbunden.

13 Funktionale Modellierung als gemeinsame fundamentale Idee 1. lässt Probleme auf unterschiedlichen h Niveaus zu 2. leitet in besonderer Weise zum Sprechen über Mathematik, Informatik bzw. in gleicher Weise über beide Fächer an 3. erlaubt es, dass Lehrplaninhalte an ihr aufgehängt werden in der historischen Entwicklung aufzeigbar (Behelfsdefinition Schweiger 1982) 5 5 Schweiger, F., 1992: Fundamentale Ideen Eine geistesgeschichtliche Studie zur Mathematikdidaktik. In: JMD, Jg. 13, H. 2/3,

14 Kriterien für Funktionale Modellierung Lehrplanbezug Inhaltlich Methodisch Formal Leichte Verfügbarkeit im Unterricht Einsatz von Hand Held Hldim Unterricht Förderung informatischer Kompetenzen System, Anwendungs und Kommunikationskompetenz (Fuchs, Landerer 2005) 6 6 Fuchs, K.J.; Landerer, C., 2005: Das mühsame Ringen um ein Kompetenzmodell. In: Micheuz, P. (Hrsg.): Informatische Bildung in der Sekundarstufe 1 Im Spannungsfeld zwischen Autonomie und Standards. CD Austria, H. 12, S.6 9

15 Grafische Repräsentation Funktionaler Modelle Eine spezielle Form des Datenflussdiagramms stellt PROGRAPH (Matwin, Pietrzykowski 1985) 7 dar Prinzip der einmaligen Zuweisung (d. h. ein zu Beginn determinierter Eingabewert bleibt durch den Rest des funktionalen Systems unverändert). jegliche Funktion liefert genau einen Wert zurück. Die aussagekräftige Bild in Bild Struktur als Metapher für die Rekursion. 7 Matwin, S. & Pietrzykowski, T.: The Programming Language PROGRAPH: A Preliminary Report. In: Computer Languages, 10:2, S

16 Block Anwendung Definition (vordefiniert und selbstdefiniert) Output Werte Fortsetzungs- symbol Bedingung Verzweigung Darstellung von PROGRAPH Diagrammen

17 Aufgabe Gegeben sei eine Verteilung für eine Zufallsvariable X mit den zugehörigen Wh Wahrscheinlichkeiten hilihkit p i =P(X=x i ): X p 0,164 0,169 0,171 0,163 0,165 0,168 Erstellen Sie eine grafische funktionale Darstellung für den Erwartungswert und die Varianz! Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz dieser Verteilung!

18 Graphische Darstellung der Module zur Lösung der Aufgabe

19 Beispiel mit CASIO Classpad 300+ Schrittweise Erarbeitung zur Berechnung des Erwartungswertes Schrittweise Erarbeitung zur Berechnung der Varianz

20 Implementierung mittels spezifischer Programmiersprache Weitere funktionale Programmiersprachen (z.b. Haskell, LISP) Bereiche der Mathematik: Mathematische Inhalte im Informatikunterricht Bereiche der Mathematik/Informatik: Umsetzung des Programmentwicklungskreislaufes auf funktionaler Ebene (Aufgabe, Darstellung mittels Diagrammen, Implementierung in Sprache) Bereiche der Informatik: Test und ev. Korrektur der Implementierung

21 Beispiel für die enge Verknüpfung von Mathematik und Informatik

22 Zusammenfassung Verständiges Umgehen mit Modellbildung ist Teil der Allgemeinbildung! (Standardentwicklung Siller 2007) 8 Die nötige Kompetenz kann nur dann aufgebaut werden, wenn die Schüler/Innen während der Schulzeit die Grunderfahrung des Modellierens unserer Welt an (einfachen) (if Beispielen i selbst erfahren und darüber reflektieren können. 8 Siller, H. St., 2007: Das mathematische Kompetenzmodell eine (kompakte) Handreichung für Lehrer/innen, ph Salzburg

23 Herzlichen Dank für Ihre Aufmerksamkeit hans