Programmierung und Modellierung mit Haskell

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1 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Programmierung und Modellierung mit Haskell Rekursion, Terminierung, Induktion Martin Hofmann Steffen Jost LFE Theoretische Informatik, Institut für Informatik, Ludwig-Maximilians Universität, München 20. April 2015 Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-1

2 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Substitutionsmodell Beispiele Allgemein Rekursion Man kann eine Funktion f : A B durch einen Ausdruck definieren, der selbst Funktionsanwendungen von f enthält. Beispiele: Fakultät: { 1, falls n = 0 fakultät(n) = n fakultät(n 1), sonst Summe der ersten n natürlichen Zahlen: { 0, falls n=0 summe(n) = n + summe(n 1), sonst Dies bezeichnet man als rekursive Definition. Auswerten durch Einsetzen der definierenden Gleichungen von links nach rechts: fakultät(3) 3 fakultät(3 1) 3 fakultät(2) 3 2 fakultät(2 1) 3 2 fakultät(1) fakultät(0) Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-2

3 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Substitutionsmodell Beispiele Allgemein Rekursion Man kann eine Funktion f : A B durch einen Ausdruck definieren, der selbst Funktionsanwendungen von f enthält. Beispiele: Fakultät: fakultät 0 = 1 fakultät n = n * fakultät (n-1) Summe der ersten n natürlichen Zahlen: summe 0 = 0 summe n = n + summe (n-1) Dies bezeichnet man als rekursive Definition. Auswerten durch Einsetzen der definierenden Gleichungen von links nach rechts: fakultät(3) 3 fakultät(3 1) 3 fakultät(2) 3 2 fakultät(2 1) 3 2 fakultät(1) fakultät(0) Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-2

4 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Substitutionsmodell Beispiele Allgemein Substitutionsmodell Das Substitutionsmodell erklärt das Verhalten von rein funktionalen Sprachen, solange keine Fehler auftreten: Man wählt einen Teilausdruck und wertet diesen gemäß den geltenden Rechenregeln aus. Eine Funktionsanwendung wird durch den definierenden Rumpf ersetzt. Dabei werden die formalen Parameter im Rumpf durch die Argumentausdrücke ersetzt ( substitutiert ). Dies wiederholt man, bis keine auswertbaren Teilausdrücke mehr vorhanden sind. Es gibt verschiedene unterschiedliche Strategien, den als nächstes auszuwertenden Teilausdruck auszuwählen. Dies ist ein rekursiver Algorithmus! Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-3

5 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Substitutionsmodell Beispiele Allgemein Beispiel succ x = x + 1 bar x y z = if 1 < succ x then z else x+y Beispielauswertung des Ausdrucks bar 1 2 (succ 3), wobei wir zur Verdeutlichung den zu bearbeitenden Teilausdruck unterstreichen: bar 1 2 (succ 3) bar 1 2 (3+1) bar if 1 < succ 1 then 4 else 1+2 if 1 < (1 + 1) then 4 else 1+2 if 1 < 2 then 4 else 1+2 if True then 4 else 1+2 if True then 4 else 3 4 Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-4

6 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Substitutionsmodell Beispiele Allgemein Beispiel succ x = x + 1 bar x y z = if 1 < succ x then z else x+y Beispielauswertung des Ausdrucks bar 1 2 (succ 3), wobei wir zur Verdeutlichung den zu bearbeitenden Teilausdruck unterstreichen: bar 1 2 (succ 3) bar 1 2 (3+1) bar if 1 < succ 1 then 4 else 1+2 if 1 < (1 + 1) then 4 else 1+2 if 1 < 2 then 4 else 1+2 if True then 4 else 1+2 if True then 4 else 3 4 Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-4

7 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Substitutionsmodell Beispiele Allgemein Beispiel succ x = x + 1 bar x y z = if 1 < succ x then z else x+y Beispielauswertung des Ausdrucks bar 1 2 (succ 3), wobei wir zur Verdeutlichung den zu bearbeitenden Teilausdruck unterstreichen: bar 1 2 (succ 3) bar 1 2 (3+1) bar if 1 < succ 1 then 4 else 1+2 if 1 < (1 + 1) then 4 else 1+2 if 1 < 2 then 4 else 1+2 if True then 4 else 1+2 if True then 4 else 3 4 Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-4

8 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Substitutionsmodell Beispiele Allgemein Beispiel succ x = x + 1 bar x y z = if 1 < succ x then z else x+y Beispielauswertung des Ausdrucks bar 1 2 (succ 3), wobei wir zur Verdeutlichung den zu bearbeitenden Teilausdruck unterstreichen: bar 1 2 (succ 3) bar 1 2 (3+1) bar if 1 < succ 1 then 4 else 1+2 if 1 < (1 + 1) then 4 else 1+2 if 1 < 2 then 4 else 1+2 if True then 4 else 1+2 if True then 4 else 3 4 Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-4

9 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Substitutionsmodell Beispiele Allgemein Beispiel succ x = x + 1 bar x y z = if 1 < succ x then z else x+y Beispielauswertung des Ausdrucks bar 1 2 (succ 3), wobei wir zur Verdeutlichung den zu bearbeitenden Teilausdruck unterstreichen: bar 1 2 (succ 3) bar 1 2 (3+1) bar if 1 < succ 1 then 4 else 1+2 if 1 < (1 + 1) then 4 else 1+2 if 1 < 2 then 4 else 1+2 if True then 4 else 1+2 if True then 4 else 3 4 Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-4

10 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Substitutionsmodell Beispiele Allgemein Beispiel succ x = x + 1 bar x y z = if 1 < succ x then z else x+y Beispielauswertung des Ausdrucks bar 1 2 (succ 3), wobei wir zur Verdeutlichung den zu bearbeitenden Teilausdruck unterstreichen: bar 1 2 (succ 3) bar 1 2 (3+1) bar if 1 < succ 1 then 4 else 1+2 if 1 < (1 + 1) then 4 else 1+2 if 1 < 2 then 4 else 1+2 if True then 4 else 1+2 if True then 4 else 3 4 Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-4

11 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Substitutionsmodell Beispiele Allgemein Beispiel succ x = x + 1 bar x y z = if 1 < succ x then z else x+y Beispielauswertung des Ausdrucks bar 1 2 (succ 3), wobei wir zur Verdeutlichung den zu bearbeitenden Teilausdruck unterstreichen: bar 1 2 (succ 3) bar 1 2 (3+1) bar if 1 < succ 1 then 4 else 1+2 if 1 < (1 + 1) then 4 else 1+2 if 1 < 2 then 4 else 1+2 if True then 4 else 1+2 if True then 4 else 3 4 Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-4

12 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Substitutionsmodell Beispiele Allgemein Beispiel succ x = x + 1 bar x y z = if 1 < succ x then z else x+y Beispielauswertung des Ausdrucks bar 1 2 (succ 3), wobei wir zur Verdeutlichung den zu bearbeitenden Teilausdruck unterstreichen: bar 1 2 (succ 3) bar 1 2 (3+1) bar if 1 < succ 1 then 4 else 1+2 if 1 < (1 + 1) then 4 else 1+2 if 1 < 2 then 4 else 1+2 if True then 4 else 1+2 if True then 4 else 3 4 Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-4

13 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Substitutionsmodell Beispiele Allgemein Beispiel succ x = x + 1 bar x y z = if 1 < succ x then z else x+y Beispielauswertung des Ausdrucks bar 1 2 (succ 3), wobei wir zur Verdeutlichung den zu bearbeitenden Teilausdruck unterstreichen: bar 1 2 (succ 3) bar 1 2 (3+1) bar if 1 < succ 1 then 4 else 1+2 if 1 < (1 + 1) then 4 else 1+2 if 1 < 2 then 4 else 1+2 if True then 4 else 1+2 if True then 4 else 3 4 Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-4

14 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Substitutionsmodell Beispiele Allgemein Fibonacci-Zahlen fib 0 = 0 fib n n <= 1 = 1 otherwise = fib (n-1) + fib (n-2) > fib 8 21 > fib 9 34 fib n liefert die n-te Fibonacci-Zahl F n : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... fib n liefert z.b. die Hasenpopulation nach n Monaten unter der Annahme, dass Hasen jeden Monat einen Nachkommen haben, dies aber erst ab dem zweiten Lebensmonat. fib n liefert auch die Zahl der Möglichkeiten, ein 2 n Zimmer mit 1 2 Kacheln zu fliesen. Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-5

15 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Substitutionsmodell Beispiele Allgemein Programmierung und Modellierung mit Haskell Rekursion, Terminierung, Induktion Martin Hofmann Steffen Jost LFE Theoretische Informatik, Institut für Informatik, Ludwig-Maximilians Universität, München 27. April 2015 Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-5

16 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Substitutionsmodell Beispiele Allgemein Collatz Vermutung Collatz-Vermutung: Für alle n N gibt es ein i N mit f i (n) = 1. Lothar Collatz, , dt. Mathematiker { n f (n) = 2 falls n gerade 3n + 1 sonst Es ist unbekannt, ob man für jedes n N ein i N findet. Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-6

17 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Substitutionsmodell Beispiele Allgemein Collatz Vermutung Collatz-Vermutung: Für alle n N gibt es ein i N mit f i (n) = 1. Lothar Collatz, , dt. Mathematiker { n f (n) = 2 falls n gerade 3n + 1 sonst Es ist unbekannt, ob man für jedes n N ein i N findet. Falls es ein i gibt, dann auch ein kleinstes. Wir versuchen dieses rekursiv zu berechnen: f n even n = n div 2 otherwise = 3*n+1 min_i 1 = 0 min_i n = 1 + min_i (f n) > [min_i n n <- [2..10]++[26,27,28,29]] [1,7,2,5,8,16,3,19,6,10,111,18,18] Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-6

18 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Substitutionsmodell Beispiele Allgemein Collatz Vermutung Collatz-Vermutung: Für alle n N gibt es ein i N mit f i (n) = 1. Lothar Collatz, , dt. Mathematiker { n f (n) = 2 falls n gerade 3n + 1 sonst Es ist unbekannt, ob man für jedes n N ein i N findet. Falls es ein i gibt, dann auch ein kleinstes. Wir versuchen dieses rekursiv zu berechnen: f n n mod 2 == 0 = n div 2 otherwise = 3*n+1 min_i 1 = 0 min_i n = 1 + min_i (f n) > [min_i n n <- [2..10]++[26,27,28,29]] [1,7,2,5,8,16,3,19,6,10,111,18,18] Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-6

19 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Substitutionsmodell Beispiele Allgemein Türme von Hanoi Es gibt drei senkrechte Stäbe. Auf dem ersten liegen n gelochte Scheiben von nach oben hin abnehmender Größe. Man soll den ganzen Stapel auf den dritten Stab transferieren, darf aber immer nur jeweils eine Scheibe entweder nach ganz unten oder auf eine größere legen. Angeblich sind in Hanoi ein paar Mönche seit Urzeiten mit dem Fall n = 64 befasst. Quelle: Wikipedia Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-7

20 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Substitutionsmodell Beispiele Allgemein Lösung Für n = 1 kein Problem. Falls man schon weiß, wie es für n 1 geht, dann schafft man mit diesem Rezept die obersten n 1 Scheiben auf den zweiten Stab (die unterste Scheibe fasst man dabei als Boden auf.). Dann legt man die größte nunmehr freie Scheibe auf den dritten Stapel und verschafft unter abermaliger Verwendung der Vorschrift für n 1 die restlichen Scheiben vom mittleren auf den dritten Stapel. Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-8

21 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Substitutionsmodell Beispiele Allgemein Lösung in Haskell Türme werden durch Zahl 1,2,3 repräsentiert Befehle durch Paare (i, j): Bewege Scheibe von i nach j Befehlsfolgen werden durch Listen repräsentiert. hanoi 1 i j = [(i,j)] hanoi n i j = hanoi n' i othert ++ [(i,j)] ++ hanoi n' othert j where n' = n-1 othert = i-j -- other tower > hanoi [(1,2),(1,3),(2,3),(1,2),(3,1),(3,2),(1,2)] > hanoi [(1,3),(1,2),(3,2),(1,3),(2,1),(2,3),(1,3),(1,2),(3,2),(3,1),(2,1),(3,2),(1,3),(1,2),(3,2)] Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-9

22 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Substitutionsmodell Beispiele Allgemein Allgemeines Muster einer Rekursion Eine rekursive Definition einer Funktion f : A B hat die Form f (a) = E[f, a] wobei im Ausdruck E[f, a], also dem Funktionsrumpf, sowohl das Argument a, als auch (endlich viele) Aufrufe an die definierte Funktion f selbst vorkommen dürfen. Gegenbeispiele Keine rekursiven { Definitionen sind also: 0, falls Programm für f kürzer als n KB f (n) = 1, sonst Zugriff nicht in Form von Aufrufen { 1, falls f (i) = 0 für alle i N f (n) = 0, sonst unendliche viele Aufrufe Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-10

23 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Substitutionsmodell Beispiele Allgemein Allgemeines Muster einer Rekursion Eine rekursive Definition einer Funktion f : A B hat die Form f (a) = E[f, a] wobei im Ausdruck E[f, a], also dem Funktionsrumpf, sowohl das Argument a, als auch (endlich viele) Aufrufe an die definierte Funktion f selbst vorkommen dürfen. Gegenbeispiele Keine rekursiven { Definitionen sind also: 0, falls Programm für f kürzer als n KB f (n) = 1, sonst Zugriff nicht in Form von Aufrufen { 1, falls f (i) = 0 für alle i N f (n) = 0, sonst unendliche viele Aufrufe Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-10

24 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Partialität Rekursive Definitionen liefern im allgemeinen nur partielle Funktionen: Die Funktionen summe und fakultät von Folie 03-2 liefern bei negativen Eingaben kein Ergebnis: > summe (-3) Heap exhausted; Grund: summe( 2) 2 + summe( 3) summe( 4) summe( 5).... Gleiches gilt für die Funktion waldläufer x = waldläufer x Bei der 3n + 1 -Funktion (min_i, Folie 03-6); weiß man nicht, ob sie wirklich für alle n definiert ist. Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-11

25 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Partialität Rekursive Definitionen liefern im allgemeinen nur partielle Funktionen: Die Funktionen summe und fakultät von Folie 03-2 liefern bei negativen Eingaben kein Ergebnis: > summe (-3) Heap exhausted; Tipp: Grund: Manche summe( 2) Computer werden 2 + unbenutzbar, summe( 3) wenn ein Programm den 2 kompletten 3 + summe( 4) Speicher belegt summe( 5).... GHC und GHCI erlaubt es, den maximal verwendeten Speicher zu beschränken, Gleiches gilt z.b. für hier dieauf Funktion 2 GB: > ghci file.hs +RTS -M2g waldläufer x = waldläufer x Bei der 3n + 1 -Funktion (min_i, Folie 03-6); weiß man nicht, ob sie wirklich für alle n definiert ist. Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-11

26 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Partialität Rekursive Definitionen liefern im allgemeinen nur partielle Funktionen: Die Funktionen summe und fakultät von Folie 03-2 liefern bei negativen Eingaben kein Ergebnis: > summe (-3) Heap exhausted; Grund: summe( 2) 2 + summe( 3) summe( 4) summe( 5).... Gleiches gilt für die Funktion waldläufer x = waldläufer x Bei der 3n + 1 -Funktion (min_i, Folie 03-6); weiß man nicht, ob sie wirklich für alle n definiert ist. Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-11

27 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Partialität Rekursive Definitionen liefern im allgemeinen nur partielle Funktionen: Die Funktionen summe und fakultät von Folie 03-2 liefern bei negativen Eingaben kein Ergebnis: > summe (-3) Heap exhausted; Grund: summe( 2) 2 + summe( 3) summe( 4) summe( 5).... Gleiches gilt für die Funktion waldläufer x = waldläufer x Bei der 3n + 1 -Funktion (min_i, Folie 03-6); weiß man nicht, ob sie wirklich für alle n definiert ist. Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-11

28 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Partialität Rekursive Definitionen liefern im allgemeinen nur partielle Funktionen: Die Funktionen summe und fakultät von Folie 03-2 liefern bei negativen Eingaben kein Ergebnis: > summe (-3) Heap exhausted; Grund: summe( 2) 2 + summe( 3) summe( 4) summe( 5).... Gleiches gilt für die Funktion waldläufer x = waldläufer x Bei der 3n + 1 -Funktion (min_i, Folie 03-6); weiß man nicht, ob sie wirklich für alle n definiert ist. Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-11

29 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Abstiegsfunktion 1/2 Gegeben sei eine rekursive Funktion f : A B f (x) = E[f, x] Um festzustellen ob f für alle Argumente einer gewählten Teilmenge A A definiert ist, kann man eine Abstiegsfunktion verwenden. Zuerst prüfen wir, ob A sinnvoll gewählt wurde. AUF) Unter der Voraussetzung x A wird im Ausdruck E[f, x] die Funktion f nur mit Argumenten y A aufgerufen. DEF) Für x A ist der Ausdruck E[f, x] definiert unter der Annahme, dass die getätigten Aufrufe von f alle definiert sind. Damit weiß man erst einmal, dass alle Funktionsanwendung f x für x A vernünftig bleiben (keine unvollständigen Patterns, etc.), aber A dom(f ) muss deshalb noch nicht gelten! Gegenbeispiel: E[f, x] = f (x) Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-12

30 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Abstiegsfunktion 1/2 Gegeben sei eine rekursive Funktion f : A B f (x) = E[f, x] Um festzustellen ob f für alle Argumente einer gewählten Teilmenge A A definiert ist, kann man eine Abstiegsfunktion verwenden. Zuerst prüfen wir, ob A sinnvoll gewählt wurde. AUF) Unter der Voraussetzung x A wird im Ausdruck E[f, x] die Funktion f nur mit Argumenten y A aufgerufen. DEF) Für x A ist der Ausdruck E[f, x] definiert unter der Annahme, dass die getätigten Aufrufe von f alle definiert sind. Damit weiß man erst einmal, dass alle Funktionsanwendung f x für x A vernünftig bleiben (keine unvollständigen Patterns, etc.), aber A dom(f ) muss deshalb noch nicht gelten! Gegenbeispiel: E[f, x] = f (x) Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-12

31 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Abstiegsfunktion 2/2 Sei nun zusätzlich m : A N eine Funktion mit A dom(m) und der folgenden Eigenschaft: ABST) Im Rumpf E[f, x] wird f nur für solche y A aufgerufen, für welche m(y) < m(x) gilt. Man bezeichnet so ein m als Abstiegsfunktion. AUF+DEF+ABST: Dann gilt A dom(f ). Die Abstiegsfunktion bietet also ein Maß für die Argumente einer Funktion, welches für alle Argumente von rekursiven Ausdrücken immer kleiner wird. Erinnerung an Folie 1-37: Mit dom(f ) bezeichnet man üblicherweise den Definitionsbereich (engl. Domain) einer Funktion f Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-13

32 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Beispiel Fakultät f : Z { Z 1, falls x = 0 f (x) = x f (x 1), sonst Wir wählen A = N und m(x) = max(x, 0) mit m : Z N. In E[f, x] wird f einmal mit Argument x 1 aufgerufen, falls x 0 und gar nicht aufgerufen, falls x = 0. AUF Wenn x A und x 0 (nur dann kommt es zum Aufruf), dann ist x 1 A ; DEF Der Rumpf E[f, x] enthält nur überall definierte Ausdrücke; ABST Wenn x A und x 0, so ist m(x 1) < m(x). Also gilt N dom(f ): die durch obiges Schema definierte rekursive Funktion terminiert für alle x N. Über Argumente x Z \ N wird hier nichts ausgesagt. Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-14

33 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Beispiel für kompliziertere Abstiegsfunktion Gegeben ist die rekursive Funktion f als: { a, falls i = n foosum(i, n, a) = foosum(i + 1, n, a + i), sonst foosum(3, 6, 10) foosum(4, 6, 13) foosum(5, 6, 17) foosum(6, 6, 22) 22 Wenn man wählt A = { (i, n, a) n N, 0 i n, a Z } m(i, n, a) = max(n i, 0) kann man die Terminierung von f auf A beweisen. Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-15

34 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Beispiel für kompliziertere Abstiegsfunktion Gegeben ist die rekursive Funktion f als: { a, falls i = n foosum(i, n, a) = foosum(i + 1, n, a + i), sonst foosum(3, 6, 10) foosum(4, 6, 13) foosum(5, 6, 17) foosum(6, 6, 22) 22 Wenn man wählt A = { (i, n, a) n N, 0 i n, a Z } m(i, n, a) = max(n i, 0) kann man die Terminierung von f auf A beweisen. Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-15

35 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Lineare Rekursion Endständige Rekursion Allgemein Verschiedene Formen der Rekursion Eine rekursive Definition f (x) = E[f, x] heißt: linear, wenn in E[f, x] die Funktion f höchstens einmal aufgerufen wird. Zum Beispiel wenn in jedem Zweig höchstens ein Aufruf steht. endständig, wenn E[f, x] eine Fallunterscheidung ist und jeder Zweig, in dem f aufgerufen wird, von der Form f (G) ist, wobei G keine weiteren Aufrufe von f enthält mehrfach rekursiv, wenn E[f, x] möglicherweise mehrere Aufrufe von f (im selben Zweig) enthält verschachtelt rekursiv, wenn die Argumente y mit denen f in E[f, x] aufgerufen wird, selbst weitere Aufrufe von f enthalten wechselseitig rekursiv, wenn im Rumpf eine andere (rekursive) Funktion aufgerufen wird, welche ihrerseits f in ihrem Rumpf verwendet Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-16

36 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Lineare Rekursion Endständige Rekursion Allgemein Lineare Rekursion Bei linearer Rekursion findet im Rumpf höchstens ein rekursiver Aufruf statt. Beispiele: Summe, Fakultät collatz x x <=1 = 0 even x = 1 + collatz (x div 2) otherwise = 1 + collatz (3 * x + 1) Auch linear, da es nur einen Aufruf pro Zweig gibt. Gegenbeispiele: Fibonacci hat zwei Aufrufe im Rumpf McCarthy s 91-Funktion mc91 n n > 100 = n-10 otherwise = mc91(mc91(n+11)) John McCarty, , amer. Informatiker Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-17

37 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Lineare Rekursion Endständige Rekursion Allgemein Endständige Rekursion = Lineare Rekursion + Zweige aller Fallunterscheidungen sind rekursive Aufrufe, deren Ergebnisse nicht weiterverarbeitet werden. Beispiele foosum i n a i == n = a otherwise = foosum (i+1) n (a+i) collatz' acc x x <=1 = acc even x = collatz' (acc+1) (x div 2) otherwise = collatz' (acc+1) (3 * x + 1) Gegenbeispiele Alle nicht-linearen Rekursionen summe, fakultät, collatz, da das Ergebnis der Aufrufe dort noch weiterverarbeitet wird (durch Addition bzw. Multiplikation von n) Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-18

38 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Lineare Rekursion Endständige Rekursion Allgemein Endrekursiv dank Akkumulator Endrekursion kann oft effizient abgearbeitet werden. Grund: Keine großen Zwischenergebnisse im Substitutionsmodell Beispiel: collatz 0 11 collatz 1 34 collatz 2 17 collatz 3 52 collatz 4 26 collatz Viele Rekursionen lassen sich in endständige Form bringen, wenn man das vorläufige Ergebnis in einem zusätzlichen Argument, den Akkumulator, aufsammelt. Beispiel: foosum ist eine endständige Version von summe foosum i n a i == n = a otherwise = foosum (i+1) n (a+i) foosum(0, 5, 0) foosum(1, 5, 0) foosum(2, 5, 1) foosum(3, 5, 3) foosum(4, 5, 6) foosum(5, 5, 10) = 10 Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-19

39 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Lineare Rekursion Endständige Rekursion Allgemein Endrekursiv dank Akkumulator Endrekursion kann oft effizient abgearbeitet werden. Grund: Keine großen Zwischenergebnisse im Substitutionsmodell Beispiel: collatz 0 11 collatz 1 34 collatz 2 17 collatz 3 52 collatz 4 26 collatz Viele Rekursionen lassen sich in endständige Form bringen, wenn man das vorläufige Ergebnis in einem zusätzlichen Argument, den Akkumulator, aufsammelt. Beispiel: foosum ist eine endständige Version von summe foosum i n a i == n = a otherwise = foosum (i+1) n (a+i) foosum(0, 5, 0) foosum(1, 5, 0) foosum(2, 5, 1) foosum(3, 5, 3) foosum(4, 5, 6) foosum(5, 5, 10) = 10 Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-19

40 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Lineare Rekursion Endständige Rekursion Allgemein Endrekursiv dank Akkumulator Endrekursion kann oft effizient abgearbeitet werden. Grund: Keine großen Zwischenergebnisse im Substitutionsmodell Beispiel: collatz 0 11 collatz 1 34 collatz 2 17 collatz 3 52 collatz 4 26 collatz Viele Rekursionen lassen sich in endständige Form bringen, wenn man das vorläufige Ergebnis in einem zusätzlichen Argument, den Akkumulator, aufsammelt. Beispiel: foosum ist eine endständige Version von summe foosum i n a i == n = a otherwise = foosum (i+1) n (a+i) foosum(0, 5, 0) foosum(1, 5, 0) foosum(2, 5, 1) foosum(3, 5, 3) foosum(4, 5, 6) foosum(5, 5, 10) = 10 Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-19

41 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Lineare Rekursion Endständige Rekursion Allgemein Endständige Rekursion und Iteration Endrekursion entspricht im wesentlichen einer While-Schleife: foosum i n a i == n = a otherwise = foosum (i+1) n (a+i) kann man ohne Rekursion in einer imperativen Sprache schreiben als int foosum(int i, int n, int a) { while (!(i=n)) { a = a+i; i = i+1; } return a; } Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-20

42 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Lineare Rekursion Endständige Rekursion Allgemein Beispiel: Potenzierung Rekursives Programm zur Potenzierung: potenz :: Double -> Int -> Double potenz _x 0 = 1 potenz x n = x * potenz x (n-1) Endrekursive verallgemeinerte Version: potenz2 :: Double -> Int -> Double potenz2 x n = potenz2' n 1 where potenz2' :: Int -> Double -> Double potenz2' 0 acc = acc potenz2' m acc = potenz2' (m-1) (x*acc) Die Funktion potenz2' n acc berechnet x n acc. Da potenz2' eine lokale Definition ist, braucht die Variable x nicht erneut übergeben werden. Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-21

43 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Lineare Rekursion Endständige Rekursion Allgemein Beispiel: Potenzierung Rekursives Programm zur Potenzierung: potenz :: Double -> Int -> Double potenz _x 0 = 1 potenz x n = x * potenz x (n-1) Endrekursive verallgemeinerte Version: potenz2 :: Double -> Int -> Double potenz2 x n = potenz2' n 1 where potenz2' :: Int -> Double -> Double potenz2' 0 acc = acc potenz2' m acc = potenz2' (m-1) (x*acc) Die Funktion potenz2' n acc berechnet x n acc. Da potenz2' eine lokale Definition ist, braucht die Variable x nicht erneut übergeben werden. Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-21

44 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Lineare Rekursion Endständige Rekursion Allgemein Beispiel: Potenzierung Rekursives Programm zur Potenzierung: potenz :: Double -> Int -> Double potenz _x 0 = 1 potenz x n = x * potenz x (n-1) Endrekursive verallgemeinerte Version: potenz2 :: Double -> Int -> Double potenz2 x n = potenz2' n 1 where potenz2' :: Int -> Double -> Double potenz2' 0 acc = acc potenz2' m acc = potenz2' (m-1) (x*acc) Die Funktion potenz2' n acc berechnet x n acc. Da potenz2' eine lokale Definition ist, braucht die Variable x nicht erneut übergeben werden. Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-21

45 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Lineare Rekursion Endständige Rekursion Allgemein Schnelle Potenzierung Tatsächlich geht es aber noch besser: potenz3 :: Double -> Int -> Double potenz3 _ 0 = 1 potenz3 x n even n = x_to_halfn_sq otherwise = x * x_to_halfn_sq where x_to_halfn_sq = square (potenz3 x (n div 2)) square y = y * y Begründung: x 2k = (x k ) 2 und x 2k+1 = (x k ) 2 x. Aufgabe: Schafft es jemand, eine endrekursive Version davon anzugeben, ohne dabei in die Standardbibliothek zu spicken? Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-22

46 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Lineare Rekursion Endständige Rekursion Allgemein Rekursion mit Listen Rekursion ist nicht auf Zahlen beschränkt: length :: [a] -> Int length [] = 0 length (_h:t) = 1 + length t length [1,2,3] 1 + (length [2,3]) (length [3]) (length []) Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-23

47 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Lineare Rekursion Endständige Rekursion Allgemein Rekursion mit Listen Auch das Ergebnis muss keine Zahl sein: reverse :: [a] -> [a] reverse [] = [] reverse (x:xs) = reverse xs ++ [x] reverse fly reverse ly ++ f reverse y ++ l ++ f reverse ++ y ++ l ++ f ++ y ++ l ++ f ylf Rekursion eignet sich hervorragend dazu, Listen zu bearbeiten! Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-24

48 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Lineare Rekursion Endständige Rekursion Allgemein Beispiel: Sortieren durch Einfügen insert :: Int -> [Int] -> [Int] insert x [] = [x] insert x (y:ys) x <= y = x : y : ys otherwise = y : insert x ys insert 2 [1,3,4,5] 1 : insert 2 [3,4,5] 1 : 2 : 3 : [4,5] = [1,2,3,4,5] sort :: [Int] -> [Int] sort [] = [] sort (x:xs) = insert x (sort xs) Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-25

49 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Lineare Rekursion Endständige Rekursion Allgemein Beispiel: Sortieren durch Einfügen insert :: Int -> [Int] -> [Int] insert x [] = [x] insert x (y:ys) x <= y = x : y : ys otherwise = y : insert x ys insert 2 [1,3,4,5] 1 : insert 2 [3,4,5] 1 : 2 : 3 : [4,5] = [1,2,3,4,5] sort :: [Int] -> [Int] sort [] = [] sort (x:xs) = insert x (sort xs) Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-25

50 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Lineare Rekursion Endständige Rekursion Allgemein Rekursion mit mehreren Listen Wir können auch mehrere Listen auf einmal berarbeiten: zip :: [a] -> [b] -> [(a,b)] zip [] _ = [] zip _ [] = [] zip (x:xs) (y:ys) = (x,y) : zip xs ys zip abc [1,2,3,4] ( a,1): zip bc [2,3,4] ( a,1):( b,2): zip c [3,4] ( a,1):( b,2):( c,3): zip [4] ( a,1):( b,2):( c,3):[] = [( a,1),( b,2),( c,3)] Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-26

51 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Lineare Rekursion Endständige Rekursion Allgemein Richtlinien zur Rekursion Viele Studenten haben anfangs Probleme damit, bewusst rekursive Funktionen zu schreiben. G.Hutton schreibt dazu: Es ist wie Fahrrad fahren, wenn man es nicht kann sieht es unmöglich aus; und wenn man es kann, ist wirklich einfach. 1 Explizit Typ der Funktion hinschreiben hilft! 2 Fallunterscheidungen auflisten. Bei Listen ist fast immer klar, dass zwischen leerer und nicht-leerer Liste unterschieden werden muss; bei natürlichen Zahlen erfordert oft die Null eine Sonderbehandlung 3 Einfach Fälle zuerst programmieren, die rekursiven Fälle kommen dann oft von alleine. 4 In rekursiven Fällen überlegen, was zur Verfügung steht! 5 Am Ende dann verallgemeinern und vereinfachen. Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-27

52 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Lineare Rekursion Endständige Rekursion Allgemein Beispiel: drop drop ist eine Funktion der Standardbibliothek, welche eine Zahl n und eine Liste xs als Argumente nimmt, und als Ergebnis eine Liste zurückliefert, bei der die ersten n Elemente fehlen. Online-Demonstration ergab den Code: mydrop :: Int -> [a] -> [a] mydrop 0 [] = [] mydrop 0 (h:t) = h:t mydrop n [] = [] mydrop n (h:t) = mydrop (n-1) t... welchen wir anschliessend leicht vereinfachen konnten zu: mydrop 0 xs = xs mydrop _ [] = [] mydrop n (_:t) = mydrop (n-1) t Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-28

53 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Lineare Rekursion Endständige Rekursion Allgemein Zusammenfassung Rekursion Rekursion als Mittel zur Definition von Funktionen Rekursion im Substitutionsmodell Rekursive Funktionen sind oft nicht überall definiert. Mit einer Abstiegsfunktion kann man die Definiertheit an bestimmten Stellen nachweisen. Verschiedene Arten der rekursiven Definition, insbesondere endständige Rekursion. Rekursion als Mittel zur Problemlösung (Bsp. Hanoi) Rekursion für den Umgang mit Listen (Bsp. Sortieren) Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-29

54 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Lineare Rekursion Endständige Rekursion Allgemein Programmierung und Modellierung mit Haskell Terminierung und Endrekursion Martin Hofmann Steffen Jost LFE Theoretische Informatik, Institut für Informatik, Ludwig-Maximilians Universität, München 30. April 2015 Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-29

55 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Beispiele Induktionsprinzip Kachelungen Zählen Wie viele Möglichkeiten gibt es einen n 2 Korridor mit 2 1 Kacheln zu belegen? n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-30

56 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Beispiele Induktionsprinzip Kachelungen Zählen Wie viele Möglichkeiten gibt es einen n 2 Korridor mit 2 1 Kacheln zu belegen? n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-30

57 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Beispiele Induktionsprinzip Kachelungen Zählen Wie viele Möglichkeiten gibt es einen n 2 Korridor mit 2 1 Kacheln zu belegen? n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-30

58 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Beispiele Induktionsprinzip Induktionsprinzip: Beispiel 1 Wir möchten zeigen, dass die Zahl der möglichen Kachelungen eines n 2 Korridors mit 2 1 Kacheln tatsächlich gleich F n ist; wobei F 0 = F 1 = 1 und F n = F n 1 + F n 2, falls n > 1. siehe Folie 03-5 Fibonacci-Zahlen Für n = 0, 1 stimmt die Behauptung. Wenn n > 1, so gibt es zwei Möglichkeiten, die Kachelung zu beginnen: Man beginnt mit einer quergestellten Kacheln und hat dann noch eine (n 1) 2 Fläche zu kacheln. Oder man beginnt mit zwei längsgestellten Kacheln und hat dann noch eine (n 2) 2 Fläche zu kacheln. per Induktion oder rekursiv können wir annehmen, dass die Zahl der Möglichkeiten hierfür F n 1 bzw. F n 2 ist, Also ergeben sich F n 1 + F n 2 = F n Möglichkeiten, w.z.b.w. Zwei Möglichkeiten zu Beginnen: x x x Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-31

59 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Beispiele Induktionsprinzip Induktionsprinzip: Beispiel 2 Wir möchten zeigen, dass der auf Folie 03-8 angegebene Algorithmus tatsächlich das Hanoi-Problem löst. Für n = 1 stimmt die Behauptung. Wenn n > 1, so schafft der erste Aufruf per Induktion die obersten n 1 Scheiben auf den Hilfsstapel; der nächste Befehl schafft die unterste Scheibe ans Ziel; der zweite Aufruf schafft wiederum per Induktion die n 1 Scheiben vom Hilfsstapel ans Ziel. Quelle: Wikipedia Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-32

60 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Beispiele Induktionsprinzip Induktionsprinzip: Beispiel 3 Wir möchten zeigen, dass jede Befehlsfolge für das Hanoi-Puzzle, welche n Scheiben von einem Stapel auf einen anderen schafft, mindestens 2 n 1 Befehle enthält. Für n = 1 stimmt das: = 1; eine Scheibe ist zu bewegen. Wenn n > 1, so muss irgendwann die unterste Scheibe bewegt werden und zwar auf einen freien Stapel; also eine Bewegung. Vorher müssen aber die n 1 darüberliegenden Scheiben auf den jeweils anderen verschafft wurden, damit dort Platz ist. Per Induktion erfordert das mindestens 2 n 1 1 Befehle. Anschließend müssen diese n 1 Scheiben auch ans Ziel, macht noch einmal mindestens 2 n 1 1 Befehle. Insgesamt also mindestens 2(2 n 1 1) + 1 = 2 n 1 Befehle. Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-33

61 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Beispiele Induktionsprinzip Das Induktionsprinzip Ein Induktionsbeweis ist eigentlich ein rekursiver Beweis. Man darf die zu beweisende Aussage selbst benutzen. Allerdings muss die Kette solcher Rückgriffe irgendwann zum Ende kommen. Dafür bietet sich eine Abstiegsfunktion an. Induktionsprinzip Es sei A eine Menge, P eine Eigenschaft auf A (formal P A) und m : A N eine Funktion, sodass für alle a A gilt: a ist in P unter der Annahme, dass alle y A mit m(y) < m(a) in P sind Dann ist P = A, also alle Elemente von A haben die Eigenschaft P. Insbesondere muss natürlich für alle a mit m(a) = 0 direkt a P gezeigt werden, da es in diesem Fall keine y mit m(y) < m(a) gibt. Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-34

62 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Beispiele Induktionsprinzip Beweis des Induktionsprinzips Induktionsprinzip Es sei A eine Menge, P eine Eigenschaft auf A (formal P A) und m : A N eine Funktion, sodass für alle a A gilt: a ist in P unter der Annahme, dass alle y A mit m(y) < m(a) in P sind Dann ist P = A, also alle Elemente von A haben die Eigenschaft P. Beweis Wenn P A gelten würde, so sei a A \ P ein Gegenbeispiel mit minimalem m-wert. Für alle y mit m(y) < m(a) gelte also y P. Nach Annahme gilt dann aber auch a P. Ein Widerspruch. Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-35

63 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Beispiele Induktionsprinzip Anmerkungen Oft ist A = N und m(a) = a. Dann darf man also verwenden, dass die Behauptung y P für alle y < a schon gezeigt ist und hat dann a P daraus herzuleiten. Bisweilen erlaubt man hier nur den Rückgriff auf a 1 und nicht auf beliebiges y < a. Man kann auch Induktionsprinzipien für andere Maß-Werte als N betrachten. Es kommt nur darauf an, dass jede echt absteigende Kette von Maß-Werten irgendwann zum Ende kommt. Beispiel: Paare von natürlichen Zahlen mit der lexikographischen Ordnung. In den meisten Fällen kommt man aber mit N-wertigen Abstiegsfunktionen aus. Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-36

64 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Beispiele Induktionsprinzip Beispiel: Endständige Rekursion foosum (i,n,a) i>=n = a otherwise = foosum (i+1,n,a+i) Man zeige durch Induktion, dass foosum(i, n, a) = a + n 1 j=i j. Als Abstiegsfunktion nimmt man m(i, n, a) = max(n i, 0). Falls m(i, n, a) = 0 so gilt i n. Damit ist die Summe leer und wir haben foosum(n, n, a) = a = a + n 1 j=n j Falls m(i, n, a) > 0 so gilt i < n und damit nach der Definition foosum(i, n, a) = foosum(i + 1, n, a + i) Wegen m(i, n, a) > m(i + 1, n, a + i) folgern wir mit Induktion foosum(i + 1, n, a + i) = a + i + n 1 j=i+1 n 1 j = a + j j=i Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-37

65 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Beispiele Induktionsprinzip Partielle Korrektheit Oft hat man eine rekursive Funktion f (a) = E[f, a] gegeben und möchte eine Aussage der Form a D.Q(a, f (a)) zeigen, wobei D der Definitionsbereich von f ist. Es genügt dann, für jedes a zu zeigen, dass Q(a, f (a)) erfüllt ist unter der Annahme, dass für alle rekursiven Aufrufe f (a 1 ),..., f (a n ), die in E[f, a] vorkommen, bereits Q(a i, f (a i )) erfüllt ist. Man kann nämlich dann als Abstiegsfunktion die Zahl der Auswertungsschritte nehmen. Auf dem Definitionsbereich ist diese erklärt und für alle rekursiven Aufrufe strikt kleiner. Damit haben wir bewiesen: Falls die Berechnung terminiert, dann erfüllt das Ergebnis die gewünschte Eigenschaft. Bemerkung: Will man eine rekursive Funktion zu verifizieren, so darf man die rekursiven Aufrufe bereits als korrekt annehmen. Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-38

66 Rekursion Terminierung Rekursionsarten Induktion Beispiele Induktionsprinzip Zusammenfassung Induktion Induktion als rekursiver Beweis mit überall definierter Abstiegsfunktion Beispiele: Kachelungen, Türme von Hanoi, Endrekursion Induktion ist ein Beweisverfahren um Aussagen über unendliche Mengen zu treffen. Partielle Korrektheit als Spezialfall der Induktion Martin Hofmann, Steffen Jost Programmierung und Modellierung 03-39