Versuch 2 Gravitationswaage

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1 Physikalisches Praktikum Versuch Gravitationswaage Name: Johannes Dörr Gruppe: 3 Oliver Schönborn Datum: Assistent: Matthias Stein testiert: 1 Einleitung Neben starker Wechselwirkung, schwacher Wechselwirkung und elektromagnetischer Wechselwirkung ist die Gravitationskraft eine der vier Fundamentalkräfte der Physik und bezeichnet das Phänomen der Anziehung zwischen Massen (aus dem lateinischen: gravitas: Schwere). Sie ist nicht nur verantwortlich für die Anziehungskraft der Erde, die uns als Schwerkraft bekannt ist und sich unter anderem daran äußert, das Gegenstände zu Boden fallen, sondern bestimmt auch die Dynamik des Sonnensystems, das heißt die Bahnen und Bewegungen der Planeten. Als Fundamentalkraft hat sie einen wichtigen Platz in allen Bereichen der Physik, in der Quantenmechanik wie in der Kosmologie. Mathematisch beschrieben wurde die Gravitation zum ersten mal im Jahre 1666 von Isaac Newton, die von ihm gewählte Gravitationskonstante γ ist heute eine der wichtigsten physikalischen Konstanten. In diesem Versuch beschäftigen wir uns mit der Gravitationswaage, einer Apparatur, die es uns möglich macht, die Gravitationskonstante γ experimentell zu bestimmen. 1

2 Theorie.1 Das Gravitationsgesetz Nach dem Newtonschen Gravitationsgesetz verhält sich die Gravitationskraft F G, mit der sich die Massen m 1 und m anziehen, proportional zu den Massen beider Körper und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes r der beiden Massenschwerpunkte: F G = γ m 1m r (1) mit der Gravitationskonstante γ, die mit γ = 6, angegeben ist. Isaac Newton formulierte dieses Gesetz aus Abhängigkeiten, die er beobachtet hatte. Aus der Annahme, dass auf einen Gegenstand in der Erdumlaufbahn die gleiche Kraft wirkt wie die, die auch den Mond in ihrer Kreisbahn hält, und dem Vergleich von Schwere und Zentripetalbeschleunigung schloss er auf die Abhängikeit F r. Lex tertia (das Prinzip actio = reactio) und die Tatsache, dass alle Körper auf der Erde gleich schnell fallen, solange schwere Masse (F G = mg) und träge Masse (F = ma) gleich sind, führten zur für das Gesetz wichtigen, zweiten Abhängigkeit F M i mit i = 1,. Mit dem aus diesen Abhängigkeiten formulierten Gravitationsgesetz konnte Isaac Newton erstmals die drei Keplerschen Gesetze mathematisch begründen.. Die Keplerschen Gesetze Der Baden-Würtemberger Astronom Friedrich Johannes Kepler, auch Ioannes Keplerus genannt ( ), veröffentlichte in den Jahren 169 bis 1619 die nach ihm benannten Keplerschen Gesetze, die er aus astronomischen Beobachtungen geschlossen hatte. Sie beschreiben die Lage und Form der Bahnkurve und die Dynamik der Planetenbewegungen. Diese fundamentalen Eigenschaften gelten allgemein für die Umlaufbahnen mehrerer Trabanten um einen sehr viel schwereren Zentralkörper zum Beispiel die Bewegungen des Mondes um die Erde, oder sogar der Fixsterne um das Galaktische Zentrum...1 Das erste Keplersche Gesetz (Ellipsensatz) Die Umlaufbahn eines Planeten ist eine Ellipse, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. Sei m die Masse des Planeten, der sich im Abstand r von der Sonne entfernt befindet, und ϕ der Winkel, den r mit einer beliebigen feststehenden Linie durch die Sonne einschließt. Da das Gravitationsfeld ein konservatives Kraftfeld ist, gilt hier die Energie- und Impulserhaltung: wobei für die Energien gilt: E pot = γ Mm r E = E pot + E kin = const. () L = mr ϕ = const., (3) E kin = m v = m (v r + v ϕ) = m (ṙ + r ϕ ), (5) wobei v r die Geschwindigkeitskompontente des Planeten in Richtung von r und v ϕ selbige orthogonal dazu ist. Die Gesamtenergie E können wir damit wie folgt ausdrücken und danach nach ṙ umstellen: (4) E = E pot + m ṙ + L mr (6) ṙ = dr ( ) = E E pot L dt m mr. (7)

3 Teilen wir nun die sich aus (3) ergebende Gleichung dϕ dt = dϕ dr = ϕ ṙ = L mr dϕ = L m r L mr [ ( E E pot m dr m (E Epot L durch Gleichung (7), so erhalten wir: L )] 1 mr mr ) Dies ist ein sogenanntes elliptisches Integral. Mit Gleichung (3) ergibt sich dann: L (8). (9) r ϕ = arccos γm M. (1) (γm M) + mel Nach Ausdrücken der Geschwindigkeit in Polarkoordinaten und Ausnutzen der Konstanz des Drehimpulses erhalten wir nun eine Differentialgleichung, die wir durch Trennung der Variablen lösen. Zunächst definieren wir: Dann ergibt sich: a = γ mm E ɛ = (11) 1 + EL γ 3 m 3 M. (1) ϕ = arccos a(1 ɛ ) r ɛr (13) r = a(1 ɛ ) 1 + ɛ cos ϕ. (14) Dies ist die Gleichung eines Kegelschnitts mit der Bahnexzentrizität ɛ. Für eine Ellipse ( < ɛ < 1; E < ), auf der sich ein Planet bewegt ist a die große Halbachse. Für die kleine Halbachse b gilt: b = a 1 ɛ (15) = γmm EL E γ m 3 M (16) = L me. (17) Für ɛ > 1 bzw. eine positive Gesamtenergie (E > ) ergäbe sich die Gleichung einer Hyperbel auf der sich zum Beispiel Kometen bewegen, die das Sonnensystem wieder verlassen können. Bei ɛ = 1 liegt eine parabolische Bahn vor... Das zweite Keplersche Gesetz (Flächensatz) Die Verbindung zwischen Zentralkörper und Trabant überstreicht in gleichen Zeitabschnitten gleiche Flächen. Es lässt sich zeigen, dass das. Keplersche Gesetz äquivalent zum Drehimpulssatz ist. In seiner vektoriellen Form lautet das Gravitationsgesetz: F = γ m 1m r r r. (18) Die Kraft wirkt also entlang der Verbindungslinie r der beiden Massen m 1 und m, wir haben es hier mit einer Zentralkraft zu tun. Im Zentralkraftfeld bleibt der Drehimpuls erhalten, daraus folgt, dass sich die Planeten im 3

4 Figure 1: Planetenbewegung um die Sonne Zentralkraftfeld der Sonne in einer Ebene bewegen. Nun gilt aber auch für die Änderung der Fläche A, die die Verbindungslinie überstreicht: A = 1 r r (19) = 1 m L, () wobei m die Masse des kreisenden Körpers ist. Aus L = const. folgt, dass auch A konstant ist. Ist die Änderung der Fläche konstant, so bedeutet dies, dass in der gleichen Zeit gleiche Flächen überstrichen werden...3 Das dritte Keplersche Gesetz Die Quadrate der Umlaufzeiten T je zweier Planetenbahnen sind proportional zu den dritten Potenzen ihrer großen Halbachsen a: T a 3. r Ȧ = L m (1) Ȧdt = L m T () A = πab (3) = πa E m γm = πa a = πa 3 L γmm L γmm (4) (5) L γm (6) T = π γm a 3. (7) So erhalten wir also direkt das 3. Keplersche Gesetz, der Term Gleichungen für a und b zeigen, dass dies für die kleine Halbachse b nicht gelten kann. π ist dabei der Proportionalitätsfaktor. Die γm.3 Die Gravitationswaage Die Gravitationswaage ist eine von Cavendish und Eötvös im Jahre 1798 konstruierte Torsionswaage und besteht aus einem dünnen Torsionsfaden, an dessen Ende zwei kleine Metalllkugeln (Masse m) und ein Spiegel angebracht sind. Das System ist in einer Glasröhre evakuiert und innerhalb der Röhre von einem Kupfergitter umgeben, das 4

5 Figure : Aufbau der Gravitationswaage nach dem Prinzip des Faraday schen Käfigs elektromagnetische Felder abschirmen soll. Dies ist wichtig, da nur die Gravitationskraft wirken soll, wofür man einige äußeren Einflüsse abschirmen muss. Außerhalb der Röhre, in der Nähe der kleinen Kugeln, befinden sich zwei größere Bleikugeln (Masse M). Über einen Lichtzeiger kann die Drehung des torsionsfadens durch Reflexion am Spiegel auf einer Skala (die im Falle unseres Versuchs mit ausreichend Distanz zum Versuchsaufbau an der Decke angebracht ist) gemessen, bzw. abgelesen werden..4 Bestimmung der Gravitationskonstanten Werden die großen Kugeln gegenüber der Ruhelage ϕ = um den Winkel α ausgelenkt, üben die Gravitationskräfte zwischen den Kugelpaaren ein Drehmoment T G auf den Torsionsfaden aus. Nach dem Kosinussatz (siehe Abb. ) gilt d = a + b b ab cos θ mit θ + ϕ = α, nach dem Sinussatz gilt sin β = d sin θ, daraus ergibt sich das Drehmoment für beide Kugeln zu: T G = r F (8) = a F sin β (9) mmab sin θ = γ (a + b ab cos θ) 3 mmab sin α ϕ = γ (a + b ab cos(α ϕ)) 3 (3). (31) Nimmt man nun an, dass der Auslenkungswinkel ϕ gegenüber α sehr klein ist, kann man die Gleichung mit α ϕ α folgendermaßen annähern: mmab sin α T G γ (a + b ab cos α) 3. (3) 5

6 In der neuen Ruhelage (nach der Auslenkung) ist dieses Drehmoment T G gleich dem Drehmoment T F Torsionsfadens, dass durch seine Verdrillung entsteht: des T G = T F, (33) T F = Dϕ = 4π TP Iϕ, (34) mit der Rückstellkonstante D des Fadens, dem Trägheitsmoment J der Torsionshantel und der neuen Ruhelage ϕ, in der dieses Gleichgewicht herrscht. Für das Trägheitsmoment I der Kugeln, die im gegenseitigen Abstand a an dem Faden hängen, gilt mit Hilfe des Steinerschen Satzes: womit dann folgt: I = m( 5 r + a ), (35) T F = 4π TP I m( 5 r + a ) ϕ. (36) Zusammenfügen der Gleichungen (3) und (36) ergibt: mmab sin α γ (a + b ab cos α) 3 = 4π T m( 5 r + a )ϕ (37) γ = 4π ϕ ( 5 r + a )(a + b ab cos α) 3 T Mab sin α (38) Da die Masse der kleinen Kugeln m in beide Drehmomente gleichermassen mit eingeht, fällt sie auf beiden Seiten beim Gleichsetzen weg und wird somit für die Berechnung von γ nicht benötigt. 3 Durchführung Zunächst wird die Nummer der Apparatur notiert und die Null-Lage der ruhenden Torsionswaae ohne Beeinflussung durch die äußeren Kugeln an der Skala bestimmt (alle 4 Kugeln befinden sich in einer Ebene). Die Kugeln müssen bis zum Beginn des Experiments in dieser Lage bleiben, wird eine Schwingung ausgelöst, so ist diese nicht mehr zu stoppen und die Schwingung hält viele Stunden an. Nun werden die Kugeln um den Winkel α = +54 gegenüber der Nullage ausgelenkt und der zeitliche Verlauf der nun eintretenden Schwingung wird gemessen. Hierzu wird der aktuelle Wert alle 15 Sekunden an der Skala abgelesen, die für diesen Zweck an der Decke angebracht ist, über mindestens 5 Perioden. Anschließend lenkt man die Kugeln um α = 18 aus, auf die entgegengesetzte Lage von 54 und verfährt wie zuvor. Nach Abschluß der Messung müssen die Kugeln unbedingt für die folgenden Praktikumsgruppen wieder auf die Nullage zurückgedreht werden. 4 Auswertung 4.1 Periodendauern der Schwingungen (1.) Die Graphen (siehe Abb. 3 und 4) zeigen die Schwingungen, die das kleine Kugelpaar nach dem Auslenken der großen Kugeln um den Winkel α ausführt. Die falsche (zu hohe) Angabe der maximal erlaubten Auslenkung 6

7 Figure 3: Auslenkung in Abhängigkeit von der Zeit. Erste Messung mit α = +5. Die ersten Maxima konnten nicht aufgezeichnet werden. Figure 4: Auslenkung in Abhängigkeit von der Zeit. Zweite Messung mit α = 5 7

8 der Apparatur (I) von ±5 führte dazu, dass der Laserstrahl bei der ersten Messung teilweise den Spiegel nicht mehr richtig traf und wir deshalb einige Nulldurchgänge und die ersten drei Maxima der Auslenkung nicht messen konnten, was in Abb. 3 deutlich zu sehen ist. Nachfolgenden Gruppen empfehlen wir daher, nicht um mehr als 45 auszulenken. Auf Grund der fehlenden Messwerte bestimmen wir die Periodendauer T nicht anhand der Nulldurchgänge sondern über die zeitlichen Abstände der Minima, deren Messung glücklicherweise dennoch möglich war, und der beiden Maxima am Ende. Messung 1 (α = +5 ): Messung (α = 5 ): T = 534,85(3,67)s T = 539,58(3,16)s 4. Ermittlung der Endeinstellungen Prinzipiell erstarrt die gedämpfte Schwingung nach einigen Perioden und nimmt eine bestimmte Stellung ein. Da dies jedoch sehr viel Zeit beanspruchen würde, berechnet man die zu erwartende Endeinstellung ȳ aus den maximalen Auslenkungen y i nach dem folgenden Schema: ȳ = (y n + y n+1 + y n+ ) / 4. Dabei sind die y n..n+1 jeweils drei aufeinander folgende Maximalauschläge, also Minima bzw. Maxima. Der Mittelwert aller ȳ ergibt dann ȳ, die zu erwartende Endeinstellung. Jeweils für α = +5 und α = 5 ergibt sich: Messung 1 (α = +5 ): Messung (α = 5 ): ȳ = 167,5(8)cm ȳ = 141,936(31)cm Hierbei ist wieder zu beachten, dass der Wert der ersten Messung ungenauer ist, da dort für die Ermittlung von ȳ nur fünf aufeinander folgende Maximalausschläge zur Verfügung standen. 4.3 Berechnung der Gravitationskonstanten (. und 3.) Die Gravitationskonstante γ ergibt sich, wie in der Theorie beschrieben, aus: ( ) γ = 4π a +b ϕ ab cos(α) 3 (a + 5 r ) abm sin(α) T, Dabei sind laut Angaben für Apparatur I: Abstand Schwerpunkt-Drehachse kleine Kugeln: Abstand Schwerpunkt-Drehachse große Kugeln: Radius der kleinen Kugeln: Masse der großen Kugeln: a =,4cm b = 1,15cm r =,75cm M = 1,14kg Da auf Grund der als nicht fehlerbehaftet angenommen Angaben nur die Periodendauer T und die Winkel ϕ und α gemessen bzw. per Hand eingestellt werden müssen, ergibt sich für die Fehlerabschätzung für γ lediglich: ( ) ( ) ( ) σ γ = γ(t,α,ϕ) T σ T + γ(t,α,ϕ) α σ α + γ(t,α,ϕ) ϕ σ ϕ. Da die Ableitungsterme γ(t, α, ϕ) sehr lang sind, werden diese nicht an dieser Stelle sondern im Anhang aufgeführt. Bei der Einstellung des Winkels α gehen wir von einer Ungenauigkeit von ±1 aus. 8

9 Figure 5: Berechnung der Winkel aus den Skalenwerten Der Winkel ϕ errechnet sich prinzipiell aus (siehe auch Abb. 5): tan(ϕ + δ) = ȳ y [ s( ϕ = 1 arctan ȳ y ) ( s arctan ȳ y )] s. Die Apparatur ist jedoch bereits so kalibriert, dass der Laserstrahl in der Nulllage bereits senkrecht auf die Skala trifft, was bedeutet, dass y = y und damit δ =. Damit vereinfacht sich die Formel für ϕ zu: ϕ = 1 arctan ( ȳ y ) s mit dem Fehler: σ ϕ = σ ȳ ( ) + 4s 1+ (ȳ y ) s, σ y ( ) = 4s 1+ (ȳ y ) s ( σ ȳ +σ y s+ (ȳ y ) s ). Die Entfernung der Skala s vom Spiegel wurde mit s = 65cm angegeben Gravitationskonstanten aus beiden Messungen unabhängig voneinander (3.) Zunächst werden wir die Gravitationskonstate für beide Messungen unabhängig von einander bestimmen. Mit dem zu Beginn des Versuchs gemessenen Skalenwert y = 154(1)cm, den der Laser in der Nulllage anzeigte, und den oben berechneten Werten für ȳ ergibt sich für ϕ: ϕ +5 =,455(189) ϕ 5 =,75(188). Mit den oben bestimmten Werten für die Periodendauern T ergibt sich dann für die Gravitationskonstante γ: Messung 1 (α = +5(1) 11 m3 ): γ = 7,35(58) 1 Messung (α = 5(1) ): γ = 6,651(565) 1 kg s 11 m3 kg s Besonders der zweite Wert ist, verglichen mit dem Literaturwert von γ = 6, zweite Wert sehr zufriedenstellend. Beide liegen im abgeschätzten Fehlerbereich. m3 kg s ist besonders der 9

10 4.3. Gravitationskonstante anhand der Differenz beider Ruhelagen (.) Man kann nun beide Werte der Endlage ȳ für α = +5(1) bzw. α = 5(1) in die Berechnung der Gravitationskonstanten eingehen lassen, was sinnvoll ist, da davon auszugehen ist, dass die systematischen Fehler der Versuchsapparatur sich symmetrisch auswirken und sich somit gegenseitig aufheben. Figure 6: Berechnung der Gravitationskonstante Dazu berechnen wir den Winkel ϕ, nämlich die mittlere Auslenkung, wie folgt: ( ) ϕ = 1 arctan ȳ(+5 ) ȳ ( 5 ) s, mit dem Fehler: σ ϕ = 1 4s σ ȳ (+5 ) +σ ȳ ( 5 ) (1+ ( ) 1 ȳ (+5 ) ȳ ( 5 )) = 4s σ ȳ (+5 ) +σ ȳ ( 5 ) s+ (ȳ(+5 ) ȳ ( 5 )) s. Mit den oben bestimmten Werten für ȳ (+5 ) und ȳ ( 5 ) ergibt sich dann für ϕ: ϕ =,365(9). Natürlich müssen auch beide Messungen der Periodendauer berücksichtigt werden. gewichtete Mittelwert der Periodendauern: T = 537,566(15)s. Hierfür liefert der Schließlich ergibt sich für die Gravitationskonstante γ: γ = 6,966(111) 1 11 m3 kg s Dieser Wert ist ebenfalls zufriedenstellend. Leider ist der abgeschätzte Fehler zu klein Berechnung des Torsionsmoduls des Torsionsfadens (5.) In der Endeinstellung ϕ kompensieren sich Torsionsmoment T F, also das Drehmoment, das der verdrillte Faden erzeugt, und Gravitationsmoment T G, das durch die sich anziehenden Kugeln entsteht. Das Torsionsmodul G gibt Aufschluss darüber, wie stark das Drehmoment T F abhängig vom Winkel der Verdrillung ist: T F = G πr4 F l F ϕ, wobei r F der Radius und l F die Länge des Fadens ist. Das Gravitationsmoment ergibt sich aus: T G = aγ Mm d sin β, wobei β der Winkel zwischen der Verbindungslinie der beiden kleinen und der Linie, in dessen Richtung 1

11 die Gravitationskraft zwischen den beiden (verschieden großen) Kugeln wirkt, ist. messen, aber für kleine Auslenkungen ϕ seinen Sinus nähern: Wir können ihn nicht sin β = b/d sin α Da sich T G und T F ausgleichen, können wir sie gleichsetzen: G πr4 F l F ϕ = aγ Mm d sin β G = 4aγ Mml F ϕπr 4 F d sin β und dann die Näherung einsetzen: G = 4abϕ Mml F ϕπr 4 F d3 sin α. Die Entfernung d zweier Kugeln ergibt sich mit dem Cosinus-Satz: d = a + b ab cos(α ϕ). Damit ergibt sich dann als endgültige Formel für das Gravitationsmoment G: G = 4abϕ Mml F sin α ϕπr 4 F ( a +b ab cos(α ϕ) ) 3, mit dem Fehler: ( ) ( ) ( ) σ G = G(ϕ,α,lF ) ϕ σ ϕ + G(ϕ,α,lF ) α σ α + G(ϕ,α,lF ) l F σ lf. Die vollständigen Ableitungsterme befinden sich im Anhang. Für das Torsionsmodul G ergibt sich dann mit dem oben bestimmten ϕ =, 365(9): G = 146, 9(1) 1 9 N m Verglichen mit dem Literaturwert von N m ergibt sich eine Abweichung von 7,6%, was als zufriedenstellendes Ergebnis betrachtet werden kann. 11

12 5 Diskussion In diesem Versuch liefern uns die Messwerte zwar keine perfekten, aber doch akzeptable Endergebnisse. Trotzdem bleibt die Frage zu klären, wo diese Fehlerquellen im Versuch aufgetreten und wie sie unter Umständen zu eliminieren sind. Zunächst sollte man folgendes erwähnen: Obwohl die Gravitationskonstante zu den wichtigsten physikalischen Konstanten gehört, ist sie immernoch recht ungenau gemessen, da der Gravitationseffekt in den realisierbaren Experimenten so gering ist, dass er von sehr vielen anderen auftretenden Kräften übertroffen und verfälscht wird. Aus diesem Grund muss der Versuchsaufbau von Störungen abgeschirmt sein, gelingt dies nicht oder nur teilweise, so kann dies den einwandfreien Versuchsablauf maßgeblich beeinträchtigen. Im Falle unserer Versuchsapparatur muss man sagen, dass der Versuch, sie von Störungen abzuschirmen nur halbherzig vorgenommen wurde. Der Aufbau, wie im Skript beschrieben, sieht vor, dass der gesamte Komplex in die Wand verankert ist, um ihn von den Störungen zu befreien, die über den Boden weitergegeben werden, zum Beispiel ausgelöst durch die Fußschritte der Praktikanten. Zwar spielen dann immernoch Schwankungen im Gebäude eine Rolle, dieser Faktor dürfte aber sehr klein ausfallen. Leider jedoch wurde diese Idee nicht eingehalten und die Apparatur ist mit einer Stange mit dem Boden verbunden, Vibrationen werden deshalb trotzdem an den Versuchsaufbau weitergegeben. Zusätzlich ist zu sagen, dass speziell unsere Apparatur sehr schlecht justiert war. Die ersten Maxima der Schwingungsperioden konnten wir nicht aufzeichnen, da der Glaskolben so gedreht war, dass der Laser an einigen Stellen eine dickere Stelle im Glas passierte und somit gebrochen wurde, letztenendes konnte kein eindeutiger Wert auf der Skala abgelesen werden. Bei der Berechnung von γ mussten wir damit mit den kleineren Maxima arbeiten, die für uns wieder ablesbar waren. Natürlich spielt auch der Praktikant hier wieder eine Rolle, ist die Drehung von - 54 auf +54 zu ungenau oder lässt man sich zuviel Zeit, so kann auch dies die Schwingung stören, von der Vibration oder Stössen, die auf den Tisch übertragen werden einmal abgesehen. In unserem Fall durften wir die Kugeln aufgrund der schlechten Justierung der Apparatur auch nur auf 5 auslenken, dies allerdings erwies sich schon als zu große Auslenkung. Im Allgemeinen ist also zu sagen, dass die Ergebnisse sicherlich verbessert werden könnten, wenn für eine gute Justierung der Aufbauten gesorgt würde, der Fehler durch die Hand des Praktikanten spielt den geringeren Anteil an der Verfälschung der erwarteten Messwerte. 1

13 6 Anhang 6.1 Fehlerabschätzung für die Gravitationskonstante Der Fehler bei der Berechnung der Gravitationskonstanten γ mit: ( ) γ = 4π a +b ϕ ab cos(α) 3 (a +/5 r ) ergibt sich aus: ( σ γ = γ(t,α,ϕ) T abm sin(α) T σ T ) + ( γ(t,α,ϕ) α σ α ) + ( γ(t,α,ϕ) ϕ σ ϕ ), wobei die Periodendauer T und die Winkel α und ϕ die fehlerbehafteten Größen sind, während a, b, M und r angegebene Werte haben, die als nicht fehlerbehaftet angesehen werden. Für die Ableitungen gilt: ( ) 3 γ(t,α,ϕ) a T = 8π ϕ +b ab cos(α) (a +/5 r ) abm sin(α)t 3 γ(t,α,ϕ) α = 1π a +b ϕ ab cos(α)(a +/5 r ) MT 4π ϕ ( ) 3 γ(t,α,ϕ) ϕ = 4π a +b ab cos(α) (a +/5 r ) abm sin(α)t. ( ) 3 a +b ab cos(α) (a +/5 r ) cos(α) abm(sin(α)) T Diese eingesetzt in die obige Formel ergeben dann die endgültige Fehlerabschätzung. 6. Fehlerabschätzung für das Torsionsmodul Für den Fehler bei der Berechnung des Torsionsmoduls gilt: ( ) ( ) ( ) σ G = G(ϕ,α,lF ) ϕ σ ϕ + G(ϕ,α,lF ) α σ α + G(ϕ,α,lF ) l F σ lf. Für die Ableitungen gilt: G(ϕ,α,l F ) ϕ = 1 G(ϕ,α,l F ) α = 4 G(ϕ,α,l F ) l F = 4 a b Mml F sin(α) sin(α ϕ) π r 4 F (a +b ab cos(α ϕ)) 5/ abmml F cos(α) π r F 4 (a +b ab cos(α ϕ)) 3/ 1 abmm sin(α) π r F 4 (a +b ab cos(α ϕ)) 3/. a b Mml F sin(α) sin(α ϕ) π r 4 F (a +b ab cos(α ϕ)) 5/ Durch einsetzen dieser Terme in die obige Gleichung erhält man die Formel für die Fehlerabschätzung. 13

14 6.3 Betrag des Drehimpulses Für den Ort r und die Geschwindigkeit r eines Körpers auf einer gekrümmten Bahn mit der Entfernung R zum Mittelpunkt des Kreises und dem Winkel ϕ, den der Verbindungsvektor mit einer belibig festgelegten Geraden bildet, gilt: r = R r = Ṙ cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ (39) + R ϕ sin ϕ cos ϕ. (4) Dabei nehmen wir obda. an, dass die Bewegung in der XY-Ebene stattfindet. Mit der Definition des Drehimpulses: ergibt sich dann: L = m R = m R Ṙ = mr ϕ L = mr ϕ. cos ϕ sin ϕ 1 L = m r r (41) Ṙ cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ }{{} = + R ϕ + R ϕ sin ϕ cos ϕ (4) cos ϕ + sin ϕ }{{} =1 (43) (44) (45) 6.4 Herleitung der Drehimpulserhaltung bei Zentralkräften Für hinreichend kleine Zeitintervalle dt können wir die Fläche d A, die die Verbindungslinie r zwischen dem Zentralkörper und dem Trabant mit der Geschwindigkeit v als Dreieck annähern, da das Bogelelement der Ellipse dann als Gerade angesehen werden kann: A = 1 r rdt (46) A dt = 1 r r = A (47) 1 A = ṙ ṙ + ṙ r =. (48) }{{}}{{} = = Da wir hier von einer Zentralkraft reden, wirkt die Kraft immer in Richtung der Verbindungslinie. Aus r F = m r folgt, dass auch in diese Richtung die Beschleunigung wirkt, also gilt: r F r. Aus diesem Grund werden beide Kreuzprodukte zu null, womit bewiesen ist, dass die Änderung der Flächengeschwindigkeit A =, also die überstrichene Fläche pro Zeit A konstant ist. Hieraus folgt, dass der Drehimpuls erhalten ist. 14