Arbeitsblatt/Hausübung W21. Für ein Produkt lautet die quadratische Kostenfunktion wie folgt:

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1 1 Herstellungskosten Für ein Produkt lautet die quadratische Kostenfunktion wie folgt: K(x) = 0, 1x 2 + 6x + 40 K(x)... Gesamtkosten von x Mengeneinheiten in Geldeinheiten (GE) x... erzeugte Menge in Mengeneinheiten Der Betrieb erzeugt pro Tag höchstens 30 ME dieses Produkts. 1. Interpretieren Sie die gegebene Kostenfunktion hinsichtlich der folgenden mathematischen Eigenschaften: sinnvoller Definitionsbereich Monotonie und Krümmungsverhalten Fixkosten 2. - Ermitteln Sie aus der gegebenen Gleichung, wie viele ME produziert wurden, wenn Kosten von 150 GE angefallen sind. - Ermitteln Sie, wie hoch die Kosten für die Produktion von 10 ME sind. - Stellen Sie die Kostenfunktion grafisch dar und zeichnen Sie die beiden berechneten Wertepaare ein Stellen Sie die Stückkostenfunktion auf. - Berechnen Sie das Betriebsoptimum! 2 Kosten- und Preistheorie Für einen Betrieb wurden folgende Kosten- und Erlösfunktion ermittelt: K(x) = 10x E(x) = 0, 1125x x 1. Erläutern Sie die Bedeutung der Parameter der Kostenfunktionen im Sachzusammenhang. 2. Ermitteln Sie jene Produktionsmenge, bei welcher der Erlös am größten ist. 1

2 3. Berechnen Sie den Gewinnbereich des Produktes Ermitteln Sie jene Stückzahl, bei der der maximale Gewinn erzielt werden kann. - Berechnen Sie den zugehörigen Gewinn. - Erklären Sie, warum es nur ein Maximum geben kann. 5. Erklären Sie die Bedeutung eines negativen Gewinns. 3 Kosten- und Preistheorie II Ein Unternehmen kann monatlich maximal 400 ME eines bestimmten Produkts herstellen. Die Gesamtkosten in GE werden durch die Funktion K beschrieben, wobei x die Anzahl der Mengeneinheiten angibt. K(x) = x x2 + 35x Wie hoch sind die Fixkosten des Betriebes? 2. Bestimmen Sie die Termdarstellung einer Funktion, welche die variablen Kosten beschreibt. 3. Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Kostenfunktion in den Intervallen [10; 20] und [100; 110]. Interpretieren Sie die Bedeutung dieser Werte im Sachzusammenhang. 4. Berechnen Sie die Grenzkosten für x = Das Unternehmen kann sein Produkt zu einem Preis von 75 GE verkaufen. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Erlösfunktion. 6. Berechnen Sie die Gewinnschwelle. 2

3 4 Vergnügungspark Ein kürzlich eröffneter Vergnügungspark ist ein beliebtes Ausflugsziel in der Region. 1. Beim Eingang zum Vergnügungspark steht ein Torbogen. Dieser wird durch einen Teil des Graphen der Funktion mit folgender Gleichung beschrieben: Angaben in Metern. f(x) = 9 x 2 Dabei wird der ebene Boden durch die x-achse beschrieben. Bei einer Parade muss ein 4 Meter hoher Festwagen durch den Torbogen geschoben werden. Nach oben hin muss ein senkrechter Minimalabstand von 10 cm eingehalten werden (siehe Skizze (nicht maßstabsgetreu). Berechnen Sie, welche Breite b der Festwagen maximal haben darf. 2. Eine der Hauptattraktionen ist die Hochschaubahn. Ein Teilstück kann durch die Polynomfunktion modelliert werden, deren Graph in der folgenden Abbildung zu sehen ist: 3

4 Erklären Sie, welchen Grad diese Polynomfunktion mindestens haben muss. Eine andere Stelle der Hochschaubahn kann durch eine Parabel beschrieben werden. Diese Funktion schneidet die y-achse im Punkt P = (0 1) und hat ihr Maximum im Punkt Q = (2 3). Geben Sie die nötigen Gleichungen für das Berechnen der Koeffizienten a, b und c an. 3. Im Vergnügungspark gibt es ein Kino. Fiona sitzt a Meter von der Leinwand entfernt (Punkt F ). Der Höhenwinkel zum unteren Ende der Leinwand (Punkt Q) wird mit α bezeichnet, der Höhenwinkel zum oberen Ende der Leinwand (Punkt P ) wird mit β bezeichnet. Erstellen Sie eine Formel für die Berechnung der Höhe h der Leinwand aus a, α und β. 4

5 5 Luftdruck - Höhenformel Der Luftdruck nimmt mit zunehmender Höhe über dem Meeresspiegel (Seehöhe) ab. Der Zusammenhang kann durch Exponentialfunktionen oder näherungsweise durch lineare Funktionen beschrieben werden. 1. Ein Modell zur Beschreibung des Zusammenhangs zwischen der Höhe über dem Meeresspiegel und dem Luftdruck ist die barometrische Höhenformel: p(h) = p 0 e h 7991 h... Höhe über dem Meeresspiegel in Metern (m) p(h)... Luftdruck in der Höhe h in Hectopascal (hpa) Berechnen Sie diejenige Seehöhe, bei der der Luftdruck genau die Hälfte von p 0 beträgt. 2. Ein vereinfachtes Modell des Zusammenhangs zwischen der Höhe über dem Meeresspiegel und dem Luftdruck nimmt eine konstante Abnahme des Luftdrucks um 10 hpa pro 100 Höhenmeter an. Der Luftdruck auf Höhe des Meeresspiegels beträgt rund 1013 hpa. Verwenden Sie die folgenden Bezeichnungen: h... Höhe über dem Meeresspiegel in m f(h)... Luftdruck in der Höhe h in hpa Stellen Sie die Gleichung der Funktion auf, die diesen Zusammenhang im vereinfachten Modell beschreibt. 3. Zu Beginn des Jahres 2013 wurden im Schigebiet Kaprum-Kitzsteinhorn folgende Werte für den Luftdruck gemessen: Seehöhe Luftdruck 990 m 1040 hpa 1980 m 930 hpa Bestimmen Sie mithilfe eines linearen Modells aus diesen Daten den Luftdruck in einer Höhe von 1300 m über dem Meeresspiegel. 5

6 6 Kindergarten Der Außenbereich eines Kindergartens wird vergrößert und zu einem Erlebnisgarten umgestaltet. 1. Vom Eingang E bis zum Blockhaus B soll ein geradliniger Barfußweg angelegt werden (siehe Abbildung) Berechnen Sie die Länge x des Weges in Metern. Dokumentieren Sie, sie Sie den Flächeninhalt der Erweiterung berechnen können, wenn x als bekannt angenommen wird. 2. Vom höchsten Punkt eines Hügels soll eine Rutsche herunterführen. Das Profil der geplanten Rutsche kann durch folgende Funktion annähernd beschrieben werden: f(x) = 1 72 (x4 16x x 2 432) mit 0 x 6 Der Steigungswinkel einer Spielplatzrutsche darf laut Norm aus Sicherheitsgründen an keiner Stelle 120 unterschreiten. 6

7 Überprüfen Sie mit Hilfe der Differentialrechnung, ob die geplante Rutsche normgerecht ist. 3. Der gesamte Normbereich Außenbereich soll neu gestaltet werden. Der Gärtner veranschlagt einen Preis von p Euro pro Quadratmeter exklusive 20% Umsatzsteuer. Bei Barzahlung gewährt der Gärtner einen Preisnachlass von 3%. Erstellen Sie eine Formel für den Gesamtpreis P inklusive Umsatzsteuer in Abhängigkeit von der Fläche A in m 2 bei Barzahlung. Begründen Sie, warum das Abziehen des Preisnachlasses vor bzw. nach der Berechnung der Umsatzsteuer auf den gleichen Preis führt. 7 Schneedecke Die Höhe H(t) einer Schneedecke nimmt aufgrund von Witterungseinflüssen mit der Zeit t ab. Zuerst ist die Abnahme gering, mit der Zeit wird sie aber immer stärker. Daher kann die Höhe der Schneedecke durch folgende quadratische Funktion H(t) beschrieben werden: H(t) = H 0 a t 2 mit a > 0, t 0 H(t)... Höhe der Schneedecke in Zentimeter (cm) zur Zeit t t... Zeit in Tagen H 0... Höhe der Schneedecke zu Beginn der Messung (t = 0) Das beschriebene Modell gilt in guter Näherung bei einer Witterung mit gleichbleibender Temperatur bis zur vollständigen Schneeschmelze. Dabei wird vorausgesetzt, dass bis zur vollständigen Schneeschmelze kein weiterer Schnee hinzukommt. 1. Eine 20 cm dicke Schneedecke reduziert sich innerhalb eines halben Tages auf 18 cm. Erstellen Sie die Gleichung zur Berechnung des Parameters a. Berechnen sie, nach wie vielen Tagen der Schnee gänzlich geschmolzen ist. 2. In einem Alpendorf gilt für die Schneehöhe H und die Zeit t der folgende funktionale Zusammenhang: H(t) = 40 5t 2 Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Schneehöhe innerhalb der ersten beiden Tage nach Beginn der Messung. Begründen Sie, warum die Berechnung der mittleren Änderungsrate im Zeitintervall [0; 3] mithilfe der angegebenen Funktion nicht sinnvoll ist, um Aussagen über den Verlauf der Höhe der Schneedecke zu machen! 3. Berechnen Sie H (0, 5) für a = 3. Interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang. 7

8 4. Der nebenstehende Graph beschreibt idealisiert den Verlauf der Schneehöhe in Dezimetern innerhalb einer Woche in einem Alpendorf. Erstellen Sie die Gleichung y = kx + d mit k, d R einer Funktion f, welche den Graphen im Intervall [3; 5] beschreibt. Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen im Intervall [5; 7] im Sachzusammenhang. 8 Leistungskurve Die Leistungskurve, auch Arbeitskurve genannt, ist die Darstellung der Arbeitsleistung einer Arbeitnehmerin/eines Arbeitnehmers in Abhängigkeit von der Tageszeit unter Berücksichtigung seiner Durchschnittsleistung (100 Prozent). Auf einer Webseite findet man folgende Grafik: Quelle: 1. Lesen Sie ab, in welchen Zeitintervallen die Leistungsbereitschaft abnimmt. 2. Skizzieren Sie den Graphen der 1. Ableitungsfunktion der Leistungsbereitschaft im Zeitintervall von 15 Uhr bis 3 Uhr. Achten Sie dabei auf ein korrektes Einzeichnen der Extremstellen und des Monotonieverhaltens. Auf das Einzeichnen von Einheiten auf der y-achse und der genauen Bestimmung der Funktionswerte darf verzichtet werden. 3. Um 9 Uhr beträgt die Leistungsbereitschaft einer Arbeitnehmerin 110 %. Um 12 Uhr beträgt sie 140 %. Im Zeitintervall von 12 Uhr bis 14 Uhr beträgt die mittlere Änderungsrate der Leistungsbereitschaft 12 % pro Stunde. Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Leistungsbereitschaft im Zeitintervall von 9 Uhr bis 12 Uhr. 8

9 Berechnen Sie die Leistungsbereitschaft um 14 Uhr mithilfe der gegeben mittleren Änderungsrate. 4. Die Leistungsbereitschaft eines Arbeitnehmers wird im Zeitintervall von 0 Uhr bis 6 Uhr durch die Funktion f beschrieben mit: f(t) = 10 3 t2 20t + 40 mit 0 t 6 f(t) t... Leistungsbereitschaft in Prozent zur Zeit t...zeit in Stunden (h) Ermitteln Sie die 1. Ableitung der Leistungsbereitschaft um 2:30 Uhr. Erklären Sie die Bedeutung der 1. Ableitung im Sachzusammenhang. 9 Skipiste Im italienischen Skisportort Bormio findet jährlich ein Abfahrtsrennen auf der Pista Stelvio im Rahmen des Skiweltcups statt. Die Abfahrtsstrecke ist insgesamt Meter lang. 1. Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit eines Rennläufers in km/h, der die Strecke in 1 Minute 58,62 Sekunden bewältigt. 2. Fahrer A bewältigt die Strecke mit einer mittleren Geschwindigkeit von 20 m/s. Fahrer B startet 30 Sekunden später und fährt mit einer mittleren Geschwindigkeit von 25 m/s. Berechnen Sie, wie viele Meter vor dem Ziel Fahrer B Fahrer A einholt. 3. Die größte Steigung der Strecke beträgt 63 %. Erklären Sie anhand einer Skizze, was man unter einer Steigung von 63 % versteht. Berechnen Sie den zugehörigen Steigungswinkel. 9

10 10 Sekante Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung y = x Begründen Sie, warum die Steigung der Sekante durch die Punkte A = (0 2) und C = (3 11) eine weniger gute Näherung für die Tangentensteigung im Punkt A ist als die Steigung der Sekante durch die Punkte A und B = (1 3). 11 Steigung der Tangente Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung y = 5 x 2. Bestimmen Sie die Steigung der Tangente im Punkt P = (3 y). 12 Funktion finden Gegeben ist die Funktion f(x) = 6x 2 + x. Kreuzen Sie die Funktionen an, deren 1. Ableitung durch die Gleichung der Funktion f gegeben ist. 10

11 13 Lineare Funktion Gegeben sei eine lineare Funktion f mit der Gleichung f(x) = kx + d. Bei welcher Wahl der Parameter k und d verläuft der Graf von f durch den 1., 2. und 4. Quadranten des Koordinatensystems? Kreuzen Sie die zutreffende Bedingung an. 14 Bakterienkolonie Das Wachstum einer Bakterienkolonie in Abhängigkeit von der Zeit t (in h) kann näherungsweise durch die Funktionsgleichung A(t) = 2 1, 35 t beschrieben werden, wobei A(t) die zum Zeitpunkt t besiedelte Fläche (in mm 2 ) angibt. Interpretieren Sie die in der Funktionsgleichung vorkommenden Werte 2 und 1,35 im Hinblick auf den Wachstumsprozess. 15 Ableitung Die untere Abbildung zeigt den Graphen der Funktion f. Was kann aus der Abbildung über die erste bzw. die zweite Ableitung von f an den Stellen x 1 und x 2 ausgesagt werden? Ergänzen Sie < 0; = 0 oder > f (x 1 ) 2. f (x 1 ) 3. f (x 2 ) 4. f (x 2 ) 16 Temperatur Die Funktion f gibt für einen bestimmten Zeitraum die Temperatur in einem Raum wieder. Interpretieren Sie f im Sachzusammenhang. 11

12 17 Figur Von einer ebenen Figur kennt man die Längen der Strecken a, b und d. Stellen Sie eine Formel zur Berechnung der Länge c auf. 18 Entwicklung der Masse von Babys Die folgende Grafik beschreibt die Entwicklung der Masse von Babys im ersten Lebensjahr. Der Bereich zwischen den Grafen f und g wird als Normbereich definiert. 1. Bestimmen Sie die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit (in kg/monat) eines Babys im ersten Lebensjahr, dessen Masse sich nach dem Graphen g entwickelt. Runden Sie notwendige Daten der Grafik auf kg. 2. In welchem Alter entspricht die soeben errechnete mittlere Wachstumsgeschwindigkeit in etwa der momentanen Wachstumsgeschwindigkeit? Begründen Sie Ihre Antwort! 3. Berechnen Sie, um wie viel Prozent die schwersten normalgewichtigen Babys im Alter von 12 Monaten schwerer sind, als die leichtesten normalgewichtigen Babys desselben Alters. 12

13 4. Kann der Kurvenverlauf von f und g durch eine Exponentialfunktion mit der Gleichung y = a e k t beschrieben werden? Begründen Sie Ihre Antwort. 19 Stadthaus Ein sehr schmales Stadthaus hat eine Gesamthöhe von 12 m und eine Breite von 6 m. Das Dach ist unter einem Winkel α gegen die Horizontale geneigt. Die Höhe des Daches beträgt 1 3 der Gesamthöhe. 25 m von der Symmetrieachse des Hauses entfernt befindet sich ein Beobachter B. 1. Berechnen Sie die Länge der Dachschräge s. 2. Berechnen Sie den Winkel β, unter dem der Beobachter B das Stadthaus betrachtet. 3. Interpretieren Sie den Term s2 sin(180 2α 2 ) hinsichtlich dieses Gebäudes. 20 Autos Die Abbildungen zeigen die Weg-Zeit-Diagramme von Bewegungsvorgängen der Fahrzeuge A und B. 13

14 1. Bestimmen Sie die mittlere Geschwindigkeit des Fahrzeuges A während der ersten 5 Fahrsekunden. 2. Beschreiben Sie, wie man anhand des linken Diagrammes näherungsweise die Momentangeschwindigkeit von Fahrzeug A nach 5 Fahrsekunden bestimmen kann. 3. Angenommen s A kann durch eine quadratische Funktion formuliert werden. Begründen Sie, wie der Graph von s A in diesem Fall verläuft und interpretieren Sie diesen Verlauf im Hinblick auf den Bewegungsvorgang. 4. Wann hat Fahrzeug B seine Höchstgeschwindigkeit erreicht? Begründen Sie Ihre Antwort! 5. Geben Sie an, mit welcher konstanten Geschwindigkeit Fahrzeug B fahren hätte müssen, damit es im Zeitintervall [0; 10] denselben Weg wie im Diagramm dargestellt zurückgelegt hätte. Ergänzen Sie den entsprechenden Graphen dieser Weg-Zeit-Funktion im obigen Diagramm. 21 Birkenwachstum Das Höhenwachstum einer Birke wird vier Jahre lang beobachtet. Zu Beobachtungsbeginn ist der Birkensetzling 10 cm hoch. Die folgende Tabelle zeigt die gemessenen Werte. t in Jahren Höhe H in cm Verläuft das Höhenwachstum der Birke während der ersten zwei Jahre exponentiell? Begründen Sie Ihre Antwort an Hand der Tabellenwerte. 2. Können die Funktionen H und H in bestimmten Intervallen auch streng monoton fallend sein? Begründen Sie Ihre Antwort für H und für H. 14