Konstruieren/Werken: Dem Goldenen Schnitt auf der Spur Reduktionszirkel bauen

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1 Klassenstufe 4 bis 6 INTEGRALE SUBJEKTSCHWERPUNKTE kulturelles Subjekt materiell-technisches Subjekt TEILKOMPETENZEN Den Goldenen Schnitt als Bauprinzip in Natur und Kultur kennenlernen. Kunstwerke und Objekte der Natur hinsichtlich des Goldenen Schnitts untersuchen Reduktionszirkel verschiedener Größe aus Holz und Pappe bauen. MATERIALIEN direkt angegeben an den einzelnen Zirkelformen Verschiedene Reduktionszirkel ARBEITSZEIT: JE ZIRKEL 90 MINUTEN Konstruieren/Werken: Dem Goldenen Schnitt auf der Spur Reduktionszirkel bauen LITERATURHINWEISE Der Goldenen Schnitt ist eine mathematisch bestimmbare, harmonische Proportion, die sich bei zahlreichen Natur- und Kulturphänomenen nachweisen lässt, so auch am menschlichen Körper (z.b. Größenverhältnisse der Hände bis zum Ellenbogen bzw. der Füße bis zu den Knien; das Verhältnis vom Abstand Bauchnabel/Sohle zum Abstand Scheitel/Bauchnabel) und in der Natur (Blätter, Blüten, Schneckengehäuse usw.), in der Bildkomposition von Kunstwerken (z.b.»das Abendmahl«von Leonardo da Vinci, Albrecht Dürers»Selbstbildnis«oder Raffaels»Die Sixtinische Madonna«) und in der Architektur (z.b. Le Corbusiers Bauwerke, der Parthenon, StPeters-Dom), im Kunsthandwerk, bei Musikinstrumenten (z.b. Geige) und selbst bei Gegenständen des täglichen Gebrauchs. Zunächst eine Definition: Wird eine beliebige Strecke AB von einem Punkt T geteilt, dann teilt T diese Strecke genau dann im Goldenen Schnitt, wenn das Verhältnis der größeren Teilstrecke (Major) zur kleineren Teilstrecke (Minor) und das Verhältnis der gesamten Strecke zur größeren Teilstrecke gleich groß sind. Dieses Verhältnis, auch als Phi (!) bezeichnet, lässt sich auch berechnen und entspricht der Zahl 1,618. Teilt man also die Gesamtstecke AB durch!, erhält man Major, diese von ihr abgezogen ergibt Minor. Letztere multipliziert mit! ergibt wiederum Major. Die Streckenverhältnisse des Goldenen Schnittes näheren sich mit zunehmender Größe immer mehr dem Verhältnis zweier aufeinander-folgender Zahlen der Fibonacci-Reihe (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 usw.) an. Hierbei ergibt sich jede weitere Zahl als die Summe der beiden vorigen. Dieser Zusammenhang ist für die im Folgenden vorgestellten Bauanleitungen bedeutsam, da mit ihnen insbesondere im schulpraktischen Gebrauch bereits in der Grundschule leicht und anschaulich gemessen und gerechnet werden kann. JOACHIM PENZEL UND FRITHJOF MEINEL (HRSG.): Gestalten und Bilden. Methodendiskurs als Impuls für den Unterricht, München 2010 Autor/Fotos: Michael Gebauer November 2017 Goldener Schnitt: Streckenteilung und deren Weiterführung ins Unendliche ergibt die Form einer Spirale Quelle.: exikon/mathematik/artikel/goldenerschnitt-der-natur 1

2 Der Goldene Zirkel (Reduktionszirkel) Ein Goldener Zirkel ist ein mechanisches Instrument, mit dem man einerseits den Goldenen Schnitt bestimmen kann und andererseits in der Lage ist, zu entscheiden, ob ein Punkt eine gegebene Strecke im Goldenen Schnitt teilt. Goldene Zirkel werden heute von Künstlern und Zeichnern, im Kunsttischlerhandwerk und im Instrumentenbau verwendet. Das einfachste Modell ist ein Reduktionszirkel, der aus zwei gleichlangen Holzstäben besteht, die in dem Punkt, der beide Stäbe im Goldenen Schnitt teilt, beweglich miteinander befestigt sind (siehe Foto 1 und 2). Nach dem Strahlensatz stellt sich auf der einen Seite ein Major und auf der anderen Seite der zugehörige Minor ein. Ein antiker Vorläufer eines solchen Zirkels wurde z.b. bei den Ausgrabungen in Pompeji gefunden. Noch heute gebräuchliche Reduktionszirkel gehen auf Jost Bürgi ( ) zurück. Der Bau dieses einfachen Modells, das aus Holz oder stabiler Pappe hergestellt werden kann, ist in Bauanleitung 1 beschrieben und lässt sich bereits in der Grundschule im Fach Gestalten durchführen. Eine Weiterentwicklung des Reduktions- bzw. Proportionalzirkels stellt das von Adalbert Göringer im Jahre 1893 erfundene Modell dar. Dieser Zirkel besteht ebenfalls aus zwei gleich langen Holzstäben, welche nach dem Goldenen Schnitt geteilt sind. An diesen beiden Punkten sind zwei im Längenverhältnis des Goldenen Schnittes zueinander bemessene, beweglich miteinander verbundene Stäbe befestigt, die mit den langen Stäben ein Parallelogramm bilden (siehe Foto 3 und 4). Mit Bauanleitung 2 lässt sich ein Goldener Zirkel nach Goeringer aus vier Holzstäben bauen. Da für den Bau Grundkenntnisse der Holzbearbeitung (Sägen, Bohren, Feilen, Schleifen) sowie entsprechende Werkzeuge erforderlich sind, wird empfohlen, dieses Modell ab den Klassenstufen 5/6 nach vorheriger Unterweisung einzusetzen. Mit der etwas anspruchsvolleren Bauanleitung 3 lässt sich ein sehr schöner, formvollendeter Goldener Zirkel bauen, dessen Original in Neuseeland gegenwärtig noch hergestellt wird (siehe Foto 5 und 6). Die Konstruktion erfordert zunächst geometrisches Verständnis und zeichnerisches Geschick, um eine gute grafische Vorlage zu erstellen. Diese wird dann mit Schere oder Cutter aus stabiler, mit Transparentfolie überzogener Pappe auf einer Schneidunterlage sorgfältig ausgeschnitten und nachbearbeitet, kann aber auch mit etwas Geduld aus Sperrholz ausgesägt und nachbearbeitet werden. Es wird empfohlen, dieses Modell frühestens ab den Klassenstufen 7/8 bauen zu lassen. Einsatzmöglichkeiten im fächerverbindenden Unterricht Der Bau von Goldenen Zirkeln eignet sich in besonderer Weise für den fächerverbindenden Unterricht unterschiedlicher Schulstufen und integriert Ziele, Inhalte und Methoden der Fächer Gestalten (bzw. Kunst, Werken), Mathematik, Sachunterricht bzw. Biologie und Geschichte. Zunächst geht es um die Erstellung eines Werkstückes, bei der sowohl ästhetischgestalterische als auch handwerklich-manuelle Kompetenzen im Umgang mit Material und Werkzeugen gefördert werden. Des Weiteren sind mathematische Kompetenzen erforderlich: das Verständnis der Fibonacci-Reihe sowie geometrischer Figuren und deren Gegebenheiten (Parallelogramm, Pentagramm). Schließlich lassen sich mit den Zirkelmodellen Messungen am menschlichen Körper, in der Natur, an Kunstwerken oder Gebrauchsgegenständen vornehmen, um nachzuprüfen, ob diese dem Goldenen Schnitt entsprechen. In diesem Zusammenhang erschließen sich auch historische sowie kunst- und kulturgeschichtliche Bezüge, möglicherweise auch ethisch-philosophische Fragen danach, auf welchen Prinzipien und Annahmen sich der Begriff von Schönheit gründet und welche normativen Implikationen dies insbesondere im Hinblick auf Schönheitsideale zu unterschiedlichen Zeiten hat. 2

3 Bauanleitung 1: Reduktionszirkel nach Bürgi Material: 2 Holzleisten ( 20 x 5 cm) oder stabile Pappstreifen von je 21cm Länge, 1 Mustertütenklammer oder 1 Schraube (5 x 25 cm) mit Flügelmutter, Vorstecher, Handbohrer (6 mm), Säge, Schleifpapier, Schere, Lineal (30 cm)! Teile die Holzleisten oder Pappstreifen mit einem Lineal so, dass eine Seite 8 cm und die andere 13 cm lang ist. Dieses Teilungsverhältnis entspricht zwei aufeinander folgenden Fibonaccizahlen.! Zeichne diesen Teilungspunkt genau in der Mitte der Leiste/des Pappstreifens ein.! Durchbohre die Leisten an dieser Stelle mit einem Vorstecher oder Bohrer von 6 mm Dicke; die Pappe kannst Du mit einer spitzen Schere entsprechend durchbohren.! Verbinde die Leisten mit Schraube und Flügelmutter oder die Pappstreifen mit einer Mustertütenklammer fest, aber beweglich.! Spitze die Leisten mit Säge und Schleifpapier an, die Pappstreifen mit der Schere. 3

4 Bauanleitung 2: Proportionalzirkel nach Goeringer Material: 2 Holzleisten (20 x 5 cm) von je 56 cm Länge; 1 Holzleiste (15 x 5 cm) von 35 cm Länge; 1 Holzleiste (15 x 5 cm) von 23 cm Länge Alternativ: stabile Pappstreifen, die nach folgenden Maßverhältnissen bemessen sind: Gesamtlänge: 21 cm, Major: 13 cm, Minor: 8 cm). 4 Schrauben (5 x 25 cm) mit passenden Flügelmuttern oder Mustertütenklammern Handbohrer (6 cm), Handsäge, Schleifpapier, Schere, Zollstock, Lineal! Teile die beiden 56 cm langen Leisten jeweils so, dass eine Seite 34cm und die andere cm lang ist. Der überzählige Zentimeter wird für die Bohrung benötigt. Zeichne die zwei Teilungspunkte für die kürzere Strecke (21 cm) genau in der Mitte der Leisten ein.! Teile die 35 Zentimeter lange Leiste jeweils so, dass eine Seite 13 cm und die andere cm lang ist. Auch hier wird der überzählige Zentimeter für die Bohrung gebraucht. Zeichne den Teilungspunkt für die längere Strecke (21 cm) jeweils genau in der Mitte der Leisten ein.! Durchbohre die Leisten an den vier Verbindungsstellen mit einem Bohrer von 6 mm Dicke! Verbinde die Leisten mit 4 Schrauben und 4 Flügelmuttern so, dass sie fest, aber beweglich verbunden sind.! Spitze die drei langen Leisten mit Säge und Schleifpapier sorgfältig an. Anmerkung: Der Goeringer-Zirkel lässt sich analog dieser Bauanleitung, jedoch entsprechen kleiner, auch aus stabiler Pappe und Mustertütenklammern herstellen. 4

5 Bauanleitung: Geschwungener Proportionalzirkel Material: Stabile Pappe (20 x 25 cm), 4 Mustertütenklammern, selbstklebende Transparentfolie (40 x 50 cm); Cutter, Schere, Lineal, Zirkel, Vorstecher Baue die abgebildeten 4 Einzelteile, die das Maßverhältnis 21 cm (Gesamtlänge) zu 13 cm (Major) zu 8 cm (Minor) haben, folgendermaßen nach (zunächst die beiden geschwungenen Teile):! Überziehe die Pappe beidseitig mit selbstklebender Transparentfolie. Dies erleichtert später das exakte Ausschneiden.! Zeichne die Gesamtstrecke (= 21 cm) und teile sie in Minor (Strecke AB = 8 cm) und Major (Strecke BC = 13 cm).! Fälle zunächst mit dem Zirkel oberhalb der Linie mittig das Lot auf die Strecke AB, anschließend unterhalb der Linie mittig das Lot auf die Strecke BC.! Schlage zunächst oberhalb der Linie einen Zirkelbogen um den Schnittpunkt D der Kreisbögen auf dem Lot durch A und B, dann unterhalb der Linie einen Zirkelbogen um den Schnittpunkt E der Kreisbögen auf dem Lot durch B und C. Verbindet man den Teilbogen AB mit dem Teilbogen BC, dann erhält man ein geschwungenes Seitenteil.! Gib auf jeder Seite der Teilbögen mit je einem Zirkelschlag 5 cm hinzu, damit das Bauteil ausreichend stabil wird.! Schlage nun um die Punkte A und B einen Kreisbogen mit einem Radius r = 10mm für die Verbindungsstellen.! Schneide das Seitenteil mit dem Cutter sorgfältig aus und durchbohre die Punkte A und B mit dem Vorstecher. Fertige das gleiche Teil noch einmal an. Nun die beiden Teile im Innern des Zirkels:! Zeichne zwei Strecken auf die übrige Pappe: die erste (AB) von 8 cm Länge, die zweite (CD) von 13 cm Länge.! Teile CD im Verhältnis von 5 cm zu 8 cm in Minor (CE) und Major (ED). Der Teilungspunkt ist also E.! Schlage bei dem längeren Stück um die Punkte E und D, bei dem kürze5

6 ren um A und B einen Kreisbogen mit einem Radius r = 10 mm für die Verbindungsstellen.! Erweitere die Strecken so, dass die Teile jeweils 10 mm breit sind.! Schneide sie mit dem Cutter vorsichtig aus und durchbohre die Punkte A und B der kürzeren Strecke sowie E und D der längeren Strecke mit dem Vorstecher.! Verbinde die vier Bauteile mit den Mustertütenklammern. Verschiedene Reduktionszirkel und zwei Polyeder 6