Fibonacci-Zahlen in der Mathematik

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1 Fibonacci-Zahlen in der Mathematik Christian Hartfeldt Otto-von-Guericke Universität Magdeburg Fakultät für Mathematik Institut für Algebra und Geometrie Internetauftritt: Fibonacci-Zahlen in der Mathematik

2 1. Fibonacci Fibonacci ist eine Verkürzung von Filius Bonacci und heißt Sohn des Bonacci hieß Leonardo von Pisa, geboren um 1170 in Pisa, gestorben nach 140 in Pisa gilt als der erste bedeutende Mathematiker in Europa Die arabische Mathematik, die er auf Reisen nach Afrika, Byzanz und Syrien kennengelernt hatte, vermittelte Fibonacci in seinem Rechenbuch Liber Abaci (10, 49 Seiten dick, überarbeitet 18), in dem u. a. die Fibonacci-Folge erwähnt wird. Ferner machte er mit der indischen Rechenkunst bekannt und führte die heute übliche arabische Schreibweise der Zahlen ein und beschäftigte sich auch mit der näherungsweisen Lösung von Gleichungen dritten Grades (kubische Gleichungen), also x 3 + ax + bx 1 + cx + d = f. (1) Für solche Gleichungen (1) gibt es eine Lösungsformel, die Cardanosche Lösungsformel (G. Cardano Fibonacci-Zahlen in der Mathematik 1

3 ). Betrachtet man die Gleichung x 3 + ax + bx + c =0 mit komplexen Koeffizienten a, b, c so erhält man mit der Substitution y = x + a 3 die Normalform y 3 +3py +q =0 () mit q = a3 7 ab a + c, 3p = b 3 3. Die Größe D := p 3 +q heißt Diskriminante von (). Damit ergeben sich die Lösungen y 1 = u + + u, y = ρ + u + + ρ u, y 3 = ρ + u + + ρ + u. (3) Dabei gilt (Cardanischen Lösungsformeln) u ± = 3 q ± D, ρ ± := 1 ( 1 ± i 3). Fibonacci-Zahlen in der Mathematik

4 Das Todesjahr von Fibonacci ist nicht bekannt. Die letzte Nachricht über ihn ist ein Dektret aus dem Jahre 140, in welchem die ihm die Republik ein jährliches Gehalt aussetzte. Fibonacci-Zahlen in der Mathematik 3

5 . Mathematisches zu den Fibonacci-Zahlen.1 Fibonacci-Zahlen Die Folge (a n ) n 0 mit a 0 =0, a 1 =1und a n+ = a n+1 + a n heißt Fibonaccifolge, benannt nach Fibonacci ( , Pisa), die a n bezeichnen wir mit Fibonacci Zahlen. Diese Zahlen sehen so aus: n a n Die Frage, die sich stellt, ist, ob man die a n direkt berechnen kann. Diese Frage kann mit ja beantwortet werden. Lösung der Rekursionsgleichung: Setze a n = q n für q N\{0}. Dann ist a n+ = q n+ = a n+1 + a n = q n+1 + q n. Durchdividieren dieser Gleichung mit q n liefert q = q +1 q q 1=0 Fibonacci-Zahlen in der Mathematik 4

6 und somit Damit erhält man s(n) =a 1 q n 1 +a q n = a 1 ( q 1; = 1 ±. 1+ ) n ( 1 ) n +a. Setzt man die ersten Werte der Rekursion ein, so erhält man 0 = s(0) = a 1 + a = s(1) = a 1 + a Multiplikation der ersten Gleichung mit 1+ und Addition der zweiten Gleichung liefert 1=a ( = a ( ) ) = a a = 1, a 1 = 1 Fibonacci-Zahlen in der Mathematik

7 Damit erhält man (( ) n s(n) = 1 +1 ( ) n ) 1. Dies ist eine geschlossene Gleichung. Beispiel 1 Ausrechnen der zweiten Fibonacci-Zahl, also für n =: ( ) ( ) s() = ( = ( = 1 ( =. )) + )) ) ( 1 ( 1 1 ( 3 +1 ) Fibonacci-Zahlen in der Mathematik 6

8 . Der Begriff Rekursion Satz 1 Sei S eine Menge und φ : S S,a S eine Abbildung. Dann gibt es genau eine Abbildung g : N S mit g(0) = a und g(n +1)=φ(g(n)). Schauen wir uns dieses an einem Beispiel an. Beispiel (Fibonacci Zahlen) Sei S : N N,a = (1, 1). Dannist Es ergibt sich φ(x, y) =(y, x + y). g(0) = (1, 1) g(1) = φ(1, 1) = (1, ) = g(). =. φ(1, ). = (, 3) g(n) = (a n,a n+1 ) wobei a n,a n+1 die Fibonacci Zahlen darstellen. Fibonacci-Zahlen in der Mathematik 7

9 3. Der Zusammenhang zwischen den Fibonacci-Zahlen und dem Goldenen Schnitt Der Goldene Schnitt ist (wie bereits gesehen) das Längenverhältnis zweier Strecken, bei dem sich die größere (Major) zur kleineren (Minor) Strecke verhält, wie die Summe der beiden Strecken zum größeren Teil. Die Zahlenfolge 1, 1,, 3,, 8, 13, 1, 34,,... heißt Fibonacci-Folge. Dabei ist jede Zahl größer als 1 die Summe der beiden vorhergehenden. Aufgabe: Man bilde den Quotienten aus zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen. Was stellen Sie fest? Lösung siehe nächste Folie. Fibonacci-Zahlen in der Mathematik 8

10 F n F n+1 n F n , , , , , , , , , , , Feststellung: Die Folge der Quotienten zweier aufeinander folgender Zahlen konvergiert gegen ν: lim n = ν = 1+ F n F n+1 1, Die Zahl ν ist das Verhältnis des Goldenen Schnittes. Fibonacci-Zahlen in der Mathematik 9

11 Zur Fibonacci-Zahl wird man wie folgt geführt über die stetige Teilung geführt: m S M Eine Strecke AB durch dem Punkt S heißt stetig geteilt, wenn gilt M + m M = M m. Setzt man M m =: x, erhält man die Gleichung 1+ 1 x = x x +1=x x x 1. Die positive Lösung ist x 1, = 1 ± =1+ =: ν. Die Lösung M : m = ν können an vielen Kunstwerken gefunden werden, z. B. am Tempel in Athen bzw. am Rathaus zu Leipzig. Als dreihundert Jahre nach Fibonacci im Jahre 109 Luca Paciole sein von Leonardo da Vinci illustriertes Buch von der Göttlichen Proportion schrieb, war der Fibonacci-Zahlen in der Mathematik 10

12 Weg auch nicht mehr weit, den Zusammenhang zwischen der Fibonacci-Folge und dem Goldenen Schnitt aufzuzeigen: Mit wachsender Zahl verhalten sich zwei aufeinanderfolgende Glieder immer mehr zueinander so, wie es der Goldene Schnitt von Minor und Major verlangt. Bis zum heutigen Tag gehen immer wieder Künstler davon aus, dass mit Hilfe von Fibonacci-Zahlen hergestellte Kunstwerke einen naturgesetzlich begründeten ästhetischen Reiz auf die Menschen ausüben. Bestärkt werden die Künstler darin noch bewusst oder unbewusst durch die inzwischen gefundene Tatsache, dass das Verhältnis zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen sich dem Goldenen Schnitt annähert, wenn die Zahlen genügend groß sind. Schon die beiden Zahlen 3 und aus dem Anfang der Folge sind häufig verwendete Näherungswerte beim Zerlegen einer Strecke nach dm Goldenen Schnitt. So weicht z. B. der Quotient der beiden Fibonacci-Zahlen und 89 nur noch um Zehntausendstel vom Goldenen Schnitt ab ( : 88 = 0, ). Genau diese beiden Zahlen finden sich übrigens bereits lange vor Leonardo von Pisa in manchen ägyptischen Pyramiden an zentraler Stelle: Die Höhe der Pyramide beträgt dort z.b. königliche Längeneinheiten, während sich für die Höhe der dreieckigen Seitenflächen genau 89 königliche Längeneinheiten ergeben. Fibonacci-Zahlen in der Mathematik 11

13 4. Das Vorkommen der Fibonacci-Zahlen in der Natur 4.1 Fibonacci s Rabbits Das original Fibonacci-Problem aus dem Jahr 10 ging der Frage nach, wie schnell sich Kaninchen bei idealen Verhältnissen vermehren können. Annahme war, dass jedes Paar allmonatlich ein neues Paar zeugt, welches selbst vom. Monat an zeugungsfähig wird, während Todesfälle nicht auftreten sollten. Hat man im 1. Monat ein neugeborenes Paar (N), so wird im. Monat ein zeugungsfähiges Paar (Z), im 3. Monat sind es Paare (P ), nämlich 1N und 1Z, im 4. Monat 3P,nämlich 1N und Z. Bezeichnet man die Zahl der Kaninchenpaare im n-ten Monat mit F n,soist F n+1 = F n + F n 1 für n =1,,...,F 0 =0,F 1 =1. Fibonacci-Zahlen in der Mathematik 1

14 Ähnliches Verhalten ist auch bei Kühen oder Bienen zu betrachten. Weitere Informationen findet man in: The Curves of Life, Theodore A Cook, Dover books, 1979, IBSN X (ist ein Reprint des klassischen Buches von 1914) Fibonacci-Zahlen in der Mathematik 13

15 4. Stammbaum einer Drohne Der Stammbaum einer Drohne liefert eine Illustration dieser Fibonacci-Folge. Da aus einem unbefruchteten Bienen-Ei eine Drohne, aus einem befuchteten Ei eine Königin oder eine Arbeitsbiene entsteht (letzteres hängt von der Ernährung ab), hat eine Drohne nur ein mütterliches Elterntier, eine Königin dagegen zwei Eltern. Vorfahren einer Drohne und einer Bienenkönigin: Fibonacci-Zahlen in der Mathematik 14

16 Für den Stammbaum einer Drohne ergibt sich daraus folgende Abbildung: Dieser Stammbaum ist asymmetrisch, die Anzahl der Weibchen überwiegt. Für die n-te Elterngeneration ergeben sich a n Weibchen sowie a n 1 Drohnen, der Weibchenanteil stebt also für n nach 1 ν = ρ. Fibonacci-Zahlen in der Mathematik 1

17 4.3 Blütenblätter von Blumen Bei vielen Pflanzen tauchen die Fibonacci-Zahlen als Anzahl der Blütenblättern auf. Butterblume hat Blütenblätter, Lilie und Iris haben 3 Blütenblätter, einige Rittersporn haben 8 Blütenblätter, Ringelblume hat 13 Blütenblätter, einige Astern haben 1 Blütenblätter, Gänseblümchen haben 34, oder 89 Blütenblätter. Fibonacci-Zahlen in der Mathematik 16

18 4.4 Fibonacci-Finger Ein gesunder Mensch hat Hände, Finger pro Hand, 3 getrennte Teile von... Fingerknöchel. Ist dieses Zufall oder nicht? Wir betrachten nun die Länge der Finger? Man stellt dabei fest, dass das Verhältnis vom größten Finger zum mittleren Finger ν ist. Aber was ist das Verhältnis vom mittleren zum kleinen Finger? Weitere Informationen findet man unter: Fibonacci-Zahlen in der Mathematik 17