DER GOLDENE SCHNITT. Ein Verhältnis, das es in sich hat

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1 DER GOLDENE SCHNITT Ein Verhältnis, das es in sich hat Welches der folgenden Rechtecke findet ihr am schönsten? In welchem Verhältnis stehen die Rechtecksseiten dabei? A B C D E F G Verhältnis (lange : kurze Seite) Wert des Bruchs (bzw. v:1 = ) Verhältnis (kurze : lange Seite) Wert des Bruchs (bzw. w:1 = ) 1:1 1 1:1 1 5:4 1,25 4:5 0,8 10:7 1,43 7:10 0,7 8:5 (nahezu Goldener Schnitt) 1,6 5:8 0,625 2:1 2 1:2 0,5 5:2 2,5 2:5 0,4 3:1 3 1:3 0,333 Rechteck Nummer 4 gefällt den meisten Menschen am besten 1

2 UNO-Hauptgebäude in New York Die Seiten des sichtbaren Rechtecks verhalten sich wie 1 : 1,62 Ungefähres Verhältnis des Goldenen Schnitts 2

3 Eine weitere Fragestellung führt uns ebenfalls zum Verhältnis des Goldenen Schnitts: Kaninchen sind dafür bekannt, dass sie viele Junge gebären. Ein italienischer Mathematiker namens Fibonacci 1 wollte wissen, wie viele Kaninchenpaare innerhalb eines Jahres geboren werden. Er nahm an: Im Januar gibt es ein Paar Kaninchen, nämlich ein Männchen und ein Weibchen. Einen Monat später im Februar bekommt es Junge, wiederum ein männliches und ein weibliches (also ein Pärchen). Das geht jeden Monat so weiter. Nun können die Jungpärchen aber auch wieder Junge bekommen und zwar im übernächsten Monat nach ihrer Geburt. Also für die Februargeborenen gibt es im April den ersten Nachwuchs in Form eines Pärchens. Das gilt für alle neugeschlüpften Kaninchenpaare. Überlege nun, wie viele Pärchen es am Ende des Jahres (also im Dezember) gibt, wenn keine Todesfälle zu beklagen sind! Tipp: Lege dir eine Übersicht ( umgekehrter Stammbaum ) an und trage jeweils ein, wie viele Pärchen im Februar, März, April geboren werden! Auch wenn es am Anfang nicht so scheint, es gibt ein Prinzip, mit dem man jeweils auf das nächste Monat schließen kann. Monat Neugeborene Jan 0 Feb 1 März 1 April 2 Mai 3 Juni 5 Juli 8 Aug 13 Sept 21 Okt 34 Nov 55 Dez 89 1 Fibonacci war ein italienischer Mathematiker, der um 1200 lebte. Neben anderen ist es auch ihm zu verdanken, dass die römische Ziffernschreibweise durch die indisch-arabischen Ziffern in Europa abgelöst wurde. Er wurde 1179 geboren und hieß eigentlich Leonardo da Pisa, wurde aber Fibonacci genannt, weil er»figlio di Bonaccio«, der Sohn des Bonaccio war, eines bekannten Kaufmanns und Funktionärs der Republik Pisa im 12. Jahrhundert. Der Vater unterhielt Handelsbeziehungen mit den arabischen Ländern Nordafrikas und des Nahen Ostens. Weil der Sohn ihn auf seinen häufigen Reisen begleitete, konnte er die muselmanischen Schulen besuchen und die mathematischen Techniken lernen, in denen die Araber Meister waren. Es war nur natürlich, dass Leonardo dabei auch das System der indisch-arabischen Ziffern erlernte. Später fasste er seine arithmetischen, algebraischen und geometrischen Kenntnisse in seinem Buch über Abaci (1202, Liber abaci ) zusammen, in dem er auch die Vorzüge der Einfachheit und Praktikabilität des neuen Zahlsystems verteidigte. Im Westen wurde dieses System zunächst nicht sofort wohlwollend aufgenommen. Es gab viele Wissenschaftler, Händler und Gelehrte, die sich der neuen Mode widersetzten. In Florenz zum Beispiel wurde den Bankiers durch die Statuten des Geldwechsels der Gebrauch arabischer Ziffern verboten. Die Menschen widersetzten sich den neuen Ziffern, weil es jetzt schwieriger war, die Rechnungsbücher der Händler zu verstehen. Langsam, aber unaufhaltsam setzten sich jedoch auch in Europa die arabischen Ziffern durch. 3

4 Somit ergibt sich für die Gesamtpopulation am Ende des Jahres: = 232 dazu kommt das Urpaar : 233 Für uns interessant ist die Zahlenfolge, die die Anzahl der Neugeborenenpärchen angibt: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, Wenn wir uns nun wiederum die Verhältnisse ansehen, die jeweils benachbarte Zahlen zueinander haben, sehen wir Folgendes: ,5 1,67 1,6 1,625 1,615 1,619 1,618 1,618 1,618 1, Der Quotient benachbarter Folgenglieder nähert sich dem Wert 1, an das ist genau das Zahlenverhältnis des Goldenen Schnitts! Dass verschiedene Größen in genau diesem Verhältnis stehen, kommt auch in der Natur vor: Spiralförmiges Wachstumsmuster des Föhrenzapfens Beim Tannenzapfen gehört jeder Samen zu zwei Spiralen. Acht dieser Spiralen verlaufen im Uhrzeigersinn, 13 in entgegen gesetzter Richtung. Das Verhältnis von 8:13 kommt mit 1:1,625 schon recht nahe an den Goldenen Schnitt heran. Spiralförmiges Wachstumsmuster der Sonnenblume Ähnlich wie beim Tannenzapfen gehört auch bei der Sonnenblume jeder Samen zu beiden Spiralen. 55 Spiralen drehen sich im Uhrzeigersinn, 89 gegen ihn. Das Verhältnis von 55:89 kommt mit 1:1,61818 schon bis auf ein Zehntausendstel an den Goldenen Schnitt heran. Ähnliches liegt auch bei anderen Pflanzen mit Doppelwindungen vor: 4

5 Tannenzapfen (3 : 5) Gänseblümchen (21 : 34) Ananas (13 : 21) Silberdistel (34 : 55) 5 Sonnenblume (55 : 89)

6 Bekannt ist auch, dass bereits die Menschen der Renaissance Körperstudien betrieben haben, in denen der Goldene Schnitt eine wesentliche Rolle spielte. Sie griffen dabei auf die Schönheitsideale der Antike zurück, für deren Skulpturen ebenfalls diese Proportion verwendet wurde. Körperstudie von Leonardo da Vinci und von Albrecht Dürer Übereinander gelegt ergibt sich, dass die (Körper- )Proportionen nahezu identisch sind! Nur im Bereich des Kopfes gibt es markante Unterschiede. Wir sehen, dass sich auf die Studien Rechtecke legen lassen, deren Seitenverhältnisse das Verhältnis des Goldenen Schnitts ergeben. Man nennt ein solches Rechteck Goldenes Rechteck! Damit und mit der Konstruktion solcher Rechtecke wollen wir uns nun beschäftigen. 6

7 Wir haben oben bereits gesehen, dass ein Goldenes Rechteck besonders schön und ästhetisch empfunden wird. Es hat aber noch eine weitere besondere Eigenschaft, wie wir gleich sehen werden: Konstruktion des Goldenen Schnitts Man zeichnet zunächst ein Quadrat. Man halbiert eine Seite bei A und zieht von A eine Diagonale in die gegenüberliegende Ecke B. Diese Diagonale wird zum Radius eines Kreisbogens, der die Verlängerung der Grundlinie, auf der A liegt, bei C schneidet. C und B sind gegenüberliegende Ecken eines neuen Rechtecks, welches zusammen mit dem Quadrat wiederum ein Goldenes Rechteck bildet. Dieses Goldene Rechteck kann unterteilt werden. Durch Abschneiden des ursprünglichen Quadrats (welches man auch Gnomon nennt) ergibt sich ein kleineres Restrechteck, welches ebenfalls ein Goldenes Rechteck ist. Diese Zerlegung kann endlos fortgesetzt werden, wobei stets kleinere Goldene Rechtecke und Quadrate entstehen. Das Besondere am Goldenen Rechteck ist also, dass das kleinere Restrechteck, das durch das Abschneiden eines Quadrats entsteht, stets wieder ein Goldenes Rechteck ist. Wegen dieser speziellen Eigenschaft bezeichnet man das Goldene Rechteck auch als das Rechteck mit dem tanzenden Quadrat. Wenn man in die ständig kleiner werdenden Quadrate jeweils einen Viertelkreis mit der Seitenlänge des neuen Quadrats als Radius einzeichnet, entsteht eine Spirale. Konstruktion der Goldenen Spirale Die Zeichnungen rechts zeigen, wie man durch fortgesetzte Unterteilung eines Goldenen Rechtecks eine Goldene Spirale konstruiert. Zeichnet man in die Quadrate jeweils Viertelkreise ein und verbindet diese miteinander, so entsteht eine Goldene Spirale. Auch diese hat in der Natur ihre Entsprechung (Schneckenhäuser). 7

8 Aus dem Konstruktionshergang können wir das Verhältnis, in dem die beiden Rechtsecksseiten zueinander stehen, berechnen: Sei a die Seitenlänge des ursprünglichen Quadrats, dann ergibt sich durch Anwendung des Pythagoreischen LS im rechtwinkeligen Dreieck (siehe rechts) folgender Zusammenhang: 2 a 5a² a r ² = a² + r² = r = a a 5 a(1 + 5) Für die Länge l des Rechtecks erhalten wir: l = + l = Das Verhältnis zwischen Länge und Breite des Rechtecks beträgt demnach: a(1 + 5) 1+ 5 l : b = : a = :1 = 1, :1 2 2 Sehen wir uns das Goldene Rechteck noch etwas näher an und stellen wir ein Verhältnis auf! ( x + y) : y = y : x y² = ( x + y) x y ² = x² + xy x² + xy y² = 0 Auch wenn diese Gleichung etwas furchterregend aussieht, in der 5.Klasse können wir sie lösen sie ergibt genau jene Werte für x und y, die im Verhältnis x : y = 1: = 1: 1:1, 618 stehen Goldene Rechtecke finden sich in vielen Bereichen: 8

9 Analyse einer Regenbogenforelle nach dem Goldenen Schnitt In der Seitenansicht passt der Fisch in drei Goldene Rechtecke. Das Auge liegt auf der Höhe eines Goldenen Restrechtecks, ein anderes definiert die Schwanzflosse. Der Goldene Schnitt in der Architektur Fassade des Parthenon, Athen, ca v.chr. Analyse der Proportionen anhand der Konstruktionszeichnung für ein Goldenes Rechteck. 9

10 Kathedrale Notre Dame, Paris, Analyse von Proportionen und Aufriss-Reglern anhand des Goldenen Rechtecks. Die ganze Fassade hat die Proportionen eines Goldenen Rechtecks, dessen Binnenquadrat den unteren Teil der Fassade umschreibt, während das Restrechteck die Türme einschließt. Der untere Hauptteil der Fassade lässt sich darüber hinaus in sechs Goldene Rechtecke zerlegen. Vergleich des spiralförmigen Wachstumsmusters der Arabischen Tibia [Tibia insulaechorab] mit Proportionen im Goldenen Schnitt 10

11 Noch einmal der Goldene Schnitt: Die Pythagoreer führten als Symbol das regelmäßige Fünfeck, weil es ebenfalls Besonderheiten aufwies: Konstruktion des Goldenen Dreiecks aus einem regelmäßigen Fünfeck In einem regelmäßigen Fünfeck verbindet man die unteren Ecken mit dem Scheitelpunkt. Dadurch entsteht ein Goldenes Dreieck mit Basiswinkeln von 72 und einem Scheitelwinkel von 36. Konstruktion des sekundären Goldenen Dreiecks aus einem regelmäßigen Fünfeck Aus einem regelmäßigen Fünfeck lassen sich auch sekundäre Goldene Dreiecke konstruieren. Dazu verbindet man eine Ecke der Basis des primären Goldenen Dreiecks mit einer gegenüberliegenden Ecke des Fünfecks. Die 3 Linien (blau-rot-grün) stehen alle im Verhältnis des Goldenen Schnitts! Goldener Schnitt und Pentagramm Die Diagonalen eines regelmäßigen Fünfecks bilden einen fünfzackigen Stern, das Pentagramm. In dessen Mitte befindet sich wieder ein regelmäßiges Fünfeck. Die Progression zu immer kleineren Fünfecken und Pentagrammen bezeichnet man wegen des Goldenen Schnitts auch als Laute des Pythagoras. Schreibt man einem Goldenen Rechteck eine Ellipse ein, so erhält man eine Goldene Ellipse. Diese spielt bei folgendem Produkt eine wesentliche Rolle! 11

12 Der VW-Beetle und der Goldene Schnitt Frontansicht Von vorne sieht das Auto völlig symmetrisch und annähernd quadratisch aus; das VW-Logo auf der Kühlerhaube befindet sich in der Mitte dieses Quadrats. Analyse Einem Goldenen Rechteck kann man eine Goldene Ellipse einschreiben. Die Karosserie passt genau in deren obere Hälfte. Radmitte und Unterkante der Karosserie liegen knapp unterhalb der Hauptachse dieser Ellipse. Eine kleinere Goldene Ellipse markiert die obere Begrenzung der Seitenfenster und berührt die beiden Kreise, welche das Vorderrad und die Felge des Hinterrads markieren. 12

13 Proportion und Wohlgefallen Zu allen Zeiten und bei allen Völkern lässt sich nachweisen, dass der Mensch sowohl in der Natur als auch in der von ihm selbst gestalteten Umwelt Proportionen nach dem Goldenen Schnitt kognitiv bevorzugt. Eines der ersten Beispiele für die Verwendung des Goldenen Schnitts bietet die Architektur von Stonehenge, dem zwischen dem 20. und 16. Jahrhundert v.chr. erbauten Steinkreis. In der griechischen Antike finden sich schon im fünften vorchristlichen Jahrhundert dokumentierte Belege für die Verwendung des Goldenen Schnitts in Kunstwerken und Bauten. Auch in der Renaissance beschäftigten sich Künstler und Architekten nachweislich mit ihm und benutzten seine Proportionen in großartigen Werken der Malerei, Bildhauerei und Baukunst. Der Goldene Schnitt findet sich aber auch in der Natur, in den Proportionen der menschlichen Gestalt und in den Wachstumsmustern zahlreicher Pflanzen, Tiere und Insekten. Im späten 19. Jahrhundert ließ der Goldene Schnitt dem deutschen Psychologen Gustav Fechner keine Ruhe. Er wollte der quer durch die Kulturen nachweisbaren ästhetischen Vorliebe des Menschen für den Goldenen Schnitt experimentell auf den Grund gehen. Fechner beschränkte sich dabei auf die künstlich geschaffene Umwelt und maß zunächst abertausende rechteckige Gegenstände nach - Bücher, Schachteln, Streichholzschachteln, Zeitungen usw. Er stellte fest, dass das Verhältnis der Seitenlangen dieser Rechtecke im Durchschnitt nahe an 1:1,618 heran kam - die Proportion des Goldenen Schnitts. Außerdem fand er heraus, dass die meisten Menschen ein Rechteck dann besonders schön finden, wenn seine Proportionen dem Goldenen Schnitt nahe kommen. Während Fechner zwar sorgfältig, aber nicht systematisch arbeitete, kam im Jahre 1908 Charles Lalo (und noch später andere) zu ähnlichen Ergebnissen, als er Fechners Messungen unter wissenschaftlichen Konditionen wiederholte. Der Goldene Schnitt wird seit Jahrhunderten in Kunst und Architektur verwendet und tritt auch in der Natur auf. Er teilt eine Strecke so in zwei Teile, dass das Längenverhältnis des größeren Teils zum kleineren gleich dem Verhältnis der ganzen Streckenlänge zur größeren Teilstrecke ist. Durch Berechnung erhält man ungefähr 1,618 : 1. Dieses Verhältnis wirkt auf den Betrachter besonders angenehm. Die Griechen waren von dieser besonderen mathematischen Beziehung fasziniert. Mit Sicherheit hatten die Ägypter schon vorher ein Heiliges Verhältnis ; bei der großen Pyramide von Gizeh in Ägypten ist das Verhältnis der Höhe einer Außenfläche zur Hälfte der Grundlinie 1,618 : 1. Angaben aus Proportion und Komposition SchülerInnen Rechtecke zeigen und ankreuzen lassen, welches am besten gefällt (ohne Seitenverhältnisse) siehe unten Graphiken und Tabellen zeigen (6, 7) Begriff Verhältnis des Goldenen Schnitts noch einmal Text einscannen: SchülerInnen den Text geben Bilder zu Tieren mit Goldenen-Schnitt Proportionen: Gemeines Perlboot (8), Blue Angel-Fisch (11), Schneckenhaus (Tibia, 9), Seeigel (Fünfeck), Schneeflocke (???) Beispiel Sonnenblume (Windungen im und gegen den Uhrzeigersinn 21:34), 10 Beispiel Tannezapfen (Windungen im und gegen den Uhrzeigersinn 8:13), 10 Was heißt der Goldene Schnitt geometrisch? Was heißt der Goldene Schnitt rechnerisch? 13

14 In der Antike und auch späterhin wurde ein Rechteck als besonders proportioniert und ästhetisch schön empfunden, wenn es folgende Eigenschaft hat: Nimmt man ein Quadrat weg, so verhalten sich die Seitenlängen des verbleibenden Rechtecks wie die Seitenlängen des ursprünglichen Rechtecks. (a) Stelle eine quadratische Gleichung mit den Variablen x und y auf und drücke die Variable x durch y aus (löse also nach x)! (b) Wie groß ist das Verhältnis zwischen den beiden Variablen? (Es ist das Verhältnis des so genannten Goldenen Schnitts")? (a) Es kommt da Längen vorliegen wieder nur eine, nämlich die positive Lösung in Frage: x = y y 5 y( 5 1) + = ; (b) y 2 y : x = = 1,62 : x 5 1 Konstruktion des Goldenen Schnitts (24/25+27 unten) Konstruktion der Goldenen Spirale (S 25) Vergleich Körperstudien bei Leonardo und Dürer (siehe S 14/15 und bes. 16/17, Hinweis: in Wirklichkeit sind Körper bzw. Gesicht selten im Gold. Schnitt) Notre Dame in Paris Verhältnis Wert des Bruchs 1:1 1 4:5 0,8 7:10 0,7 5:8 (nahezu Goldener Schnitt) 0,625 1:2 0,5 2:5 0,4 1:3 0,333 14