Mathematik in der Natur
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- Hennie Morgenstern
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1 Mathematik in der Natur Fibonacci und die Ananas Jan Schneider Hommage an das Oberfeld Atelierhaus Vahle February 25, 207 / 28
2 Fibonacci-Folge (F n ) n N =,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55,... Divina Proportione φ = 0, / 28
3 Leonardo da Pisa * etwa 70; etwa / 28
4 Liber Abaci Buch des Rechnens 4 / 28
5 Fibonacci s Kaninchen Wie viele Nachfahren hat ein Kaninchenpaar nach einem Jahr? Stilisierte Annahmen: Ein Kaninchenpaar bringt pro Monat ein weiteres Paar zur Welt Ein Kaninchen wird nach einem Monat geschlechtsreif 5 / 28
6 6 / 28
7 Fibonacci-Folge F = F 2 = F 3 = + = 2 F 4 = 2 + = 3 F 5 = = 5 F 6 = = 8 F 7 = = 3 7 / 28
8 Fibonacci-Folge Allgemeines Bildungsgesetz F = F 2 = F n = F n + F n 2, für n = 3, 4, 5,...,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55, 89, 44,... 8 / 28
9 Waldlilie 9 / 28
10 Primel 0 / 28
11 Nelke / 28
12 Kanadische Blutwurzel 2 / 28
13 Schwarzäugige Susanne 3 / 28
14 Gänseblümchen 4 / 28
15 Aloe Polyphylla 5 / 28
16 Kiefernzapfen 6 / 28
17 Sonnenblume 7 / 28
18 Der goldene Schnitt Idee Eine Strecke so zu teilen, dass das Verhältnis des kleineren zum größeren Streckenabschnitts dem Verhältnis des größeren Streckenabschnitts zur Gesamtstrecke gleich ist 8 / 28
19 Der goldene Schnitt Idee Eine Strecke so zu teilen, dass das Verhältnis des kleineren zum größeren Streckenabschnitts dem Verhältnis des größeren Streckenabschnitts zur Gesamtstrecke gleich ist 8 / 28
20 Der goldene Schnitt Idee Eine Strecke so zu teilen, dass das Verhältnis des kleineren zum größeren Streckenabschnitts dem Verhältnis des größeren Streckenabschnitts zur Gesamtstrecke gleich ist 8 / 28
21 Der goldene Schnitt Idee Eine Strecke so zu teilen, dass das Verhältnis des kleineren zum größeren Streckenabschnitts dem Verhältnis des größeren Streckenabschnitts zur Gesamtstrecke gleich ist x x = x 8 / 28
22 Der goldene Schnitt Idee Eine Strecke so zu teilen, dass das Verhältnis des kleineren zum größeren Streckenabschnitts dem Verhältnis des größeren Streckenabschnitts zur Gesamtstrecke gleich ist φ = = = + φ 8 / 28
23 Der goldene Winkel 9 / 28
24 Der goldene Winkel 9 / 28
25 Der goldene Winkel 9 / 28
26 Der goldene Winkel 9 / 28
27 Der goldene Winkel ω = 37, / 28
28 Der goldene Schnitt Definition Eine reelle Zahl a heißt rational, falls es zwei ganze zahlen n und m gibt, so dass gilt Andernfalls heißt a irrational. a = n m. 20 / 28
29 Der goldene Schnitt Definition Eine reelle Zahl a heißt rational, falls es zwei ganze zahlen n und m gibt, so dass gilt Andernfalls heißt a irrational. Beispiele sind 2, 5, π, φ. a = n m. 20 / 28
30 Der goldene Schnitt Definition Eine reelle Zahl a heißt rational, falls es zwei ganze zahlen n und m gibt, so dass gilt Andernfalls heißt a irrational. Beispiele sind 2, 5, π, φ. a = n m. Theorem φ ist die irrationalste aller Zahlen 20 / 28
31 Reguläre Kettenbrüche Jede reelle Zahl a lässt sich durch einen regulären Kettenbruch darstellen, das heißt es existiert eine Folge ganzer Zahlen (a, a 2, a 3,... ) so dass gilt: a = a + a 2 + a 3 + a 4 + a / 28
32 Reguläre Kettenbrüche Jede reelle Zahl a lässt sich durch einen regulären Kettenbruch darstellen, das heißt es existiert eine Folge ganzer Zahlen (a, a 2, a 3,... ) so dass gilt: a = a + a 2 + a 3 + a 4 + a Näherungsbrüche K = a K 2 = a + a 2 = p 2 q 2 2 / 28
33 Reguläre Kettenbrüche Jede reelle Zahl a lässt sich durch einen regulären Kettenbruch darstellen, das heißt es existiert eine Folge ganzer Zahlen (a, a 2, a 3,... ) so dass gilt: a = a + a 2 + a 3 + a 4 + a Näherungsbrüche K = a K 2 = a + a 2 = p 2 q 2 Die Näherungsbrüche konvergieren gegen a und sind beste Näherungen für a 2 / 28
34 Reguläre Kettenbrüche Beispiel π π = 3, = K = p q = 3 K 2 = p 2 q 2 = 22 7 = 3, K 3 = p 3 q 3 = = 3, / 28
35 Reguläre Kettenbrüche φ Es gilt φ = + φ 23 / 28
36 Reguläre Kettenbrüche φ Es gilt φ = + + φ 23 / 28
37 Reguläre Kettenbrüche φ Es gilt φ = φ 23 / 28
38 Reguläre Kettenbrüche φ Es gilt φ = / 28
39 Reguläre Kettenbrüche φ Es gilt Näherungsbrüche, φ = / 28
40 Reguläre Kettenbrüche φ Es gilt Näherungsbrüche, 2, φ = / 28
41 Reguläre Kettenbrüche φ Es gilt Näherungsbrüche 2,, 3 2, φ = / 28
42 Reguläre Kettenbrüche φ Es gilt Näherungsbrüche 2,, 3 2, 5 3, φ = / 28
43 Reguläre Kettenbrüche φ Es gilt Näherungsbrüche 2,, 3 2, 5 3, 8 5, φ = / 28
44 Reguläre Kettenbrüche φ Es gilt Näherungsbrüche 2,, 3 2, 5 3, 8 5, 3 8, φ = / 28
45 Reguläre Kettenbrüche φ Es gilt Näherungsbrüche 2,, 3 2, 5 3, 8 5, 3 8, 2 3, φ = / 28
46 Reguläre Kettenbrüche φ Es gilt φ = Näherungsbrüche 2,, 3 2, 5 3, 8 5, 3 8, 2 3, 34 2, 55 34, 89 55, / 28
47 Phyllotaxis 24 / 28
48 Phyllotaxis Divergenzwinkel 0 25 / 28
49 Phyllotaxis Divergenzwinkel 0 25 / 28
50 Phyllotaxis Divergenzwinkel 0 25 / 28
51 Phyllotaxis Divergenzwinkel 0 25 / 28
52 Phyllotaxis Divergenzwinkel 0 25 / 28
53 Phyllotaxis Divergenzwinkel 0 25 / 28
54 Phyllotaxis Divergenzwinkel / 28
55 Phyllotaxis Divergenzwinkel / 28
56 Phyllotaxis Divergenzwinkel / 28
57 Phyllotaxis Divergenzwinkel / 28
58 Phyllotaxis Divergenzwinkel / 28
59 Phyllotaxis Divergenzwinkel / 28
60 Phyllotaxis Divergenzwinkel / 28
61 Phyllotaxis Divergenzwinkel φ 27 / 28
62 Phyllotaxis Divergenzwinkel φ 27 / 28
63 Phyllotaxis Divergenzwinkel φ 27 / 28
64 Phyllotaxis Divergenzwinkel φ 27 / 28
65 Phyllotaxis Divergenzwinkel φ 27 / 28
66 Phyllotaxis Divergenzwinkel φ mit Radialwachstum 28 / 28
67 Phyllotaxis Divergenzwinkel φ mit Radialwachstum 28 / 28
68 Phyllotaxis Divergenzwinkel φ mit Radialwachstum 28 / 28
69 Phyllotaxis Divergenzwinkel φ mit Radialwachstum 28 / 28
70 Phyllotaxis Divergenzwinkel φ mit Radialwachstum 28 / 28
71 Phyllotaxis Divergenzwinkel φ mit Radialwachstum 28 / 28
72 Phyllotaxis Divergenzwinkel φ mit Radialwachstum 28 / 28
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