Erste Staatsprüfung für das Lehramt an Realschulen

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1 Julius-Maximilians-Universität Würzburg Erste Staatsprüfung für das Lehramt an Realschulen Schriftliche Hausarbeit Thema: Phyllotaxis Die mathematische Beschreibung und Modellierung von Blattstellungsmustern Eingereicht von Frank Schamann Eingereicht am Fach: Mathematik Dozent: Prof. Dr. Jörn Steuding

2 Abbildung 1: Erkennbare Spiralen bei einer Margerite Abbildung 2: Erkennbare grüne Spiralen bei einem Sonnenhut Die Natur hat uns einen wißbegierigen Geist gegeben und hat uns im Bewußtsein ihrer edlen Bildung und Schönheit zu Zuschauern dieses herrlichen Schauspiels bestimmt. Sie würde sich nämlich um die Wirkung ihres Seins bringen, wenn sie alle diese großen, wundervollen, feinen, glänzenden und nicht nur auf eine Art schönen Erscheinungen lediglich dem öden Weltenraum darböte. (Seneca, an Lucilius) 1 1 Puntsch, Eberhard: Das neue Zitatenbuch. Bechtermünz Verlag, 1997, S. 51

3 Inhaltsverzeichnis 1. Historischer Hintergrund der Phyllotaxis.4 2. Eine mathematische Einführung in die Phyllotaxis 6 3. Biologische Grundlagen der Blattbildung.8 4. Mathematische Grundlagen der Phyllotaxis Die Kettenbruchentwicklung Beste rationale Approximationen Farey-Folgen und Ford-Kreise Geometrie der Phyllotaxis: Zylindergitter und Parastichiebasen Fibonacci- und Lucasfolgen in der Phyllotaxis Zusammenfassung...53 Abbildungsverzeichnis...55 Tabellenverzeichnis.57 Literaturverzeichnis...58 Danksagung..60 Erklärung 61

4 Historischer Hintergrund der Phyllotaxis Unter Phyllotaxis versteht man die mathematische Beschreibung und Modellierung von Blattstellungsmustern. Die ersten Überlegungen zur Phyllotaxis sind aus der Antike bekannt. Damals wurden verschiedene Typen von Mustern unterschieden und damit die Pflanzen bestimmt. Hinweise gibt es hierfür in den Werken von Theophrastos von Eresos ( v.chr.) und Plinius dem Älteren (23-79 n. Chr.). In der antiken Baukunst der Griechen und der Ägypter lassen sich Feinheiten ihrer Beobachtungen erkennen (siehe Abbildung 3 und 4). 2 Abbildung 3: Korinthisches Kapitell mit Akanthusblätter-Ornament Abbildung 4: Akanthusblätter Den modernen Phyllotaxis-Gedanken begründete ein Schweizer Naturalist namens Charles Bonnet. Er entdeckte 1754 als Erster folgende Anordnung in der schraubigen Phyllotaxis: Je ein Blatt pro Knoten, was dem Bereich der Sprossachse, an dem eine oder mehrere Blätter ansetzen, entspricht. Die aufeinanderfolgenden Blätter sind jeweils um einen bestimmten Winkel zueinander verschoben. 3 Er fand heraus, dass die Blätter um einen Ast spiralartig angeordnet sind (siehe Abbildung 5). 4 2 Vgl. Départements de Mathématiques et de Biologie Universität Freiburg: Les pionniers de la phyllotaxie / Pioniere der Phyllotaxis ( Aufrufdatum: ) 3 Schöppke, Thomas: Phyllotaxis. < (Aufrufdatum: ) 4 Vgl. Départements de Mathématiques et de Biologie Universität Freiburg: Les pionniers de la phyllotaxie / Pioniere der Phyllotaxis ( Aufrufdatum: )

5 - 5 - Abbildung 5: Links: Ein Zweig der Salix Cinerea: keine offensichtliche Blattanordnung. Rechts: Grundmuster der schraubenförmigen Phyllotaxis mit rot eingezeichneter Spirale Bonnet nannte diese Spirale die genetische Spirale. Interessant ist die Intuition des Astronoms Johannes Kepler ( ). Er konnte damals als Erster einen Zusammenhang der Phyllotaxis und der Fibonacci-Folge (siehe Gliederungspunkt 2) aufzeigen. 5 Im September 1829 stellten auf einer Tagung von deutschen Wissenschaftlern und Physikern in Heidelberg zwei junge Botaniker, Carl Schimper und Alexander Braun, ihre Arbeiten über eine neue Theorie, welche die Verteilung von Blättern um eine Achse beschreibt, vor. Die Theorie bricht mit bereits bekannten Schriften über das Gebiet in zwei Hinsichten: Die zwei Botaniker postulierten, dass alle Blattverteilungen als eine Spirale verstanden werden sollten, und was noch wichtiger ist, dass alle möglichen Spiralen durch die Zahlentheorie beschrieben werden könnten. 6 5 Départements de Mathématiques et de Biologie Universität Freiburg: Les pionniers de la phyllotaxie / Pioniere der Phyllotaxis ( Aufrufdatum: ) 6 Vgl. Montgomery, William M.: The origins of the spiral theory of phyllotaxis in: Dietrich, Michael R. (Hauptherausgeber): Journal of the History of Biology, Springer Verlag 1970, S. 299

6 Eine mathematische Einführung in die Phyllotaxis Im Reich der Pflanzen kann man eine wunderbare Art der Phyllotaxis beobachten, nämlich die Spiralmuster bei Sonnenblumen (siehe Abbildung 6). Weitere Beispiele, bei denen man diese Spiralmuster erkennen kann, sind unter anderem die Korbblüten einer Margeritenblume (siehe Abbildung 7) und die Rückseite eines Kiefernzapfens (siehe Abbildung 8). Abbildung 6: Kerne im Fruchtstand einer Sonnenblume Abbildung 7: Gelbe Korbblüten einer Margerite Aerklärungbbildung 8: Rückseite eines Kieferzapfens

7 - 7 - Weitere Beispiele mit eingezeichneten Spiralen finden sich unter: Atela-Cortés, Pau; Golé, Christophe vom Smith College: Phyllotaxis (Aufrufdatum: ). < 7 Im Fruchtstand einer Sonnenblume fallen sowohl rechtsdrehende als auch linksdrehende Parallelscharen von Spiralarmen auf. Diese bestehen aus Blüten und später aus Samen. Durch zwei aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ) lassen sich die Anzahl der Spiralarme beschreiben. Die Fibonacci-Zahlen (F k ) k N sind definiert durch die rekursiv definierte Folge: F { 1 = F 2 = 1, F k+2 = F k + F k+1 für k 1. Dieses Phänomen tritt bei der Mehrzahl der Pflanzenarten mit Spiralmustern auf. Empirisch nachgewiesen wurde die Bedeutung der Fibonacci-Zahlen im Pflanzenreich erstmals von Carl Schimper. Mittels der Blattzyklen um einen Ast oder Stamm führte er den Begriff der Divergenz ein. Das Ende eines Zyklus tritt ein, wenn man an das Blatt gelangt, welches direkt über dem Anfangsblatt liegt. Die Divergenz definierte er als einen Quotienten p q mit p:=anzahl der Achsenumläufe des Zyklus und q:=anzahl der Blätter eines Zyklus. Damit ist die Divergenz also rational. Schimper führte nun Messungen für eine Vielzahl von Pflanzen durch und stellte Folgendes fest (siehe Tabelle 1 8 ): Tabelle 1: Divergenzen von Blattstellungen einiger Baumarten: Divergenz Pflanzenart 1/2 Ulme, Linde 1/3 Buche, Haselstrauch 2/5 Eiche, Aprikose 3/8 Pappel, Birne 5/13 Weide, Mandel 7 Aufrufdatum: Hellwig, Heino; Neukirchner, Thomas: Phyllotaxis Die mathematische Beschreibung und Modellierung von Blattstellungsmustern, in: Müller-Stach, S.; Steuding, J.; Volkert, K. (Geschäftsführende Hg.): Mathematische Semesterberichte, Springer Verlag 2011, S. 19

8 - 8 - Häufig trat die sogenannte Braun-Schimpersche-Hauptfolge 1, 1, 2, 3, 5, auf. Man erkennt, dass sich diese Brüche durch Quotienten benachbarter Fibonacci-Zahlen F k F k+2 schreiben lassen. Über diese auftretenden Zahlen bei den Divergenzen schreibt Schimper: dass die Nothwendigkeit der Zahlen, die wir erhalten haben, schon durch die Art, wie wir sie erhalten haben, erwiesen ist. 9 Mit solch eine Aussage gaben sich die Naturforscher nicht zufrieden. Die Beschreibung und Deutung der Spiralformen wurde in der Folge zu einem viel diskutierten Hauptproblem der Botanik. Ein Hauptproblem der Phyllotaxis ist es, die bevorzugte Ausbildung des goldenen Winkels ( 137,5 ) zu erklären. An einer Berliner Sommerschule wurde 2007 im Rahmen einer Gruppenarbeit von Heino Hellwig mit dem Thema Phyllotaxis Über Zahlen und Pflanzen die Phyllotaxis als Kursthema für Oberstufenschüler erprobt. Das Thema eignet sich natürlich auch für einen fächerübergreifenden Unterricht (z.b. Biologie, Mathematik) Biologische Grundlagen der Blattbildung An der Sprossknospe einer Pflanze werden neue biologische Anlagen gebildet. Häufig werden Kreis- oder Zylinderflächen als geometrische Flächen gewählt, auf denen sich die Blattanlagen anordnen. Der Divergenzwinkel, der internodule Zuwachs (Zylinderflächen) bzw. der Plastochronquotient (Kreisflächen) sind neben der Wirtelzahl wichtige Parameter zur Beschreibung phyllotaktischer Muster. Als Divergenzwinkel α = (0P i, 0P i+1 ) wird der Winkel zwischen zwei aufeinanderfolgenden Anlagen bezeichnet. Definiert wird der internodule Zuwachs h (bedeutet Zuwachs zwischen den Knoten, lat. Nodus) durch h = a mit dem vertikalen Abstand a zweier aufeinanderfolgender Anlagen und dem Umfang U U der Sprossknospe. Mittels des Plastochronquotienten R wird die radiale Wachstumsrate auf der Kreisfläche gemessen. 9 Hellwig, Heino; Neukirchner, Thomas: Phyllotaxis Die mathematische Beschreibung und Modellierung von Blattstellungsmustern, in: Müller-Stach, S.; Steuding, J.; Volkert, K. (Geschäftsführende Hg.): Mathematische Semesterberichte, Springer Verlag 2011, S Hellwig, Heino; Neukirchner, Thomas: Phyllotaxis Die mathematische Beschreibung und Modellierung von Blattstellungsmustern, in: Müller-Stach, S.; Steuding, J.; Volkert, K. (Geschäftsführende Hg.): Mathematische Semesterberichte, Springer Verlag 2011, S. 19

9 - 9 - R ist als Verhältnis vom Sprossmittel 0 und zweier aufeinander folgender Primordia (Ort, an dem neue biologische Anlagen in einem frühen Entwicklungsstadium entstehen) bestimmt. Interessant ist die Häufigkeitsverteilung der Parastichiemuster (Spiralmuster) (siehe Tabelle 2 11 ), welche Schoute nach der Untersuchung von 319 Sonnenblumen aufgestellt hat. 12 Tabelle 2: Häufigkeitsverteilung der Parastichie-Muster bei der Sonnenblume: Muster Parastichien Häufigkeit Fibonacci 1, 2, 3, 5, 82,1 % Lucas 1, 3, 4, 7, 14,4 % Fibonacci-Bijugate 2(1, 2, 3, 5, ) 2,8 % Sekundär-Folge 1, 4, 5, 9, 0,6 % Man kann bei zweikeimblättrigen Pflanzen (z.b. Korbblütler wie die Sonnenblume) früh einen Wechsel von der gegenständigen Blattstellung mit Divergenzwinkel 180 zur spiraligen Blattstellung mit Winkel 137,5, dem so genannten Goldenen Winkel (Erklärung siehe Kap. 4), beobachten Mathematische Grundlagen der Phyllotaxis In diesem Kapitel beziehen wir uns auf Hellwig, Heino; Neukirchner, Thomas: Phyllotaxis Die mathematische Beschreibung und Modellierung von Blattstellungsmustern, in: Müller-Stach, S.; Steuding, J.; Volkert, K. (Geschäftsführende Hg.): Mathematische Semesterberichte, Springer Verlag 2011 S Hellwig, Heino; Neukirchner, Thomas: Phyllotaxis Die mathematische Beschreibung und Modellierung von Blattstellungsmustern, in: Müller-Stach, S.; Steuding, J.; Volkert, K. (Geschäftsführende Hg.): Mathematische Semesterberichte, Springer Verlag 2011, S Hellwig, Heino; Neukirchner, Thomas: Phyllotaxis Die mathematische Beschreibung und Modellierung von Blattstellungsmustern, in: Müller-Stach, S.; Steuding, J.; Volkert, K. (Geschäftsführende Hg.): Mathematische Semesterberichte, Springer Verlag 2011, S Vgl. Hellwig, Heino; Neukirchner, Thomas: Phyllotaxis Die mathematische Beschreibung und Modellierung von Blattstellungsmustern, in: Müller-Stach, S.; Steuding, J.; Volkert, K. (Geschäftsführende Hg.): Mathematische Semesterberichte, Springer Verlag 2011, S. 21

10 Um den kompakten Blütenstand einer Sonnenblume, welche ein Korbblütengewächs (lat. Asteraceae oder Compositae) ist, möglichst einfach beschreiben zu können, werden Polarkoordinaten verwendet. Bei einem Polarkoordinatensystem handelt es sich um ein zweidimensionales Koordinatensystem, bei dem jeder Punkt P einer Ebene durch den Abstand (meist bezeichnet man ihn mit r ) bezüglich des Nullpunktes 0 und dem Winkel (meist bezeichnet man ihn mit φ ) zwischen der Halbgeraden mit Anfangspunkt 0 und der x-achse des Koordinatensystems festgelegt ist (siehe Abbildung 9). Abbildung 9: Polarkoordinatensystem Auf einer ontogenetischen Spirale (verbindet Anlagen der Entstehungsgeschichte) wird die Position der n-ten Anlage als Punkt P(n) wie folgt beschrieben, wobei n N. P(n) = ( (φ n) n N (r n)n N ) = ( n φ c n ) (1) Hierbei bezeichne φ einen fest gewählten Divergenzwinkel mit φ [0;2π[ und c R +. Präsentiert wird eine Korbblüte mit dem Radius 1. Vom Zentrum hat die n-te Anlage den Abstand c n. Der Flächeninhalt der ersten n Blattanlagen ist somit proportional zum Flächeninhalt des Kreises, in dem sie sich befinden. Das Flächenwachstum der Kreise ist damit auch proportional zum Flächenzuwachs, der durch Hinzunahme einer Korbblüte entsteht. Eine Spirale der Form r(n) mit n N nennt man parabolische, Fermatsche oder Zyklotronspirale. Um den Blütenstand von Korbblütengewächsen am besten beschreiben zu können, benötigt man den Goldenen Schnitt (siehe Abbildung 10).

11 Dieser ist wie folgt definiert: Abbildung 10: Goldener Schnitt. S teilt die Strecke [AB] im Verhältnis des Goldenen Schnitts Es sei [AB] eine Strecke mit ihrer Streckenlänge c AB. Es sei S [AB] ein Punkt auf dieser Strecke und a AS > SB =: b. Dann teilt der Punkt S die Strecke [AB] im Goldenen Schnitt, falls AS = BS AB AS, also kurz, wenn a c = b a. Algebraisch kann man aus a c = b a folgern, dass a a+b = b a. Hieraus kann man durch Umformung schließen, dass a²-ab-b²=0. Durch Anwenden der Mitternachtsformel erhält man algebraisch zwei Lösungen. Berücksichtigt man aber a > b, so folgt hieraus: a = b+ b2 +4b². Nach Vereinfachung folgt: 2 a = 1+ 5 b 2, das Verhältnis des Goldenen Schnitts.14 Der Goldene Schnitt lässt sich unter anderem durch Quotientenbildung F k+2 F k annähern (siehe Kapitel 4.1). F { 1 = F 2 = 1 => 2 F k+2 = F k + F, 3, 5, 8, 13 k , 21, 34, a b = 1+ 5 der Fibonacci-Zahlen Den Goldenen Winkel erhält man, indem man den Vollwinkel (g:=360 ) im Verhältnis des Goldenen Schnitts teilt. => α = = 222, Üblicherweise wird β = α =137,50776 als der Goldene Winkel bezeichnet (siehe Abbildung 11). 14 Vgl. Reiss, K.; Schmieder, G.: Basiswissen Zahlentheorie 2. Auflage Springer Verlag 2007, S.325

12 Abbildung 11: Goldener Winkel. Wird der Winkel β in Gleichung (1) verwendet, so erhält man in großer Übereinstimmung das Bild eines realen Korbblüters (Abbildung 12 (a)). Schon kleinste Veränderungen des Goldenen Winkels verursachen große Änderungen (Abbildung 12 (b)). Abbildung 12: Spiralmuster (a) mit Gleichung (1) (Parameter c=1, n=1, 2,, 500) für β = 360 (1-5 1 ) = 137, (b) mit Gleichung (1) (Parameter c=1, n=1, 2,, 500) für β = 358,2 (1-5 1 ) = 136, Es bezeichne nun m die Anzahl der rechtsdrehenden Spiralen und n die Anzahl der linksdrehenden Spiralen. Das entstehende Muster wird als (m, n) Parastichiepaar bezeichnet. Es entstehen (F n, F n+1 ) Parastichiepaare für den Fall des Goldenen Winkels 137,50776.

13 Wer sich mit der Phyllotaxis befasst, beschäftigt sich natürlich mit der Frage, weshalb in der Welt der Pflanzen der Goldene Winkel bevorzugt ausgebildet wird. Deren Beantwortung ist leider noch offen. Man kann aber erklären welcher Zusammenhang zwischen dem Parastichiepaar (m, n) und dem Divergenzwinkel φ besteht. Gelöst wurde die Frage im Rahmen der diophantischen Approximation (Näherung) und Klassifikation ebener Gitter, auf die wir noch eingehen werden. Im Folgenden wird im Rahmen der Theorie der Kettenbrüche der Zusammenhang zwischen den Fibonacci-Zahlen und dem Goldenen Schnitt erklärt. 4.1 Die Kettenbruchentwicklung Im Folgenden beziehen wir uns auf Menzer, Hartmut: Zahlentheorie Oldenburg Wissenschaftsverlag 2010, S Kettenbruchdarstellungen besitzen eine Reihe von Vorteilen: - Die reellen Zahlen R lassen sich besonders gut durch Kettenbrüche approximieren (annähern). - Jede rationale Zahl von der Form p Q mit p, q Z besitzt eine endliche Kettenbruchdarstellung. q - Jede quadratisch irrationale Zahl, d.h. x Q und Nullstelle eines quadratischen Polynoms mit Koeffizienten aus Z, besitzt eine periodische reguläre Kettenbruchdarstellung. Definition 4.1.1: (Kettenbruch) (i) Es seien a 0, a 1, a 2, reelle Zahlen für a i > 0 mit i 1. (ii) (iii) Die Darstellung x := [a 0, a 1, a 2, ] := a wird als Kettenbruch bezeichnet. a a2+... Ein Kettenbruch wird als endlich bezeichnet, wenn die zugehörige Folge reeller Zahlen (a n ) n N endlich ist. Als unendlich bezeichnet man einen Kettenbruch, wenn die zugehörige Folge reeller Zahlen (a n ) n N unendlich ist.

14 (iv) Es sei [a 0, a 1, a 2, ] ein beliebiger Kettenbruch. Die Glieder a i werden Teilnenner des Kettenbruchs genannt. Die Darstellung s k = [a 0, a 1, a 2,, a k ] wird als k-ter Abschnitt und r k =[a k, a k+1, a k+2, ] als k-ter Rest oder k-te Restzahl des Kettenbruchs bezeichnet. Um nun aus einer beliebig vorgegebenen reellen Zahl x einen einfachen Kettenbruch herzustellen, bedient man sich des nun folgenden Algorithmus: Dazu sei a 0 = [x] die größte ganze Zahl mit a 0 x. Dabei besitzt x die Darstellung x = r 0 = a r 1 mit 1 < r 1, r 1 = a r 2 mit a 1 = [r 1 ] und 1 < r 2. Allgemein folgt hieraus, dass r k = a k + 1 r k+1 mit a k = [r k ] und 1 < r k+1. Mit diesem Algorithmus können wir bereits rationale Zahlen als Kettenbruch entwickeln. Z.B = = 1, = 1, lässt sich so entwickeln: 2 = = 1 + = = = [1,1,1,1,1,1,1, 2 ]. = = Wir können allerdings auch irrationale Zahlen entwickeln, z.b. den Quotienten des Goldenen Schnitts x = Hierzu benötigen wir die nächste kleinere ganze Zahl von 5. Es gilt: 4 = 2 < 5 also [ 5] = 2.

15 Damit folgt x 0 = [x] = [ ] =[ 1 +2 ] = 1 und ferner 2 2 x = x 0 + x x 0 = = = = = 1 + ( = ) ( ) Da wir [ ] schon kennen, können wir die Rechnung beenden. Es folgt insgesamt für die 2 Kettenbruchentwicklung: x = [1, 1, 1, ] = [1, 1 ]. = Es liegt nun folgende Vermutung nahe, die wir im Anschluss beweisen: Satz 4.1.1: a) Es ist möglich jede reelle Zahl x als Kettenbruch zu schreiben. b) Ein Kettenbruch ist genau dann endlich, wenn x rational ist. Beweis: a) folgt direkt aus dem Kettenbruchalgorithmus Definition (iv) und Folgerung (welche wir später beweisen werden). b) 15 => : Klar aufgrund Definition 1 (ii). <= : Folgt aus der Anwendung des euklidischen Algorithmus. Sei also x = p Q echt größer als q Null. O.B.d.A gelte ggt(p, q) = r n. Dabei bezeichne r n den n-ten Rest im euklidischen Algorithmus. 15 Vgl. Müller-Stach, Stefan; Piontkowski, Jens: Elementare und algebraische Zahlentheorie, 2. Auflage, Vieweg+Teubner-Verlag 2006, S

16 Zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers von p und q betrachten wir den euklidischen Algorithmus mit n+1 Schritten: p = a 0 q + r 1 mit 0 < r 1 < q q = a 1 r 1 + r 2 mit 0 < r 2 < r 1 r n 2 = a n 1 r n 1 + r n mit 0 < r n < r n 1 r n 1 = a n r n mit r n+1 = 0. Zu beliebigen p, q terminiert dieser nach endlich vielen Schritten, da die Reste r k immer kleiner werden. Aus p = a 0 q + r 1 folgt p = a q 0 + r 1. Schrittweises Einsetzen liefert: q p q = a q r1 = a a 1 + r 2 = = a 0 + r1 1 1 a an 1 + rn rn 1 x besitzt damit die gesuchte Darstellung als Kettenbruch. q.e.d. = a a an an. Satz 4.1.2: Es sei [a 0, a 1, a 2, ] ein beliebiger Kettenbruch. Für k 1 gelten folgende Rekursionsformeln: { p k = a k p k 1 + p k 2 mit p 1 = 1 und p 0 = a 0, q k = a k q k 1 + q k 2 mit q 1 = 0 und q 0 = 1. Dann gilt für den k-ten Abschnitt des Kettenbruchs die Beziehung: [a 0, a 1, a 2,, a k ] = p k q k. Beweis: Wir beweisen den Satz durch vollständige Induktion über k. Induktionsanfang: k = 1: [a 0, a 1 ] = a a 1 = a 0a a 1 = p 1 q 1.

17 Induktionsannahme: Die Behauptung gelte für ein festes k 1. Induktionsschluss: k k + 1: [a 0, a 1, a 2,, a k, a k+1 ] = [a 0, a 1, a 2,, a k + 1 a k+1 ] = (a k+ 1 a k+1 )p k 1 +p k 2 (a k + 1 a k+1 )q k 1 +q k 2 = a k+1 (a k p k 1 + p k 2 ) + p k 1 a k+1 (a k q k 1 + q k 2 ) + q k 1 = a k+1p k + p k 1 a k+1 q k + q k 1 = p k+1 q k+1. Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion ist die Behauptung für alle k N gezeigt. q.e.d. Man bezeichnet den Quotienten p k q k Kettenbruchs [a 0, a 1, a 2,, a k ]. als Näherungsbruch k-ter Ordnung des zugehörigen Man kann also jedem unendlichen Kettenbruch [a 0, a 1, a 2,, a k, ] eine unendliche Folge von Näherungsbrüchen ( p 0 q 0, p 1 q 1,, p k q k, ) zuordnen. Jeder Näherungsbruch ist eine reelle Zahl. Wenn p 0 q 0, p 1 q 1,, p k q k, konvergiert, d.h. einen eindeutig bestimmten Grenzwert x mit x < besitzt, so kann die reelle Zahl x als Grenzwert des Kettenbruchs x = lim ( p 0, p 1,, p k, ) k q 0 q 1 q k aufgefasst werden. Korollar 4.1.1: (Determinanten der Kettenbrüche) Es gelten die folgenden Formeln: (a) p k q k 1 p k 1 q k = ( 1) k 1 für k 0, (b) p k 2 q k p k q k 2 = ( 1) k 1 a k für k 1. Beweis: (a) Durch vollständige Induktion über k.

18 Induktionsanfang: Für k = 0 gilt: p 0 q 1 p 1 q 0 = 1 = ( 1) 1. Für k = 1 gilt: p 1 q 0 p 0 q 1 = a 1 p 0 + p 1 a 0 (a 1 q 0 + q 1 ) = a 0 a a 0 a 1 = 1 = ( 1) k 2. Induktionsannahme: p k q k 1 p k 1 q k = ( 1) k 1 gelte für ein k 0. Induktionsschluss: k k + 1: p k+1 q k p k q k+1 = (a k+1 p k + p k 1 )q k p k (a k+1 q k + q k 1 ) = a k+1 p k q k + p k 1 q k p k a k+1 q k p k q k 1 = (p k q k 1 p k 1 q k ) = ( 1) k 1 = ( 1) k. Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion ist die Behauptung für alle k N gezeigt. (b) Durch vollständige Induktion über k. Induktionsanfang: Für k = 1 gilt: p 1 q 1 p 1 q 1 = a 1 q 0 + q 1 = a 1 = ( 1) 1 1 a 1. Induktionsannahme: p k 2 q k p k q k 2 = ( 1) k 1 a k gelte für ein k 1. Induktionsschluss: k k + 1: p k 1 q k+1 p k+1 q k 1 = p k 1 (a k+1 q k + q k 1 ) (a k+1 p k + p k 1 )q k 1 = a k+1 (p k 1 q k p k q k 1 ). Einsetzen von (a) liefert: a k+1 (p k 1 q k p k q k 1 ) = a k+1 ( ( 1) k 1 ) = a k+1 ( 1) k. Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion ist die Behauptung für alle k N gezeigt. q.e.d. Es ergeben sich die folgenden Eigenschaften für die Folge der Näherungsbrüche ( p k einer q k )k N beliebigen Kettenbruchdarstellung: Korollar 4.1.2: Es sei ( p k eine Folge der Näherungsbrüche einer beliebigen Kettenbruchdarstellung. q k )k N

19 Es gelten die folgenden Eigenschaften: (i) (ii) (iii) Die Folge der geraden Näherungsbrüche ( p 2k ist streng monoton q 2k )k N wachsend. Die Folge der ungeraden Näherungsbrüche ( p 2k+1 ist streng monoton q 2k+1 )k N fallend. Alle geraden Näherungsbrüche sind kleiner als alle ungeraden Näherungsbrüche. Das heißt: p 2l q 2l < p 2k+1 q 2k+1 für k, l N. Beweis: (i) Aus Korollar (b) folgt nach Division mit q k q k 2 : p k 2 q k q k q k 2 p kq k 2 q k q k 2 = p k 2 q k 2 p k q k = ( 1)k 1 a k q k q k 2. Ersetzt man hier k durch 2k, so kann man hieraus folgern, dass: p 2k 2 q 2k 2 p 2k q 2k = ( 1)2k 1 a 2k q 2k q 2k 2 bzw. p 2k p 2k 2 = a 2k > 0. q 2k q 2k 2 q 2k q 2k 2 Damit folgt p 2k q 2k > p 2k 2 q 2k 2. Somit ist die Folge ( p 2k also streng monoton steigend. q 2k )k N (ii) Nach (i) gilt: p k 2 q k 2 p k q k = ( 1)k 1 a k q k q k 2.

20 Ersetzt man hier k durch 2k+1, so kann man hieraus folgern, dass: p 2k 1 q 2k 1 p 2k+1 q 2k+1 = ( 1)2k a 2k+1 q 2k+1 q 2k 1 = a 2k+1 q 2k+1 q 2k 1 > 0 bzw. p 2k 1 q 2k 1 > p 2k+1 q 2k+1 und die Folge ( p 2k+1 ist also streng monoton fallend. q 2k+1 )k N (iii) Wir unterscheiden die beiden Fälle k l und k > l. 1. Fall (k l ): Wir dividieren zunächst die Formel aus Korollar (a) mit q k q k 1 und erhalten p k q k 1 q k q k 1 p k 1q k q k q k 1 = ( 1)k 1 q k q k 1 bzw. p k q k p k 1 q k 1 = ( 1)k 1 q k q k 1. Wir ersetzen k durch 2k und erhalten p 2k q 2k p 2k 1 q 2k 1 = ( 1)2k 1 q 2k q 2k 1 bzw. p 2k p 2k 1 1 =. q 2k q 2k 1 q 2k q 2k 1 Für k = l folgt daraus, dass: p 2l 1 q 2l 1 > p 2l q 2l. Da aus (i) und (ii) folgt, dass die geraden Näherungsbrüche streng monoton wachsen, gilt für k < l die Ungleichung p 2l q 2l > p 2k q 2k. Da die ungeraden Näherungsbrüche streng monoton fallen, gilt für k < l, die Ungleichung p 2l 1 q 2l 1 < p 2k 1 q 2k 1.

21 Insgesamt folgt also, dass: und damit die gewünschte Ungleichung: p 2k 1 q 2k 1 > p 2l 1 q 2l 1 > p 2l q 2l > p 2k q 2k p 2k+1 q 2k+1 > p 2l q 2l. 2. Fall (k > l ): Betrachten wir wie beim 1. Fall die Formel Damit ist p 2k q 2k p 2k 1 q 2k 1 < 0. Für k > l gilt: p 2k p 2k 1 1 =. q 2k q 2k 1 q 2k q 2k 1 ( p 2l q 2l p 2k 1 q 2k 1 ) = ( p 2k q 2k p 2k 1 q 2k 1 ) + ( p 2l q 2l p 2k q 2k ). Da die geraden Näherungsbrüche streng monoton wachsend sind, ist p 2l q 2l p 2k q 2k < 0. Insgesamt folgt also p 2l q 2l p 2k 1 q 2k 1 < 0 bzw. p 2l q 2l < p 2k 1 q 2k 1. q.e.d. Aus Korollar können wir folgende interessante Eigenschaft folgern:

22 Folgerung 4.1.1: p 0 q 0 < p 2 q 2 <... < p 2k q 2k <... < x <... < p 2k+1 q 2k+1 <... < p 3 q 3 < p 1 q 1. Die Näherungsbrüche von x sind damit abwechselnd kleiner bzw. größer. Nun können wir eine wichtige Abschätzung für die Konvergenz der Kettenbruchentwicklung folgern: Folgerung 4.1.2: Der Abstand einer reellen Zahl zu ihren Näherungsbrüchen kann wie folgt abgeschätzt werden: x p k 1 k < q k a k (q k 1 ) 2 0. Beweis: Nach Folgerung gilt: x p k q k < p k 1 q k 1 p k q k = p k 1q k p k q k 1 q k 1 q k. Nach Korollar (a) gilt: und p k 1q k p k q k 1 = ( 1)k 1 = 1 1 = q k 1 q k q k 1 q k q k 1 q k q k 1 (a k q k 1 + q k 2 ) < 1 a k (q k 1 ) 2 1 k a k (q k 1 ) 2 0, da die rekursiv definierte Folge (q k 1 ) k N so konstruiert wurde, dass diese monoton wächst (nicht streng monoton, da z.b. für a 1 = 1 gilt: q 1 = a 1 q 0 + q k 1 = q 0 = 1). q.e.d. Wir betrachten nun eine besondere Art von Kettenbrüchen, die sogenannten noblen Zahlen:

23 Definition 4.1.2: Eine reelle Zahl η heißt nobel, wenn deren unendliche Kettenbruchdarstellung ab irgendeiner Stelle nur noch Einsen enthält, d.h. wenn sie die folgende Gestalt besitzt: η [a 0, a 1, a 2,, a k, 1 ]. Bemerkung: Der Goldene Schnitt χ die Kettenbruchentwicklung χ = [1, 1 ] besitzt. wird als die nobelste aller Zahlen bezeichnet, da sie Wir versuchen mit unseren bisherigen Kenntnissen χ = [1, 1 ] rational zu approximieren. Hierzu benötigen wir die Formeln aus Satz für k 1: { p k = a k p k 1 + p k 2 mit p 1 = 1 und p 0 = a 0, q k = a k q k 1 + q k 2 mit q 1 = 0 und q 0 = 1. p 0 q 0 = a 0 = 1 ; p 1 q 1 = 2 1 = 2 ; p 2 q 2 = 3 2 ; p 3 q 3 = 5 3 ; p 4 q 4 = 8 5 ; p 5 = 13 q 5 8 ; Dies bestätigt, dass sich der Goldene Schnitt χ durch Quotientenbildung F k+2 der Fibonacci-Zahlen F k annähern lässt. Damit ergibt sich der Zusammenhang zwischen der Fibonacci-Folge Goldenen Divergenzwinkel β = 137, , 1, 2, 3, 5, und dem Aufgrund Satz und η = [a 0, a 1, a 2,, a k, 1 ] und χ = [1, 1 ] kann für η geschrieben werden: Folgerung 4.1.3: η = χp n + p n 1 χq n + q n 1. Nahezu alle in der Pflanzenwelt vorkommenden Parastichie-Zahlen (Anzahl der Spiralen) sind die Konvergentennenner q k von noblen Winkeln 16 (vgl. Tabelle 3). 16 Hellwig, Heino; Neukirchner, Thomas: Phyllotaxis Die mathematische Beschreibung und Modellierung von Blattstellungsmustern, in: Müller-Stach, S.; Steuding, J.; Volkert, K. (Geschäftsführende Hg.): Mathematische Semesterberichte, Springer Verlag 2011, S. 25

24 In folgender Tabelle werden Zusammenhänge mit einigen noblen Zahlen dargestellt. Es sei hierzu η(i) = [0, i, 1 ] und η(i, j) = [0, i, j, 1 ] gegeben mit der zugehörigen Winkeldarstellung und die Darstellung mittels des Goldenen Schnitts χ und der zugehörigen Kettenbruchentwicklung. Tabelle 3: 17 η Winkel in Grad Darstellung mittels η(1) 222,492 1 χ η(2) 137,507 1 χ + 1 η(3) 99,501 1 χ + 2 η(4) 77,955 1 χ + 3 η(5) 64,079 1 χ + 4 η(2, 2) 151,136 χ + 1 2χ + 3 η(6) 54,396 1 χ + 5 χ Kettenbruchentwicklung [0,1, 1 ] [0,2, 1 ] [0,3, 1 ] [0,4, 1 ] [0,5, 1 ] [0,2, 2, 1 ] [0,6, 1 ] 17 Hellwig, Heino; Neukirchner, Thomas: Phyllotaxis Die mathematische Beschreibung und Modellierung von Blattstellungsmustern, in: Müller-Stach, S.; Steuding, J.; Volkert, K. (Geschäftsführende Hg.): Mathematische Semesterberichte, Springer Verlag 2011, S. 25

25 Beste rationale Approximationen Im Folgenden beziehen wir uns auf Jörn Steuding: Diophantine Analysis, Chapman & Hall/ CRC Verlag 2005, S und Sollte, Martin: Kettenbrüche. Ausarbeitung zum Vortrag im Proseminar Analysis (Wintersemester 2008/09), Leitung PD Dr. Gudrun Thäter, S < Wir zeigen nun, dass die rationalen Zahlen Q dicht in den reellen Zahlen R liegen: Satz (Q liegt dicht in R): Zu je zwei reellen Zahlen a, b mit a < b gibt es eine rationale Zahl q = m n a < q < b. mit m, n Z und Beweis: Zu zeigen: Sind x R und ε > 0 gegeben, so existiert ein q Q, mit x q < ε. Sei n N und 1 < ε. Sei nun m = nx. Es bezeichne nx die größte ganze Zahl kleiner oder gleich n nx. Es gilt dann: m nx < m + 1. Daraus folgt, dass m x < m + 1. Es sei nun q m. Damit gilt n n n n also: 0 x q < 1 n < ε. Somit gilt insgesamt: x q < ε. q.e.d. Da Q dicht in R liegt, können reelle Zahlen gut durch rationale Zahlen p approximiert werden. q

26 Die Näherungen sollen in gekürzter Form vorliegen, denn z.b. für den Goldenen Schnitt = 1, sind 1 1, 16 10, , 1618, , nicht besonders sinnvoll, da die Nenner sehr groß werden. Man könnte sich nun die Frage stellen, ob nicht bessere rationale Approximationen durch kleinere Nenner erzielt werden könnten. 18 Satz (Gesetz der besten rationalen Approximation): Es bezeichne x eine irrationale Zahl mit ihren Näherungsbrüchen p k q k. Falls k 2 und p, q positive ganze Zahlen sind, welche 0 < q < q k und p q p k q k erfüllen, so gilt: q k x p k < qx p. Beweis 19 : Wir können annehmen, dass p und q teilerfremde Zahlen sind, also der Bruch p bereits in q gekürzter Form vorliegt. Wir betrachten zunächst das lineare Gleichungssystem in den Unbekannten α, β Z : p k α + p k 1 β = p, q k α + q k 1 β = q. Dieses könnten wir umschreiben zu: ( p k p k 1 q k q k 1 ) ( α β ) = (p q ). 18 Hellwig, Heino; Neukirchner, Thomas: Phyllotaxis Die mathematische Beschreibung und Modellierung von Blattstellungsmustern, in: Müller-Stach, S.; Steuding, J.; Volkert, K. (Geschäftsführende Hg.): Mathematische Semesterberichte, Springer Verlag 2011, S Vgl. Sollte, Martin: Kettenbrüche Ausarbeitung zum Vortrag im Proseminar Analysis (Wintersemester 2008/09), Leitung PD Dr. Gudrun Thäter S ). <

27 Anwendung der Cramerschen Regel liefert: det ( p p k 1 q q ) α = k 1 det ( p k p k 1 q k q ) k 1 = pq k 1 p k 1 q p k q k 1 p k 1 q k, det ( p k p q β = k q ) p k q pq k det ( p k p =. k 1 q k q ) p k q k 1 p k 1 q k k 1 Mit Korollar (a) folgt: α = pq k 1 p k 1 q ( 1) k 1 = ( 1) k 1 (pq k 1 p k 1 q), β = p kq pq k ( 1) k 1 = ( 1)k 1 (p k q pq k ). Es muss nun β 0 sein, denn sonst würde gelten: 0 = ( 1) k 1 (p k q pq k ) bzw. p k q = pq k. Wir haben angenommen, dass p und q teilerfremd sind. Es kann nun passieren, dass q k q gilt. Dann müsste aber q k q gelten, im Widerspruch zur Annahme, dass 0 < q < q k. Zur Untersuchung von α führen wir eine Fallunterscheidung durch. 1. Fall: α = 0: Dem linearen Gleichungssystem kann entnommen werden, dass p k 1 β = p und p k 1 β = p. Damit folgt, dass qx p = q k 1 βx p k 1 β = β q k 1 x p k 1 q k 1 x p k 1 > q k x p k. Die letzte Ungleichung q k 1 x p k 1 > q k x p k ergibt sich aus Folgerung Fall: α 0: (a) Sei zunächst α < 0, dann ist äquivalent zu p k α + p k 1 β = p: p k 1 β = p p k α > 0.

28 Daraus folgt β > 0, da p, p k, p k 1 > 0. (b) Sei nun α > 0, dann ist äquivalent zu q k α + q k 1 β = q: q k 1 β = q q k α < 0. Hieraus folgt β < 0, denn 0 < q q k und q, q k, q k 1 > 0. Damit folgt, dass α und β unterschiedliches Vorzeichen besitzen. Unter Berücksichtigung von Folgerung gilt offensichtlich: { q k x p k < 0 und q k 1 x p k 1 > 0 für ungerade k, q k x p k > 0 und q k 1 x p k 1 < 0 für gerade k. Damit haben α(q k x p k ) und β(q k 1 x p k 1 ) das gleiche Vorzeichen. Daher gilt: α(q k x p k ) + β(q k 1 x p k 1 ) = α(q k x p k ) + β(q k 1 x p k 1 ). Es gilt also nun: qx p = (q k α + q k 1 β)x (p k α + p k 1 β) = q k αx + q k 1 βx p k α p k 1 β) = α(q k x p k ) + β(q k 1 x p k 1 ) = α(q k x p k ) + β(q k 1 x p k 1 ) = α q k x p k + β q k 1 x p k 1. Da α 0, folgt: α q k x p k + β q k 1 x p k 1 > β q k 1 x p k 1 q k 1 x p k 1 Insgesamt gilt damit: qx p q k 1 x p k 1 > q k x p k. q.e.d. Lemma 4.2.1: Es sei 0 < q q k. Für die rationale Zahl p q p k q k gilt die Ungleichung: x p k q k x p q.

29 Beweis: Wir führen einen Widerspruchsbeweis durch. Wir nehmen an, es wäre x p k q k > x p q. Daraus würde folgen, dass im Widerspruch zu Satz Damit ist die Behauptung gezeigt. q.e.d. q k x p k = q k x p k q x p k > q x p = qx p, q k q k q Die noblen Zahlen sind die am schlechtesten rational approximierbaren Zahlen, da diese die Kettenbruchentwicklung [a 0, a 1, a 2,, a k, 1 ] besitzen und damit die möglichen Teilnenner ab einer gewissen Stelle a k alle 1 ergeben. Damit konvergiert nach Folgerung der Term x p k q k < 1 a k (q k 1 ) 2 nur sehr langsam gegen 0. Mithilfe der Methodik der Kettenbrüche kann recht einfach die Struktur der Muster der Phyllotaxis erklärt werden. Insbesondere kann das Rotationsmuster (siehe Abbildung 12 (a)) genauer beschrieben werden. Nach Satz sind die Näherungsbrüche p k q k die beste rationale Approximation reeller Zahlen. Dadurch ist der zugehörige Parastichiewinkel der Ordnung k, welcher definiert ist durch φ k 2π q k x p k, der kleinste Winkel zwischen dem Punkt P(n) = ( (φ n) n N (r n)n N ) = ( n φ c n ) mit n q k+1 1, und der x- Achse. Ist nq k < q k+1, so ist der Winkel zwischen einem Punkt P(nq k ) des Rotationsmusters und der x- Achse gleich nφ k. Für einen kleinen Zuwachs liegen die Punkte P(q k ), P(2q k ), P(3q k ), auf einer sogenannten Kontaktparastichie, welche Parastichien bezeichnen, bei denen die nächsten benachbarten Blattanlagen verbunden werden.

30 Da wegen der Folgerung q k x p k { > 0, für k gerade, < 0 für k ungerade gilt, haben bei einem Parastichiewechsel die Kontaktparastichien (siehe Abbildung 13) immer eine andere Drehrichtung. 20 Abbildung 13: Darstellung einer Kontaktprastichie (rot) 4.3 Farey-Folgen und Ford-Kreise 4.3 Farey-Folgen und Ford-Kreise In diesem Kapitel berufen wir uns auf Jörn Steuding: Diophantine Analysis, S Zuerst wurde 1802 die Farey-Folge bei Haros bekannt und unabhängig davon von Farey entdeckt. Jedoch war Cauchy der Erste, der systematisch die Farey-Folgen untersuchte. Die Farey-Folge hat die besondere Eigenschaft die rationalen Zahlen der Größe nach anzuordnen. 20 Hellwig, Heino; Neukirchner, Thomas: Phyllotaxis Die mathematische Beschreibung und Modellierung von Blattstellungsmustern, in: Müller-Stach, S.; Steuding, J.; Volkert, K. (Geschäftsführende Hg.): Mathematische Semesterberichte, Springer Verlag 2011, S. 26

31 Definition (Farey-Folge): Für jede positive Zahl n ist die Farey-Folge F n der Ordnung n eine aufsteigende Folge der gekürzten Brüche zwischen 0 und 1 mit Nenner kleiner gleich n: F n = { a Q 0 a b n mit ggt(a, b) = 1}. b Beispielsweise gilt: F 1 = { 0 1, 1 1 } F 2 = { 0 1, 1 2, 1 1 } F 3 = { 0 1, 1 3, 1 2, 2 3, 1 1 } Offensichtlich ist F n F n+1 (Die fettgedruckten Zahlen sind die neu hinzukommenden Zahlen). Man erhält die neu hinzukommenden Zahlen durch Mediantenbildung zweier Farey-Brüche. Satz 4.3.1: Die Mediante zweier Farey-Brüche liegt genau zwischen ihnen, d.h., falls a < c, dann gilt b d a a + c < b b + d < c d. Beweis 21 : Multiplikation der Ungleichung a < c mit d liefert ad < bc. b d Zu ad < bc sind äquivalent: (I) ad 2 + abd < bcd + abd bzw. ad(d + b) < bd(c + a). 21 Heino Hellwig (Gruppenleiter): Geometrie der Brüche. < (Aufrufdatum: )

32 (II) abd < b²c bzw. abd + bcd < b 2 c + bcd bzw. bd(a + c) < bc(b + d). Zusammenführen von (I) und (II) liefert: Teilen durch b+d und bd liefert: q.e.d. ad(b + d) < bd(a + c) < bc(b + d). a a + c < b b + d < c d. Für tiefergehende Eigenschaften benötigen wir Hilfssätze. Hilfssatz 4.3.1: (a) (Division mit Rest) Zu a, b Z mit b 0 existieren eindeutig bestimmte q, r, sodass mit 0 r < b gilt: a = qb + r. (b) Es sei a, b Z mit b 0 sei d = ggt(a, b). Dann gilt: dz {dk k Z} = {ax + by x, y Z}.

33 Beweis 22 : (a) Da jede nichtleere Teilmenge der natürlichen Zahlen ein kleinstes Element (Wohlordnungsprinzip) besitzt, besitzt N {a bq q Z} N 0 ein kleinstes Element r. Falls b a gilt, gilt 1 r < b, andernfalls ist r = 0 und in jedem Fall sind r und q eindeutig. (b) O.B.d.A sei a 0 (denn der Fall a = 0 ist trivial, denn ggt(a, b) = b). Definiere Y {ax + by x, y Z} Z und m min{n N Y} als die kleinste natürliche Zahl in Y (gilt, da die natürlichen Zahlen wohlgeordnet sind). Es gilt Y dz, denn mit d a und d b (da d = ggt(a, b)) folgt d z für alle z Y. Insbesondere gilt d m. Mit a, qm Z ist auch a qm Z. Division mit a und m liefert den Rest r = 0, da m minimal in Y. Damit gilt a = qm + 0, bzw. m a. Mit dem gleichen Argument zeigt man, dass m b und damit m ggt(a, b) = d. Da zusätzlich gilt d m, ist damit d = m und dz Y, bzw. dz = Y. q.e.d. Das folgende Korollar gibt Auskunft darüber, wann eine lineare diophantische Gleichung der Form ax by = c mit a, b, c Z ganzzahlig lösbar ist. Hilfssatz 4.3.2: (Bézout) Die lineare diophantische Gleichung ax by = c mit a, b, c Z ist genau dann ganzzahlig lösbar, wenn ggt(a, b) c. 22 Vgl. Prof. Dr. Steuding, Jörn: Vorlesung Elementare Zahlentheorie WS 2012/13 Satz 5.1, Korollar 5.2, Mitschrift: Schamann, Frank

34 Beweis: => : Nach Korollar kann a ax + by = ggt(a, b) bzw. ggt(a, b) + b ggt(a, b) = 1 geschrieben werden. Falls ggt(a, b) c, also c = d ggt(a, b) für ein d Z, dann ist mit einer Lösung x, y somit dx, dy eine Lösung von ax + by = c, denn: adx + bdy = d(ax + by) = d ggt(a, b) = c. <= : Nach Korollar gilt folgendes: Für beliebige x, y Z ist ax + by ein Vielfaches des ggt(a, b). Falls also ggt(a, b) c gelten würde, so könnte ax by = c nicht ganzzahlig lösbar sein. q.e.d. Satz 4.3.2: (Haupteigenschaften der Farey-Folgen) (a) Für irgendwelche aufeinanderfolgende Brüche a b < c d in F n gilt: oder anders ausgedrückt: bc ad = 1, c d a bc ad = = 1 b bd bd. (b) Diejenigen Brüche, welche zu F n, aber nicht zu F n 1 gehören, sind genau die Medianten von Elementen von F n 1. Beweis (a): Wir betrachten die diophantische Gleichung bx ay = 1. Nach Korollar ist sie ganzzahlig lösbar, falls a und b teilerfremd sind. Auch die Lösungen x und y müssen teilerfremd sein.!

35 Angenommen sie wären es nicht, dann würde gelten: Man könnte die Gleichung umschreiben zu: bx ay = b ggt(x, y)x a ggt(x, y)y = 1.! b ggt(x, y)x a ggt(x, y)y = b X a X = 1. Dann wäre aber a und b nicht teilerfremd. Das ist ein Widerspruch zu Korollar Da die Gleichung eine Lösungsmenge der folgenden Gestalt besitzt: {( x y ) = (x 0 ) + t ( a ) t R}, y 0 b kann y eingeschränkt werden durch n b < y n. Da x und y teilerfremd sind, ist x y F n. Aus bx ay = 1 kann man schließen, dass x y a b = 1 by. Wir wollen nun zeigen, dass c = x gelten muss. d y Der Fall c > x kann ausgeschlossen werden, da er sich bei a und c um benachbarte Brüche einer d y b d Farey-Folge handelt. Es müsste gelten, dass x = a, was offensichtlich nicht die diophantische y b Gleichung bx ay = 1 löst. Angenommen es würde gelten c < x und damit cy < dx. Dann würde gelten: d y Weiterhin würde gelten: x y c dx cy = 1 d dy dy. c d a bc ad = 1 b bd bd. Beide Gleichungen zusammengefasst ergäben: x y a b = x y c d + c d a b 1 dy + 1 b + y = bd bdy > n bdy (Letzte Ungleichung würde direkt aus n b < y n folgen).

36 Betrachte man nun x y a b > n mit x a = 1, so erhielte man also die Ungleichung bdy y b by 1 by > n bdy. Aus dieser würde folgen, dass n < d, im Widerspruch zu c d F n. Beweis (b): Wir nehmen an, dass a b, x y, c d F n mit Wir müssen zeigen, dass x y Nach (a) ist Löst man (I) nach x auf, so erhält man: a b < x y < c d. a + c = und damit genau die Mediante ist. b + d (I) bx ay = 1, (II) cy dx = 1. x = 1 + ay b. Setzt man dieses in (II) ein, so folgt: cy d 1 + ay b = 1 bzw. bcy d ady = b bzw. (II ) y(bc ad) = b + d. Löst man (II) nach y auf, so erhält man: y = 1 + dx c.

37 Einsetzen in (I) liefert: bx a 1 + dx c = 1 bzw. bcx a adx = c bzw. (I ) x(bc ad) = a + c. (I ) und (II ) liefern: x x(bc ad) a + c = = y y(bc ad) b + d, was zu zeigen war. q.e.d. Die Farey-Folgen führen zu einer herausragenden Geometrie, die von Ford in den 1930er Jahren entdeckt wurde. Wenn man sich eine untere und eine obere Schranke festlegt (bei den Farey Folgen sind diese 0 und 1 ), dann kann man durch immer wieder fortwährende Medianten- 1 1 bildung und Größenvergleich mit einer reellen Zahl x eine Intervallschachtelung aufbauen, bis man eine angestrebte Genauigkeit erhält. Schimper benutzte diese Methode, um seine Tabelle der möglichen Blattstellungen zu entwerfen. 23 Wir stellen das Bild des Intervalls [0, 1] in der komplexen Ebene C dar, und definieren für a b F n den sogenannten Ford-Kreis. Definition (Ford-Kreis): Es sei a ein gekürzter Bruch. c 23 Hellwig, Heino; Neukirchner, Thomas: Phyllotaxis Die mathematische Beschreibung und Modellierung von Blattstellungsmustern, in: Müller-Stach, S.; Steuding, J.; Volkert, K. (Geschäftsführende Hg.): Mathematische Semesterberichte, Springer Verlag 2011, S. 28

38 Ein Ford-Kreis C( a ) ist gegeben durch: b C ( a c ) = {z C z (a c + i 2c 2) = 1 2c² }. Wie gewohnt ist in den komplexen Zahlen die imaginäre Einheit i 1. Die einzelnen Glieder von C ( a ) können wie folgt gedeutet werden: c Der über dem Farey-Bruch a konstruierte Ford-Kreis hat als Mittelpunkt c M(a, 1 ) und hat als c Radius r = 1 2c² (siehe Abbildung 1424 ). Als uneigentlicher Ford-Kreis wird C ( 1 ) {x + i x R} bezeichnet. 0 2c² Abbildung 14: Konstruktion der Ford-Kreise Um die wichtigsten Eigenschaften für Ford-Kreise zeigen zu können, benötigen wir den Begriff der Möbius-Transformation. 24 Steuding, Jörn: Diophantine Analysis, Chapman & Hall/ CRC Verlag 2005, Bucheinband

39 Definition 4.3.2: (Möbius-Transformation) Die ganzzahlige Möbius-Transformation ist für z H {x + iy C y > 0} gegeben durch: Φ: z az + b cz + d =: (a b c d ) z. Dies lässt sich auch wie folgt schreiben: ( a c dass für z H gilt: b d ) (z 1 ) = (az+b ) für a, b, c, d Z mit der Eigenschaft, cz+d az + b cz + d = az + b cz + d cz + d cz + d = ac z 2 + adz + bcz + bd cz + d 2 = ac z 2 + bd + ad(x + iy) + bc(x iy) cz + d 2. Also ist der Imaginärteil von az+b cz+d : Damit ist az + b cz + d az + b ad bc Im ( ) = cz + d cz + d 2. in H, falls det(ad bc) = ad bc > 0. Satz 4.3.3: az + b (i) Durch eine Modultransformation M(z) =, (a b cz + d c d ) Z2x2 mit det( a b ) > 0 werden die c d Ford-Kreise auf sich selbst abgebildet. Der Ford-Kreis C ( a ) ist das Bild von C b (1). 0 (ii) Zwei Ford-Kreise C ( a ), C c (b ) von zwei verschiedenen Brüche berühren sich tangential, falls d bc ad = 1, oder schneiden sich nicht, falls bc ad < 1.

40 Beweis (i) 25 : Geraden und Kreislinien sind die Punktmengen, die durch Gleichungen der folgenden Form beschrieben werden: ( ) αzz + cz + c z + δ = 0 bzw. α z 2 + 2Re(cz) + δ = 0. Hierbei ist α, δ R, c C, c 2 > αδ. Es handelt sich um eine Kreisgleichung, falls α 0, und um eine Geradengleichung, falls α = 0. Die Isomorphismen (also bijektive Homomorphismen) φ: Ĉ Ĉ sind gegeben durch a) Translationen z z + w b) Drehstreckungen z λz und c) die Inversion z 1 =: γ, z mit w C und λ C, und Verknüpfungen hiervon (z. B. : z 1 λz +w ). Damit genügt es den Satz für a) Translationen, b) Drehstreckungen und c) die Inversion zu zeigen. Für die Fälle a) und b) ist die Aussage trivial, denn ein Kreis bzw. eine Gerade bleibt unter Drehstreckungen und Translationen ein Kreis bzw. eine Gerade. Fall c): Startend mit (*), also αzz + cz + c z + δ = 0 liefert die Inversion w = 1 z (bzw. z = 1 w ): Multiplikation der Gleichung mit ww liefert: Tauscht man nun α mit δ, so erhält man (*). q.e.d. α 1 1 w w + c 1 w + c 1 w + δ = 0 α + cw + c w + δww = Fischer, Wolfgang; Lieb, Ingo: Einführung in die komplexe Analysis, Vieweg+Teubner 2010, S. 101

41 Dass es sich tatsächlich bei (*) für α 0 um eine Kreisgleichung handelt, liefert folgende Rechnung: Wir ersetzen α, c und δ derart, sodass folgende Gleichung entsteht: wobei z 0 C. zz z 0 z z 0 z + z 0 z 0 = (z z 0 )(z z 0 ) = (z z 0 )(z ) z 0 = z z 0 2 = r 2, Bei der Gleichung z z 0 2 = r 2 handelt es sich um einen Kreis mit Mittelpunkt z 0 und Radius r. Beispiele: a) α = 0, c = 1 + i, δ = 1 mit z = x + iy folgt aus (*): (1 + i)(x + iy) + (1 i)(x iy) + 1 = 0 bzw. 2x 2y + 1 = 0 bzw. y = x Es handelt sich dabei um eine Gerade. b) α = 1, c = 1 + i, δ = 1 mit z = x + iy folgt aus (*): (x + iy)(x iy) + (1 + i)(x + iy) + (1 i)(x iy) + 1 = 0 bzw. x 2 + y 2 + 2x 2y + 1 = 0 bzw. (x + 1) 2 + (y 1) 2 1 = 0 Es handelt sich hier um einen Kreis mit Mittelpunkt M(-1; 1) und Radius r = 1.

42 Beweis (ii) 26 : Abbildung 15: Ford-Kreise zweier benachbarter Farey-Brüche berühren sich tangential oder sind disjunkt. Nach Abbildung gilt: PQ 2 = PR 2 + QR 2 = ( b d a 2 c ) + ( 1 2d c 2) = b2 d 2 + a2 c 2 2 ab cd + ( 1 2d c 2) 1 c 2 d 2 = b2 c 2 + a 2 d 2 1 2abcd c 2 d 2 + ( 1 2d c 2) 2 = (bc ad)2 1 c 2 d 2 + (R + r) 2. Falls dabei bc ad = 1, so ist PQ = R + r und die Kreise berühren sich tangential. Falls bc ad > 1, so sind die Kreise disjunkt. Den Fall bc ad < 1 kann man ausschließen, da ad bc > 0 wegen 0 < a < b gilt. Da a, b, c, d Z gilt sicherlich ad bc 1. c d q.e.d. Wir betrachten nun die Konvergenten { p k 1 q k 1, p k q k } einer reellen Zahl x (zwischen zwei rationalen Zahlen liegt stets eine irrationale Zahl. Daher kann p k q k konvergieren.). von oben bzw. p k 1 q k 1 von unten gegen x 26 Vgl. Ford, L.: Fractions. Am. Math. Monthly 45, 1938, S Ford, L.: Fractions. Am. Math. Monthly 45, 1938, S. 587

43 Diese sind diese wegen p k q k 1 p k 1 q k = ( 1) k 1 (siehe Korollar (a)) benachbarte Farey-Brüche. Die zu den Konvergenten p k q k mit k 0 gehörenden Kreise C ( p k q k ) bilden eine Verkettung von paarweise sich berührenden Kreisen, deren Radien monoton abnehmen (siehe Abbildung ). Abbildung 16: Ford-Kreise über die Farey-Folgen mit eingezeichneter Kettenkurve von λ = 2 1 = [0, 2 ] Betrachten wir die folgende lineare diophantische Gleichung qx py = ±1. 28 Hellwig, Heino; Neukirchner, Thomas: Phyllotaxis Die mathematische Beschreibung und Modellierung von Blattstellungsmustern, in: Müller-Stach, S.; Steuding, J.; Volkert, K. (Geschäftsführende Hg.): Mathematische Semesterberichte, Springer Verlag 2011, S. 29

44 Dies ist eine Gleichung mit gegebenen p, q Z, welche ganzzahlig in den Variablen x, y zu lösen ist. Diese Gleichung besitzt eine Lösungsmenge, die wie folgt aussieht: {( x k ) = ( x 0 ) + t ( p ) t R; k Z}. y k y 0 q Die zugehörigen Ford-Kreise C ( x k y k ) zur linearen diophantischen Gleichung qx py = ±1 sind genau die Ford-Kreise, welche den Ford-Kreis C ( p ) tangential berühren (siehe Abbil- q dung 17). 29 1/3 2/5 3/7 1/2 4/7 3/5 2/3 Abbildung 17: Geometrische Lösungen der linearen diophantischen Gleichung 2x y = ±1 mit q = 2 und p = 1 29 Hellwig, Heino; Neukirchner, Thomas: Phyllotaxis Die mathematische Beschreibung und Modellierung von Blattstellungsmustern, in: Müller-Stach, S.; Steuding, J.; Volkert, K. (Geschäftsführende Hg.): Mathematische Semesterberichte, Springer Verlag 2011, S. 30

45 Geometrie der Phyllotaxis: Zylindergitter und Parastichiebasen Im Jahre 1837 wurde die Phyllotaxis erstmals mithilfe von Zylindergittern beschrieben. Um diese beschreiben zu können, benötigt man die Angabe eines Vektors (λ, h) R 2. Hierbei bezeichne λ die Divergenz und h den Zuwachs. Dieser erzeugt eine ontogenetische Spirale und damit das Zylindergitter. Je mehr eine Pflanze wächst, desto mehr verringert sich der Zuwachs. Man kann neue Parastichienpaare (m, n) erkennen. Die Frage, welche Parastichienpaare (m, n) in Abhängigkeit von (λ, h) erscheinen, kann beantwortet werden, indem man in der hyperbolischen Ebene H {ω C Im(ω) > 0} einen Parameterraum für die Zylindergitter konstruiert. Dieser Parameterraum kann weiter strukturiert werden durch Ford-Kreise und Voronoi-Zellen. Bei den folgenden Ausführungen beziehen wir uns auf Hellwig, Heino; Neukirchner, Thomas: Phyllotaxis Die mathematische Beschreibung und Modellierung von Blattstellungsmustern, in: Müller-Stach, S.; Steuding, J.; Volkert, K. (Geschäftsführende Hg.): Mathematische Semesterberichte, Springer Verlag 2011,S Wir betrachten nun Punkte P n auf der ontogenetischen Spirale, welche eindeutig beschrieben werden durch: Dabei bezeichnet R den Zylinderradius, α = 2πλ, mit λ [0,2π[ den Divergenzwinkel und h die Steighöhe. P n (R, n α, n h), n N. Wir normieren nun den Umfang des Zylinders auf 1.

46 Abbildung 18: Ontogenetische Spirale auf einem Zylinder Auf der ontogenetischen Spirale (siehe Abbildung ) befinden sich Punkte, welche gleich weit voneinander entfernt liegen. Rollen wir den Zylinder in der Ebene ab (Beispiele in Abbildung ), so erhalten wir ein Punktgitter, das sogenannte Zylindergitter. Die Ebene kann nun mittels der komplexen Zahlen parametrisiert werden. Hierbei soll der Vektor (λ, h) die ontogenetische Spirale erzeugen. Er wird zur komplexen Zahl z = λ + ih. 30 Hellwig, Heino; Neukirchner, Thomas: Phyllotaxis Die mathematische Beschreibung und Modellierung von Blattstellungsmustern, in: Müller-Stach, S.; Steuding, J.; Volkert, K. (Geschäftsführende Hg.): Mathematische Semesterberichte, Springer Verlag 2011, S Hellwig, Heino; Neukirchner, Thomas: Phyllotaxis Die mathematische Beschreibung und Modellierung von Blattstellungsmustern, in: Müller-Stach, S.; Steuding, J.; Volkert, K. (Geschäftsführende Hg.): Mathematische Semesterberichte, Springer Verlag 2011, S. 32

47 Abbildung 19: Die Parastichiebasen (z m, z n ) eines Zylindergitters bei der festen Divergenz λ = (Zur Erinnerung: χ = ) und χ+2 2 abnehmendem Zuwachs h: links: h = 0, 2 ; Mitte: h = 0, 1 ; rechts: h = 0, 05. Das Parastichiepaar (m, n) durchläuft hierbei(2, 1) (3, 1) (3, 4). 1 Definition 4.4.1: Ein (zweidimensionales) Gitter λ = λ(v,w), welches von v, w C und zusätzlich aufgespannt wird, ist die Menge λ = < v, w > = {mv + nw m, n Z}. v w R Ein Zylindergitter bezeichne ein Gitter der Form λ(z, 1) = < z, 1 >. Zwei Gitter λ 1, λ 2 C werden als äquivalent ( λ 1 = λ 2 ) bezeichnet, falls diese durch eine Drehstreckung ineinander übergeführt werden können, d.h. falls es ein ρ R mit ρ 0 gibt, sodass λ 2 = { ρ z z λ 1 }. Wenn der Zylinder in die Ebene abgewickelt wird, so wird er bijektiv auf den Parallelstreifen T abgebildet, wobei T ] 1 2, 1 ] x R. 2

48 Es bezeichne [nλ] die nächste natürliche Zahl, welche kleiner als nλ ist. Zudem bezeichne {nλ} nλ [nλ] die sogenannte Sekundärdivergenz. Jeder Gitterpunkt wird einem Repräsentanten ({nλ}, nλ) T zugeordnet. Es werden zwei Zylindergitter λ(z, 1), λ(z, 1) mit z, z H = {ω C Im(ω) > 0} als identisch bezeichnet, falls für eine ganze Zahl k Z gilt: z = z + k. Es legt Im(ω) > 0 dabei die einheitliche Orientierung der Gitterbasis fest. Die Erzeugerpaare, die das Zylindergitter λ(z, 1) erzeugen, lassen sich wie folgt charakterisieren: Es sei (z, 1) (az + b, cz + d) mit a, b, c, d Z ein beliebiger Basiswechsel. Damit ist auch (az + b, cz + d) ein linear unabhängiges Erzeugendensystem und damit eine Basis für das Gitter λ(z, 1). Dadurch ist die Matrix a b ( c d ) Z2x2 invertierbar. Damit gilt für die Determinante der inversen Matrix: det ( a b 1 d b c d ) 1 = det det ( a b ( ( c d ) c a ). ) Dies ist ein Element der ganzen Zahlen, falls det ( d c b ) = ad bc = ±1. In diesem Fall gilt: a det ( a b 1 a b c d ) 1 = (det ( c d )) Z. Wir beschäftigen uns im Folgenden nur auf den orientierungserhaltenden Basiswechsel, also wenn die Determinante größer als 1 ist.

49 Wir erhalten nun den folgenden Sachverhalt: Lemma 4.4.1: Es sei λ(z, 1) ein Gitter. (z, w ) = (az + b, cz + d) bildet eine zu λ(z, 1) gleichorientierte Basis, genau dann, wenn die Transformationsmatrix a b ( ) Element der so genannten Modulgruppe ist: c d SL(2, Z) = { M GL(2, Z) det(m) = 1 }. Dabei bezeichne GL(2, Z) die Menge aller regulären 2 x 2 Matrizen mit Koeffizienten aus Z. Beweis: Wir verweisen auf E. Freitag, R. Busam: Funktionentheorie. Springer, Berlin u.a., 2. Auflage (1995), S Äquivalent zum Satz ist, dass die von (z, 1) und (z, w ) aufgespannten Parallelogramme gleichorientiert sind und den gleichen Flächeninhalt haben. Die beiden Basiswechselmatrizen T und S erzeugen die Modulgruppe SL(2, Z) mit: und T ( z w ) = ( ) ( z + w ) = (z w w ) S ( z w ) = ( ) ( z w ) = ( w z ), wobei durch S die Basisvektoren orientierungserhaltend vertauscht werden. In der Phyllotaxis sind nur in Ausnahmefällen die Erzeuger (z, 1) geometrisch sichtbar. Deshalb ist der von der Modulgruppe erzeugte Basiswechsel von Bedeutung. Eine Basis aus benachbarten Gitterpunkten ist besser beobachtbar.

50 Lemma 4.4.2: (Parastichiebasis) Betrachte zwei kleinste linear unabhängige Elemente z, w in einem Gitter λ(z, w), d.h. für v λ(z, w) mit v < max ( z, w ) ist v ein Vielfaches von z oder w. Es ist dann (z, w ) ein Erzeugerpaar des Gitters und wird als Parastichiebasis oder auch kanonische Basis bezeichnet. Beweis: Es sei nun z m mz k m und z n nz k n λ(z, 1) eine Parastichiebasis des Zylindergitters λ, das aus der Basis (z, 1) durch Modultransformation ( m k m ) SL(2, Z) hervorgeht. Gilt n k n z m = z n, sind also die Basisvektoren (z m, z n ) von λ gleich lang, so spricht man von einer rhombischen Basis. Man bezeichnet (z m, z n ) von λ als gegenläufige Basis, falls Re(z m ) 0, Re(z n ) 0, d. h. k n n Re(z) k m m. Wir betrachten nun die Gerade Z z n und legen durch jeden Gitterpunkt die parallele Gerade. Wickelt man diese Konstruktion auf einen Zylinder auf, so sind zwei solche Geraden identisch, falls sie im Gitter modulo Z übereinstimmen. Das bedeutet, dass man die n verschiedenen solcher sogenannten Parastichien kz + Z z n, k = 0, 1,, n 1 erhält. Das sind genau die sichtbaren Spiralsysteme der Blattanlagen im Zylindermodell, welche in der Botanik gezählt werden. 5. Fibonacci- und Lucasfolgen in der Phyllotaxis Wir berufen uns in diesem Kapitel auf den Artikel Fibonacci- und Lucasfolgen in der Phyllotaxis von Alfred Höhn, zu finden unter der folgenden Website: < (Aufrufdatum: ). Wir haben im Verlauf der Arbeit erfahren, um was es sich bei der Phyllotaxis handelt. Es geht hierbei um einen botanischen Begriff, der die Blattanordnung und die Position von Scheinblüten z.b. bei Tannenzapfen beschreibt.

51 Ganz besonders ausgeprägt ist die Phyllotaxis bei Sonnenblumen und Kakteen. Man kann die Phyllotaxis z.b. bei Sonnenblumen in den sogenannten Parastichien erkennen. Unter dem Begriff der Parastichie versteht man die spiralförmige Anordnung der Samenkapseln auf dem Blütenboden, den Früchten oder in ihrer Gesamtstruktur. Es wurde deutlich, dass die Fibonacci-Folge eine große Rolle spielt. Unübersehbar in der Natur ist die Ausprägung des Goldenen Winkels. Man kann die Phyllotaxis bei einer Sonnenblume in der Art darstellen, dass man Punkte auf einer engen Spirale abträgt, die sich bei der Drehung eines Strahls um den sogenannten Divergenzwinkel (ca. 137,5078 ) ergeben. Der Goldene Winkel ermöglicht eine möglichst platzsparende Packung der Samenkapseln auf dem Blütenboden. Die Frage, um welche Art der Spirale (logarithmisch, archimedisch, o.ä.) es sich beim Wachstum in der Natur handelt, ist nach wie vor ungeklärt 32. Zumindest bei der Sonnenblume würden sich die Samenstände bei einer logarithmischen Spirale (siehe Abbildung 20 Mitte 33 ) zu sehr verdichten, sodass diese Beschreibung für diesen Fall nicht in Frage käme. Will man das Ganze in der Ebene geometrisch darstellen, so eignet sich die archimedische Spirale (siehe Abbildung 20 links 34 ). Diese ergibt ein recht gutes Abbild eines Blütenbodens der Sonnenblume, obwohl die Verdichtung immer noch zu stark erscheint. Sehr gut lässt sich ein ausgereifter Blütenboden durch die von H. Reis vorgeschlagene n Spirale (siehe Abbildung 20 rechts 35 ) darstellen. H. Reis schlägt eine Wachstumsspirale vor, die sich nach außen weitet. Dies erreicht er, indem die Abstände der Fibonacci-Zahlen von der Mitte aus von n bestimmt werden. Abbildung 20: links: archimedische Spirale Mitte: logarithmische Spirale rechts: n - Spirale. 32 Höhn, Alfred: Fibonacci- und Lucasfolgen in der Phyllotaxis. S. 1. < 33 Höhn, Alfred: Fibonacci- und Lucasfolgen in der Phyllotaxis. S. 2. < 34 Höhn, Alfred: Fibonacci- und Lucasfolgen in der Phyllotaxis. S. 2. < 35 Höhn, Alfred: Fibonacci- und Lucasfolgen in der Phyllotaxis. S. 2. <

52 In der Wachstumsphase der Sonnenblume scheint es so, als ob die Ursprungsspirale tatsächlich eine archimedische wäre, denn die Größe der einzelnen Samenkapseln nimmt von innen nach außen kontinuierlich zu. Bei einem ausgewachsenen reifen Blumenboden scheint es so, als ob die Größe der Kapseln überall gleich groß ist. Dies wiederum spricht für eine n Spirale. Eine logarithmische Spirale lässt sich zum Beispiel bei einem Schneckenhaus erkennen (siehe Abbildung 21). Abbildung 21: Schneckenhaus Die Herren K. F. Schimper, A. Braun und die Gebrüder Bravais in der ersten Hälfe des 19. Jahrhunderts haben die Blattstellungen, Blütenstände und die Spiralmuster untersucht. Zudem haben sie das Auftreten der Fibonacci-Zahlen in der Anzahl der Parastichien erkannt. Die Gebrüder Bravais, die zu den Pionieren der Phyllotaxis zählen, erklärten, dass die Divergenzwinkel in der Natur irrational seien, ganz im Gegensatz zu Schimper und Braun. Diese Annahme begründeten sie bei der Beobachtung von weiteren Divergenzwinkeln, welche sich durch den Goldenen Schnitt berechnen lassen. Die Winkel hierfür haben wir in Tabelle 3 gesehen. Neben der Fibonacci-Folge tritt in der Natur eine weitere berühmte Folge auf. Dies ist die sogenannte Lucas-Folge (1, 3, 4, 7, 11, 18). In der Literatur findet man dafür häufig die Begriffe spezielle Lucasfolge, abnormale, oder Lamé sche Folge.