(PRO-)SEMINAR ZUR ALGEBRA

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1 (PRO-)SEMINAR ZUR ALGEBRA U. GÖRTZ, C. KAPPEN, WS 200/ Einführung Kettenbrüche sind Ausdrücke der Form a 0 + a + a (beziehungsweise gewisse Varianten davon). Kettenbrüche sind ein klassisches und interessantes Thema der Zahlentheorie, das wir zunächst mit elementaren Methoden studieren. Zum Beispiel werden wir sehen, dass sich jede reelle Zahl durch einen (im irrationalen Fall unendlichen) Kettenbruch beschreiben lässt und dass die partiellen Kettenbrüche gute Approximationen mit kleinen Nennern liefern. Überlegungen über die Approximierbarkeit von reellen Zahlen erlauben es auch, relativ leicht transzendente Zahlen anzugeben, also Zahlen, die nicht Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten sind. Wir behandeln Anwendungen in der Phyllotaxis, der Lehre der Blattstellung von Pflanzen. Wir untersuchen mathematische Modelle für die Stellung von Blättern oder Samenkörnern (z.b. bei Sonnenblumen). Hier treten Kettenbruchentwicklungen in natürlicher Weise auf. Wenn das Seminar genügend Teilnehmer hat, werden wir zum Schluss den Zusammenhand mit Ford-Kreisen, Gittern in R 2 und der Modulgruppe SL 2 (Z) aller (2 2)-Matrizen aus ganzen Zahlen mit Determinante betrachten. Zum Abschluss wenden wir unsere Erkenntnisse über die gute und schlechte Approximierbarkeit von reellen Zahlen durch rationale Zahlen auf Transzendenzfragen an und zeigen, dass die Eulersche Zahl e und die Kreiszahl π transzendent sind. Vorbesprechung. Mittwoch, 8. September, 4 Uhr, T03 R04 D0. Wenn Sie zu diesem Zeitpunkt verhindert sind, melden Sie ich bitte nach Möglichkeit vorher per bei mir. Seminarscheine: Diese Veranstaltung ist ein kombiniertes Proseminar und Seminar. Für die Vorträge 4,5,6,7,8,9 und kann ein Seminarschein vergeben werden. Zielgruppe. Die Proseminarvorträge können von Lehramtsstudenten und Bachelorstudenten ab dem dritten Semester übernommen werden, die Seminarvorträge von Lehramtsstudenten und Bachelorstudenten ab dem fünften Semester (oder in Ausnahmefällen in früheren Semestern). Nach dem Seminar können Themen für Staatsexamens- und Bachelorarbeiten vergeben werden. Voraussetzungen. Gute Grundstudiumskenntnisse (insbesondere Lineare Algebra, Lineare Algebra 2, Analysis ). Schließlich, und am wichtigsten: die Motivation, sich ein interessantes mathematisches Thema anzueignen. Termin. Do, 8 0. Kontakt. Prof. Dr. Ulrich Görtz, ulrich.goertz@uni-due.de

2 2 U. GÖRTZ, C. KAPPEN, WS 200/ Programm Natürlich dürfen Sie in Ihrem jeweiligen Vortrag die Ergebnisse der entsprechend vorangegangenen Vorträge verwenden.. Die Kettenbruchentwicklung einer reellen Zahl. Definieren Sie den Kettenbruch, welcher einer endlichen Folge ganzer Zahlen zugeordnet ist, und definieren Sie die (regelmäßige) Kettenbruch-Entwicklung einer rationalen Zahl. Orientieren Sie sich hierbei an [Bu] Kap., 2.0, und verwenden Sie die dort eingeführte Schreibweise für Kettenbrüche. Begründen Sie die im ersten Paragraphen auf Seite 24 von [Bu] angegebenen Abschätzungen. Führen Sie die in der Fußnote auf Seite 86 in [Bu] angegebene Notation ein, und definieren Sie den einer irrationalen Zahl zugeordneten unendlichen Kettenbruch ([Bu] Kap. 5, 3.). Definieren Sie Näherungszähler und Näherungsnenner, und beweisen Sie Lemmata A und B in [Bu] Kap Weisen Sie darauf hin, dass Näherungszähler und -nenner nach Lemma B (2) teilerfremd sind. Beweisen Sie anschließend den Konvergenzsatz ([Bu] Kap ) sowie den Eindeutigkeitssatz ([Bu] Kap ), welcher ein Irrationalitätskriterium beinhaltet. Für eine ergänzende Darstellung des Themas können Sie auch [HN] 2. sowie [SF] I.8 konsultieren. 2. Periodische Kettenbrüche. Für diesen Vortrag können Sie [Bu] Kap. 5, 3.4 und 3.5 zugrundelegen. Bestimmen Sie die Kettenbruchentwicklungen von 2 und 2 ( 5+), und erläutern Sie, inwiefern die Zahl 2 ( 5+), der sogenannte Goldene Schnitt, hinsichtlich ihrer Kettenbruchentwicklung ausgezeichnet ist. Bestimmen Sie, für d N, die Kettenbruchentwicklung von ( + d 2 ) /2. Definieren Sie, wann ein unendlicher Kettenbruch periodisch heisst, und beweisen Sie den Satz von Euler ([Bu] Kap. 5, 3.4), welcher besagt, dass ein unendlicher periodischer Kettenbruch eine reell-quadratische irrationale Zahl definiert. Beweisen Sie anschließend den Satz von Lagrange, welcher die Umkehrung des Eulerschen Satzes liefert, nämlich dass die unendliche Kettenbruchentwicklung einer reell-quadratischen irrationalen Zahl periodisch ist. Erwähnen Sie die Beschreibung des Kettenbruchs einer algebraischen Zahl vom Grad 3 als offenes Problem. Für eine ergänzende Darstellung können Sie auch [HN] 2.2 sowie [SF] I.9 konsultieren. 3. Annäherung reeller Zahlen durch rationale Zahlen, Teil I. Für diesen Vortrag können Sie [Bu] Kap. 5, 3.7 und 3.8 zugrundelegen. Begründen Sie die zu Beginn von [Bu] Kap angegebene Abschätzung, und erläutern Sie, inwiefern sie es gestattet, reelle Zahlen durch ihre Näherungsbrüche zu approximieren. Beweisen Sie anschließend den in [Bu] Kap angebenen Hilfssatz die hierfür erforderlichen Aussagen über diophantische Gleichungen dürfen Sie ohne Beweis verwenden. Definieren Sie den Begriff der besten Näherung einer reellen Zahl, und zeigen Sie, dass beste Näherungen stets als Näherungsbrüche in Erscheinung treten ([Bu] Kap Satz A). Zeigen Sie weiterhin, dass umgekehrt fast jeder Näherungsbruch eine beste Näherung darstellt ([Bu] Kap Satz B). Gehen Sie auf die geschichtliche Bedeutung der Kettenbruchentwicklung ein; erwähnen Sie hierbei insbesondere die ersten Näherungsbrüche der Zahl π ([Bu] Kap ). Diskutieren Sie abschließend Anwendungen der Kettenbruch-Approximation in der Phyllotaxis: Definieren Sie die Polarkoordinatendarstellung der ontogenetischen Spirale P λ,c ( ) zu den Parametern λ und c gemäß [HN].2 (), S. 22, und definieren Sie den zu λ gehörigen Parastichiewinkel α k der Ordnung k gemäß [HN] S. 26, für k. Begründen Sie, warum α k [0, 2π) gilt, und begründen Sie, dass α k kleiner ist als alle Winkel zur x-achse, welche von Punkten P λ,c (n) mit n q k+ gebildet werden, wobei die q i die Näherungsnenner von λ bezeichnen. Zeigen Sie, dass für alle n mit nq k < q k+ der von P λ,c (nq k ) mit der x-achse gebildete Winkel gleich nα k ist, und nutzen Sie diese Tatsache, um das Auftreten von Spiralmustern in der Menge {P λ,c (i) i N} zu erklären.

3 (PRO-)SEMINAR ZUR ALGEBRA 3 4. Farey-Folgen. Diesem Vortrag können Sie [SF] I.0 sowie [HN] 2.3 zugrundelegen. Definieren Sie Farey-Folgen, und definieren Sie die Mediante zweier rationaler Zahlen. Zeigen Sie anhand eines Beispiels, dass die Mediantenbildung nicht assoziativ ist. Beweisen Sie [SF] Satz 26, und folgern Sie, dass ein Element der Farey-Folge der Ordnung n +, welches nicht schon in der Farey-Folge der Ordnung n liegt, via Mediantenbildung aus zwei aufeinanderfolgenden Elementen der Farey-Folge der Ordnung n hervorgeht. (Vorsicht: Die Aussage von [HN] Satz 4 (i) ist nicht korrekt. Formulieren Sie stattdessen eine entsprechende richtige Aussage.) Zeigen Sie auf direkte Art, dass zwei gekürzte Brüche a/c < b/d mit ad bc = ± in der Farey-Folge F n benachbart sind, mit n = max{b, d}. Beweisen Sie die Approximationssätze von Dirichlet, Hurwitz und Kronecker ([SF] Sätze 27, 28, 29). Zeigen Sie unter Verwendung des Goldenen Schnitts, dass sich die Konstante 5 im Satz von Hurwitz nicht verbessern lässt; vgl. auch [HW] XI.8-9. Folgern Sie aus dem Satz von Kronecker, dass für jede irrationale Zahl x die Menge {kx [kx] ; k N} im Intervall (0, ) dicht liegt. Zeigen Sie, dass die Modulgruppe SL 2 (Z) von den Elementen τ = ( 0 erzeugt wird ([DS] Exercise..). ) und τ 2 = ( Ford-Kreise. Definieren Sie die Menge der Ford-Kreise, einschließlich des uneigentlichen Ford-Kreises ([HN] 2.3/3). Definieren Sie wie in [HN] 2.3/5 die kanonische Aktion von SL 2 (Z) auf der oberen Halbebene H = {z C im(z) > 0} sowie auf H := H Q { }. Beweisen Sie, dass für einen Ford-Kreis C H und ein Element τ SL 2 (Z) das Bild τ(c) wieder ein Ford-Kreis ist. (Hinweis: Ist C ein Kreis in C mit Mittelpunkt z 0 und Radius r > 0, r z 0, so ist z z z z 0 zz 0 + z 0 z 0 = r 2 eine Gleichung, welche C definiert; finden Sie die analoge Kreisgleichung für das Bild von C under τ 2 : z z, um zu sehen, dass τ 2 einen eigentlichen Ford-Kreis C(a/c) mit a 0 auf C( c/a) abbildet.) Beweisen Sie nun, dass SL 2 (Z) transitiv auf der Menge der Ford-Kreise operiert; zeigen Sie hierfür, dass eine Matrix ( ) a b SL c d 2 (Z) den uneigentlichen Ford-Kreis C(/0) auf C(a/c) abbildet. Bestimmen Sie die Standgruppe von C(/0), d.h. die Menge aller τ SL 2 (Z) mit der Eigenschaft, dass τ(c(/0)) = C(/0) gilt. Zeigen Sie, dass zwei Ford-Kreise C(a/c) und C(b/d) mit a/c b/d nicht ineinander enthalten sind und dass sie entweder disjunkt sind oder sich tangential berühren, wobei letzteres genau der Fall ist, wenn ad bc = gilt ([HN] 2.3/5 (ii)). Verwenden Sie hierfür die Operation der Modulgruppe SL 2 (Z). (Für teilerfremde ganze Zahlen a und c lässt sich die Menge der Lösungen (b, d) der diophantischen Gleichung ad bc = ± also bis auf ein gemeinsames Vorzeichen mit der Menge der C(a/c) tangierenden Ford-Kreise identifizieren.) Definieren Sie die Haupt- und Zwischenkonvergenten einer reellen Zahl ([HN] S. 24). Zeigen Sie, dass zwei Hauptkonvergenten p k /q k und p k+ /q k+ einer reellen Zahl in den Farey-Folgen F qk+,..., F qk +q k+ benachbart liegen. Definieren Sie die regelmäßige Kettenkurve einer reellen Zahl und bringen Sie sie mit der Kettenbruchentwicklung dieser Zahl in Verbindung. 6. Zylindergitter, Parastichiebasen. Diesem Vortrag können Sie [HN] 3. zugrundelegen. Ein Gitter in C ist eine additive Untergruppe, welche durch zwei über R linear unabhängige Elemente erzeugt wird. Definieren Sie Zylindergitter wie in [HN] Definition 4. Wann stimmen zwei Zylindergitter Λ(z, ) und Λ( z, ) überein? Definieren Sie, wann zwei Gitter äquivalent heissen, und zeigen Sie, dass jedes Gitter )

4 4 U. GÖRTZ, C. KAPPEN, WS 200/ zu einem Zylindergitter äquivalent ist. Beweisen Sie ferner, dass Gitter in C diskret liegen. Erinnern Sie an das Kreuzprodukt zweier Vektoren in der euklidischen Ebene, und beweisen Sie [HN] Lemma sowie Lemma 3. Definieren Sie Parastichiebasen eines Gitters (kanonische Basen in der Terminologie von [AGH]) und zeigen Sie, dass Parastichiebasen ihre Gitter erzeugen ([HN] 3./2), so wie es die Terminologie suggeriert. Erklären Sie, warum jedes Gitter Λ eine Parastichiebasis besitzt. Für welche Elemente z der oberen Halbebene ist (z, ) eine Parastichiebasis des Zylindergitters Λ(z, )? Beweisen Sie hierzu [AGH] Proposition 4. (i); vgl. auch [HN] Satz 3./6 (i). Definieren Sie nun die Menge der Parastichiepaare (m, n) eines Zylindergitters ebenso wie die einer Basis (z, ) und einem Parastichiepaar (m, n) zugeordnete Parastichiebasis (z m, z n ) sowie die zugehörigen Parastichien k + z n Z, 0 k n, vgl. [HN] Satz 3./6 (ii), Bemerkung 3./2 und Seite 34. Veranschaulichen Sie, dass Parastichien in einem aufgerollten Zylindergitter als Spiralmustern in Erscheinung treten. 7. Parastichiezahlen und Ford-Kreise. Diesem Vortrag können Sie [HN] zugrundelegen. Beschreiben Sie das fundamentale Viereck Q sowie seine Translate unter der Modulgruppe unter Verwendung von Ford-Kreisen und hyperbolischen Geodäten ([HN] S. 40, Abbildungen 4 und 5). Bestimmen Sie die möglichen Parastichiezahlen der Zylindergitter eines Ford-Kreises C(a/c) ([HN] Satz 3.2/9; Vorsicht: nicht alle Gitter mit den hier angegebenen Parastichiezahlen liegen in C(a/c)). Bestimmen Sie die Parastichiepaare, welche dem Schnittpunkt zweier benachbarter Ford-Kreise C(a/c) und C(b/d) zugeordnet sind ([HN] Folgerung 3.2/2). Beweisen Sie die in [HN] auf Seite 4 angegebenen Abschätzungen für den Divergenzwinkel und den Zuwachs. 8. Annäherung reeller Zahlen durch rationale, II. Diesem Vortrag können Sie [HW] XI. XI.4 zugrundelegen. Sei x eine reelle Zahl; wir suchen teilerfremde ganze Zahlen p, q mit q 0, welche der Ungleichung p/q x < /q 2 genügen. Zeigen Sie, dass dieses Problem genau dann endlich viele Lösungen besitzt, wenn x rational ist; verwenden Sie hierzu den Konvergenzsatz der regelmäßigen Kettenbruchentwicklung sowie Lemma B (3) aus [Bu] Kapitel 5 3.2; vgl. auch Vortrag. Motivieren Sie die Suche nach interessanten Mengen M reeller Zahlen und Funktionen φ M : M N R mit der Eigenschaft, dass für jedes x M unendlich viele q N existieren mit der Eigenschaft, dass ein p Z existiert, so dass die Ungleichung p/q x < /φ M (x, q) erfüllt ist. Wie wir gesehen haben, ist erhalten wir solch ein Paar (M, φ M ), wenn wir M gleich der Menge der irrationalen Zahlen und φ(x, q) = q 2 setzen. Geben Sie einen alternativen Beweis dieser Aussage unter Verwendung der Methode von Dirichlet, vgl. [HW] XI.3. Definieren Sie, wann eine reelle Zahl bis zur n-ten Ordnung durch rationale Zahlen approximierbar heisst. Zeigen Sie, dass rationale Zahlen bis zur Ordnung approximierbar sind und bis zu keiner höheren Ordnung. Zeigen Sie, dass irrationale Zahlen bis zur Ordnung 2 approximierbar sind und dass Zahlen, welche einer quadratischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten genügen, zu keiner Ordnung > 2 approximierbar sind ([HW] XI.4). Verwenden Sie hierbei die in den ersten drei Vorträgen gewonnenen Resultate hinsichtlich der Kettenbruchentwicklung. 9. Annäherung reeller Zahlen durch rationale, III. Diesem Vortrag können Sie [HW] XI.5 XI. zugrundelegen. Erinnern Sie an die Definition algebraischer und transzendenter reeller Zahlen. Definieren Sie den Rang einer algebraischen Gleichung und zeigen Sie, dass die Menge der algebraischen reellen Zahlen abzählbar ist. Folgern Sie, dass bezüglich des Lebesgue-Maßes fast alle reellen Zahlen transzendent sind. Geben Sie einen alternativen Beweis der Existenz überabzählbar vieler transzendenter Zahlen mit Hilfe des Cantorschen Diagonalverfahrens. Zeigen Sie nun den Liouvilleschen Satz, welcher besagt, dass eine algebraische Zahl vom Grad n zu keiner Ordnung > n durch rationale Zahlen approximierbar ist. Folgern Sie die

5 (PRO-)SEMINAR ZUR ALGEBRA 5 Transzendenz einer jeden beliebig gut approximierbaren reellen Zahl. Diskutieren Sie die in [HW] XI.7 angegebenen Beispiele transzendenter Zahlen, welche durch ihre Dezimalbruchentwicklung beziehungsweise durch ihre Kettenbruchentwicklung gegeben sind. Nennen Sie einige kanonische reelle Zahlen, für welche die Frage nach Transzendenz und sogar nach Rationalität noch ungeklärt ist. Erinnern Sie an die Aussage des Satzes von Hurwitz (Vortrag 4). Zeigen Sie, dass die Menge reeller Zahlen mit beschränkter Kettenbruchentwicklung Lebesgue-Maß Null besitzt. Erklären Sie kurz, und ohne Beweis, die Aussage von Theorem 98 aus [HW] XI., welches besagt, dass fast alle reellen Zahlen nicht durch rationale Zahlen p/q mit einem Fehler der Ordnung O(/(q 2 (log q) 2 )) approximierbar sind. 0. Die Transzendenz von e. Erläutern Sie, wie sich die in Vortrag 8 vorgestellte Dirichletsche Methode auf den mehrdimensionalen Fall verallgemeinert, d.h. wie sie sich auf das Problem der simultanen Approximation endlich vieler reeller Zahlen anwenden lässt; vgl. [HW] XI.2. Beweisen Sie anschließend die Transzendenz der Eulerschen Zahl e, ([HW] XI.3).. Die Transzendenz von π. Beweisen Sie die Transzendenz der Kreiszehl π ([HW] XI.4). Folgern Sie, dass die Quadratur des Kreises mit Hilfe von Zirkel und Lineal nicht möglich ist. Literatur [AGH] P. Atela, C. Golé, S. Hotton, A dynamical system for plant pattern formation, J. Nonlinear Sci. Volume 2 (2002), [Bu] P. Bundschuh, Einführung in die Zahlentheorie, Springer. [DS] F. Diamond, J. Shurman, A first course in modular forms [HW] G. Hardy, E. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford Mathematics. [HN] H. Hellwig, T. Neukirchner, Phyllotaxis. Die mathematische Beschreibung und Modellierung von Blattstellungsmustern, Math. Semesterberichte 57 (200), [SF] H. Scheid, A. Frommer, Zahlentheorie, Spektrum Akademie-Verlag.