Fibonacci-Folge Mathematik»Facharbeit«

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1 Mathematik»Facharbeit«Mathias Dirksmeier Sven Wilkens Jahrgangsstufe 12 Thomas-Morus-Gymnasium, 2009

2 Gliederung 1 Allgemeines 2 Allgemein Formel von Moivre-Binet Beziehung zum Goldenen Schnitt 3 Modell einer Kaninchenpopulation Pflanzenwachstum 4

3 Einführung Unendliche Zahlenfolge Leonardo da Pisa (Fibonacci) beschrieb damit eine Kaninchenpopulation Sie lässt sich in verschiedenen Naturphänomenen wiederfinden

6 Allgemein Formel von Moivre-Binet Beziehung zum Goldenen Schnitt Anfangswerte sind festgelegt f 0 = 0 und f 1 = 1 Folge-Glieder werden aus der Summe der zwei vorangehenden Glieder berechnet :0,1,1,2,3,5,8,13,... f n = f n 1 + f n 2 für n 2

9 Allgemein Formel von Moivre-Binet Beziehung zum Goldenen Schnitt Formel von Moivre-Binet Anfangsgleichung: f n = ϕn ψ n ϕ ψ, n Z Gleichung x 2 x 1 = 0 ergibt ϕ = ; ψ = (Einsetzen in die Anfangsgleichung) Formel von Moivre-Binet f n = 1 5 [( 1 + ) n ( ) n ] 5 2

10 Allgemein Formel von Moivre-Binet Beziehung zum Goldenen Schnitt Formel von Moivre-Binet Anfangsgleichung: f n = ϕn ψ n ϕ ψ, n Z Gleichung x 2 x 1 = 0 ergibt ϕ = ; ψ = (Einsetzen in die Anfangsgleichung) Formel von Moivre-Binet f n = 1 5 [( 1 + ) n ( ) n ] 5 2

11 Allgemein Formel von Moivre-Binet Beziehung zum Goldenen Schnitt Beziehung zum Goldenen Schnitt Folgendes Verhältnis beschreibt den Goldenen Schnitt: a b = a+b a Daraus ergibt sich ein Verhältnis von: Φ = a b = = 1, Bezug zur f n+1 lim = Φn+1 n f n Φ n = Φ 1,618...

12 Allgemein Formel von Moivre-Binet Beziehung zum Goldenen Schnitt Beziehung zum Goldenen Schnitt Folgendes Verhältnis beschreibt den Goldenen Schnitt: a b = a+b a Daraus ergibt sich ein Verhältnis von: Φ = a b = = 1, Bezug zur f n+1 lim = Φn+1 n f n Φ n = Φ 1,618...

13 Allgemein Formel von Moivre-Binet Beziehung zum Goldenen Schnitt Beziehung zum Goldenen Schnitt Nenner Zähler Verhältnis Abweichung zu Φ in % 1 1 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00133

14 Modell einer Kaninchenpopulation Pflanzenwachstum Modell einer Kaninchenpopulation 1 Zu Beginn gibt es ein Paar geschlechtsreifer Kaninchen. 2 Jedes neugeborene Paar wird im zweiten Lebensmonat geschlechtsreif. 3 Jedes geschlechtsreife Paar wirft pro Monat ein weiteres Paar. 4 Die Tiere befinden sich in einem abgeschlossenen Raum. 5 Idealerweise sind die Tiere unsterblich.

19 Modell einer Kaninchenpopulation Pflanzenwachstum Modell einer Kaninchenpopulation

20 Modell einer Kaninchenpopulation Pflanzenwachstum Modell einer Kaninchenpopulation Monat Anzahl der Paare Januar 2 Februar 3 März 5 April 8 Mai 13 Juni 21 Juli 34 August 55 September 89 Oktober 144 November 233 Dezember 377

21 Modell einer Kaninchenpopulation Pflanzenwachstum Pflanzenwachstum

22 Modell einer Kaninchenpopulation Pflanzenwachstum Blätterausrichtung Goldener Winkel Y (Psi) größte Lichtausbeute keine periodische Anordnung der Blätter Ψ = Φ 137,5 Ψ 2 = 360 Φ 222,5

23 Modell einer Kaninchenpopulation Pflanzenwachstum Fibonacci-Spiralen Der Goldene Winkel lässt Fibonacci-Spiralen entstehen Kiefernzapfen erreichen mit den Spiralen ein Verhältnis von 13 8 = 1,625 Ein Kiefernzapfen hat 13 linksdrehende Spiralen und 8 Rechtsdrehende Sonnenblumen besitzen eine noch bessere Näherung zu Φ mit 34 und 55 Fibonacci-Spiralen liegt hier die Näherung bei = 1,617647

24 Modell einer Kaninchenpopulation Pflanzenwachstum Fibonacci-Spiralen

25 Modell einer Kaninchenpopulation Pflanzenwachstum Fibonacci-Spiralen

26 Modell einer Kaninchenpopulation Pflanzenwachstum Mit folgender Formel kann man Fibonacci-Rechtecke berechnen n Fk 2 = F n F n+1 k=1

27 Modell einer Kaninchenpopulation Pflanzenwachstum

34 Modell einer Kaninchenpopulation Pflanzenwachstum der Spiral - Radius ändert sich jede 90 -Drehung um den Faktor Φ.

35 Aufgabe 1 Allgemeines Aufgabe 1 Lösung Aufgabe 1 Aufgabe 2 Lösung Aufgabe 2 Aufgabe 3 Lösung Aufgabe 3 Aufgabe 1 Baue aus Ziegelsteinen mit der Kantenlänge 1 und 2 eine Mauer mit der Länge n und der Höhe 2. Bei einem Ziegelstein gibt es, wie in der Abbildung zu sehen, eine mögliche Anordnung. Bei drei Ziegelsteinen gibt es schon 3 Muster. Wie sieht es mit 4, 10,1000 Ziegelsteinen aus?

36 Aufgabe 1 Allgemeines Aufgabe 1 Lösung Aufgabe 1 Aufgabe 2 Lösung Aufgabe 2 Aufgabe 3 Lösung Aufgabe 3

37 Lösung: Aufgabe 1 Allgemeines Aufgabe 1 Lösung Aufgabe 1 Aufgabe 2 Lösung Aufgabe 2 Aufgabe 3 Lösung Aufgabe 3 a) 4 Ziegelsteine: 5 Möglichkeiten b) 10 Ziegelsteine: 89 Möglichkeiten c) 1000 Ziegelsteine: Möglichkeiten

38 Aufgabe 2 Allgemeines Aufgabe 1 Lösung Aufgabe 1 Aufgabe 2 Lösung Aufgabe 2 Aufgabe 3 Lösung Aufgabe 3 Aufgabe 2 Ist es möglich bei dem Damespiel durch aufeinanderfolgendes Schlagen von weißen Spielsteinen die letzte Linie des Brettes zu erreichen?

39 Aufgabe 2 Allgemeines Aufgabe 1 Lösung Aufgabe 1 Aufgabe 2 Lösung Aufgabe 2 Aufgabe 3 Lösung Aufgabe 3

40 Lösung: Aufgabe 2 Allgemeines Aufgabe 1 Lösung Aufgabe 1 Aufgabe 2 Lösung Aufgabe 2 Aufgabe 3 Lösung Aufgabe 3

55 Aufgabe 3 Allgemeines Aufgabe 1 Lösung Aufgabe 1 Aufgabe 2 Lösung Aufgabe 2 Aufgabe 3 Lösung Aufgabe 3 Aufgabe 3 Zeigen Sie: Jede dritte Fibonacci-Zahl ist gerade.

56 Lösung Aufgabe 3 Allgemeines Aufgabe 1 Lösung Aufgabe 1 Aufgabe 2 Lösung Aufgabe 2 Aufgabe 3 Lösung Aufgabe 3 Die Summe von zwei (un)geraden Zahlen ist gerade, die Summe einer geraden und einer ungeraden Zahl ist ungerade. Daher ist die aus der (un)geraden Sicht: gerade, ungerade, ungerade, gerade, ungerade, ungerade,... Alle drei Zahlen wiederholt sich die Abfolge gerade, ungerade, ungerade.

57 Anhang Literaturverzeichnis Literaturverzeichnis I Goldener_schnitt.svg GoldeneSpirale-01.jpg http: //fibonacci.stefanruf.ch/images/text/blaetter.jpg Absolventenfeier2.06.Vortrag.pdf php?tab=2&source=/nano/cstuecke/79846/index.html

58 Anhang Literaturverzeichnis Literaturverzeichnis II GruMiFiboSoSe06.pdf http: //