Fibonacci-Folge Mathematik»Facharbeit«

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1 Mathematik»Facharbeit«Mathias Dirksmeier Sven Wilkens Jahrgangsstufe 12 Thomas-Morus-Gymnasium, 2009

2 Gliederung 1 Allgemeines 2 Allgemein Formel von Moivre-Binet Beziehung zum Goldenen Schnitt 3 Modell einer Kaninchenpopulation Pflanzenwachstum 4

3 Einführung Unendliche Zahlenfolge Leonardo da Pisa (Fibonacci) beschrieb damit eine Kaninchenpopulation Sie lässt sich in verschiedenen Naturphänomenen wiederfinden

4 Einführung Unendliche Zahlenfolge Leonardo da Pisa (Fibonacci) beschrieb damit eine Kaninchenpopulation Sie lässt sich in verschiedenen Naturphänomenen wiederfinden

5 Einführung Unendliche Zahlenfolge Leonardo da Pisa (Fibonacci) beschrieb damit eine Kaninchenpopulation Sie lässt sich in verschiedenen Naturphänomenen wiederfinden

6 Allgemein Formel von Moivre-Binet Beziehung zum Goldenen Schnitt Anfangswerte sind festgelegt f 0 = 0 und f 1 = 1 Folge-Glieder werden aus der Summe der zwei vorangehenden Glieder berechnet :0,1,1,2,3,5,8,13,... f n = f n 1 + f n 2 für n 2

7 Allgemein Formel von Moivre-Binet Beziehung zum Goldenen Schnitt Anfangswerte sind festgelegt f 0 = 0 und f 1 = 1 Folge-Glieder werden aus der Summe der zwei vorangehenden Glieder berechnet :0,1,1,2,3,5,8,13,... f n = f n 1 + f n 2 für n 2

8 Allgemein Formel von Moivre-Binet Beziehung zum Goldenen Schnitt Anfangswerte sind festgelegt f 0 = 0 und f 1 = 1 Folge-Glieder werden aus der Summe der zwei vorangehenden Glieder berechnet :0,1,1,2,3,5,8,13,... f n = f n 1 + f n 2 für n 2

9 Allgemein Formel von Moivre-Binet Beziehung zum Goldenen Schnitt Formel von Moivre-Binet Anfangsgleichung: f n = ϕn ψ n ϕ ψ, n Z Gleichung x 2 x 1 = 0 ergibt ϕ = ; ψ = (Einsetzen in die Anfangsgleichung) Formel von Moivre-Binet f n = 1 5 [( 1 + ) n ( ) n ] 5 2

10 Allgemein Formel von Moivre-Binet Beziehung zum Goldenen Schnitt Formel von Moivre-Binet Anfangsgleichung: f n = ϕn ψ n ϕ ψ, n Z Gleichung x 2 x 1 = 0 ergibt ϕ = ; ψ = (Einsetzen in die Anfangsgleichung) Formel von Moivre-Binet f n = 1 5 [( 1 + ) n ( ) n ] 5 2

11 Allgemein Formel von Moivre-Binet Beziehung zum Goldenen Schnitt Beziehung zum Goldenen Schnitt Folgendes Verhältnis beschreibt den Goldenen Schnitt: a b = a+b a Daraus ergibt sich ein Verhältnis von: Φ = a b = = 1, Bezug zur f n+1 lim = Φn+1 n f n Φ n = Φ 1,618...

12 Allgemein Formel von Moivre-Binet Beziehung zum Goldenen Schnitt Beziehung zum Goldenen Schnitt Folgendes Verhältnis beschreibt den Goldenen Schnitt: a b = a+b a Daraus ergibt sich ein Verhältnis von: Φ = a b = = 1, Bezug zur f n+1 lim = Φn+1 n f n Φ n = Φ 1,618...

13 Allgemein Formel von Moivre-Binet Beziehung zum Goldenen Schnitt Beziehung zum Goldenen Schnitt Nenner Zähler Verhältnis Abweichung zu Φ in % 1 1 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00133

14 Modell einer Kaninchenpopulation Pflanzenwachstum Modell einer Kaninchenpopulation 1 Zu Beginn gibt es ein Paar geschlechtsreifer Kaninchen. 2 Jedes neugeborene Paar wird im zweiten Lebensmonat geschlechtsreif. 3 Jedes geschlechtsreife Paar wirft pro Monat ein weiteres Paar. 4 Die Tiere befinden sich in einem abgeschlossenen Raum. 5 Idealerweise sind die Tiere unsterblich.

15 Modell einer Kaninchenpopulation Pflanzenwachstum Modell einer Kaninchenpopulation 1 Zu Beginn gibt es ein Paar geschlechtsreifer Kaninchen. 2 Jedes neugeborene Paar wird im zweiten Lebensmonat geschlechtsreif. 3 Jedes geschlechtsreife Paar wirft pro Monat ein weiteres Paar. 4 Die Tiere befinden sich in einem abgeschlossenen Raum. 5 Idealerweise sind die Tiere unsterblich.

16 Modell einer Kaninchenpopulation Pflanzenwachstum Modell einer Kaninchenpopulation 1 Zu Beginn gibt es ein Paar geschlechtsreifer Kaninchen. 2 Jedes neugeborene Paar wird im zweiten Lebensmonat geschlechtsreif. 3 Jedes geschlechtsreife Paar wirft pro Monat ein weiteres Paar. 4 Die Tiere befinden sich in einem abgeschlossenen Raum. 5 Idealerweise sind die Tiere unsterblich.

17 Modell einer Kaninchenpopulation Pflanzenwachstum Modell einer Kaninchenpopulation 1 Zu Beginn gibt es ein Paar geschlechtsreifer Kaninchen. 2 Jedes neugeborene Paar wird im zweiten Lebensmonat geschlechtsreif. 3 Jedes geschlechtsreife Paar wirft pro Monat ein weiteres Paar. 4 Die Tiere befinden sich in einem abgeschlossenen Raum. 5 Idealerweise sind die Tiere unsterblich.

18 Modell einer Kaninchenpopulation Pflanzenwachstum Modell einer Kaninchenpopulation 1 Zu Beginn gibt es ein Paar geschlechtsreifer Kaninchen. 2 Jedes neugeborene Paar wird im zweiten Lebensmonat geschlechtsreif. 3 Jedes geschlechtsreife Paar wirft pro Monat ein weiteres Paar. 4 Die Tiere befinden sich in einem abgeschlossenen Raum. 5 Idealerweise sind die Tiere unsterblich.

19 Modell einer Kaninchenpopulation Pflanzenwachstum Modell einer Kaninchenpopulation

20 Modell einer Kaninchenpopulation Pflanzenwachstum Modell einer Kaninchenpopulation Monat Anzahl der Paare Januar 2 Februar 3 März 5 April 8 Mai 13 Juni 21 Juli 34 August 55 September 89 Oktober 144 November 233 Dezember 377

21 Modell einer Kaninchenpopulation Pflanzenwachstum Pflanzenwachstum

22 Modell einer Kaninchenpopulation Pflanzenwachstum Blätterausrichtung Goldener Winkel Y (Psi) größte Lichtausbeute keine periodische Anordnung der Blätter Ψ = Φ 137,5 Ψ 2 = 360 Φ 222,5

23 Modell einer Kaninchenpopulation Pflanzenwachstum Fibonacci-Spiralen Der Goldene Winkel lässt Fibonacci-Spiralen entstehen Kiefernzapfen erreichen mit den Spiralen ein Verhältnis von 13 8 = 1,625 Ein Kiefernzapfen hat 13 linksdrehende Spiralen und 8 Rechtsdrehende Sonnenblumen besitzen eine noch bessere Näherung zu Φ mit 34 und 55 Fibonacci-Spiralen liegt hier die Näherung bei = 1,617647

24 Modell einer Kaninchenpopulation Pflanzenwachstum Fibonacci-Spiralen

25 Modell einer Kaninchenpopulation Pflanzenwachstum Fibonacci-Spiralen

26 Modell einer Kaninchenpopulation Pflanzenwachstum Mit folgender Formel kann man Fibonacci-Rechtecke berechnen n Fk 2 = F n F n+1 k=1

27 Modell einer Kaninchenpopulation Pflanzenwachstum

28 Modell einer Kaninchenpopulation Pflanzenwachstum

29 Modell einer Kaninchenpopulation Pflanzenwachstum

30 Modell einer Kaninchenpopulation Pflanzenwachstum

31 Modell einer Kaninchenpopulation Pflanzenwachstum

32 Modell einer Kaninchenpopulation Pflanzenwachstum

33 Modell einer Kaninchenpopulation Pflanzenwachstum

34 Modell einer Kaninchenpopulation Pflanzenwachstum der Spiral - Radius ändert sich jede 90 -Drehung um den Faktor Φ.

35 Aufgabe 1 Allgemeines Aufgabe 1 Lösung Aufgabe 1 Aufgabe 2 Lösung Aufgabe 2 Aufgabe 3 Lösung Aufgabe 3 Aufgabe 1 Baue aus Ziegelsteinen mit der Kantenlänge 1 und 2 eine Mauer mit der Länge n und der Höhe 2. Bei einem Ziegelstein gibt es, wie in der Abbildung zu sehen, eine mögliche Anordnung. Bei drei Ziegelsteinen gibt es schon 3 Muster. Wie sieht es mit 4, 10,1000 Ziegelsteinen aus?

36 Aufgabe 1 Allgemeines Aufgabe 1 Lösung Aufgabe 1 Aufgabe 2 Lösung Aufgabe 2 Aufgabe 3 Lösung Aufgabe 3

37 Lösung: Aufgabe 1 Allgemeines Aufgabe 1 Lösung Aufgabe 1 Aufgabe 2 Lösung Aufgabe 2 Aufgabe 3 Lösung Aufgabe 3 a) 4 Ziegelsteine: 5 Möglichkeiten b) 10 Ziegelsteine: 89 Möglichkeiten c) 1000 Ziegelsteine: Möglichkeiten

38 Aufgabe 2 Allgemeines Aufgabe 1 Lösung Aufgabe 1 Aufgabe 2 Lösung Aufgabe 2 Aufgabe 3 Lösung Aufgabe 3 Aufgabe 2 Ist es möglich bei dem Damespiel durch aufeinanderfolgendes Schlagen von weißen Spielsteinen die letzte Linie des Brettes zu erreichen?

39 Aufgabe 2 Allgemeines Aufgabe 1 Lösung Aufgabe 1 Aufgabe 2 Lösung Aufgabe 2 Aufgabe 3 Lösung Aufgabe 3

40 Lösung: Aufgabe 2 Allgemeines Aufgabe 1 Lösung Aufgabe 1 Aufgabe 2 Lösung Aufgabe 2 Aufgabe 3 Lösung Aufgabe 3

41 Lösung: Aufgabe 2 Allgemeines Aufgabe 1 Lösung Aufgabe 1 Aufgabe 2 Lösung Aufgabe 2 Aufgabe 3 Lösung Aufgabe 3

42 Lösung: Aufgabe 2 Allgemeines Aufgabe 1 Lösung Aufgabe 1 Aufgabe 2 Lösung Aufgabe 2 Aufgabe 3 Lösung Aufgabe 3

43 Lösung: Aufgabe 2 Allgemeines Aufgabe 1 Lösung Aufgabe 1 Aufgabe 2 Lösung Aufgabe 2 Aufgabe 3 Lösung Aufgabe 3

44 Lösung: Aufgabe 2 Allgemeines Aufgabe 1 Lösung Aufgabe 1 Aufgabe 2 Lösung Aufgabe 2 Aufgabe 3 Lösung Aufgabe 3

45 Lösung: Aufgabe 2 Allgemeines Aufgabe 1 Lösung Aufgabe 1 Aufgabe 2 Lösung Aufgabe 2 Aufgabe 3 Lösung Aufgabe 3

46 Lösung: Aufgabe 2 Allgemeines Aufgabe 1 Lösung Aufgabe 1 Aufgabe 2 Lösung Aufgabe 2 Aufgabe 3 Lösung Aufgabe 3

47 Lösung: Aufgabe 2 Allgemeines Aufgabe 1 Lösung Aufgabe 1 Aufgabe 2 Lösung Aufgabe 2 Aufgabe 3 Lösung Aufgabe 3

48 Lösung: Aufgabe 2 Allgemeines Aufgabe 1 Lösung Aufgabe 1 Aufgabe 2 Lösung Aufgabe 2 Aufgabe 3 Lösung Aufgabe 3

49 Lösung: Aufgabe 2 Allgemeines Aufgabe 1 Lösung Aufgabe 1 Aufgabe 2 Lösung Aufgabe 2 Aufgabe 3 Lösung Aufgabe 3

50 Lösung: Aufgabe 2 Allgemeines Aufgabe 1 Lösung Aufgabe 1 Aufgabe 2 Lösung Aufgabe 2 Aufgabe 3 Lösung Aufgabe 3

51 Lösung: Aufgabe 2 Allgemeines Aufgabe 1 Lösung Aufgabe 1 Aufgabe 2 Lösung Aufgabe 2 Aufgabe 3 Lösung Aufgabe 3

52 Lösung: Aufgabe 2 Allgemeines Aufgabe 1 Lösung Aufgabe 1 Aufgabe 2 Lösung Aufgabe 2 Aufgabe 3 Lösung Aufgabe 3

53 Lösung: Aufgabe 2 Allgemeines Aufgabe 1 Lösung Aufgabe 1 Aufgabe 2 Lösung Aufgabe 2 Aufgabe 3 Lösung Aufgabe 3

54 Lösung: Aufgabe 2 Allgemeines Aufgabe 1 Lösung Aufgabe 1 Aufgabe 2 Lösung Aufgabe 2 Aufgabe 3 Lösung Aufgabe 3

55 Aufgabe 3 Allgemeines Aufgabe 1 Lösung Aufgabe 1 Aufgabe 2 Lösung Aufgabe 2 Aufgabe 3 Lösung Aufgabe 3 Aufgabe 3 Zeigen Sie: Jede dritte Fibonacci-Zahl ist gerade.

56 Lösung Aufgabe 3 Allgemeines Aufgabe 1 Lösung Aufgabe 1 Aufgabe 2 Lösung Aufgabe 2 Aufgabe 3 Lösung Aufgabe 3 Die Summe von zwei (un)geraden Zahlen ist gerade, die Summe einer geraden und einer ungeraden Zahl ist ungerade. Daher ist die aus der (un)geraden Sicht: gerade, ungerade, ungerade, gerade, ungerade, ungerade,... Alle drei Zahlen wiederholt sich die Abfolge gerade, ungerade, ungerade.

57 Anhang Literaturverzeichnis Literaturverzeichnis I Goldener_schnitt.svg GoldeneSpirale-01.jpg http: //fibonacci.stefanruf.ch/images/text/blaetter.jpg Absolventenfeier2.06.Vortrag.pdf php?tab=2&source=/nano/cstuecke/79846/index.html

58 Anhang Literaturverzeichnis Literaturverzeichnis II GruMiFiboSoSe06.pdf http: //

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