Differenzengleichungen - Einführendes

Transkript

1 Differenzengleichungen - Einführendes Stefan Lell 10.Oktober

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung Die Kaninchenfrage Allgemeines und erste Definitionen Konstante Lösungen Ermitteln von Startwerten zur Erlangung konstanter Lösungen 5 3 Cobweb Diagramme Konstruktion Beispiele Geschlossene Lösungen von Differenzengleichungen Raten Lineare homogene DGL mit konstanten Koeffeizienten Zurück zu Fibonacci - Die Formel von Binet Grafiken 13 2

3 1 Einführung 1.1 Die Kaninchenfrage Im Jahre 1202 erscheinen die liber abacci von Leonardo von Pisa (auch bekannt unter dem Namen Fibonacci). In diesem mathematischen Werk findet sich auch die berühmte Kaninchenaufgabe: Ein zur Zeit t = 0 geborenes Kaninchenpaar erzeugt, vom 2. Monat seiner Existenz an, in jedem folgenden Monat ein weiteres Paar Kaninchen und auch die Nachkommen verfahren auf die gleiche Weise. Die Lösung des Problems soll angeben, wieviel Kaninchenpaare nach n Monaten vorhanden sind. Fibonacci gibt in seinem Werk eine erste Lösung des Problems an; er modelliert also mathematisch das Verhalten einer Kaninchenpopulation. Wir möchten nun diesen Weg nachvollziehen und vereinbaren zunächst, neben der Eingangsbedinung zum Zeitpunkt t = 0, ein Paar Kaninchen zu haben, stellen weiter fest, dass jedes Nachwuchspaar sich genau wie das Mutterpaar verhält und dass darüber hinaus kein Kaninchen je zu Schaden kommt oder stirbt. Damit gilt dann offensichtlich: Anzahl Kaninchen = aktueller Monat Anzahl Kaninchen letzter Monat + Anzahl der Neugeburten in diesem Monat Die Anzahl der Neugeburten in diesem Monat kennen wir jedoch: da Kaninchen 2 Monate benötigen, um geschlechtsreif zu werden, können die Neugeborenen aus dem Vormonat keine Rolle spielen. Hingegen werfen alle Paare, die 2 Monate vorher exisitierten, ein Paar Kaninchen in diesem Monat, nach Voraussetzung. Also ist: { } { Anzahl der Neugeburten in = diesem Monat Anzahl Kaninchen 2 Monate zuvor Bezeichne nun f n die Anzahl der vorhandenen Kaninchenpaare in einem Monat n, so gilt: f n = f n 1 + f n 2 (1) Die Anzahl der Kaninchen in einem bestimmten Monat lässt sich also errechnen aus der Anzahl der vorhandenen Kaninchen aus dem Vor- bzw. Vor- Vormonat. Wir wissen aus unseren Überlegungen, dass im 1. Monat ein Paar Kaninchen vorhanden ist. Dieses ist im 2. Monat noch nicht geschlechtsreif, also kann es keinen Nachwuchs zur Welt bringen. Also ist im 2. Monat immer noch genau } 3

4 ein Kaninchenpaar vorhanden. Nun können wir also mit unserer Gleichung (1) die vorhandenen Paare im 3,4,5,... Monat errechnen: f 3 = = 2 f 4 = = 3 f 5 = = 5... Wir haben nun also eine interessante Fragestellung mathematisch modelliert, und können nun mit einigem Rechenaufwand die Anzahl der auf der Welt lebenden Kaninchen zu einem beliebigen Zeitpunkt n angeben. 1.2 Allgemeines und erste Definitionen Bevor wir uns nun den mathematischen Eigenschaften dieses Typus von Gleichungen widmen, möchten wir noch kurz auf die Problematik bei math. Modellierung eingehen: um dieses Modell zu finden, mussten wir unter anderem die Annahme machen, Kaninchen sterben nicht. Dieser Umstand dürfte wohl kaum der Realität entsprechen; gibt es doch Füchse, Krankheiten und Menschen, die Kaninchenrücken als eine Delikatesse werten; gerade Bärlauch passt geschmacklich und saisonal wunderbar. Man sollte sich also zu jedem Zeitpunkt in der Phase der Modellierung die Frage stellen, wie gut oder schlecht die Realität zu dem Modell passt. Für das Problem, das Wachstumsverhalten von Kaninchenpopulationen vorherzusehen, gibt es auch tatsächlich sehr viel bessere und realitätsnahere Ansätze, als der von Fibonacci. Nun definieren wir: Definition 1 Eine Gleichung, die das n.te Glied einer Folge (y n ) mit einem oder mehrerer seine Vorgänger y n 1,...,y n k in Verbindung setzt nennt man Differenzengleichung (DFG). k heißt dabei die Ordnung der Differenzengleichung. Mit dieser Definition sehen wir sofort, dass unsere Gleichung (1) eine solche Differenzengleichung mit der Ordnung 2 ist. Die zugehörige Lösungsfolge nennt man die Fibonacci-Folge. Mittels unseres Kaninchenproblems sehen wir auch sofort ein, warum DFG gerne zum Lösen von Problemen verwendet werden, die auch diskrete Zeitprobleme genannt werden. Man pickt sich zu äquidistant verteilten Zeitpunkten gemessene Daten heraus und versucht, eine allgemeine Form anzugeben. Daher kann man DFGen auch als Abbildung von N R auffassen. 4

5 Definition 2 Die Lösung einer DFG ist eine Folge, die die DFG erfüllt. Definition 3 Die Lösung einer DFG k.ter Ordnung heißt allgemein, wenn höchstens k 1 Startwerte vorgegeben sind, sie heißt speziell, wenn alle k Startwerte vorgegeben sind. Man sieht leicht, dass man bei bekannter DFG der Ordnung k eine spezielle Lösung erhält, wenn man k Startwerte vorgibt. Am Beispiel Fibonacci konnten wir aus den Voraussetzungen erschließen, dass gilt: f 1 = f 2 = 1. Weiter haben wir bereits gesehen, dass sich mittels Iteration die spezielle Lösungsfolge errechnen lässt. Wir werden uns nun also Lösungen von DFG näher anschauen und dabei feststellen, dass die spezielle Lösung abhängig ist von den vorgegebenen Startwerten. Beispiel: Wir betrachten die DFG: x n+1 = 1 x n (2) Mit Startwert x 0 = 2 errechnen wir die ersten Folgenglieder: x 1 = 1 2 ; x 2 = 2; x 3 = 1 2 ; x 4 = 2;... Mit Startwert x 0 = 1 errechnen wir die ersten Folgeglieder x 1 = 1; x 2 = 1; x 3 = 1; x 4 = 1;... Die DFG (2) liefert also nicht nur numerisch unterschiedliche Lösungen, sondern vor allem auch ein unterschiedliches Lösungsverhalten: Definition 4 Eine Folge von Lösungen heißt konstant, wenn gilt: x n+1 = x n Sie heißt periodisch, wenn es ein p > 0 gibt, sodass gilt: x n+p = x n für n,p N 2 Konstante Lösungen 2.1 Ermitteln von Startwerten zur Erlangung konstanter Lösungen Wir betrachten im Folgenden nur Funktionen ertser Ordnung. Wir wissen aus der Definition, dass das (n + 1).te Glied der Lösungsfolge mittels des n.ten Gliedes errechnet werden kann. also: x n+1 = g(x n ) 5

6 wobei g eine Funktion ist, die die Lösung der DFG erfüllt. Fasst man nun g : R R als reellwertige Funktion mit reellem Definitionsbereich auf, so heißt g korrespondierende Funktion zu unserer DFG. Wir suchen konstante Lösungen, d.h. x n+1 = x n also g(x n ) = x n Damit ist die Suche nach konstanten Lösuungen auf ein Fixpunktproblem reellwertiger Funktionen zurückgeführt. x n+1 = 1 x n Auf Seite (5)haben wir diese DFG bereits kennen gelernt und dort gesehen, dass sie für den Startwert x 0 = 1 eine konstante Lösung besitzt. Die korrespondierende Funktion g ist nun definiert durch Mit g(x) = x folgt g(x) = 1 x x 2 = 1 = x = ±1 Somit hat die DFG also eine konstante Lösung für die Startwerte x (0) = 1 x (1) = 1 Betrachten wir den Graphen der DFG 1. Ordnung, so bedeutet das Fixpunktproblem die Suche nach Schnittpunkten der korrespondierenden Funktion mit der identischen Funktion id(x) (Abbildung (1)). Die identische Funktion wird bei der Konstruktion von Cobweb Diagrammen eine wesentliche Rolle spielen. 3 Cobweb Diagramme 3.1 Konstruktion Bei der Untersuchung von Differenzengleichungen möchten wir im Idealfall Aussagen über deren Lösungsverhalten machen. Es wäre wünschenswert, wenn wir spezielle Lösungen immer angeben könnten, ohne den mühseligen und rechenintensiven Iterationsprozess bemühen zu müssen. Wenigstens möchten wir jedoch Prognosen entnehmen können, wie sich die DFG langfristig verhalten wird. Und hierfür kann man sich im Falle DFG 1. Ordnung 6

7 durch sogenannte Cobweb Diagramme das Verhalten einer Lösungsfolge veranschaulichen. Wir möchten uns den Konstruktionsprozess von Cobweb Diagrammen am Beispiel der DFG x n+1 = 2x n mit Startwert x 0 = 1 überlegen. Die korrespondierende Funktion heißt g(x) = 2x. Gemeinsam mit der identischen Funktion id(x) plotten wir den Graphen (Abbildung 2). 1. Wir beginnen am Startwert x 0 und verbinden die Punkte (x 0,x 0 ) und (x 0,g(x 0 )) und markieren die Richtung mit einem Pfeil. 2. Wir wandern nun parallel zur x - Achse und treffen dort irgendwann die Gerade id(x). Da wir die y - Koordinate nicht verändert haben, wird der so konstruierte Punkt die y - koordinate g(x 0 ) haben. Da er auf dem Graphen von id(x) liegt folglich auch die x - Koordinate g(x 0 ) und damit: (g(x 0 ),g(x 0 )) 3. g(x 0 ) ist aber gerade x 1. Von da aus können wir nun wieder parallel zur y-achse ziehen und erneut auf die Funktion g(x) treffen, so daß wir g(x 1 ) konstruieren können. Und so fort erhalten wir also eine graphische Veranschaulichungen des Iterationsprozesses und können an den Cobweb Diagrammen leicht ein Langzeitverhalten ablesen. 3.2 Beispiele 1. Beispiele für divergentes Verhalten der Lösungsfolge y k = 2y k 1, y 0 = 1, (Abbildung 1) y k = 2y k 1, y 0 = 1, (Abbildung 2) 2. Beispiele für konvergentes Verhalten der Lösungsfolge y k = 1 2 y k 1, y 0 = 1, (Abbildung 3) y k = 1 2 y k 1, y 0 = 1, (Abbildung 4) 3. Ein periodisches Cobweb y k = y k 1, y 0 = 1, (Abbildung 5) Die bisherigen Beispiele zeigen für alle Startwerte das gleiche Lösungsverhalten. Betrachten wir die DFG y k = y 2 k 1 7

8 so werden wir feststellen, dass sich ihr Verhalten bezgl. Divergenz / Konvergenz bereits in einer kleinen Umgebung um die 1 grundlegend unterscheidet. Für Startwerte x mit x > 1 divergiert die Lösungsfolge, für Startwerte x mit x (1, 1) konvergiert sie. In den Beispiel - Cobweb - Diagrammen haben wir als Startwerte y 0 = 0, 9 (Abb. 6) für konvergentes bzw. y 0 = 1, 1 für divergentes Verhalten gewählt (Abb. 7) 4 Geschlossene Lösungen von Differenzengleichungen Wir haben nun gesehen, welche Art von Lösungen (periodisch, konstant, konvergent, divergent) auftreten können und uns überlegt, wie wir den iterativen Lösungsprozess unter gewissen Voraussetzungen graphisch veranschaulichen können. Wir haben am Rande auch schon gesehen, wie unpraktisch es ist, die Iteration wirklich auszurechnen - es ist zwar möglich, aber sehr aufwendig. Daher wäre es schön, wenn wir eine sogenannte geschlossene Lösung angeben könnten, also eine Lösung, die nur durch den Startwert und die Position n in der Folge errechenbar ist. Hierzu gibt es für bestimmte Typen von DFG Ansätze und wir wollen zwei näher betrachten. 4.1 Raten Das Prinzip ist so einfach wie unmathematisch: Es sei eine DFG gegeben, man rechne sich einige Startwerte aus und schaue, ob man was schönes findet. Beispiel: y k = 1 + y k y k 1 ; für k = (2, 3,...) mit Startwert y 1 = 0 Man rechne los und ermittle die ersten Folgenglieder der Lösungsfolge, in der Hoffnung, es ergebe sich ein Muster: y 1 = 0 = y 2 = 3 = y 3 = 8 = y 4 = 15 =

9 Nun können wir die Behauptung aufstellen eine geschlossene Lösungsform sei: y k = k 2 1 (3) Diese Behauptung wollen wir nun mittels vollständiger Induktion beweisen: y k+1 = 1 + y k = 1 + k k 2 1 (I.V.) = k 2 + 2k = (k + 1) 2 1 = y k+1 Also stimmt unsere Vermutung 4.2 Lineare homogene DGL mit konstanten Koeffeizienten Etwas allgemeiner ist da der folgende Satz: Satz 5 Es sei f(n+r)+a r 1 f(n+r 1)+...+a 0 f(n) = b = 0 eine lineare homogene Differenzengleichung mit konstanten Koeffizienten. Die charakteristische Gleichung der DFG habe r verschiedene reelle Nullstellen q 1,...,q r. Dann lautet die allgemeine Lösung f(n) = c 1 q1 n c r qr n 1 Bevor wir den Satz beweisen, müssen wir vorab einige Begrifflichkeiten klären: Die Linearität der Koeffizienten ist klar, sie erlaubt nur konstante a i (i = 0,...,r 1) und nicht beliebige stetige Funktionen. Homogen bedeutet, dass b 0 ist. Inhomogen wäre die Gleichung für ein b 0. Was die charakteristische Gleichung für eine Bedeutung hat, werden wir im Laufe des nachfolgenden Beweises sehen. Beweis des Satzes: Gegeben ist die DFG f(n + r) + a r 1 f(n + r 1) a 0 f(n) = 0 (4) Wir versuchen als Ansatz: f(n) = q n 1 (5) und erhalten durch Einsetzen in (4): q n r (q r + a r 1 q r a 0 ) = 0 9

10 Die Bedingung (4) ist also erfüllt, wenn die Gleichung q r + a r 1 q r a 0 = 0 (6) richtig ist. Die Gleichung (6) heißt charakteristisches Polynom zur Differenzgleichung (4). Somit erhalten wir als Lösungsfunktion f i = q n 1 i (7) für jede Nullstelle q i von (6) und wegen der Linearität ist auch jede Linearkombination c 1 q1 n c r qr n 1, c R Lösung der DFG (4). Es bleibt noch zu zeigen, dass dies tatsächlich alle Lösungen der DFG (4) sind. Dies soll nun mittels vollständiger Induktion gezeigt werden. Wir setzen hierfür: f(1) = c c c r 1 f(2) = c 1 q 1 + c 2 q c r q r (8). f(r) = c 1 q1 r 1 + c 2 q2 r c r qr r 1 Es ist det q 1... q 1... q1 r 1... q1 r 1 = (q i q j ) 0 (9) i<j da wir die Nullstellen q i als verschieden vorausgesetzt haben. Ansonsten verweisen wir auf die Literatur. Die Lösung unserer DFG ist gegeben durch: f(r + 1) = (a r 1 f(r) + a r 2 f(r 1) a 0 f(1)) = (mit dem LGS (8)) = (a r 1 c i qi r a 0 c i 1) = (mit 7) i=1 i=1 = (a r 1 c i f i (r) a 0 c i f i (1) = i=1 10 i=1

11 = (c 1 a r k f 1 (r k + 1) + c 2 a r k f 2 (r k + 1) +... k=1 +c r k=1 a r k f r (r k + 1) = k=1 = c 1 f 1 (r + 1) + c 2 f 2 (r + 1) c r f r (r + 1) = = c i f i (r + 1) = c i qi r i=1 i=1 Für den Induktionsschritt können wir obige Rechnung fast genauso durchführen, wir dürfen uns die Überlegung (*) nur nicht mit dem LGS(4) rechtfertigen, sondern müssen an dieser Stelle mit der Induktionsvoraussetzung argumentieren. Somit ist also f(n) = i=1 c i q n 1 i die spezielle Lösung, wenn r Anfangsbedingungen gegeben sind. Da die c i wegen unseren Überlegungen bezüglich der Determinante der Matrix (9) eindeutig bestimmt sind, haben wir die geschlossene Form der DFG (4) gefunden. 4.3 Zurück zu Fibonacci - Die Formel von Binet q.e.d Betrachten wir unser Eingangs Beispiel: die Fibonacci Folge (1). Umgestellt lautet diese f n+2 f n+1 f n = 0 und ist eine lineare homogene DFG. Mit f n = q n 1 folgt q n 1 (q 2 q 1) = 0. Die charakteristische Gleichung hat mit q 1/2 = 1 2 ± zwei verschiedene reelle Nullstellen. Somit können wir mit obigem Satz eine geschlossene Lösung für die Fibonacci - Folge angeben: f 1 = 1 = c 1 + c 2 ( 1 f 2 = 1 = c ) ( c ) 5 2 Somit: c 1 = 1 ( ) c 2 = 1 ( )

12 Also: f n = 1 (( ) n ( ) n ) 1 5 Die Darstellung heißt nach dem französischen Mathematiker Jacques Philippe Marie Binet Formel von Binet, der diese 1843 zu Papier brachte. 2 12

13 5 Grafiken 13

14 Abbildung 1: y k = 2y k 1, y 0 = Abbildung 2: y k = 2y k 1, y 0 = 1 14

15 Abbildung 3: y k = 1 2 y k 1, y 0 = Abbildung 4: y k = 1 2 y k 1, y 0 = 1 15

16 Abbildung 5: y k = y k 1, y 0 = Abbildung 6: y k = y 2 k 1, y 0 =

17 Abbildung 7: y k = y 2 k 1, y 0 =