7 Polymatroide Submodulare Funktionen Die Sätze von Hall und Rado Die Komplexe Vereinigung von Matroiden...

Transkript

1 Inhaltsverzeichnis 1 Einstimmung Organisatorisches Einführende Beispiele Bedeutung der Matroidtheorie Ausblick Inhalt der Vorlesung Forschungsschwerpunkt unendliche Matroide Axiomensysteme System der unabhängigen Elemente Axiome der Basen Axiome des Abschlussoperators Axiome der Kreise Axiome der Rang-Funktion Axiome der Unterräume Axiome der Hyperebenen Konstruktionen Mengensystemoperationen Besondere Mengensysteme Übergang der Systemtypen unter Haupt-Mengensystemoperationen Matroidleiter Von I zu B und zurück Das duale Matroid Einschränkung und Minoren Von I zu cl und zurück Von I zu C und zurück Von I zum relativen Rang und zurück

2 Stand: Main:Rev: 722, 5. April 2011 INHALTSVERZEICHNIS 4 Beispiele von Matroiden Finitäre Matroide Nicht finitäre Matroide Verallgemeinerte Lineare Abhängigkeit Gegenbeispiele Weitere Axiome Fast-Matroide Grundlegende Zusammenhänge Basen Rang Abschlussoperator Greedy-Algorithmus Transversalmatroide Unterraumverband Duale Matroide Minoren Zusammenhang Zusammenhangskomponenten Separationen Weitere Eigenschaften des Zusammenhangs Mehrfacher Zusammenhang Whitney s Kreisgleichheitssatz Polymatroide Submodulare Funktionen Die Sätze von Hall und Rado Die Komplexe Vereinigung von Matroiden Organisatorischer Abschluss Feedback Werbung Prüfung Index 49 Symbolverzeichnis 51 Matroidtheorie, WS 2010/11 2 UHH, Dr. Nico Düvelmeyer

3 Kapitel 1 Einstimmung 1.1 Organisatorisches Vorlesungszeiten und Räume Vorlesung: Donnerstag, 10:15-11:45 Uhr, Geom H3 (2SWS) Lesekurs: z.b. Hintergründe unendliche Graphen (2SWS) Übung: Donnerstag, 14:15-15:45 Uhr, Geom 430 Homepage Organisatorisches, Aktuelles Vorlesungsskript, Folien(?), Material(Links) Übungsaufgaben Literatur Literatur und Voraussetzungen Matroid theory, Oxley, James G., 1997 Alexander Schrijver, Combinatorial Optimization, 2003 Graph Theory, Diestel, Fourth Edition 2010 Axioms for infinite matroids, H. Bruhn, R. Diestel, M. Kriesell, R. Pendavingh, P. Wollan, preprint 2010 Voraussetzungen: lineare Algebra (muss) Graphentheorie (wird) Topologie (?) 3

4 Stand: K1:Rev: 440, 5. April 2011 KAPITEL 1. EINSTIMMUNG 1.2 Einführende Beispiele lineare Unabhängigkeit Matroide sind die abstrahierte Kombinatorik von linearer Unabhängigkeit. Matrix A R m n bestehend aus Spalten a 1,..., a n R m Menge der Spaltenindizes E := {1,..., n} Teilmengen I E, so dass (a i ) i I linear unabhängig System (Menge) I aller solcher I Eigenschaften von I (FI1) I. (FI2) Aus J I und I I folgt stets J I. (FI3) Falls I, J I und I < J, so gibt es ein x J \ I mit I {x} I. dies sind die Axiome für endliche Matroide Begriffe für Matroide M[A]:Vektor-Matroid von A I heißt das System der unabhängigen Mengen, I I unabhängig, I 2 E \ I abhängig, ein (inklusions-) maximale unabhängige Menge heißt Basis Eine minimale abhängige Menge heißt Kreis des Matroids. weitere Matroidbegriffe Begriffe linearer Teilraum, aufgespannter linearer Teilraum (lineare Hülle), Dimension bekommen auch Entsprechungen für ein Matroid (E, I). Sei dafür X E beliebig. maximale Größe einer unabhängigen Teilmenge B X (absoluter) Rang R(X) von X. U := cl(x) = { e E : e X (B {e}) / I } von X erzeugter Unterraum Abbildung cl : X U ein so genannter Hüllenoperator. (auf)spannende Mengen : cl(x) = E Matroidtheorie, WS 2010/11 4 UHH, Dr. Nico Düvelmeyer

5 Stand: K1:Rev: 440, 5. April 2011 KAPITEL 1. EINSTIMMUNG Verallgemeinerungen Matrizen über beliebigen Körpern (Mehrfach-)Mengen von Vektoren in Vektorräumen affin unabhängig algebraisch unabhängig Graphentheorie G = (V, E) : (ungerichteter, einfacher) Graph Eckenmenge V Menge E von Kanten K V mit K = 2 Kreis in G: geschlossener einfacher Kantenzug Kreis-Matroid von G (E, I) I I falls (V, I) ein kreisfreier Teilgraph von G ist. Axiome von I für endliche Matroide Ist E eine endliche Menge und I 2 E, so heißt (E, I) ein endliches Matroid, falls (FI1)-(FI3) gilt. (FI1) I. (FI2) Aus J I und I I folgt stets J I. (FI3) Falls I, J I und I < J, so gibt es ein x J \ I mit I {x} I. 1.3 Bedeutung der Matroidtheorie Bedeutung allgemeine Sprache und Sätze Diskrete Optimierung: Greedy-Algorithmus Maximierung über gemeinsam unabhängige Mengen mehrerer Matroide. diskreten Geometrie orientierte Matroide 1.4 Ausblick Inhalt der Vorlesung Ausblick verschiedene Axiomensysteme, Begriffe und Charakterisierungen wichtige Beispiele Matroid-Konstruktionen und Dualität Basispackung und -überdeckung Spezielle Matroide, Darstellbarkeit Matroidtheorie, WS 2010/11 5 UHH, Dr. Nico Düvelmeyer

6 Stand: K1:Rev: 440, 5. April 2011 KAPITEL 1. EINSTIMMUNG 1.5 Forschungsschwerpunkt unendliche Matroide Forschungsschwerpunkt unendliche Matroide (FI4) Ist jede endliche Teilmenge von I E in I, so ist auch I I. Matroidtheorie, WS 2010/11 6 UHH, Dr. Nico Düvelmeyer

7 Kapitel 2 Axiomensysteme 2.1 System der unabhängigen Elemente Notation Für ein System I 2 E bezeichnen wir den unteren Abschluss von I mit I := { J I : I I }. das System der (inklusions-) maximalen Elemente von I mit I max = { I I : J I : I J }. das System der (inklusions-) minimalen Elemente von I mit I min = { I I : J I : J I }. Unabhängigkeitsaxiome Definition 1. Ein Paar (E, I) heißt Matroid, wenn E eine beliebige Menge, I 2 E ist und folgende Axiome gelten: (I1) I. (I2) I = I. (I3) Falls I I \ I max und J I max, so gibt es ein x J \ I mit I {x} I. (IM) Für beliebige Mengen X E und I I mit I X hat das System { J I : I J X } =: I [I, X] ein maximales Element, (I [I, X]) max. für I 2 E ist (M) X E, I I : I X (I [I, X]) max. Begriffe aus Unabhängigkeit Definition 2. Für ein Matroid (E, I) ist I das System der unabhängigen Mengen Elemente von I sind unabhängig, alle anderen Teilmengen von E sind abhängig. Eine Basis ist ein Element von I max =: B, ein Kreis ist ein Element von (2 E \ I) min =: C. 7

8 Stand: K2:Rev: 525, 5. April 2011 KAPITEL 2. AXIOMENSYSTEME Der Abschlussoperator ist die Abbildung cl : 2 E 2 E, cl(x) := X { x E I I, I X, I {x} / I } Der relative Rang von A zu B, r(a B) ist für E A B definiert als r(a B) := max{ I \ J : A I J, I I, J (I 2 B ) max } N 0 { }. Abbildung r( ) : (A, B) r(a B) ist die relativer-rang-funktion, 2.2 Axiome der Basen Endliche Basisaxiome Satz 2.1. Gegeben sei eine endliche Menge E. Ein System B 2 E ist genau dann das System der Basen eines Matroids (E, ), falls folgende Axiome erfüllt sind: (FB1) B =. (FB2) Falls B 1, B 2 B und x B 1 \ B 2 ist, so gibt es ein y B 2 \ B 1 mit (B 1 \ {x}) {y} B. In diesem Fall ist I := B das System der unabhängigen Mengen des Matroids. Beliebige Basisaxiome Satz 2.2. Ein System B 2 E ist genau dann das System der Basen eines Matroids (E, ), falls folgende Axiome erfüllt sind: (B1) B =. (B2) Falls B 1, B 2 B und x B 1 \ B 2 ist, so gibt es ein y B 2 \ B 1 mit (B 1 \ {x}) {y} B. (BM) Das System I := B erfüllt (M). In diesem Fall ist I := B das System der unabhängigen Mengen des Matroids. 2.3 Axiome des Abschlussoperators Axiome des Abschlussoperators für endliche Matroide Satz 2.3. Gegeben sei eine endliche Menge E. Eine Abbildung cl : 2 E 2 E ist genau dann der Abschlussoperator eines Matroids (E, ), falls folgende Axiome erfüllt sind: (FCL1) Für alle X E ist X cl(x). (FCL2) Für alle X Y E gilt auch cl(x) cl(y ). (FCL3) Für alle X E ist cl(cl(x)) = cl(x). (FCL4) Für alle Z E und x, y E folgt aus y cl(z {x}) \ cl(z), dass auch x cl(z {y}). In diesem Fall ist I := { I E x I : x / cl (I \ {x})} das System der unabhängigen Mengen des Matroids. Matroidtheorie, WS 2010/11 8 UHH, Dr. Nico Düvelmeyer

9 Stand: K2:Rev: 525, 5. April 2011 KAPITEL 2. AXIOMENSYSTEME Axiome des Abschlussoperators Satz 2.4. Eine Abbildung cl : 2 E 2 E ist genau dann der Abschlussoperator eines Matroids (E, ), falls folgende Axiome erfüllt sind: (CL1) Für alle X E ist X cl(x). (CL2) Für alle X Y E gilt auch cl(x) cl(y ). (CL3) (CL4) Für alle X E ist cl(cl(x)) = cl(x). Für alle Z E und x, y E folgt aus y cl(z {x}) \ cl(z), dass auch x cl(z {y}). (CLM) Das System I := { I E x I : x / cl (I \ {x}) } erfüllt (M). In diesem Fall ist das in (CLM) angegebene System I das System der unabhängigen Mengen des Matroids. 2.4 Axiome der Kreise Axiome der Kreise für endliche Matroide Satz 2.5. Gegeben sei eine endliche Menge E. Ein System C 2 E ist genau dann das System der Kreise eines Matroids (E, ), falls folgende Axiome erfüllt sind: (FC1) / C. (FC2) K 1, K 2 C mit K 1 K 2 impliziert K 1 = K 2. (FC3) Für je zwei verschiedene K 1, K 2 C, und e K 1 K 2 gibt es ein K 3 C mit K 3 (K 1 K 2 ) \ {e}. In diesem Fall ist I := { I E K C : K I } das System der unabhängigen Mengen des Matroids. Axiome der Kreise Satz 2.6. Ein System C 2 E ist genau dann das System der Kreise eines Matroids (E, ), falls folgende Axiome erfüllt sind: (C1) / C. (C2) K 1, K 2 C mit K 1 K 2 impliziert K 1 = K 2. (C3) (CM) Für ein beliebiges K C, eine beliebige Teilmenge X K, eine entsprechende Familie (K x x X) von Elementen von C, die x K y x = y für alle x, y X erfüllt, und für jedes z K \ ( x X K x) gibt es ein K C mit z K ( K x X K x) \ X. Das System I := { I E K C : K I } erfüllt (M). In diesem Fall ist das in (CM) angegebene System I das System der unabhängigen Mengen des Matroids. 2.5 Axiome der Rang-Funktion Axiome des absoluten Ranges Für jedes Matroid kann man aus der relativer-rang-funktion auch absolute Ränge durch R(X) := r(x ) definieren. Matroidtheorie, WS 2010/11 9 UHH, Dr. Nico Düvelmeyer

10 Stand: K2:Rev: 525, 5. April 2011 KAPITEL 2. AXIOMENSYSTEME Satz 2.7. Gegeben sei eine endliche Menge E. Eine Abbildung R( ) : 2 E N 0 ist genau dann die absolute Rang-Funktion eines Matroids (E, ), falls: (FR1) Für alle X E ist 0 R(X) X. (FR2) Für alle X Y E gilt R(X) R(Y ). (FR3) Für alle X, Y E ist R(X Y ) + R(X Y ) R(X) + R(Y ) (d.h., R( ) ist eine submodulare Funktion). In diesem Fall ist I := { I E : R(I) I } das System der unabhängigen Mengen und r(a B) = R(A) R(B) die relativer-rang-funktion des Matroids. Axiome des relativen Ranges Wir bezeichnen mit (2 E 2 E ) := { (A, B) : E A B } die Menge der mittels geordneten Paare in 2 E 2 E. Satz 2.8. Eine Abbildung r( ) : (2 E 2 E ) N 0 { } ist genau dann die relativer-rang-funktion eines Matroids (E, ), falls: (R1) (R2) (R3) (R4) (RM) Für alle B A E ist r(a B) A \ B. Für alle A, B E gilt r(a A B) r(a B B). Für alle C B A E ist r(a C) = r(a B) + r(b C). Für alle Familien (A γ ) und Mengen B mit B A γ E und r(a γ B) = 0 für alle γ gilt mit A := γ A γ, dass r(a B) = 0. Das System I := { I E x I : r(i I \ {x}) > 0 } erfüllt (M). In diesem Fall ist das in (RM) angegebene System I das System der unabhängigen Mengen des Matroids. 2.6 Axiome der Unterräume Definition Unterräume Definition 3. Ein Unterraum des Matroids M ist eine Teilmenge U E mit U = cl(u). Wir bezeichnen mit FdasSystem der Unterräume des Matroids. Axiome der Unterräume für endliche Matroide Satz 2.9. Gegeben sei eine endliche Menge E. Ein System F 2 E ist genau dann das System der Unterräume eines Matroids (E, ), falls folgende Axiome erfüllt sind: (FF1) E F. (FF2) U 1, U 2 F impliziert U 1 U 2 F. (FF3) Wenn U F und t E \ U sowie U der kleinste Unterraum aus F ist, der U {t} enthält, so gibt es kein U F mit U U U. In diesem Fall ist cl := H F : X min{ U F : X U } = { U F : X U } der Abschlussoperator des Matroids. Definition Hüllensystem Definition 4. Ein Hüllensystem S ist ein System S 2 E, wenn der Durchschnitt (aller Elemente) eines beliebigen Teilsystems S S selbst zu S gehört: S := x S x S. Dabei gilt die Konvention := E. Matroidtheorie, WS 2010/11 10 UHH, Dr. Nico Düvelmeyer

11 Stand: K2:Rev: 525, 5. April 2011 KAPITEL 2. AXIOMENSYSTEME Definition Hüllenoperator Definition 5. Ein Hüllenoperator ist eine extensive, monotone, idempotente Abbildung H, die jeder Teilmenge A einer gegebenen Menge E wiederum eine Teilmenge von E zuordnet. (Hu1) Für alle X E ist X H(X). (Hu2) Für alle X Y E gilt auch H(X) H(Y ). (Hu3) Für alle X E ist H(H(X)) = H(X). Entsprechung Hüllenoperator und -System Satz Hüllenoperatoren und Hüllensysteme entsprechen einander: 1. Ist S ein Hüllensystem auf E, dann ist H S : A { Y S Y A } einen Hüllenoperator auf E mit H S (2 E ) = S. 2. Umgekehrt kann aus jedem Hüllenoperator H auf E ein Hüllensystem S := H(2 E ) auf E gewonnen werden, wobei H = H S gilt. Beweis 1. Es sei S ein Hüllensystem auf X. Zu zeigen: H S erfüllt als Hüllenoperator die Axiome (Hu1-3), und H S (2 E ) = S. (Hu1): es gilt H S (X) X, da H S (X) der Durchschnitt von Mengen Y ist, die alle Y X erfüllen. (Hu2): Aus X Y folgt { A S A X } { A S A Y } und damit für den Durchschnitt H S (X) H S (Y ). (Hu3): H S (H S (X)) H S (X) folgt aus (Hu1) angewandt auf H S (X). Da S ein Hüllensystem ist, folgt H S (X) S. Somit nimmt H S (X) als Y am Durchschnitt für H S (H S (X)) teil und H S (H S (X)) H S (X) folgt. H S (2 E ) = S: sei X S, dann ist H S (X) = X (X nimmt am Durchschnitt teil), also X H S (2 E ). Andersherum ist jedes Element von H S (2 E ) ein Durchschnitt von Elementen des Hüllensystems S und daher selbst in S. 2. Sei nun umgekehrt H ein Hüllenoperator H auf E. Zu zeigen ist, dass S := H(2 E ) ein Hüllensystem auf E ist und H = H S gilt. Für alle X S = H(2 E ) gilt H(X) = X: denn es gibt ein Y E mit X = H(Y ) und nach (Hu3) ist dann H(X) = H(H(Y )) = H(Y ) = X. Wir zeigen für beliebige S S, dass D := S E Element von S ist. Wegen (Hu1) ist D H(D) S. Für alle X S ist D = X X und mit (Hu2) dann H(D) H(X) = X. Folglich gilt dies auch für den Durchschnitt: H(D) X S X = D. Nun haben wir gezeigt, dass D = H(D) H(2 E ) = S. S ist also ein Hüllensystem. Nun zeigen wir für beliebige X E, dass H(X) = H S (X). Da S ein Mengensystem ist, gilt H S (X) = Y S,X Y S und (s.o.) auch H(H S(X)) = H S (X). Daraus folgt mit X H S (X) und (Hu2) dann H(X) H S (X). Weiter ist H(X) S, daher ist H S (H(X)) = H(X). Aus (Hu1), X H(X), folgt daraus mit (Hu2) für H S dann H S (X) H S (H(X)) = H(X) und schließlich H(X) = H S (X). Folgerung Der Abschlussoperator cl eines Matroids ist ein Hüllenoperator auf 2 E. Das System der Unterräume F ist ein Hüllensystem, cl = H F und F = cl (2 E ). Matroidtheorie, WS 2010/11 11 UHH, Dr. Nico Düvelmeyer

12 Stand: K2:Rev: 525, 5. April 2011 KAPITEL 2. AXIOMENSYSTEME Axiome der Unterräume für beliebige Matroide Satz Das System F 2 E ist genau dann das System der Unterräume eines Matroids (E, ), falls folgende Axiome erfüllt sind: (F1) F ist ein Hüllensystem von E. (F2) (FM) Wenn U F und t E \ U sowie U der kleinste Unterraum aus F ist, der U {t} enthält, so gibt es kein U F mit U U U. Das System I := { I E x I U F : I \ {x} = I U } erfüllt (M). In diesem Fall ist das in (FM) angegebene System I das System der unabhängigen Mengen und H F der Abschlussoperator des Matroids. Beweis Wir benutzen Satz 2.4 und werden folgendes zeigen: 1. Wenn F = { U : cl U = U } das System der Unterräume eines Matroids (M, I) mit Abschlussoperator cl ist, so gilt (F1), (F2) und (FM). Weiterhin ist dann I = { I E x I U F : I \ {x} = I U }. 2. Wenn F 2 E die Axiome (F1), (F2) und (FM) erfüllt, so erfüllt cl := H F die Axiome (CL1-4,CLM) und ist daher Abschlussoperator eines Matroids (E, I) mit I = { I E x I : x / cl (I \ {x}) }. Dann ist F das System der Unterräume dieses Matroid. Es gilt dabei auch I = { I E x I U F : I \ {x} = I U }. Beweis: 1. Aufgrund von (CL1-3) ist cl ein Hüllenoperator. Dann ist F = cl (2 E ) nach Satz 2.10 ein Hüllensystem, (F1) gilt also, und weiter ist cl = H F. Nach Satz 2.4 ist Daraus folgt I = { I E x I : x / cl (I \ {x}) }. I = { I E x I : x / H F (I \ {x}) } = { I E x I U F : x / U, I \ {x} U } = { I E x I U F : I \ {x} = I U }. Folglich gilt (FM) (nach (CLM) oder auch (IM)). Es bleibt (F2) zu zeigen. Dafür sei U F und t E \ U. Dann ist U := cl(u {t}) der kleinste Unterraum aus F, der U {t} enthält. Weiterhin sei U F mit U U U. Damit gibt es ein y U \ U = cl(u {t}) \ cl U. Nach (FCL4) ist damit t cl(u {y}) cl (U ) = U U. Aufgrund der Minimalität von U ist damit U = U wie gewünscht. 2. Ausgehend vom Hüllensystem F 2 E ist cl := H F ein Hüllenoperator mit F = cl(2 E ) nach Satz 2.10 und erfüllt daher (CL1-3). Zum Nachweis vom (CL4) sei Z E, x E und y cl(z {x}) \ cl Z. Wir setzen U := cl Z F, U := cl(z {x}) F, U 3 := cl(z {y}) F und U := U 3 U F. Damit ist y U \ U und U U U und nach (F2) dann U = U. Es folgt x U = U U 3 wie gewünscht für (CL4). Wie oben gezeigt ist das System I von (CLM) identisch mit dem von (FM), so dass (CLM) aus (FM) folgt und (E, I) ein Matroid mit Abschlussoperator cl und F = cl(2 E ) als System der Unterräume ist. 2.7 Axiome der Hyperebenen Definition Hyperebenen Definition 6. Eine Hyperebene ist ein maximaler nicht-trivialer Unterraum H (F \ {E}) max =:H. Matroidtheorie, WS 2010/11 12 UHH, Dr. Nico Düvelmeyer

13 Stand: K2:Rev: 525, 5. April 2011 KAPITEL 2. AXIOMENSYSTEME Äquivalente Definition Hyperebenen Satz Die Hyperebenen sind genau die maximalen nicht-aufspannenden Teilmengen von E: H = ( S) max, wobei S gerade für das System der aufspannenden Teilmengen steht und gilt: S := { S E : cl(s) = E } = B = I max. Äquivalente Definition Unterräume? Satz Gegeben sei eine beliebige Menge E. Dann gilt F = { H : H H }. Genauer: jeder Unterraum U F ist der Durchschnitt von r(e U) Hyperebenen. Beweis endlicher Fall: Oxley, Prop , Page 58 allgemein: siehe Ergänzung (dt.) Beobachtung 1.5 Axiome der Hyperebenen für endliche Matroide Satz Gegeben sei eine endliche Menge E. Das System H 2 E ist genau dann das System der Hyperebenen eines Matroids (E, ), falls folgende Axiome erfüllt sind: (FHy1) E / H. (FHy2) H 1, H 2 H mit H 1 H 2 impliziert H 1 = H 2. (FHy3) Für beliebige H 1, H 2 H mit H 1 H 2 und e E gibt es stets H 3 H mit (H 1 H 2 ) {e} H 3. In diesem Fall ist { H : H H } das System der Unterräume des Matroids. Matroidtheorie, WS 2010/11 13 UHH, Dr. Nico Düvelmeyer

14 Kapitel 3 Mengensystem- und Matroidkonstruktionen 3.1 Mengensystemoperationen Haupt-Mengensystemoperationen Für ein System I 2 E bezeichnen wir den unteren Abschluss von I mit I := { J I : I I }. den oberen Abschluss von I mit I := { J E I I : I J }. das System der (inklusions-) maximalen Elemente von I mit I max = { I I : J I : I J }. das System der (inklusions-) minimalen Elemente von I mit I min = { I I : J I : J I }. die logische Negation von I mit I= 2 E \ I = I. das Komplementesystem von I mit K(I)= { E \ I : I I } = { I : I I }. Neben-Mengensystemoperationen Für ein System I 2 E kennen wir das System von beliebigen Durchschnitten { H : H I }. das System der nicht-trivialen maximalen Elemente (I \ {E}) max =: I max. Für ein System I 2 E bezeichnen wir die Einschränkung von I auf X E mit I X := I 2 X { I X : I I }. Einfache Eigenschaften der Haupt-Mengensystemoperationen 1. und K sind Involutionen, d.h., = K K = Id. 2. max = max max und min = min min sind idempotent. 3. K = K. 4. max = K min K. 5. = K K. 6. und sind Hüllenoperatoren. 14

15 Stand: K3:Rev: 723, 5. April 2011 KAPITEL 3. KONSTRUKTIONEN 3.2 Besondere Mengensysteme Typen von Mengensystemen Sei A B E beliebig. Unter den Mengensystemen I 2 E unterscheiden wir Antiketten: X, Y I, X Y impliziert X = Y kein ++ : niemals ist A I und B I unteres System: I = I kein -+ : niemals ist A / I und B I oberes System: I = I kein +- : niemals ist A I und B / I Operation K: Vertauschen von A B, d.h. Reihenfolge tauschen Operation : Vertauschen von /, d.h. + Hüllensysteme (allgemeiner Verband, engl: lattice) gute obere/untere Systeme Systeme I 2 E nennen wir: gutes unteres System: falls I = I max gilt d.h., I ist unteres System, I I mit I I max gutes oberes System: I = I min (M) X E : I X (I X) max grob: I X ist ein gutes unteres System. 3.3 Übergang der Systemtypen unter Haupt- Mengensystemoperationen Kommutative Diagramme Lemma 3.1. Sei B 2 E eine Antikette. Dann 1. ist B min = B. 2. ist B max = B. Beweis 1. Für b B ist b B und aus b b, b B folgt b b für ein b B. Somit b b und damit b = b = b, daher ist b B min. Für b B min ist b b mit b B B. Da b aber minimal ist, folgt b = b B. 2. B max = ( max )(B) = ((K min K) (K K))(B) = (K ( min ))(K(B)) = K(K(B)) = B da K(B) wieder eine Antikette ist. Matroidtheorie, WS 2010/11 15 UHH, Dr. Nico Düvelmeyer

16 Stand: K3:Rev: 723, 5. April 2011 KAPITEL 3. KONSTRUKTIONEN Abgeschlossenheit Lemma 3.2. Sei X, I, B, S 2 E, wobei I ein (gutes) unteres, S ein (gutes) oberes System und B eine Antikette ist. Dann 1. sind X min, X max Antiketten. 2. ist B gutes oberes System, B gutes unteres System. 3. ist S = S und I = I. 4. ist I und S jeweils trivial. 5. ist K(B) Antikette. 6. ist K(I) (gutes) oberes System und K(S) (gutes) unteres System. 7. ist I oberes System und S unteres System. 8. ist B im allg. weder Antikette, noch oberes oder unteres System. 3.4 Matroidleiter Kommutative Diagramme cl H F Im F max min min C I I B S S H max max K K K K K K K max ( S) max S B I ( I) C min min H 3.5 Von I zu B und zurück Vergleich Axiomensysteme unteres System I = B (I1) I I. (I3) Falls I I \ I max und J I max, so gibt es ein x J \ I mit I {x} I. (I2+IM)I X ist ein gutes unteres System für alle X E. Antikette B = I max (B1) B =. (B2) Falls B 1, B 2 B und x B 1 \ B 2 ist, so gibt es ein y B 2 \ B 1 mit (B 1 \ {x}) {y} B. (BM) Das System B erfüllt (M), d.h. B X ist ein gutes unteres System für alle X E. Matroidtheorie, WS 2010/11 16 UHH, Dr. Nico Düvelmeyer

17 Stand: K3:Rev: 723, 5. April 2011 KAPITEL 3. KONSTRUKTIONEN Von (I3) zu (B2) I erfüllt (I*), B := I max gegeben B 1, B 2 B und x B 1 \ B 2 gesucht y B 2 \ B 1 mit (B 1 \ {x}) {y} B (I3) liefert y B 2 \ B 1 mit I := (B 1 \ {x}) {y} I. Falls aber I nicht maximal war, kann I wegen (I3) durch x B 1 \ I ergänzt werden, Widerspruch zur Maximalität von B 1. Von (B2) zu (I3) B erfüllt (B*), I := B gegeben I I \ I max und J I max gesucht x J \ I mit I {x} I Wegen I = B ist I B mit B B, also gibt es ein z B \ I. Falls z J, so x := z. Sonst liefert (B2) zu z B \ J ein x J \ B mit B := B \ {z} {x} B. Aber I {x} B und x J \ I. 3.6 Das duale Matroid Das Axiom (I3 ) (I3 ) Falls I I und J I max, so gibt es ein B I max mit I B I J. gilt für Matroide kann im Axiomensystem das schwächere (I3) ersetzen Das duale Matroid Satz 3.3. Wenn M = (E, I) ein Matroid ist, so ist mit B := I max, B := K(B), und I := B auch M := (E, I ) ein Matroid. Definition 7. M heißt das duale Matroid von M. Wir nennen die Basen, die unabhängigen Mengen, die Kreise, etc., von M die Kobasen, kounabhängigen Mengen, Kokreise, etc., von M und bezeichnen sie mit B, I, C,.... Folgerung: (M ) = M. Matroidtheorie, WS 2010/11 17 UHH, Dr. Nico Düvelmeyer

18 Stand: K3:Rev: 723, 5. April 2011 KAPITEL 3. KONSTRUKTIONEN Folgerung: Das duale Axiom zu (B2) (B2 ) Falls B 1, B 2 B und x B 1 \ B 2 ist, so gibt es ein y B 2 \ B 1 mit (B 2 {x}) \ {y} B. gilt für Matroide kann für endliche E das (B2) ersetzen 3.7 Einschränkung und Minoren Ein Lemma Lemma 3.4. Es sei (E, I) ein Matroid, X E und B I max. Dann ist B X genau dann maximal in I X, wenn B X maximal in I X ist. Die Einschränkung eines Matroids Satz 3.5. Wenn M = (E, I) ein Matroid ist und X E, so ist auch M X := (X, I X) ein Matroid. Begriffe Definition 8. M X =: M X heißt die Einschränkung von M auf X und auch der Minor von M, der durch Löschen von X entsteht. Dual dazu heißt M.X := M/X := (M X) die Kontraktion von M auf X und auch der Minor von M, der durch Kontrahieren von X entsteht. Ein Minor von M ist ein Matroid, welches durch eine endliche Folge von Einschränkungen und Löschungen aus M hervorgeht. Basen in der Einschränkung und Kontraktion Lemma 3.6. Für ein Matroid M mit Basen B und alle Mengen I X E sind folgende Aussagen äquivalent: 1. I ist eine Basis von M.X. 2. Es gibt eine Basis J von M X, so dass I J B. 3. Für alle Basen J von M X ist I J B. Unabhängigkeit in der Einschränkung und Kontraktion Folgerung 3.7. Für ein Matroid M = (E, I) ist eine Menge I X E genau dann unabhängig in M.X, wenn I J I für jede unabhängige Menge J von M X gilt. 3.8 Von I zu cl und zurück Der Abschluss lokaler Basen cl(x) = X { x E I I, I X, I {x} / I } Lemma 3.8. Wenn B (I X) max, so ist cl(x) = cl(b). Folglich ist cl(x) = B { x E B {x} / I }. Matroidtheorie, WS 2010/11 18 UHH, Dr. Nico Düvelmeyer

19 Stand: K3:Rev: 723, 5. April 2011 KAPITEL 3. KONSTRUKTIONEN Vergleich Axiomensysteme Mengensystem I = { I E x I : x / cl (I \ {x}) } (I1) I. (I2) I = I. (I3) I I \ I max, J I max x J \ I mit I {x} I. (IM) X E : I X (I X) max. Mengenoperator cl = X X { x E I I, I X, I {x} / I } (CL1) X cl(x). (CL2) X Y cl(x) cl(y ). (CL3) cl(cl(x)) = cl(x). (CL4) y cl(z {x}) \ cl(z) x cl(z {y}). (CLM) I := { I E x I : x / cl (I \ {x}) } erfüllt (M). 3.9 Von I zu C und zurück Gleichmächtigkeit von Basen die fast übereinstimmen Lemma 3.9. Wenn für zwei Basen B, B eines Matroids B \ B endlich ist, so ist B \ B = B \ B. Fundamentalkreis Lemma Für ein Matroid M = (E, I) sei I I und e E mit I {e} / I. Dann gibt es einen Kreis C M (I, e) I {e}. Dabei ist e C M (I, e). Beweis C M (I, e) := { x I {e} : I {e} \ {x} I } Lemma und Definition C M (I, e) ist eindeutig und wird Fundamentalkreis von I und e genannt. Folgerung Jede abhängige Menge enthält einen Kreis. Matroidtheorie, WS 2010/11 19 UHH, Dr. Nico Düvelmeyer

20 Stand: K3:Rev: 723, 5. April 2011 KAPITEL 3. KONSTRUKTIONEN Vergleich Axiomensysteme Mengensystem I = C (I1) I. (I2) I = I. (I3) I I \ I max, J I max x J \ I mit I {x} I. (IM) X E : I X (I X) max. Mengensystem C = ( I) min (C1) / C. (C2) K 1, K 2 C, K 1 K 2 K 1 = K 2. (C3) K C, X K, ( x, y X : K x C, x K y x = y), z K \ ( x X K x) K C mit z K ( K x X K x) \ X. (CM) C erfüllt (M) Von I zum relativen Rang und zurück Wohldefiniertheit r(a B) = max{ I \ J : A I J, I I, J (I 2 B ) max } Lemma Für alle B A E gibt es J (I B) max und I (I A) max mit J I. Alle solchen I, J erfüllen r(a B) = I \ J. Rang für Minoren Lemma Sei Y X E und r die relativer-rang-funktion von (M X)/Y. Dann gilt für alle Y B A X, dass r (A \ Y B \ Y ) = r(a B). Vergleich Axiomensysteme Mengensystem I = { I E x I : r(i I \ {x}) > 0 } (I1) I. (I2) I = I. (I3) I I \ I max, J I max x J \ I mit I {x} I. (IM) X E : I X (I X) max. Mengen-Bi-Funktional r( ) : (2 E 2 E ) N 0 { }, (A, B) max{ I \ J : A I J, I I, J (I 2 B ) max } (R1) (R2) (R3) r(a B) A \ B. r(a A B) r(a B B). r(a C) = r(a B) + r(b C). (R4) ( γ : B A γ E, r(a γ B) = 0) r( γ A γ B) = 0. (RM) { I E x I : r(i I \ {x}) > 0 } erfüllt (M). Matroidtheorie, WS 2010/11 20 UHH, Dr. Nico Düvelmeyer

21 Kapitel 4 Beispiele von Matroiden 4.1 Finitäre Matroide Zorn s Lemma Äquivalent zum Auswahlaxiom ist: Satz 4.1 (Lemma von Zorn). Wenn (X, ) eine nicht-leere partiell geordnete Menge ist (d.h. ist transitive, reflexive und antisymmetrische Relation auf X ) und wenn jede Kette (total geordnete Teilmenge) von X eine obere Schranke in X hat, so besitzt X mindestens ein maximales Element. Finitäre Matroide Definition 9. Ein Matroid M = (E, I) heißt finitär, wenn (FI4) Ist jede endliche Teilmenge von I E in I, so ist auch I I. gilt. Satz 4.2. (E, I) ist genau dann ein finitäres Matroid, wenn gilt: (FI1) I. (FI2) I = I. (FI3) I, J I, I < J < x J \ I : I {x} I. (FI4) ( J I : J < J I ) I I. Kreise finitärer Matroide Satz 4.3. Ein Matroid ist genau dann finitär, wenn alle seine Kreise endlich sind. Dass alle Elemente von I bzw. B endlich sind ist für finitäre Matroide hinreichend, aber im allgemeinen nicht notwendig. Uniforme Matroide Definition 10. Für beliebige Mengen E und ganze Zahlen r 0 ist U r,e := (E, { I E : I r }) ein finitäres Matroid, genannt das r-uniforme Matroid auf E. U r,n := U r,{1,...,n} ist das r-uniforme Matroid auf n Elementen. Das freie Matroid auf E ist (E, 2 E ) = (U 0,E ). 21

22 Stand: K4:Rev: 722, 5. April 2011 KAPITEL 4. BEISPIELE VON MATROIDEN Isomorphie Definition 11. Zwei Matroide M 1 = (E 1, I 1 ) und M 2 = (E 2, I 2 ) heißen isomorph, M 1 = M2, wenn es eine Bijektion φ : E 1 E 2 gibt mit I I 1 φ(i) := { φ(i) : i I } I 2. Lineare Matroide V : Vektorraum über algebraischem Körper K (a i ) i E : Familie von Elementen aus V Linearkombination: endliche Indexmenge I E, Koeffizienten λ i K (i I), i I λ ia i V ist Linearkombination von (a i ) i E lin. unabhängig: es gibt keine nicht-triviale Linearkombination, die gleich 0 V ist. Satz 4.4. Für jeden Vektorraum V über einem Körper K und jede Familie (a i ) i E von Elementen aus V ist M := (E, I) mit I := { J E : (a i ) i J ist linear unabhängig } ein finitäres Matroid. Definition 12. Solche Matroide heißen Lineares Matroid, K-linear und auch darstellbar (über K). Die Familie (a i ) i E und auch die Funktion E V, i a i, heißt dann Darstellung bzw. Koordinatisierung von M in V über K. Z 2 -lineare Matroide heißen auch binär. Regulär heißt ein Matroid, wenn es K-linear für alle K ist. Definition 13. Ist (a i ) i E die Familie der Spalten einer Matrix A, E := {1,..., n}, so schreiben wir (E, I) =: M[A]. Ist dagegen E := V und a i := i, so schreiben wir (V, I) =: M(V ). Folgerung 4.5. Sind alle a i, i E, verschieden, so ist (E, I) isomorph zu M(V ) { a i : i I }. Fano-Matroid Beispiel 4.6. Das Fano-Matroid ist das Vektor-Matroid über K = Z 2, das von den von Null verschiedenen Vektoren aus K 3 gebildet wird: F 7 := M[A], A = Dualität und lineare Matroide Satz 4.7. Sei M = (E, I) ein K-lineares Matroid. 1. Ist E =, so ist M im allgemeinen nicht linear. 2. Ist n = E <, so ist M wieder K-linear. Dann gibt es eine Matrix D K m (n m) mit m = R(E), M = M[E m D] und M = M[D T E n m ]. Matroidtheorie, WS 2010/11 22 UHH, Dr. Nico Düvelmeyer

23 Stand: K4:Rev: 722, 5. April 2011 KAPITEL 4. BEISPIELE VON MATROIDEN Darstellbarkeit und Minoren Folgerung 4.8. Minoren von endlichen K-linearen Matroide sind wieder K-linear. Satz 4.9 (Tutte). Ein endliches Matroid M ist genau dann binär, wenn M keinen U 2,4 -Minor hat, d.h. wenn kein Minor von M isomorph zu U 2,4 ist. Beweis Schrijver, Theorem Satz Ein endliches Matroid ist genau dann über Z 3 darstellbar, wenn es keinen zu U 2,5, U 3,5, F 7 oder F7 isomorphen Minor besitzt. Beweis Oxley, Theorem 6.5.7, Seite 204 Satz Ein endliches Matroid ist genau dann regulär, wenn es keinen zu U 2,4, F 7 oder F 7 isomorphen Minor besitzt. Beweis Oxley, Theorem 6.6.4, Seite 213 Kreis-Matroid Es sei G = (V, E) ein (Multi-)Graph und K ein beliebiger Körper. Beispiel Wir betrachten den Vektorraum K V über K und die Vektoren a e K V. Für eine Schlinge e setzen wir a e = 0. Sonst orientieren wir willkürlich die Enden u, v der Kante e und definieren a e (u) = 1, a e (v) = 1 und a e (w) = 0 für w / {u, v}. Die Familie (a e ) e E ergibt in K V über K ein lineares Matroid (E, I), genannt das Endliche-Kreise- Matroid M FC (G). Folgerung von G. 1. Die Kreise von M FC (G) sind genau die Kantenmengen der (endlichen) Kreise 2. Für alle Körper K ergibt sich das selbe Matroid (E, I). 3. Endliche-Kreise-Matroide sind regulär und finitär. 4. Die unabhängigen Mengen in M FC (G) sind die Kantenmengen von Teil-Wäldern. Begriffe von Kreismatroiden für alle Matroide Definition 14. Ein einem beliebigen Matroid heißt e E eine Schlinge, falls {e} ein Kreis ist. Zwei verschiedene Elemente e, f E heißen parallel, wenn {e, f} ein Kreis ist. Ein Matroid ohne Schlingen und parallele Elemente heißt einfach. In einem Matroid heißen zwei Elemente e, f E zusammenhängend, wenn es einen Kreis gibt, der e und f enthält. Ein Matroid heißt zusammenhängend, wenn je zwei Elemente zusammenhängend sind. Schnitt-Matroid Beispiel Es sei G = (V, E) ein (Multi-)Graph. Dann bilden die (Kantenmengen der) endlichen Minimalschnitte ein finitäres Matroid M FB (G), genannt das finitäre Schnitt-Matroid. Satz Für endliche Graphen G ist M FC (G) = M FB (G). Matroidtheorie, WS 2010/11 23 UHH, Dr. Nico Düvelmeyer

24 Stand: K4:Rev: 722, 5. April 2011 KAPITEL 4. BEISPIELE VON MATROIDEN 4.2 Nicht finitäre Matroide Es sei G = (V, E) ein (Multi-)Graph. Definition 15. Wir definieren das Topologische-Kreise-Matroid als M C (G) := M FB (G) Schnitt-Matroid als M B (G) := M FC (G). und das Hinweis: Lesekurs Graph Theory, Diestel, Fourth Edition 2010, in Kapitel 8 die Abschnitte 1,4,5. Kokreischarakterisierung durch Kreise Satz Die Kokreise eines Matroids M = (E, I) sind genau die minimalen nicht-leeren Teilmengen D von E, die C D 1 für alle Kreise C von M erfüllen. Beweis Siehe auch Schrijver, Abschnitt 39.6a. Es wird gezeigt: Für einen Kreise C und Kokreis D gilt C D 1. Wenn D E und C C : C D 1 gilt, so ist D koabhängig. Schnitt-Matroid Satz Die Kreise von M B (G) sind genau die (endlichen und unendlichen) Minimal-Schnitte von G. Gute Graphen: lokal endlich Definition 16. Ein Graph heißt lokal endlich, wenn jede Ecke nur mit endlich vielen Kanten inzidiert. Definition 17. Die Freudenthal-Kompaktifizierung G entsteht aus (den Ecken und den Kanten als Kopien von (0, 1) von) G durch Hinzufügen der Enden und entsprechende Verknüpfungen. Ein topologischer Kreis in einem topologischen Raum ist ein Teilraum, der homöomorph zur Einheitskreislinie ist. M C (G) für lokal endliche Graphen Definition 18. Ein topologisch aufspannender Wald von G ist ein Standard-Teilraum (d.h. der Abschluss in G von einem Teilgraph von G eingebettet in G ), der jede Ecke (und damit auch alle Enden) enthält, bogenzusammenhängend innerhalb jeder Zusammenhangskomponente von G ist, und bei dem der Zusammenhang durch Entfernen einer beliebigen Kante zerstört wird. Satz Für lokal endliche Graphen sind die Kreise von M C (G) genau die Kantenmengen der topologischen Kreise von G. Die Basen von M C (G) sind dann genau die Kantenmengen der topologischen aufspannenden Wälder von G. Matroidtheorie, WS 2010/11 24 UHH, Dr. Nico Düvelmeyer

25 Stand: K4:Rev: 722, 5. April 2011 KAPITEL 4. BEISPIELE VON MATROIDEN M C (G) für beliebige Graphen Satz Für einen zusammenhängenden Graphen G gibt es einen topologischer Raum G auf G ergänzt mit den Kanten-Enden von G, so dass die Kreise von M C (G) genau die Kantenmengen der topologischen Kreise von G sind. Die Basen von M C (G) sind dann genau die Kantenmengen der topologischen Spannbäume von G. Hier sind die topologischen Spannbäume von G die Standard-Teilräume von G, die Pfadzusammenhängend sind, alle Ecken von G aber keinen topologischen Kreis enthalten. Die Kreise von M C (G) sind wieder homöomorphe Einheitskreislinien. Diese sind intuitiv aber keine Kreise mehr in G, auch wenn sie endlich sind. G ist nicht (notwendig) ein Hausdorff-Raum, in welchen sich je 2 Punkte durch disjunkte offene Umgebungen trennen lassen. Vor. an ebene Graphen mit Dualität Definition 19. Ein Graph G heißt endlich trennbar, wenn je zwei Ecken durch endlich viele Kanten getrennt werden können. Der topologische Raum G ist der Quotientenraum von G, wenn man alle Enden mit Ecken identifiziert, die nicht durch endlich viele Kanten getrennt werden können. Satz Für endlich trennbare Graphen sind die Kreise von M C (G) genau die Kantenmengen der topologischen Kreise von G. Charakterisierung ebener Graphen durch Matroide Definition 20. Ein ebener Graph ist ein Graph, der überschneidungsfrei im R 2 durch Polygonzüge gezeichnet ist. Ein Graph heißt plättbar, wenn er isomorph zu einem ebenen Graph ist. Satz 4.21 (Satz von Whitney (verallgemeinert)). Ein endlich trennbarer Graph G ist genau dann plättbar, wenn (M C (G)) isomorph zu M FC (G ) für einen geeigneten endlich trennbaren Graph G ist (kurz: (M C (G)) ist endlich-graphisch) Verallgemeinerte Lineare Abhängigkeit Dünne Mengen K: (algebraischer) Körper A: beliebige Menge V : Vektorraum V := K A Elemente von V : Funktionen A K Definition 21. Eine Familie (f i ) i I von Elementen f i V heißt dünn, wenn für alle a A für fast alle i I gilt f i (a) = 0: { i I : f i (a) 0 } < a A Dann ist die unendliche Summe i I f i V punktweise definiert. Matroidtheorie, WS 2010/11 25 UHH, Dr. Nico Düvelmeyer

26 Stand: K4:Rev: 722, 5. April 2011 KAPITEL 4. BEISPIELE VON MATROIDEN Dünne Abhängigkeit K: (algebraischer) Körper A: beliebige Menge V : Vektorraum V := K A E: beliebige Menge (f i ) i E : Familie von Elementen aus V (nicht notwendig dünn) dünne Linearkombination: Indexmenge I E, so dass (f i ) i I dünn ist, Koeffizienten λ i K (i I), i I λ if i V ist dünne Linearkombination von (f i ) i E Definition 22. Eine Familie (f i ) i E heißt dünn unabhängig, falls es gibt keine nicht-triviale (trivial: alle λ i = 0) dünne Linearkombination von (f i ) i E gibt, die gleich 0 V ist. Matroid der dünnen Unabhängigkeit Satz Für jeden Vektorraum V = K A über einem Körper K und jede dünne Familie (f i ) i E von Elementen aus V ist M := (E, I) mit ein Matroid. I := { J E : (f i ) i J ist dünn unabhängig } Für beliebige Familien aus V bilden die dünn unabhängigen Teilmengen nicht unbedingt ein Matroid. Bezeichnung Definition 23. Matroide, die in obiger Weise aus dünnen Familie (f i ) i E dünne-summen-matroid und auch dünn darstellbar (über K). gewonnen werden, heißen Darstellung eines Graphen mit dünner Unabhängigkeit Beispiel Es sei G = (V, E) ein lokal endlicher (Multi-)Graph und K ein beliebiger Körper. Wir betrachten den Vektorraum K V über K und die Vektoren a e K V. Für eine Schlinge e setzen wir a e = 0. Sonst orientieren wir willkürlich die Enden u, v der Kante e und definieren a e (u) = 1, a e (v) = 1 und a e (w) = 0 für w / {u, v}. Dann ist die Familie (a e ) e E dünn. Das entsprechende dünne-summen-matroid (E, I), nennen wir das Algebraische-Kreise-Matroid M AC (G). Eigenschaften M AC (G) Folgerung Die Kreise von M AC (G) sind genau die minimalen nicht-leeren Kantenmengen von G, die in jeder Ecke von G den Grad 0 oder 2 induzieren. ( elementar algebraische Kreise) 2. Für alle Körper K ergibt sich das selbe Matroid (E, I). 3. Die Kreise von M AC (G) sind genau die endlichen Kreise von G und die Doppelstrahlen von G. Matroidtheorie, WS 2010/11 26 UHH, Dr. Nico Düvelmeyer

27 Stand: K4:Rev: 722, 5. April 2011 KAPITEL 4. BEISPIELE VON MATROIDEN Verallgemeinerung: nicht lokal-endliche Graphen Satz 4.25 (Higgs). Definiert man C als die minimalen nicht-leeren Kantenmengen von G, die in jeder Ecke von G den Grad 0 oder 2 induzieren, so erhalten wir ein Matroid (dann genannt M AC (G)) genau dann, wenn G keine Aufteilung vom Bean-Graph enthält: v S R z u Verallgemeinerung: höhere Dimension Zumindest über K = Z 2 (dann ist 1 = 1) kann man die selbe Konstruktion auch für die Menge E der Simplizes der Dimension k eines lokal endlichen abstrakten Simplizialkomplexes übertragen. A steht dann für die Menge der (k 1)-Simplizes, f i eines k-simplexes ist dessen Inzidenzfunktion. 4.3 Gegenbeispiele Weitere Axiome B-matroids version of Oxley Theorem A set I 2 E satisfies the independence axioms if and only if it satisfies the following four statements: (I1) I. (I2) I is closed under taking subsets. (IB) Whenever X E, the sets I 1, I 2 X are maximal elements of I 2 X, and x I 1 I 2, there exists an element y I 2 I 1 such that (I 1 x) + y is a maximal element of I 2 X. (IM) I satisfies (M). Alternative I-Axiome Theorem A set I 2 E satisfies the independence axioms if and only if it satisfies the following three statements: (I1 ) Every set X E has a subset that is maximal in I 2 X. (I2) I is closed under taking subsets. (I3 ) For all I I and I I max there is a B I max such that I B I I. remains valid if we replace its statement (I1 ) with (I1 ) Every set X E has a maximal subset I such that I I I for every I I 2 X. an alternative set of basis axioms Theorem A set B 2 E satisfies the basis axioms if and only if B satisfies the following three statements: (B0) No element of B is a subset of another. (B1 ) For every X E there is a B B such that B X is maximal in B 2 X. (B2 ) Whenever B 1, B 2 B and F 1 B 1 B 2, there exists F 2 B 2 B 1 such that (B 1 F 1 ) F 2 B. Matroidtheorie, WS 2010/11 27 UHH, Dr. Nico Düvelmeyer

28 Stand: K4:Rev: 722, 5. April 2011 KAPITEL 4. BEISPIELE VON MATROIDEN alternative rank axioms we need to define a notion of r-independent sets. We do so as in (RM). Thus, given any function r : (2 E 2 E ) N { }, a set I E is r-independent if r(i I x) > 0 for every x I. Theorem A function r : (2 E 2 E ) N { } satisfies the rank axioms if and only if r satisfies the following four statements: (R1) For all B A E we have r(a B) A B. (R2) For all A, B E we have r(a A B) r(a B B). (R3) For all C B A E we have r(a C) = r(a B) + r(b C). (R4 ) For all B A E there exist r-independent sets J I such that J B with r(b J) = 0 and I A with r(a I) = 0. stronger axiom than (CL4) (CL4 ) For all Z X E and y cl(x) cl(z) there exists an x X Z such that x cl((x x) + y). (For X Z = 1, axiom (CL4 ) yields axiom (C4).) Proposition 1. If cl: 2 E 2 E satisfies the closure axioms, it even satisfies (CL4 ). Einfacher Ersatz für (IM)? (I0) I has a maximal element Fast-Matroide Example Let E be infinite. The set I of finite subsets of E satisfies (I1) (I3), even (I3 ). But I has no maximal element, so it violates (IM) and (I1 ). matroids still live in the discrete world: Example The usual topological closure operator for subsets of R satisfies the closure axioms (CL1) (CL4) for E := R, but not (CLM). neither of our rank axioms (R4) and (RM) implies the other, given (R1) (R3). Example Let E be infinite. Given B A E define r(a B) := A B, with := 0. Then r satisfies (R1) (R4) but not (RM). Example Let E be infinite. Given B A E, let r(a B) be 0 if A and B are either both finite or both infinite, and 1 otherwise. Then r satisfies (R1) (R3) and (RM), but not (R4). skew transversal: exactly one point of each edge, only finitely in X. Example Let B be the set of skew transversals of the infinite matching G and let I = B, C = ( I) min and cl the closure opertor of I. (i) I satisfies (I0) (I3) and (I3 ), but not (I1 ) or (IM). (ii) B satisfies (B0) (B2) and (B2 ), but not (B1 ) or (BM). (iii) Not every dependent set contains a circuit. (iv) C satisfies (C1) (C3), but not (CM). (v) The operator cl satisfies (CL1) (CL4), but not (CLM). (vi) There is no relative rank function associated with I. Matroidtheorie, WS 2010/11 28 UHH, Dr. Nico Düvelmeyer

29 Stand: K4:Rev: 722, 5. April 2011 KAPITEL 4. BEISPIELE VON MATROIDEN the Bean graph only just fails to define a matroid Example Let C be the set of elementary algebraic cycles of the Bean graph, and let I = C, B = I max, cl the closure operator of I and r any rank function associated with I. (i) C satisfies (C1), (C2), (CM) and the usual finite circuit elimination axiom, but not the infinite elimination axiom (C3). (ii) Every dependent set contains a circuit. (iii) I satisfies (I0), (I1) (even (I1 )), (I2) and (IM), but not (I3) or (I3 ). (iv) B satisfies (B0), (B1) (even (B1 )) and (BM), but not (B2) or (B2 ). (v) The operator cl satisfies (CL1), (CL2), (CL4) and (CLM), but not (CL3). (vi) The function r satisfies (R1), (R2), (R4), (R4 ) and (RM), but not (R3). Matroidtheorie, WS 2010/11 29 UHH, Dr. Nico Düvelmeyer

30 Kapitel 5 Grundlegende Zusammenhänge 5.1 Basen Zusammenhängende Graphen Für endliche E heißen alle Matroide graphisch, die zu einem Endliche-Kreise-Matroid isomorph sind. Lemma 5.1. Jedes Endliche-Kreise-Matroid (Topologische-Kreise-Matroid, bzw. Algebraische-Kreise- Matroid) ist isomorph zu M FC (G) (M C (G) bzw. M AC (G)) für einen zusammenhängenden Graphen G. Gegenseitiger Basenaustausch Lemma 5.2. Es seien B 1, B 2 B und e B 1 \ B 2. Dann gibt es ein f B 2 \ B 1, so dass (B 1 \ {e}) {f}, (B 2 \ {f}) {e} B. Beweis C := C M (B 2, e) cl((b 1 C) \ {e}) = E, da cl((b 1 \ {e}) (C \ {e})) cl((b 1 \ {e}) {e}) = cl(b 1 ) = E. Damit gibt es B 3 B mit B 1 \ {e} B 3 (B 1 C) \ {e}. Folglich ist für f B 3 \ B 1 dann B 3 = (B 1 \ {e}) {f} B. Da f C \ {e} ist, enthält (B 2 \ {f}) {e} B 2 {e} keinen Kreis, und ist daher in B. 5.2 Rang Einschränkung Lemma B(M X) = { I I : I X, cl(i) = cl(x) } 2. C(M X) = C(M) X 3. r M X (A B) = r M (A B) 4. cl M X (A) = cl(a) X 5. F(M X) = { U X : U F(M) } 30

31 Stand: K5:Rev: 722, 5. April 2011 KAPITEL 5. GRUNDLEGENDE ZUSAMMENHÄNGE Beschreibung durch Rang Lemma falls I <, so I I R(I) = I 2. falls B <, so B B R(B) = B = R(E). 3. B B ( B I r(e B) = 0 ) 4. falls C <, so C C ( C e C : R(C \ {e}) = C 1 = R(C)) Beispiele: Rang, Unterräume und Hyperebenen Beispiel 5.5. Für M = U m,e ist R(X) = min(m, X ). F = { X : X < m X = E }, H = { X : X = m 1 } Für M = M[A] ist R(X) gleich dem Rang der Matrix A, eingeschränkt auf die Spalten X, und gleich der Dimension des aufgespannten linearen Teilraums. F besteht aus Spalten, die in linearen Teilräumen des R m liegen. Für endliche Graphen G = (V, K) und M = M FC (G) ist R(X) = V ω((v, X)), wobei ω(g ) die Anzahl der Zusammenhangskomponenten des Graphen G bezeichnet. Elemente von F sind Kantenmengen, die von keinem Kreis alle bis auf eine Kante enthalten. Dies gilt genau für die Vereinigungen von Kantenmengen von Untergraphen bezüglich einer Partitionierung der Ecken. Hyperebenen sind gerade die Komplemente von Minimalschnitten von G. Charakterisierung uniformer Matroide Beispiel 5.6. Ein endliches Matroid M ist genau dann uniform, wenn es keinen Kreis C mit C < R(M) + 1 gibt. 5.3 Abschlussoperator Abschluss und Rang Lemma 5.7. cl(x) = { x E : r(x {x} X) = 0 } r(cl (X) X) = 0 Charakterisierung S Lemma 5.8. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: S ist aufspannend (S S, cl S = E), r(e S) = 0, S B für ein B B, S H für kein H H. Matroidtheorie, WS 2010/11 31 UHH, Dr. Nico Düvelmeyer

32 Stand: K5:Rev: 722, 5. April 2011 KAPITEL 5. GRUNDLEGENDE ZUSAMMENHÄNGE Abschluss und Kreise Lemma C = { X x X : x cl(x \ {x})} min 2. cl X = X { x C C : x C X {x} } Lokale endliche Rangaxiome Satz Eine Funktion R( ) : 2 E N 0 ist genau dann die absoluter-rang-funktion eines endlichen Matroids auf E, wenn gilt: (FR1 ) R( ) = 0 (FR2 ) Für alle X E und x E gilt R(X) R(X {x}) R(X) + 1. (FR3 ) Für alle X E und x, y E mit R(X {x}) = R(X {y}) = R(X) gilt auch R(X {x, y}) = R(X). Aufweichen einer Kreis-Hyperebene Satz Wenn M ein Matroid mit X gleichzeitig als Kreis und als Hyperebene ist, dann bildet B = B(M) {X} das System der Basen eines Matroids M auf der selben Grundmenge E. Weiterhin ist dann das System der Kreise von M. C = (C(M) \ {X}) { X {e} : e E \ X } Wir nennen M Aufweichung (Englisch: relaxation) von M. Dual: Aufweichen einer Kreis-Hyperebene Satz Wenn M ein Matroid mit X gleichzeitig als Kreis und als Hyperebene und M dessen Aufweichung ist, so ist E \ X gleichzeitig Kreis und Hyperebene in M. Dessen Aufweichung (M ) ist dann dual zu M. 5.4 Greedy-Algorithmus Verallgemeinerung Kruskals Algorithmus Satz Es sei I 2 E ein nicht leeres unteres System auf einer endlichen Menge E, d.h. I = I. (E, I) ist genau dann ein Matroid, wenn für beliebige Gewichtsfunktionen ω : E R 0 der folgende Greedy-Algorithmus eine Element I I maximalen Gewichtes ω(i) := e I ω(e) liefert. 1. Setze I 0 :=. 2. Es sei I k für k 0 bereits gewählt. Wähle wenn möglich e k+1 so aus E \ I k, dass (a) I k {e k+1 } I und (b) dabei ω(e k+1 ) maximal ist. 3. Solange so ein e k gefunden wurde, setze I k+1 := I k {e k+1 } und wiederhole den letzten Schritt. 4. Wurde kein e k+1 mehr gefunden, so liefere I := I k als Ergebnis! Matroidtheorie, WS 2010/11 32 UHH, Dr. Nico Düvelmeyer

33 Stand: K5:Rev: 722, 5. April 2011 KAPITEL 5. GRUNDLEGENDE ZUSAMMENHÄNGE Beweis Teil 1 Der Greedy-Algorithmus liefert ein optimales I = {e 1,..., e k } = I k, falls (E, I) ein Matroid ist. 1. Es sei I = {f 1,..., f l } I beliebig mit ω(f 1 ) ω(f 2 ) ω(f l ). 2. Dann muss k l gelten, da sonst I k {f} I für ein f I \I die Existenz eines e k+1 sichergestellt hätte. 3. Für alle 1 i l gibt es wegen (FI3) und I i 1, {f 1,..., f i } I ein j {1,..., i} mit f j {f 1,..., f i } \ I i 1 und I i 1 {f j } I. Aufgrund der Wahl von e i ist damit ω(e i ) ω(f j ) ω(f i ). 4. Daraus folgt l k l ω(i) = ω(e i ) + ω(e i ) ω(f i ) = ω(i ). i=1 i=l+1 i=1 Beweis Teil 2 Wenn der Greedy-Algorithmus immer ein optimales I liefert, so ist (E, I) ein Matroid. 1. Laut Voraussetzung gilt bereits (FI1) und (FI2). Wir zeigen noch (FI3), was mit E < ausreicht. 2. Sei also I, J I und k := I < J, und wir nehmen an, dass I {j} / I für alle j J \ I gilt. 3. Wir definieren dazu eine Gewichtsfunktion ω : E R 0 wie folgt: ω(x) = k + 2 für alle x I, ω(x) = k + 1 für alle x J \ I und ω(x) = 0 sonst. 4. Wegen (FI2) liefert der Greedy-Algorithmus für dieses ω nach den ersten k Schritten dann I k = I. In den folgenden Schritten können die Elemente aus J \ I nicht genommen werden, daher gilt für die Ausgabe I dann ω(i ) = ω(i) = k(k + 2). 5. Andererseits ist aber ω(j) J (k + 1) (k + 1) 2 > k(k + 2), dies ist ein Widerspruch zur Optimalität von I. 5.5 Transversalmatroide Transversalen Definition 24. Es sei (A i ) i I ein System von (nicht notwendig verschiedenen) Teilmengen einer Menge S. Eine Transversale von (A i ) i I ist das Bild T = { φ(i) : i I } einer injektiven Abbildung φ : I S mit φ(i) A i für alle i I. Eine partielle Transversale von (A i ) i I ist eine Transversale von (A i ) i J, wobei J I ist. Transversalmatroid Satz Das System I = I((A i ) i I ) der partiellen Transversalen des Systems (A i ) i I von Teilmengen einer endlichen Teilmenge S bildet ein Matroid (S, I). Satz Es sei G = (V, E) ein Graph, der keine unendlichen Matchings hat. Dann bildet das System I G derjenigen Eckenmenge I V, die von einem Matching überdeckt werden, ein finitäres Matroid (V, I G ). Für abzählbare lokal endliche bipartite Graphen auf V = A B entsteht ebenfalls ein finitäres Matroid (B, I G B). Für jedes Transversalmatroid gibt es ein Erzeugendensystem A, welches Transversalen hat. Die Basen dieses Matroids sind genau die Transversalen von A. Matroidtheorie, WS 2010/11 33 UHH, Dr. Nico Düvelmeyer