Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems
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1 Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems Falk Hüffner Friedrich-Schiller-Universität Jena Institut für Informatik 19. Dezember 2007 Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 1/33
2 Übersicht Datenreduktion Clique Cover Iterative Kompression Cluster Vertex Deletion Balanced Subgraph Farbkodierung Minimum-Weight Path Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 2/33
3 Schauspieler-Graph Harrison Ford John Rhys Davies Ian McKellen Alec Guinness Christopher Lee Cate Blanchett Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 3/33
4 Schauspieler-Graph Harrison Ford John Rhys Davies Ian McKellen Alec Guinness Christopher Lee Cate Blanchett Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 3/33
5 Schauspieler-Graph Harrison Ford John Rhys Davies Ian McKellen Alec Guinness Christopher Lee Cate Blanchett Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 3/33
6 Schauspieler-Graph Harrison Ford John Rhys Davies Ian McKellen Alec Guinness Christopher Lee Cate Blanchett Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 3/33
7 Schauspieler-Graph Harrison Ford John Rhys Davies Ian McKellen Alec Guinness Christopher Lee Cate Blanchett Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 3/33
8 Schauspieler-Graph Harrison Ford John Rhys Davies Ian McKellen Alec Guinness Christopher Lee Cate Blanchett Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 3/33
9 Clique Cover Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 4/33
10 Clique Cover Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 4/33
11 Clique Cover Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 4/33
12 Clique Cover Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 4/33
13 Clique Cover Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 4/33
14 Clique Cover Clique Cover Eingabe: Ein ungerichteter Graph G = (V, E). Aufgabe: Finde eine kleinstmögliche Zahl k von Cliquen, sodass jede Kante in mindestens einer Clique enthalten ist. Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 4/33
15 Clique Cover Anwendungen Compiler-Optimierung, geometrische Berechnungsprobleme, Statistik-Visualisierung,... Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 5/33
16 Clique Cover Anwendungen Compiler-Optimierung, geometrische Berechnungsprobleme, Statistik-Visualisierung,... Theorem ([Kellerman, IBM Tech. Discl. Bull., 1973]) Clique Cover ist NP-schwer. Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 5/33
17 NP-schwere Probleme In der theoretischen Informatik wird effizient lösbar mit in polynomiell beschränkter Zeit lösbar gleichgesetzt. Für keines der tausenden bekannten NP-schweren Probleme ist ein effizienter Lösungsalgorithmus bekannt. Vermutung: es gibt keine effizienten Lösungsalgorithmen! Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 6/33
18 Parametrisierte Komplexität Idee: Zweidimensionale Sichtweise Zusätzlich zur Eingabegröße n betrachte einen Parameter k. Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 7/33
19 Parametrisierte Komplexität Idee: Zweidimensionale Sichtweise Zusätzlich zur Eingabegröße n betrachte einen Parameter k. Definition Ein Problem ist festparameter-handhabbar, wenn eine Instanz der Größe n in Zeit f (k) n O(1) gelöst werden kann. Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 7/33
20 Einfache Datenreduktionsregeln für Clique Cover Regel 1 Lösche isolierte Knoten. Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 8/33
21 Einfache Datenreduktionsregeln für Clique Cover Regel 1 Lösche isolierte Knoten. Regel 2 Wenn eine Kante {u, v} nur in genau einer maximalen Clique C enthalten ist, dann füge C zur Lösung hinzu. Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 8/33
22 Gefangene/Ausgänge-Reduktionsregel für Clique Cover Partitioniere die Nachbarschaft eines Knoten v in: Gefangene p mit N(p) N(v) und Ausgänge x mit N(x) \ N(v). v Regel 3 Wenn alle Ausgänge mindestens einen Gefangenen als Nachbarn haben, dann lösche v. Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 9/33
23 Festparameter-Handhabbarkeit von Clique Cover Theorem Nach Anwendung aller Reduktionsregeln hat die Clique Cover-Instanz höchstens 2 k Knoten, d. h. Clique Cover hat einen Problemkern. Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 10/33
24 Festparameter-Handhabbarkeit von Clique Cover Theorem Nach Anwendung aller Reduktionsregeln hat die Clique Cover-Instanz höchstens 2 k Knoten, d. h. Clique Cover hat einen Problemkern. Korroloar Clique Cover ist festparameter-handhabbar bezüglich des Parameters k. Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 10/33
25 Clique Cover-Experimente Getreideertragsdaten Alle Testinstanzen mit bis zu 124 Knoten und Kanten wurden in < 1 s gelöst. Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 11/33
26 Clique Cover-Experimente Getreideertragsdaten Alle Testinstanzen mit bis zu 124 Knoten und Kanten wurden in < 1 s gelöst. Simulierte Getreideertragsdaten Unter 20 Sekunden für bis zu 300 Knoten. Zufallsgraphen Für Graphen mit wenigen Kanten (m n ln n): Knoten in 7 min gelöst, die meisten allein durch die Datenreduktion. Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 11/33
27 Cluster Vertex Deletion Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 12/33
28 Cluster Vertex Deletion Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 12/33
29 Cluster Vertex Deletion Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 12/33
30 Cluster Vertex Deletion Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 12/33
31 Cluster Vertex Deletion Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 12/33
32 Cluster Vertex Deletion Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 12/33
33 Cluster Vertex Deletion Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 12/33
34 Cluster Vertex Deletion Cluster Vertex Deletion Eingabe: Ein ungerichteter Graph G = (V, E). Aufgabe: Lösche eine kleinstmögliche Zahl k von Knoten, sodass ein Clustergraph übrig bleibt. Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 13/33
35 Cluster Vertex Deletion Cluster Vertex Deletion Eingabe: Ein ungerichteter Graph G = (V, E). Aufgabe: Lösche eine kleinstmögliche Zahl k von Knoten, sodass ein Clustergraph übrig bleibt. Lemma G ist Clustergraph G enthält keinen induzierten P 3 ( ) Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 13/33
36 Iterative Kompression Idee: Induktion Nimm an, dass wir bereits die Lösung für die Instanz ohne einen Knoten haben. Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 14/33
37 Iterative Kompression Idee: Induktion Nimm an, dass wir bereits die Lösung für die Instanz ohne einen Knoten haben. Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 14/33
38 Iterative Kompression Idee: Induktion Nimm an, dass wir bereits die Lösung für die Instanz ohne einen Knoten haben. Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 14/33
39 Iterative Kompression Idee: Induktion Nimm an, dass wir bereits die Lösung für die Instanz ohne einen Knoten haben. Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 14/33
40 Iterative Kompression Idee: Induktion Nimm an, dass wir bereits die Lösung für die Instanz ohne einen Knoten haben. Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 14/33
41 Cluster Vertex Deletion-Kompression S Lösche Knoten, die mit mehreren Clustern in S verbunden sind Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 15/33
42 Cluster Vertex Deletion-Kompression S Lösche Knoten, die mit nur einigen Knoten eines Clusters in S verbunden sind Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 15/33
43 Cluster Vertex Deletion-Kompression S Lösche Clique-Komponenten Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 15/33
44 Cluster Vertex Deletion-Kompression S Klassifikation nach Nachbarschaft Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 15/33
45 Cluster Vertex Deletion-Kompression S Matching-Instanz Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 15/33
46 Cluster Vertex Deletion-Kompression S Matching-Lösung Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 15/33
47 Cluster Vertex Deletion-Kompression S Gefundener Clustergraph Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 15/33
48 Cluster Vertex Deletion Theorem Cluster Vertex Deletion kann in Zeit O(2 k km n log n) gelöst werden. Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 16/33
49 Staatsbeziehungen GB ÖU GB ÖU GB ÖU F D F D F D R I R I R I Dreikaiserbund Dreibund 1882 Deutsch Russischer Streit 1890 GB ÖU GB ÖU GB ÖU F D F D F D R I R I R I Frz. Russisches Bündnis Entente cordiale 1904 Britisch Russisches Bündnis 1907 positive Beziehungen negative Beziehungen GB = Großbritannien F = Frankreich R = Russland ÖU = Österreich Ungarn D = Deutschland I = Italien Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 17/33
50 Balancierte Graphen Definition Ein Graph mit Kantenbeschriftungen = oder ist balanciert, wenn seine Knoten mit zwei Farben so eingefärbt werden können, dass die Relation entlang jeder Kante eingehalten wird. = = = Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 18/33
51 Balancierte Graphen Definition Ein Graph mit Kantenbeschriftungen = oder ist balanciert, wenn seine Knoten mit zwei Farben so eingefärbt werden können, dass die Relation entlang jeder Kante eingehalten wird. = = = Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 18/33
52 Balanced Subgraph = = = = = Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 19/33
53 Balanced Subgraph = = = = = Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 19/33
54 Balanced Subgraph = = = = = Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 19/33
55 Balanced Subgraph = = = = = Definition (Balanced Subgraph) Eingabe: Ein Graph mit Kantenbeschriftungen = oder. Aufgabe: Lösche möglichst wenig Kanten, sodass der Graph balanciert wird. Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 19/33
56 Anwendungen von Balanced Subgraph Balance in Sozialen Netzwerken [Harary, Mich. Math. J. 1953] Minimalenergiezustände in magnetischen Materialien (Spin-Gläser) [Kasteleyn, J. Math. Phys. 1963] Monotone Subsysteme in biologischen Netzwerken [DasGupta et al., WEA 2006] Portfolio-Risikoanalyse [Harary et al., IMA J. Manag. Math. 2002] Stabilität von Fullerenen [Došlić&Vikičević, Discr. Appl. Math. 2007] Entwurf integrierter Schaltungen [Chiang et al., IEEE Trans. CAD of IC&Sys. 2007] Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 20/33
57 Anwendungen von Balanced Subgraph Balance in Sozialen Netzwerken [Harary, Mich. Math. J. 1953] Minimalenergiezustände in magnetischen Materialien (Spin-Gläser) [Kasteleyn, J. Math. Phys. 1963] Monotone Subsysteme in biologischen Netzwerken [DasGupta et al., WEA 2006] Portfolio-Risikoanalyse [Harary et al., IMA J. Manag. Math. 2002] Stabilität von Fullerenen [Došlić&Vikičević, Discr. Appl. Math. 2007] Entwurf integrierter Schaltungen [Chiang et al., IEEE Trans. CAD of IC&Sys. 2007] Balanced Subgraph ist NP-schwer. Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 20/33
58 Datenreduktion n = 690, m = 1082 n = 144, m = 405 Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 21/33
59 Festparameter-Handhabbarkeit von Balanced Subgraph Theorem Mittels iterativer Kompression kann Balanced Subgraph in Zeit O(2 k m 2 ) gelöst werden. Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 22/33
60 Balanced Subgraph-Experimente Approximation Neuer Alg. Netzwerk n m k k t [min] k t [min] EGFR Hefe Macr Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 23/33
61 Balanced Subgraph-Experimente Approximation Neuer Alg. Netzwerk n m k k t [min] k t [min] EGFR Hefe Macr Ein Netzwerk mit 688 Knoten und Kanten konnte nicht gelöst werden. Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 23/33
62 Signalpfade in Proteininteraktionsnetzwerken Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 24/33
63 Signalpfade in Proteininteraktionsnetzwerken Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 24/33
64 Signalpfade Signalpfade Ein Signalpfad ist eine Folge unterschiedlicher Proteine, sodass jedes mit dem vorigen stark wechselwirkt. Minimum-Weight Path Eingabe: Graph G = (V, E), Gewicht w : E [0, 1], ganze Zahl k > 0 Aufgabe: Finde einen einfachen Pfad v 1,..., v k der Länge k in G, der w(v 1, v 2 ) w(v k 1, v k ) minimiert. Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 25/33
65 Hefenetzwerk Proteine, Interaktionen, gesucht Pfade der Länge 5 15 Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 26/33
66 Minimum-Weight Path Theorem Minimum-Weight Path ist NP-schwer [Garey&Johnson 1979]. Idee Nutze die Tatsache, dass die gesuchten Pfade relativ kurz sind ( 5 15): Beschränkung der kombinatorischen Explosion auf den Parameter Pfadlänge. Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 27/33
67 Farbkodierung Farbkodierung ist ein parametrisiertes Verfahren zur Lösung von Minimum-Weight Path Color-coding [Alon, Yuster & Zwick, J. ACM 1995] Färbe jeden Knoten des Graphen zufällig mit einer von k Farben Hoffe, dass die Knoten im optimalen Pfad alle unterschiedliche Farben erhalten (bunt) Löse Minimum-Weight Path unter dieser Annahme (was erheblich schneller geht) Wiederhole diese Versuche, bis mit hoher Wahrscheinlichkeit mindestens einmal der Pfad tatsächlich bunt war. Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 28/33
68 Mehr Farben Idee Benutze k x anstelle von k Farben. Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 29/33
69 Mehr Farben Idee Benutze k x anstelle von k Farben. Theorem Minimum-Weight Path kann in Zeit O( ln ε 4.32 k G) gelöst werden, indem man x = 0.3k setzt. Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 29/33
70 Mehr Farben Idee Benutze k x anstelle von k Farben. Theorem Minimum-Weight Path kann in Zeit O( ln ε 4.32 k G) gelöst werden, indem man x = 0.3k setzt. Aber: Höherer Speicherbedarf Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 29/33
71 Zustandsraumsuche Idee Fasse das dynamische Programmieren als Zustandsraumsuche auf (Kürzeste-Wege-Problem in einem implizit definierten Graphen). Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 30/33
72 Zustandsraumsuche Idee Fasse das dynamische Programmieren als Zustandsraumsuche auf (Kürzeste-Wege-Problem in einem implizit definierten Graphen). Heuristische Evaluationsfunktionen können Zustände wegschneiden können die Suche leiten (A*) Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 30/33
73 Hefenetzwerk Laufzeit [Sekunden] YEAST, Scott et al. (J. Comput. Biol. 2006) YEAST, neuer Algorithmus Pfadlänge Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 31/33
74 Freie software, erhältlich bei Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 32/33 Graphical user interface: FASPAD
75 Zusammenfassung Neue Festparameter-Algorithmen für eine Reihe von Problemen Implementierungen für Clique Cover Balanced Subgraph Minimum-Weight Path Vertex Bipartization Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 33/33
76 Zusammenfassung Neue Festparameter-Algorithmen für eine Reihe von Problemen Implementierungen für Clique Cover Balanced Subgraph Minimum-Weight Path Vertex Bipartization Schlussfolgerung Der parametrisierte Ansatz ist ein nützlicher Leitfaden zum Entwurf praktisch einsetzbarer Algorithmen für NP-schwere Probleme. Falk Hüffner (Uni Jena) Algorithms and Experiments for Parameterized Approaches to Hard Graph Problems 33/33
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