Mathematische Modellierung und Computersimulation

Transkript

1 Wissenschaftliche Jahrestagung im Jahr der Mathematik 2008 Die Mathematik im System der Wissenschaften 27. Juni 2008 Neues Stadthaus Berlin Mathematische Modellierung und Computersimulation sozialer Prozesse Calculemus! Ein Werkstattbericht Peter Fleissner, Wien

2 Übersicht Einbettung von Simulationsmodellen Grundelemente der mathematischen Modellierung e sozialer Prozesse Software- und Modellbeispiele

3 Veränderungszyklus Widerspiegelung die Welt x?+ * ~$}[% Vergegenständlichung Diffus sion ^^ #*.:->> Widerspiegelung Re eifying the concep pts

4 Simulationsmodelle im gesellschaftlichen Kontext Veränderungs-/Reform-/Revolutionszyklus Bezieht sich auf menschliche Praxis Besitzt eine fraktale Struktur Ist mehr als bloße Erkenntnis Die Wahrnehmung ist immer interessengesteuert gründet auf Widerspiegelung der Welt und ihrer Veränderung durch Vergegenständlichung von Ideen Dialektik von Reproduktion und Innovation Kooperative Bewertungs-, Selektions- und Entscheidungsprozesse Implementierung der Resultate in die Praxis Manchmal auch unerwartete Resultate ;-}

5 Veränderungszyklus die Welt x?+ * ~$}[% Vergegenständlichung Diffus sion ^^ #*.:->> Widerspiegelung Ve rgegenst tändlichu ung

6 Simulationsmodelle im gesellschaftlichen Kontext Simulationsmodelle beruhen auf wissenschaftlichen Vorstellungen in einem gesellschaftlichen Rahmen sie verwenden symbolische oder physische Repräsentation gehen über das Experiment hinaus mehr als Induktion mehr als Deduktion mehr als Reduktion zwischen Theorie und Anwendung

7 Arten von Simulationsmodellen Ökonometrische Modelle Input-Output Modelle Netzwerke/neuronale Netze Systemdynamikmodelle Agent based models/mikrosimulation

8 Grundlegende d Beziehungen in Simulationsmodellen Streng deterministische Beziehungen (inspiriert durch Rainer Thiel) Verhaltensgleichungen Statische Bilanzgleichungen Bilanzgleichungen über die Zeit Stochastische Beziehungen (inspiriert durch Herbert Hörz) Zufall als Fehler/Rest Zufall wesentlich, aber konstant Zufall wesentlich, aber veränderlich

9 Verhaltensgleichungen Ursache-Wirkungs-Schema; z.b. multivariates Blalock-Modell, ökonometrische Gleichungen, neuronale Netzwerke x1 D + y y(t) = f [ x1(t), x2(t), ] x2 D - Modifikationen: linear nichtlinear stochastisch Mit zeitlichen Verzögerungen y D x y x y x Rückkopplung ->

10 Kausale Schleifendiagramme Negative Rückkopplung : Zielsuchende Algorithmen Schwingungen g (D) D Positive Rückkopplung: exponentielles Wachstum

11 Statische Bilanzgleichung Erhaltungssätze, Input-Output-Tafeln, Volkseinkommensrechnung, Bevölkerungsbilanz l1 r3 l4 l3 r2 l2 L := l1 + l2 + l3 + l4 R := r1 + r2 + r3 Ungleiche Quantitäten gleicher Qualitäten addieren sich auf zu einer Quantität gleicher Qualität r1 Nur das Ungleiche kann gleichgesetzt werden Gleiche Quantitäten ungleicher Qualitäten L = R werden gleichgesetzt t

12 Dynamische Bilanzgleichung Lagerhaltungsgleichung, dynamische Bevölerungsbilanzen, Kapitalakkumulation, dynamicsche Buchhaltungsschemata x(t, t+1) x(t) x(t+ t) x(t+ t) = x(t) + x(t, t+1) Die einzige qualitative Differenz zwischen linker und rechter Seite ist die Lage in der Zeit Widerspiegelung besteht aus Bestandsgrößen und Flussgrößen Basis für das Widerspiegeln dynamischer Prozesse (Differenzen und/oder Differzialgleichungen) i l i t -> t + t

13 Beispiele aus der Ökonomie: Ökonometrische Modelle Input-Output-Modelle D D Heute basierend auf SNA System (UN System of National Economic Accounts)

14 Jay Forrester s s System Dynamics: Grundelemente (Software: Dynamo, Stella, Vensim ) Kybernetik erster Ordnung STOCK VARIABLE INFLOW VARIABLE OUTFLOW VARIABLE AUXILIARY VARIABLE

15 Interaktive Simulation Ein kombiniertes systemdynamisches und ökonometrisches Modell G. Bruckmann/P. Fleissner: Am Steuerrad der Wirtschaft Springer 1989

16 Beispiele: Ökonometrische Modelle Input-Output-Modelle D D Heute basierend auf SNA System (UN System of National Economic Accounts)

17 Grundbegriffe der Marxschen Wirtschaftstheorie Ware Gebrauchswert Tauschwert (Arbeits)wert konstantes Kapital variables Kapital Mehrwert Mehrwertrate/Ausbeutungsrate Organische Zusammensetzung des Kapitals Profitrate

18

19 Ökonomische Realität eine komplexe Konstruktion Gegenwärtiger Kapitalismus Markt preise Informationsgesellschaft Globalisierte Wirtschaft Internationales Finanzkapital Konkurrenzkapitalismus Mit fixem Kapital Kleine Waren- produktion Physische Basis digitale Märkte Geld-, Kredit-, Aktien-, Finanzmärkte Produktionspreise Arbeitsmarkt Tauschwerte/Arbeitswertpreise marktförmige Güter/Dienste Gebrauchswerte kollektive Produktion/Aneignung

20 Die Wertgröße w neu geschaffener Wert n (lebendige Arbeit) w = c + n übertragener Wert (vorgetane Arbeit) c

21 Die Wertgröße w und ihre Zusammensetzung neu geschaffener Wert (lebendige Arbeit) n m v Mehrwert (Gewinn) variables Kapital (Löhne) w= c + n = c + v + m übertragener Wert (vorgetane Arbeit) c c konstantes Kapital (fixes und zirkulierendes Kapital)

22 Drei zentrale ökonomische Kenngrößen neu geschaffener Wert (lebendige Arbeit) n m v Mehrwert (Gewinn) variables Kapital (Löhne) Mehrwertrate = m / v Organische Zusammensetzung des Kapitals =v/(c+v) v) Profitrate =m/(c+v) übertragener Wert (vorgetane Arbeit) c c konstantes Kapital (fixes und zirkulierendes Kapital) Profitrate = Mehrwertrate * Organische Zusammensetzung = m/v* v/(c+ v)

23 Empirischer Test: Brutto-Produktionswert (P), Arbeitswert (W0) und Produktionspreise (PP) Österreich 2003: 57 Sektoren (Mio EUR) Korrelations- und p koeffizient zwischen x w* nur materielle Produktion w - alle Sektoren wertbildend pp Marx Iteration pp Bort kiewicz labour values W0 prices of production PP gross output P (observed)

24 Nr Wirtschaftszweige 01 Landwirtschaft, Jagd 02 Forstwirtschaft 03 Fischerei und Fischzucht 04 Kohlenbergbau, Torfgewinnung 05 Erdöl- und Erdgas-, Erzbergbau (1) 06 Gewinnung von Steinen und Erden, sonstiger Bergbau 07 H. v. Nahrungs- u. Genussmitteln und Getränken 08 Tabakverarbeitung 09 H. v. Textilien und Textilwaren (ohne Bekleidung) 10 H. v. Bekleidung 11 Ledererzeugung und -verarbeitung 12 Be- u. Verarbeitung von Holz (ohne H. v. Möbeln) 13 H. u. Verarbeitung von Papier und Pappe 14 Verlagswesen, Druckerei, Vervielfältigung 15 Kokerei, Mineralölverarbeitung 16 H. v. Chemikalien und chemischen Erzeugnissen 17 H. v. Gummi- und Kunststoffwaren 18 H. u. Bearbeitung v. Glas, H. v. W. a. Steinen u. Erden 19 Metallerzeugung und -bearbeitung 20 H. v. Metallerzeugnissen 21 Maschinenbau 22 H. v. Büromaschinen, EDV-Geräten 23 H. v. Geräten der Elektrizitätserzeugung, -verteilung 24 Rundfunk-, Fernseh- u. Nachrichtentechnik 25 Medizin-, Mess- u. Regelungstechnik; Optik 26 H. v. Kraftwagen und Kraftwagenteilen 27 Sonstiger Fahrzeugbau 28 H. v. sonstigen Erzeugnissen 29 Rückgewinnung (Recycling) 30 Energieversorgung 31 Wasserversorgung 32 Bauwesen 33 Kfz-Handel; Reparatur v. Kfz; Tankstellen 34 Handelsvermittlung u. GH (ohne Handel mit Kfz) 35 EH (o. Kfz, o. Tankstellen); Reparatur v. Gebrauchsgütern 36 Beherbergungs- und Gaststättenwesen 37 Landverkehr; Transport in Rohrfernleitungen 38 Schifffahrt 39 Flugverkehr 40 Hilfs- u. Nebentätigkeiten für den Verkehr; Reisebüros 41 Nachrichtenübermittlung 42 Kreditwesen 43 Versicherungswesen 44 Mit dem Kredit- u. Versicherungswesen verbund. Tätigk. 45 Realitätenwesen 46 Vermietung beweglicher Sachen ohne Personal 47 Datenverarbeitung und Datenbanken 48 Forschung und Entwicklung 49 Erbringung von unternehmensbezogenen DL 50 Öffentliche Verwaltung, Sozialversicherung 51 Unterrichtswesen 52 Gesundheits-, Veterinär- u. Sozialwesen 53 Abwasser- u. Abfallbeseitigung u.sonstige Entsorgung 54 Interessenvertretungen, Vereine 55 Kultur, Sport und Unterhaltung 56 Erbringung von sonstigen DL 57 Private Haushalte

25 Struktur des Butto-Outputs (Ist-Preise) c - konstantes Kapital, v - variables Kapital, m - Mehrwert Österreich 2003: 57 Sektoren (in Prozent) m v c

26 Nr Wirtschaftszweige 01 Landwirtschaft, Jagd 02 Forstwirtschaft 03 Fischerei und Fischzucht 04 Kohlenbergbau, Torfgewinnung 05 Erdöl- und Erdgas-, Erzbergbau (1) 06 Gewinnung von Steinen und Erden, sonstiger Bergbau 07 H. v. Nahrungs- u. Genussmitteln und Getränken 08 Tabakverarbeitung 09 H. v. Textilien und Textilwaren (ohne Bekleidung) 10 H. v. Bekleidung 11 Ledererzeugung und -verarbeitung 12 Be- u. Verarbeitung von Holz (ohne H. v. Möbeln) 13 H. u. Verarbeitung von Papier und Pappe 14 Verlagswesen, Druckerei, Vervielfältigung 15 Kokerei, Mineralölverarbeitung 16 H. v. Chemikalien und chemischen Erzeugnissen 17 H. v. Gummi- und Kunststoffwaren 18 H. u. Bearbeitung v. Glas, H. v. W. a. Steinen u. Erden 19 Metallerzeugung und -bearbeitung 20 H. v. Metallerzeugnissen 21 Maschinenbau 22 H. v. Büromaschinen, EDV-Geräten 23 H. v. Geräten der Elektrizitätserzeugung, -verteilung 24 Rundfunk-, Fernseh- u. Nachrichtentechnik 25 Medizin-, Mess- u. Regelungstechnik; Optik 26 H. v. Kraftwagen und Kraftwagenteilen 27 Sonstiger Fahrzeugbau 28 H. v. sonstigen Erzeugnissen 29 Rückgewinnung (Recycling) 30 Energieversorgung 31 Wasserversorgung 32 Bauwesen 33 Kfz-Handel; Reparatur v. Kfz; Tankstellen 34 Handelsvermittlung u. GH (ohne Handel mit Kfz) 35 EH (o. Kfz, o. Tankstellen); Reparatur v. Gebrauchsgütern 36 Beherbergungs- und Gaststättenwesen 37 Landverkehr; Transport in Rohrfernleitungen 38 Schifffahrt 39 Flugverkehr 40 Hilfs- u. Nebentätigkeiten für den Verkehr; Reisebüros 41 Nachrichtenübermittlung 42 Kreditwesen 43 Versicherungswesen 44 Mit dem Kredit- u. Versicherungswesen verbund. Tätigk. 45 Realitätenwesen 46 Vermietung beweglicher Sachen ohne Personal 47 Datenverarbeitung und Datenbanken 48 Forschung und Entwicklung 49 Erbringung von unternehmensbezogenen DL 50 Öffentliche Verwaltung, Sozialversicherung 51 Unterrichtswesen 52 Gesundheits-, Veterinär- u. Sozialwesen 53 Abwasser- u. Abfallbeseitigung u.sonstige Entsorgung 54 Interessenvertretungen, Vereine 55 Kultur, Sport und Unterhaltung 56 Erbringung von sonstigen DL 57 Private Haushalte

27 Struktur des Butto-Produktionswerte (Ist-Preise) c - konstantes Kapital, v - variables Kapital, m - Mehrwert Österreich 2003: 57 Sektoren (in Prozent) m v c

28 Marxsche Hauptindikatoren Profitrate, Mehrwertrate, organische Zusammensetzung des Kapitals Österreich 2003: 57 Sektoren (in Prozent) rate of profit organic composition rate of surplus value

29 Struktur der Arbeitswerte Dienste nicht wertbildend, ungleiche Mehrwertraten c - konstantes Kapital, v - variables Kapital, m - Mehrwert Österreich 2003: 57 Sektoren (in Prozent) m m v v c c

30 Struktur der Arbeitswerte Alle Sektoren wertbildend c - konstantes Kapital, v - variables Kapital, m - Mehrwert Österreich 2003: 57 Sektoren (in Prozent) m v c

31 Gemeinsame geometrische Interpretation t ti von Werten, Preisen und Mengen Variablen S... R... x... r... g... pp... i... Partitionierte Matrix des Mehrprodukts Partitionierte Reproduktionsmatrix, R = A + C Spaltenvektor des physischen Output Profitrate Wachstumsrate r Zeilenvektor der Produktionspreise Index der Iteration (i=1,2,3...)

32 Duale Zerlegung g des Outputs x (links) und des Stückpreises p (rechts) Ax + Cx + Sx = x = pa + pc + ps = p = = Rx + Sx = x = pr + ps = p x Sx ps p Cx pc Ax Rx pr pa O O

33 Duale Zerlegung des Outputs x (links) und des Produktionspreises pp (rechts) unter gleichgewichtigem Wachstum x = Rx (1 + g) = pp = ppr (1 + r) = = Rx + g Rx = Rx + Sx ppr + r ppr = ppr + pps x Sx pps pp Cx Ax Rx ppr ppc ppa O O

34 Duale Zerlegung des Umsatzes w a la Marx w = pdiag(x) oder w = diag(p)x w = c + v + m, r = g w = padiag(x) + pcdiag(x) + psdiag(x) w = diag(p)ax + diag(p)cx + diag(p)sx m =psdiag(x) w = pdiag(x) = diag(p)x v =pcdiag(x) diag(p)sx prdiag(x) c =padiag(x) diag(p)rx diag(p)cx O diag(p)ax

35 transformation of labor values into prices (transformation problem) Marx solution pp(0) = w or w* pp(1) = pp(0) R [1 + r(i)] 1 + r(i) = pp(i) x / [pp(i) R x] Difficulty: input prices output prices von Bortkiewicz solution two identical solutions a) Eigenvector solution: pp... left-hand Eigenvector of R pp R (1 + r) = pp, largest eigenvector of R: λ=1/(1+r) b) iterative solution: i -> pp = pp( ) pp(i) = pp(i-1) R [1 + r(i-1)], 1 + r(i) = pp(i) x / [pp(i) R x]

36 Stucture of labor values no surplus for services, variable exploitation rates c - constant capital, v - variable capital, m - surplus value Austria 2003: 57 industries (percent) m m v v c c

37 Marx solution: Prices of production c - constant capital, v - variable capital, m - surplus value Austria 2003: 57 industries i (percent) m v c

38 von Bortkiewicz: Prices of production c - constant capital, v - variable capital, m - surplus value Austria 2003: 57 industries (percent) m v c

39 Transformation problem iterative solution Video Iteration Correlation 1 0, , , , * 5 0, , , ,98 0,96 0,94 0,92 0,9 0,88 Correlation coefficient between actual prices and production prices (i-th iteration) 8 0, ,86 9 0, , , , , ,

40 Geometrische Interpretation der Input-Output Indikatoren 3 der Input Output Indikatoren w x p pp, Produktionspreise Hyperebene aller möglichen nichtnegativen Preissysteme p x = const Der Gesamtwert des Umsatzes sei invariant bzgl. Preisänderungen O 2 1

41 Hyperebene (Österreich: 3 Sektoren) Video

42 Menge aller zulässigen Preise bei invariantem Mehrprodukt, aber variabler Zuteilung der Profite px = const (Österreich: 3 Sektoren)

43 Preise und Arbeitswerte (Hyperebene px = const) : von Bortkiewicz solution of the transformation problem Marx solution of the Marx solution of the transformation problem

44 Combined Example: Input-Output and Econometric Model BMWF (Ed.) Mikroelektronik - Anwendungen, Verbreitung und Auswirkungen am Beispiel Österreichs, Wien 1981

45 Mathematische Simulationsmodelle: Paradigmenwechsel Kybernetik 0. Ordnung Kybernetik 1. Ordnung Kybernetik 2. Ordnung linear nichtlinear nichtlinear statisch dynamisch dynamisch unidirektional rückgekoppelt rückgekoppelt aggregiert g aggregiert g individuals (variable numbers of agents) deterministisch deterministisch/zufall unwesentlich Zufall wesentlich /veränderliche Struktur das Zufalls Sehr abstrakt Weniger abstrakt realistischer

46 Mathematische Simulationsmodelle: Paradigmenwechsel Kybernetik 0. Ordnung Kybernetik 1. Ordnung Kybernetik 2. Ordnung linear nichtlinear nichtlinear statisch dynamisch dynamisch unidirektional rückgekoppelt rückgekoppelt aggregiert g aggregiert g individuals (variable numbers of agents) deterministisch deterministisch/zufall unwesentlich Zufall wesentlich /veränderliche Struktur das Zufalls Sehr abstrakt Weniger abstrakt realistischer

47 Wie kann der Zufall behandelt werden? Kybernetik 0. Ordnung Kybernetik 1. Ordnung Kybernetik 2. Ordnung Zufall unwesentlich Zufall wesentlich Kein Zufall In der Ökonometrie /Regressionsanalyse wird Zufall als Fehler oder Restgröße behandelt

48 Zufall in der iregressionsanalyse Gleichung y = y + e y(x) e y y x

49 How to treat Randomness? Zero Order Cybernetics First Order Cybernetics Second Order Cybernetics Randomness nonessential Randomness essential No randomness Statistical laws of nature (H. Hörz): In econometrics/ regression analysis treated as residual or error term y beobachtetes y. prognostiz. y deterministischer Teil e Fehler, stochastischer Teil

50 How to treat Randomness? Zero Order Cybernetics First Order Cybernetics Second Order Cybernetics No randomness Randomness nonessential Statistical laws of nature (H. Hörz): In econometrics/ regression analysis treated as residual or error term Randomness essential Emergence of stable structures by changing the properties of randomness (prob. distr. variable) y true y. forecast y deterministic part e residual stochastic part true y

51 Austrian Pension Schemes in Comparison Demographic data and Sccial statistics Amount of pension Private pension schemes Creation Of Individuals Social Insurance Pension schemes Individual cases Amount/type of pension HTML-files

52 Status 0 Status 1 Status 2 Status 11 Status 12 Status 21 Status 22 neither employed not retired blue collar white collar blue collar ret by invalidity blue collar ret by age white collar ret by invalidity white collar ret by age abroad birth 0 dead 21 Transition diagram 2 22

53 Total Population Austria Yellow line: life expectancy up to 90 yrs by

54 62 Retirement Age (Invalidity) White Collar Workers, male

56 How to treat Randomness? Zero Order Cybernetics First Order Cybernetics Second Order Cybernetics No randomness Randomness nonessential Statistical laws of nature (H. Hörz): In econometrics/ regression analysis treated as residual or error term Randomness essential Emergence of stable structures by changing the properties of randomness (prob. distr. variable) y true y. forecast y deterministic part e residual stochastic part true y.

57 How to treat Randomness? Zero Order Cybernetics First Order Cybernetics Second Order Cybernetics No randomness Randomness nonessential Statistical laws of nature (H. Hörz): In econometrics/ regression analysis treated as residual or error term Randomness essential Emergence of stable structures by changing the properties of randomness (prob. distr. variable) y true y. forecast y deterministic part e residual stochastic part true y.

58 How to treat Randomness? Zero Order Cybernetics First Order Cybernetics Second Order Cybernetics No randomness Randomness nonessential Statistical laws of nature (H. Hörz): In econometrics/ regression analysis treated as residual or error term Randomness essential Emergence of stable structures by changing the properties of randomness (prob. distr. variable) y true y. forecast y deterministic part e residual stochastic part true y..

61 agent based models Beispiel: Der Blinde und der Lahme Zwei interagierende Welten Welt A: physische Welt (klassische Mechanik) Welt B: Welt der Informationen und Symbole (aber anfangs Wörter ohne Bedeutung)

62 agent based models und zwei interagierende Agenten Agent 1: der Blinde kann springen hören das Gehörte interpretieren und entsprechend zu handlen (Sprung bestimmter Länge) Agent 2: der Lahme kann die Länge der Barriere sehen mit der Trompete Töne erzeugen kann die Länge der Barriere mit der Tonhöhe verbinden

63 Danke für Ihre Aufmerksamkeit!