PVK Statistik I. Donnerstag 07/06/2018 Freitag 08/06/2018

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1 PVK Statistik I Donnerstag 07/06/2018 Freitag 08/06/2018 Sara dos Reis

2 Hinweise zu dem PVK Zeit und Raum 07/06/2018 und 08/06/2018, 08:00 12:00 CAB G52 Ziel Ziel dieses PVKs ist den Stoff der Vorlesung Statistik I durchzugehen mit Theorie und vor allem mit spezifischen Beispiele Die Theorie wird mit Slides gezeigt und die Beispiele werden auf der Tafel gelöst Unterlage Alle Unterlagen findet ihr auf: Kontakt sdosreis@student.ethz.ch Sara dos Reis

3 Was ich euch bitte Die Fehler auf den Slides mitzuteilen Fragen stellen ohne Angst Sara dos Reis

4 Ziele Wahrscheinlichkeitsmodelle 3 Axiome der W keitsrechnung Unabhängigkeit Bedingte W keit, Satz von Bayes, Satz der totalen W keit Odds, odds-ratio Zufallsvariable, W keitsverteilung, Kumulativen Verteilungsfunktion Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung Binomialverteilung Poissonverteilung Hypergeometrische Verteilung Modelle für Zahldaten Sara dos Reis

5 Wahrscheinlichkeitsmodelle Zufallsexperimente Experimente bei denen der Ausgang nicht exakt vorhersagbar ist Wahrscheinlichkeitsmodelle Modell das beschreibt welche Ereignisse in einem solchen Experiment möglich sind und welche Chancen die verschiedenen Ergebnisse haben Mittels Simulation es ist möglich eine Vorstellung der zufälligen Variabilität zu gewinnen Sara dos Reis

6 3 Komponenten von W keitsmodelle 1) Grundraum Es besteht aus den Elementarereignissen Alle Elementarereignisse Universum Elementarereignisse sind mögliche Ergebnisse/Ausgänge des Experiments, sie bilden zusammen den Grundraum Ω = {alle mögliche Elementarereignisse ω} 2) Ereignisse A,B,C, etc A ist eine Teilmenge von Grundraum 3) Wahrscheinlichkeiten Wahrscheinlichkeit für jedes Ereignis P[A] Sara dos Reis 6

7 Bsp 1) Serie 1, Mathematik IV FS15, Es 1 a)b) Sara dos Reis

8 Operationen der Mengenlehre A B A oder B A B A und B A c nicht A Sara dos Reis

9 Venn Diagramme Sara dos Reis

10 Sara dos Reis

11 Axiome für W keiten 1) Die W keiten sind immer nicht-negativ P A 0 2) Das Ereignis hat immer W keit 1 P Ω = 1 3) Es gilt P A B = P A + P B, falls A B = Das heisst wenn P A B = 0, die Ereignisse ausschliessen sich gegenseitig Daraus folgt P A C = 1 P A P A B = P A + P B P A B (Additionensatz) Sara dos Reis

12 Bsp 2) Serie 1, Mathematik IV FS15, Es 2 Sara dos Reis

13 Berechnen mit W keiten 1) Summe von Elementarereignisse P A = w A P[{ω}] 2) Laplace Modell Annahme, alle Elementarereignisse haben die gleiche W keit #günstige Ereignisse P A = # mögliche Ereignisse 3) Mengenoperation P A C = 1 P A Sara dos Reis

14 Unabhängigkeit A und B sind unabhängig, wenn das Auftreten von A die W keit von B NICHT beeinflusst A und B sind unabhängig P A B = P A P B dh P A B = Anwendung von dem Konzept der Unabhängigkeit Unabhängigkeit prüfen Wahrscheinlichkeiten zu berechnen Sara dos Reis

15 Bsp 3) Skript_neu, Seite Bsp 4) Skript_neu, Seite 11 a) Man wirft 2-Mal ein Würfel. Ereignis A ist «Kopf» und Ereignis B ist auch «Kopf». Welche ist die Wahrscheinlichkeit von A B? Mit Begründung b) Angenommen, wir werfen 2 sechsseitige Würfel. Sei E das Ereignis, dass die Augensumme 6 ist. Sei F das Ereignis, dass der erste Würfel die Augenzahl 4 zeigt. Welche ist die Wahrscheinlichkeit von E F? Sind die zwei Ereignisse unabhängig? Sara dos Reis

16 Bedingte Wahrscheinlichkeit Bedingte W keit von A gegeben B Die W keit von Ereignis A, wenn wir schon wissen, dass eine bestimmte Ereignis B eingetreten ist Das wird mit P A B bezeichnet und so definiert P A B = P A B P B Sara dos Reis

17 Satz von Bayes Zusammenhang zwischen P A B und P B A P A B P B = P A B = P B A P A Daraus folgt der Satz von Bayes P A B = P A B P B = P B A P A P[B] Sara dos Reis

18 Satz der totalen Wahrscheinlichkeiten Angenommen eine Partitionierung A i, mit i = 1, etc, n von, dann gilt n P B = P A i B = P B A i P[A i ] n i=1 i=1 Sara dos Reis

19 Bsp 5) Serie 2, Mathematik IV FS15, Es 1a)b) Sara dos Reis

20 Odds statt Wahrscheinlichkeiten Die odds(e) geben an, wieviel mal wahrscheinlicher das Eintreten von der Ereignis E als das Eintreten von E C ist P E odds E = 1 P E Odds und W keit einer Ereignis E können ineinander umgerechnet werden Odds Ratio Das Verhältnis der odds ist auch aussagekräftig Sara dos Reis

21 Bsp 6) Quiz 3, Statistik I FS18, Frage 7 und 8 Sara dos Reis

22 (Diskrete) Zufallsvariablen (ZV) Oft sind mit einem Zufallsexperiment Zahlenwerte verknüpft, das heisst zu jedem Elementarereignis gehört ein Zahlenwert X ω = x Klein x ist die Realisierung der ZV X Die Zufallsvariable X ist eine Funktion auf dem Grundraum X Ω R ω X ω Bemerkung, Summen und Produkte von ZV wieder ZV Konvention, ZV Grossbuchstaben (X) Konkrete Wert Gleiche Kleinbuchstaben (x) Sara dos Reis

23 Wahrscheinlichkeitsverteilung einer ZV Jede mögliche Wert x einer ZV X tritt mit einer gewissen W keit Die W keit, dass X den Wert x annimmt, berechnet sich wie folgt P X = x = P ω X w = x = X ω =x P[ω] Die (diskrete) Wahrscheinlichkeitsverteilung der (diskrete) ZV X ist die «Liste» von alle P X = x Bemerkung, σ alle möglicher x P X = x = 1 ( Axiome 2) Sara dos Reis

24 Kumulative Verteilungsfunktion einer ZV Die Kumulative Verteilungsfunktion einer ZV stellt die Summe alle W keit bis einem bestimmten Wert x P X x = z x P[X = x] Bemerkung, ist monoton steigen von 0 bis 1 Sara dos Reis

25 Kennzahlen einer Verteilung Eine beliebige (diskrete) Verteilung kann vereinfachend zusammengefasst werden durch 2 Kennzahlen Erwartungswert E X Standandardabweichung σ X und Varianz Var(X) Sara dos Reis

26 Erwartungswert Der Erwartungswert E X beschreibt die mittlere Lage der Verteilung E X = x W x x P[X = x], W x = Wertebereich von X Sara dos Reis

27 Standardabweichung Die Standardabweichung σ X beschreibt die Streuung der Verteilung Var X = x W x x E X 2 P[X = x] σ X = Var X Sara dos Reis

28 Bsp 7) Quiz 3, Statistik I FS18, Frage 1) Sara dos Reis

29 Binomialverteilung X~Bin(n, π) Situation Man ist interessiert an die Anzahl Erfolge (oder Misserfolge) in n Versuche Ein Erfolgt wird mit 1 bezeichnet und ein Misserfolg mit 0 Der Wertebereich der Verteilung der ZV ist (0 bis n mögliche Erfolge) W x = 0,1,2, etc, n Die W keit π beschreibt die Erfolgsw keit (Parameter) P X = 1 = π P X = 0 = 1 π 0 π Sara dos Reis 29

30 Die Verteilung, die der vorherige Situation beschreibt, heisst Bernoulli π -Verteilung oder Binomial π -Verteilung X~Bin(n, π) Sie beschreibt einfach das Eintreffe oder nicht-eintreffen eines bestimmten Ereignisses in n unabhängige Versuche W keit dass ZV X der Wert x annimmt P X = x = n x πx 1 π n x x {0,1, etc, n} Sara dos Reis

31 Kennzahlen von X~Bin(n,π) E X = n π Var X = n π 1 π Sara dos Reis

32 Bsp 8) Quiz 3, Statistik I FS18, Frage 2) Sara dos Reis

33 Poissonverteilung X~Pois(λ) Situation Die Poisson-Verteilung eignet sich für seltene Ereignisse gezählt in einem vorgegebenen Zeitraum Der Wertebereich ist deshalb W x = N 0 = 0,1,2, etc, Das Parameter λ ist die Rate, wie oft passiert eine bestimmte Ereignisse in einer bestimmten Periode Sara dos Reis

34 Die Verteilung, die der vorherige Situation beschreibt, heisst Poisson(λ)-Verteilung X~Pois(λ) W keit dass ZV X der Wert x annimmt P X = x = λx x! e λ x {0,1,2, etc, } Sara dos Reis

35 Kennzahlen von X~Pois( ) E X = λ Var X = λ Summen von Poisson-verteilten Zufallsvariablen Wichtige Additionseigenschaft Wenn X~Pois λ X und Y~Pois(λ Y ) unabhängig sind, dann ist (X + Y) ~Pois(λ X + λ Y ) Sara dos Reis

36 Bsp 9) Serie 4, Mathematik IV FS15, Es 1) Sara dos Reis

37 Hypergeometrische Verteilung X~Hyper(N, n, m) Situation Eine Urnet mit N Kugel, m davon weiss und N-m schwarz Man zieht n Kugel (ohne Zurücklegen) Man zahlt die weisse Kugel W x = 0,1,2, etc, min(m, n) Parameter sind N = totale # Kugel m = weisse (oder andere Charakteristik) Kugel n = gezogene Kugel Sara dos Reis

38 Die Verteilung, die der vorherige Situation beschreibt, heisst Hypergeometrische(N,n,m)-Verteilung X~Hyper(N, n, m) W keit dass ZV X der Wert x annimmt m N m x P X = x = n x N n x {0,1,2, etc, min(m, n)} Sara dos Reis

39 Kennzahlen von X~Hyper(N, n, m) E X = n m N Var X = wird nicht gefragt (sehr kompliziert) Sara dos Reis

40 Bsp 10) Quiz 4, Statistik I FS18, Frage 3 a) c) Sara dos Reis

41 Ziele 3 Grundfragestellungen der Statistik Momentenmethode für Binomial Verteilung Momentenmethode für Hypergeometrische Verteilung Maximum-Likelihood-Methode für Binomial Verteilung Binomialtest Fehler 1 Art, Fehler 2 Art Macht P-Wert Vertrauensintervall Statistische Inferenz Statistik für Zähldaten Sara dos Reis

42 3 Grundfragenstellungen der Statistik 1) Punkt-Schätzung Welches ist der zu den Beobachtungen plausibelste Parameterwert? 2) Statistischer Test Sind die Beobachtungen kompatibel mit einem vorgegeben Parameterwert? 3) Konfidenzintervall oder Vertrauensintervall Welche Parameterwerte sind mit den Beobachtungen kompatibel? Sara dos Reis

43 (Punkt-)Schätzung für Binomial-Verteilung 2 verbreitete Methoden um den Parameter π bei einer Binomialverteilung zu schätzen Momentenmethode Maximum-Likelihood-Methode Konvention, Schätzwerte werden mit ^ gekennzeichnet ( π) Sara dos Reis

44 Momentenmethode für X~Bin(n, π) Sehr pragmatisch Da E X = n π gilt π = E X n E[X] ist mit E[X] = x (=beobachtete # Gewinne) Schätzung der Erfolgsw keit ist daher π = x n Sara dos Reis

45 Momentenmethode für X~Hyper N, n, m Hier was abgeschätzt wird ist das Parameter N E X = n m N E[X] wird mit E[X] = x abgeschätzt Schätzung des Parameters N n m n m = x N = N x Sara dos Reis

46 Maximum-Likelihood-Methode X~Bin n, π Die Aufgabe ist einen Wert für π zu finden, der möglichst gut zu unser Beobachtung passt Um das zu machen muss man den folgenden Ausdruck bezüglich π maximieren P X = x = n x πx 1 π n x Maximum-Likelihood Estimate (MLE) π für π, ist der Wert der P[X = x] maximiert Sara dos Reis

47 Wie maximiert man das? Trick log statt den «normalen» Ausdruck nutzen (1) Ableiten (2) Gleich Null setzen und nach π auslösen (3) (1) log P X = x = log( n x πx 1 π n x ) = n = log + log π x x + log 1 π n x = n = log + x log π + n x log 1 π x (2) (3) d dπ (log n x + x log π + n x log 1 π ) = = x π + n x 1 1 π 1 x 1 + n x 1 = 0 1 π x π n x 1 1 π = 0 x n x = π 1 π x π x = π n π x π π = x n Sara dos Reis

48 Binomialtest Motivation Man will herausfinden, ob eine bestimmte Beobachtung plausibel ist bei einer gewisse Annahme Ein statistischer Test für den Parameter π im Modell X~Bin(n, π) ist wie folgt aufgebaut Sara dos Reis

49 Binomialtest Formales Vorgehen 1) Modell X Anzahl Erfolge bei n Versuchen X~Bin n, π 2) Hypothesen Nullhypothese H 0 π = π 0 Alternativhypothese π π 0 zweiseitig π > π 0 π < π 0 3) Teststatistik T Anzahl Treffer bei n Versuchen einseitig, nach oben einseitig, nach unten Verteilung von T, falls H 0 stimmt T~Bin(n, π 0 ) Sara dos Reis

50 4) Signifikanzniveau Wie unwahrscheinlich muss eine Beobachtung sein, damit man die Nullhypothese verwirft Konvention α = 0,05 5) Verwerfungsbereich (α grösser K grösser und umgekehrt) Form K = 0, c u c o, n, falls H A π π 0 K = c >, n, falls H A π > π 0 K = 0, c <, falls H A π < π 0 Grenzen, c s werden bestimmte, sodass gilt P T c u = α und P T c 2 o = α 2 P[T c > ] α P[T c < ] α Sara dos Reis

51 Diese Grenzen können mit der Normalapproximation berechnet werden (wenn n gross ist und π nicht nahe bei 0 oder 1 ist) Normalapproximation für α = 0,05 c u = nπ 0 1,96 nπ 0 1 π 0 c o = nπ 0 + 1,96 nπ 0 1 π 0 c > = nπ 0 + 1,64 nπ 0 1 π 0 c < = nπ 0 1,64 nπ 0 1 π 0 6) Testentscheid (auf Widerspruchs-Prinzip beruht) Liegt der beobachtete Wert t von T in K? Falls ja, H 0 kann auf dem Signifikanzniveau α verworfen werden Falls nein, H 0 kann auf dem Signifikanzniveau α nicht verworfen werden Sara dos Reis

52 Bsp 11) Serie 6, Mathe IV FS15, Es 3 Sara dos Reis

53 Fehler 1 und 2 Art Beim einem statistischen Test treten 2 Arten von Fehlern auf Fehler 1 Art Fälschliches Verwerfen von H 0, obwohl H 0 richtig ist Fehler 2 Art Fälschliches beibehalten von H 0, obwohl die H A zutrifft Sara dos Reis

54 Definition Fehler 1 Art P Fehler 1er Art = P H0 X K α Die zwei Fehlerarten konkurrenzieren sich gegenseitig P Fehler 2er Art wird grösser falls α kleiner gewählt wird P Fehler 1er Art wird kleiner falls α kleiner gewählt wird Sara dos Reis

55 Bsp 13) Aus Prüfung Sommer 2016 Sara dos Reis

56 Macht Die Macht gibt die W keit an, H A zu entdecken (H 0 zu verworfen), falls H A richtig ist Macht = P[Verwerfen von H 0, falls H A stimmt] = P[X K H A ] Macht = 1 P Fehler 2er Art = 1 P X K H A Sara dos Reis

57 Bsp 14) Aus Prüfung Sommer 2016 Sara dos Reis

58 P-Wert Zwei Äquivalenten Definitionen von P-Wert 1) Der P-Wert ist die W keit, unter Gültigkeit der H 0, das beobachtete Ergebnis oder ein extremeres zu erhalten 2) Der P-Wert ist das kleinste α, bei dem die H 0 (gerade noch) verworfen wird Sara dos Reis

59 Bsp 15) Aus Prüfung Winter 2017 Sara dos Reis

60 Der P-Wert ist ein Wert zwischen 0 und 1, der angibt, wie gut H 0 und Daten zusammenpassen (0 gar nicht, 1 sehr gut) Werte vom P-Wert kleiner als α sind Anlass, H 0 abzulehnen verwerfen H 0 falls P Wert α beibehalten H 0 falls P Wert > α Sara dos Reis

61 Vertrauensinterval (engl CI=Confidence Interval) Das Vertrauensinterval antwort zur Frage «Welche Werte von π sind mit den Daten vereinbar?» Definition 1) von VI Die Werte von π, bei denen H 0 nicht verworfen wird, sind ein 1 α Vertraueninterval für π Definition 2) von VI Ein 1 α -Vetrauensinterval enthält den wahren Parameter π mit Wahrscheinlichkeit 1 α (1 α) ist das Niveau von dem Vertrauensinterval (oft 95%) Sara dos Reis

62 Normalapproximation für Vertrauensinterval x n ± 1,96 x n 1 x n 1 n Sara dos Reis

63 Bsp 16) Serie 6, Mathe IV FS15, Es 4 Sara dos Reis

64 Statistische Inferenz Vorteile und Nachteile von der 3 gelernte Methoden Sara dos Reis

65 Hypothesentest Vorteile Klares Prozedere Klare Aussage über Fehler Nachteile Wie deutlich wurded verworfen? Wie gross ist der wahre Parameter? P-Wert Vorteile Klar ob und wie deutlich verworfen wird Nachteile Keine Aussage über Fehler Wie gross ist der wahre Parameter? Vertrauensinterval Vorteile Klar ob und wie deutlich verworfen wird Klar wie gross der wahre Parameter etwa ist Nachteile Keine klare Aussage über Fehler Sara dos Reis

66 Ziele Arithmetisches Mittel Standardabweichung Varianz Quantil Median Histogramm Boxplot Empirische kumulative Verteilungsfkt Normal-Plot Streudiagramm Wahrscheinlichkeitsdichte Kumulative Verteilungsfunktion Uniforme Verteilung Exponentialverteilung Normalverteilung Standardisierung der Normalverteilung Lineare Transformation von ZV Gesetz der grossen Zahlen Das n-gesetz Zentralen Grenzwertsatz t-test z-test Vorzeichnen-Test t-test für zwei Stichproben Modelle und Statistik für Messdaten Sara dos Reis

67 Deskriptive Statistik - Einleitung Nicht nur Model anzupassen oder statistisches Verfahren anzuwenden, sonst Daten mit Kennzahlen und grafischen Methoden darstellen und charakterisieren (Überblick zu gewinnen) Kennzahlen Arithmetische Mittel, empirische Standardabweichung, Median, Quantile, IQR, Korrelation Graphische Methoden Histogramm, Boxplot, Empirische Kumulative Verteilungsfunktion Sara dos Reis

68 Kennzahlen Man kann die Verteilung der Daten numerisch zusammenfassen 2 wichtige Kategorien von Kenngrössen Lage Arithmetische Mittel Median Streuung Range (kleinster Wert, grosster Wert) Empirische Standardabweichung Inter-Quantile-Range (IQR) Sara dos Reis

69 Arithmetische Mittel (Lage) n x ҧ = 1 n i=1 x i Empirische Standardabweichung (Streuung) s x = var = 1 n 1 i=1 n x i xҧ 2 Sara dos Reis

70 Empirische α-quantil q α Definition Der Wert, bei dem α 100% der Datenpunkte kleiner und 1 α 100% der Datenpunkte grösser sind Vorgehen Zuerst Daten steigend ordnen x 1 x 2 etc x n Dann falls α n eine ganze Zahl ist 1 2 x α n + x α n+1 falls α n keine ganze Zahl ist x k, wobei k = α n gerundet auf eine ganze Zahl, Sara dos Reis

71 Median (Lage) Der (empirische Median) ist das empirische 50%-Quantil, das heisst es markiert die «mittlere» Beobachtung, wenn die Daten sortiert wurden Median = q 0,5 Robuster als der arithmetische Mittel Sara dos Reis

72 Quartildifferenz (Streuung) Quartildifferenz = emp 75%Quantil emp 25%Quantil Bemerkung Median und Quartildifferenz haben als Vorteil, dass die Robust sind, das heisst sie werden weniger stark durch extreme Beobachtungen beeinflusst als arithmetisches Mittel und Standardabweichung Sara dos Reis

73 Bsp 17) Serie 6, Mathe IV FS15, Es 3 a) Berechnen Sie den Median folgender 7 Zahlen 0,379 0,511 0,778 0,927 0,591 0,477 0,644 b) Berechnen das 25%-Quantil folgender 6 Zahlen 0,657 0,16 0,637 0,447 0,185 0,215 c) Berechnen die empirische Standardabweichung folgende 8 Zahlen 0,783 0,957 0,063 0,18 0,212 0,705 0,99 0,248 d) Berechnen das 90%-Quantil folgender 9 Zahlen 0,83 0,306 0,633 0,067 0,533 0,677 0,252 0,918 0,813 Sara dos Reis

74 Kovarianz und Korrelation (Abhängigkeit) Beschreibung der lineare Abhängigkeit von abhängigen ZV X und Y Kovarianz = Cov X, Y = E X μ X Y μ Y Cov X, Y Korrelation = Corr X, Y = ρ XY = σ X σ Y wobei σ X = Var X und σ Y = Var Y Die Korrelation ρ XY ist eine dimensionslose, normierte Zahl mit Werten ρ XY [ 1,1] Sara dos Reis

75 Die Korrelation misst Stärke und Richtung der linearen Abhängigkeit zwischen X und Y Corr X, Y = +1, Corr X, Y = 1, genau dann wenn Y = a + bx, a R und b > 0 genau dann wenn Y = a + bx, a R und b < 0 X und Y unabhängig Corr X, Y = 0 Empirische Korrelation r oder ρ r = ρ = s XY, s s X s XY = σ i=1 n (x i x) (y i തy ) Y n 1 Sara dos Reis

76 Da die empirische Korrelation nur den lineare Zusammenhang misst kann es einen Zusammenhang zwischen den beiden Variablen X und Y geben, auch wenn die empirische Korrelation null ist Sara dos Reis

77 Bsp 18) Quiz 7, Statistik I FS18, Fragen 2 c)d) Sara dos Reis

78 Graphische Methoden Histogramm Klassen mit konstanter Breite, zählen wie viele Beobachtungen fällen in jede Klasse, Balken dessen Höhe proportional zur Anzahl Beobachtungen in dieser Klasse ist 60 Noten der Studenten Sara dos Reis

79 Boxplot Sara dos Reis

80 Empirische Kumulative Verteilung F n x F n x ist eine Treppenfunktion, die links von x 1 gleich Null ist, und bei x i einen Sprung der Höhe 1 hat (oder ein n Vielfalt falls ein Wert mehrmals vorkommt) F n x = 1 n Anzahl{i x i < x} Sara dos Reis

81 Stetige (Kontinuierliche) Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen Eine ZV X heisst stetig, wenn deren Wertebereich W x kontinuierlich ist W keitsverteilung von X (stetig) können nicht mittels «Punkt»-W keit beschrieben werden P X = x = 0, für alle x W x W keitsverteilung von X (stetig) werden mittels «Intervall»- W keit beschrieben P X a, b]] = P[a < X b] Sara dos Reis

82 Kumulative Verteilungsfunktion Die W keitsverteilung einer stetigen ZV X kann durch die kumulative Verteilungsfunktion beschrieben werden F x = P X x P a < X b = F b F(a) Sara dos Reis

83 Wahrscheinlichkeitsdichte Für stetige ZV kann man einen analogen Begriff zur «Punkt»-Wahrscheinlichkeit P[X = x] für diskrete Variablen gewinnen Wahrscheinlichkeitsdichte Die Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) ist definiert als Ableitung der Kumulative Verteilungsfunktion f x = F x Aus der W keitsdichte kann man die Kumulative Verteilungsfunktion gewinnen F X = න x f y dy Sara dos Reis

84 Wichtige Eigenschaften von W keitsdichte 1) f x 0, für alle x da F x monoton wachsend ist 2) P a < X b = F b F a = a b f x dx Das heisst die Fläche zwischen a und b unter f(x) 3) f x dx = 1, (wegen Punkt 2) Sara dos Reis

85 Bsp 19) Serie 8, Mathe IV HS17, Es 1d) Sara dos Reis

86 Kennzahlen von stetigen Verteilungen Der Erwartungswert E[X] und die Standardabweichung σ X einer stetige ZV X haben dieselbe Bedeutung wie für diskreten ZV E X = න xf x d(x) Var X = න x E X 2 f x d(x) σ X = Var[X] Sara dos Reis

87 Quantile q(α) einer stetige ZX, bzw deren Verteilung, es muss gelten P X q α = α das heisst F q α = α q α = F 1 α Interpretation q(α) ist der Punkt, so dass die Fläche von bis q α unter der W keitsdichte f(x) gleich α ist Sara dos Reis

88 Bsp 20) Serie 8, Mathe IV HS17, Es 1d) Daten aus Bsp 19) Sara dos Reis

89 Wichtige Stetige Verteilungen Die W keitsverteilung einer stetige ZV ist mit der Kumulative Verteilungsfunktion F(X) oder mit der W keitsdichte f x charakterisiert Wichtige Stetige Verteilungen Uniforme-Verteilung X~Uniform Exponential-Verteilung X~Exp(λ) Normal-Verteilung X~N(μ, σ 2 ) a, b Sara dos Reis

90 Uniforme-Verteilung X~Unif([a, b]) Wertebereich W X = a, b Parameter sind a und b Wahrscheinlicheitsdichte f x = 1 b a, falls a x b 0, sonst Kumulative Verteilungsfunktion F x = x a b a, 0, falls x < a falls a x b 1, falls x > b Sara dos Reis

91 Grapisch Verteilungsdichte Kumulative Verteilungsfunktion Sara dos Reis

92 Kennzahlen a + b E X = 2 b a 2 Var X = 12 b a σ X = 12 Sara dos Reis

93 Bsp 21) Quiz 8, Mathe IV HS15, Es 2 Sara dos Reis

94 Exponential-Verteilung X~Exp(λ) Wertebereich W X = R + = [0, [ Parameter ist λ > 0 Wahrscheinlichkeitsdichte f x = ቊ λe λx, falls x 0 0, sonst Kumulative Verteilungsfunktion F x = 1 e λx, falls x 0 0, falls x < 0 Sara dos Reis

95 Grapisch Verteilungsdichte Kumulative Verteilungsfunktion Sara dos Reis

96 Kennzahlen E X = 1 λ Var X = 1 λ 2 σ X = 1 λ Sara dos Reis

97 Bsp 22) Serie 8, Mathe IV HS17, Es 1 f) g) Daten aus Bsp 19) und 20) Sara dos Reis

98 Normal-Verteilung (Gauss-Verteilung) X~N(μ, σ 2 ) Parameter sind μ und σ 2 Verteilungsdichte f x = 1 x μ 2 e 2σ 2 σ 2π Kumulative Verteilungsfunktion F x = f y dy Ist nicht explizit darstellbar Standardisierung Tabelle Sara dos Reis

99 Grapisch Verteilungsdichte Kumulative Verteilungsfunktion Sara dos Reis

100 Kennzahlen E X = μ Var X = σ 2 σ X = σ Sara dos Reis

101 Standard-Normalverteilung Die Normal-Verteilung mit μ = 0 und σ 2 = 1 heisst Standandard-Normalverteilung Wahrscheinlichkeitsdichte φ x = 1 2π e x2 2 Kumulative Verteilungsfunktion Φ x = φ y dy Werte sind tabelliert Sara dos Reis

102 Sara dos Reis

103 Standardisierung Man kann immer einer Normalverteilte ZV X transformieren, so dass die transformierte ZV μ = 0 und σ 2 = 1 hat Warum macht man das? Um die W keiten in der Tabelle der Kumulative Verteilungsfunktion der Standard-Normal-Verteilung lesen zu können Z = X μ σ ~ N 0,1 Das ist ein lineare Transformation Sara dos Reis

104 Tipps und Tricks um die Tabellierte Werte lesen P Z 0,2 = P Z 0,2 = 1 P[Z < 0,2] Sara dos Reis

105 Bsp 23) Serie 8, Mathe IV HS 15, Es 2 a) b) c) Sara dos Reis

106 Bsp 24) Quiz 8, Mathe IV HS15, Es 5 Sara dos Reis

107 Bsp 25) Quiz 8, Mathe IV HS15, Es 6 Sara dos Reis

108 Überprüfen der Normaverteilungs-Annahmen Frage Ist eine gewisse Verteilung ein brauchbares Modell (geeignet) für die Darstellung einen bestimmten Datensatz? Mögliche Tools um zu antworten Histogramm Q-Q Plot Normal-Plot Sara dos Reis

109 Histogramm als Tool für das Überprüfen einer Verteilung als Modell Man kann das Histogramm der empirischen Daten mit der Verteilungsdichte der Verteilung vergleichen Oft sieht man aber die Abweichung oder die Überstimmung nicht sehr gut Sara dos Reis

110 QQ-Plot als Tool für das Überprüfen einer Verteilung als Modell Q-Q Plot ist das Quantil-Quantil Plot Die Idee ist die empirische Quantile gegen die theoretische Quantile der Verteilung zu plotten Wenn die Verteilung zu dem betrachtete Datensatz passt, müssen die Punkte ungefähr auf der Gerade y = x liegen Sara dos Reis

111 Bsp 26) Quiz 8, Mathe IV HS15, Es 8 Sara dos Reis

112 Normal-Plot als Tool für das Überprüfen einer Normal-Verteilung als Modell Ein QQ-Plot, bei dem die Modell-Verteilung gleich der Standard- Normalverteilung X~N(0,1) ist, heisst Normal-Plot Sara dos Reis

113 Funktionen einer Zufallsvariable Y = g X mit g einer Funktion von R nach R mit X eine ZV Dann ist Y eine neue ZV, zu jeder Realisierung x von X gehört die Realisierung y = g(x) von Y Sara dos Reis

114 Lineare Transformation g x = a + bx a, b R Für Y = a + b X gilt dann E Y = E a + b X = a + b E[X] Var Y = Var a + b X = b 2 Var[X] σ Y = b σ X α Quantil von Y = q Y α = 1 + b q X (α) Sara dos Reis

115 Bsp 27) Quiz 8, Mathe IV HS15, Es 7 Sara dos Reis

116 Funktionen von mehreren ZV y = g x 1, etc, x n wobei g R n R Wenn x 1, x 2, etc, x n Realisierungen der ZV X 1, X 2, etc, X n sind, dann ist y eine Realisierung der ZV Y = g(x 1, X 2, etc, X n ) Sara dos Reis

117 Funktionen von mehreren ZV Arithmetisches Mittel ഥX n Wir werden vor allem die Funktion Arithmetisches MittelI betrachten g x 1, x 2, etc, x n = xҧ n = 1 n i=1 n x i Das arithmetische Mittel der Daten xҧ n ist also eine Realisierung der ZV തX n Sara dos Reis

118 Unabhängigkeit und iid Annahme Spezielle spezifische Annahme für die betrachtete ZV X 1, etc, X n iid iid = indipendent, identically distributed Das heisst sie sind unabhängig und folgen alle dieselbe Verteilung Das spielt eine wichtige Rolle für Berechnung Erwartungswert und Varianz von Summen E X 1 + X 2 = E X 1 + E X 2 Var X 1 + X 2 = Var X 1 + Var[X 2 ] Sara dos Reis

119 Verteilung von ഥX n mit Betrachtung der iid Annahme X i haben dieselbe Verteilung, deshalb auch dieselben Kennzahlen E X i = μ und Var X = σ x 2 Die Kennzahlen von തX n folgen dann aus den allgemeinen Regeln für E[X] und Var[X] von Summen E തX n = μ Var തX n = σ x 2 n σ x തX n = σ x n Sara dos Reis

120 n-gesetz Streuung der arithmetischen Mittels ist proportional zu 1 n und nicht zu 1, das heisst, dass für eine doppelte n Genauigkeit braucht man nicht doppelt sondern vier Mal so viele Messungen Sara dos Reis

121 Zentraler Grenzwertsatz ZGS തX n = 1 σ n i=1 n x i തX n ~N μ, σ x 2 n S n = σ n i=1 X i S n ~N(nμ, nσ 2 x ) Sara dos Reis

122 Bsp 28) Quiz 9, Statistik I FS18, Fragen 1 a) Sara dos Reis

123 Vertrauensintervall in Normal-Verteilungen Da bei einer Normal-Verteilung N(μ, σ 2 ) ungefähr 95% der Fläche im Bereich μ ± 2σ liegen ist das Vertrauensintervall- 95 CI = [μ 2σ, μ + 2σ] Sara dos Reis

124 Statistik für eine Stichprobe - Hypothesentests für Erwartungswert Typische Kennzahlen sind E X i = μ und Var X = σ x 2 Normalerweise sind diese Kennzahlen in der Realität unbekannt und man möchte Rückschlüsse aus den Daten darüber machen Mögliche Antworten z-test t-test Wilcoxon-Test Vorzeichnen-Test Sara dos Reis

125 Tests für μ z-test Annahme X 1, X 2, etc, X n iid N μ, σ 2 x, σ x bekannt Der z-test für den Parameter μ ist dann wie folgt 1) Modell X i kontinuierliche Messagrösse X 1, X 2, etc, X n iid N μ, σ x 2, σ x bekannt 2) Hypothesen Nullhypothese H 0 μ = μ 0 Alternativhypothese H A μ μ 0 μ < μ 0 μ > μ 0 Sara dos Reis

126 3) Teststatistik X Z = ത n μ 0 = n തX n μ 0 σxn ഥ σ x Verteilung unter H 0 Z~N(0,1) 4) Signifikanzniveau α 5) Verwerfungsbereich K =], Φ 1 (1 α 2 )] Φ 1 (1 α 2 ),, falls H A μ μ 0 K =], Φ 1 (1 α)], falls H A μ < μ 0 K = [Φ 1 (1 α), [, falls H A μ > μ 0 Sara dos Reis

127 6) Testentscheid (auf Widerspruchs-Prinzip beruht) Liegt der beobachtete Wert z in K? Falls ja, H 0 kann auf dem Signifikanzniveau α verworfen werden Falls nein, H 0 kann auf dem Signifikanzniveau α nicht verworfen werden Sara dos Reis

128 Bsp 29) Serie 8, Mathe IV HS17, Es 2 d) Sara dos Reis

129 T-Verteilung Problem in der Praxis, meistens ist σ x nicht bekannt Schätzung neue Testverteilung (Tabelle) neue Test Schätzung der Varianz Neue Teststatistik T = ത X n μ 0 σx n σ 2 x = 1 n 1 (X i തX n ) i=1 n ~ t n «t-verteilung mit n Freiheitsgrade» Verteilung von T, falls H 0 stimmt T~t n 1 Sara dos Reis

130 Die t n -Verteilung ist eine symmetrische Verteilung um 0, welche langschwänziger ist als N(0,1) Füt T~t n gilt E T = 0 Var T = n n 2 F tn 1 ist die Kumulative Verteilungsfunktion der t-verteilung mit n 1 Freiheitsgrade F tn 1 t = P T t, wobei T~t n 1 Die Funktion F tn 1 für die t-verteilung ist Analog zur Funktion Φ z tabelliert Sara dos Reis

131 Tests für μ t-test Annahme X 1, X 2, etc, X n iid N μ, σ 2 x, σ x unbekannt Der t-test für den Parameter μ ist dann wie folgt 1) Modell X i kontinuierliche Messagrösse X 1, X 2, etc, X n iid N μ, σ 2 x, σ x unbekannt wird mit σ x geschätz 2) Hypothesen Nullhypothese H 0 μ = μ 0 Alternativhypothese H A μ μ 0 μ < μ 0 μ > μ Sara dos Reis 131

132 3) Teststatistik T = ത X n μ 0 σ ഥx n = n തX n μ 0 σ x 4) Signifikanzniveau α 5) Verwerfungsbereich K =], t α n 1;1 ] t α n 1;1,, falls H A μ μ 0 2 K =], t n 1;1 α ], falls H A μ < μ 0 K = [t n 1;1 α, [, falls H A μ > μ 0 2 Sara dos Reis

133 6) Testentscheid (auf Widerspruchs-Prinzip beruht) Liegt der beobachtete Wert t in K? Falls ja, H 0 kann auf dem Signifikanzniveau α verworfen werden Falls nein, H 0 kann auf dem Signifikanzniveau α nicht verworfen werden Sara dos Reis

134 Bsp 30) Serie 9, Mathe IV HS17, Es 2 a) b) Sara dos Reis

135 P-Wert für T-Verteilung Bei H A μ μ 0 und der beobachtete Wert t = n തX n μ 0 σ x, P-Wert berechnet sich so P T > t = 2 (1 F tn 1 n തX n μ 0 σ x ) Sara dos Reis

136 Vertrauensintervall für μ z-test Zweiseitiges Vertrauensinterval zum Niveau 1 α xҧ n z α 1 2 σ x n, xҧ n + z α 1 2 σ x n Sara dos Reis

137 Vertrauensintervall für μ t-test Zweiseitigen Vertrauensintervalle zum Niveau 1 α [ xҧ n t α n 1;1 2 σ x n, xҧ n + t α n 1;1 2 σ x n ] Einseitige Vertrauensintervalle zum Niveau 1 α ], xҧ n + t n 1;1 α σ x ] falls H n A μ < μ 0 [ xҧ n t n 1;1 α σ x, [ falls H n A μ > μ 0 Sara dos Reis

138 Bsp 31) Quiz 9, Statistik I FS18, Fragen 1c) Sara dos Reis

139 Tests für μ bei nicht-normalverteilten Daten Der z-test und t-test eignen sich für Daten, die Realisierungen von normalverteilten ZV sind Jetzt betrachten wir die allgemeinere Situation wobei ZV sind beliebige Verteilungen Man bezeichnet mit μ einem Lageparameter Nullhypothese ist von der Form H 0 μ = μ 0 Mögliche Tests Vorzeichen-Test Wilcoxon-Test Sara dos Reis

140 Vorzeichen-Test Idee Wenn μ der Median der Verteilung von X ist, dann ist die W keit, dass eine Realisierung von X grösser als μ genau gross wie de W keit, dass sie kleiner als μ ist P X > μ = 0,5 Der Vorzeichen-Test ist ein Binomialtest Sara dos Reis

141 1) Modell X 1, X 2, etc, X n iid wobei X i eine beliebige Verteilung hat 2) Hypothesen Nullhypothese H 0 μ = μ 0, μ ist der Median Alternativhypothese H A μ μ 0 μ < μ 0 μ > μ 0 3) Teststatistik V Anzahl X i mit X i > μ 0 Verteilung unter H 0 V~Bin n, π 0 mit π 0 = 0,5 Sara dos Reis

142 4) Signifikanzniveau α 5) Verwerfungsbereich K = 0, c u c o, n c u und c o mit der Binomialverteilung oder mit Normalapproximation (für grosse n) 6) Testentscheid (auf Widerspruchs-Prinzip beruht) Liegt der beobachtete Wert v in K? Falls ja, H 0 kann auf dem Signifikanzniveau α verworfen werden Falls nein, H 0 kann auf dem Signifikanzniveau α nicht verworfen werden Sara dos Reis

143 Vorteile Keine Annahme an die Verteilung Nachteile Kleinere Macht Sara dos Reis

144 Bsp 32) Serie 9, Mathe IV HS17, Es 2 c) Sara dos Reis

145 Wilcoxon-Test Idee Mischung von Vorzeichen- und t-test Voraussetzung X 1, X 2, etc, X n wobei die Verteilung stetig und symmetrisch ist bezüglich μ = E[X i ] X i ~F iid Mit Software iid Sara dos Reis

146 Übersicht der Tests Sara dos Reis

147 Stichprobegrösse Faustregel für 95%-VI δ = Halb der Breite der VI n = Stichprobegrösse n 4 σ x δ 2 Sara dos Reis

148 Bsp 33) Quiz 9, Statistik I FS18, Fragen 1 d) Sara dos Reis

149 Tests bei zwei Stichproben Methoden, um einen Vergleich zweier Methoden (wie Gruppen, Versuchsbedingungen, Behandlungen, etc) hinsichtlich der Lage der Verteilung machen Möglichkeiten Gepaarte Stichproben Ungepaarte Stichproben Sara dos Reis

150 Gepaarte Stichproben Jeder Beobachtung in Gruppe 1 kann eine Beobachtung in Gruppe 2 zugeordnet werden n Elemente a 1, a 2, etc, a n in G 1 n = m Elemente b 1, b 2,, etc, b n in G 2 betrachte die Differenz der Paare a i b i = x i x 1, x 2, etc, x n t Test für eine Stichprobe x i wird als Realisierung von iid ZV X i, etc, X n auffassen Falls die Daten normalverteilt sind t-test (sonst Vorzeichentest oder Wilcoxon Test) Sara dos Reis

151 Es liegt eine gepaarte Stichprobe vor, wenn Beide Versuchsbedingungen an derselben Versucheinheit eingesetzt werden oder Jeder Versuchseinheit aus der einen Gruppe genau eine Versuchseinheit aus der anderen Gruppe zugeordnet werden kann Notwendig Stichprobegrösse muss gleich sein und a i und b i sind abhängig, weil die Werte von der gleichen Versuchseinheit kommen Sara dos Reis

152 Bsp 34) Serie 10, Mathe IV HS15, Es 2 Sara dos Reis

153 Ungepaarte Stichproben Eine Beobachtung in Gruppe 1 kann keiner Beobachtung in Gruppe 2 zugeordnet werden A 1, A 2, etc, A n iid B 1, B 2, etc, B n iid wobei alle A i s und B i s unabhängig sind t-test Ungepaarte t-test mit gleichen Varianz Ungepaarte t-test mit unglechen Varianz Sara dos Reis

154 Gepaarte Stichprobe Ungepaarte Stichprobe Sara dos Reis

155 Ungepaarter t-test mit gleichem Varianz (σ 2 = σ x 2 = σ y 2 ) 1) Modell X 1, X 2, etc, X n iid ~N μ x, σ 2 Y 1, Y 2, etc, Y m iid ~N μ y, σ 2 2) Hypothesen Nullhypothese H 0 μ x = μ y Alternativhypothese H A μ x μ y μ x > μ y μ x < μ y Sara dos Reis

156 3) Teststatistik wobei 2 S pool = 1 n + m 2 = 1 n+m 2 n i=1 T = ത X n തY m S pool 1 n + 1 m m X i തX n 2 + i=1 n 1 σ x 2 + m 1 σ y 2 Y i തY m 2 = തX n = 1 n σx i σ x = 1 σ x 2 n 1 i xҧ n Analog für തY m Analog für σ y Verteilung der Teststatistik unter H 0 T~t n+m Sara dos Reis 156

157 4) Signifikanzniveau α 5) Verwerfungsbereich K =], t α n+m 2,1 ] [t α 2 n+m 2,1, [ falls H A μ x μ y 2 K = [t n+m 2,1 α, [ falls H A μ x > μ y K =], t n+m 2,1 α ] falls H A μ x < μ y 6) Testentscheid (auf Widerspruchs-Prinzip beruht) Liegt der beobachtete Wert t in K? Falls ja, H 0 kann auf dem Signifikanzniveau α verworfen werden Falls nein, H 0 kann auf dem Signifikanzniveau α nicht verworfen werden Sara dos Reis

158 Bsp 35) Serie 10, Mathe IV HS15, Es 3 a)b) Sara dos Reis

159 Ungepaarter t-test mit ungleichem Varianz (σ x 2 σ y 2 ) X 1, X 2, etc, X n iid ~N μ x, σ x 2 Y 1, Y 2, etc, Y m iid ~N(μ y, σ y 2 ) Welch-Test Statistischer Programmen Sara dos Reis

160 Multiples Testen Bonferroni Korrektur Man will eine konservative Liste mit der Eigenschaft P mind 1 Fehler 1er Art α Bonferroni Korrektur Testen jedes Elementes mit Signifikanzniveau α statt α, wobei m die Anzahl Elemente ist m Begründung F i P m ራ i=1 = Fehler 1er Art bei Gen i F i m P F i i=1 m = i=1 α m = α Nachteil, die Liste kann evtl extrem konservativ werden Sara dos Reis

161 Ziele Einfache Lineare Regression Modell einfachen linearen Regression Parameterschätzung Schätzung von Residuen Varianzschätzung Test Einfache Lineare Regression Modell einfachen linearen Regression Parameterschätzung Schätzung von Residuen Varianzschätzung Test Regression Sara dos Reis

162 Einfache Lineare Regression Einführungsbeispiel Wir vermuten, dass ein Zusammenhang zwischen Buchpreis und Seitenzahl von Romane existiert Durch diese Zusammenhang könnten wir «Voraussetzungen» über das Preis eines Büchers machen, wenn wird die Anzahl Seite kennen Gibt es eine Gerade, die dieses Zusammenhang schön repräsentiert? dh eine Gerade, die möglichst gut zu allen Punkt passt? Sara dos Reis

163 Das Modell der einfachen linearen Regression Y i = β 0 + β 1 x i + E i = 1,, n, E 1,, E n iid, E E i = 0, Var E i = σ 2 Die y-variable ist die Zielvariable und die x-variable ist die erklärende Variable «einfach» wenn nur eine x-variable vorkommt «linear» die Parameter kommen nur in lineare Form an Sara dos Reis

164 Parameterschätzung 2 Methoden Methode der kleinsten Quadrate Maximum Likelihood Methode (ML) መβ 0 und መβ 1 sind Minimierender von σn i=1 y i β 0 + β 1 x i 2 Lösung des Optimierungsproblems መβ 1 = σ n i=1 y i തy n (x i xҧ n ) n x i xҧ 2 n σ i=1 መβ 0 = തy n መβ 1 ҧ x n Sara dos Reis 164

165 Schätzung von Residuen und σ Residuen R i = y i መβ 0 + መβ 1 x i, i = 1,, n Varianzschätzung σ 2 = 1 n n 2 i=1 R i 2 Sara dos Reis

166 Test Man führt ein t-test, um zu wissen ob β 1 signifikant von 0 unterschiedlich ist 1) Modell Y i = β 0 + β 1 x i + E i E 1,, E n iid N(0, σ 2 ) 2) Hypothesen Nullhypothese H 0 β 1 = μ 0 Alternativhypothese H A β 1 0 Sara dos Reis

167 3) Teststatistik β T = 1 0, wobei s. e. መβ s.e.(β 1 ) 1 = Var መβ 1 = Verteilung der Teststatistik unter H 0 : T~t n 2 σn i=1 σ x i xҧ 2 n 4) Signifikanzniveau α 5) Verwerfungsbereich K =], t α n 1;1 ] t α n 1;1,, falls H A μ μ Sara dos Reis

168 6) Testentscheid (auf Widerspruchs-Prinzip beruht) Liegt der beobachtete Wert t in K? Falls ja, H 0 kann auf dem Signifikanzniveau α verworfen werden Falls nein, H 0 kann auf dem Signifikanzniveau α nicht verworfen werden Sara dos Reis

169 Lineare Regression in R Sara dos Reis

170 Konfidenzintervall Exaktes VI [ መβ i σ β i t n 2;1 α 2, መβ i + σ β i t α n 2;1 ] 2 Faustregel (Approximation für 95%-VI) [ መβ i 2 σ βi, መβ i + 2 σ βi ] Sara dos Reis

171 Bsp 36) Serie 12, Mathe IV HS17, Es 1 a)b)c)d) n=13 Sara dos Reis

172 Residuenanalyse Frage Wie gut stimmt das Modell? Man muss unterschiedliche Aspekte prüfen Form des funktionellen Zusammenhangs Konstanz der Varianz der Fehler Normalverteilung des Fehlers Sara dos Reis

173 Form des funktionellen Zusammenhang Man prüft ob es systematische Fehler gibt Bei einfache Regression Streudiagramm Sara dos Reis

174 Konstanz der Varianz der Fehler Man prüft, ob die Varianz der Fehler konstant ist Bei einfache Regression Streudiagramm Sara dos Reis

175 Normalverteilung der Fehlern Bei einfache lineare Regression QQ-Plot Sara dos Reis

176 Bsp 37) Prüfung WI17, Es 11 Sara dos Reis

177 Bsp 38) Prüfung WI17, Es 12 Sara dos Reis

178 Bsp 39) Prüfung WI17, Es 13 Sara dos Reis

179 Multiple Regression Um zu prüfen ob die Multiple Regression gut ist nutzt man der Tukey-Anscombe Plot (Residuen r i gegen angepasste Werte y i ) Sara dos Reis

180 Einige Tipps - Die Theorie gut zu verstehen und DANN üben - Üben, üben, üben, üben (das ist ziemlich trivial ) - Quiz machen aber auch die Alte Prüfungen, diese sind besonders wichtig, um zu wissen welche Typologie von Fragen an der Prüfung zu erwarten sind!!! - Fragen stellen per Mail, macht ihr keine Sorge - Viel studieren aber auch ein bisschen chilling ist wichtig! Sara dos Reis

181 Danke für eure Aufmerksamkeit Fragen, Feedbacks und Vorschläge sind herzlich Willkommen Sara dos Reis

182 Quellen Skript Statistik I für Biologie, Gesundheitswissenschaftem und Pharmazeutische Wissenschaften, Kalisch, Bühlmann, Künsch, ETH Zürich Unterlagen aus der Vorlesungen Statistik I, Markus Kalisch, FS18, ETH Zürich Mathematik IV Statistik, Daniel Stekhoven, HS17, ETH Zürich Mathematik IV Statistik, Daniel Stekhoven, FS15, ETH Zürich Beispiele Quiz auf Moodle, Statistik I, Markus Kalisch, FS18, ETH Zürich Serien, Mathematik IV Statistik, Daniel Stekhoven, HS17, ETH Zürich Serien, Mathematik IV Statistik, Daniel Stekhoven, FS15, ETH Zürich Quiz, Mathematik IV Statistik, Daniel Stekhoven, FS15, ETH Zürich Sara dos Reis