1 Vorwort. Tutorium Mathematik in den Wirtschaftswissenschaften

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1 Tutorium Mathematik in den Wirtschaftswissenschaften 1 Vorwort Liebe Kommilitoninnen und Kommilitonen, wer hat keine Angst davor, dass seine Mathematikkenntnisse aus der Schule nicht ausreichen, um ein mathelastiges Studium zu bestreiten? Wer hat nicht schon einen Teil der Methodik aus den ersten Semestern vergessen, die irgendwann einfach fehlt? Dieses Skript entstand, um euch die Angst vor dem Mathematikanteil in BWL und VWL zu nehmen und soll als Lernund Nachschlagewerk - nicht nur für Erstsemester - dienen. Zu diesem Zweck wurden zum Wintersemester 09/10 auch freiwillige Mathematiktutorien eingeführt, die keine Ergänzung zur Vorlesung Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler bilden, sondern als separate Lerngruppen dem Erwerb und der Auffrischung methodischer Kenntnisse dienen sollen. Sollten euch die mathematischen Werkzeuge auf den folgenden Seiten nicht (mehr) geläufig sein, bieten die Tutorien eine gute Gelegenheit, eure Lücken ganz unproblematisch zu füllen, bevor diese zum Problem werden. Wir haben versucht, dieses Skript als ein Leitfaden zu den Tutorien zu gestalten und alle gängigen Methoden, die ihr im Laufe eures Studiums benötigen werdet, darzustellen. Auf den folgenden Seiten findet ihr deshalb die wichtigesten mathematischen Werkzeuge für BWL und VWL, angefangen bei den Grundrechenarten bis hin zur Stochastik. Trotz sorgfältiger Arbeit erheben wir allerdings nicht den Anspruch auf Vollständigkeit oder vollkommene Fehlerfreiheit. Vielmehr hoffen wir, dass dieses Skript im Laufe der Semester aktualisiert und immer weiter verbessert wird. Im Gegenteil befinden sich einige Passagen noch in der Bearbeitung. Deshalb begrüßen wir Verbesserungen und Vervollständigungen eurerseits, die dazu führen sollen, das Skript zu einer immer nützlicheren Hilfe für möglichst viele Studentinnen und Studenten werden zu lassen. Eure Vertreter der Fachschaft VWL, Oktober 2009 Version v0.3: 16. Oktober

2 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort 1 2 Grundrechenarten Addition und Multiplikation Bruchrechnung Gleicher Nenner: Ungleicher Nenner: Potenzrechnung Ganze Exponenten Rationale Exponenten: Wurzeln Logarithmen Gleichungen Funktionen Äquivalenzumformungen Verschiedene Gleichungstypen Lineare Gleichungen Quadratische Gleichungen Kubische Gleichungen Bruchgleichungen Wurzelgleichungen Binomische Formeln Exponentialgleichungen Logarithmusgleichungen Beispiel: Das IS-LM-Modell Differentialrechnung Rechenregeln der Differentialrechnung Marginale und diskrete Wertänderungen Extremwerte Krümmungsverhalten Funktionen mit mehreren Variablen Ableiten einer Funktion mit mehreren Variablen Beispiel: Grenzprodukte und Skalenerträge Extremwerte bei Funktionen mehrerer Variablen Das totale Differential

3 5.5 Methode nach Lagrange Integralrechnung Stammfunktionen Fundamentalsatz der Analysis Bilden von Stammfunktionen Das unbestimmte Integral Das bestimmte Integral Beispiel: Konsumentenrente Matrixalgebra Warum Matrizen nützlich sind Rechnen mit Matrizen Addition und Subtraktion Matrizen-Multipikation Multipikation einer Matrix mit einem Skalar Transponieren einer Matrix Besondere Matrizen Vektoren Nullmatrix Quadratische Matrix und Einheitsmatrix Zusammenfassung der Rechenregeln der Matrixalgebra Lineare Abhängigkeit Determinanten quadratischer Matrizen Inverse einer Matrix Formale Herleitung Gauß-Jordan Elimination Cramer sche Regel Beispiel: Herleitung des multivariaten OLS-Schätzers Ableiten der Matrizen Auflösen der Gleichung Stochastik Begriff der Wahrscheinlichkeit Definition von Wahrscheinlichkeit Laplace-Wahrscheinlichkeit Axiomatische Wahrscheinlichkeit

4 8.3 Diskrete und stetige Zufallsvariablen: Wahrscheinlichkeits-, Dichte- und Verteilungsfunktion Zufallsvariablen Diskrete Zufallsvariablen Stetige Zufallsvariablen Rechnen mit Zufallsvariablen Mengenlehre Bedingte Wahrscheinlichkeit Erwartungswert Die Momente einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

5 2 Grundrechenarten Da bei manchem Studienanfänger der Schulunterricht vielleicht schon eine Weile zurück liegt, wollen wir in diesem ersten einführenden Kapitel zunächst mathematische Grundprinzipien wiederholen. Wir wollen so jedem Nutzer dieses Skripts ermöglichen, sich die mathematische Methode von der Pike an in Erinnerung zu holen. 2.1 Addition und Multiplikation Für Addition und Multiplikation gelten drei Gesetze: 1. Kommutativgesetz: a + b = b + a Beispiel: = = 3 2. Assoziativgesetz: (a + b) + c = a + (b + c) Beispiel: (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3) = 6 3. Distributivgesetz: (a + b) c = c a + c b Beispiel: (2 + 5) 2 = = Bruchrechnung m Ein Bruch ist eine Zahl der Form. m ist der Zähler, n der Nenner. Ein Nenner n = 0 ist n nicht definiert. Sogenannte Echte Brüche sind Brüche mit m < n. Für unechte Brüche gilt m > n. Brüche mit m = 1 sind Stammbrüche. Der Kehrwert bildet sich durch die Vertauschung von Zähler und Nenner. Bruchoperationen: Erweitern: a b = a c b c = ac bc ; c 0 5

6 Beispiel: 2 = 2 5 = Kürzen: a = a c b b c 9 Beispiel: = 9 9 = Addieren/Subtrahieren Gleicher Nenner: a + b = a+b c c c Beispiel: = 1 = Ungleicher Nenner: Brüche mit ungleichen Nennern müssen auf den gleichen Nenner gebracht werden, bevor eine Addition oder Subtraktion möglich ist. Hierbei bedient man sich des Erweiterns. Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner. a + c = a d + c b = ad+cb b d b d d b bd Beispiel: Hauptnenner: 4 3 = = Multiplizieren: a c = ac b d bd Dividieren: a c = a d = ad b d b c bc Das Kürzen und Dividieren, sowie Multiplizieren und Erweitern sind zu unterscheiden! 2.3 Potenzrechnung Ganze Exponenten a n : Potenz n: Exponent 6

7 a: Basis a n sei eine Kurzschreibweise für das Produkt n a = a a... a Es gelten folgende Definitionen: a ( p q ) = b a p = b q a n = 1 a n a 1 = a a 0 = 1 Zusätzlich gelten folgende Operationen: b a n + c a n = (b + c) a n Diese Regel ist einfach eine Verallgemeinerung des Distributivgesetzes. a m a n = a (m+n) Wenn die Basen (die a s) gleich sind, werden diese multipliziert, indem man einfach deren Exponenten addiert. am a n = a (m n) Diese Regel läuft analog zur vorhergehenden Regel, nur dass bei einer Division gleicher Basen die Hochzahlen subtrahiert werden. ( a b ) n = ( b a )n Ist die Hochzahl negativ, so erhält man einen positiven Exponenten, wenn man Zähler und Nenner vertauscht. Dieses Ergebnis kann man sehr leicht selbst ausrechnen. a n b n = (ab) n Sind die Basen unterschiedlich, aber die Exponenten gleich, so kann man den Exponenten herausziehen. Umgekehrt gilt natürlich auch: Sollte man zwei zu multiplizierende Basen umschreiben wollen, muss man selbstverständlich bei jeder Basis an den Exponenten denken. (a n ) m = a nm Und zum Schluss: Wird eine Potenz potenziert, so multipliziert man einfach die Exponenten. 7

8 2.3.2 Rationale Exponenten: Wurzeln Wurzeln sind Potenzen mit rationalen Exponenten. Somit ist das Rechnen mit Wurzeln nur Rechnen mit Brüchen als Hochzahl. n am = a ( m n ) Beispiele: a2 = a ( 2 2 ) = a 1 = a 3 a4 = a ( 4 3 ) 5 ab3 = (ab) ( 3 5 ) = (ab) ( ) = (ab) ( 3 10 ) Nebenbei: Rechnungen in dieser Ausführlichkeit kosten zwar ein klein wenig mehr Zeit, aber sie minimieren die Fehlerwahrscheinlichkeit drastisch. Zum Üben und in der Klausur ist diese Ausführlichkeit auf jeden Fall gerechtfertigt! Nun sei noch auf das Rationalmachen der Nenner verwiesen: a a b b b Auch wenn es banal klingt: Übt das Rechnen mit Wurzeln! Unsicherheiten mit solchen Grundoperationen können in Klausuren viele Punkte kosten, die leicht verdient wären. 8

9 2.4 Logarithmen Hier betrachten wir nun allein die Rechenregeln zum Logarithmus. Was ein Logarithmus konkret ist oder woher die zunächst unverständlichen Rechenregeln überhaupt kommen, wird später noch erläutert. Hier beschränken wir uns zunächst nur auf den natürlichen Logarithmus. Die Gleichung a x = b ist nur durch den Logarithmus lösbar: a x = b ln x ln a = ln b x = ln b ln a Diese Regel ist manchen noch aus der Oberstufe geläufig. Die Nützlichkeit und seine Praktikabilität gewinnt der Logarithmus durch diese Beziehung: ln(b m c n ) = m ln b + n ln c ln( bm ) = m ln b n ln c cn Diese Beziehung bedeutet nichts anderes als den Ausdruck einer Multiplikation durch eine Addition. Für diejenigen, die sich an Rechengesetzte wie die Produktregel in der Differentialrechnung erinnern, wissen, wie wertvoll es sein kann, einen multiplikativen Zusammenhang additiv ausdrücken zu können. Der natürliche Logarithmus ist sehr eng mit der Eulerzahl e verbunden. Es gilt nämlich: Es gilt vor allem ln e = 1. e x = b x = ln b 9

10 3 Gleichungen Durch Gleichungen lassen sich quantitative, also zählbare, Beziehungen zwischen verschiedenen Variablen beschreiben. Das Beschreiben solcher Zusammenhänge spielt in den Wirtschaftswissenschaften eine große Rolle. Dazu betrachten wir ein einfaches Beispiel: Verkauft eine Eisdiele an einem Tag y Kugeln Eis zu einem Preis von p, dann ist es nur logisch, dass sich der Umsatz durch Multiplikation der beiden Größen berechnen lässt. Verkauft die Eisdiele also konkret 200 Kugel Eis für je 0,5 Euro, so beträgt der Umsatz 100 Euro. Der Umsatz ist also sowohl von Preis und Verkaufsmenge abhängig. Eine Gleichung ist dabei nichts weiter als die Übersetzung eines solchen, beschriebenen Sachverhaltes in eine formale Notation. Im Beispiel unserer Eisdiele können wir den Umsatz U folgendermaßen beschreiben: U = p y Für die zuvor gewählten Zahlen beträgt der Umsatz also U = 200 0,5 = 100 wie wir es bereits verbal beschrieben haben. In den Wirtschaftswissenschaften werden natürlich häufig weitaus komplexere Probleme analysiert. Allgemein erfreut sich die Beschreibung dieser Probleme mit Hilfe mathematischer Schreibweisen großer Beliebtheit. Dies liegt an unter anderem an zwei wesentlichen Vorteilen dieser Methodik, die sich aber auch in unserem einfachen Beispiel bereits offenbaren: Formale Schreibweisen sind sehr kompakt: Die formale Notation lässt sich für einen geübten Leser deutlich schneller lesen als die Schilderung eines Sachverhalts durch einen langen Aufsatz. Dazu erlaubt die Mathematik im Gegensatz zu einer verbalen Erläuterung keine mehrdeutige Interpretation durch einen dritten Leser. Gleichungen haben trotzdem immer eine nichtmathematische Intention. In der Ökonomie müssen Gleichungen wie der Zusammenhang zwischen Umsatz, Preis und Verkaufsmenge ökonomisch und nur sehr selten mathematisch begründet werden. Alle Zusammenhänge, die sich aus Kombination der zu Beginn als gegeben angenommenen Gleichungen durch Anwendung der mathematischen Gesetze ableiten lassen sind ebenfalls richtig und haben eine ökonomische Bedeutung. Bei der obigen Gleichung handelt es sich bereits um eine Funktion und damit um einen speziellen Typen einer Gleichungen. Allgemein lassen sich Gleichungen in drei verschiedene Grundtypen unterteilen, die im Folgenden kurz aufgeführt sind. 10

11 1. Identitäten: Bei Identitäten läst sich durch Umformen einer Seite der Gleichung immer der Inhalt der anderen Seite replizieren. Somit wären Gleichungen wie z.b. a = a eine triviale Identität. Andere Beispiele für Identitäten sind: a n a m = a n+m ln(x y) = ln x + ln y = 7 2. Bestimmungen: Bei Bestimmungen lassen sich unbekannte Werte der Gleichung durch Auflösen nach diesen Werten errechnen. Häufig ist dazu eine Umformung von Nöten. Beispiele sind: x + 1 = 7 4 x = 5 ln x = 1 + x 3. Funktionen: Mit Funktionen werden Werte einer abhängigen Variablen durch Werte von anderen, unabhängigen Variablen beschrieben. So war es zum Beispiel mit dem Umsatz der Fall. Der Umsatz, die abhängige Variable, ist durch die Werte von Preis und Verkaufsmenge festgelegt, die wir hier als unabhängig angenommen haben. Somit ist Der Umsatz eine Funktion von Preis und Verkaufsmenge. Wie das Beispiel schon naheliegt sind Funktionen für die Wirtschaftswissenschaften sehr wichtig. Wir werden Funktionen im folgenden Verlauf dieses Skriptes deshalb noch näher betrachten. Andere (nicht-ökonomische) Beispiele für Funktionen sind: y = x y = sin x y = e x2 + x 3.1 Funktionen Eine Funktion beschreibt immer eine Input-Output-Beziehung. So ist unser Umsatz U wie bereits erwähnt, eine Funktion der Variablen Preis (p) und Verkaufsmenge (y). Die beiden zuletztgenannten Variablen sind hierbei der (exogene, also von außen vorgegebene) Input. Der Umsatz, das Ergebnis der Funktion, ist der (endogene, also durch Anwendung unseres 11

12 Modells beschriebene) Output, der sich aus diesem Input errechnen lässt. Man beschreibt eine solche allgemeine Input-Output-Beziehung in der Mathematik auch mit U = f(p, y) wobei der Autor damit lediglich zum Ausdruck bringen will, dass U eine (bisher noch nicht spezifizierte) Funktion (hier f) der Werte p und y ist. Eine solche allgemeine Funktion lässt sich nun genauer definieren. Der Umsatz ist, wie uns bereits bekannt, einfach das Produkt der beiden Variablen. Also setzen wir: f(p, y) := p y Mit dem Doppelpunkt vor dem Gleichheitszeichen signalisieren wir dem Leser unserer Formel, dass wir die obige, spezielle Funktionsform an dieser Stelle zum ersten Mal (selbst) definieren. Wir möchten ihn dadurch darauf aufmerksam machen, dass dieser Zusammenhang zuvor noch nicht bekannt war und insbesondere nicht nach den allgemeinen, mathematischen Gesetzen gilt. In den Wirtschaftswissenschaften ist es dabei wichtig, sich den Unterschied zwischen einer Funktion und einfachen (exogenen) Variablen immer vor Augen zu halten. In vielen Aufsätzen und Skripten sind diese beiden Variablentypen nämlich nicht immer in ihrer Notation zu unterscheiden. Wollte man zum Beispiel den Gewinn unserer Eisdiele errechnen, so wäre der Gewinn (π) widerum eine Funktion von Umsatz abzüglich der Kosten. Definieren wir die Kosten mit K = g(x) := x 2 so liese sich der Gewinn mit π = h(u, K) := U K beschreiben. Hier ist der Gewinn aber nicht von zwei Variablen sondern von zwei Funktionen abhängig, die selbst widerum durch (exogene) Variablen erklärt werden. Sauberer könnte man auch schreiben: π = h(u, K) := U(p, x) K(x). Allerdings verzichten viele Autoren auf eine solche explizite Darstellung. Dass Funktionen hier mit Großbuchstaben markiert sind und Variablen durch Kleinbuchstaben soll hier lediglich der einfacheren Lesbarkeit im weiteren Verlauf des Skriptes dienen und wird in der Literatur in dieser Präzision selten befolgt. Außerdem ist darauf zu achten, dass Funktionen nicht immer so deutlich wie oben dargestelt definiert werden, sondern dass sich diese Eigenschaft manchmal lediglich aus dem Kontext verstehen lässt. Würden wir beispielsweise, wie zu Beginn dieses Kapitels, einfach behaupten, dass der Umsatz durch ein Produkt aus Preis und Verkaufsmenge ist, hätten wir sinngemäß ebenfalls eine Funktion definiert. Formal korrekter werden Funktionen häufig auch als explizite Abbildung eines Werteraums auf einen anderen Werteraum aufgeschrieben. Inhaltlich macht dies keinen Unterschied, allerdings sind viele Studenten mit dem Lesen solcher Formalisierungen nicht vertraut. Aus diesem Grund 12

13 wollen wir an dieser Stelle bereits kurz auf die Mengenlehre, die in den späteren Kapiteln noch im Detail beschrieben ist, vorgreifen. Hier soll zunächst nur kurz dargestellt werden, wie die Beschreibung einer Abbildung allgemein zu interpretieren ist. Unsere als Beispiel genutzte, allgemeine Funktion für den Umsatz (U = f(p, x)) liese sich als Abbildung folgendermaßen notieren: f: R + 0 N + 0 R + 0 Diese Darstellung sieht auf den ersten Blick sehr kompliziert aus, ist aber eigentlich sehr trivial. Diese Formel liest sich wie folgt: Die Funktion f kombiniert ( ) jede beliebige, positive reele Zahl (R + 0 ) mit einer beliebigen positiven natürlichen Zahl (N + 0 ). Als Ergebnis ( ) ergibt sich daraus widerum eine beliebige, positive reele Zahl (R + 0 ). An unserem Beispiel also könnte ein Leser aus dieser Notation sinngemäß erkennen, dass sich aus der Funktion f der Preis mit der Absatzmenge zu dem Umsatz als Ergebnis kombinieren lässt. Dass aber eine Multiplikation vorgenommen wird oder welche andere spezielle Form die Funktion annimmt, lässt sich aus dieser Schreibweise nicht erkennen. Allerdings sind die Wertbereiche der Variablen aus der Definition einer Abbildung zu erkennen. Wir wissen also, dass für die Verkaufsmenge nur Ganzzahlen erlaubt sind. Dass Preis und Umsatz hingegen auch Kommastellen zulassen. 3.2 Äquivalenzumformungen Existierende Gleichungen, nicht nur Funktionen, lassen sich grundsätzlich beliebig um neue Elemente erweitern oder um bestehende Elemente kürzern. Dadurch wollen wir den Zusammenhang der Zahlen und Variablen kompakter darstellen oder Ergebnisse hervorheben. Die eigentliche Aussage oder Gültigkeit einer Gleichung wird dabei nicht verändert. Dieses, vielen sicherlich noch aus der Schulmathematik bekannte, Konzept wird mit Hilfe sogenannter Äquivalenzumformungen umgesetzt. Als Beispiel betrachten wir den beliebig gewählten Term: x a = b. Um hieraus z.b. x zu bestimmen greifen wir auf die Äquivalenzumformung zurück: Wir wollen ein Ergebnis im Sinne von: x =... erhalten. x a = b + a (x a) + a = b + a x = b + a 13

14 Mit Hilfe des Pfeilsymbols verdeutlichen wir dabei, dass es sich um eine Äquivalenzumformung handelt; wir also lediglich die Darstellung der Gleichung verändert haben und sich die vorherige und aktuelle Zeile im eigentlichen Inhalt nicht unterscheiden. Wollen wir dem Leser außerdem deutlich machen, welches Element wir in der nächsten Zeile auf beiden Seiten hinzufügen oder entfernen, so schreiben wir die Rechenoperation hinter einen Lämngsstrich ( ) an die rechte Seite der Gleichung. Letzteres ist in der Literatur oder auch in Skripten allerdings unüblich. Analog funktionieren solche Äquivalenzumformungen für die Subtraktion, was am folgenden Beispiel verdeutlicht sein soll: x + a = b a (x + a) a = b a x = b a Das Gleiche funktioniert natürlich auch bei multiplikativen Verknüpfungen: x a = b a x a a = b a x = b a Oder auch für die Division: a x = b : a a x a = b a x = b a 3.3 Verschiedene Gleichungstypen Leider sind Gleichungen nur selten so einfach lösbar wie wir es im vorherigen Abschnitt beschrieben und gezeigt haben. Das Lösen von komplexeren Gleichungen erfordert die im folgenden beschriebenen Theorie, aber auch viel Übung und ein Auge für den nächsten Lösungsschritt. Macht euch aber keine Sorgen: Das Lösen von Gleichungen ist keine rocket science sondern 14

15 erfordert lediglich Routine und kann von Jedem erlernt werden. Lasst euch deshalb bitte nicht frustrieren, wenn ihr nicht von Anfang an selbstständig auf alle Lösungen der in den Vorlesung gerechneten Aufgaben kommt. Wie fast immer macht Übung auch hier den Meister Lineare Gleichungen Lineare Gleichungen sind die einfachste Form von Gleichungen. In solchen Gleichungen steht die unbekannte Variable, nach der wir auflösen wollen und die wir hier immer mit x bezeichnen wollen, mit der Hochzahl Eins. (x 1 = x) Jede lineare Gleichung lässt sich deshalb in der Form a x + b = 0 beschreiben, wobei a und b beliebige reele Zahlen sind und a 0. Die Lösung einer linearen Gleichung ist deshalb trivial immer: x = b. Wir verdeutlichen dies an folgendem a Beispiel: 5(x + 2) = 3(x 6) 5x + 10 = 3x x 8x + 10 = x = 8 : 8 x = 1 Wer sich, insbesondere bei komplexeren Gleichungen, unsicher ist, ob das Ergebnis stimmt, kann abschließend eine Probe durchführen. Nur wenn das Einsetzen des Ergebnisses in jede Seite der ursprünglichen Gleichung indentisch ist, stimmt das errechnete Ergebnis Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen sind algebraische Gleichungen, in denen höchstens die zweite Potenz vorkommt. Die unbekannte Variable, auch hier wieder mit x bezeichnet, darf also Höchstens mit der Hochzahl Zwei notiert sein. (x 2 ) Gleichzeitig darf x aber auch mit der Hochzahl Eins in der Gleichung vorkommen. Jede quadratische Gleichung lässt sich deshalb in der Form ax 2 +bx+c = 0 mit a 0 aufschreiben. 15

16 Solche quadratische Gleichungen können einfach mit der sogenannten Mitternachtsformel oder der p-q-formel gelöst werden. Beide Arten der Lösung sind zur Lösung quadratischer Gleichungen geeignet. Die Mitternachtsformel lautet: x 1,2 = b ± b 2 4ac 2a Dazu betrachten wir beispielhaft eine beliebig gewählte Gleichung: 3x 2 18x + 13 = 4 + 2x Diese Gleichung müssen wir zunächst auf eine der Seiten auflösen. Wir bringen deshalb durch Subtraktion beziehungsweise Addition alle Terme auf die linke Seite. Es folgt: 3x 2 18x + 23,25 = 4 + 2x 4 2x 3x 2 20x + 19,25 = 0 Zur Lösung dieser quadratische Gleichung nach x lässt sich nun die Mitternachtsformel anwenden. Dazu lassen sich durch simples Ablesen die Werte für a, b und c bestimmen. Diese sind nach der obigen Gleichung a = 3, b = 20 und c = 19,25. Diese Werte setzen wir nun in die Mitternachtsformel ein: x 1,2 = ( 20) ± ( 20) , = 20 ± = 10 3 ± 13 6 Diese Lösung besagt, dass die quadratische Gleichung zwei Nullstellen besitzt. Für die erste Lösung werden beide Ausdrücke addiert. Für die zweite Lösung wird der zweite Ausdruck vom ersten Ausdruck subtrahiert. Damit hat die Gleichung Nullstellen an den Punkten: x 1 = ,5 x 2 = ,167 Betrachten wir nun die selbe Gleichung mit der p-q Formel. Die p-q Formel lautet x 1,2 = p ( 2 ± p 2 )2 q Um zu wissen, welche der beiden Formeln man anwenden soll, muss man zwischen allgemeiner Form und Normalform unterscheiden. Eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form wurde 16

17 oben bei der Mitternachtsformel behandelt (ax 2 + bx + c = 0). Die Normalform erhält man, indem man die quadratische Gleichung in allgemeiner Form durch a dividiert. Also: x 2 + b a x + c a = 0. Für die p-q Formel werden b a = p und c a = q gesetzt. Die Normalform ist also x 2 + px + q = 0. Betrachtet man unsere quadratische Gleichung aus dem Beispiel, 3x 2 20x + 19,25 = 0, so muss hier zuerst die Gleichung durch das a geteilt werden. In diesem Fall ist a = 3, also ergibt sich x ,25 3 = 0. Nun ist die quadratische Gleichung in Normalform und die p-q Formel kann verwendet werden. Hier setzt man wieder sturr ein: x 1,2 = ± ( )2 19,25 3 Selbstverständlich sind die Ergebnisse für x 1 und x 2 die selben wie bei Anwendung der Mitternachtsformel. Welche Formel man verwendet, ist eine Frage der Gewöhnung und des Geschmacks. Je nach Art der Gleichung können quadratische Terme auch keine Nullstellen besitzen. Das ist immer dann der Fall wenn der Ausdruck unter der Wurzel der Mitternachtsformel negativ ist und ein Ergebnis damit nicht definiert ist. Sofern der Term unter der Wurzel Null zum Ergebnis hat, besitzt eine Gleichung nur eine Nullstelle. Mehr als zwei Nullstellen sind für einen quadratischen Ausdruck nicht möglich Kubische Gleichungen Als kubische Gleichung bezeichnet man eine Gleichung, in der die unbekannte Varbiable x in keiner höheren Potenz als der dritten vorkommt. (x 3 ) Sie haben also die folgende Form: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, a 0 Solche Gleichungen werden in der Praxis zumeist mit Hilfe von Computerprogrammen gelöst. In den Veranstaltungen unseres Studiums hingegen werden kubische Gleichungen zumeist vermieden. Der Grund hierfür ist, dass es kein einfaches Lösungsverfahren für Gleichungen dieser Art gibt und die Mathematik viel Zeit verbrauchen würde. Die einzigen manuellen Möglichkeiten zur Lösung sind die folgenden: 17

18 Für den Fall d = 0 wird schlichtweg ein x ausgeklammert. Somit reduziert sich die vormals kubische Gleichung zu x (ax 2 + bx + c) = 0. Die erste triviale Lösung der Gleichung ist x = 0. Aus der Klammer erhalten wir weiterhin eine quadratische Gleichung, die nach dem eben besprochenen Verfahren gelöst werden kann. Alle Nullstellen dieser quadratischen Gleichung sind auch Nullstellen der ursprünglichen, kubischen Gleichung. Ist d 0 muss zur Bestimmung aller Nullstellen hingegen eine Lösung bekannt sein. Anschließend wird eine sogenannte Polynomdivision durchgeführt, die hier aber auf Grund der geringen Relevanz nicht besprochen werden soll Bruchgleichungen Wenn in einer Gleichung eine Variable im Nenner eines Ausdruckes auftritt, dann spricht man von sogenannten Bruchgleichungen. Um solche Gleichungen zu lösen müssen die Variablen im Nenner einfach beseitigt werden. Deshalb wird die Gleichung auf beiden Seiten mit dem sogenannten Hauptnenner multipliziert. Der Hauptnenner ist dabei derjenige Term, welcher alle Ausdrücke der Gleichung enthält für die gilt, dass sie im Nenner stehen und die gesuchte Variable beinhalten. Zur Veranschaulichung betrachten wir eine Beispielgleichung: x + 1 x 1 = 2x 1 x Der Hauptnenner dieser Gleichung setzt sich, wie erklärt, aus den Ausdrücken im Nenner beider Seiten zusammen. Dieser Ausdruck ist: x (x 1) Multipliziert man nun den Hauptnenner mit beiden Seiten erhält man die folgende Gleichung: x (x + 1) = (2x 1) (x 1) Lösen wir die Klammer auf und bringen alle Ausdrücke auf eine Seite erhalten wir das folgende Ergebnis: x (x + 1) = (2x 1) (x 1) x 2 4x + 1 = 0 Das Lösungsverfahren für solche quadratische Lösungen ist uns bereits bekannt. Unter Verwendung der Mitternachtsformel können wir lösen: x 1,2 = 2 ± 4 1 x 1 = ,73 x 2 = 2 3 0,27 18

19 Allerdings ist eine letzte Einschränkung für diese Lösung zu beachten. Es ist möglich, dass die berechneten Ergebnisse in der Ursprungsgleichung eine Definitionslücke treffen. Das wäre dann der Fall wenn durch Verwenden der Lösung in einem Bruch eine Division durch Null verursacht würde, welche bekanntlich nicht definiert ist. Dann wäre das berechnete Ergebnis in Folge keine gültige Lösung. Das ist in unserer Beispielgleichung allerdings nicht der Fall Wurzelgleichungen Eine Gleichung, bei der eine Variable unter einer Wurzel (oder mit einer anderen Hochzahl 0 < p < 1 versehen) steht, ist eine sogenannte Wurzelgleichung. Zur Erläuterung des zugehörigen Lösungsverfahrens betrachten wir ein Beispiel: 5 + x + 1 = 8 Um eine solche Gleichung zu lösen, isolieren wir den Ausdruck mit der Variable unter der Wurzel auf eine Seite: x + 1 = 3 Anschließend quadrieren wir den Wurzelausdruck, um die Wurzel zu entfernen: x + 1 = 3 2 x = 8 Allerdings ist auch hier wieder darauf zu achten, dass die errechneten Ergebnisse keine Lösung für die Ursprungsgleichung sein müssen. Sofern das Ergebnis einen negativen Ausdruck unter der Wurzel verursacht, wäre die Nullstelle widerum nicht definiert. Anmerkung: Wenn man eine Gleichung betrachtet, bei der die Seiten quadriert werden, muss man eine wichtige Sache beachten, die, wie die Erfahrung gezeigt hat, oft falsch gemacht wird. Betrachtet man zum Beispiel die Wurzelgleichung x2 + 5 = x Nun quadriert man die Gleichung und erhält (x 2 + 5) = (x + 12) 1 2 Leider wird die rechte Seite oftmals falsch umgeschrieben. Der Ausdruck ist nämlich nicht x ! (x + 12) 2 ist per Definition (x + 12) (x + 12). Eine solche Form muss eigentlich ausmultipliziert werden. Um das nicht ständig tun zu müssen (große Fehlerquelle!) hat wahrscheinlich jeder in der Schule die sogenannten binomischen Formeln auswendig lernen müssen, die wir im nächsten Abschnitt zeigen. 19

20 3.3.6 Binomische Formeln Binomische Formeln sind nützliche Werkzeuge zum Lösen und Vereinfachen von Termen in der Form (a ± b) n. In den Wirtschaftswissenschaften sind diese Formeln fast ausschließlich in der quadratischen Ausführung zu finden. Die binomischen Formeln lauten hier: 1. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 2. (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 3. (a b)(a + b) = a 2 b 2 Durch binomische Formeln lassen sich unter anderem auch hochdimensionale Gleichungen lösen, die andernfalls ein komplexeres Lösungsverfahren erfordern würden. Betrachten wir dazu als Beispiel die folgende Gleichung. 4x 4 8x 2 5 = 0 Durch Anwendung der oben als zweites notierten binomischen Formel mit a = 2x 2 und b = 2 können wir die folgende Umformung durchführen: 4x 4 8x 2 5 = 0 4x 4 8x = 0 (2x 2 2) 2 = 9 2x 2 2 = 9 x 2 = 5 2 x = 2,5 Natürlich gibt es auch für die n-te Potenz eine allgemeine Form der binomischen Formeln. Die allgemeine Form wirkt allerdings sehr abschreckend, weswegen wir sie hier nicht zeigen Exponentialgleichungen Gleichungen, in denen eine Variable im Exponenten steht, nennt man Exponentialgleichung. Exponentialgleichungen lassen sich in aller Regel nie exakt lösen, außer wenn die Variablen ausschließlich in Exponenten vorkommen. In diesem Fall führt am einfachsten eine Umformung 20

21 durch einen Logarithmus zum Erfolg. Dazu versucht man zunächst die Ausdrücke mit dem Exponenten zu isolieren. Als Beispiel betrachten wir die folgende Gleichung: 5 x + 1 = 3 x ln 5 = ln (3 1) ln 5 x = ln 2 ln 5 Eine Gleichung in denen die Variablen nicht ausschließlich in den Exponenten vorkommen, lässt sich hingegen nicht nach dem vorgestellten Verfahren lösen. Sucht man beispielsweise eine Lösung für eine Gleichung wie 2 x = x + 1 so lässt sich eine solche nur durch Näherungsverfahren wie z.b. das Newtonverfahren lösen. Da solche Verfahren in den Wirtschaftswissenschaften aber nur eine geringe Rolle spielen wollen wir an dieser Stelle allerdings nicht näher auf diese Methoden eingehen Logarithmusgleichungen Befindet sich eine Variable im Argument eines Logarithmus, dann betrachten wir eine Logarithmusgleichung. Sind diese Ausdrücke nicht durch schlichte Umformungen auflösbar, so müssen die Gleichungen durch geeignete Substitutionen, wie im folgenden besprochen, in eine lösbare Form gebracht werden. Treten Variablen hingegen nicht ausschließlich in den Logarithmen auf, so ist die Gleichung wie zuvor nur durch Näherungsverfahren lösbar, die hier nicht besprochen werden. Wir betrachten zur Verdeutlichung des Lösungsverfahrens ein Beispiel: ln x 2 = 2 ln (3x + 1) ln x 2 = ln (3x + 1) 2 Da ein Logarithmus sogenannte injektive Eigenschaften 1 müssen beide Ausdrücke für den Logarithmus ebenfalls gleich sein, damit die oben beschriebene Gleichheit erfüllt sein kann. Daraus folgt: x 2 = (3x + 1) 2 x = Eine Funktion ist injektiv, wenn man von der Gleichheit der Funktionswerte darauf schließen kann hat, dass die eingesetzten Werte die gleichen waren. Interessierte können sich den Begriff der Surjektivität auch mal näher anschauen 21

22 3.4 Beispiel: Das IS-LM-Modell Der Großteil der Veranstaltung Makroökonomie I setzt ein gutes Grundverständnis im Umgang mit Gleichungen voraus. Deswegen wollen wir beispielhaft eine zentrale Gleichung aus einem Modell der Veranstaltung diskutieren. Diese lautet: Y = C + I + G Diese Gleichung ist eine Identität und besagt das Folgende: Das Einkommen einer Ökonomie (Y ) soll sich aus dem Konsum (C), den Investitionen (I) und den Staatsausgaben (G) zusammensetzen. Diese Komponenten sind im Modell selbst widerum als Identitäten definiert. Der Konsum sei C = c 0 +c 1 (Y T ), die Investitionen seien I = b 0 +b 1 Y b 2 i und die Staatsausgaben seien G = g 1 Y = T, wobei T die Steuern repräsentieren. Es soll im Folgenden aber nicht die Intuition der Gleichungen diskutiert werden, dafür wollen wir uns auf die algebraischen Eigenschaften der Gleichungen konzentrieren. Ziel der Übung ist es, einen Wert für Y zu bestimmen, der nur von den exogenen Variablen erklärt wird. Durch simples Einsetzen dieser Identitäten können wir Y zunächst zu Y = c 0 + c 1 (Y g 1 Y ) + b 0 + b 1 Y b 2 i + g 1 Y auflösen. Bis auf den im IS-LM-Modell endogenen Zins i und das zu bestimmende Einkommen Y sind all diese Variablen nach Aussage des Modells exogen bestimmt. Der Zins (i) wird dabei auf dem Geldmarkt festgesetzt. Die Geldnachfrage sei durch M P = d 1Y d 2 i gegeben. Diese Gleichung besagt inhaltlich: M ist die exogene Geldmenge, P das exogene Preisniveau. Die Variable d 1 bezeichnet dabei die sogenannte Einkommensreagibilität der Geldnachfrage, d 2 die Zinsreagibilität. Auch diese Variablen sind exogen. Da wir bereits eine Gleichung kennen, in welcher nur i und Y unbekannt sind können wir durch Einsetzen einer Gleichung in die andere ein definitives Ergebnis für diese Variablen bestimmen. Dafür wollen wir zunächst die zweite Gleichung, die des Geldmarktes, nach i auflösen: M P = d 1 Y d 2 i d 2 i = d 1 Y M 1 P d 2 d 2 d 2 i = 1 d 2 d 1 Y 1 M d 2 P i = d 1 d 2 Y M d 2 P Somit haben wir einen Ausdruck für i erhalten den wir im weitren Rechenvorgang verwenden können. Es folgt durch Einsetzen in die zuerst besprochene Gleichung: Y = c 0 + c 1 (Y g 1 Y ) + b 0 + b 1 Y b 2 ( d 1 d 2 Y M d 2 P ) + g 1Y 22

23 Dieser Term entspricht nun allerdings noch nicht dem gesuchten Ergebnis. Die unbekannte und von uns zu bestimmende Variable Y steht nämlich noch auf beiden Seiten der Gleichung. Diesen Fehler wollen wir deshalb schrittweise beseitigen. Zunächst multiplizieren wir die Klammern aus: Y = c 0 + c 1 Y c 1 g 1 Y + b 0 + b 1 Y b 2 d 1 d 2 Y + b 2 M d 2 P + g 1Y Nun bringen wir durch Addition beziehungsweise Subtraktion alle Y auf die linke Seite der Gleichung: Y c 1 Y + c 1 g 1 Y b 1 Y + b 2 d 1 d 2 Y g 1 Y = c 0 + b 0 + b 2 M d 2 P Nun können wir Y ausklammern: Y (1 c 1 + c 1 g 1 b 1 + b 2 d 1 d 2 g 1 ) = c 0 + b 0 + b 2 M d 2 P Zum Schluss müssen wir nur noch Y isolieren also alle übrigen Variablen auf die rechte Seite bringen: Y = 1 M d 1 c 1 + c 1 g 1 b 1 + b 1 (c 0 + b 0 + b 2 2 d 2 g 1 d 2 P ) Damit haben wir das sogenannte gesamtwirtschaftliche Gleichgewicht im IS-LM-Modell hergeleitet: Wir haben also einen Wert für Y bestimmt, der durch ausschließlich exogene Variablen beschrieben wird. Dessen ökonomische Bedeutung wird noch in der zugehörigen VWL- Veranstaltung besprochen. An dieser Stelle sollte die rein algebraische Herleitung durch Einsetzen und Aufösen veranschaulicht werden. 23

24 4 Differentialrechnung Mit der Differentialrechnung, vielen aus Schulzeiten sicher noch mit Bezeichnung das Ableiten bekannt, lässt sich bestimmen wie sensibel das Ergebnis einer Funktion auf eine Veränderung seiner Input-Werte reagiert. Anders gesagt lässt sich mit der Differentialrechnung also bestimmen in welche Richtung und mit welcher Stärke eine Variable y = f(x) sich ändert wenn wir den Eingabewert x variieren. Dabei ist y = f(x) eine zunächst noch unspezifizierte Funktion mit einer einzigen unabhängigen Variable x, die den Wert von y bestimmt. Die Ableitung einer solchen Funktion, häufig notiert mit f (x), zeigt dabei genauer gesagt an, in welchem relativen Verhältnis sich y bei einer Änderung des x-wertes verändert. Es sind hierfür aber auch folgende alternative Schreibweisen üblich: f (x) = dy dx = f x(x) Alle diese Schreibweisen sind in den Wirtschaftswissenschaften gebräuchlich und bringen den oben beschriebenen Zusammenhang gleichwertig zum Ausdruck. Zum näheren Verständnis konkretisieren wir nun unsere Funktion f(x), um zuerst die Intuition der Differentialrechnung zu verstehen. Erst anschließend werden dann die zugehörigen Rechenregeln erläutert. Wir betrachten deshalb die beliebig gewählte Funktion y = f(x) mit f(x) := 4 x. Wie verändert sich hier der Wert von y wenn wir den Wert von x um eine Werteinheit erhöhen? Beim Betrachten der Funktion zeigt sich schnell: Natürlich verändert sich y um genau 4 Werteinheiten wenn x um 1 wächst. Erhöht man beispielsweise x von x = 1 auf x = 2 so wächst der Funktionswert y von y = 4 1 = 4 auf y = 4 2 = 8 um eben jene 4 Werteinheiten. Damit wächst der Wert von y also viermal so schnell wie der Wert von x. Diesen soeben verbal erklärten Zusammenhang würde auch die Differentialrechnung anzeigen. Deshalb gilt aus unserer Intuition für die Ableitung: f (x) = (+) 4 Natürlich ist dieser Anstieg nur bei einer solch trivialen Funktion mit dem bloßen Auge erkennbar. Außerdem sind die Wertänderungen für eine nicht-lineare Funktion wie zum Beispiel g(x) = x 2 auch nicht mehr für alle Werte von x konstant wie es in unserem einfachen Beispiel der Fall war. Aus diesem Grund nutzen wir die Rechengesetze der Differentialrechnung, um zuverlässig allgemeine Ableitungen für komplexere Funktionen zu berechnen. Diese in den Wirtschaftswissenschaften sehr häufig gebrauchten Rechengesetze wollen wir im folgenden Kapitel wiederholen. 24

25 4.1 Rechenregeln der Differentialrechnung Die Regeln zur Ableitung möchten wir hier kurz mit jeweils einem Beispiel vorstellen. Konstante Funktion Wir betrachten eine Funktion f(x) = a wobei a hier einen fixierten Wert repräsentiert; einen exogenen Wert also, der sich innerhalb der Funktion niemals ändert. Der Wert x kommt in der Funktion f(x) folglich überhaupt nicht vor. Konsequenterweise ist auch die Ableitung f (x) = 0. Dadurch wird nur naheliegendes zum Ausdruck gebracht: Wenn sich x ändert, verbleibt y bei seinem Ausgangswert. Die Variable y verändert sich also um das nullfache von x. Beide Variablen stehen also in keinem Zusammenhang und die Ableitung ist Null. Potenzfunktion Diese Regel zählt wohl zu einer der bekanntesten Regeln der Differentialrechnung. Diese Regel besagt, dass eine Funktion differenziert wird, indem man bei jedem Argument zunächst den Exponenten als Produkt vor die Zahl zieht und dann den verbleibenden Exponenten um den Wert 1 vermindert. Eine Funktion f(x) = x a wird also mit f (x) = a x a 1 differenziert. Diese Regel lässt sich am vorherigem Beispiel einfach verdeutlichen. Ist g(x) = x 2, dann ist die Ableitung f (x) = 2 x 2 1 = 2 x. Ändert man den Wert von x also um eine sehr kleine Einheit, so ändert sich der Wert von y um das 2x-fache. Damit wird bei dieser Ableitung dem Umstand Rechnung getragen, dass der Wert von y bei größer werdenden x immer stärker ansteigt. Ändert man den Wert von x = 1 um eine kleine Einheit so steigt der Wert von y also 2 1 = 2 mal schneller als der von x. Ein Erhöhung ausgehend von einem Wert x = 10 verursacht hingegen bereits ein relativ 2 10 = 20-faches Ansteigen von y. Summenregel Sind die Variablen einer Funktion additiv verknüpft, so lassen sich die Argumente jeweils für sich differenzieren. Eine Funktion der Form f(x) = 3 x 2 5 x+9 ergibt als Ableitung bei Anwendung der eben erläuterten Regeln damit beispielsweise f (x) = 6 x 5. Die Vorzeichen der Verknüpfungen bleiben natürlich erhalten. Produktregel Will man eine Funktion differenzieren, die selbst widerum ein Produkt aus Funktionen repräsentiert, dann benötigen wir hierfür die Produktregel. Betrachten wir für eine anschaulichere Darstellung dazu zwei beliebige Funktionen, die jeweils nur von einer exoge- 25

26 nen Variablen x abhängen. u(x) = x 2 7x v(x) = x 3 2x 2 Es ist uns nun ohne weiteres möglich eine weitere Funktion zu definieren, deren Ergebnis sich aus dem Produkt von u(x) und v(x) bestimmen lässt. Wir definieren hierzu: f(x) = u(x) v(x) = (x 2 7x) (x 3 2x 2 ) Die Produktregel besagt dann, dass sich das Ergebnis der Ableitung dieses Produkts allgemein wie folgt berechnen lässt: f (x) = u (x) v(x) + u(x) v (x) Wir Berechnen aus Gründen der Übersichtlichkeit zunächst: u (x) = 2x 7 v (x) = 3x 2 4x Mit diesen Zwischenergebnissen lässt sich nun die Ableitung der ursprünglichen Funktion nach der Produktregel berechnen: f (x) = u (x) v(x) + u(x) v (x) f (x) = (2x 7) (x 3 2x 2 ) + (x 2 7x) (3x 2 4x) f (x) = 2x 4 4x 3 7x x 2 + 3x 4 4x 3 21x x 2 f (x) = 5x 4 36x x 2 Natürlich liese sich diese Ableitung auch durch einfaches Ausmultiplizieren der Ursprungsfunktion errechnen. Anschließend wären die Argumente dieser Funktion additiv verknüpft und liesen sich einzeln differenzieren. Allerdings ist die Produktregel häufig deutlich zeitsparend und gestattet außerdem allgemeiner notierte Differenzierungen. Quotientenregel Die Quotientenregel wird bei sogenannten rationalen Funktionen angewendet. Eine rationale Funktion setzt sich, ähnlich wie im Beispiel zur Produktregel, selbst wieder aus zwei Funktionen zusammen. Es gilt also: f(x) = u(x). Verwenden wir die spezifizierten Teilfunktionen u(x) und v(x) aus dem vorherigen Beispiel, dann wäre zum v(x) Beispiel f(x) = x2 7x x 3 2x 2 zu differenzieren. Die darauf anzuwendende Quotientenregel lautet nun: f (x) = u (x) v(x) u(x) v (x) (v(x)) 2 26

27 Hier ist stärker noch als bei der Produktregel auf die Reihenfolge der Ableitungen im Zähler und Nenner zu achten. Wir machen uns bei der anfolgenden Berechnung die bisherigen Zwischenergebnisse zu nutze. Kettenregel f (x) = u (x) v(x) u(x) v (x) (v(x)) 2 f (x) = (2x 7) (x3 2x 2 ) (x 2 7x) (3x 2 4x) (x 3 2x 2 ) 2 f (x) = 2x4 4x 3 7x x 2 3x 4 + 4x x 3 28x 2 x 6 4x 5 + 4x 4 Die Kettenregel kommt immer dann zum Einsatz wenn zwei Funktionen ineinander verschachtelt sind. Man unterscheidet dabei zwischen einer inneren Funktion und einer äußeren Funktion. Diese Unterscheidung ist am einfachsten an einem Beispiel erklärt: Wir betrachten deshalb eine innere Funktion v(x) = x und eine äußere Funktion u(x) = (v(x)) 3. Die Bezeichnungen bestehen deshalb, weil die äußere Funktion u(x) die innere Funktion v(x) vollständig umschließt. Die zugehörige Kettenregel zur Differenzierung solcher Funktionen f(x) = u(v(x)) ist gemeinhin mit dem Merkspruch Äußere mal innere Ableitung bekannt. Formal notiert gilt also: f (x) = u (v(x)) v (x) Auch zum Ableiten dieser Beispielfunktion f(x) = u(v(x)) = (x 2 + 1) 3 betrachten wir zunächst die Teilergebnisse der jeweiligen Ableitungen von v(x) und u(x). Im Unterschied zu den bisherigen Ableitungen wird die äußere Funktion aber nach ihrer inneren Funktion anstatt nach x differenziert. Wir suchen also: u (v(x)) = du(v(x)) dv(x) v (x) = dv(x) dx = 3(v(x)) 3 1 = 3(v(x)) 2 = 2x = 2x Bei Berücksichtigung der Kettenregel und der bisherigen Zwischenergebnisse lässt sich nun auch das Ergebnis von f (x) errechnen. Es gilt: f (x) = u (v(x)) v (x) f (x) = 3(x 2 + 1) 2 2x f (x) = 6x(x 4 + 2x 2 + 1) f (x) = 6x x 3 + 6x 27

28 Exponentialfunktion Bei Exponentialfunktionen befindet sich die abzuleitende Variable naheliegenderweise im Exponenten der Funktion. Wir betrachten also eine Funktion des Typen f(x) = e g(x) wobei als Basis e = 2, die sogenannte Euler sche Zahl bezeichnet. Bei solchen Exponentialfunktionen wird zur Ableitung der differenzierte Exponent vor den Term gezogen; der ursprüngliche Term bleibt dabei allerdings unverändert. Die Ableitung ist damit allgemein: f (x) = g (x) e g(x) Für eine konkrete Funktion f(x) = e 3x wäre die Ableitung beispielsweise f (x) = 3 e 3x. Diese Form der Ableitung reflektiert den Umstand, dass Funktionen solcher Art exponentiell, also immer stärker, ansteigen. Die Wachstumsrate ist dabei auf Grund der Euler schen Zahl konstant was diese Funktionsform in den Wirtschaftswissenschaften sehr populär macht. Steht in der Basis allerdings eine andere als die Euler sche Zahl ist diese Rechenregel nicht mehr anwendbar. Da solche Varianten in den Wirtschaftswissenschaften allerdings äußerst selten vorkommen, soll die Weiterführung dieser Rechenregel an dieser Stelle aber nicht besprochen werden. Logarithmusfunktion Bei Logarithmusfunktionen wird ähnlich wie bei der Kettenregel zwischen einer inneren und einer äußeren Funktion unterschieden. Der Logarithmus selbst ist dabei die äußere Funktion, sein Inhalt die innere Funktion. Für eine Funktion des Typen f(x) = ln(g(x)) ist die Ableitungsregel wie folgt definiert: f (x) = g (x) g(x) Betrachten wir zur Veranschaulichung eine Beispielfunktion f(x) = ln(x 3 + 4) so lautet die Ableitung unter Verwendung dieser Regel: f (x) = f (x) = g (x) g(x) 3x 2 x Auch hier wurde wie bei der vorherigen Regel der sogenannte natürliche Logarithmus zur Basis e betrachtet. (ln = log e ) Für Logarithmen zu einer anderen Basis muss diese Ableitungsregel wieder verallgemeinert werden. Da derartige Ableitungen in den Wirtschaftswissenschaften allerdings ebenfalls äußerst selten sind, wollen wir diese Verallgemeinerung hier nicht betrachten. 28

29 Abschlussbemerkung: Das Beherrschen dieser Ableitungsregeln ist ein äußerst zentrales Konzept in den Wirtschaftswissenschaften weshalb es sich lohnt selbige gut zu trainieren. In vielen Fällen sind dabei verschiedene Regel zu kombinieren was erst nach ausreichend Übung flüssig gelingt. 4.2 Marginale und diskrete Wertänderungen Häufig versuchen Studenten Ableitungen fälschlicherweise dazu zu nutzen, um zu bestimmen wie stark ein Funktionswert y = f(x) bei einer diskreten Wertänderung von x ansteigt. Mit einer diskreten Wertänderung ist dabei eine reale, zählbare Wertänderung gemeint. So wäre eine Wertämnderung von x = 1 auf x = 2 eine solche diskrete Wertänderung. Eine marginale Wertänderung meint hingegen eine Wertänderung von beispielsweise x = 1 auf einen kleinstmöglich größeren Wert x = 1 + ϵ wobei ϵ 0 ist. Die Wertveränderung ϵ ist also beinahe Null. Wie wir soeben gelernt haben, gibt eine Ableitung immer das relative Wachstum von y = f(x) im Verhältnis zu x an. Dieses relative Wachstum kann sich von marginaler Einheit zu marginaler Einheit allerdings drastisch verändern. Betrachten wir zum Verständnis dieses Unterschieds eine Beispielfunktion y = f(x) := x 2 und f (x) = 2x. Erhöhen wir den Wert von x = 1 auf x = 2 so wächst y von f(x = 1) = 1 auf f(x = 2) = 4. Der Funktionswert wächst also um drei Einheiten während die Ableitung f (x = 1) = 2 lediglich eine Verdopplung, also ein Wachstum um zwei Einheiten, vermuten lässt. Das liegt in der Tatsache begründet, dass die Ableitung f (x) weiter von x abhängig ist, der Funktionswert y auf dem Weg von x = 1 zu x = 2 also immer stärker ansteigt. So verdoppelt sich y bei einem Anstieg von x = 1 auf x = 1 + ϵ zwar noch, bei einem Anstieg ausgehend von beispielsweise x = 1,5 beträgt die Ableitung hingegen bereits f (x = 1,5) = 3. Der Funktionswert von y verdreifacht sich auf halbem Weg also bereits. Als Konsequenz lässt sich die absolute Wertdifferenz von y = f(x) zwischen zwei diskreten x nur noch sehr mühevoll aus der Ableitung bestimmen, da sich das relative Wachstum beständig ändert. Eine Ausnahme bilden lineare Funktionen. Hier ist die Ableitung f (x) nicht mehr von x abhängig sondern bleibt für alle Wertänderungen gleich. Will man aus der Ableitung zu y = g(x) := 3x mit g (x) = 3 also bestimmen wie stark der Funktionswert y mit einer Veränderung von x = 1 auf x = 2 ansteigt, so lässt sich dies aus der Ableitung ersehen: y wird um 3 Einheiten 29

30 wachsen, da das relative Wachstum auf dem Weg von 1 zu 2 unverändert bleibt. 4.3 Extremwerte In den Wirtschaftswissenschaften ist es ein beständiges Ziel Werte entweder zu minimieren oder zu maximieren: Sei dies der Nutzen eines Individiums, die Kosten einer Firma oder die Wohlfahrt Aller. Solche Extremwerte können wir mit unserem bisherigen Wissen sehr einfach bestimmen: Sie ergeben sich aus Anwendung der eben besprochenen Differentialrechnung. Betrachten wir dazu das einfache Beispiel einer Firma. Selbige kann auf einem Konkurenzmarkt ein Produkt x für einen festen Preis von p = 3 verkaufen. Bei der Herstellung fallen allerdings Kosten von K(x) = x 2 an. Aus Intuition ergibt sich daher eine Gewinnfunktion π(x), die wir maxmimieren wollen: π(x) = 3x x 2 Wie wir im vorherigen Kapitel gelernt haben, zeigen positive Ableitungen ein relatives Wachstum an während negative Ableitungen ein Abfallen von Funktionswerten darstellen. Ein Maximum, sofern ein solches existiert, muss also an einem Punkt liegen, bis zu dem die Funktion mit x angestiegen ist und von dem aus die Funktion mit noch größeren x wieder abfällt. Das Maximum selbst würde demnach den Gipfelpunkt zwischen positiver und negativer Ableitung repräsentieren: Wir suchen also einen Punkt, in dem weder positives noch negtives Wachstum stattfindet, einen Punkt also in dem die Ableitung π (x) = 0 ist. Ein solcher Punkt ist leicht zu ermitteln, indem wir die Ableitung unserer Funktion nullsetzen: π (x) = 3 2x = 0 3 = 2x x = 1,5 Dass ein solcher Punkt mit der Ableitung gleich Null existiert ist die sogenannte Bedingung erster Ordnung für einen Extrempunkt. Es ist für ein Maximum oder Minimum eine notwendige (also zwingend erforderliche) Bedingung, zur Bestimmung eines Extremwerts allerdings noch nicht hinreichend (wir konnten einen Extrempunkt also noch nicht eindeutig nachweisen). Denn bisher konnten wir lediglich zeigen, dass die Ableitung im Punkt x = 1,5 gleich Null ist. Wir wissen hingegen noch nicht, dass der Funktionswert bei einen marginal kleineren Wert ansteigt und bei einem marginal größerem Wert abfällt wie wir zuvor argumentiert hatten. Hinreichend ist lediglich die sogenannte Bedingung zweiter Ordnung, die im Abschluss des Folgekapitels, dem Krümmungsverhalten, erläutert wird. 30