I 2. Zwei Fahrzeuge fahren mit gleicher Geschwindigkeit v0 = 108 kmh

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1 Tutoriu Phyik I I. Übungblatt..7 zur Vorleung Prof. Dr. Schrewe SS I. Der Sprintweltrekord über die 5 Strecke liegt bei 5,56, der über die 6 Strecke bei 6,9. Nehen Sie in eine ereinfachten Modell an, da ein Kurztreckenprint näherungweie al gleichäßig bechleunigte Bewegung bi zu Erreichen der Höchtchwindigkeit und anchließend al gleichförige Bewegung it zuaenetzt werden kann. a. Skizzieren Sie qualitati da at-, t- und t-diagra entprechend der Modellannahe für beide Sprinttrecken. b. Betien Sie die Bechleunigung a und die Gechwindigkeit. c. Nehen Sie an, da an auf der Strecke die gleichen Bechleunigung- und Gechwindigkeitwerte wie auf den Kurzprinttrecken erreichen kann. Welche Weltrekordzeit für die Strecke könnte an au den i Teil b. betiten Werten für a und extrapolieren? d. Der aktuelle Weltrekord über die Strecke liegt bei 9,77. Wenn an annit, da die Bechleunigungwerte bei den erchiedenen Sprinttrecken gleich ind, welcher Höchtchwindigkeit entpricht dann der aktuellen Weltrekordzeit über die Strecke? e. Skizzieren Sie die Ergebnie für die erchiedenen Sprinttrecken geeina in eine t-diagra. I. Zwei Fahrzeuge fahren it gleicher Gechwindigkeit = 8 kh an der Rattätte Seeen der A7 i zeitlichen Abtand on orbei (Fahrzeug fährt orau, Fahrzeug folgt hinterher). Fahrzeug beginnt auf der Höhe der Rattätte, it der Brebechleunigung, 4 abzubreen, während Fahrzeug eine Gechwindigkeit beibehält. a. Zeichnen Sie da Weg-Zeit Diagra b. In welcher Ditanz zur Rattätte Seeen hat Fahrzeug da Fahrzeug eingeholt?

2 Löungen: I.a. at- t- und t Diagra de Modell eine Kurztreckenprint

3 I b. Bezeichnung: t a - Geattrecke 5 - Geattrecke 6 - Bechleunigungzeit t g - Geatzeit über 5 : t - Geatzeit über 6 : 6,9 g Weg-Zeit-Funktion für 5 Strecke = ata + ( tg t a ) = ata + tg ta = ata + tg ata = tg ata it = ata = atatg ata Die Herleitung der Weg-Zeit-Funktion der 6 Strecke it analog: Nach der Modellannahe ollen die Bechleunigung und die Endchwindigkeiten und dait auch Bechleunigungzeit Weg-Zeit-Funktion für 6 Strecke Einetzen on t a a bei der 5 und der 6 Sprinttrecke gleich ein. = a t t a t a g a at a = atatg ( atatg ) E folgt: = ata( tg tg) Löung: Für E folgt: Löung: gilt: at ( ) ( ) 6 5 6,9 5,56,8 a = = = = tg tg at a = = =,5,8 =,5 = 4,4 kh = t g a a = a ( t ) g,5 = = 4, 7 (,5 5,56 5) I c. Für die Strecke gilt: extrapoliert = tg a Löung: extrapoliet, 5 t g 9,7 a,5 4,7 I d. Da die aktuelle Weltrekordzeit über größer al der extrapolierte Wert it, kann erutet werden, da ein Mench eine Strecke on = nicht die Gechwindigkeit der 5 und 6 Strecke aufrechterhalten kann. Wenn an annit, da die Bechleunigung a kontant bleibt, folgt:

4 = t ge g it: = und t = 9, 77 it: a = 4, 7 a t a = g ge g t a = a ge g =± a t a + a t g g Erte Löung (unrealitich): ( ) = + + = / 9,79 4,74 7,5 Zweite Löung (realitich): ( ) = + = / 9,79 4,74,95 Richtige Löung: /,95 = = 4, kh Diee Gechwindigkeit it nur geringfügig kleiner al die der 5 und 6 Sprinttrecken. I a. Fetlegung de Zeitnullpunkt: Man definiere zu Beipiel, da Fahrzeug Nr. bei t = den Punkt ( t = ) = (die Rattätte Seeen) paieren oll. Fahrzeug Nr. it zu diee Zeitpunkt noch or der Rattätte, alo bei eine negatien Wert ( t = ) <. Nach t = erreicht auch Fahrzeug Nr. die Rattätte. Alo gilt: ( t = ) =. Geucht it der Zeitpunkt t, an de beide Fahrzeuge den gleichen Weg hinter der Rattätte zurückgelegt haben. ü I b. Wegfunktion für Fahrzeug : () t = at + t+ it: a =, 4 und: ( t ) Wegfunktion für Fahrzeug : ( ) = = t = t+

5 it: ( t ) E folgt für t : = Für den Überholzeitpunkt : gilt: Löung für Löung für ü = = = t+ = t = 9 at = t t ( t) = at + t = t t= ( t) t t = = = 67 t a, 4 = t t = t t = ( ) Probe: ( ) und ü ( ) ( ) ü ü = t = at + t ü = ( t) = 9+ = = t = t + ü ü = t = 9 =

6 Tutoriu Phyik I II. Übungblatt..7 zur Vorleung Prof. Dr. Schrewe SS II-. Eine Mae () wird bei t = au einer Höhe on au der Ruhe fallengelaen. Eine zweite Mae () wird genau in diee Augenblick it der Anfangchwindigkeit der fallenden Mae entgegen choen. Die Körper treffen in halber Höhe aufeinander. Nach welcher Zeit treffen ich die beiden Körper? Wie groß it die Abchuchwindigkeit der Mae ()? II-. Ein Tenniball oll enkrecht nach oben geworfen werden. a. Welche Anfangchwindigkeit u der Ball haben? b. Wie weit fliegt ein Ball, der it gleicher Anfangchwindigkeit unter eine Winkel on 6 geworfen wird? c. Wie weit könnte der Ball it gleicher Anfangchwindigkeit axial geworfen werden? Unter welche Winkel u der Ball geworfen werden? II-. Ein Flugzeug fliegt o Flughafen Hannoer nach Berlin-Schönefeld. Die Entfernung beträgt 8 k, die Flugchwindigkeit k h -. Ohne Windeinflu wäre die Kurrichtung 9 (Kurrichtung on Wet nach Ot). Während de Flu herrcht jedoch Wind it 6 k h - au 8 (au Süden). a. Welchen Kur u da Flugzeug unter Berückichtigung de Winde fliegen, u in der kürzeten Zeit Berlin-Schönefeld zu erreichen? b. Welche Gechwindigkeit hat da Flugzeug über Grund? c. Welche Zeit benötigt e it Wind, und wie lange hätte der Flug ohne Windeinflu gedauert? Hinwei: Verwenden Sie die Vektordartellung der Gechwindigkeiten in eine x-y. Koordinatenyte. II-4. Ein Flugzeug fliegt den Kur entlang der Punkte A B C D A. Die Seitenlänge de Quadrat beträgt k, die Flugchwindigkeit k h -. a. Berechnen Sie die Flugzeit unter der Annahe, da während de Flu kein Seitenwind herrcht. b. Berechnen Sie die Flugzeit unter der Annahe eine kontanten Seitenwinde W = 4 k h -, der enkrecht bezüglich der Strecken B C und A D wirkt. c. Vergleichen Sie die unter a. und b. berechneten Flugzeiten. Überlegen Sie folgende Anwendung: Bei welchen Windbedingungen ollte an z. B. in der Leichtathletik Rekordbedingungen über Lauftrecken on 4 haben? A B W D C

7 Löungen: II-. Man betrachte die Bewegung der Maen entlang einer enkrechten y-ache. Für die Mae () gilt: y () t = y g t Für die Mae () gilt: y () t = t g t y Die beiden Maen treffen ich zu Zeitpunkt t auf halber Höhe, alo bei. Für die Mae () gilt: ( t ) Für die Mae () gilt: ( t ) Löung für t : Löung für : y y = y g t = y y = t g t = y t = = = g y = + g t = g y = t II-a. Man betrachte die Bewegung de Ball entlang der enkrechten y-ache. Für die Gechwindigkeit gilt: ( t) g t y = y Für den Weg gilt: y () t = y t g t Bei Erreichen der Maxialhöhe it die Gechwindigkeit gleich Null. E gilt: y ( t H ) = y g t H = y Steigzeit: t H = g y y y t = y t H g t H = g g y y( t H ) = = 5 g H = 5 E folgt: ( ) Löung: = g y( t ) = y b. Die Gechwindigkeit = kann in x,y-koponenten zerlegt werden: x = co6 = 5 y = in 6 = 8, 66 y Steigzeit: t H = =, 866 g Geate Flugzeit de Ball: t = t H =, 7 Horizontaler Weg in der Zeit t x( t ) = x t = 8, 66 c. Die Gechwindigkeit = kann in x,y-koponenten zerlegt werden: H

8 Steigzeit: Geate Flugzeit: Horizontaler Weg in der Zeit t : x = co 45 = 7, 7 y = in 45 = 7, 7. y t H = =, 77 g t = t =, H 4 x( t ) = t = x a. Die x- Ache de Koordinatenyte kann in Wet->Ot Richtung, die y-ache der Süd->Nord Richtung gewählt werden. Die Grundchwindigkeit de Flugzeug it dann parallel zu x-ache, und die Windchwindigkeit antiparallel zur y-ache. Die Richtung der Flugchwindigkeit F wird ucht. Vorhaltewinkel it gegeben durch: W in α = F =, 86 Vorhaltewinkel: α = 6, 6 Steuerkur: 9 + 6,6 = 6, 6 b. Grundchwindigkeit: c. Flugzeit ohne Wind: 8k tow = = =, h = 8in F k h. Flugzeit it Wind: 8k tw = = =,9 h = 8,5 in k h 6 G = F W = k h = k h G.a. Geatweg: = 4 = 4 k Geatzeit: t = = h = 7.b. Strecke A B: k AB = W = 6 und t AB =,65 h = 5 h Strecke B C: k BC = W = 95, 95 und t BC =,5 h = 87 h Strecke C D: k CD = + W = 4 und t CD =,466 h = 5 h Strecke D A: k DA = W = 95, 95 und t DA =,5 h = 87 h Geatzeit: t = 744.c. Die Zeiten it Seitenwind ind auf eine Rundkur ier länger al ohne Seitenwind. In Aufgabe.b. it t,% größer al t on Aufgabe.a. Rekorderuche i Laufen über die 4 Strecke (Rundkur) in eine Stadion ollten dehalb öglicht bei Windtille unternoen werden.

9 Tutoriu Phyik I III. Übungblatt.4.7 zur Vorleung Prof. Dr. Schrewe SS III-. Ein PKW wird auf einer langen geraden Strecke getetet: Er wird on k/h auf k/h in, bechleunigt, fährt anchließend it kontanter Gechwindigkeit und wird auf den letzten bi zu Stilltand abgebret. a. Skizzieren Sie die a-t, -t und -t-diagrae. b. Betien Sie die Bechleunigung a und die Bechleunigungtrecke a. c. Wie lang it der Streckenabchnitt, der it kontanter Gechwindigkeit gefahren wird? d. Wie groß ind die Breerzögerung ab und die Brezeit tb? Betrachten Sie jetzt eine Tetfahrt auf einer kreiförigen Strecke it R = : e. Wie groß it die Geatbechleunigung, wenn die Bahnbechleunigung gleich der in Aufgabe b erittelten Bechleunigung a der geraden Tettrecke it und der Punkt der betrachtet werden oll, an de die Bahnchwindigkeit de Fahrzeug = 7 kh beträgt. B f. Wie groß it die Geatbechleunigung a, kurz Bahnchwindigkeit on B = kh <? In welche Richtung zeigt der Bechleunigungektor? (Man erwende den Wert g. Wie groß it die Geatbechleunigung a, kurz Bahnchwindigkeit on gungektor? (Man erwende auch hier den Wert chwindigkeit) or de Erreichen der kontanten B = kh für Bahnchwindigkeit) nach de Erreichen der kontanten B = kh? In welche Richtung zeigt der Bechleuni- B = kh für die Bahnge- III-. Motorräder fahren üblicherweie Kuren it einer Schräglage (charakteriiert durch den Winkel α i Bild recht), o da die Reultierende au de negatien Vektor der Erdbechleunigung g r und Vektor der Radialbechleunigung a (entpricht der Zentripetalbechleunigung) parallel zur Hochache (H) erläuft. Bauartbedingt kann i orliegenden Beipiel die Schräglage α ax = 45 nicht überchritten werden. a. Betrachten Sie eine gleichäßig bechleunigte Motorradfahrt auf einer Kreitrecke it Radiu R = 6,5. Da Motorrad tartet au de Stand herau und paiert in den Abtänden on und Lichtchranken. Die Meung der Zeitdifferenz zwichen de Paieren der Lichtchranken ergibt,. Wie groß it die Bahnbechleunigung? b. Nach welcher Fahrttrecke auf de Krei wird die axiale Schräglage α ax = 45 erreicht? c. Welche Geatbechleunigung a hat da Motorrad in diee Punkt? r H H

10 Löungen: III-a. a a t a t t b t -a b = = 9 t a t III-b. Gechwindigkeit : k / h = =,, 6 k / h / / ( ) ( ) Δ, Bechleunigung: a = = = =,5 Δt t, a

11 Bechleunigungtrecke: a = a ta =, III-c. Strecke it : = = 9, = 678,9 III-d. Breweg: Breerzögerung: e folgt: Einetzen ergibt: Breerzögerung: Brezeit: III-e. Die Geatbechleunigung a b = tb + a t Δ ab = = Δt t t b a b b = a = b a a b b + b b a = t b a b b = a, = = = 5,55 b, b = = = ab 5,55 t b 6, bei der Kreifahrt ergibt ich al Vektorue au der Tangentialkoponente a t ( = ab Bahnbechleunigung) und der Noralkoponente an (= a R Radialbechleunigung): Nach Aufgabentellung oll die Tangentialbechleunigung gleich der Bechleunigung a au Aufgabe III-b. ein. at = a =,5 B Noralbechleunigung: an = ar = r it Bahnchwindigkeit: B = = B Noralbechleunigung: an = ar = = =, r Geatbechleunigung: a = a + a a t n = + =,5, 4,6 III-f. Geatbechleunigung: a = at + an Tangentialbechleunigung: at = ab = a =,5 it Bahnchwindigkeit: B = =, folgt für Noralbechleunigung: B an = ar = = 9, 5 r Geatbechleunigung: a =,5 + 9, 5 = 9,59 (Da it fat g! Dait könnte chon knapp der Punkt erreicht ein, an de die Reifen ihre Haftung erlieren und rutchen) III-g. Geatbechleunigung: a = a + a t n

12 Tangentialbechleunigung: a = a = a = it Bahnchwindigkeit: B = =, B folgt für Noralbechleunigung: an = ar = = 9, 5 r Geatbechleunigung: a = + 9,5 = 9,5 Der Bechleunigungektor zeigt auf da Zentru der Kreibahn. III-a. Gleichäßige Bechleunigung: () t = a t wobei Erter Mepunkt bei : t a t B t = ( ) die Bahnbechleunigung bezeichnet. t = a t t t = a t Für = gilt: ( ) t Setze: t = t+δ t = a t +Δ t Für die Differenz Für gilt: t ( ) gilt: ( ) = attδ t+ at Δ t t = a t t ( ) = at Δ t+ at Δ t at Nach Aufgabentellung it: = und = Zur Vereinfachung kann alo = einetzt werden. ( ) = at Δ+ t at Δ t a Δ t = a Δ t ( ) t t 4 at ( Δt) at( Δ t) + = at( Δ t) ( Δt) 4 at 4 ( ) ( ) ( t) + = at Δ 4 a t at = 4 4 Δt Δt 6 at = = at = ± + 6 Δt ( Δt) ( Δt) ( Δt) ( Δt) ( ) ( )

13 Löung: a ( 6), 4 Nur für = + = t a = t, 4 it ( t ) = und ( t + ) = it t =, 4. III-b. I Fall axialer Schräglage α ax = 45 it der Betrag der Zentripetalbechleunigung gleich de Betrag der Erdbechleunigung. E gilt: E folgt: Zeit zu Erreichen on ax : ax g R = Rg ax = = 6,5 = 5 = 9 5 = = = 7,8 ax ax ab, 4 t ax = at tax =,4 7,8 = 9 Fahrttrecke: ( ) III-c. Geatbechleunigung: a = a + a t R wobei Radialbechleunigung = Zentripetalbechleunigung ax Zentripetalbechleunigung: ar = = R Geatbecheunigung: t R k h a = a + a =,4 + =,6

14 Tutoriu Phyik I IV. Übungblatt.4.7 zur Vorleung Prof. Dr. Schrewe SS IV-. Eine Mae ( = kg) wird on eine zweiten Körper (Mae = 5kg)auf einer chiefen Ebene it eine Neigungwinkel on α = 5 und der Länge l = 5 hochgezogen. Die Gleitreibungzahl beträgt μ G =,. Die Mae der Rolle und de Seil oll ernachläigt werden ( ). a. Mit welcher Bechleunigung bewegen ich die Körper? b. Wie lange benötigt, u die Strecke l zu durchlaufen? c. Wie groß it die Seilkraft? IV-. Ein Körper it einer Mae on kg wird durch die Gewichtkraft der Mae = kgan de nach link und die Kraft F an de nach recht führenden Seilende angehoben. Da Seil und die Rollen eien aelo gedacht. Der Körper it it eine Knoten a Seil befetigt. a. Mit welcher Kraft F u an de rechten Seilende gezogen werden, wenn ich der Körper it einer g Bechleunigung a = nach oben bewegen oll? R

15 IV-a. Man betrachte die Mae : D'Alebertche Prinzip für : Fi a = i E wirkt die Gewichtkraft F g nach unten und die Seilkraft F S nach oben. Man betrachte die Mae : ( g S ) F F a= (.) D'Alebertche Prinzip für : Fi a = i E wirken die Seilkraft F g nach oben, die Tangentialkoponente der Gewichtkraft und die Gleitreibungkraft nach unten. Ft F G ( ) F F F a = (.) S t G Au Gl. (.) folgt FS = Ft+ FG+ a da die Kräfte an den beiden Seilenden betragäßig gleich ind: F = F ( g t G ) folgt durch Einetzen in Gl. (.): ( ) F F F a a + + = + Löung: a= ( Fg Ft FG) it: Fg = g Ft = ginα Löung: FG = μg gcoα ( inα + μg coα) a= g + ( ) 5, 588 +,,9659 a = 45 a =,976 =.98 IV-b. Gleichäßig Bechleunigung: = at Für die Strecke l gilt: l 5 tl = = a,98 =, 59 IV-c. Seilkraft an : FS = Fg a = g a FS = 5,N 99,4N = 5,6 N Seilkraft an : FS = Ft+ FG+ a F = g inα + μ g coα + a IV-a. Man betrachte die Mae : S G FS = 5,8 N + 9, N + 79,5 N = 5, 6 N D'Alebertche Prinzip für : Fi a = = ( FSl + FSr Fg) i (.) it der Seilkraft link F Sl S S

16 und der Seilkraft recht FSr = F und der Gewichtkraft: Fg = g Die Seilkraft (link) FSl wird it Hilfe de Seil auf die Mae übertragen und wirkt der Gewichtkraft entgegen. D'Alebertche Prinzip für : Fi a = = ( Fg FSl) i (.) it der Gewichtkraft: Fg = g Au Gl. (.) folgt: F = FSr = Fg FSl + a etze l it F au Gl. (.) ein: Sr g ( g ) g F = F = F F a + a a = F g ( ) ( + ) = + F = g = ( 5) kg = 5 N

17 Tutoriu Phyik I V. Übungblatt zur Vorleung Prof. Dr. Schrewe SS V-. Die Maen = kg und = kg ind in der gezeigten Anordnung it eine Seil erbunden, da durch eine Ulenkrolle ugelenkt wird. Die Maen de Seil und der Rolle können ernachläigt werden. Der Steigungwinkel der chiefen Ebene betrage θ =. a. Die Haftreibung zwichen und und zwichen und der chiefen Ebene (SE) oll gleich ein. Welchen Wert darf die Haftreibungzahl μ nicht überchreiten, dait die Maen gleiten können? H, ax b. Bei Gleiten oll die Gleitreibungzahl μ G =,5 betragen. Wie groß it die Bechleunigung a? Wie groß ind die Seilkräfte c. i Haftreibungfall, it de Maxialwert für μ H, ax wie in Teil a. berechnet, d. i Gleitfall wie in Teil b. bechrieben? V-. Abbildung zeigt einen doppelten Flachenzug it = kg, = kg und = kg. Zur Vereinfachung Teilyte ernachläige an die Maen der Seile und Rollen. Ziel Aufg. V-a. it e, die Seilkräfte und die Bechleunigung der Mae R zu betien. Vorchlag für einen Löunganatz: a. Man betrachte da Teilyte it den Maen und an der kleinen Rolle (R i roten Krei) zunächt al ruhend (geeint it, da die Rolle R ich zwar drehen, nicht aber ertikal bewegen kann) und leite zunächt für da ruhende Teilyte eine Beziehung für die Kraft F Z 4(,, g) her, it der da Teilyte da nach oben führende Seil belatet. Abb. Wird anchließend da Teilyte betehend au R und den Maen und it ± a bechleunigt, kann g durch ( g± a) eretzt werden, u F Z 4 in eine bewegten Syte zu erhalten. b. Man berechne unter Verwendung der Beziehung für F Z 4 die Bechleunigung der Mae. c. Betie die Seilkräfte F Z, F Z, F Z und F Z 4.

18 Löungen: V-a. Die Mae it größer al die Mae. Dehalb wird i Gleitfall abwärt und aufwärt gleiten. Kräfte an : Die Tangentialkoponente der Gewichtkraft on zeigt abwärt, die (Haft-) Reibungkraft und die Seilkraft aufwärt. abwärt: Ft = ginθ = 68,44 N aufwärt: FH,ax + FS = μh,ax g co + FS FH,ax + FS = μh,ax 87,98 N + FS Kräfte an : Die Tangentialkoponente der Gewichtkraft on und die (Haft-) Reibungkraft zeigen abwärt, die Seilkraft aufwärt. abwärt: Ft + FH,ax = ginθ + μh,ax ( + ) gcoθ Ft + FH,ax = 4, N + μh,ax 8,97 N aufwärt: F S Die Seilkräfte ind gleich, wenn die Mae der Ulenkrolle ernachläigbar it. E gilt: F S = FS I tatichen Fall u dehalb die Sue aller Kräfte Null ein: Ft FH,ax FH,ax Ft = Die Körper gleiten, wenn gilt: Ft > FH,ax + FH,ax +Ft Gleitbedingung Ft Ft > FH,ax + FH,ax ( ) g in > μh,ax( + ) g co ( ) inθ Löung für μ H,ax : μh,ax < = tan =,7 + coθ 5 ( ) V-b. D'Alebertche Prinzip für : Fi a = i F F F a = Einetzen (iehe IIIa): ( ) t G S D'Alebertche Prinzip für : Fi a = i F F F a = Einetzen (iehe IIIa): ( ) S t G E gilt: FS = FS = Ft + FG + a ( t G t G ) Einetzen: ( ) Löung: F F F F a a + + = F F F F a a t t G G = a = a = g ( F F ) ( F + F ) t t G G + ( ) ( ) in + ( + ) θ μ coθ G +

19 kg in,5 5 kg co a= g kg Löung: a =,57 V-c. Bedingung i Haftreibungfall: FS = Ft FH,ax = ginθ μh,ax gcoθ Seilkraft an Mae : F S = 68,44 N,68N 54, 7 N Probe für : S = F FS = Ft + FH,ax ( ) F = gin + μ + gco S H,ax Seilkraft an Mae : F = 4, N +,5N = 54,7 N V-d. Bedingung i Gleitfall: FS = Ft FG FT r Seilkraft an Mae : F = 68,44 N 9,96 N 7,4N = 5,868 N S S Probe für F S : FS = Ft + FG + F Tr Seilkraft an Mae : F = 4, N + 4,95N +,57 N = 5,867 N V-a. Man betrachte zunächt die Maen und an einer ruhenden Ulenkrolle (R), die nicht ertikal bewegt wird. Die Kraft F Z 4 (Kräfte und Bechleunigungen für die ruhende Rolle werden it eine "Strich" ( ' ) it die Kraft, it der die Rolle und die beiden Maen und auf da nach oben führende Seil wirken. Wenn (ohne Bechränkung der Allgeeinheit) > gilt, fällt die Mae nach unten und die Mae teigt nach oben. F F a = D'Alebertche Prinzip für : ( g Z ) D'Alebertche Prinzip für : ( Z g ) S F F a = Die Beträge der Bechleunigungen der beiden Maen und die Beträge der Seilkräfte ind gleich. E gilt: a = a = a und: F Z = F Z = F Z E folgt: F g + a = F g a g + a = g a Löung für a : a = + g (*) Der Betrag der Kraft F Z 4 it die Sue der Beträge der Kräfte F Z und F Z : F = F + F = g a + g+ a Einetzen on : Löung für Z 4 ( ) ( ) Z4 Z Z a F Z 4 = g F Z 4 = g + 4 F : F Z 4 = g +

20 F Z 4 it die Kraft a oberen Seil der Ulenkrolle (R), wenn R nicht ertikal bechleunigt wird. Wenn R it ± a bechleunigt wird, u g wie in der Aufgabentellung angegeben g durch die Geatbechleunigung g± a eretzt werden. Löung für Z 4 F : F = ( g ± a) Z V-b. Man betrachte jetzt da Geatyte de doppelten Flachenzug. Die Gewichtkraft der Mae it: F = g = N g 4 8 Die Kraft F Z 4 it: F Z 4 = g = g = 6,7 N + Da Fg > F Z 4 bewegt ich die Mae nach unten und die Rolle R nach oben. D'Alebertche Prinzip für : ( g Z ) F F a = Utellen nach F Z : FZ = g a = ( g a) Die Ulenkrolle (R)) bewegt ich noch oben. Für die Seilkraft Z 4 Da FZ 4 F gilt nach a.: F = ( g + a ) Z = FZ 4 gilt: F = ( g a) = ( g+ a) = F + Z Z Utellen: g = g = a a = g a = g = g =, Löung Einetzen V-c. Seilkraft F Z : FZ = ( g a) = kg g FZ = N = N = 8, Seilkraft F Z 4 : FZ4 = FZ = N = 8,4 N 7 In Aufg. a wurde die Gleichung (*) für den Betrag der Bechleunigung der Maen und hergeleitet. Wenn die Ulenkrolle (R) it + a bechleunigt wird, u g durch g+ a eretzt werden. a = ( g+ a ) + 48 Für die Seilkraft F Z gilt: FZ = Fg+ a F = g+ a + g+ a ( ) ( ) Z + a N

21 FZ = + ( g+ a ) + Mit = kg und = kg und a = g : 7 FZ = + kg g+ g FZ = N = 4,N 7 Für die Seilkraft F Z gilt: FZ = Fg a FZ = g+ a g+ a + ( ) ( ) FZ = ( g+ a ) + Mit = kg und = kg und a = g : 7 FZ = kg g+ g FZ = N = 4,N 7 Kontrolle: Die Sue der Seilkräfte F Z und F Z it gleich der Kraft F Z 4.

22 Tutoriu Phyik I VI. Übungblatt zu den Vorleungen on Prof. Dr. Schrewe SS VI-. Die Mae = kg rutcht it der Anfangchwindigkeit = au einer Höhe on 4 h =,5 eine chiefe Ebene it Steigungwinkel θ = hinab. Anchließend rutcht ie auf einer Strecke = horizontal weiter und trifft a Ende auf eine Feder it der Federkontanten D= 5 N. Die Gleitreibungzahl beträgt auf de aten Weg μ =,. a. Berechnen Sie die Geatenergie E, die kinetichen Energien E kin und die Reibungarbeiten W R in den Punkten und der Bahn, owie die an der Feder geleitete elatiche Verforungarbeit W E i Punkt. b. Wie groß it der Federweg x? c. Wie groß üte die Anfangchwindigkeit gewählt werden, dait die Mae nach de Rückprall wieder genau die Anfanghöhe h ohne Gechwindigkeit erreicht? (Vernachläigen Sie zur Vereinfachung die Reibung entlang de Federwe x) VI-. Auf unterchiedlich geneigten Dachflächen (iehe Skizze) liegen zwei Maen it = = kg, die durch ein Seil erbunden ind. Da Seil wird auf der Dachpitze it einer Rolle ugelenkt. Die Maen on Seil und Rolle ollen ernachläigt werden. Die Winkel betragen: θ = und θ = 6. a. Betrachten Sie die Kräfte, die auf die beiden Maen und wirken. Wie groß u die Haftreibungzahl μ H,ax indeten ein, dait die Maen nicht gleiten können? b. Man telle ich or, link und recht der Ulenkrolle wären Kraftegeräte i Seil. Welche Seilkräfte zeigen diee an, olange ich die Maen nicht bewegen? c. Man nehe jetzt an, da die in Aufgabe 7.a. berechnete Haftreibungzahl μ H,ax unterchritten werde (z. B. durch Regen, der auf da Dach fällt). Die beiden Maen beginnen zu gleiten. In welche Richtung? Die Gleitreibungzahl während de Rutchorgan oll dann (einheitlich für und ) μ G =, betragen. Wie groß it die Bechleunigung? d. Betien Sie die Kräfte (einchließlich der Trägheitkräfte), die auf die bewegten Maen und wirken. Geben Sie Betrag und Richtung der Kräfte an. Berechnen Sie erneut die Seilkräfte. G

23 Löungen: VI-a. Geatenergie: E = gh + = 5J+ 8J = J Reibungarbeit auf der Strecke : μg gco h WR = μg FN = =,7 J in Kinetiche Energie Punkt : Ekin = E WR = (,7) J =,68 J Reibungarbeit auf der Strecke : W = μ F = μ g = R G N G 4 Reibungarbeit auf der Strecke : WR = WR + WR = 5,7 J Kinetiche Energie Punkt : Ekin = E WR = ( 5,7) J = 7,68 J Verforungarbeit (Feder) i Punkt : WE = Ekin = 7,68 J VI-b.. Federweg: Da gilt: WE = Dx folgt: W x E = =,59 5,4 c D VI-c. Die Sue aller Reibungarbeiten entlang de aten We it gleich der kinetiche Anfangenergie i Punkt. Kinetiche Anfangenergie: Ekin = ( ) = ( WR + WR ) =, 464 J 4 ( WR + WR ) Anfangchwindigkeit: = = 4,79 VI-a. Die Gewichtkräfte können in die Noralkoponente F n (enkrecht zur Gleitfläche) und die den Hang abwärt weiende Tangentialkoponente F t zerlegt werden. Für Mae gilt: Ft = g in = 5 N Fn = g co = 8, 66 N Für die Mae gilt: Ft = g in 6 = 8,66 N Fn = g co 6 = 5 N Die Hangabtriebkraft der Mae Ft = 8,66 N it größer al die Hangabtriebkraft on F = 5 N. Ohne Haftreibungkräfte würde ich dehalb die Mae abwärt und die Mae aufwärt bewegen. I Haftreibungfall it die Sue aller Kräfte, die auf und wirken, gleich Null, da die Körper in Ruhe bleiben ollen. An der Mae it die Hangabtriebkraft F t entgegenetzt gerichtet zur Haftreibungkräfte F und zur Seilkraft. An der Mae ind die Hangabtriebkraft und H FS F t J

24 die Haftreibungkraft F H gleich gerichtet und wirken entgegenetzt zur Seilkraft F S. E gilt: Ft ( FH + FS) = = Ft FH FS und: ( ) Ft+ FH FS = = Ft+ FH FS Seilkräfte ind gleich: FS = FS = FS F F F = = F F F + F E folgt: t H S t H ( t H) ( Ft Ft) ( FH + FH) = oder: F F = F + F = μ ( F + F ) t t H H H,ax n n Die Maen bleiben in Ruhe wenn für die Haftreibungzahl folgende Relation gilt: Ft Ft in 6 in μh,ax = Fn + Fn co + co 6.,866,5 μ H,ax =, 679,866 +,5 VI-b. Haftreibungfall: Die Seilkräfte ind in jede Punkt de Seil, alo auch link und recht der Ulenkrolle gleich groß. Sie betragen für: μ H.ax =,679 link der Ulenkrolle: F = F + F,ax = 5N +,7 8,66N = 7,N S t H recht der Ulenkrolle: F = F F,ax = 8,66 N,7 5 N = 7, N S t H VI-c. Gleitfall: Die Mae gleitet abwärt, die Mae aufwärt. Die Sue der Tangentialkräfte und Gleitreibungkräfte it ungleich Null. Die Reultierende bewirkt nach de eine Bechleunigung. D'Alebertche Prinzip: F r r i a = Betrachte : ( t S G ) Betrachte : ( ) i F F F a = F F F a S t G = E gilt: FS = FS = F S und: a = a = a F F + F + a F a = Einetzen: ( t ( t G ) G ) Bechleunigung: a = ( F F F F ) t t G G ( ) in 6 in μg co + co6 a= g a= g, 464 =, 464 VI-d. Betrachte die Mae : Die Seilkraft bechleunigt die Mae aufwärt. Die F S Hangabtriebkraft Ft und die Gleitreibungkraft FG = μg F n ind entgegenetzt gerichtet. Zuätzlich wirkt noch die Trägheitkraft FTr = a entgegenetzt zur Bechleunigungrichtung. Die Seilkraft an : FS = Ft+ μg Fn + a FS = 5 N +, 8,66 N +,464 N = 7,96 N

25 Kontrolle: Betrachte die Mae : Die Seilkraft it die Differenz au der Hangabtriebkraft Ft und Sue au Gleitreibungkraft FG = μg F n und Trägheitkraft = a. FTr Die Seilkraft an : FS = Ft μg Fn a FS = 8,66 N, 5 N,464 N = 7,96 N F S

26 Tutoriu Phyik I VII. Übungblatt.5.7 zur Vorleung Prof. Dr. Schrewe SS VII-. Ein Wagen der Mae =6kg oll innerhalb einer Zeit on t =,5 Minuten eine Rape der Länge = 9 it einer Steigung on 6% au de Stilltand hochgezogen werden. Die Bewegung ei gleichäßig bechleunigt. Die Rollreibungzahl beträgt μ R =,. Welche Leitung u der Motor bei eine Wirkunggrad on η =,75 aufbringen? a. Man kann die ittlere und die axiale Leitung au Kraft und Gechwindigkeit betien. b. Alternati kann die ittlere Leitung au den benötigten Energien und den geleiteten Arbeiten betien. (Allgeeiner Hinwei: Steigung it der Quotient au der Höhenänderung und de entprechenden horizontalen Weg) VII-. Drei Maen, = kg = kg und = kg, ind it (aeloen) Seilen erbunden. liegt auf einer horizontalen Unterlage, und hängen enkrecht an den Seilen herab. Die Seile werden it aeloen Rollen it Radiu R =, ugelenkt. a. Welche Haftreibungzahl μ H,ax u für unterchritten werden, dait ich die Maen bewegen? b. Die Gleitreibungzahl μ G für betrage,. Wie groß it die Bechleunigung der Maen? c. Wie groß it die Winkelbechleunigung der Rollen? Welche Drehzahl haben die Ulenkrollen, wenn ich die Maen au der Ruhe herau u die Strecke = bewegt haben? d. Verwenden Sie zur Löung zunächt die kineatichen Gleichungen. e. Betien Sie die Drehzahl alternati it Hilfe de Energieerhaltungatze.

27 Löungen: VII-a. Löungweg I: Berechnung der ittleren und axialen Leitung au Kraft und Gechwindigkeit: Geucht it die Kraft aufwärt: Gewichtkraft: Fauf F g Tangentialkoponente on F g : Ft = Fg inθ = ginθ Reibungkraft: F = μ F = μ F coθ = μ gcoθ G G N G G G D'Alebertche Prinzip: F i a = i ( Fauf Ft FG ) a= Löung: Fauf = Ft + FG + a F = ginθ + μ gcoθ + a auf G F = 57,8 N + 579,9 N + 7, N = 44,8 N auf Mittlere Nutzleitung: PNutz = Fauf = 45 N,67 = 57W ax Maxiale Nutzleitung: PNutz = Fauf ax = 45N,5 N Mittlere Geatleitung: Maxiale Geatleitung: ax PNutz = Fauf ax = 475W P = PNutz = 57 = 698W η,75 ax ax P = PNutz = 475 = 966W η,75 VII-b Berechnung der ittleren Leitung au Energie und Arbeit: Höhenänderung: Δ h= inθ = in ( arctan,6) =. Hubarbeit: WH = gh= 6kg = 48, 9kJ Reibungarbeit: WG = μg g coθ WG =, 6kg, =,8kJ WG 6,54 5,4 Kinetiche Energie Ekin = = kg = Geatenergie: E = W + W + E = 785, 6kJ Mittlere Nutzleitung: Mittlere Geatleitung: H G kin E 785kJ P = 57W Δt = 5 = P = PNutz = 57 = 698W η,75 (Koentar: Wenn an annit, da der Wagen a Ende der Rape wieder die Gechwindigkeit = hat, entfällt der Energieanteil E. Die Aufgabentellung kin kj

28 acht keine Auage über die Endchwindigkeit. Da die kinetiche Energie klein i Vergleich it der Sue au Hubarbeit und Reibungarbeit it, kann an ie natürlich näherungweie weglaen.) VII-a. Die Gewichtkraft für die Mae beträgt Fg = N, die für die Mae F g = N. Ohne Reibung on Mae würde ich da Syte nach recht bewegen. Folglich zeigen die Reibungkräfte nach link. I Haftreibungfall gilt: Die Seilkraft recht on der Mae (erzeugt durch die Gewichtkraft on ), it gleich der Sue der Haftreibungkraft on ( FG = μh,ax F n ) und der Seilkraft link on (erzeugt durch die Gewichtkraft on ). Fg = Fg+ FH Fg Fg N N μh,ax = = = Fn N VII-b. Gegeben: Gleitreibungzahl μ G =,. Geucht: Bechleunigung a. Gewichtkraft on : Fg = g = N Gewichtkraft on : Fg = g = N Reibungkraft on : F = μ F = 6 N D'Alebertche Prinzip für : ( g S ) G G n F F a = FS FG FS a = FS Fg a= D'Alebertche Prinzip für : ( ) D'Alebertche Prinzip für : ( ) Einetzen on F S : ( g ( G S )) Einetzen on F S : g G ( g ) F F F a a + + = ( ( )) F F F a a a = E folgt: Fg FG Fg a a a = g μgg g a a a = ( μg ), 4 Löung:,666 a = g = g = a,666 VII-c. Winkelbechleunigung: α = = = 6, 66 r, VII-d. Kineatik: Da e ich u eine gleichäßig bechleunigte Bewegung handelt, gelten die kineatichen Beziehungen für = : = at und für : = at Einetzen: = a Löung: = a =,666 =,5 ω Drehzahl der Rolle: n= = =, 84 π π r

29 VII-e. Energieerhaltungatz: Setze (obda) die potentielle Energie de Augangzutand gleich Null. Die kinetiche Energie i Augangzutand (A) it ebenfall Null. E gilt alo: E A = E A + E A = Geatenergie Augangzutand: ( ) ( ) ( ) pot kin I Endzutand (E), wenn ich Maen u die Strecke on = bewegt haben, it die Mae u die Höhe h = = h gefallen, während die Mae u die Höhe h =+ =+h gehoben werden it. An der Mae it Reibungarbeit W R errichtet worden. Da die Geatenergie erhalten bleibt, gilt für die Energiebilanz ( = Geatenergie + Sue der geleiteten Arbeiten) i Endzutand (E): E E + E E + W = ( ) ( ) pot kin R Potentielle Energie (E) Epot ( E) = g( h) + g( + h) pot ( ) = + = E E J J J Reibungarbeit in (E): W = μ F = μ g = 6 J R G n G E E = = J + + 6J = 4 J = =, 5 6 kg Energiebilanz in (E): ( ) Gechwindigkeit der Maen: Drehzahl der Rolle: n ω π π r = = =,87

30 Tutoriu Phyik I VIII. Übungblatt zur Vorleung Prof. Dr. Schrewe SS VIII-. Eine Rangierlok der Mae 5 t, die einen (nicht angekuppelten) Waggon der Mae t or ich her chiebt, wird gleichäßig bechleunigt. Sie oll in 5 au de Stand herau eine Endchwindigkeit on 8 k/h erreichen. Dabei it tändig eine Reibungkraft on 5 kn orhanden. a. Wie groß it die axiale und wie groß die ittlere Leitung, die die Lok aufbringen u? Nach Erreichen der Endchwindigkeit bret die Lok, der chobene Waggon löt ich und rollt it kontanter Gechwindigkeit weiter. Nach einer reibungfreien Fahrt tößt er auf drei tehende, aneinander gekuppelte gleiche Waggon it jeweil t Mae und kuppelt autoatich an diee an. b. Mit welcher geeinaen Gechwindigkeit rollen die ier Waggon weiter? c. Wie groß it der relatie Energieuatz in der Kupplung? (Hinwei: Geucht it der Energieerlut Q bei Stoß geteilt durch die kinetiche Energie E de toßenden Waggon.) d. Welche Kraft u die Kupplung aufbringen, wenn die Ankupplungzeit circa,75 beträgt? VIII-. Ein Körper der Mae = kg gleitet au der Höhe h= eine chiefe Ebene it de Neigungwinkel θ = hinab. Anchließend rutcht er auf eine hori- der Länge zontalen Streckenabchnitt = und tößt a Ende auf einen Pendelkörper it der Mae =,5kg. Die Gleitreibungzahl auf der aten Strecke beträgt μ G =,. Be- rechnen Sie, wie hoch da Pendel it der Mae auchwingt (Mae der Pen- deltange kann ernachläigt werden), für folgende Bedingungen: a. Einen (ollkoen) elatichen Stoß zwichen den Maen und. b. Einen unelatichen Stoß zwichen den Maen und, wobei al Zuatzbedingung angenoen werden oll, da bei Stoß 5% der kinetichen Energie in Verforung- bzw. Wäreenergie ugewandelt wird. c. Einen ollkoen unelatichen Stoß. d. Wie groß it der Energieerlut bei ollkoen unelatichen Stoß (Vc.) relati zur kinetichen Energie de Körper direkt or de Stoß? kin

31 Löungen: VIII-a. Mae der Lok: = 5t = 5kg Mae de Wagon: W = t = kg Gechwindigkeitänderung: Δ = (8 ) k/ h= 5 / Δ 5 Bechleunigung: a= = =, Δt 5 Bechleunigungkraft: = = ( + ) L F a a a L W Fa = 5kg, = 5 kn Reibungkraft: F = 5 kn Geatkraft: F = F + F = 4, kn R a R Maxiale Leitung: Pax = F ax = 4 kn 5 = kw Mittlere Leitung: Pittel = F ittel = 4 kn,5 = kw VIII-b. Waggon Nr. or de Stoß: = 5 Waggon Nr.,,4 or de Stoß: =, für i =,,4 Ipulerhaltungatz = ( ) i u 4 Gechwindigkeit nach de Stoß: u = = i IVc. Energieerhaltungatz: Energieuatz in der Kupplung: Aboluter Energieerlut: i=,4 5 u= = =, = u + Q i i= 4 = i u Q + i= 4 Q= i u i= 4 i i = Q= = E 4 4 i i i= i= Q= E 4 kin i i= 4 Q= 5 J = 5kJ 4 kin

32 Q Relatier Energieuatz: = = = 75% 4 Ekin 4 VIII-d. Kraft = Ipuländerung: VIII-. Für Waggon Nr. : Für Waggon Nr.,,4: Auch in diee Fall gilt alo: i= i dp Δp pend panf F = = = dt Δt Δt u ( u ) F = = Δt Δt (,5 5) F = N = 5kN,75 ( + + 4) u ( + + 4) u F4 = = Δt Δt,5 F4 = =+ 5kN,75 Actio = Reactio. Berechnung on Hilfgrößen: Anfangenergie Mae : Epot, = gh= J h Weg auf chiefer Ebene: = = inθ Reibungarbeit auf : WR = μg gcoθ =, 7 J Reibungarbeit : WR = μg g =, J Geate Reibungarbeit: WR, =,7 J Kinetiche Energie de Körper or de Kontakt it de Pendel: Ekin, = Epot, WR, = 7,68 J Gechwindigkeit de Körper or de Kontakt it de Pendel: = = E kin, K,8 VIII-a. Elaticher Stoß it = : Anatz: Ipulerhaltungatz: = u + u Energieerhaltungatz: = u + u Löung nach Forelalung (Ableitung iehe Vorleung): Gechwindigkeit u : u = it = : 4 u = = = = 5,84 +, 5 Gechwindigkeit u : u = + + +,5 it = : u = = =+ +, 5 =,7

33 Energieerhaltungatz: VIII-b. Unelaticher Stoß it = und gh h u = =, 9 g elatich = u elatich Q E u kin, = χ ; allgeeine Löung für u Ipulerhaltungatz: = u + u Utellen: u = u Energieerhaltungatz: = u + u + Q u it Qu = χ Ek in, folgt = u + u + χ χ = u + u ( ) ( χ ) = u + ( u) ( χ ) = u + u + u ( ) Setze zur Vereinfachung: λ = + + u u = χ u u u = χ u = χ u λu + λ = λ χ λ λ =± λ χ λ u Allgeeine Löung: u = λ± λ χ λ Dikuion: Für χ entpricht die Löung der de elatichen Stoße: χ = u ( λ λ ) Setze = ± (Negatie Wurzel: ( ) 4 λ = =, 5 4 Für die poitie Wurzel it: u = ( λ+ λ ) = λ = = = +, 5 diee Löung tit it der au Teil a. überein. u = λ λ = = kann auchloen werden)

34 Löung für Teil b: Setze χ =,5 =, = kg und =,5kg: λ =, =, 5 = = 4 u = ± 9 4 Wie oben gezeigt, u die poitie Wurzel erwendet werden: 8 6 u = + = + 8 u = =,8,5 u = u = u = =, Hinwei: Hier wurde eine allgeeine Löung für χ und λ hergeleitet. Man kann i orliegenden Fall die Rechnung tark ereinfachen, wenn an i Anatz bereit Qu χ = = und E 4 = erwendet. kin, Setze = und = : Ipulerhaltungatz: = u+ u u = u Energieerhaltungatz: = u + u + Q u it Qu = χ Ek in, folgt = u + u + χ it χ = und = und = folgt: 4 = u + u + 4 u = + u 4 = u + u+ u 4 4 = u + 4 4u u 4u = u u = 4 u = + = 9 9

35 u =± + Poitie Löung: u = und u = = Berechnung der Höhe, die da Pendel chwingt: Energieerhaltungatz: gh unelatich = u unelatich, u hunelatich = =, 77 g VII-c. Vollkoen unelaticher Stoß it = und u = u = u; Q u it die Energie, die bei ollkoen unelatichen Stoß al Verforung- oder Wäreenergie erloren geht.: Ipulerhaltungatz: = ( + ) u Energieerhaltungatz: = ( + ) u + Q u Löung für u : u = = =,7 + Energieerhaltungatz: gh ollk. unelatich = u ollk. unelatich, u hollk. unelatich = =, g Vd. Vollkoen unelaticher Stoß it = und u = u = u; Q u it die Energie, die bei ollkoen unelatichen Stoß al Verforung- oder Wäreenergie erloren geht.: Energieerlut: Qu = ( + ) u + Qu = ( + ) = Setze: = und = Qu = = = Ekin, 9 6 Qu 5 Relatier Energieerlut: = = 8,% E 6 kin,

36 Tutoriu Phyik I IX. Übungblatt zur Vorleung Prof. Dr. Schrewe SS IX-. Auf eine Tich liegen zwei Blöcke = kg und =, 5 kg übereinander. Die Gleitreibungzahlen zwichen Block Nr. und de Tich und zwichen den beiden Blöcken Nr. und Nr. betragen μ G =,, die Haftreibungzahlen μ H,ax =, 4. Der Block Nr. it it eine Seil, da über eine Ulenkrolle geführt it, it de Block Nr. erbunden. (Seil und Ulenkrolle ollen al aelo betrachtet werden.) a. Überlegen Sie zunächt, wa paieren würde, wenn weder Haftreibung noch Gleitreibung orhanden wäre. Würde ich der Block Nr. bewegen? Betien Sie die Bechleunigung de Block Nr., wenn der Block Nr. eine Mae on = kg beitzt? Berückichtigen Sie i folgenden die genannten Reibungzahlen: b. Wie groß u die Mae de Block Nr. indeten ein ( a ), dait der Block bewegt werden kann? c. Wie groß darf die Mae de Block Nr. höchten ein ( b ), dait der Block Nr. auf de Block Nr. haften bleibt? d. Wie groß it die Bechleunigung de Block Nr., wenn für die Mae de Block Nr. gilt = kg? (Hinwei: Überlegen Sie zunächt, wa bei de gegebenen Wert on it Block Nr. paiert). e. Die Mae de Block Nr. oll = 8kg betragen. Betien Sie die Bechleunigung für Block Nr. (a ) und für Block Nr. (a ). f. Skizieren Sie die Ergebnie für die Bechleunigungen a= a = a und a al Funktion der Mae de Block Nr.. Dikutieren Sie den Verlauf und die Sprungtellen.

37 Löungen: Bezeichnungen: Gewichtkraft der Mae : Fg = g Seilkraft: FS Haftreibungkraft und Gleitreibungkraft für die Kontaktfläche zwichen Block Nr. und der Unterlage (Tich): F = μ F = μ + g ( ) H,ax H,ax n H,ax FH,ax =,4 4,5 kg = 8N F = μ F = μ + g G G n G ( ) FG =, 4,5kg =,5N Haftreibungkraft und Gleitreibungkraft für die Kontaktfläche zwichen Block Nr. und der Unterlage (Block Nr.): F = μ F = μ g H,ax H,ax n H,ax FH,ax =, 4,5 kg = 6N FG = μg Fn = μg g FG =,,5 kg = 4,5 N IX-a. Der Block Nr. it it de Block Nr. durch ein Seil erbunden. Die Gewichtkraft der Mae erzeugt eine Bechleunigung der erbundenen Maen +. Zwichen Block Nr. und Block Nr. wirken jedoch nur Reibungkräfte, und wenn an annit, da diee Reibungkräfte nicht orhanden ind, kann der Block Nr. auch nicht bechleunigt werden. Betiung der Bechleunigung ohne Berückichtigung on Reibungkräften: D'Alebertche Prinzip: i i Einetzen: ( g S). für Kräfte an Block Nr. F a = F F a= S = ( S. für Kräfte an Block Nr. F a= g F a F = g a= g a) () i i Einetzen: FS a= () Setze F S au Gleichung () in Gleichung (): ( g a) a= g a+ = ( )

38 a = g + a =, 4 4 g = g = + IX-b. E handelt ich u ein rein tatiche Proble: Der Block Nr. wird bewegt, wenn die Gewichtkraft Fg on Block Nr. größer al die Haftreibungkraft F H,ax zwichen Block Nr. und einer Unterlage it: F = g > μ + g = F ( ) ( ) ( ) g a H,ax H,ax > μ + a H,ax a >, 4 kg+,5 kg =,8 kg Löung: =,8 kg IX-c. Der Block Nr. haftet auf de Block Nr., wenn der Betrag der Trägheitkraft der Mae kleiner al der Betrag der Haftreibungkraft zwichen Block Nr. und einer Unterlage it. a F H,ax F a μ g N Tr = < H,ax = 6 Bedingung für Haftreibung: a < μh,ax g (*) I Haftreibungfall ind die Bechleunigungen on Block Nr. und Block Nr. gleich: a = a D'Alebertche Prinzip:. Kräfte an Block Nr. ind identich it denen de Aufgabenteil a. Für die Seilkraft ergab ich: F = ( g a= g a) (). für Kräfte an Block Nr. gilt: ( ) Einetzen: ( ) ( ) S Fi + a= i FS FG + a = Erläuterung: Da der Haftreibungfall zwichen Block Nr. und Block Nr. angenoen wird, u für die Trägheitkraft die Sue beider Maen einetzt werden. Die Bechleunigung wird durch die Differenzkraft au Seilkraft und Gleitreibungkraft für Block Nr. erzeugt. F μ + g + a = ( S G( ) ) ( ) F ( )( μ g a) S = + + (4) Setze F S au Gleichung () und in Gleichung (4): ( g a) = ( + )( μg g+ a) g a ( + ) μg g ( + ) a= ( + ) μg Allgeeine Löung für a a = g + + G (5)

39 Bed. für Haftreibung on (*): Einetzen: μh,ax a= a < g μ H,ax g ( ) + G > + + ( ) + μg μh,ax > + + 4,5kg,, 4 > + 4,5kg < 5, 5kg Geuchter Wert der Mae b : b = 5, 5 kg μ,5 kg <, 4 +,8 kg IX-d. Vorüberlegung: Die Mae de Block Nr. = kg liegt zwichen a =,8 kg und b = 5, 5 kg. Die Mae it alo groß genug, u die Haftreibung zwichen Block Nr. und Tich zu überwinden, aber klein genug, u den Block Nr. auf Block Nr. haften zu laen. Die allgeeine Löung für die Bechleunigung wurde in Gleichung (5) angegeben. Betiung der Bechleunigung: ( + ) μg a = g + + Löung: 4,5, a= g =, = 6,5 IX-e. Die Mae on Block Nr. = 8kg it größer al b = 5, 5 kg. Dehalb kann der Block Nr. nicht ehr auf Block Nr. haften bleiben. Der Block Nr. wird unter Block Nr. hindurch gleiten und über die Gleitreibungkraft F G den Block Nr. bechleunigen. Man u jetzt alo zwichen den Bechleunigungen a und a untercheiden, da die Werte erchieden ind. Zur Vereinfachung wählen wir die Bezeichnungen: a = a = a und a a D'Alebertche Prinzip:. Kräfte an Block Nr. ind identich it denen de Aufgabenteil a. Für die Seilkraft ergab ich: F = ( g a= g a) (). für Kräfte an Block Nr. gilt: F a= S i i FS FG FG a = Nach Einetzen folgt: ( ) Erläuterung: Der Block Nr. haftet jetzt nicht auf Block Nr.. Dehalb trägt eine Mae nicht zur Trägheitkraft bei. Stattdeen wirken auf den Block Nr. jetzt zwei Gleitreibungkräfte: F G entpricht der Reibungkraft zwichen Block Nr. und de Tich und entpricht der Reibungkraft zwichen Block Nr. und Block Nr.. F G g Einetzen on und FG G F ( S μg( ) μg ) F + g g a =

40 Setze F S au Gleichung () in Gleichung (6) ein: Allgeeine Löung für a Löung: S G ( ) F = μ + g+ a (6) ( ) G ( + ) = μg ( ) ( μg ( + ) ) = ( + ) ( + ) μ g a μ g a g a + g a= g a G a = g + ( ) 8 +,5, 8,8 a= g = g 8+ 6, a= g =,564 = 5, 64 Da Prinzip "Actio gleich Reactio" erfordert, da die gleiche Reibungkraft, it der Block Nr. auf Block Nr. wirkt, in ugekehrter Richtung auch on Block Nr. auf Block Nr. wirkt. Diee Gegenkraft bewirkt a Block Nr. eine Bechleunigung. D'Alebertche Prinzip: 4. für Kräfte, die auf Block Nr. wirken: F a = i i Einetzen: FG a = μ g a = G Löung: a = μ g =, = G Koentar: Man beachte, da die Bechleunigung a e Block Nr. nicht on der Seilkraft F S. Die Seilkraft it Urache für die Bechleunigung der Maen und an könnte, wenn F S hinreichen groß it, den Block Nr. ehr tark bechleunigen. Der Block Nr. wird aber ier it de oben betiten Wert a bechleunigen, unabhängig on der Bechleunigung a. Die it der Grund, waru an etwa ein Blatt Papier oder ein Tuch unter eine gefüllten Gla herauziehen kann, ohne den Inhalt de Glae zu erchütten. Man u die Bechleunigung de Papier oder de Tuch nur aureichend groß wählen. IX-f. Ohne Reibung: Die Bechleunigung ohne Berückichtigung der Reibung it eine onoton wachende Funktion it de Grenzwert a g wenn. Zur Erklärung: Wenn ehr klein it, wird die Trägheitkraft on betit, bei ehr große entpricht deen Wert praktich der Geatae. Mit Reibungkräften: Die Funktion der Bechleunigung a de Block Nr. hat zwei Sprungtellen. Bei, 8 kg haftet Block Nr. auf de Tich und e gilt a =. I Bereich,8 kg < 5, 5 kg werden die Blöcke Nr. und Nr. geeina bechleunigt. Wenn > 5, 5 kg it, it die Trägheitkraft on Block Nr. größer al (7)

41 deen Haftreibungkraft. Die Trägheitkraft on Block Nr. wird dehalb nicht ehr auf den Block Nr. übertragen. Stattdeen wirkt die Gleitreibungkraft on Block Nr. der Seilkraft an Block entgegen. Die Bechleunigung on Block Nr. it für < 5, 5kg gleich der Bechleunigung de Block Nr.. Wenn > 5, 5 kg it die Bechleunigung on Block Nr. kontant. Bechleunigung al Funktion der Mae a / F H,ax, für und Tich wird überchritten, haftet auf und beide Maen gleiten geeina a it Reibung a ohne Reibung a it Reibung Trägheitkraft F Tr, für it größer al F H,ax,, wird nur durch die Gleitreibungkraft bechleunigt / kg

42 Tutoriu Phyik I X. Übungblatt.6.7 zur Vorleung Prof. Dr. Schrewe SS X-. Berechnen Sie da Maenträgheitoent für folgende Körper it hoogener Dichte. Die Körper ollen jeweil die Geatae beitzen. Die trichelte Linie zeigt die Drehache. Da Ergebni oll in der For J x R = angegeben werden, wobei der Faktor x au den Angaben zur Geoetrie zu betien it.. a. Hantel enkrecht zur Syetrieache: Radiu der Kugeln R, Länge der Verbindungtange L= R, Radiu der Verbindungtange r =, R. b. Hantel parallel zur Syetrieache: Radiu der Kugeln R, Länge der Verbindungtange L= R, Radiu der Verbindungtange r =, R. c. Speichenrad: Radkranz (Äußerer Reifen): Außenradiu: R = R = 6 r, Innenradiu: Rai = Raa r, Radnabe (Innerer Ring): Außenradiu: Ria = Rii + r, Innenradiu: Rii = r Beide Ringe haben die Höhe: h= r aa Radiu der Speichen: RS = r d. Veruchen Sie, für die gegebenen Beipiele einfache Abchätzung zu finden und ergleich Sie die Ergebnie der Schätzung it denen der exakten Rechnung. X-. Ein Drehoentenrad erfährt u eine horizontale Ache eine Winkelbechleunigung, die durch die Gewichtkraft eine Körper der Mae = kg erzeugt wird, der an eine u die Ache ( R = 8c ) gewickelten Faden hängt. Lät an den Körper () lo, o bewegt er ich in t = 5 u die Strecke = nach unten. Berechnen Sie da Maenträgheitoent de Syte Rad/Ache, a. inde Sie die a Syte wirkenden Kräfte und Moente betrachten, b. inde Sie den Energieerhaltungatz anwenden.

43 Löungen: X-a. Hantel enkrecht zur Syetrieache: Berechnung der Voluina: 4 Kugeloluen: VK = π R =, π R V = π r L=,4 π R =,8 π Voluen der Stange: S ( ) 4 Geatoluen: V = +,8 π R =,747 π R Da eine hoogene Dichte ρ = angenoen wird, ind die Maen der Teilkörper V proportional zu deren Voluina. S VS,8 Mae der Stange: = = =,96 =,9% V,747 Mae der Kugel: K VK, = = =,4854 = 48,5% V,747 Maenträgheitoent Kugel: ( ) Maenträgheitoent Stange: JK = K R + k R = 4, 4KR 5 J = 4,4,4854 R =,58 K R R JS = S L = S 4R = S R,96,97 JS = R = R J = J + J =,54 +,97 R Maenträgheitoent at: ( ) K S J Löung: Faktor x: x =,54,97 4,8 R = + = X-b. Hantel parallel zur Syetrieache: Die Voluina und Maenerhältnie der Teilkörper können au VIa übernoen werden. Maenträgheitoent Kugel: JK = k R =, 4 k R 5 J =,4,485 R =,94 R Maenträgheitoent Stange: K JS = r =,5 r =,5, 4 R J =, R =,,96 J R S S =,585 Maenträgheitoent at: J = J + J J K S R (,94,58) = + R J Löung: Faktor x: x =,94,58,89 R = + = Fazit: Die Maenträgheitoente der Hantel untercheiden ich je nach Orientierung on Dreh- und Syetrieache u den Faktor,!

44 X-c. Speichenrad: Berechnung der Voluina: Voluen de Radkranze: a ( aa ai) ( ) Voluen der Radnabe: = ( ) = ( ) = V = h R R = r = π 56 5 π 6π V π h R R 9 4 π r π r i ia ii Voluen einer Speiche: ( ) Voluen aller Speichen: V = π r l = 5 π r = π S S V, = 8 V = 96π r Geatoluen: ( ) S S r V = π r = 68 π r Mit R = R aa = 6r folgt: V = π R = π R =,45π R Da eine hoogene Dichte ρ = angenoen wird, ind die Maen der Teilkörper V proportional zu den Voluina. a Va 6 Mae de Radkranze: = = =,6948 = 6,9% V 68 Mae der Radnabe: Mae einer Speiche: Mae aller Speichen: i S K Vi = = =,5954 = 6,% V 68 VS = = =,749 = 7,% V 68 VK 96 = = =,5749 = 57,% V 68 Maenträgheitoent Kranz: = ( + ) = ( + ) Ja a Raa Rai 56 5 a Ja = 48a r = 48,6948 g e r J = 88,756 a r r 9 4 Ji i Ria Rii i r Ji = i r =,5954 r J =,869 Maenträgheitoent Nabe: = ( + ) = ( + ) i r Zur Berechnung de Maenträgheitoent der Speichen kann der Steinerche Satz erwendet werden: J = h + J, wobei h gleich de Abtand zwichen Drehache und Schwerpunkt, und de Maenträgheitoent für Drehungen u eine Ache durch den Schwerpunkt entpricht. Abtand Drehache Schwerpunkt: h= 9r Maenträgheitoent J S : JS = S L = S r = S r Maenträgheitoent J JS, = Sh + JS= S8r + S r S J, = 9 r = 9,749 S S JS, = 6,649 r r J S r

45 Maenträgheitoent aller acht Speichen: J8 S, = 8 6,649 r = 5,4 r Maenträgheitoent at: JRad, = Ji + J8 S, + Ja JRad, =,869+ 5,4 + 88,756 r JRad, = 4,86 r 4, 86 JRad, =,5558 r = R 6 J Rad, Löung: Faktor x: x =,5558 R = ( ) X-d. Dreht an die Hantel enkrecht zur Syetrieache, könnte an al ehr einfache Abchätzung zu Beipiel die beiden Kugeln al Maenpunkte i Abtand h betrachten und die Verbindungtange ignorieren Abtand Drehache Schwerpunkt: h= R Maenträgheitoent für einen Maenpunkte it Mae i Abtand h on der Drehache: J 4R J Faktor x Schätzung: x = 4 R J Faktor x exakt: x = 4, 8 R = x x Abweichung: = 6,5% x Dreht an die Hantel parallel zur Syetrieache, könnte an al einfache Abchätzung zu Beipiel nur die Maenträgheitoente der beiden Kugeln it jeweil der Hälfte der Geatae addieren. Maenträgheitoent einer Kugel: JK = K R = R = R Maenträgheitoent on zwei Kugeln : J K R =, 4 R 5 J Faktor x Schätzung: x =, 4 R J Faktor x exakt: x =,89 R = x x Abweichung: =,8% x Da Maenträgheitoent de Speichenrad könnte an durch da einer hoogene Scheibe it Mae und Radiu R abchätzen. Hoogene Scheibe: J S = R =,5 R

46 J Faktor x Schätzung: x =,5 R J Faktor x exakt: x =,5558 R = x x Abweichung: =,% x Fazit: E lohnt alo fat ier zunächt eine einfache Abchätzung de Maenträgheitoent zu erwenden, beor die aufwendige Berechnung de korrekten Werte durchgeführt wird. X-a. Betrachtung der Kräfte und Moente: Der Körper it der Mae fällt gleichäßig bechleunigt. Gleich. bechleunigte Bewegung: = at 4 a= = =,6 t 5 E wirken auf die Gewichtkraft Fg und die Seilkraft F S : D'Alebertche Prinzip für : Fi a = = ( Fg FS) a i Die Seilkraft erzeugt ein Drehoent a Syte Rad/Ache: F S M = FS R Da Drehoent erzeugt eine Winkelbechleunigung:: M = J α Für Bechleunigung und Winkelbechleunigung gilt der Zuaenhang: a = R α E folgt: a FS R= J R a FS = J R E folgt: Ja ( Fg FS) a= ( g a) = R g a J = R a J =, 8,6 kg,6 =,96 kg ( ) X-b. Energieerhaltungatz: E gilt: Einetzen on ω : tran rot Epot = Ekin + Ekin gh= + Jω ω = R gh= + J R