4 Finite-Element Räume

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1 Finite Elemente I Finite-Element Räume Wie im eindimensionalen Fall werden bei der Anwendung der FEM auf mehrdimensionale Randwertaufgaben endlichdimensionale Unterräume von Ansatz- und Testräumen aus Funktionen aufgebaut, welche auf jedem Teilgebiet K einer Zerlegung des Gebietes Ω R d Polynome in d Variablen sind. Für d = 2 bestehen diese Zerlegungen nahezu ausschließlich auch Drei- oder Vierecken, im letzteren Fall oft speziell Rechtecken. Für d = 3 sind Tetraeder, Quader und Prismen beliebt. Bei krummlinig berandeten Gebieten können solche Zerlegungen das Gebiet lediglich durch polygonale bzw. polyedrische Gebiete approximieren, und diese Approximation ist in der Konvergenzanalyse zu berücksichtigen. Genauere Approximationen krummer Ränder gestatten sogenannte isoparametrische Ansätze, die später besprochen werden. Wir gehen zunächst einfachheitshalber von polygonal bzw. polyedrisch berandeten Gebieten Ω aus. 4 Finite-Element Räume TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

2 Finite Elemente I Funktionenräume und Zerlegungen Für eine Zerlegung des Gebietes Ω, die wir wieder mit T h mit Elementen K bezeichnen a, wollen wir generell folgende Annahmen treffen: (Z 1 ) Ω = K Th K. (Z 2 ) Jedes K T h ist eine abgeschlossene Menge mit nichtleerem Inneren K. (Z 3 ) Für je zwei verschiedene K 1, K 2 T h gilt K 1 K 2 =. (Z 4 ) Jedes K T h besitzt einen Lipschitz-stetigen Rand K. Eine Zerlegung bezeichnen wir je nach Zusammenhang auch als Triangulierung (nicht nur bei Dreiecken), Vernetzung, Netz oder Gitter. Es folgen einige grafische Beispiele von Zerlegungen. a h sei wieder der maximale Durchmesser aller K T h. 4.1 Funktionenräume und Zerlegungen TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

3 Finite Elemente I 145 Dreieckszerlegung des Äußeren eines Tragflächenquerschnitts. 4.1 Funktionenräume und Zerlegungen TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

4 Finite Elemente I 146 Zerlegung aus Drei- und Vierecken. 4.1 Funktionenräume und Zerlegungen TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

5 Finite Elemente I 147 Tetraedergitter einer 3D-Werkstücks. 4.1 Funktionenräume und Zerlegungen TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

6 Finite Elemente I 148 3D-Gitter aus Quadern. 4.1 Funktionenräume und Zerlegungen TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

7 Finite Elemente I 149 3D Tetraedervernetzung bei der FE-Analyse biologischen Gewebes. 4.1 Funktionenräume und Zerlegungen TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

8 Finite Elemente I 150 Mit V h sei ein zunächst beliebiger endlichdimensionaler Raum von auf Ω definierten Funktionen bezeichnet. Entsprechend sei P K := {v K : v V h } der durch sämtliche Einschränkungen von Funktionen aus V h auf K aufgespannte Raum. Bei einer konformen FE-Diskretisierung ist V h V erforderlich. Bei Randwertaufgaben zweiter Ordnung ist etwa V = H 1 (Ω) (bzw. ein Unterraum hiervon). Eine Charakterisierung von Konformität liefert folgender Satz. Satz 4.1 Sei T h eine Zerlegung des Gebietes Ω und V h ein endlichdimensionaler Funktionenraum. Gilt V h C 0 (Ω) sowie P K H 1 (K) für alle K T h, so gelten V h H 1 (Ω), sowie V h 0 := {v V h : v = 0 auf Ω} H 1 0 (Ω). 4.1 Funktionenräume und Zerlegungen TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

9 Finite Elemente I 151 Beweis: Aufgrund unserer Annahmen gilt bereits V h L 2 (Ω). Damit auch V h H 1 (Ω) müssen wir zeigen, dass jedes v V h schwache Ableitungen i v, i = 1,..., d besitzt, d.h. Funktionen v i L 2 (Ω) mit Z Z v i φ dx = v i φ dx φ, φ differenzierbar, φ Ω = 0. Ω Elementweise gilt Z Z φ i (v K ) dx = K Ω K Z v K i φ dx + K v K φ n K,i ds, (n K,i die i-te Komponente der äußeren Einheitsnormalen längs K). Summation über alle K ergibt (mit v i := i v K K) Z Z φ v i dx = v i φ dx + X Z v K φ n K,i ds. Ω Ω K T h K Die Summe verschwindet jedoch, da φ längs Ω verschwindet und die (orientierten!) Randintegrale längs innerer Ränder je zweimal mit entgegengesetztem Umlaufsinn auftreten. 4.1 Funktionenräume und Zerlegungen TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

10 Finite Elemente I 152 Bemerkungen Dass Stetigkeit auch notwendig ist sieht man durch einen Widerspruchsbeweis. 2. Analog gilt V h H 2 (Ω), falls P K H 2 (K) für alle K und V h C 1 (Ω). 3. Wir bezeichnen die Teilgebiete K wieder als Elemente. 4. Um konforme Diskretisierungen zu erhalten können wir also die endlichdimensionalen Unterräume V h elementweise definieren und müssen dabei nur die entsprechenden stetigen Übergänge der Funktionen bzw. deren Ableitungen gewährleisten. 4.1 Funktionenräume und Zerlegungen TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

11 Finite Elemente I Simplexelemente Für k N 0 bezeichnet P k den Raum aller Polynome vom Grad k in d Variablen, d.h. P k := {p : R d R : p(x ) = b α x α } α k mit den Koeffizienten b α, den Multiindices α = (α 1,..., α d ) N d 0, α = α α d sowie x α = x α 1 1 xα d d. Für M R d sei P k (M) := {p M : p P k }. Es gilt dim P k = ( ) d+k k. (dim Pk = dim P k (M) sofern M ) Der Unterraum von P k aus Polynomen in d Variablen vom exakten Grad k (sog. homogene Polynome vom Grad k) besitzt die Dimension ( ) d + k 1 dim P k dim P k 1 =. k 4.2 Simplexelemente TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

12 Finite Elemente I 154 d-simplices: Ein nichtentartetes Simplex K in R d (kurz: d-simplex) ist die konvexe Hülle von d + 1 nicht in einer Hyperebene gelegenen Punkten {a j } d+1 j=1, den Ecken des d-simplex: K = { x = d+1 j=1 λ j a j : 0 λ j 1, d+1 j=1 } λ j = 1. Ein 2-Simplex ist ein Dreieck, ein 3-Simplex ein Tetraeder. Ein Simplex ist genau dann nicht entartet, wenn die Spalten der Matrix [ ] a1 a 2 a d+1 A := R (d+1) (d+1) (4.1) linear unabhängig sind. 4.2 Simplexelemente TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

13 Finite Elemente I 155 Baryzentrische Koordinaten: Für Punkte in einem Simplex K R d ist folgende Darstellung oft zweckmäßig: als baryzentrische Koordinaten λ = (λ 1,..., λ d+1 ) eines Punktes x = (x 1,..., x d ) K bezeichnen wir den eindeutigen Lösungsvektor λ des linearen Gleichungssystems [ ] x Aλ = 1 mit Koeffizientenmatrix A aus (4.1). Sind {a ( 1) i,j } d+1 i,j=1 die Einträge von A 1, so besitzen die baryzentrischen Koordinaten die Darstellung λ i = d j=1 a ( 1) i,j x j + a ( 1) i,d+1, i = 1,..., d + 1, und sind damit affine Funktionen von x, d.h. λ i = λ i (x ) P Simplexelemente TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

14 Finite Elemente I 156 Baryzentrische Koordinaten sind invariant unter affinen Transformationen: ist der Simplex K mit den Ecken a 1,..., a d+1 das Bild eines Simplex K mit Ecken â 1,..., â d+1 unter der Abbildung x x = B x + b mit einer nichtsingulären Matrix B R d d und b R d, so gilt für die zugehörigen baryzentrischen Koordinaten [ ] [ ] ] ] Bâ1... Bâ d+1 B x [â1... â d+1 [ x λ = bzw. λ = also λ = λ. Baryzentrische Koordinaten werden auch Dreiecks- bzw. Flächenkoordinaten im Fall d = 2 sowie Volumenkoordinaten im Fall d = 3 genannt. Letztere Bezeichnungen rühren daher, dass λ j das Flächenbzw. Volumenverhältnis zwischen K und dem durch (a 1,..., a j 1, x, a j+1,..., a d+1 ) aufgespannten Simplex angibt. 4.2 Simplexelemente TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

15 Finite Elemente I 157 a 3 a 2 x K = B K + b â 3 a 1 λ 1 = b K 1 b K = K 1 K K x â 1 â 2 λ 2 = b K 2 b K λ 3 = b K 3 b K = K 2 K = K 3 K Baryzentrische Koordinaten von bx und x = Bbx + b in den affinen Dreiecken b K und K; die Flächen gleich eingefärbter Teildreiecke sind proportional. 4.2 Simplexelemente TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

16 Finite Elemente I 158 a 3 λ 3 = 2 3 λ 3 = 1 3 λ 1 = 1 3 a 2 λ 1 = 2 3 λ 2 = 2 3 λ 2 = 1 3 a 1 Linien konstanter baryzentrischer Koordinaten im Dreieck. Der Schwerpunkt liegt bei λ 1 = λ 2 = λ 3 = Simplexelemente TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

17 Finite Elemente I Das lineare Simplexelement Lemma 4.3 Ein Polynom p P 1 in d Variablen ist durch dessen Funktionswerte p(a j ) an den d + 1 Ecken eines d-simplex im R d eindeutig bestimmt. Beweis: Zu zeigen ist, dass für jeden Vektor µ = (µ 1,..., µ d+1 ) R d+1 das lineare Gleichungssystem X b α aj α = µ j, j = 1,..., d + 1 α 1 eindeutig lösbar ist. Die zugehörige Koeffizientenmatrix ist quadratisch, somit ist Existenz einer Lösung äquivalent mit deren Eindeutigkeit. Für die baryzentrischen Koordinaten der Ecken gilt λ i (a j ) = δ ij (1 i, j d + 1), weshalb das Polynom das Gewünschte leistet. p(x ) := Xd+1 i=1 µ i λ i (x ) 4.2 Simplexelemente TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

18 Finite Elemente I 160 Bemerkung 4.4 Aus dem Beweis folgt insbesondere, dass jedes p P 1 bezüglich der baryzentrischen Koordinaten eines Simplex die Darstellung p(x ) = d+1 i=1 p(a i)λ i (x ) besitzt. Das lineare Simplexelement in d Variablen ist nun wie folgt definiert: (i) Das Gebiet K ist ein nichtentartetes Simplex in R d. (ii) Der endlichdimensionale Funktionenraum P K auf K ist P 1 (K). (iii) Die Freiheitsgrade Ψ K, welche ein Polynom φ P K eindeutig festlegen, sind dessen Funktionswerte an den Ecken, symbolisch Ψ K = {p(a j ) : 1 j d + 1}. Die nodale Basis von P K ist nach Bemerkung 4.4 gegeben durch φ j (x ) = λ j (x ), j = 1,..., d Simplexelemente TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

19 Finite Elemente I Das quadratische Simplexelement Seien a ij := 1 2 (a i + a j ), 1 i < j d + 1 die Seitenmittelpunkte des d-simplex K. Es gilt λ k (a ij ) = 1 2 (δ ki + δ kj ) = { 1 2 a k und a ij liegen auf gemeinsamer Kante 0 sonst. Damit gilt für die Funktionen φ i P 2 definiert durch φ i (x ) := λ i (x )(2λ i (x ) 1), i = 1,..., d + 1 die Beziehungen φ i (a i ) = 1, φ i (a k ) = 0, k i, φ i (a jk ) = 0, j < k. 4.2 Simplexelemente TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

20 Finite Elemente I 162 Für die d(d + 1)/2 weiteren Funktionen φ ij P 2 definiert durch gilt φ ij (x ) := 4λ i (x )λ j (x ), 1 i < j d + 1 φ ij (a ij ) = 1, φ ij (a kl ) = 0, falls k i oder l j, φ ij (a k ) = 0, für alle k. Wegen dim P 2 = (d + 1)(d + 2)/2 bilden damit die (d + 1)(d + 2)/2 Funktionen φ 1,..., φ d+1, φ 12,..., φ d 1,d die nodale Basis von P 2 bezüglich der Knoten a i, 1 i d + 1 und a ij, 1 i < j d Simplexelemente TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

21 Finite Elemente I 163 Insbesondere besitzt jedes Polynom p P 2 die Darstellung p(x ) = d i=1 p(a i )λ i (x )(2λ i (x ) 1) + i<j p(a ij ) 4λ i (x )λ j (x ). Wir erhalten so das quadratische Simplexelement definiert durch das Simplex K, den Funktionenraum P 2 (K) und als Freiheitsgrade die Funktionswerte an den Ecken und Seitenmittelpunkten, d.h. a 3 a 23 a 2 Ψ K = {p(a i ), i = 1,..., d + 1; p(a ij ), 1 i < j d + 1}. a 13 a 12 a 1 Knoten im quadratischen Dreieck 4.2 Simplexelemente TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

22 Finite Elemente I Das kubische Simplexelement Mit den Bezeichnungen a iij := 1 3 (2a i + a j ), i j, a ijk := 1 3 (a i + a j + a k ), i < j < k, gilt analog für Polynome p P 3 die Beziehung p = p(a i ) λ i(3λ i 1)(3λ i 2) 2 i + p(a ijk ) 27λ i λ j λ k, i<j<k + i j p(a iij ) 9λ iλ j (3λ i 1) 2 was auf das kubische Simplexelement mit Funktionenraum P 3 (K) und als Freiheitsgrade die Werte an den a i, a iij (i j) und a ijk (i < j < k) führt. 4.2 Simplexelemente TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

23 Finite Elemente I 165 a 3 a 332 a 223 a 2 a 331 a 123 a 221 a 113 a 112 a 1 Knoten im kubischen Dreieck 4.2 Simplexelemente TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

24 Finite Elemente I 166 Allgemein gilt: Satz 4.5 Sei K ein d-simplex mit Ecken {a j } d+1 j=1 und p P k für ein k N. Dann ist p eindeutig bestimmt durch dessen Funktionswerte an den Punkten der Knotenmenge N k (K) := { x = d+1 λ j a j : d+1 λ j = 1, j=1 j=1 } λ j {i/k, i = 0,..., k}, j = 1,..., d + 1. Beweis: Wegen N k (K) = dim P k ist durch die Forderungen φ i P k, φ i (x j ) = δ ij, 1 i, j N k (K) die nodale Basis von P k eindeutig bestimmt. 4.2 Simplexelemente TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

25 Finite Elemente I Das Argyris-Dreieck Wie wir später sehen werden, eignen sich die bisher betrachteten Simplex-Elemente vor allem zur Konstruktion von Unterräumen von C(Ω). Wir betrachten hier für den Fall d = 2 zwei Elemente, die zur Konstruktion von Unterräumen von C 1 (Ω), insbesondere zur Lösung von elliptischen Randwertaufgaben vierter Ordnung herangezogen werden können. Hierbei treten wieder neben Funktionswerten auch Ableitungen als Freiheitsgrade auf. Das Argyris-Dreieck ist definiert durch K ist ein nichtentartetes Dreieck Der Polynomraum ist P K = P 5, (dim P K = 21). Die 21 Freiheitsgrade sind gegeben durch Ψ K = { D α p(a i ), i = 1, 2, 3, α 2; n p(a ij ), 1 i < j 3 }. 4.2 Simplexelemente TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

26 Finite Elemente I 168 a 3 a 13 a 23 a 1 a 12 a 2 Knoten und Normalenvektoren im Argyris-Dreieck. Kleine und große Kreise an Knoten bezeichnen erste und bzw. zweite Ableitungen als Freiheitsgrade. 4.2 Simplexelemente TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

27 Finite Elemente I Das Bell-Dreieck Mit dem Bell-Dreieck können ebenfalls C 1 -Elemente konstruiert werden. Im Gegensatz zum Argyris-Dreieck wird nicht der volle Polynomraum P 5 verwendet. K ist ein nichtentartetes Dreieck. Bezeichnet K eine Kante des Dreiecks K, so ist der Polynomraum gegeben durch P K := {p P 5 : n p P 3 (K ) für alle Kanten K } Es ist P K P 5, dim P K = 18. Die Freiheitsgrade sind die des Argyris-Elements ohne die Normalableitungen: Ψ K = { D α p(a i ), i = 1, 2, 3, α 2 }. 4.2 Simplexelemente TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

28 Finite Elemente I Finite-Element Räume basierend auf Simplices Wir betrachten eine Zerlegung T h eines polyedrischen Gebiets Ω R d in disjunkte Simplices sodass die Eigenschaften (Z 1 ) (Z 4 ) aus Abschnitt 4.1 erfüllt sind. Diesen Forderungen fügen wir eine weitere hinzu: (Z 5 ) Jede Fläche eines Simplex K T h ist entweder Teil des Randes Ω oder gleichzeitig Fläche eines anderen Simplex von T h. Erlaubt. Verboten. 4.2 Simplexelemente TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

29 Finite Elemente I 171 Ein zu einer Zerlegung T h von Ω und einem finiten Element gehörender FE-Raum V h besteht nun aus Funktionen auf Ω, deren Enschränkung auf ein Element K T h zu P K gehört. Satz 4.6 Sei V h der zu einer zulässigen Zerlegung T h von Ω und entweder dem linearen, quadratischen oder kubischen Simplex gehörende FE-Raum. Dann gilt V h C(Ω) H 1 (Ω). Beweis: Zu zeigen ist nur, dass die Funktionen v V h stetige Übergänge zwischen den Elementen besitzen. Seien K 1, K 2 T h zwei benachbarte Simplices mit gemeinsamer Fläche K sowie v 1 := v K1, v 2 := v K2 für ein v V h. Die Einschränkung von v 1 bzw. v 2 auf die Fläche K ist jeweils ein Polynom vom Grad k in d 1 Variablen (k = 1, 2, 3). Diese beiden Polynome stimmen an den auf K liegenden Knoten überein. Die Anzahl Knoten auf (dem d 1-Simplex) K ist aber genau die erforderliche, um ein Polynom vom Grad k in d 1 Variablen eindeutig festzulegen, also stimmt v 1 auf K mit v 2 überein. 4.2 Simplexelemente TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

30 Finite Elemente I 172 Satz 4.7 Sei V h der zu einer zulässigen Zerlegung T h von Ω R 2 und entweder Argyris- oder Bell-Dreiecken gehörende FE-Raum. Dann gilt V h C 1 (Ω) H 2 (Ω). Beweis: Aufgrund von Bemerkung 4.2(2) genügt es, V h C 1 (Ω) zu zeigen. Seien K 1, K 2 T h benachbarte Dreiecke mit gemeinsamer Kante K = [a i, a j ] sowie v V h. Die Funktionen v 1 := v K1 und v 2 := v K2 eingeschränkt auf K sind jeweils Polynome 5. Grades q 1 bzw. q 2 in der Variablen längs der Kante. Aufgrund der gemeinsamen Freiheitsgrade an den Knoten auf K folgt für die Differenz q := q 1 q 2 q(a i ) = q (a i ) = q (a i ) = q(a j ) = q (a j ) = q (a j ) = 0. Damit folgt zunächst q 0 und V h C(Ω). 4.2 Simplexelemente TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

31 Finite Elemente I 173 Seien nun r 1 und r 2 die Einschränkungen der Normalableitungen n v 1 bzw. n v 2 auf K. Diese sind jeweils Polynome vom Grad 4, und aufgrund der gemeinsamen Freiheitsgrade gilt bei Argyris-Dreiecken für r := r 1 r 2 r(a i ) = r (a i ) = r(a ij ) = r(a j ) = r (a j ) = 0, womit r 0 und die Stetigkeit der Normalableitung folgt. Im Falle des Bell-Dreiecks sind r 1 und r 2 Polynome 3. Grades und aufgrund der 4 gemeinsamen Freiheitsgrade auf K folgt r(a i ) = r (a i ) = r(a j ) = r (a j ) = 0, und damit ebenfalls r 0. Die Stetigkeit der Ableitung in Tangentialrichtung ist bereits gezeigt, da q 0 auch q 0 nach sich zieht. Damit ist auch der stetige Übergang der ersten Ableitungen gezeigt Simplexelemente TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

32 Finite Elemente I Rechteckelemente Für k N 0 bezeichnet Q k den Raum aller Polynome in d Variablen, welche bezüglich jeder einzelnen Variablen vom Grad k sind, d.h. { Q k := p : R d R : p(x ) = b α x }. α α i k 1 i d Es gilt dim Q k = (k + 1) d sowie P k Q k P dk. Beispiel: Im Fall d = 2 erhält man für k = 1 die bilinearen Funktionen span{1, x 1, x 2, x 1 x 2 } bzw. für k = 2 die biquadratischen Funktionen span{1, x 1, x 2, x 1 x 2, x 2 1, x 2 2, x 2 1x 2, x 1 x 2 2, x 2 1x 2 2}. 4.3 Rechteckelemente TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

33 Finite Elemente I d-rechtecke Ein d-rechteck K R d ist das kartesische Produkt K = d [a i, b i ] = {x R d : a i x i b i, i = 1,..., d} i=1 von d Intervallen [a i, b i ], < a i < b i <. Für d = 2 erhält mach echte Rechtecke, für d = 3 Quader. Rechteckelemente sind aufgrund ihrer Produktstruktur einfach zu handhaben. So erhält man etwa eine nodale Basis von Q k auf einem d-rechteck K aus Produkten eindimensionaler Lagrange-Grundpolynome: sind in jeder Koordinatenrichtung k + 1 Knoten gegeben a i = x (0) i < x (1) i < < x (k 1) i < x (k) i = b i, i = 1,..., d, 4.3 Rechteckelemente TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

34 Finite Elemente I 176 so bildet das kartesische Produkt der d Knotenmengen ein Gitter aus (k + 1) d Knoten x i1,...,i d = (x (i 1) 1, x (i 2) 2,..., x (i d) d ) K, 0 i j k, j = 1,..., d. Ist ferner l ij (x j ) das Lagrange-Grundpolynom in der Variablen x j bezüglich der Knoten in der j-ten Variable, so ist l i1,...,i d (x ) := d j=1 l ij (x j ) Q k, (i 1,..., i d ) {0, 1,..., k} d das Lagrange-Grundpolynom in d Variablen des Knoten x i1,...,i d, d.h. es gilt { 1, falls i1 = j 1,..., i d = j d, l i1,...,i d (x j1,...,j d ) = 0, sonst. 4.3 Rechteckelemente TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

35 Finite Elemente I 177 Damit gilt für alle p Q k : p(x ) = (i 1,...,i d ) {0,...,k} d p(x i1,...,i d ) l i1,...,i d (x ). Ein solches kartesisches Produkt von d Knotenmengen nennt man auch d-faches Tensorprodukt-Gitter. Wir fassen dies wie folgt zusammen: Satz 4.8 Ein Polynom p Q k ist eindeutig bestimmt durch seine Werte auf einem d-fachen Tensorprodukt-Gitter. Betrachten wir das Referenz-d-Rechteck K := [ 1, 1] d, so ist ein äquidistantes Tensorproduktgitter für Q k ( K) hierauf gegeben durch die Knotenmenge N k := { (ξ (i 1) 1,..., ξ (i d) d ) : ξ (i j) j = k i j, 0 i j k, 1 j d }. 4.3 Rechteckelemente TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

36 Finite Elemente I 178 Das äquidistante Tensorproduktgitter N k (K) für Q k (K) bezüglich eines beliebigen achsenparallelen d-rechtecks K R d ist das Bild N k (K) = F K ( N k ) einer diagonal-affinen Abbildung F K : K K, ξ B K ξ + b K mit einer Diagonalmatrix B K und einem Verschiebungsvektor b K. N k (K) für ein Rechteck K (d = 2), k = 1, 2, Rechteckelemente TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

37 Finite Elemente I Das d-rechteckelement der Ordnung k Das Rechteckelement der Ordnung k in d Raumdimensionen ist somit charakterisiert durch K ein achsenparalleles d-rechteck P K = Q k (dim P K = (k + 1) d ) mit den Freiheitsgraden Ψ K = {p(x ) : x N k (K)}. Beispiel: d = 2, k = 2 (biquadratisches Rechteck). Die nodale Basis auf dem Referenzelement K = [ 1, 1] 2 ist gegeben durch { φi (ξ 1 )φ j (ξ 2 ) : 0 i, j 2 } mit φ 0 (ξ) = 1 2 ξ(ξ 1), φ 1(ξ) = (ξ + 1)(ξ 1), φ 2 (ξ) = 1 2 (ξ + 1)ξ. 4.3 Rechteckelemente TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

38 Finite Elemente I Serendipity-Elemente Die zu inneren Knoten gehörenden nodalen Basisfunktionen des d-rechteckelementes (k 2) verschwinden auf dem Rand von K und spielen daher keine Rolle bei der Kopplung zu angrenzenden Elementen. Man kann daher die inneren Freiheitsgrade vor dem Aufbau des Gleichungssystems eliminieren und so dessen Dimension reduzieren. Eine andere Alternative sind Rechteckelemente, bei denen die inneren Knoten entsprechenden Freiheitsgrade entfernt wurden, sog. Serendipity-Elemente. Wir führen diese Konstruktion anhand des bilinearen Rechtecks vor. Hierzu sei folgende Nummerierung der Knoten/Freiheitsgrade festgelegt: Rechteckelemente TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

39 Finite Elemente I 181 Wir betrachten das Referenzelement K = [ 1, 1] 2 mit Variablen ξ, η. Die zum Knoten â 1 gehörende Basisfunktion φ 1 liegt in Q 2 und verschwindet an den Knoten â 2,..., â 8, insbesondere längs der Kanten ξ = 1 und η = 1. Als Polynom aus Q 2 besitzt φ 1 daher die Form φ 1 (ξ, η) = (1 ξ)(1 η)ψ(ξ, η) mit einem höchstens linearen Polynom ψ. Da φ 1 ferner an den Stellen â 5 und â 8 verschwindet muss ψ längs deren Verbindungsstrecke verschwinden, d.h. ψ(ξ, η) = α(1 + ξ + η). Schließlich führt die Bedingung φ 1 (â 1 ) = 1 auf α = 1 4. Auf analoge Weise bestimmen wir auch die übrigen Basisfunktionen: φ 1 (ξ, η) = 1 4 (1 ξ)(1 η)(1 + ξ + η), φ5 (ξ, η) = 1 2 (1 ξ2 )(1 η), φ 2 (ξ, η) = 1 4 (1 + ξ)(1 η)(1 ξ + η), φ6 (ξ, η) = 1 2 (1 + ξ)(1 η2 ), φ 3 (ξ, η) = 1 4 (1 + ξ)(1 + η)(1 ξ η), φ7 (ξ, η) = 1 2 (1 ξ2 )(1 + η), φ 4 (ξ, η) = 1 4 (1 ξ)(1 + η)(1 + ξ η), φ8 (ξ, η) = 1 2 (1 ξ)(1 η2 ). 4.3 Rechteckelemente TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

40 Finite Elemente I 182 Bezeichnen wir den inneren Knoten des bilinearen Rechteckelements mit â 9 = ( 1 2, 1 2 ), verifiziert man leicht die Beziehung φ j (â 9 ) = l=1 φ j (â l ) l=5 φ j (â l ), j = 1, 2,..., 8. Da diese Eigenschaft invariant ist unter diagonal-affinen Transformationen, läßt sich der Polynomraum des Serindipity-Elements für k = 2 und d = 2 charakterisieren als P K := Q 2 = { p Q 2 : p(a 9 ) = p(a l ) } p(a l ). l=1 l=5 Bemerkung: Es gilt P 2 Q 2. Anhand der Basisfunktionen verifiziert man außerdem, dass die Polynome in Q 2 das Monom ξ 2 η 2 nicht enthalten. 4.3 Rechteckelemente TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

41 Finite Elemente I Finite-Element-Räume basierend auf Rechtecken Jedes durch stückweise achsenparallele Randflächen berandete Gebiet Ω R d kann in d-rechtecke zerlegt werden, sodass die Eigenschaften (Z 1 ) (Z 4 ) aus Abschnitt 4.1 erfüllt sind. Ferner fordern wir die Eigenschaft (Z 5 ) aus Abschnitt mit Simplex ersetzt durch Rechteck. Aufgrund der Anzahl Knoten auf den Randflächen zeigt man leicht, dass auf einer solchen Zerlegung basierende finite-element-räume H 1 -konform sind: Satz 4.9 Ist V h der zu einer zulässigen Zerlegung T h aus Rechteck- bzw. Serindipity-Elementen gehörende FE-Raum, so gilt V h C 0 (Ω) H 1 (Ω). 4.3 Rechteckelemente TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

42 Finite Elemente I Affine Familien Wir haben bereits in den Abschnitten , 2.12 und 4.3 von der Technik Gebrauch gemacht, ein finites Element zunächst auf einem Referenzelement K zu definieren und dann beliebige Elemente K aus einer Triangulierung durch affine Abbildung von K nach K abzuleiten. Vorteile dieses Ansatzes: Auf dem Referenzelement besitzt ein finites Element eine besonders einfache Beschreibung. Berechnungen werden durch Transformation auf das Referenzelement einheitlicher. Es genügt, theoretische Aussagen (z.b. Approximationseigenschaften) nur für das Referenzelement zu beweisen. Wir bescheiben in diesem Abschnitt, wie dieser Ansatz im Allgemeinen angewandt werden kann. 4.4 Affine Familien TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

43 Finite Elemente I 185 Folgende abstrakte Definition eines finiten Elementes geht auf Ciarlet zurück: Definition 4.10 Ein finites Element ist ein Tripel (K, P, Ψ); hierbei sind (i) K eine abgeschlossene Teilmenge des R d mit nichtleerem Inneren und Lipschitz-Rand, (ii) P ein linearer Raum auf K definierter Funktionen sowie (iii) Ψ eine endliche Menge linear unabhängiger linearer Funktionale Φ 1,..., Φ n auf P derart, dass jede Funktion φ P eindeutig durch die Werte Φ 1 (φ),..., Φ n (φ) festgelegt ist. (Man sagt auch, Ψ sei unisolvent bezüglich P.) Bemerkung 4.11 Durch Ψ ist eine Basis {φ 1,..., φ n } von P ausgezeichnet durch Φ i (φ j ) = δ ij, i, j = 1,..., n, die wir in Beispielen bereits als nodale Basis bezeichnet haben. Die Basen {Φ j } und {φ j } sind also zueinender dual. 4.4 Affine Familien TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

44 Finite Elemente I 186 Dass es bei einem finiten Element auch auf die Freiheitsgrade ankommt veranschaulicht folgendes Beispiel: wir betrachten ein Dreieckelement mit Polynomraum P 1 und als Freiheitsgrade die Funktionswerte an jeweils drei Knoten, die wir wie folgt wählen. Nur bei der ersten Wahl der Knoten (und damit der Freiheitsgrade) erhalten wir einen FE-Raum mit stetigen Übergängen zwischen benachbarten Dreiecken. Insbesondere erhalten wir so drei verschiedene finite Elemente bei jeweils gleichem K und Ψ. 4.4 Affine Familien TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

45 Finite Elemente I 187 Wir haben bereits verschiedene Arten von Freiheitsgraden/Funktionalen kennengelernt: Funktionswerte an einem Knoten: Elemente mit ausschließlich solchen Freiheitsgraden heißen Lagrange-Elemente. Beispiele sind die behandelten Rechteckelemente, die Simplexelemente (außer Bellund Argyris-Dreieck) sowie die linearen Elemente im Abschnitt 2.8. Ableitungen an einem Knoten: Elemente, bei denen auch Ableitungen als Freiheitsgrade auftreten, heißen Hermite-Elemente. Ein Beispiel ist das kubische Hermite-Element in Abschnitt Daneben sind aber auch Freiheitsgrade gebräuchlich, die durch Integrale über Kanten, Flächen oder das Element selbst gebildet werden. 4.4 Affine Familien TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

46 Finite Elemente I 188 Definition 4.12 Zwei finite Elemente (K, P, Ψ) und K, P, Ψ) heißen affin äquivalent, falls folgende Bedingungen erfüllt sind: (a) Es existiert eine affine Abbildung F : K K, x B x + b, mit B R d d nichtsingulär, b R d sodass K = F ( K), (b) Für die Funktionenräume gilt P = { φ F 1 : φ P }. (c) Für die Freiheitsgrade gilt Ψ = {Φ F 1 : Φ Ψ}. Bemerkungen Bedingung (c) besagt, dass die Funktionalmenge Ψ das Bild von Ψ ist unter der Abbildung Φ Φ mit Φ( φ) = Φ( φ F 1 ) φ P. 2. Die Zuordnung in (b) zwischen Funktionen auf K und solchen auf K über Verkettung mit F 1 wird auch Pull-back genannt, geschrieben (F 1 ) ( φ) := φ F 1. Damit lautet (b) P = (F 1 ) P oder P = F P. 4.4 Affine Familien TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

47 Finite Elemente I Analog nennt man die Zuordnung in (c) zwischen linearen Funktionalen von Funktionen auf K zu solchen von Funktionen auf K auch Push-Forward, geschrieben ( (F 1 ) Φ ) ( φ) := Φ ( (F 1 ) ( φ) ). Eine entsprechende Formulierung von (c) lautet also Ψ = (F 1 ) Ψ bzw. Ψ = F Ψ. Proposition 4.14 Affine Äquivalenz finiter Elemente ist eine Äquivalenzrelation. 4.4 Affine Familien TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

48 Finite Elemente I 190 Beispiele 1. Lagrange-Elemente auf Simplices oder Rechtecken, deren Knotenmengen durch die affine Gebietsabbildung F ineinander überführt werden, sind affin äquivalent. 2. Finite Elemente mit Normalableitungen als Freiheitsgrade (z.b. Argyris-Element) sind im Allgemeinen nicht affin äquivalent. 3. Man betrachte ein Dreieckelement mit Polynomraum P 3 (Dimension 10) und als Freiheitsgrade die Funktionswerte an den drei Ecken und am Schwerpunkt (4 Stück) sowie je zwei partielle Ableitungen an den Ecken (weitere 3 2 Stück). Wählt man als Ableitungsrichtungen die der beiden angrenzenden Kanten, so sind die resultierenden Elemente affin äquivalent. Dies ist nicht der Fall wenn man z.b. die Koordinatenrichtungen wählt. 4.4 Affine Familien TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

49 Finite Elemente I 191 Definition 4.15 Eine Menge von finiten Elementen heißt affine Familie, falls alle Elemente affin äquivalent zu einem Referenzelement ( K, P, Ψ) sind. (Letzteres braucht selbst nicht zur Familie zu gehören) Bei d-simplexelementen wählt man meist als Referenzelement (-Gebiet) den Einheitssimplex mit Ecken im Ursprung und an der Spitze der d Koordinaten-Einheitsvektoren. Bei d-rechteckelementen sind entweder der Einheitswürfel [0, 1] d oder, weil die Basisfunktionen hierfür etwas symmetrischer aussehen, [ 1, 1] d üblich. 4.4 Affine Familien TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

50 Finite Elemente I Der Interpolationsoperator Der Interpolationsoperator ist ein wichtiges Hilfsmittel bei der Konstruktion von FE-Räumen aus einzelnen Elementen sowie bei der Konvergenzanalyse. Definition 4.16 Sei (K, P, Ψ) ein finites Element und φ 1,..., φ n die nodale Basis von P zu Ψ. Ist u eine Funktion auf K, für die alle Freiheitsgrade Φ j Ψ definiert sind, so wird die lokale Interpolierende I K u P definiert durch n I K u = Φ j (u)φ j. j=1 4.5 Der Interpolationsoperator TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

51 Finite Elemente I 193 Beispiel: Sei K das lineare Dreieckelement bezüglich des Dreiecks K mit den Ecken (0, 0), (1, 0) und (0, 1). Die nodale Basis ist gegeben durch φ 1 (x, y) = 1 x y, φ 2 (x, y) = x, φ 3 (x, y) = y. Die lokale Interpolierende der Funktion u(x, y) = e xy lautet damit (I K u)(x, y) = e 0 φ 1 (x, y) + e 0 φ 2 (x, y) + e 0 φ 3 (x, y) = (1 x y) + x + y 1. Proposition 4.17 I K ist linear und es gilt Φ j (I K u) = Φ j (u), j = 1,..., n. Mit anderen Worten: I K u ist diejenige Funktion in P mit denselben Freiheitsgraden wie u. Proposition 4.18 Für alle p P gilt I K p = p, d.h. I K ist eine Projektion auf P. 4.5 Der Interpolationsoperator TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

52 Finite Elemente I 194 Proposition 4.19 Sind (K, P, Ψ) und ( K, P, Ψ) zwei affin äquivalente finite Elemente bezüglich der affinen Abbilding F : K K und bezeichnen I K bzw. I bk die zugehörigen lokalen Interpolationsoperatoren, so gilt I bk F = F I K. Definition 4.20 Sei T h eine zulässige Zerlegung des polyedrischen Gebiets Ω R d und sei auf jedem Teilgebiet K T h ein finites Element (K, P, Ψ) definiert. Sind für eine Funktion u : Ω R alle Freiheitsgrade Ψ K, K T h definiert, so definieren wir den globalen Interpolationsoperator I h durch (I h u) K = I K u, für alle K T h. Man nennt ein finites Element C k -Element, falls die zugehörigen globalen Interpolierenden stets k mal stetig differenzierbar sind. Lagrange-Elemente sind (bei geeigneter Knotenwahl) C 0 -Elemente, das Argyris und das Bell-Dreieck sind C 1 -Elemente. 4.5 Der Interpolationsoperator TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006