Forschungsstatistik I

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1 Prof. Dr. G. Meinhardt 2. Stock, Nordflügel R (Persike) R (Meinhardt) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung Forschungsstatistik I Dr. Malte Persike persike@uni-mainz.de WS 2008/2009 Fachbereich Sozialwissenschaften Psychologisches Institut Johannes Gutenberg Universität Mainz

2 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Ein- und mehrdimensionale ZV Eindimensionale Zufallsvariable: Zuweisung nur einer Zahl zu jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments Mehrdimensionale Zufallsvariable: Zuweisung mehrerer Zahlen zu jedem Ergebnis einer Zufallsvariablen Beispiele für mehrdimensionale Zufallsvariablen: Erfassung von mathematischem und verbalem IQ Messung von Ölverbrauch und Ausfallrate Erfassung von Einkommen und Parteipräferenz

3 Mehrdimensionale Zufallsverteilungen Uni-, bi- und multivariate Zufallsverteilungen Wird jedem Ergebnis eine Zahl zugewiesen (ZV(Y)), spricht man von einer univariaten Wahrscheinlichkeitsverteilung f Y (y) Werden jedem Ergebnis zwei Zahlen zugewiesen (ZV(X) und ZV(Y)), liegt eine bivariate Wk-Verteilung vor Bei mehr als zwei Zahlen (ZV(X), ZV(Y), ) liegt eine multivariate Verteilung f XY (x,y, ) vor Im bi-/multivariaten Fall sind die Wkn von Wertekombinationen der zwei oder mehr Variablen von Interesse Die bi- oder multivariate Wahrscheinlichkeitsverteilung bzw. dichte beschreibt diese Wahrscheinlichkeiten und damit die gemeinsame Verteilung der Zufallsvariablen

4 Mehrdimensionale Zufallsverteilungen Verteilungsfunktion Die Verteilungsfunktion zweier diskreter Zufallsvariablen X und Y ist definiert als m n p( X x, Y y ) f ( x, y ) = m n XY i j i= j= Die Verteilungsfunktion zweier stetiger Zufallsvariablen X und Y ist definiert als p( xu X xo, yu Y yo) = fxy( x, y) dxdy Wie bei univariaten stetigen Verteilungen ist die Punktwahrscheinlichkeit stets Null, nur die Intervallwahrscheinlichkeit ist ein sinnvoller Kennwert. x x o u y y o u

5 Mehrdimensionale Zufallsverteilungen Beispiel I: Bivariate diskrete Zufallsverteilung Gegeben seien eine Zufallsvariable X mit vier Ausprägungen (x, x 2, x 3, x 4 ) und eine Zufallsvariable Y mit zwei Ausprägungen (y, y 2 ) Diese seien definiert als X sehr gut 2 gut = 3 befriedigend 4 ausreichend 0 männlich = weiblich Bei der gemeinsamen Verteilung der Zufallsvariablen X und Y werden Ereignisse betrachtet, für die X und Y bestimmte Werte annehmen, also X = x i und Y = y j Die Wahrscheinlichkeit p(x= x i, Y = y j ) wird als Verbundwahrscheinlichkeit bezeichnet. Y

6 Mehrdimensionale Zufallsverteilungen : Kontingenztabellen Bivariate diskrete Zufallsverteilungen werden häufig in Kontigenztabellen tabellarisch dargestellt. Note w Lausurergebnisse (getrennt nach Geschlecht) m Σ Note w m Σ Σ Σ Absolute Häufigkeiten Relative Häufigkeiten

7 Mehrdimensionale Zufallsverteilungen : Kontingenztabellen Bei der Kontigenztabelle werden Verbundwahrscheinlichkeiten und Randverteilungen (univariate, marginale Verteilungen) unterschieden. Note w 0.0 m 0.03 Σ 0.3 Randverteilung Σ Verbundwahrscheinlichkeiten

8 Bivariate Zufallsverteilungen : Kontingenztabellen Die Randverteilungen, respektive Randhäufigkeiten bei empirischen Daten, für die Zufallsvariablen X und Y (mit k x bzw. k y Ausprägungen) erhält man über k y px ( = x) = f ( x) = f ( x, y ) X XY i i= k x py ( = y) = f ( y) = f ( x, y) Y XY j j= Die bedingten Verbundwahrscheinlichkeiten für feste Werte von X bzw. Y werden berechnet als f Y ( y x) = f XY f ( x, y) ( x) X bzw. f X ( x y) = f ( x, y) f ( y) XY Y

9 Mehrdimensionale Zufallsverteilungen Beispiel I: Multivariate diskrete Zufallsverteilung Gegeben seien eine Zufallsvariable X mit vier Ausprägungen (x, x 2, x 3, x 4 ), eine Zufallsvariable Y mit zwei Ausprägungen (y, y 2 ) und eine Zufallsvariable Z mit zwei Ausprägungen (z, z 2 ) Diese seien definiert als X sehr gut 2 gut = 3 befriedigend 4 ausreichend Y 0 männlich Christmann = Z = weiblich 2 Walther

10 Mehrdimensionale Zufallsverteilungen : Kontingenztabellen Zur tabellarischen Darstellung multivariater diskreter Zufallsverteilungen werden häufig geschachtelte Kontigenztabellen verwendet. Note Christmann w m Walther w m Σ Σ

11 Bivariate Zufallsverteilungen : diskret vs. stetig (Boxplot) 30,0 25,0 Punkte 20,0 5,0 0,0 5,0 0,0 weiblich Geschlecht männlich

12 Bivariate Zufallsverteilungen : diskret vs. stetig (Scatterplot) 30,0 25,0 Punkte 20,0 5,0 0,0 5,0 0,0 weiblich männlich Geschlecht

13 Bivariate Zufallsverteilungen : diskret vs. stetig (Errorbar)

14 Mehrdimensionale Zufallsverteilungen Beispiel II: Bivariate stetige Zufallsverteilung Gegeben seien zwei stetige Zufallsvariablen X und Y Diese seien normalverteilt und definiert über die Parameter (μ X, σ X ) und (μ Y, σ Y ) Die Zufallsvariable X sei der IQ einer beliebig ausgewählten Person, Y die Nervenleitgeschwindigkeit am Unterarm dieser Person. Die Wahrscheinlichkeitsdichten der einzelnen ZVn sind dann wie bereits bekannt gegeben über f ( μσ, ) = e 2πσ 2 y μ σ 2

15 Mehrdimensionale Zufallsverteilungen Die bivariate Normalverteilung Die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Verbundwahrscheinlichkeiten nach Standardisierung ist dann gegeben als f( z, z2) = exp 2π 2 ( z2 2 2ρ zz2 + z2) 2 ( ρ ) ρ2 Für die bivariate Normalverteilung gilt, dass die Randverteilungen wiederum normal sind aus gegebenen normalen Randverteilungen jedoch keine bivariat normale Verteilung folgt die bedingten Verteilungen wiederum normal sind

16 Bivariate Zufallsverteilungen : stetig vs. stetig (Konturplot) ρ = 0.75 ρ = 0.75 Der Parameter ρ bestimmt die Elongation ( Länglichkeit ) der bivariaten Normalverteilungsdichte.

17 Bivariate Zufallsverteilungen : stetig vs. stetig (Scatterplot) 9 8 Nervenleitgeschwindigkeit IQ

18 Kovarianz Bivariate Zufallsverteilungen Numerische Gewünschte Eigenschaften eines Zusammenhangskoeffizienten Sollte die Stärke eines Zusammenhangs numerisch ausdrücken Sollte die Richtung des Zusammenhangs anzeigen (sofern sinnvoll) Sollte invariant unter zulässigen Transformationen sein Sollte einfach interpretierbar sein

19 Kovarianz Numerische von bivariat stetigen Stichprobendaten - Kovarianz Für n Beobachtungen aus einem Zufallsexperiment x x n und y y n ist die Kovarianz definiert als n cov( x, y) = s = ( x x)( y y) xy i i n i = Die Kovarianz ist Null, wenn kein Zusammenhang zwischen den Ausprägungen der Zufallsvariablen besteht Die Kovarianz ist positiv, wenn ein gleichsinniger Zusammenhang besteht Die Kovarianz ist negativ, wenn ein gegensinniger Zusammenhang besteht.

20 Kovarianz Numerische von bivariat stetigen Stichprobendaten - Kovarianz Die Kovarianz erfüllt nicht die Forderung der Invarianz gegenüber erlaubten Transformationen Addition einer Konstanten zu x und y: cov( x+ a, y + b) = cov( x, y) Multiplikation von x und y mit einer Konstanten cov( a x, b y) = ab cov( xy, ) Sie ist also numerisch schwer zu interpretieren

21 Kovarianz Numerische von bivariat stetigen Stichprobendaten - Für n Beobachtungen aus einem Zufallsexperiment x x n und y y n ist der skoeffizient definiert als r xy n ( x x)( y y) i i n i= = = n n ( x x) ( yi y) n i i= n i= s s x xy s y Für die Richtungsinformation gelten dieselben Regeln wie bei der Kovarianz Bei der ist zudem die Stärke (der Betrag) des Zusammenhangs interpretier- und vergleichbar.

22 Kovarianz Numerische von bivariat stetigen Stichprobendaten - Der so definierte skoeffizient r xy wird auch als Produkt-Moment- oder skoeffizient nach Pearson bezeichnet. Er ist für Daten ab Intervallskalenniveau definiert Die ist Null, wenn kein Zusammenhang zwischen den Ausprägungen der Zufallsvariablen besteht Die liegt immer zwischen - und. Negative Werte zeigen einen gegensinnigen, positive Werte einen gleichsinnigen Zusammenhang an Die ist anfällig gegenüber Ausreißern

23 Kovarianz Numerische von bivariat stetigen Stichprobendaten - Für die Bewertung der absoluten Höhe der Produkt- Moment- existieren Faustregeln nach Cohen (988) r = ± 0.0 kleine r = ± 0.30 mittlere r = ± 0.50 hohe In der nicht-experimentellen liegen en selten über 0.75.

24 Numerische von bivariat stetigen Stichprobendaten - Kovarianz