5.6. Wellen in Materie (mit Absorption) rot E= B rot H = E E rot rot E= µ rot H = µ E E da rot rot=grad div. e i k r t E x =E 0 x cos k r t x

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1 5.6. Wellen in Materie (mit Absorption) Bisher hatten wir ebene Wellen als Lösung der Wellengleichung. E= E 0 e i k r t E x =E 0 x cos k r t x Da die Energiedichte proportional zum Quadrat der elektrischen Feldstärke ist, muss sich die Amplitude ändern, wenn Absorption auftritt. Welche Voraussetzung bei der Herleitung der Wellengleichung ändert sich in Materie? µ, ε konstante Skalare ρ = 0 auch erfüllt σ = 0 ist nicht erfüllt. Wichtig ist die Frequenzabhängigkeit, entscheidend ist die Leitfähigkeit bei der Frequenz der sich ausbreitenden Welle, so kann σ(ω=0) = 0, aber σ(ω Licht ) 0. rot E= B rot H = E E rot rot E= µ rot H = µ E E da rot rot=grad div E= 1 2 E c 2 t µ E 2 t Telegraphen-Gleichung 1

2 Analogie aus der Mechanik: Die erste Zeitableitung gibt eine Geschwindigkeit, Reibungskräfte sind proportional zur Geschwindigkeit. Reibung = Dämpfung einer Bewegung E t Absorption Die Telegrafengleichung ist nicht mehr Zeit invariant, d.h. die Symmetrie (t -> t) ist zerstört. Absorption ist ein irreversibler Prozess. E r,t = E 0 e i k r t E t E= 1 2 E c 2 t µ E 2 t Die Lösung der Telegrafengleichung wird wieder durch einen ebenen Wellen Ansatz gesucht. ~ i E E x ~ i k x E E k 2 E Einsetzen des Ansatzes gibt eine Bedingung, wann der Ansatz eine Lösung ist: k 2 E= 2 c 2 E i µ E 2

3 Nur die nichttriviale Lösung mit E 0 ist von Interesse: k 2 = 2 2 i µ c = k 2 2 i µ= i c Damit erhalten wir rein formal einen komplexen Wellenvektor k. Anstatt eines komplexen k, führen wir einen komplexen Brechungsindex ñ ein. k = k vak n n=n i Um die Ausbreitungrichtung der Welle zu bezeichnen führen wir einen Einheitsvektor e in Ausbreitungsrichtung ein. E = E 0 e i e r k vak n t = E 0 e e r k vak Amplitude e i e r k vak n t Die Amplitude nimmt mit exponentiell mit der Ausbreitung (wachsendes r ab). Die Absorption bewirkt also eine gedämpfte Schwingung. 3

4 Die Ursache der Dämpfung liegt in der Leitfähigkeit. 0 j= E v= j E. Es fließt ein Strom bei bei der Frequenz der elektromagnetischen Welle. Der Stromfluss ist immer mit Joule'scher Wärme verbunden. Die Umwandlung von elektromagnetischer Energie in Wärme zeigt sich in der exponentiell kleiner werdenden Amplitude der Schwingung. Der Imaginärteil des komplexen Brechungsindex steht für die Absorption (k vak κ) und kann als Absorptionskoeffizient α interpretiert werden. (Im Allgemeinen ist der Absorptionskoeffizient = 2 k vak κ, da die Intensität proportional zum Betrag des Poyntingvektors S ist.) Wenn ein Material bestimmte Frequenzen absorbiert, ist es in diesem Bereich immer leitfähig für einen Wechselstrom mit diesen Frequenzen. z.b. Glasfilter: grünes Glas - absorbiert rotes Licht und ist in diesem Frequenzbereich auch leitfähig. 4

5 Die Absorption ist also direkt mit dem komplexen Brechungindex verbunden. Dieser kann auch direkt aus der Dielektrizitätskonstante abgeleitet werden. Damit wird die elektromagnetische Wechselwirkung direkt mit einer Materialeigenschaft in Beziehung gesetzt. n = 1 2 r µ r 2 r µ 2 r 2 2 µ r für 0 n r µ r = 1 2 für 0 =0 r µ r 2 r µ 2 r 2 2 µ r Wurzel einer komplexen Zahl ist mehrdeutig, gewählt wird die Lösung für die σ = 0 für ω -> 0 ist. n(ω) heißt Dispersion, starke Abhängigkeit von σ(ω), ε(ω) und eventuell µ r (ω). 5

6 Historisches: Warum eigentlich Telegrafengleichung? Wilhelm Weber und Carl Friedrich Gauß führten 1833 Versuche mit einem elektromagnetischen Telegrafen durch. Im selben Jahr gelang ihnen die erste telegrafische Nachrichtenübertragung vom Physikgebäude in der Göttinger Innenstadt zur Göttinger Sternwarte. Zur Nachrichtenübertragung dienen positive oder negative Spannungspulse, die durch gezieltes Umpolen und Auf- und Abbewegen einer Induktionsspule erzeugt werden. Der entscheidende Durchbruch kam 1837 mit dem von Samuel Morse konstruierten und 1844 verbesserten Schreibtelegrafen. Mit der Verlegung von Seekabeln wurde 1839 begonnen. Nach mehreren Fehlschlägen wurde die erste Verbindung zwischen Europa und Nordamerika 1857/58 eingerichtet. Wilhelm Weber 24. Oktober 1804 in Wittenberg 23. Juni 1891 in Göttingen Johann Carl Friedrich Gauß 30. April 1777 in Braunschweig 23. Februar 1855 in Göttingen Samuel Finley Breese Morse 27. April 1791 in Charlestown 2. April 1872 in New York 6

7 5.7. Strahlung eines schwingenden Dipoles Ebene Wellen kommen aus und gehen nach. Was ist ihre Ursache? Wie enstehen elektromagnetische Wellen? Es sind Quellen notwendig: Antenne, Lichtquelle Für Quellen gilt: 0 wegen div j=0 j 0 Die Quelle soll sich in Koordinatenursprung bei r = 0 befinden. Außerdem soll wie bisher gelten: rot H = E div H =0 rot E= µ H div E=0 Damit gilt die Wellengleichung ohne Absorption. Hertz hat einen Trick gefunden, wie man eine Lösung für E und H findet, um dann auf und j im Ursprung zurück zuschließen (Insofern genial, da andere Wege meist nur auf die Fernfelder weit weg von der Antenne kommen.) 7

8 Hertzscher Hilfsvektor Z : H =rot Z Heinrich Rudolf Hertz 22. Februar 1857 in Hamburg 1. Januar 1894 in Bonn r 0: rot rot Z = E E= 1 rot rot Z zeitlich konstantes Feld Annahme: für eine ungeladene Antenne (ρ = 0) sei das zeitlich konstantes Feld 0 E= 1 rot rot Z= 1 [grad div Z Z ] Aus den Maxwellschen Gleichungen und dem Hertzschen Hilfsvektor erhalten wir rot E = H = rot Z = rot µ Z grad E= µ Z grad mit beliebigem φ, da rot grad φ 0. 1 grad div Z 1 Z= Z grad 8

9 nun wird φ so gewählt, dass gilt 1 grad div Z =grad Z = µ Z = 1 c 2 Z Man löse nun diese Gleichung für Z und berechne H und E aus H =rot Z E= µ Z 1 grad div Z Eine Lösung wäre natürlich: Z = Z 0 e i k r t, aber diese Lösung erlaubt keinen Rückschluss auf j in der Quelle. Kugelwellen als Ansatz von Hertz: i t k r e Z r,t = Z 0 r Kugelwellen sind Lösung, falls ω = ck. Die Amplitude von Z (nicht E oder H) ist konstant, falls t=k r r t = k = c Die Amplitude ist konstant auf einer Kugel, deren Radius mit Lichtgeschwindigkeit wächst. 9

10 Beweis: In Kugelkoordinaten gilt: = 2 r Winkelableitungen r 2 2 r Die Winkelableitungen spielen keine Rolle, da unser Ansatz Z nicht von Winkeln abhängt. r Z= 1 r Z 1 r ik Z 0 ei t kr = 1 r ik Z 2 r Z= 1 Z 2 r r r ik Z ik 1 r ik Z = 1 r Z r ik Z 2 Z 2 1 r r ik Z =[ 1 r ik 2 ] 1 r r ik Z= 1 Z ik 2 Z 1 Z = k 2 Z r 2 r 2 Z= 1 r 2 Z 1 r ik Z r,t = Z 0 e i t k r r Damit erhalten wir: Z= k 2 Z 1 c 2 Z= 2 c 2 Z = 1 c 2 Z ist erfüllt, falls =ck Z 10

11 Berechnung von H: H =rot Z=i rot Z Es gilt: rot V = rot V V grad i t k r e Z r,t = Z 0 r H = i Z 0 grad 1 r ei t k r = [ i Z r 0 r 3 ei t kr 1 r t kr ] grad ei Für den Term mit grad e i(ω t - k r) gilt: r= x 2 y 2 z 2 x ei t k r =e i t k r ik grad e i t k r ~ r x 2 y 2 z 2 x = ik e i t k r 1 2 2x x 2 y 2 z = ik 2 r e i t k r x Damit erhalten wir für das Magnetfeld: [ H =i 0 Z r 0 r i k r ] [ 3 r 2 ei t k r =i 0 Z 0 r r 3 i r r 3 r 2 ] t k r ei Erstes Glied wichtig für r < λ: Nahfeld, Nahzone Zweites Glied wichtig für r > λ: Fernfeld, Fernzone 11

12 1. Nahzone: Um auf j in der Antenne zu schließen: r 0 e ikr =e i 2 r e 0 1 und nur erstes Glied für H: H =i Z 0 r r 3 ei t wenn wir ein harmonisch veränderliches Z 0 einführen Z 0 t = Z 0 e i t H =i Z 0 t r r 3= Z 0 t r r 3 Nahzone ist nicht nur r < λ, sondern auch ω -> 0, da =c 2, d.h. wir suchen eine Lösung für niederfrequente Wechselströme (Gleichströme), die obiges H liefern. Erinnerung: Biot-Savart: Drahtstück dr' bei r' = 0 erzeugt ein Magnetfeld d H r = I 4 d r ' r r 3 (sieht überraschend ähnlich aus!) 12

13 Jetzt kommen wir endlich zu einem Dipol: Q Q d r ' p=q d r ' Q t =Q 0 e i t p t =Q d r '=Q 0 e i t d r ' Ursache für zeitlich veränderliche Ladung in einem Volumen ist ein Strom der fließt Id r '= Q d r ' = p t Unsere Lösung entspricht einer mit Wechselstrom gespeisten Dipolantenne, falls Insgesamt gilt für das H-Feld: Z 0 t = p t 4 bzw. Z 0 = p 4 H =i p 0 4 [ r r ik 3 r r ] 2 ei t kr = i 4 p i t kr 0 e [ r r 3 ik r 2 r ] p t = p 0 e i t p 0 e i t kr = p 0 e i t kr kr = p t = p t r c H = i 4 p t r c [ r r 3 ik r 2 r ] = 1 4 p t r c [ r r 3 ik r 2 r ] 13

14 2. Fernzone: ik=i 1 c ~ t 1 c nur zweites Glied H r,t = ik 4 p t r c r r 2 = 1 4 c p t r c r r 2 H(t) wird verursacht durch einen Strom zu einem früheren Zeitpunkt Die Differenz zeigt Kausalität der Wellenausbreitung mit c. t r c Berechnung von E: E= µ Z 1 grad div Z Z= p r ei t kr 14

15 Als Übung für Ableitungen sehr zu empfehlen :-) Als Lösung erhält man: E=µ 2 Z 1 4 p 0[ 1 ik ] r 3 r 2 ei t kr 1 4 p 0 r [ 3 r r 3 2ik r ] r 4 ei t kr 1 4 p 0 r [ 1 ik ] r 3 r 2 ik r r ei t kr Verschiedene Zonen: Fernzone: Mittelzone: Nahzone: k 2 r ~ r ~ 1 r k 2 r 2~ ~ 1 r 2 r 2 ~ 1 r 3 d = Größe der Quelle d r d r~ d r (für H war die Nahzone und Fernzone ) ~ 1 r 2 ~ 1 r 15

16 Im folgenden Teil wird nur die Fernzone diskutiert (Nah- und Mittelzone sind allerdings wichtig für Geophysik oder Nahfeldmikroskopie) mit E r, t =µ 2 Z 1 4 k 2 = 2 c 2 = 2 µ Z= p 0 4 E r,t = 2 µ 4 ei t kr [ e i t kr r p 0 r r r 3 p 0 r r p 0 r r ] r 3 r 3 k 2 e i t kr Es gilt: r p 0 r = p 0 r r r r p 0 E r,t = µ 2 4 ei t kr 1 r 3 [ r p 0 r ] 16

17 Wie früher gilt: p t = p 0 e i t p t r c = p 0 e i t r c i t kr = p 0 e p t r c = 2 p t r c Als Ergebnis für die Fernzone erhalten wir: H r,t = 1 4 c p t r c r r 2 E r, t = 4 1 r r r r p t 3 Für elektromagnetische Wellen haben wir bereits einen Zusammenhang zwischen E und H hergeleitet. E r, t =µ c H r r =µc H e c 17

18 Nachfeld wird beeinflusst durch Ladungen und Ströme der Quelle. Die elektrischen Feldlinien bei der Quelle folgen den Schwingungen der Ladungen. p t = p 0 e i t 18

19 Das Fernfeld wird nur durch die gegenseitige Induktion bestimmt. 19

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21 Winkelbeziehungen: r E=0 r H E H =0} stehen senkrecht aufeinander Für den Poynting-Vektor folgt: S= E H = c H r r S= c H = c H H r r 1 r [ p t r ] r 5 c r A B C = B A C C A B s ~ 4 r 2 sin2 Die Energie verteilt sich auf immer größere Kugelflächen, die sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten. 21

22 Zusammenfassung Elektromagnetische Wellen können durch eine Dipolantenne (schwingendes Ionenpaar = schwingender Dipol) erzeugt werden. Die elektromagnetischen Felder nehmen für große Entfernungen mit 1/r ab. Die Ausbreitung der Wellen erfolgt mit Lichtgeschwindigkeit. Längs der Dipolachse findet keine Abstrahlung ab, Maximum der Abstrahlung ist senkrecht zum Dipolmoment. H-Feld: Dipolmoment entlang der z-achse, θ sei Winkel zur z-achse - konzentrische Kreise um den Dipol - H wird mit sinθ schwächer (Null für θ=0,π) E-Feld: tangential zu den Längenkreisen - Für θ=0,π ist E in der Fernzone Null, d.h. die Terme der Nah- und Mittelzone werden wichtig. Diese Terme sind die Ursache für das Abbiegen der elektrischen Feldlinien. Magnetfelder sind mit den Wirbeln der elektrischen Felder und umgekehrt verknüpft. 22

23 Anwendungen: Röntgenbremsstrahlung Freier-Elektronen-Laser Atommodell Beschleuniger -> Synchrotronstrahlung Rayleight-Streuung Antennenwiderstand 23