1. Übung Elemente der Algebra WS2018/19

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1 1. Übung Elemente der Algebra WS2018/19 1. Beschreiben Sie folgende Zahlenmengen durch Markierung auf der Zahlengeraden, der Zahlenebene bzw. durch Aufzählen der Elemente: (a {x IR 5 x 6 = 2 } (b {x IR 3 x+1 2 } (c {x IR (x 2 1(x 2 4 = 0} (d {x IR (x 2 1(x 2 4 < 0} (e {(x,y IR 2 7x+3y 6} (1 Punkt (f {(x,y IR 2 xy < 0} (g {(x,y IR + 0 IR+ 0 x > x}. 2. Bestimmen Sie die folgenden Mengenvereinigungen und -durchschnitte: (a {1,5,8,13,15} {7,8,9,12}, (c { m m IN} Z 2 (d (e {m n}, m IN n IN (b {1,5,8,13,15} {7,8,9,12}, {m m IN} Z 2 (f M n mit M n = {1,3,5,...,(2n+1},(1 Punkt (g {n IN n Primzahl} {7k k IN}, (h {n IN n ungerade} {3k 2 1 k Z}. 3. Seien K, L und M beliebige Mengen. Zeigen oder widerlegen Sie folgende Aussage: Sind K und L disjunkt sowie L und M disjunkt, so sind auch K und M disjunkt. 4. Seien G eine beliebige nichtleere Menge, A, B, C, D beliebige Teilmengen von G. Untersuchen Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind: n IN (a Gilt A B und B C, dann auch A C. (b Gilt A B dann auch A C B C. (c Gilt A B, dann auch B C A C und B C A C. Geben Sie gegebenenfalls einen Beweis oder ein Gegenbeispiel an! 5. Seien G eine beliebige nichtleere Menge, A, B, C, D beliebige Teilmengen von G. Beweisen Sie die Gültigkeit folgender Aussagen: 6. Für c IR sei (a A B = A B. (b A B = A B. (c A (B A = A. (d A (A B = A. (a M c := {(x y x c y}. Schraffieren Sie in der (x y-ebene M 2. Bestimmen Sie M c und c. c IR c IRM (b M c := {(x y x c, y 2x}. Schraffieren Sie in der (x y-ebene M 2. Bestimmen Sie c IRM c und M c. (Mit Nachweis! c IR,c 3 (4 Punkte

2 7. Bestimmen Sie M 1 \M 2 und M 2 \M 1 und M 1 M 2 := (M 1 \M 2 (M 2 \M 1 für (a M 1 = {1,2,5,8,9}, M 2 = {2,3,5,7,9}, (c M 1 = {n 2 n IN}, M 2 = {2 n n IN}. (b M 1 = IN, M 2 = IQ, 8. Beweisen oder widerlegen Sie: Für beliebige Mengen M 1,M 2 G gilt: (a M 1 M 2 = (M 1 M 2 \(M 1 M 2. (b M 1 = M 1. (c Es gibt genau eine Teilmenge X von G mit M 1 X =. (d M 1 (M 2 \M 1 = M 1 M 2. Korrigieren Sie gegebenenfalls die falschen Behauptungen! 9. Bestimmen Sie die Potenzmengen von (a {a} (b {0,1} (c (d {1,2,3,4}. Wie viele Elemente hat die Potenzmenge jeweils? 10. Bestimmen Sie M 1 M 2, M 2 1 und M3 2 für (am 1 = {1}, M 2 = {a,b} (bm 1 = {1,3,5}, M 2 = {0,1} (cm 1 =, M 2 = {a,b,c}. Wie viele Elemente haben die jeweiligen Mengen jeweils? 11. Für k {1,2,3,4} sei M k := {k,k +1}. Bestimmen Sie M 1 M 2 M 3 M Seien A und B äquivalente Aussagen. Was kann man über den Wahrheitswert folgender Aussagen sagen: ( B A, ( A B, (B A, ( A B. 13. Seien A, B, C beliebige Aussagen, 1 die immer wahre Aussage. Geben Sie an, ob folgende Aussagen richtig oder falsch sind? Begründung ist erforderlich. (a (A A = 1, (b ( A (B A C = (B C A, (ca (A B = B, (d(a B B = A, ( ((A B (e C (A B C A C = A C. Abgabe der Aufgaben 1e, 2f, 4c, 6b, 8d, 13e bis vor der Vorlesung. Abgabe nur in Dreiergruppen (genau 3 Namen auf einer abzugebenden Übung

3 2. Übung Elemente der Algebra WS2018/ Mit sei der Junktor entweder... oder abgekürzt. Stellen Sie die zugehörige Wahrheitstafel auf und zeigen Sie für beliebige Aussagen A und B: (a (A B und A B sind äquivalent, (b (A B und A B sind äquivalent. 15. Es seien A, B und C beliebige Aussagen. Welche der folgenden Aussagen sind Tautologien, welche Kontradiktionen? (a (c ( ( A B (B C (A B (b ( (C A A C ( (A B B (A B 16. Welche der folgenden Rechenregeln geben in IR allgemeingültige Aussageformen wider? (a (a b 2 = a 2 +2ab+b 2 (b (a b 2 a 2 +b 2 (c a 2 +b 2 > 0 (d a 2 +b 2 < 0 Bestimmen Sie in den anderen Fällen die von IR verschiedenen Erfüllungsmengen. 17. Welche der folgenden Implikationen sind vom Gesichtspunkt der mathematischen Logik aus allgemeingültig und welche nicht? (a A(heute = wenn heute Sonntag ist, dann ist morgen Montag ; (b A(heute = wenn heute Sonntag ist, dann ist morgen Sonnabend ; (c A(heute = wenn heute Sonntag ist, dann ist am 1. Januar Neujahrstag ; (d A(heute = wenn 16 durch 2 und durch 3 teilbar ist, dann ist 16 durch 4 und durch 7 teilbar. 18. Für welche Werte a,b IR ist die Aussageform (ax 2 < b über der Grundmenge IR allgemeingültig, nicht allgemeingültig, aber erfüllbar; unerfüllbar? 19. Geben Sie an, welche der folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründung ist erforderlich. (a > y (b x IN y IN(x > y (c y IN x IN(x y (d y IN x IN(x (x > y y Z x IN 20. Seien A(x und B(x Aussageformen über einer Grundmenge G. Sind folgende Aussagen äquivalent? (Begründung erforderlich (a ( ( ( A(x B(x und A(x B(x, x G x G x G

4 (b x G ( A(x B(x und ( x G ( A(x 21. Sei k IN ungerade, k > 1. Zeigen Sie direkt: x G B(x. (a Für kein n IN ist (b Für kein n IN ist s = (n+1+(n (n+1000 eine Primzahl. s = (n+1+(n (n+k eine Primzahl. 22. Zeigen Sie mit Hilfe eines indirekten oder Widerspruchsbeweises: (a Wenn ein Winkel in einem Dreieck in der Ebene 120 misst, dann ist das Dreieck nicht rechtwinklig. (b Hat ein Viereck verschieden lange Diagonalen, dann ist es kein Rechteck. (c Ist die letzte Ziffer einer natürlichen Zahl 2, 3, 7 oder 8, dann ist sie keine Quadratzahl. (d Teilt man die Differenz von zwei ganzzahligen Quadratzahlen durch 4 mit Rest, dann ergibt sich nie der Rest Zeigen Sie: Es gibt keine rationale Zahl x IQ, die Lösung der Gleichung x 2 = 5 ist. Durch welche natürlichen Zahlen kann man 5 ersetzen, damit die Aussage richtig bleibt? 24. Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: n (a Für alle n IN gilt (2k 1 2 = n(2n 1(2n+1. 3 k=1 n (b Für alle n IN gilt (k 3 +k 2 = 1 12 n(n+1(3n2 +7n+2. k=1 (c Für alle n IN ist 3n 5 +5n 3 23n ganzzahliges Vielfaches von Sei n IN eine natürliche Zahl, n 3. Ein n-eck heißt konvex, wenn sich alle Paare von Punkten des n-ecks durch Strecken verbinden lassen, die das n-eck nicht verlassen (von jedem Punkt des Vielecks kann man jeden anderen Punkt sehen. Eine Diagonale in einem konvexen n-eck ist eine Verbindungstrecke zweier nicht benachbarter Ecken des n-ecks. Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: In einem konvexen n-eck gibt es genau n(n 3 2 Diagonalen. 26. Zeigen Sie: (a Sei n IN 0. Addiert man alle Zahlen, die in der n-ten Zeile des Pascalschen Dreiecks stehen, dann ergibt sich 2 n. (b Sei n IN. Die alternierende Summen aller Zahlen derselben Zeile des Pascalschen Dreiecks ist 0. (Beispiel: Für die 3. Zeile ergibt sich = 0 und für die 4. Zeile = 0.

5 (c Für alle n IN gilt n k=0 ( n 4 k ( 1 n k = 3 n. (1 Punkt k 27. Die Fibonacci-Zahlen f n sind durch folgende Bedingung definiert: f 1 := f 2 := 1, f n+2 := f n+1 +f n, n IN. Zeigen Sie: (a Für alle n IN gilt f n = 1 5 (( (b Für alle n 2 gilt f n+1 f n 1 f 2 n = ( 1n. n ( 1 5 (c Für alle m,n IN, m 2 gilt f m+n = f n+1 f m +f n f m 1. (d Für alle n IN gilt f 2n+1 = f 2 n +f2 n+1. (e Es gilt: 3 teilt n genau dann, wenn f n gerade ist. 2 n. (1 Punkt 28. Bei dem Spiel Turm von Hanoi sitzen auf einem von drei Stäben n verschieden große kreisförmige Scheiben, und zwar die kleinste oben, die größte unten. Alle Scheiben sollen nun auf einen anderen Stab transportiert werden, wobei bei jedem Schritt nur eine Scheibe bewegt werden darf, nie eine größere Scheibe über einer kleineren Scheibe liegen darf. Zeigen Sie: Die Aufgabe läßt sich in 2 n 1 Schritten lösen. 29. (a Sie haben 10 graue, 10 braune und 10 schwarze einzelne Socken, die sich alle in einer großen Kiste befinden. In dem Zimmer, in dem sich die Kiste befindet, ist es dunkel und Sie wollen nicht das Licht anmachen. Wie viele Socken müssen Sie herausnehmen, um garantiert zwei gleichfarbige Socken zu erhalten? bzw. zwei graue (b Gegeben seien 10 natürliche Zahlen. Zeigen Sie, dass es darunter zwei gibt, deren Differenz durch 9 teilbar ist. (c Unterm Weihnachtsbaum liegen 13 Geschenke fur drei Kinder. Dann bekommt mindestens ein Kind mindestens 5 Geschenke. Abgabe der Aufgaben 18, 22 d, 24 b, 25, 26c, 27c,d,e bis vor der Vorlesung. Abgabe nur in Dreiergruppen (genau 3 Namen auf einer abzugebenden Übung

6 3. Übung Elemente der Algebra WS2018/ Durch (x y = (a 1 a 2 +t (r 1 r 2, t IR werden die Punkte einer Geraden in der Ebene IR 2 durch den Punkt (a 1 a 2 mit der Richtung (r 1 r 2 beschrieben. Die Darstellung heißt Parameterform oder Punkt-Richtungs- Form. (a Zeichnen Sie die Gerade G = {(1 0+t (1 1 t IR} und geben Sie die Gleichung mit Lösungsmenge G an. (b Zeichnen Sie die Gerade durch die Punkte (3 4 und (2 6 und geben Sie die Parameterform und die Gleichungsform an. (c Geben Sie die Lösungsmenge der Gleichung 2x+5y = 7 in Parameterform an und zeichnen Sie die Gerade. 31. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem 1 x x 5 2 = 1 5x 1 3x 2 = 0. (a Geben Sie die Lösungsmengen jeder der Gleichungen in Parameterform an, zeichnen Sie die beiden Geraden und ermitteln Sie die Lösung des Gleichungssystem grafisch. (b Berechnen Sie die Lösung algebraisch (rechnerisch. 32. Es seien Metall-Legierungen M 1, M 2 und M 3 gegeben, die alle Kupfer, Silber und Gold enthalten, und zwar zu folgenden Prozentsätzen: Kupfer Silber Gold M M M Kann man diese Legierungen so mischen, dass eine Legierung entsteht mit 40 % Kupfer, 50 % Silber und 10 % Gold? 33. Untersuchen Sie, ob die Gleichungssysteme (a (b 4x 1 + 8x x = 0 3x 1 + 3x 2 + 4x 3 5 = 0 x 1 + 3x 2 + 4x = 0 5x 1 + 3x 2 + 9x 3 = 3 2x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 2 7x 1 + x x 3 = 1,

7 (c 3x 1 + 8x 2 + 7x = 0 x 1 + 3x 2 + 4x 3 5 = 0 x 1 + 3x 2 + 2x = 0 lösbar sind und bestimmen Sie gegebenenfalls die Lösung(en. 34. Für welche Werte von a und b hat das lineare Gleichungssystem 3x + 2y + 3z = b 3x + 3y + 5z = b 4. 3x + az = 11 (a genau eine (b mehrere (c keine Lösungen? Bestimmen Sie jeweils die Lösungen! 35. Bestimmen Sie für die Gleichung 5x 2 +4x = 20 die Diskriminante und das Vorzeichen der Diskriminante. Was bedeutet das für die Anzahl der reellen Lösungen der Gleichung? 36. Lösen Sie folgende Gleichungen (a x 2 +6x = 16, (b x 2 = 6x+16, (c x = 12x. sowohl mit quadratischer Ergänzung als auch pq-formel. (4 Punkte 37. Bestimmen Sie sowohl mit der Methode der quadratischer Ergänzung als auch mit der pq-formel alle Lösungen der Gleichung 12x 2 = 21 19x. 38. Für welche rationalen Zahlen gilt: Addiert man zu der Zahl das Vierfache ihres Kehrwerts, dann erhält man 41? Lösen Sie das Problem von Al-Hwarizmi: Ich habe 10 in 2 Teile geteilt. Ich habe jedes Teil mit sich multipliziert. Wenn ich die Produkte addiere, erhalte ich 58. Wie groß sind die Teile? 40. Eine Strecke der Länge a heißt im Verhältnis des goldenen Schnitts geteilt, wenn für die beiden Teilstrecken der Längen b und c gilt a b = b c. Teilen Sie eine Strecke der Länge 10 im Verhältnis des goldenen Schnitts, stellen Sie die zugehörige Gleichung für die Länge der größeren Teilstrecke auf und bestimmen Sie die Längen der Teilstrecken. Kann man die Längen der Teilstrecken nur mit Hilfe von Zirkel und Lineal konstruieren? Abgabe der Aufgaben 33, 34, 37, 38 bis vor der Vorlesung. Abgabe nur in Dreiergruppen (genau 3 Namen auf einer abzugebenden Übung

8 4. Übung Elemente der Algebra WS2018/ Sei a IR. Bestimmen Sie durch Äquivalenzumformungen die Menge der reellen Lösungen der Gleichung x 4 +2ax = 0. Beachten Sie die verschiedenen Fälle für a. 42. Gegeben ist der Kreis mit der Gleichung x 2 +y 2 +4y = 5 und die Parabel mit der Gleichung y = x Wie viele Schnittpunkte können ein Kreis und eine Parabel allgemein maximal haben? Warum? Skizzieren Sie die hier angegebenen Kurven. Wie viele Schnittpunkte von Kreis und Parabel kann es in diesem speziellen Fall maximal geben? Bestimmen Sie alle Schnittpunkte! 43. Zeigen Sie: f(x = x 5 +x 4 10x 3 2x 2 11x 3 hat eine ganzzahlige Nullstelle. Bestimmen Sie alle reellen Nullstellen. Begründen Sie Ihr Lösungsverfahren. 44. Zerlegen Sie folgende Polynome - wenn möglich - in Linearfaktoren: (a x 3 +3x 2 33x 35 (b x 3 +1 (c 27x 3 117x x 35 (d x 4 6x 3 11x 2 +60x+100 (e 3x 3 5x 2 +3x 5 (f x x x2 2 x 1 (4 Punkte Welche Bedingung muß n IN erfüllen, damit folgende Polynomdivision aufgeht? Geben Sie gegebenenfalls das Quotientenpolynom an! (a (x n 1 : (x 1 (b (x n 1 : (x+1 (c (x 2n 1 : (x Zeigen Sie: g(x = x 2 5x+6 ist Teiler des Polynoms f(x = x 5 x 4 13x x 2 +36x 36. Bestimmen Sie alle reellen Nullstellen von f(x. 47. Gegeben seien die Polynome p 1 (x = x 5 +4x 4 8x 2 x 12 und p 1 (x = x 4 +x 3 4x 2 +x 5. (a Dividieren Sie p 1 durch p 2 mit Rest, d.h. bestimmen Sie q 1 (x und r 1 (x mit p 1 (x = q 1 (x p 2 (x+r 1 (x.

9 (b Dividieren Sie p 2 durch r 1 mit Rest, d.h. bestimmen Sie q 2 (x und r 2 (x mit p 2 (x = q 2 (x r 1 (x+r 2 (x. (c Bestätigen Sie, dass r 2 (x gemeinsamer Teiler von p 1 (x und p 2 (x ist. (d Bestimmen Sie sämtliche reelle Nullstellen von p 1 (x und p 2 (x. (Hinweis: Nutzen Sie die in (a und (b erarbeiteten Zerlegungen von f und g. (5 Punkte Abgabe der Aufgaben 41, 42, 44 d,f, 47 bis vor der Vorlesung. Abgabe nur in Dreiergruppen (genau 3 Namen auf einer abzugebenden Übung

10 5. Übung Elemente der Algebra WS2018/ Stellen Sie die Additions- und Multiplikationstafeln folgender Ringe auf: (a Z/2, (b Z/7, (c Z/ Bestimmen Sie alle möglichen m IN, m > 1, so dass in Z/m gilt (a 5+7 = 3 (b 3 7 = Zeigen Sie: Für alle a,b Z/3 gilt (a+b 3 = a 3 +b Geben Sie (außer dem Beispiel aus der Vorlesung einen kommutativen Ring an, der kein Einselement hat. (1 Punkt 52. Auf der Menge M := {( a 11 a 12 ;a a 21 a ij IR;1 i,j 2 } der (2,2-Matrizen wird durch 22 ( ( ( a11 a 12 b11 b + 12 a11 +b := 11 a 12 +b 12 a 21 a 22 b 21 b 22 a 21 +b 21 a 22 +b 22 ( ( ( a11 a 12 b11 b 12 a11 b := 11 +a 12 b 21 a 11 b 12 +a 12 b 22 a 21 a 22 b 21 b 22 a 21 b 11 +a 22 b 21 a 21 b 12 +a 22 b 22 eine Addition und eine Multiplikation definiert. Zeigen Sie: (a Die Addition ist assoziativ, kommutativ, es gibt ein Nullelement und A+X = B ist für alle A,B M in M lösbar. (b Für beliebige A,B,C M gilt A (B +C = A B +A C. (c Es existiert ein Einselement E M mit E A = A für alle A M. (d Die Multiplikation ist nicht kommutativ. (1 Punkt (1 Punkt (1 Punkt 53. Sei C(IR die Menge der in IR stetigen Funktionen. Zu f 1 (x,f 2 (x C(IR seien durch (f 1 +f 2 (x := f 1 (x+f 2 (x, (f 1 f 2 (x := f 1 (x f 2 (x Addition und Multiplikation definiert. Zeigen Sie, daß dann(c(ir, +, ein kommutativer Ring mit Einselement ist, aber nicht nullteilerfrei. Geben Sie Null- und Einselement an. 54. (a Stellen Sie für die Restklassen nach der Primzahl 11 eine Tafel auf, aus der man zu jeder Restklasse die reziproke bezüglich der Multiplikation in Z/11 ablesen kann.

11 (b Lösen Sie die Gleichungen modulo 8, 9 und 11: 3 v = 7; 5 x = 2; 2 y = 3; 6 z = Sei R := Z/2. (a Wie sieht ein beliebiges Element von R[x] aus? Geben Sie das Nullelement und das Einselement in R[x] an! (b Zeigen Sie: R[x] ist ein nullteilerfreier Ring, aber kein Körper. 56. Sei R := Z/5. Bestimmen Sie q(x,r(x R[x] mit x 5 +4x 4 +2x 3 +3x 2 +2x+4 = q(x (x 2 +3x+2+r(x mit r(x = 0 oder Gradr(x < 2. Abgabe der Aufgaben 48 c, 49 b, 51, 52, 54 b, 56 bis vor der Vorlesung. Abgabe nur in Dreiergruppen (genau 3 Namen auf einer abzugebenden Übung

12 6. Übung Elemente der Algebra WS2018/ Stellen Sie die folgenden Zahlen in der Form a+ib dar: (a iz + 1 z (b 1+3i 2 i 2 3i 3 2i. für z = 1+i bzw. z = 2 i, 58. Für z = x+iy mit x,y IR heißt z := x iy die zu z konjugiert komplexe Zahl. Zeigen Sie: Für beliebige z 1,z 2 IC gilt (a (z 1 ±z 2 = z 1 ±z 2 (b z 1 z 2 = z 1 z 2 (c (z 1 z 2 = z 1 z 2 (d ( z n 1 = (z1 n 59. Sei z IC, z 0. Untersuchen Sie, ob die folgenden Zahlen reell oder imaginär sind, und berechnen Sie ihre Konjugierte: (a z +z (b z z (c z z ± z z (d (z 2 ±z Bestimmen Sie die Lösungen folgender quadratischer Gleichungen in IC: (a 2x 2 16x+50 = 0 (b x 2 6ix+7 = 0 (c x 2 6ix 25 = 0 (d 2ix 2 16x 50i = 0. (4 Punkte 61. Geben Sie alle Lösungen folgender Gleichungen in Normalform a+bi an: (a z 2 = i (b z 2 = i (c z 3 = 27i (d z 4 = 81 (e z 4 = (a Bestimmen Sie die 4. Einheitswurzeln ω 1, ω 2, ω 3 und ω 4. (b Geben Sie die Lösungen von z 4 = 16 an und zeigen Sie, dass man alle Lösungen dieser Gleichung erhält, indem man eine Lösung nacheinander mit ω 1, ω 2, ω 3 und ω 4 multipliziert. (c Sei ω eine von 1 verschiedene n-te Einheitswurzel (n IN, n > 1 und z 0 eine Lösung von z n = a+bi 0. Zeigen Sie, dass ω z 0 eine von z 0 verschiedene weitere Lösung der Gleichung ist. 63. (a Suchen Sie zwei reelle Zahlen, die bezüglich der Multiplikation eine Gruppe der Ordnung 2 bilden, und geben Sie die Verknüpfungstafel an. (b Suchen Sie vier komplexe Zahlen, die bezüglich der Multiplikation eine Gruppe der Ordnung 4 bilden, und geben Sie die Verknüpfungstafel an.

13 64. Schreiben Sie das Polynom p(x = x 5 4x 4 + 3x x 2 108x+81 als Produkt von Linearfaktoren! 65. Das Polynom p(x = x 8 4x 7 + 3x x 2 108x+81 hat eine Nullstelle x 1 = 2+i. Schreiben Sie das Polynom als Produkt von Linearfaktoren! (6 Punkte 66. Untersuchen Sie, welche der folgenden Verknüpfungen auf M kommutativ oder assoziativ ist, für welche Verknüpfung es ein neutrales Element gibt bzw. die Gleichung a x = b immer eine Lösung in der Menge M besitzt: (a M = IR und a b = a+b 2. (b M = IR und a b = max{ 2a+b 2, 2a b } (a Sei G die Menge aller Permutationen der Menge {1,2,...,n}. Zeigen Sie: G ist bezüglich der Hintereinanderausführung von Funktionen eine Gruppe. (b Bestimmen Sie die Ordnung von G. (c Sei speziell n = 4. ( Die Permutation f mit f(1 = 2, f(2 = 3, f(3 = 4 und f(4 = 1 werde mit bezeichnet. Bestimmen Sie die von dem Element ( erzeugte zyklische Untergruppe von G (d Zeigen Sie: Jede Gruppe, deren Ordnung eine Primzahl ist, ist zyklisch und damit kommutativ. 68. Geben Sie die Symmetriegruppe des Tetraeders an. Abgabe der Aufgaben 57 b, 60, 61 e, 65, 66 b bis vor der Vorlesung. Abgabe nur in Dreiergruppen (genau 3 Namen auf einer abzugebenden Übung