Hybride Modellprädiktive Regelung

Transkript

1 Hybride Modellprädiktive Regelung Sebastian Götschel Universität Bayreuth Mathematisches Institut

2 Motivation In vielen Anwedungen ist das Verhalten von Kontrollsystemen (auch) durch Logik bestimmt: Ein-/Ausschalter Gangschaltung im Auto Definition Ein hybrides System ist gekennzeichnet durch das Zusammenwirken von kontinuierlicher und diskreter Dynamik. Wie modelliert man dies mathematisch?

3 Motivation In vielen Anwedungen ist das Verhalten von Kontrollsystemen (auch) durch Logik bestimmt: Ein-/Ausschalter Gangschaltung im Auto Definition Ein hybrides System ist gekennzeichnet durch das Zusammenwirken von kontinuierlicher und diskreter Dynamik. Wie modelliert man dies mathematisch?

4 Motivation Verhalten wird von kontinuierlicher und diskreter Dynamik bestimmt. Verwende kontinuierliche und diskrete Variablen zur Zustandsbeschreibung: x r R nr x d M n d, M endliche Menge, z. B. {0, 1} Diese Variablen sind normalerweise zeitabhängig, wobei die Zeit kontinuierlich oder diskret sein kann. Wir betrachten im Folgenden nur zeitdiskrete Systeme x k+1 = f (x k, u k ), x(k + 1) = f (x(k), u(k)).

7 Motivation Beispiele Abtastsystem Ein analoger Prozess wird durch einen digitalen Regler kontrolliert Schaltsystem Die Prozess-Dynamik wird durch eine endliche Anzahl dynamischer Systeme beschrieben (Differential- oder Differenzengleichungen), zwischen denen nach vorgegebenen Regeln umgeschaltet wird.

8 Motivation Beispiele Abtastsystem Ein analoger Prozess wird durch einen digitalen Regler kontrolliert Schaltsystem Die Prozess-Dynamik wird durch eine endliche Anzahl dynamischer Systeme beschrieben (Differential- oder Differenzengleichungen), zwischen denen nach vorgegebenen Regeln umgeschaltet wird.

9 Überblick Überblick 1 Was sind hybride Systeme? 2 Klassen hybrider Systeme Stückweise affine Systeme Max-Min-Plus-Scaling Systeme Gemischt-logische dynamische Systeme 3 Äquivalenzen 4 MPC für hybride Systeme 5 Messrauschen und hybride MPC

14 Stückweise affine Systeme Definition (stückweise affines Kontrollsystem) Ein stückweise affines Kontrollsystem ist gegeben durch die Gleichungen x k+1 = A i x k + B i u k + f i ( xk u k y k = C i x k + D i u k + g i ) Ω i, i = 1,..., N. Dabei sind die Ω i R n+m Polyeder. Definition Ein System heißt wohldefiniert, falls x k+1 und y k eindeutig von x k und u k abhängen.

15 Stückweise affine Systeme Definition (stückweise affines Kontrollsystem) Ein stückweise affines Kontrollsystem ist gegeben durch die Gleichungen x k+1 = A i x k + B i u k + f i ( xk u k y k = C i x k + D i u k + g i ) Ω i, i = 1,..., N. Dabei sind die Ω i R n+m Polyeder. Definition Ein System heißt wohldefiniert, falls x k+1 und y k eindeutig von x k und u k abhängen.

16 Stückweise affine Systeme Beispiel Gegeben x k+1 = { x k + u k falls x k + u k 1 1 sonst Umformen auf die Standardform führt zu {( ) } xk Ω 1 = R 2 x u k + u k 1 k {( ) } xk Ω 2 = R 2 x k + u k > 1 u k

17 Stückweise affine Systeme Beispiel Gegeben x k+1 = { x k + u k falls x k + u k 1 1 sonst Umformen auf die Standardform führt zu {( ) } xk Ω 1 = R 2 x u k + u k 1 k {( ) } xk Ω 2 = R 2 x k + u k > 1 u k

18 Stückweise affine Systeme Beispiel Gegeben x k+1 = { x k + u k falls x k + u k 1 1 sonst Umformen auf die Standardform führt zu {( ) } xk Ω 1 = R 2 x u k + u k 1 k {( ) } xk Ω 2 = R 2 x k + u k > 1 u k A 1 = B 1 = 1, A 2 = B 2 = 0, f 1 = 0, f 2 = 1 C 1 = C 2 = 0, D 1 = D 2 = 0, g 1 = g 2 = 0

19 Stückweise affine Systeme Beispiel Gegeben x k+1 = { x k + u k falls x k + u k 1 1 sonst Umformen auf die Standardform führt zu {( ) } xk Ω 1 = R 2 x u k + u k 1 k {( ) } xk Ω 2 = R 2 x k + u k > 1 u k x k+1 = 1 x k + 1 u k + 0, x k+1 = 0 x k + 0 u k + 1, ( xk u k ( xk u k ) Ω 1 ) Ω 2

20 Max-Min-Plus-Scaling Definition (MMPS-Ausdruck) Ein MMPS-Ausdruck f (x 1,..., x n ) ist gegeben durch f := x i α max(f k, f l ) min(f k, f l ) f k + f l βf k mit i {1,..., n}, α, β R, f k, f l MMPS-Ausdrücke. Definition (MMPS-System) Ein MMPS-System ist gegeben durch x k+1 = M x (x k, u k, d k ) y k = M y (x k, u k, d k ) mit MMPS-Ausdrücken M x, M y in den Variablen x k, u k und der Hilfsvariable d k.

21 Max-Min-Plus-Scaling Definition (MMPS-Ausdruck) Ein MMPS-Ausdruck f (x 1,..., x n ) ist gegeben durch f := x i α max(f k, f l ) min(f k, f l ) f k + f l βf k mit i {1,..., n}, α, β R, f k, f l MMPS-Ausdrücke. Definition (MMPS-System) Ein MMPS-System ist gegeben durch x k+1 = M x (x k, u k, d k ) y k = M y (x k, u k, d k ) mit MMPS-Ausdrücken M x, M y in den Variablen x k, u k und der Hilfsvariable d k.

22 Max-Min-Plus-Scaling Ein beschränktes MMPS-System muss zusätzlich noch die Nebenbedingung M c (x k, u k, d k ) c k erfüllen. Beispiel (Fortsetzung) x k+1 = min(x k + u k, 1) oder x k+1 = x k + u k + 1 max {x k + u k, 1}

25 Gemischt-logische dynamische Systeme Gemischt-logische dynamische Systeme Zusammenwirken von Systemdynamik Beschränkungen an Zustände und Kontrollen logische Regeln ZIEL: Systeme mit linearer Systemdynamik linearen Ungleichungsnebenbedingungen

26 Gemischt-logische dynamische Systeme Modellierung von Logik Ersetze Literale X i durch binäre Variablen δ i {0, 1}, wobei δ i = 1 X i = wahr. Man erhält dann beispielsweise X 1 X 2 δ 1 = δ 2 = 1 (X 1 X 2 ) δ 1 δ 2 = 0 Annahme Wir betrachten im Folgenden eine Funktion f : X R, wobei X R n beschränkt, und das Literal X := [f (x) 0]. Definiere M := max x X f (x) und m := min x X f (x).

29 Gemischt-logische dynamische Systeme Transformationsregeln [(f (x) 0) (δ = 1)] f (x) δ 1 + m(1 δ) [(f (x) 0) (δ = 1)] f (x) Mδ (f (x) 0) f (x) ε Auch für Implikationen kann man Transformationsregeln angeben: [(f (x) 0) (δ = 1)] f (x) ε + (m ε) δ { M (1 δ) [(f (x) 0) (δ = 1)] f (x) ε + (m ε) δ

30 Gemischt-logische dynamische Systeme Transformationsregeln [(f (x) 0) (δ = 1)] f (x) δ 1 + m(1 δ) [(f (x) 0) (δ = 1)] f (x) Mδ (f (x) 0) f (x) ε Auch für Implikationen kann man Transformationsregeln angeben: [(f (x) 0) (δ = 1)] f (x) ε + (m ε) δ { M (1 δ) [(f (x) 0) (δ = 1)] f (x) ε + (m ε) δ

31 Gemischt-logische dynamische Systeme Beispiel Gegeben sei das folgende PWA-System { 0.8x k + u k, falls x k 0 x k+1 = 0.8x k + u k, falls x k < 0 x k [ 10, 10] u k [ 1, 1] Setze nun δ k := { 1, x k 0 0, sonst

32 Gemischt-logische dynamische Systeme Beispiel Gegeben sei das folgende PWA-System { 0.8x k + u k, falls x k 0 x k+1 = 0.8x k + u k, falls x k < 0 x k [ 10, 10] u k [ 1, 1] Setze nun δ k := { 1, x k 0 0, sonst

33 Gemischt-logische dynamische Systeme Bsp. (Forts.) Beschreibe δ k durch mδ k x k m (M + ε)δ k x k ε, wobei M = m = 10, ε > 0 klein. Systemgleichung: x k+1 = 1.6δ k x k 0.8x k + u k

34 Gemischt-logische dynamische Systeme Bsp. (Forts.) Beschreibe δ k durch mδ k x k m (M + ε)δ k x k ε, wobei M = m = 10, ε > 0 klein. Systemgleichung: x k+1 = 1.6δ k x k 0.8x k + u k

35 Gemischt-logische dynamische Systeme Transformiere Produkte von logischen Variablen in lineare Ungleichungen: δ 3 = δ 1 δ 2 ist äquivalent zu δ 1 + δ 3 0 δ 2 + δ 3 0 δ 1 + δ 2 δ 3 1 Transformation von δf (x), f (x) R: z Mδ z mδ z = δf (x) ist äquivalent zu z f (x) m(1 δ) z f (x) M(1 δ)

39 Gemischt-logische dynamische Systeme Definition (MLD-System) Ein gemischt-logisches dynamisches System ist gegeben durch die Gleichungen x k+1 = Ax k + B 1 u k + B 2 δ k + B 3 z k y k = Cx k + D 1 u k + D 2 δ k + D 3 z k e 5 E 1 x k + E 2 u k + E 3 δ k + E 4 z k mit ( ) x r x k = k xk b, x r k Rnr, x b k {0, 1}n b und u k, y k analog. z k R rr, δ k {0, 1} r b

40 Äquivalenzen zwischen einzelnen Klassen ZIEL: Zeige Äquivalenz dieser Klassen. Äquivalenz input-state-output-verhalten ist gleich Exemplarisch: Äquivalenz zwischen stückweise affinen und Max-Min-Plus-Scaling-Systemen

41 PWA als MMPS Satz Jedes wohldefinierte stückweise affine System kann als MMPS-System geschrieben werden. Beweis Betrachte autonome PWA-Systeme der Form x(k + 1) = A i x(k) y(k) = C i x(k) für x(k) Ω i Ω i := {x H i x K i } R n, mit H i R q i n, K i R q i, i = 1,..., m.

42 PWA als MMPS Satz Jedes wohldefinierte stückweise affine System kann als MMPS-System geschrieben werden. Beweis Betrachte autonome PWA-Systeme der Form x(k + 1) = A i x(k) y(k) = C i x(k) für x(k) Ω i Ω i := {x H i x K i } R n, mit H i R q i n, K i R q i, i = 1,..., m.

43 PWA als MMPS Beweis (Forts.) MMPS-System: x(k + 1) = y(k) = m A i d i (k) i=1 m C i d i (k) i=1 ( ) min max x(k) d i(k) j i=1,...,m j=1,...,n = 0 H i d i (k) w i (k) K i, n q i min d i (k) j, (w i (k)) j = 0, j=1 j=1 w i (k) 0, i = 1,..., m i = 1,..., m i = 1,..., m

46 PWA als MMPS Beweis (Forts.) Für nicht {( autonome ) Systeme mit x Ω i = H u i x x + Hi u u K i }: Ersetze A i durch (A i B i f i ) Ersetze C i durch (C i D i g i ) Passe Variablendimensionen und Nebenbedingungen an

47 Weitere Äquivalenzen PWA MMPS MLD

48 Weitere Äquivalenzen PWA MMPS MLD

49 Weitere Äquivalenzen PWA MMPS MLD δ k {0, 1} r b min {δ i (k), 1 δ i (k)} = 0 i = 1,..., r b

50 Weitere Äquivalenzen PWA MMPS MLD Über (Extended) Linear Complementary Systems (hier nicht).

51 Weitere Äquivalenzen PWA MMPS MLD Falls MLD-System vollständig wohldefiniert.

52 Weitere Äquivalenzen PWA MMPS MLD Falls PWA-System wohldefiniert und Zustände und Kontrollen beschränkt.

53 Weitere Äquivalenzen Beispiel Gegeben: x k+1 = { x k + u k falls x k + u k 1 1 sonst x k [ 10, 10] u k [ 1, 1]

54 Weitere Äquivalenzen Beispiel Gegeben: x k+1 = { x k + u k falls x k + u k 1 1 sonst x k [ 10, 10] u k [ 1, 1]

55 Weitere Äquivalenzen Beispiel Als MLD: x k+1 = (x k + u k )δ k + (1 δ k ) x k + u k + 10δ k 11 x k u k (12 + ε)δ k 1 ε 10δ k + z k 1 12δ k z k 1 x k u k + 12δ k + z k 12 x k + u k + 10δ k z k 10

56 Weitere Äquivalenzen Beispiel Als MLD: x k+1 = (x k + u k )δ k + (1 δ k ) x k + u k + 10δ k 11 x k u k (12 + ε)δ k 1 ε 10δ k + z k 1 12δ k z k 1 x k u k + 12δ k + z k 12 x k + u k + 10δ k z k 10

57 Weitere Äquivalenzen Beispiel Als MLD: x k+1 = z k x k + u k + 10δ k 11 x k u k (12 + ε)δ k 1 ε 10δ k + z k 1 12δ k z k 1 x k u k + 12δ k + z k 12 x k + u k + 10δ k z k 10

58 MPC für MLD-Systeme Annahme Wir betrachten vollständig wohldefinierte MLD-Systeme. Aufgabenstellung MLD-System soll zu Gleichgewicht (x eq, y eq, u eq ) mit den Hilfsvariablen (δ eq, z eq ) kontrolliert werden. Definiere dazu N p J k := x k+j k x eq 2 + u Q x k+j k u eq 2 Q u j=1 + y k+j k y eq 2 Q y + δ k+j k δ eq 2 Q δ + z k+j k z eq 2 Q z Q x, Q u > 0, Q y, Q δ, Q z 0 symmetrisch

61 MPC für MLD-Systeme MPC-Problem: min u s.t. MLD-Systemgleichungen und Endzustandsbedingung J k x k+np k = x eq. Zusätzlich evtl. Kontrollhorizont N c : Feedback = u 0. u k+j = u k+nc 1, j = N c,..., N p 1

62 MPC für MLD-Systeme Satz Sei zusätzlich zu gegebenem MLD-System mit Gleichgewicht (x eq, y eq, u eq, δ eq, z eq ) ein Anfangszustand x 0 gegeben, so dass eine Lösung für das Minimierungsproblem existiert. Dann stabilisiert die Anwendung der damit berechneten MPC-Strategie das System so, dass gilt lim x k = x eq k lim u k = u eq k lim y k y eq Qy = 0 k lim δ k δ eq Qδ = 0 k lim z k z eq Qz = 0 k

63 MPC für MLD-Systeme Das MLD-MPC Problem kann als MIQP geschrieben werden. Prädiktionsgleichung für x (für y analog): j 1 x k+j k = A j x k + A j i (B 1 u k+i + B 2 δ k+i + B 3 z k+i ) i=0 ( T, Definiere ũ k := uk T... ut k+n p 1) ỹk, δ k und z k analog. ( Setze Ṽk := ũk T ỹ k T δ ) T. k T zt k min Ṽ k s.t. Ṽ T k S 1Ṽk + 2(S 2 + x T S 3 )Ṽk F 1 Ṽ k F 2 + F 3 x k

67 MPC für MLD-Systeme MIQP ist NP-schwer. Lösungsmöglichkeiten: Zerlegungsmethoden Schnittebenenverfahren Branch & Bound Branch & Bound-Algorithmus: Erzeuge und Löse quadratische Teilprobleme (QP) (QP) beinhalten nur reelle Variablen modifizierter Simplex-Algorithmus, Innere-Punkte-Methoden,...

68 MPC für MLD-Systeme MIQP ist NP-schwer. Lösungsmöglichkeiten: Zerlegungsmethoden Schnittebenenverfahren Branch & Bound Branch & Bound-Algorithmus: Erzeuge und Löse quadratische Teilprobleme (QP) (QP) beinhalten nur reelle Variablen modifizierter Simplex-Algorithmus, Innere-Punkte-Methoden,...

69 Messrauschen und Robustheit ZIEL: Untersuchung der Auswirkung von Messrauschen x + κ(x) x + κ(x + e) Modellproblem ẋ = v, x R 2, v B 1 (x) Regelung global zu einem Punkt Regelung global zu einer Menge aus zwei verschiedenen Punkten Diskretisierung: x k+1 = x k + u k mit u k B δ (x k ) mit Schrittweite δ (0, 1]

72 Globale Regelung zu einem Punkt Voraussetzung Sei κ δ : R 2 B δ eine Familie stetiger Feedbacks, die Stabilität und globale asymptotische Konvergenz zu x = 0 garantieren. Wähle und definiere κ δ (x) = δx max {1, x } γ(s, δ) := max{1, s} δ max{1, s} = 1 δ max{1, s}. γ(, δ) monoton wachsend γ(s, δ) < 1 (s, δ)

76 Globale Regelung zu einem Punkt Für Messrauschen e ergibt sich somit x + κ δ (x + e) und für e 0.5 x gilt x (max{1, x + e } δ) + δ e max{1, x + e } x + κ δ (x + e) x γ(1.5 x, 0.5δ). Folgerung Die Trajektorie der Zustände x konvergiert gegen eine Umgebung von x, deren Größe proportional zu max e ist, unabhängig davon, wie klein δ ist.

79 Globale Regelung zu zwei verschiedenen Punkten Aufgabenstellung Stabilisierung zu einer Menge von zwei verschiedenen Punkten x b Hb x a H a

80 Globale Regelung zu zwei verschiedenen Punkten Voraussetzung Sei κ δ : R 2 B δ eine Familie stetiger Feedbacks, die für A := {x a, x b } mit x a x b Stabilität und globale asymptotische Konvergenz garantieren. Seien H i := {y R 2 y x i }, i = a, b. H a und H b wohldefiniert H a H b = H a H b = R 2 H a, H b H a und H b sind beide vorwärts invariant.

81 Globale Regelung zu zwei verschiedenen Punkten Voraussetzung Sei κ δ : R 2 B δ eine Familie stetiger Feedbacks, die für A := {x a, x b } mit x a x b Stabilität und globale asymptotische Konvergenz garantieren. Seien H i := {y R 2 y x i }, i = a, b. H a und H b wohldefiniert H a H b = H a H b = R 2 H a, H b H a und H b sind beide vorwärts invariant.

82 Globale Regelung zu zwei verschiedenen Punkten Definiere H := H a H b. x H Umgebung U(x) mit U(x) H a U(x) H b. Definiere Wir zeigen: B δ (H) := {x R 2 d(x, H) < δ} Sei y B δ (H) beliebig e : e < δ s.d. y +κ(y +e) B δ (H).

85 Globale Regelung zu zwei verschiedenen Punkten H x b H b x a H a

86 Globale Regelung zu zwei verschiedenen Punkten H x b H b x a H a B

87 Globale Regelung zu zwei verschiedenen Punkten H x b H b y x a H a B

88 Globale Regelung zu zwei verschiedenen Punkten H z x b H b y x a H a B

89 Globale Regelung zu zwei verschiedenen Punkten H y z e x b H b x a H a B

94 Globale Regelung zu zwei verschiedenen Punkten Betrachte Störung e := z y und x + κ(y + e). }{{} =z Falls y + κ(y + e) H b y + κ(y + e) B δ (H) Falls y + κ(y + e) H a y + κ(y + e) B δ (H) Folgerung Für jede Anfangsbedingung x B δ (H) existiert eine Folge von Störungen e = (e k ) k N so dass e k < δ k und ϕ(k, x, e) B δ (H) k. Jedes δ > 0 führt dazu, dass das System nicht gegen A konvergiert.

95 Globale Regelung zu zwei verschiedenen Punkten Betrachte Störung e := z y und x + κ(y + e). }{{} =z Falls y + κ(y + e) H b y + κ(y + e) B δ (H) Falls y + κ(y + e) H a y + κ(y + e) B δ (H) Folgerung Für jede Anfangsbedingung x B δ (H) existiert eine Folge von Störungen e = (e k ) k N so dass e k < δ k und ϕ(k, x, e) B δ (H) k. Jedes δ > 0 führt dazu, dass das System nicht gegen A konvergiert.

96 Globale Regelung zu zwei verschiedenen Punkten Was tun? Modifiziere den MPC-Algorithmus um Robustheit zu verbessern: MPC mit Gedächtnis MPC mit Logik

97 Notation Standard-MPC Stabilisiere A X, X R n offen. Eingabefolge u = {u 0, u 1,... }, u i U Zustandsmaß σ : R n [0, ) laufende Kosten l : R n U [0, ) mit l(x, u) σ(x) Endkosten g : R n [0, ) mit g(x) σ(x) Kostenfunktional J N (x, u) := und Wertefunktion N 1 k=0 l(ϕ(k, x, u), u k ) + g(ϕ(n, x, u)) V N (x) = inf u J N(x, u),

98 MPC mit Gedächtnis Einfache Abhilfe: Erhöhe den Ausführungs-Horizont. Wende N e 2 Elemente einer optimalen Kontrollfolge an Messe und Optimiere dann erneut Nachteil: Stabilisiert nicht falls Systemdynamik schnell! Abhilfe dafür: Speichere frührere Berechnungen und entscheide in jedem Schritt ob neu berechnete oder alte Kontrollfolge angewandt wird.

99 MPC mit Gedächtnis Einfache Abhilfe: Erhöhe den Ausführungs-Horizont. Wende N e 2 Elemente einer optimalen Kontrollfolge an Messe und Optimiere dann erneut Nachteil: Stabilisiert nicht falls Systemdynamik schnell! Abhilfe dafür: Speichere frührere Berechnungen und entscheide in jedem Schritt ob neu berechnete oder alte Kontrollfolge angewandt wird.

100 MPC mit Gedächtnis Gegeben buffer gain (Sicherungsfaktor, Speicherverstärkung) µ > 1 Erinnerungszeitraum M N Ω := {ω 1,..., ω M }, ω i U Definiere zu x X v = {v 0, v 1,... } := argmin u w = {w 0, w 1,... } := argmin u s.t. u i 1 = ω i W N (x, Ω) := inf u J N(x, u) s.t. u i 1 = ω i J N (x, u) J N (x, u) i = 1,..., M i = 1,..., M

101 MPC mit Gedächtnis Gegeben buffer gain (Sicherungsfaktor, Speicherverstärkung) µ > 1 Erinnerungszeitraum M N Ω := {ω 1,..., ω M }, ω i U Definiere zu x X v = {v 0, v 1,... } := argmin u w = {w 0, w 1,... } := argmin u s.t. u i 1 = ω i W N (x, Ω) := inf u J N(x, u) s.t. u i 1 = ω i J N (x, u) J N (x, u) i = 1,..., M i = 1,..., M

102 MPC mit Gedächtnis Wähle dann als Feedback { v 0 falls W N (x, Ω) > µv N (x) κ N (x, Ω) = w 0 falls W N (x, Ω) µv N (x) { {v 1,..., v M } falls W N (x, Ω) > µv N (x) π N (x, Ω) = {w 1,..., w M } falls W N (x, Ω) µv N (x) Dies führt zu dem neuen System x k+1 = f (x k, κ N (x k, Ω k )) Ω k+1 = π N (x, Ω k )

103 MPC mit Gedächtnis Wähle dann als Feedback { v 0 falls W N (x, Ω) > µv N (x) κ N (x, Ω) = w 0 falls W N (x, Ω) µv N (x) { {v 1,..., v M } falls W N (x, Ω) > µv N (x) π N (x, Ω) = {w 1,..., w M } falls W N (x, Ω) µv N (x) Dies führt zu dem neuen System x k+1 = f (x k, κ N (x k, Ω k )) Ω k+1 = π N (x, Ω k )

104 MPC mit Logik Idee: Erweitere Zustand mit einer logischen Variable q. Q := {1,..., q}, X = q Q X q σ q : R n [0, ) mit σ q (x) σ(x) l q : R n U [0, ) mit l q (x, u) σ q (x) g q : R n [0, ) mit g q (x, u) σ q (x) sowie N 1 J q N (x, u) := k=0 l q (ϕ(k, x, u), u k ) + g q (ϕ(n, x, u)) und V q N (x) = inf u Jq N (x, u)

105 MPC mit Logik Zu gegebenem x X sei v q = { v q 0, v q 1,... } := argmin u q := argmin q Q J q N (x, u) V q N (x). Definiere damit {v q 0 κ N (x, q) :=, falls V q q N (x) > µvn (x) v q 0, falls V q q N (x) µvn {q (x), falls V q q θ N (x, q) := N (x) > µvn (x) q, falls V q q N (x) µvn (x) neues System: x k+1 = f (x k, κ N (x k, q k )) q k+1 = θ N (x k, q k )

108 Fazit Längere Rechnungen und Abschätzungen zeigen, dass die Modifikationen die Robustheit erhöhen. Auch für kompliziertere Aufgaben, wie Hindernisvermeidung wirken sich diese Modifikationen positiv aus bzw. machen das Problem erst lösbar. Mehr zu Grenzen von MPC: nächste Woche!

109 Fazit Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!