Simulation eines Wassertropfens Mit Hilfe von Partikelmethoden

Transkript

1 Simulation eines Wassertropfens Mit Hilfe von Partikelmethoden Marc Schumacher Fabian Witsch

2 Problemstellung: In dieser Projektarbeit soll der Fall eines Wassertropfens mit Hilfe von numerischen Methoden simuliert werden. Zu Beginn befindet sich der Tropfen in einer halbkugelförmigen Anordnung am oberen Rand des Simulationsfeldes. Partikelmethoden: Physikalischer Hintergrund: Eine Flüssigkeit besteht aus einer endlichen Anzahl einzelner Moleküle. Ein Wassertropfen mit einem Volumen von 0,1cm³ besitzt insgesamt circa 1,8 x Molekülen (Molekülgewicht ~33u; 0,1cm³ ~0,1g; 1mol = ~6 *10 23 ). Numerische Umsetzung: Da es aus numerischer Sicht, aufgrund des benötigten Rechenaufwands, meist nicht möglich ist, eine Flüssigkeit in ihrer Gesamtheit zu simulieren, bedient man sich häufig der so genannten Partikelmethoden. Dabei werden Partikel gebildet, die aus einer großen Anzahl einzelner Moleküle bestehen und dadurch wesentlich einfacher simuliert werden können, ohne dass allzu große Ungenauigkeiten auftreten. Vorüberlegung: Kräfte: Die zwischen zwei Partikeln ungerichtete wirkende Kraft wird durch die folgende Funktion beschrieben: Dabei bedeuten negative Werte eine Abstoßung und positive eine Anziehung. Die Anziehungskräfte sind bei einem Abstand von ~0,816 LE maximal und fallen dann bei größerem Abstand stark ab. Bei ~ 0,632 LE neutralisieren sich die Anziehungs- und Abstoßungskräfte und unterhalb dieses Abstand entstehen Abstoßungskräfte (die bis ins Unendliche gehen, für r 0).

3 Die zwischen dem i-ten und j-ten Partikel gerichteten wirkenden Kräfte ergeben sich dann wie folgt: Mit Die Gesamtkraft, die auf ein einzelnes Partikel wirkt, ergibt sich nun aus der Summe der Anziehungs- und Abstoßungskräfte und einer Gewichtskraft g. Das Simulationsfeld: Das Simulationsfeld erstreckt sich in der Breite vom Zentralen Mittelpunkt x=0 um den Wert x max zu beiden Seiten und besitzt die Höhe z max beginnend bei 0. Die z-richtung wird dabei als vertikal (absteigend; 0 oben, -z max unten) und x-richtung als horizontal betrachtet (- x max links, x max rechts). Die y-richtung ist für eine spätere dritte Dimension in der Tiefe reserviert. Für erste Versuche wird ein quadratisches Feld mit x max = 20 und z max = 40 verwendet. Ausgangsposition: Der Tropfen, bestehend aus knapp 2000 Partikeln, wird zu Beginn des Simultionszeitraums als halbkugelförmige Anordnung unter dem oberen Rand des Simulationsfeldes positioniert. { x = (ξ,η) : x < 14, η < 0 } Die einzelnen Partikel haben dabei einem Abstand von 0,4 LE in x- und z-richtung.

4 Außerdem befindet sich noch eine einlagige Schicht fester Decken -Partikel oberhalb des Tropfens. Die Differentialgleichung: Aus diesen Kräften ergibt sich nun das folgende Differentialgleichungssystem 2. Ordnung: x = F gesamt Da sich die klassischen Verfahren der Numerik nur mit der Lösung von Differentialgleichungssystemen 1. Ordnung beschäftigen, schreiben wir das Gegebene in ein solches um. x = v v = F gesamt Auf dieses kann man jetzt numerische Verfahren zur Lösung anwenden, wie z.b. das Euleroder Runge-Kutta-Verfahren. Für erste Implementierungen wird das Euler-Verfahren verwendet, welches sich im auch als das effektivste Verfahren für diese Anwendung herausgestellt hat. Implementierung: Partikel: Da das Programm in C++ geschrieben ist, wurde eine Listenstruktur gewählt, um einfachen Zugriff auf die einzelnen Partikel zur Kraftberechnung zu haben. Zu jedem Partikel werden die folgenden Werte gespeichert: Position (x,z) Geschwindigkeit (v x,v z ) Kraft (F x,f z ) Masse m Die Variablen y, v y und F y wurden für spätere Implementierung einer dritten Dimension reserviert.

5 Euler-Verfahren: Für die Implementierung wurde das Eulerverfahren benutzt, um erste Ergebnisse zu erzielen und eventuelle Implementierungsfehler schnell aufdecken zu können. Probleme: Schrittweite: Aufgrund der gegen 0 extrem ansteigenden Kraftfunktion, reagiert diese Simulation sehr stark auf zu groß gewählte Schrittweiten. Bei der vorliegenden Implementierung wurde eine Schrittweite von h = 0,005 gewählt, da bei größeren Werten das Verfahren keine brauchbaren Ergebnisse mehr liefert. Hier ein Beispiel mit einer zu großen Schrittweite von h = 0,01:

6 Laufzeit: Das bisherige Programm benötigt zur Berechnung des oben beschriebenen Feldes mit seinen knapp 2000 Partikeln (und einer Schrittweite von h = 0,002) auf einem normalen Heimcomputer (Athlon64-2,0 GHz) eine Laufzeit von gut einer Stunde und muss ungefähr 2 Milliarden Kraftberechnungen durchführen. Verbesserungen: Da die Laufzeit, aufgrund des einfachen Euler-Verfahrens, fast ausschließlich von der effektiven Berechnung der Kräfte abhängt, wird im Folgenden versucht, diese Berechnung möglichst zu vereinfachen. Symmetrie: Da sich zwei Partikel mit den Entgegengesetzten gerichteten Kräften anziehen, kann man bei der Berechnung der Kräfte die Symmetrie dieser benutzen. Dadurch lassen sich die Zahl der benötigten Kraftberechnungen und auch die Laufzeit halbieren. Mit sonst gleichen Einstellungen wie bisher, ergibt sich daher eine Laufzeit von guten 30 Minuten, und auch die Kraftberechnungen liegen bei nur noch einer Milliarde. An den Ergebnissen der Simulation ändern die Ausnutzung der Symmetrie nichts, da keine neuen Fehler oder Ungenauigkeiten entstehen. Abschneideradius: Die Kraftfunktion fällt bei einem Abstand zweier Partikel von mehr als 4 LE unter 2% der maximalen Kraft. Man kann daher, zur Einsparung von Kraftberechnungen, einen Abschneideradius von 4 LE wählen, ab dem die Kraftfunktion nicht mehr ausgewertet wird. Auf die Ergebnisse hat diese Vereinfachung keine sichtbaren Auswirkungen, die Laufzeit und Kraftberechnungen können jedoch weiter verringert werden. So braucht das Programm nur 20 Minuten und führt 540 Millionen Kraftberechnungen aus.

7 Container: Die Version mit Abschneideradius bringt bereits sehr schnell gute Ergebnisse, jedoch werden sehr viele Abstandsberechnungen ausgeführt, die aufgrund des berechneten euklidischen Abstands zusätzlich noch relativ kompliziert durchzuführen sind (Wurzelberechnung). Mit Hilfe der Einteilung in einzelne Container kann jedoch ein Großteil dieser unnützen Abstandsberechnungen vermieden werden. Dazu wird das Simulationsfeld in Rechtecke unterteilt, die minimal eine Breite von 4 LE haben dürfen (wegen des Abschneideradius ). Ein Partikel braucht jetzt für seine Abstandsberechnungen nur noch die Partikel aus seinem Container und die der acht umliegenden Container zu beachten. So kann die Anzahl der Abstandsberechungen auf eine relativ niedrige, konstante Anzahl gebracht werden, die nur von der Größe der Container (und der damit verbundenen maximalen Anzahl an enthaltenen Partikeln) und nicht mehr von der Anzahl der gesamten Partikel abhängt. Innerhalb eines Containers werden nur die Referenzen auf die Partikel verwaltet, die Partikel selber befinden sich weiterhin in der anfangs erklärten Liste. Nach jedem Schritt müssen die Partikel, entsprechend ihrer Positionen, neu in die Container verteilt werden, was jedoch sehr schnell möglich ist. Nur im Falle einer sehr kleinen Anzahl von Partikeln kann dieses Vorgehen einen Mehraufwand zur Folge haben.

8 Die Ergebnisse unterscheiden sich in keiner Weise von denen, die mit Hilfe des Abschneideradius berechnet wurden, da lediglich Abstands- und keine Kraftberechnungen eingespart werden. Somit ist auch nicht verwunderlich, dass die Anzahl der Kraftberechnungen konstant bei 540 Millionen liegt, die Laufzeit sich jedoch mit knappen 10 Minuten mehr als halbiert hat. Weitere Verfahren: Leap-Frog-Verfahren: Das Leap-Frog-Verfahren ist ein explizites Verfahren zweiter Ordnung, das auf nur eine Funktionsauswertung, nämlich zum Zeitpunkt t n+½, benötigt. Für die gegebene Problemstellung ist es sehr gut geeignet, da es ohne großen Mehraufwand (keine zusätzlichen Kraftauswertungen) eine höhere Ordnung als das Euler-Verfahren liefert. Weitere explizite Verfahren: Aufgrund der zusätzlichen Funktionsauswertungen, die zu einer stark erhöhten Anzahl an Kraftberechnungen führen, wirken sich explizite Verfahren höherer Ordnung stark auf die Laufzeit aus. Implizite Verfahren: Für implizite Verfahren ergeben sich nichtlinearen Gleichungssysteme mit großer Dimension. Eine höhere Ordnung oder ein besseres Stabilitätsverhalten sind mit einem erheblichen Mehraufwand zur Lösung dieser Gleichungssysteme verbunden. Varianten: Kollisionen: Die bisherige Implementierung wird hierbei dahingehend erweitert, dass eine beliebige Barriere im Simulationsfeld positioniert werden kann. Durch Kollision treffen Partikel mit stark unterschiedlichen Geschwindigkeiten aufeinander, weshalb die Schrittweite verringert werden muss, um brauchbare Ergebnisse erhalten zu können. Die folgenden Bilder sind deshalb mit einer Schrittweite von h = 0,001 und einer Barriere bei z = -20 LE (Breite 4 LE) entstanden.

9 3D-Tropfen: Wie bereits anfangs erklärt, wurde bei der Programmierung darauf geachtet, relativ problemlos eine dritte Dimension einbauen zu können. Dies wurde auch in einigen Programmversionen getan, sodass man auch Volumina simulieren kann. In dem uns vorliegenden Fall muss jedoch die Größe des Tropfen (r = 14) verringert werden, da ansonsten eine zu große Anzahl (~85.000) an Partikel entsteht. Diese würde sich dann, trotz der sehr effektiven Implementierung, sehr stark auf die Laufzeit auswirken (da sich auch in den Containern wesentlich mehr Partikel befinden).

10 Programmversionen: Version Euler Leap-Frog Kräfte- Abschneide- Rasterung symmetrie radius V1.01 V1.02 V1.03 V1.04 V1.05 V1.06 V1.07 V2.01 V2.02 Version 2D 3D Dateiausg. Bildausg. Ausgabe in.dat.pgm Dos-Shell V1.01 V1.02 V1.03 V1.04 V1.05 V1.06 V1.07 V2.01 V2.02 Version Teilchen Partikel- Position Kraft Geschwindigfixierbar * masse keit V1.01 V1.02 V1.03 V1.04 V1.05 V1.06 V1.07 V2.01 V2.02 * als Objekteigenschaft wählbar, ob sich Partikel bewegen können