Seminar - Model Checking
|
|
- Alke Böhme
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Seminr - Model Checking Äquivlenz(Klssen) - Trces, Simultion, Bisimultion,... Tim Hrtmnn
2 Gliederung Einleitung Trnsitionssysteme Beobchtbres Verhlten Äquivlenz Äquivlenzreltionen Trces Simultion Bisimultion Stotter-Reltionen 2
3 S, S Trnsitionssysteme (Aktionszentriert) : Menge von Zuständen : Trnsitionsreltion Schreibweise: Act : Menge von Aktionen I Act, I s S S, Act p q für p, q S Act p,,q : Menge ller Aktionen, die in möglich sind Lbeled Trnsition System (LTS) nch vn Glbbeek 1+2) Milner 4) s 3
4 Beispiel Trnsitionssystem s 0 b s 1 S={s 0, s 1, s 2 } s 2 c Act={, b,c} ={ s 0,, s 1, s 0,, s 2, s 1, c, s 2, s 2,b, s 1 } Strtzustände? - Mrkiert, Zustände ohne eingehende Trnsitionen, beliebig, vriiert in der Litertur Endzustände? - Zustände ohne usgehende Trnsition Eigenschften von Zuständen? 4
5 Beschriftetes Trnsitionssystem (Zustndsbsiert) Komplettes Tupel: : Menge von tomren Aussgen : Beschriftungsfunktion AP L s sei eine Aussgefunktion s erfüllt L s erfüllt Weiterhin: Strtzustände S, Act,, I, AP, L I S L s : S 2 AP Lbelled Trnsition System nch Bier, Ktoen 3) 2 AP : Potenzmenge (Powerset) von AP 5
6 Beispiel LTS s 0 s 1 { rot } { grün } L s 0 =rot, L s 1 =grün =EF grün s 1 erfülllt Vergleich: Kripke Struktur 6
7 LTS und Petri Netze Zustnd 0 Trnsition schltet Aktion Zustnd 1 7
8 LTS und Petri Netze Zustnd 0 Tür öffnen L(Z 0 )= Tür öffnen Aktion Tür öffnen L(Z 1 )= Zustnd 1 8
9 Beobchtbres Verhlten Wie unterscheiden sich zwei LTS? Für eine Antwort: ds Verhlten von beiden beobchten. Lässt sich kein Unterschied feststellen, werden sie ls gleich identifiziert Grundstzfrge: Aktionen oder Zustände beobchten? Ampel ht uf Rot geschltet oder Ampel ist im Zustnd mit der Eigenschft Rot? Beides ist gleich mächtig 9
10 Beobchten Kein Wissen über interne Abläufe oder Struktur System ist Blck Box in einem Testszenrio Von ussen sichtbre Aktionen/Aussgen Gibt es Interktion mit der Umwelt? Können Aktionen eingeschränkt werden? Trifft ein Benutzer eine Auswhl? Lssen sich finle Zustände erkennen?... 10
11 Äquivlenz Abhängig dvon ws und wie beobchtet wird, werden LTS ls gleich identifiziert O p : mögliche Beobchtungen von Äquivlenzreltionen: Reflexiv Symmetrisch Trnsitiv p p= O q O p =O q Äquivlenzklssen: [ p] O ={q S p= O q} weitere Schreibweisen: [p], p/~o,... 11
12 Trces Definition Aktionsbsiert Act ist Trce von p, wenn q, mit p q T p : Menge ller Trces von p Trce-Äquivlenz: p= T q T p =T q 12
13 Trces Beispiel Zwei Getränkeutomten links und rechts T 0,50 =T r l ={ 0,50, } T l =T r left= T right Obwohl der rechte Automt nichtdeterministisch in einen fehlerhften Zustnd geht, lässt sich nhnd der Trces kein Unterschied feststellen. 13
14 Complete Trces Definition Act ist complete Trce von p wenn q,mit p q I q = CT p : Menge ller Complete Trces von p CTrce-Äquivlenz: p= CT q CT p =CT q 14
15 Trces Definition Zustndsbsiert infinite Pth: =s 0 s 1 s 2... trce =L s 0 L s 1 L s 2... Trces TS : Menge ller Trces eines TS für initile, mximle Pfde Trce-Äquivlenz: Trces TS 1 =Trces TS 2 15
16 Complete Trces Beispiel Zwei Getränkeutomten links und rechts CT r ={ 0,50 0,50, } CT l ={ 0,50, } CT l CT r left CT right 16
17 Simultion Definition Aktionsbsiert prq p p' q' : q q' p' Rq ' p, p' S 1, q, q ' S 2, Act p wird simuliert von q, p q, wenn R mit prq Simultionsäquivlenz: p= S q p q q p 17
18 Simultion Definition Zustndsbsiert TS i = S i, Act i, i, I i, AP, L i,i=1,2 Simultion: binäre Reltion s 1 I 1 s 2 I 2 s 1, s 2 R R S 1 S 2 s 1, s 2 R gilt : (1) L s 1 =L s 2 (2) s 1 ' Post s 1 dnn s 2 ' Post s 2 mit s 1 ', s 2 ' R TS 2 simuliert TS 1,TS 1 TS 2 Simultionsäquiv.: TS 1 TS 2 TS 1 TS 2 TS 2 TS 1 18
19 Simultion Beispiel 1 Zwei Getränkeutomten links und rechts right left? Kffee Kffee 19
20 Simultion Beispiel 1 Zwei Getränkeutomten links und rechts Kffee Kffee 20
21 Simultion Beispiel 1 Zwei Getränkeutomten links und rechts Kffee Kffee 21
22 Simultion Beispiel 1 Zwei Getränkeutomten links und rechts Kffee Kffee Der rechte Automt wird vom linken simuliert. 22
23 Simultion Beispiel 1 Zwei Getränkeutomten links und rechts right left left right Kffee left = CT right Kffee left S right Der rechte Automt knn den rot mrkierten Zustnd des linken Aumten nicht simulieren. 23
24 Simultion Beispiel 2 Andere Aktionen/Eigenschften bezhlen right left left right bezhlen bezhlen Getränk Getränk Getränk Getränk left= S right Aus jedem der rot mrkierten Zustände führt eine Trnsition mit der Aktion Getränk. Eine Eigenschft wie: A bezhlen U Getränk wird von beiden Systemen erfüllt. 24
25 Simultion Beispiel 3 Zwei Getränkeutomten links und rechts left right? right left? 25
26 Simultion Beispiel 3 Zwei Getränkeutomten links wird simuliert von rechts 26
27 Simultion Beispiel 3 Zwei Getränkeutomten rechts wird simuliert von links 27
28 Simultion Beispiel 3 Zwei Getränkeutomten links und rechts right left left right left= S right left CT right Simultion ist unbhängig von Complete Trces (Vergleich: Beispiel 1 und Beispiel 3). 28
29 Bisimultion Definition prq p p' q' : q q' p' Rq ' prq q q' p' : p p ' p ' Rq' p, p' S 1, q, q ' S 2, Act Bisimultionsäquivlenz: p= B q Bisimultion R mit prq weitere Schreibweise 3+4) : p~q 29
30 Bisimultion Definition Zustndsbsiert TS i = S i, Act i, i, I i, AP, L i,i=1,2 Bisimultion: binäre Reltion (1) (2) (3) s 1 I 1 s 2 I 2 s 1, s 2 R s 2 I 2 s 1 I 1 s 1, s 2 R R S 1 S 2 s 1, s 2 R gilt : L s 1 =L s 2 s 1 ' Post s 1 dnn s 2 ' Post s 2 mit s 1 ', s 2 ' R s 2 ' Post s 2 dnn s 1 ' Post s 1 mit s 1 ', s 2 ' R Bisimultionsäquivlenz: TS 1 ~TS 2 30
31 Bisimultion Gegenbeispiel Zwei Getränkeutomten links und rechts left= S right left B right Es gibt keine Bisimultion, welche die rot mrkierten Zustände enthält. Denn drus müsste die blu gekennzeichnete Zuordnung folgen. 31
32 Bisimultion Beispiel Abstrktere LTS p und q p 0 b p 1 q 0 q 1 b p 2 p~q? q 2 b 32
33 Bisimultion Beispiel Abstrktere LTS p und q p 0 b p 1 q 0 q 1 b p 2 p~q? q 2 b B={ p 0, q 0, p 0, q 2,...} 33
34 Bisimultion Beispiel Abstrktere LTS p und q p 0 b p 1 q 0 q 1 b p 2 p~q q 2 b B={ p 0, q 0, p 0, q 2, p 1, q 1, p 2,q 1 } 34
35 (Bi)Simultion und Trces Bisimultion, Simultion und Trces lssen sich in eine Reihenfolge bringen: TS 1 ~TS 2 TS 1 TS 2 Decken sich in AP-deterministischen TS Simultion und (complete) Trces sind unbhängig Wenn TS 1 keine Terminlzustände enthält: TS 1 TS 2 Trces TS 1 Trces TS 2 35
36 (Bi)Simultion und Trces Fortsetzung: In AP-deterministischen TS: TS 1 TS 2 Trces TS 1 =Trces TS 2 Grfik für Aktionsbsierte Reltionen: Bisimultion Simultion Complete Trces Trces 36
37 Quotientensysteme (Bi)Simultion erlubt Vergleiche zwischen LTS Knn uch eingesetzt werden, um Zustände innerhlb eines LTS zu vergleichen Quotentensystem knn deutlich kleiner sein, ws effizienteres Model Checking erlubt Trces, Simultion und Bisimultion erhlten bestimmte Eigenschften (LTL, CTL) 37
38 Quotientensystem/Abstrktion Quotientensystem q bezhlen bezhlen bezhlen bezhlen Getränk Getränk Getränk Getränk l 1, l 2 [q] l~q Getränk Eine Eigenschft wie: wird von llen Systemen erfüllt. A bezhlen U Getränk 38
39 Stotter (Linerzeit) Reltionen Auch bezeichnet ls schwche / wek... Trnsition knn uf Sequenz von Trnsitionen bgebildet werden: Wenn sich der Whrheitswert der Atomren Aussgen nicht ändert So lng nur innere / unsichtbre Aktionen usgeführt werden Ermöglicht beliebig viele Stotter-Schritte innerhlb einer Äquivlenzklsse Divergenz?: verlssen Stotter-Pfde die Äquivlenzklssen? 39
40 Stotter Reltionen Beispiel s 0 {} s 1 s 2 s 3 {} {} { } s 0 und s 1 sind Stotter-Äquivlent [] es ist möglich unendlich lng in zu bleiben s 0, s 1 und s 2 sind nur Stotter-Äquivlent, wenn Divergenz nicht bechtet wird 40
41 Litertur 1) R. J. vn Glbbeek. The Liner Time - Brnching Time Spectrum I. The Semntics of Concrete, Sequentil Processes. Online vilble version ) R. J. vn Glbbeek. The Liner Time - Brnching Time Spectrum II. The semntics of sequentil systems with silent moves. Online vilble version ) Christel Bier, Joost-Pieter Ktoen. Principles of Model Checking. MIT Press ) Robin Milner. Communicting nd Mobile Systems: The Pi Clculus. Cmbridge Univ Press
1 Logiken und Transitionssysteme
1 Logiken und Trnsitionssysteme 1.1 Modellierung mithilfe von Logik Definition 1.1 Eine reltionle Signtur ist ein Tupel τ = (R 1,.., R n ) us Reltionensymbolen. Jedes Symbol R i ht eine Stelligkeit r(r
Automaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik. Sommersemester Kurzer Einschub: das Schubfachprinzip.
Reguläre Sprchen Automten und Formle Sprchen lis Theoretische Informtik Sommersemester 0 Ds Pumping-Lemm Wir hen is jetzt vier Formlismen kennengelernt, mit denen wir eine reguläre Sprche ngeen können:
Automaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik. Sommersemester 2011
Automten und Formle Sprchen lis Theoretische Informtik Sommersemester 011 Dr. Snder Bruggink Üungsleitung: Jn Stückrth Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 1 Reguläre Sprchen Wir eschäftigen uns
Automaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien
5 Ds Pumping Lemm Schufchprinzip (Folie 144) Automten und formle Sprchen Notizen zu den Folien Im Block Ds Schufchprinzip für endliche Automten steht m n (sttt m > n), weil die Länge eines Pfdes die Anzhl
Minimalautomat. Wir stellen uns die Frage nach dem. kleinsten DFA für eine reguläre Sprache L, d.h. nach einem DFA mit möglichst wenigen Zuständen.
Rechtslinere Sprchen Minimlutomt Es git lso sehr verschiedene endliche Beschreiungen einer regulären Sprche (DFA, NFA, rechtslinere Grmmtiken, reguläre Ausdrücke). Diese können ineinnder üersetzt werden.
Minimierung von DFAs. Minimierung 21 / 98
Minimierung von DFAs Minimierung 21 / 98 Ein Beispiel: Die reguläre Sprche L({, } ) Wie stellt mn fest, o ein Wort ds Suffix esitzt? Ein erster Anstz: Speichere im ktuellen Zustnd die eiden zuletzt gelesenen
2.6 Reduktion endlicher Automaten
Endliche Automten Jörg Roth 153 2.6 Reduktion endlicher Automten Motivtion: Wir sind n Automten interessiert, die mit möglichst wenigen Zuständen uskommen. Automten, die eine Sprche mit einem Minimum n
Vorlesung Modellierung nebenläufiger Systeme Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen. Erreichbarkeit. Vorstellung
Vorlesung Modellierung nebenläufiger Systeme Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen Brbr König Übungsleitung: Henning Kerstn Ds heutige Progrmm: Orgnistorisches Vorstellung bluf der Vorlesung und
Modellierung und Analyse eingebetteter und verteilter Systeme
Modellierung und Anlyse eingebetteter und verteilter Systeme Thred Funktionlität Teil 1 Einleitung Zustndstrnsitionssysteme Petrinetz und Prtilordnungsmodelle Prozesslgebr: CCS Temporle Logik: LTL, CTL,
Ergänzungsblatt 6. Letzte Änderung: 24. November 2018
Ergänzungsltt 6 Letzte Änderung: 24. Novemer 2018 Theoretische Informtik I WS 2018 Crlos Cmino Erinnerung: Die Besprechungstermine für die Ergänzungen 7 is 10 fllen is uf Weiteres us. Aufgen, Lösungen
2 2 Reguläre Sprachen. 2.6 Minimale DFAs und der Satz von Myhill-Nerode. Übersicht
Formle Systeme, Automten, Prozesse Übersicht 2 2.1 Reguläre Ausdrücke 2.2 Endliche Automten 2.3 Nichtdeterministische endliche Automten 2.4 Die Potenzmengenkonstruktion 2.5 NFAs mit ɛ-übergängen 2.7 Berechnung
Formale Sprachen. Endliche Automaten - Kleene. Reguläre Sprachen. Rudolf FREUND, Marion OSWALD. Endliche Automaten. Endliche Automaten: Beispiel
Formle Sprchen Reguläre Sprchen Endliche Automten - Kleene STEPHEN KLEENE (99-994) Rudolf FREUND, Mrion OSWALD 956: Representtion of events in nerve nets nd finite utomt. In: C.E. Shnnon und J. McCrthy
Relationen: Äquivalenzrelationen, Ordnungsrelationen
TH Mittelhessen, Sommersemester 202 Lösungen zu Üungsltt 9 Fchereich MNI, Diskrete Mthemtik 2. Juni 202 Prof. Dr. Hns-Rudolf Metz Reltionen: Äquivlenzreltionen, Ordnungsreltionen Aufge. Welche der folgenden
Analysevefahren am Beispiel Wechselseitiger Ausschluß II
Modellierung und Anlyse mittels FSs Anlysevefhren m Beispiel Wechselseitiger Ausschluß II Üersicht- Wiederholung Beispielprolem: Interferenz von rozessen und wechselseitiger Ausschluß (mutul exclusion).
Modellierung und Analyse eingebetteter und verteilter Systeme. Thread Funktionalität Teil 1
Modellierung und Anlyse eingebetteter und verteilter Systeme Thred Funktionlität Teil 1 Einleitung Zustndstrnsitionssysteme Petrinetz und Prtilordnungsmodelle Prozesslgebr: CCS Temporle Logik: LTL, CTL,
Grundlagen der Theoretischen Informatik, WS11/12 Minimale Automaten
Fkultät IV Deprtment Mthemtik Lehrstuhl für Mthemtische Logik und Theoretische Informtik Prof. Dr. Dieter Spreen Dipl.Inform. Christin Uhrhn Grundlgen der Theoretischen Informtik, WS11/12 Minimle Automten
Berechenbarkeitstheorie 4. Vorlesung
1 Berechenbrkeitstheorie Dr. Institut für Mthemtische Logik und Grundlgenforschung WWU Münster WS 15/16 Alle Folien unter Cretive Commons Attribution-NonCommercil 3.0 Unported Lizenz. Reguläre Ausdrücke
Grundlagen der Theoretischen Informatik
Grundlgen der Theoretischen Informtik 3. Endliche Automten (II) 28.04.2016 Vioric Sofronie-Stokkermns e-mil: sofronie@uni-koblenz.de 1 Übersicht 1. Motivtion 2. Terminologie 3. Endliche Automten und reguläre
Formale Techniken in der Software-Entwicklung: Reaktive Systeme
Formle Techniken in der Softwre-Entwicklung: Rektive Systeme Christin Prehofer LMU München uf Bsis von Mterilien von Mrtin Wirsing SS 2012 C. Prehofer: Formle Techniken in der Softwre-Entwicklung: Rektive
Grundlagen des Maschinellen Lernens Kap 3: Lernverfahren in anderen Domänen
. Motivtion 2. Lernmodelle Teil I 2.. Lernen im Limes 2.2. Fllstudie: Lernen von Ptternsprchen 3. Lernverfhren in nderen Domänen 3.. 3.2. Entscheidungsbäume 3.3. Entscheidungsbäume über regulären Ptterns
Modellierung nebenläufiger Systeme (Notizen zur Vorlesung im Sommersemester 2012 an der Universität Duisburg-Essen) Barbara König
Modellierung nebenläufiger Systeme (Notizen zur Vorlesung im Sommersemester 202 n der Universität Duisburg-Essen) Brbr König 20. Juni 202 Inhltsverzeichnis Einleitung 2 2 Trnsitionssysteme 3 2. Eigenschften
Modellierung nebenläufiger Systeme (Notizen zur Vorlesung im Sommersemester 2011 an der Universität Duisburg-Essen) Barbara König
Modellierung nebenläufiger Systeme (Notizen zur Vorlesung im Sommersemester 2011 n der Universität Duisburg-Essen) Brbr König 1. Juni 2011 Inhltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Trnsitionssysteme 3 2.1 Eigenschften
Automaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien
5 Ds Pumping Lemm Shufhprinzip (Folie 137) Automten und formle Sprhen Notizen zu den Folien Im Blok Ds Shufhprinzip für endlihe Automten steht m n (sttt m > n), weil die Länge eines Pfdes die Anzhl von
Nichtdeterministische endliche Automaten. Nichtdetermistische Automaten J. Blömer 1/12
Nichtdeterministische endliche Automten Nichtdetermistische Automten J. Blömer 1/12 Nichtdeterministische endliche Automten In mnchen Modellierungen ist die Forderung, dss δ eine Funktion von Q Σ Q ist,
Endliche Automaten 7. Endliche Automaten
Endliche Automten 7 Endliche Automten Einfches Modellierungswekzeug (z.b. UML-Sttechrts) Verrbeiten Wörter/Ereignisfolgen Erkennen Sprchen Erluben schnelle Sprcherkennung Anwendungsbereiche: Objektorientierte
Reguläre Sprachen. Reguläre Ausdrücke NFAs
Reguläre Sprchen Automten und Formle Sprchen lis Theoretische Informtik Sommersemester 0 Dr Snder Bruggink Üungsleitung: Jn Stückrth Wir eschäftigen uns jetzt einige Wochen mit regulären Sprchen deterministische
Automaten, Spiele, und Logik
Automten, Spiele, und Logik Woche 9 13. Juni 2014 Inhlt der heutigen Vorlesung Büchi Automten co-büchi Automten Komplementierung für deterministische Büchi Automten Ein Ziel: den Stz von Büchi-Elgot-Trkhtenrot
5.1 Charakterisierung relativ kompakter und kompakter
Kpitel 5 Kompkte Mengen 5.1 Chrkterisierung reltiv kompkter und kompkter Mengen X sei im weiteren ein Bnchrum. Definition 5.1. Eine Menge K X heißt kompkt, wenn us jeder offenen Überdeckung von K eine
1.5. Abbildung. DEFINITION injektiv, surjektiv, bijektiv Eine Abbildung f ist injektiv, falls es zu jedem y Y höchstens ein x X gibt mit
CHAPTER. MENGEN UND R ELATIONEN.5. ABBILDUNG.5. Abbildung Eine Abbildung (oder Funktion ist eine Reltion f über X Y mit der Eigenschft: für jedes x us X gibt es genu ein y Y mit (x,y f. Die übliche Schreibweise
Gliederung. Kapitel 1: Endliche Automaten
Gliederung. Einleitung und Grundegriffe. Endliche utomten 2. Formle Sprchen 3. Berechenrkeitstheorie 4. Komplexitätstheorie E: diversion.. Grundlgen.2..3. Grenzen endlicher utomten /2, S. 28 Prof. Steffen
Potenzautomat. Gegeben: A = (Z, I, d, s 0, F ) P(A) = (P(Z), I, D, {s 0 }, F P ) P(Z) = {S S Z}: Potenzmenge von Z; D : P(Z) I P(Z) mit
1 Potenzutomt Gegeben: A = (Z, I, d, s 0, F ) P(A) = (P(Z), I, D, {s 0 }, F P ) P(Z) = {S S Z}: Potenzmenge von Z; D : P(Z) I P(Z) mit D(S, x) = d(s, x) s S für lle S P(Z), x I; F P = {S P(Z) S F }. Potenzutomt
Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I
Vorlesung Grundlgen der Theoretischen Informtik / Einführung in die Theoretische Informtik I Bernhrd Beckert Institut für Informtik Sommersemester 2007 B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik:
Berechenbarkeitstheorie 2. Vorlesung
Berechenrkeitstheorie Dr. Frnzisk Jhnke Institut für Mthemtische Logik und Grundlgenforschung WWU Münster WS 15/16 Alle Folien unter Cretive Commons Attriution-NonCommercil 3.0 Unported Lizenz. Deterministischer
Finite-State Technology
Finite-Stte Technology Teil IV: Automten (2. Teil) 1 Definition eines -NEA Ein -NEA ist ein Quintupel A = (Q,, δ, q0, F), wobei Q = eine endliche Menge von Zuständen = eine endliche Menge von Eingbesymbolen
Frank Heitmann 2/71. 1 Betrachten wir Σ für ein Alphabet Σ, so ist Σ die Menge
Formle Grundlgen der Informtik Kpitel 2 und reguläre Sprchen Frnk Heitmnn heitmnn@informtik.uni-hmurg.de 7. April 24 Frnk Heitmnn heitmnn@informtik.uni-hmurg.de /7 Alphet und Wörter - Zusmmengefsst Die
RWTH Aachen Lehrgebiet Theoretische Informatik Rossmanith Dreier Hark Kuinke. SS 2017 Blatt
RWTH Achen Lehrgeiet Theoretische Informtik Rossmnith Dreier Hrk Kuinke SS 2017 Bltt 4 22.5.2017 Lösungsvorschlg zur Vorlesung Formle Sprchen, Automten und Prozesse Aufge T11 1. L, d L, er / L. L, d für
Protokoll zur Vorlesung Theoretische Informatik I
Protokoll zur Vorlesung Theoretishe Informtik I! " # $ % # & ' ( % ) * + & " & & &, " ' % + - + # + & '. / 0 1 # 0 & 2 & # & 3 4 & 5 # 0 + & 6 & ' + 7 7 3 8 4 & 7 + + + % ( % 6 # 9 & 5 # 0 + & 3 8. : &
Seminar Quantum Computation - Finite Quanten-Automaten und Quanten-Turingmaschinen
Seminr Quntum Computtion - Finite Qunten-Automten und Qunten-Turingmschinen Sebstin Scholz sscholz@informtik.tu-cottbus.de Dezember 3. Einleitung Aus der klssischen Berechenbrkeitstheorie sind die odelle
Lösungen zum Ergänzungsblatt 4
en zum Ergänzungsltt 4 Letzte Änderung: 23. Novemer 2018 Theoretische Informtik I WS 2018 Crlos Cmino Vorereitungsufgen Vorereitungsufge 1 Sei M = ({p, q, r}, {, }, δ, p, {q, r}) ein DEA mit folgender
1.2 Eigenschaften der reellen Zahlen
12 Kpitel 1 Mthemtisches Hndwerkszeug 12 Eigenschften der reellen Zhlen Alle Rechenregeln der Grundrechenrten der reellen Zhlen lssen sich uf einige wenige Rechengesetze zurückführen, die in der folgenden
Klausur TheGI 2 Automaten und Komplexität (Niedermeier/Hartung/Nichterlein, Sommersemester 2013)
Berlin, 17.07.2013 Nme:... Mtr.-Nr.:... Klusur TheGI 2 Automten und Komplexität (Niedermeier/Hrtung/Nichterlein, Sommersemester 2013) 1 2 3 4 5 6 7 8 Σ Bereitungszeit: mx. Punktezhl: 60 min. 60 Punkte
7 Modellierung von Abläufen 7.1 Endliche Automaten
7 Modellierung von Aläufen 7. Endliche Automten Mod-7. Endlicher Automt: Formler Klkül zur Spezifiktion von relen oder strkten Mschinen. Sie regieren uf äußere Ereignisse, ändern ihren inneren Zustnd,
Determinisierung von Transduktoren nach Mohri
Determinisierung von Trnsduktoren nch Mohri Simone Eberhrd Ktj Niemnn Inet Sējāne 28.06.2004 1 Determinisierung von Trnsduktoren Motivtion Wichtige Eigenschften für die Verrbeitung großer Dtenmengen: Lufzeit
Vorlesung. Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre
Vorlesung Einführung in die mthemtische Sprche und nive Mengenlehre 1 Allgemeines RUD26 Erwin-Schrödinger-Zentrum (ESZ) RUD25 Johnn-von-Neumnn-Hus Fchschft Menge ller Studenten eines Institutes Fchschftsrt
Grundlagen der Theoretischen Informatik
Grundlgen der Theoretischen Informtik 3. Endliche Automten 6.05.2015 Vioric Sofronie-Stokkermns e-mil: sofronie@uni-kolenz.de 1 Üersicht 1. Motivtion 2. Terminologie 3. Endliche Automten und reguläre Sprchen
a) Eine Menge, die aus jeder Äquivalenzklasse genau ein Element enthält, ist
Lösungen zu den Fschingsufgen Aufge 15 ) Eine Menge, die us jeder Äquivlenzklsse genu ein Element enthält, ist { n n N 0 } { n n N 0 } {}. ) n N 0 : w = n {w {, } ww L} = { k n+k k N 0 }. c) Nein. n N
Einführung in die Theoretische Informatik
Technische Universität München Fkultät für Informtik Prof. Tois Nipkow, Ph.D. Ssch Böhme, Lrs Noschinski Sommersemester 2011 Lösungsltt 4 20. Juni 2011 Einführung in die Theoretische Informtik Hinweis:
Automaten, Spiele, und Logik
Automten, Spiele, und Logik Woche 1 15. April 2014 Inhlt der gnzen Vorlesung Automten uf endlichen Wörtern uf undendlichen Wörtern uf endlichen Bäumen Spiele Erreichrkeitsspiele Ehrenfeucht-Frïssé Spiele
Vorname: Nachname: Matrikelnummer: Studiengang (bitte ankreuzen): Technik-Kommunikation M.A.
Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Klusur 23.09.2010 Prof. Dr. J. Giesl M. Brockschmidt, F. Emmes, C. Fuhs, C. Otto, T. Ströder Vornme: Nchnme: Mtrikelnummer: Studiengng (itte nkreuzen):
Deterministische endliche Automaten. Berechenbarkeit und Komplexität Endliche Automaten. Deterministische endliche Automaten
Berechenrkeit und Komplexität Endliche Automten Deterministische endliche Automten Folge von Symolen c 4 d 2 Bnd Wolfgng Schreiner Wolfgng.Schreiner@risc.jku.t Automt Folge kzeptiert Reserch Institute
4. Übungsblatt zu Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 2015/16
Krlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Informtik Prof. Dr. Peter Snders L. Hüschle-Schneider, T. Mier 4. Üungsltt zu Theoretische Grundlgen der Informtik im WS 2015/16 http://lgo2.iti.kit.edu/tgi2015.php
dem Verfahren aus dem Beweis zu Satz 2.20 erhalten wir zunächst die folgenden beiden ε-ndeas für die Sprachen {a} {b} und {ε} {a} +
Lösungen zu Üungsltt 3 Aufge 1. Es gilt L(( ) ) = ({} {}) {} = ({} {}) ({} {} + ). Mit dem Verfhren us dem Beweis zu Stz 2.20 erhlten wir zunächst die folgenden eiden -NDEAs für die Sprchen {} {} und {}
Umwandlung von endlichen Automaten in reguläre Ausdrücke
Umwndlung von endlichen Automten in reguläre Ausdrücke Wir werden sehen, wie mn us einem endlichen Automten M einen regulären Ausdruck γ konstruieren knn, der genu die von M kzeptierte Sprche erzeugt.
Automaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien
Inhltsverzeichnis Automten und formle Sprchen Notizen zu den Folien 1 Grundlgen und formle Beweise 3 Venn-Digrmme (Folie 28).................................. 3 Beispiele zu Mengenopertionen (Folie 29)..........................
Einführung in die Theoretische Informatik
Einführung in die Theoretische Informtik Johnnes Köler Institut für Informtik Humoldt-Universität zu Berlin WS 2011/12 Minimierung von DFAs Frge Wie können wir feststellen, o ein DFA M = (Z, Σ, δ, q 0,
Automaten, Spiele, und Logik
Automten, Spiele, und Logik Wohe 7 19. Mi 2014 Inhlt der heutigen Vorlesung Alternierende Automten Definition Verindung zu regulären Sprhen Komplementtion Engel und Teufel Ws ist eine nihtdeterministishe
Vorlesung Theoretische Informatik Sommersemester 2018 Dr. B. Baumgarten
Vorlesung Theoretische Informtik Sommersemester 28 Dr. B. Bumgrten Üungen zur Wiederholung quer durch den Stoff Mit Lösungseispielen Vollständigkeit wird nicht grntiert, und einige sind klusuruntypisch
6. Übungsblatt. (i) Von welchem Typ ist die Grammatik G? Begründen Sie Ihre Antwort kurz.
Vorlesung Theoretische Informtik Sommersemester 2015 Prof. S. Lnge 6. Üungsltt 1. Aufge Es sei die folgende Grmmtik G = [Σ, V, S, R] gegeen. Dei seien Σ = {, } und V = {S, B}, woei S ds Strtsymol ist.
10: Lineare Abbildungen
Chr.Nelius: Linere Alger SS 2008 1 10: Linere Aildungen 10.1 BEISPIEL: Die Vektorräume V 2 und Ê 2 hen diegleiche Struktur. Es git eine ijektive Aildung f : V 2 Ê 2, die durch die Vorschrift definiert
Minimalität des Myhill-Nerode Automaten
inimlität des yhill-nerode Automten Wir wollen zeigen, dss der im Beweis zum yhill-nerode Stz konstruierte DEA für die reguläre Sprche L immer der DEA mit den wenigsten Zuständen für L ist. Sei 0 der konstruierte
Brückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren
Brückenkurs Linere Gleichungssysteme und Vektoren Dr Alessndro Cobbe 30 September 06 Linere Gleichungssyteme Ws ist eine linere Gleichung? Es ist eine lgebrische Gleichung, in der lle Vriblen nur mit dem
Franz Binder. Vorlesung im 2006W
Formle Reguläre und Formle Institut für Alger Johnnes Kepler Universität Linz Vorlesung im 2006W http://www.lger.uni-linz.c.t/students/win/ml Formle Inhlt Reguläre Reguläre Formle Zustndsdigrmm δ: Σ (Q
Universität Karlsruhe Institut für Theoretische Informatik. Klausur: Informatik III
Nme Vornme Mtrikelnummer Lösungsvorschlg Universität Krlsruhe Institut für Theoretische Informtik o. Prof. Dr. P. Snders 8. März 2006 Klusur: Informtik III Aufgbe 1. Multiple Choice 10 Punkte Aufgbe 2.
Lösung zur Klausur. Grundlagen der Theoretischen Informatik. 1. Zeigen Sie, dass die folgende Sprache regulär ist: w {a, b} w a w b 0 (mod 3) }.
Lösung zur Klusur Grundlgen der Theoretischen Informtik 1. Zeigen Sie, dss die folgende Sprche regulär ist: { w {, } w w 0 (mod 3) }. Lösung: Wir nennen die Sprche L. Eine Sprche ist genu dnn regulär,
Formalisierung von Sicherheitseigenschaften im µ-kalkül
Formlisierung von Sicherheitseigenschften im µ-klkül Huptseminr: Nchweis von Sicherheitseigenschften für JvCrd durch pproximtive rogrmmuswertung Michel Whler (whler@in.tum.de) Überblick Einführungsbeispiel:
Klausur Formale Sprachen und Automaten Grundlagen des Compilerbaus
Klusur Formle Sprchen und Automten Grundlgen des Compilerus 25. Novemer 2014 Nme: Unterschrift: Mtrikelnummer: Kurs: Note: Aufge erreichre erreichte Nr. Punkte Punkte 1 10 2 10 3 12 4 11 5 9 6 6 7 11 8
Automaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien
Automten un formle Sprhen Notizen zu en Folien 1 Grunlgen un formle Beweise Venn-Digrmme (Folie 6) Im oeren Digrmm er Folie 6 sin zwei Mengen ngegeen: A un B. Es ist explizit ein Element von A ngegeen,
b) Dasselbe System, die Unbekannten sind diesmal durchnummeriert:
1 Linere Gleichungssysteme 1. Begriffe Bspl.: ) 2 x - 3 y + z = 1 3 x - 2 z = 0 Dies ist ein Gleichungssystem mit 3 Unbeknnten ( Vriblen ) und 2 Gleichungen. Die Zhlen vor den Unbeknnten heißen Koeffizienten.
R := {((a, b), (c, d)) a + d = c + b}. Die Element des Quotienten M/R sind die Klassen
Die ntürlichen Zhlen (zusmmen mit der Addition und der Multipliktion) wurden in Kpitel 3 xiomtisch eingeführt. Aus den ntürlichen Zhlen knn mn nun die gnzen Zhlen Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} die rtionlen
x x x Eine solche Verzweigung ist als Verzweigung der vom Signal getragenen Information
73 3.4.4 Signlflußplndrstellung Neben dem bisher behndelten rein mthemtischen Modellen in Gleichungsform zur Beschreibung des Signlübertrgungsverhltens dynmischer Systeme eistiert noch eine bildliche und
Grundkurs Mathematik II
Prof Dr H Brenner Osnbrück SS 2017 Grundkurs Mthemtik II Vorlesung 33 Die Zhlenräume Die Addition von zwei Pfeilen und b, ein typisches Beispiel für Vektoren Es sei K ein Körper und n N Dnn ist die Produktmenge
Compilerbau. Wintersemester 2010 / Dr. Heiko Falk
Compilerbu Wintersemester 21 / 211 Dr. Heiko Flk Technische Universität Dortmund Lehrstuhl Informtik 12 Entwurfsutomtisierung für Eingebettete Systeme Kpitel 3 Lexiklische Anlyse (Scnner) Folie 2 / 66
6. Quadratische Gleichungen
6. Qudrtische Gleichungen 6. Vorbemerkungen Potenzieren und Wurzelziehen, somit uch Qudrieren und Ziehen der Qudrtwurzel, sind entgegengesetzte Opertionen. Sie heben sich gegenseitig uf. qudrieren Qudrtwurzel
Vorname: Nachname: Matrikelnummer: Studiengang (bitte ankreuzen): Technik-Kommunikation M.A.
Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2011 Musterlösung - Klusur 09082011 Prof Dr Dr hc W Thoms Dniel Neider, Crsten Otto Vornme: Nchnme: Mtrikelnummer: Studiengng (itte nkreuzen): Informtik Bchelor Informtik
Sponsored Search Markets
Sponsored Serch Mrkets ngelehnt n [EK1], Kpitel 15 Seminr Mschinelles Lernen, WS 21/211 Preise Slots b c Interessenten y z 19. Jnur 211 Jn Philip Mtuschek Sponsored Serch Mrkets Folie 1 Them dieses Vortrgs
Lösungshinweise zu den zusätzlichen Übungsaufgaben
Lösungshinweise zu den zusätzlichen Übungsufgben Aufgbe Z.1 Als Gleichgewicht ergibt sich, mit Auszhlungsvektor 5, 5. Aufgbe Z. Spieler 1: Zentrlbnk mit reinen und diskreten Strtegien 0 und 4. Spieler
Lösung zur Bonusklausur über den Stoff der Vorlesung Grundlagen der Informatik II (45 Minuten)
Institut für Angewndte Informtik und Formle Beschreiungsverfhren 15.01.2018 Lösung zur Bonusklusur üer den Stoff der Vorlesung Grundlgen der Informtik II (45 Minuten) Nme: Vornme: Mtr.-Nr.: Semester: (WS
Prof. Dr. Javier Esparza Garching b. München, den Klausur Einführung in die theoretische Informatik Sommer-Semester 2017
Prof. Dr. Jvier Esprz Grching. München, den 10.08.17 Klusur Einführung in die theoretische Informtik Sommer-Semester 2017 Bechten Sie: Soweit nicht nders ngegeen, ist stets eine Begründung zw. der Rechenweg
Automaten und Formale Sprachen 7. Vorlesung
Automten und Formle Sprchen 7. Vorlesung Mrtin Dietzfelinger Bis nächste Woche: Folien studieren. Detils, Beispiele im Skript, Seiten 70 99. Definitionen lernen, Beispiele nsehen, Frgen vorereiten. Üungsufgen
Spiele und logische Komplexitätsklassen
Spiele und logische Komplexitätsklssen Mrtin Horsch 26. Jnur 2006 Inhlt des Seminrvortrges Ehrenfeucht-Frïssé-Spiel mit k Mrken Formeln mit k Vrilen und logische Komplexitätsklssen k-vrileneigenschft logischer
Klausur zur Vorlesung Grundbegriffe der Informatik 10. März 2009 mit Lösungsvorschlägen
Klusur zur Vorlesung Grundegriffe der Informtik 10. März 2009 mit Lösungsvorschlägen Klusurnummer Nme: Vornme: Mtr.-Nr.: Aufge 1 2 3 4 5 6 7 mx. Punkte 4 2 7 8 8 8 9 tts. Punkte Gesmtpunktzhl: Note: Aufge
Technische Universität München SS 2006 Fakultät für Informatik Übungsblatt 5 Prof. Dr. A. Knoll 30. Juni 2006
Technische Universität München SS 26 Fkultät für Informtik Übungsbltt 5 Prof. Dr. A. Knoll 3. Juni 26 Übungen zu Einführung in die Informtik II Aufgbe 5 Kleidung ) Wir definieren zunächst die Aktionenmenge
Algebraische Topologie WS 2016/17 Lösungen der Woche 9
6.132 - Algebrische Topologie WS 2016/17 Lösungen der Woche 9 Mrtin Frnklnd 5.1.2017 Aufgbe 1. Es sei X ein Rum und X = α U α eine disjunkte Vereinigung offener Teilmengen U α X. Zeigen Sie, dss X ds Koprodukt
Falls die Werte von X als Ergebnisse eines Zufallsvorgangs resultieren, wird X zu einer stetigen Zufallsvariable.
Sttistik I für Sttistiker, Mthemtiker und Informtiker Lösungen zu Bltt 11 Gerhrd Tutz, Jn Ulbricht, Jn Gertheiss WS 7/8 Theorie: Stetige Zufllsvriblen Begriff Stetigkeit: Eine Vrible oder ein Merkml X
Was nicht bewertet werden soll, streichen Sie bitte durch. Werden Täuschungsversuche beobachtet, so wird die Präsenzübung mit 0 Punkten bewertet.
Prof Dr Dr hc W Thoms Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2011 Musterlösung - Präsenzüung Dniel Neider, Crsten Otto Vornme: Nchnme: Mtrikelnummer: Studiengng (itte nkreuzen): Informtik Bchelor Informtik
Synchrone Modellierung. Diskrete Ereignissysteme 3.2 Erweiterte Modelle endlicher Automaten. Zustandsautomaten. Hierarchischer Automat
Synchrone Modellierung iskrete reignissysteme 3.2 rweiterte Modelle endlicher utomten Institut für Technische Informtik und Kommuniktionsnetze Lothr Thiele efinition: ie Umgebung eines S ist eine geordnete
Lösungshinweise zu den zusätzliche Übungsaufgaben
Lösungshinweise zu den zusätzliche Übungsufgben Aufgbe Z.1 (Mximin Regel [1]) Als Gleichgewicht ergibt sich, mit Auszhlungsvektor 5, 5. Aufgbe Z. (Dominnzüberlegungen und Nsh Gleichgewicht ) & b) [1]/
DEA1 Deterministische Version
Endliche Automten 4 Deterministische endliche Automten Zu dem nichtdeterministischen Automten EA git es eine deterministische Version. EA Akzeptor für Wörter üer X = { } mit mindestens einem führenden.
5.2 BASIC MSC (BMSC) BASIC MSC. Kommunikation zwischen Instanzen. Message Sequence Charts
BASIC MSC Ein System besteht us Instnzen. Eine Instnz ist eine bstrkte Einheit, deren Interktion mit nderen Instnzen oder mit der Umgebung mn (teilweise) beobchten knn. Instnzen kommunizieren untereinnder
Bonusklausur über den Stoff der Vorlesung Grundlagen der Informatik II (45 Minuten)
Institut für Angewndte Informtik und Formle Beschreiungsverfhren 5.0.208 Bonusklusur üer den Stoff der Vorlesung Grundlgen der Informtik II (45 Minuten) Nme: Vornme: Mtr.-Nr.: Semester: (WS 207/8) Ich
3 Hyperbolische Geometrie
Ausgewählte Kpitel der Geometrie 3 Hperbolische Geometrie [... ] Im Folgenden betrchten wir nun spezielle gebrochen-linere Abbildungen, nämlich solche, für die (mit den Bezeichnungen ϕ,b,c,d wie oben die
Informatik I Modul 3: Schaltnetze
Herbstsemester 2, Institut für Informtik IFI, UZH, Schweiz Informtik I Modul 3: Schltnetze 2 Burkhrd Stiller M3 Modul 3: Schltnetze Einführung in die formlen Grundlgen logischer Beschreibungen Boolesche
Technische Universität München Sommer 2016 Prof. J. Esparza / Dr. M. Luttenberger, S. Sickert. Lösung
Technische Universität München Sommer 2016 Prof. J. Esprz / Dr. M. Luttenerger, S. Sickert Lösung Einführung in die theoretische Informtik Klusur Bechten Sie: Soweit nicht nders ngegeen, ist stets eine
Endliche Automaten. Endliche Automaten 1 / 115
Endliche Automten Endliche Automten 1 / 115 Endliche Automten Endliche Automten erluen eine Beschreiung von Hndlungsläufen: Wie ändert sich ein Systemzustnd in Ahängigkeit von veränderten Umgeungsedingungen?
7 Modellierung von Abläufen
7 Modellierung von Aläufen In diesem Kpitel geht es drum, ds dynmische Verhlten von Systemen zu eschreien, z.b. die Wirkung von Bedienopertionen uf rele Automten oder uf die Benutzungsoerflächen von Softwre-Systemen
G2 Grundlagen der Vektorrechnung
G Grundlgen der Vektorrechnung G Grundlgen der Vektorrechnung G. Die Vektorräume R und R Vektoren Beispiel: Physiklische Größen wie Krft und Geschwindigkeit werden nicht nur durch ihre Mßzhl und ihre Einheit,