Sommer n ( 1) k 100k. und S k=1. ( 1) k 100 k.

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1 Dr. A. App Dipl.-Math. B. Krinn. Gruppenübung zur Vorlesung Prof. Dr. M. Stroppel Höhere Mathematik II Sommer 008 Aufgabe P. Konvergenz von Reihen Wir betrachten die Reihen S := k= und S := 00 k k= k= ) k 00 k. a) Bestimmen Sie für n {,..., 8} jeweils die n-ten Partialsummen n n ) k S n := und Sn := 00k 00k auf zwei Dezimalstellen genau und zeichnen Sie diese in ein Koordinatensystem ein. b) Sind die jeweiligen Reihen konvergent? c) Falls die jeweilige Reihe konvergiert, schätzen Sie den Fehler zwischen S 8 bzw. S8 und dem Wert der Reihe ab. Aufgabe P. Konvergenzkriterien für Reihen Entscheiden Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren. + ) k a) k + )! k=0 3 b) 4k + 6k k= ) k c) k + d) k=0 ) k + )3 k+ k= 4 k Aufgabe P 3. Sierpinski-Dreieck Wir betrachten die folgende geometrische Figur: In einem gleichseitigen Dreieck der Seitenlänge eins wird durch Verbinden der Seitenmittelpunkte ein kleineres auch gleichseitiges) schwarzes Dreieck konstruiert. Die dabei frei bleibende Fläche besteht aus drei ebenfalls gleichseitigen Dreiecken. Nun wird jedem dieser drei Dreiecke auf dieselbe Art und Weise ein kleineres schwarzes Dreieck einbeschrieben. Der Prozess wird iteriert. Berechnen Sie die Gesamtfläche aller so entstehenden schwarzen Dreiecke. k=

2 . Gruppenübung Höhere Mathematik II Hausübungen Abgabe in der nächsten Gruppenübung): Aufgabe H. Konvergenz und Grenzwerte von Reihen Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und geben Sie den Grenzwert an, falls er eistiert. k a) 5 k+ k=0 3 k b) 5k k + ) c) k=0 k=0 k + )k + 3) Aufgabe H. Konvergenzkriterien Bei welchen der folgenden Reihen können Sie mit dem Leibniz-, dem Quotienten- oder dem Wurzelkriterium eine Aussage über die Konvergenz treffen? a) ) n n b) c) d) n= n cosnπ) n + n n + ) n n=0 n=0 n=0 n Aufgabe H 3. Stetigkeit Gegeben sind die folgenden Funktionen f i : D i R, i =,...,4: f ) = f 3 ) = { e /, 0 0, = 0, f ) = sign) := { 3,, = f 4 ) = sin), > 0 0, = 0, < 0 a) Bestimmen Sie jeweils den maimalen Definitionsbereich D i R, für den die angegebene Abbildungsvorschrift sinnvoll ist. b) Untersuchen Sie alle Funktionen f i auf links-/rechtsseitige) Stetigkeit in jedem Punkt von D i.

3 Dr. A. App Dipl.-Math. B. Krinn. Gruppenübung zur Vorlesung Prof. Dr. M. Stroppel Höhere Mathematik II Sommer 008 Aufgabe P 4. Funktionsgraphen Zeichnen Sie die Graphen der folgenden Funktionen in ein Koordinatensystem ein: a) f : [0, 9] R: b) f : [, 3] R: c) f 3 : [0, 5] R: + ) , < d) f 4 : R R: + ), 6, > Welche dieser Funktionen besitzen eine Umkehrfunktion? Geben Sie die Definitions- und Wertebereiche der Umkehrfunktionen an. Aufgabe P 5. Stetigkeit Betrachtet wird die Funktion f : [, 4] R:. a) Berechnen Sie für jedes ε > 0 ein passendes δ > 0 so, dass gilt [, + δ]: f) f) < ε. b) Finden Sie für jeden Punkt 0 [, 4] und für jedes ε > 0 ein δ > 0 so, dass die Bedingung [, 4]: 0 < δ = f) f 0 ) < ε) erfüllt ist. c) Betrachtet wird nun die Funktion g: R R {, g) =, = Können Sie auch hier ein δ wie in b) finden? d) Was hat das Ganze mit Stetigkeit zu tun? Aufgabe P 6. Konvergenz von Reihen Untersuchen Sie, welche der folgenden Reihen konvergieren: )) a) sin n n= ) b) tan n n=

4 . Gruppenübung Höhere Mathematik II Hausübungen Abgabe in der nächsten Gruppenübung): Aufgabe H 4. Intervallhalbierungsmethode Bestimmen Sie näherungsweise die Lösung von cos) =. Wenden Sie dazu die Intervallhalbierungsmethode auf die Funktion f) = cos) mit dem Startintervall [0, π/] so lange an, bis die Intervalllänge kleiner als 0.05 ist. Aufgabe H 5. Konvergenzkreise Bestimmen Sie die Konvergenzkreise der folgenden kompleen Potenzreihen: a) 5z) k b) c) d) k=0 k + k + )z i) k k=0 k k z + 3i) k k= k!z + ) k k= Aufgabe H 6. Hyperbelfunktionen Die Hyperbelfunktionen Cosinus hyperbolicus und Sinus hyperbolicus sind durch die Zuordnungen cosh) := e + e und sinh) := e e definiert. Im Folgenden seien nur reelle Argumente betrachtet. a) Geben Sie von cosh und sinh jeweils den maimalen Definitionsbereich und den Wertebereich an. b) Untersuchen Sie die beiden hierdurch gewonnenen Funktionen auf Symmetrie zur y-achse f) = f )) und zum Ursprung f) = f )). c) Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen. d) Geben Sie die Potenzreihen dieser Funktionen um den Entwicklungspunkt 0 an und bestimmen Sie deren Konvergenzradien. e) Beweisen Sie, dass unabhängig von das folgende Additionstheorem gilt: cosh)) sinh)) =. Zusatz: Verallgemeinern Sie die Ergebnisse, indem Sie die Definitionsbereiche in C bestimmen.

5 Dr. A. App Dipl.-Math. B. Krinn 3. Gruppenübung zur Vorlesung Prof. Dr. M. Stroppel Höhere Mathematik II Sommer 008 Aufgabe P 7. Potenzreihe Die reelle Funktion f sei durch die Zuordnung e gegeben. a) Geben Sie den maimalen Definitionsbereich sowie den Wertebereich von f an. b) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion f sowie deren Definitions- und Wertebereich c) Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen f und f. d) Bestimmen Sie die Potenzreihe von f um den Entwicklungspunkt 0 und geben Sie deren Konvergenzradius an. e) Berechnen Sie damit auf zwei Dezimalstellen genau. Verwenden Sie hierzu eine geeignete e Fehlerabschätzung. Aufgabe P 8. a) Untersuchen Sie mit Hilfe des Differenzenquotienten, ob die Funktion f an der Stelle = 0 und die Funktion g an den Stellen = 0 und = 3 differenzierbar ist. { für [0, + ) f : R R : für, 0) g : R R : b) Setzen Sie die Funktionen f und g an der Stelle = 0 stetig fort und untersuchen Sie mit Hilfe des Differenzenquotienten, ob die beiden Funktionen an dieser Stelle differenzierbar sind. ) f : R {0} R : sin ) g : R {0} R : sin Aufgabe P 9. Berechnen Sie auf zwei verschiedene Weisen den Grenzwert lim 0 cos) : a) Ohne die Verwendung von Potenzreihen Hinweis: Erweitern Sie mit cos)+ und gehen Sie analog zu..7 vor.) b) Indem Sie die Potenzreihe für cos verwenden

6 3. Gruppenübung Höhere Mathematik II Hausübungen Abgabe in der nächsten Gruppenübung): Aufgabe H 7. Ableitungen Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen. Hierbei kann die Tabelle..5 benutzt werden. Alle anderen Rechenschritte sind zu begründen. a) f ) = cos 3 + 5e + π) b) f ) = e arctancos)) c) f 3 ) = sin) cos) tan) d) f 4 ) = cos) sin)) cos) sin)) tan)) e) f 5 ) = ln3 ) Aufgabe H 8. Potenzreihe Bestimmen Sie die Potenzreihe der Funktion { } f : R\ ± R: um den Entwicklungspunkt 0 und berechnen Sie, für welche diese konvergiert. Hinweis: Betrachten Sie die geometrische Reihe zum Vergleich. Aufgabe H 9. Kosinus- und Sinusfunktion a) Zeigen Sie für z C mit Hilfe der Formel von Euler und de Moivre cosz) = eiz + e iz und sinz) = eiz e iz i. b) Beweisen Sie für z C das folgende Additionstheorem: cosz)) + sinz)) =.

7 Dr. A. App Dipl.-Math. B. Krinn 4. Gruppenübung zur Vorlesung Prof. Dr. M. Stroppel Höhere Mathematik II Sommer 008 Aufgabe P 0. Umkehrfunktion der Kosinus-Funktion a) Schränken Sie die Kosinus-Funktion cos im Definitionsbereich so auf ein geeignetes Intervall ein, daß die Umkehrfunktion Arkuskosinus arccos eistiert und skizzieren Sie diese. d b) Berechnen Sie d arccos) mit Hilfe der Ableitung der Umkehrfunktion. =0 c) Zeigen Sie arccos) = π arcsin). Aufgabe P. Potenzreihen und Differentialgleichungen Die Funktionen f und g sind durch ihre Potenzreihen f) = a k k und g) = k=0 b k k k=0 gegeben. Bestimmen Sie die Koeffizienten a k und b k so, dass die Differentialgleichungen f = f und g = g mit den Anfangsbedingungen erfüllt werden. Wie heißen die Funktionen f und g? f0) = 0 f 0) = g0) = g 0) = 0 Aufgabe P. Anwendung des Mittelwertsatzes a) Sei P n ) = also die n-te Ableitung von ) n. Zeigen Sie: P n ) ist ein Polynom vom Grad n. ) n d ) n, d b) Zeigen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes: Das Polynom P n ) hat im Intervall, ) genau n Nullstellen.

8 4. Gruppenübung Höhere Mathematik II Hausübungen Abgabe in der nächsten Gruppenübung): Aufgabe H 0. Umkehrfunktionen der Hyperbel-Funktionen In Aufgabe H6 wurden definiert. cosh: R R: e + e und sinh: R R: e e a) Schränken Sie die Funktion cosh im Definitionsbereich so auf ein geeignetes Intervall ein, daß die Umkehrfunktion Areakosinus Hyperbolicus arcosh eistiert und skizzieren Sie diese. d b) Berechnen Sie d arcosh) mit Hilfe der Ableitung der Umkehrfunktion. =0 c) Zeigen Sie, dass für alle in den jeweiligen Definitionsbereichen gilt: arcosh) = ln + ) und arsinh) = ln + ) +. Hinweis: Substituieren Sie hierzu := e in der Definition von cosh und sinh. d) Bestimmen Sie nun anhand dieser Formeln erneut die Ableitungen d arcosh) d =0 und d arsinh) d =0. Verifizieren Sie damit Ihr Ergebnis, das Sie über die Ableitung der Umkehrfunktion gewonnen haben. Aufgabe H. Regel von l Hospital Berechnen Sie folgende Grenzwerte - falls möglich mit der Regel von l Hospital: a) lim ln) cos d) lim ) 0 sin) b) lim 0 cos) Aufgabe H. Taylorpolynome Berechnen Sie für die beiden Funktionen e) lim tanh) = lim sinh) cosh) c) lim 0 sin) ) f) lim 0+0 = lim 0+0 eln ) f : R R, 5 und g : R R, sin) die Taylorpolynome T 5 f,, ) und T 4 g,, π ) sowie die zugehörigen Restglieder. 4

9 Dr. A. App Dipl.-Math. B. Krinn 5. Gruppenübung zur Vorlesung Prof. Dr. M. Stroppel Höhere Mathematik II Sommer 008 Aufgabe P 3. Stammfunktionen Berechnen Sie die folgenden Integrale: a) d b) c) d) π π sin) + d cos) sin) d cos)) 3 + )e d Aufgabe P 4. partielle Integration Zeigen Sie, daß für eine zweimal stetig differenzierbare Funktion f : [a,b] R gilt: b a f ) d = bf b) fb) + fa) af a). Aufgabe P 5. Taylorreihe In Beispiel.6. der Vorlesung wurde die Funktion {ep ) f : R R für > 0 0 für 0 betrachtet. Das Taylorpolynom dieser Funktion soll nun berechnet werden. Gehen Sie dazu wie folgt vor: a) Zeigen Sie, dass für alle 0 > 0 und für jedes n N gilt: ) n ) d f) d = P ep ) =0 0 0 Wobei P ein Polynom ist. b) Berechnen Sie alle Ableitungen von f an der Stelle 0 und stellen Sie die Taylorreihe Tf,, 0) auf.

10 5. Gruppenübung Höhere Mathematik II Hausübungen Abgabe in der nächsten Gruppenübung): Aufgabe H 3. Taylorreihe a) Berechnen Sie die Ableitung n-ter Ordnung für die Funktion f : ba ), R: f) = lna + b), a,b > 0. b) Bestimmen Sie die Taylorreihe der Funktion f um den Entwicklungspunkt 0 = 0. c) Welchen Konvergenzradius hat diese Reihe? Aufgabe H 4. partielle Integration a) Es ist f : D R R. Zeigen Sie mit partieller Integration f) d = [ f) ] f ) d. b) Berechnen Sie damit die unbestimmten Integrale ln) d, arctan) d, arcsin) d. Aufgabe H 5. Newtonverfahren Gesucht wird eine Lösung der Gleichungen sin) = e und cos) =. Wählen Sie einen geeigneten Startwert und führen Sie jeweils vier Näherungsschritte mit dem Newtonverfahren zur Bestimmung der Lösung durch.

11 Dr. A. App Dipl.-Math. B. Krinn 6. Gruppenübung zur Vorlesung Prof. Dr. M. Stroppel Höhere Mathematik II Sommer 008 Aufgabe P 6. Flächeninhalt a) Welcher Gleichung genügt ein Kreis vom Radius r mit Ursprung 0, 0)? b) Beschreiben Sie die obere Hälfte des Kreises als Graph einer Funktion. c) Bereits aus der Schule ist die Formel A = πr für den Flächeninhalt A eines Kreises vom Radius r bekannt. Beweisen Sie diese Formel nun unter Verwendung der Integralrechung! Hinweis: Es ist hilfreich, zunächst einen geeigneten Teil des Kreises zu betrachten. Aufgabe P 7. Ober- und Untersumme Berechnen Sie für die Funktionen f : R R: + und g: R R: jeweils die Ober- und Untersumme über das Intervall [, ] bezüglich der Partitionen { P n :=, + n,..., + n } n,. Aufgabe P 8. Universalsubstitution für trigonometrische Integrale a) Zeigen Sie, dass für R {k + )π k Z} bei Verwendung der Universalsubstitution u: tan ) gilt: u ) = + u) ), sin) = u) + u) ), cos) = ) u) + u) ). Hinweis: sin) = sin ) cos ) und cos) = cos )) sin. )) b) Führen Sie damit folgende Integrale auf rationale Integranden zurück: sin) d, cos) d, + sin) sin) + cos)) d.

12 6. Gruppenübung Höhere Mathematik II Hausübungen Abgabe in der nächsten Gruppenübung): Aufgabe H 6. Integration durch Substitution a) Es sei f eine stetig differenzierbare Funktion mit Wertebereich R +. Berechnen Sie f ) d. f) b) Berechnen Sie die bestimmten Integrale 4/5 3/5 d, e e ln) d, π/ 0 sin) d. Aufgabe H 7. Universalsubstitution für trigonometrische Integrale Berechnen Sie mit Hilfe von P 8 folgende bestimmte Integrale: π/3 π/3 sin) d, π π/ cos) d, π/ π/3 + sin) sin) + cos)) d. Aufgabe H 8. Integrale rationaler Funktionen Berechnen Sie die Integrale a) b) ) + ) d d

13 Dr. A. App Dipl.-Math. B. Krinn 7. Gruppenübung zur Vorlesung Prof. Dr. M. Stroppel Höhere Mathematik II Sommer 008 Aufgabe P 9. Uneigentliche Integrale a) Bestimmen Sie die Grenzwerte lim sin + ) und lim ln ) + +. b) Für welche α konvergieren folgende uneigentliche Integrale? + )) α sin d Hinweis: Vergleichen Sie mit dem Integral + + ln + )) α d d. α Aufgabe P 0. Zeigen Sie: Anwendung der Definition des Riemann-Integrals lim n n k= n + k = ln. Aufgabe P. Potenzreihe I Gegeben ist die Funktion f : ρ,ρ) R : ) k ) k+, k + k=0 ) k ) k+ wobei ρ den Konvergenzradius der Potenzreihe k + a) Geben Sie den Wert von ρ an. b) Geben Sie einen geschlossenen Ausdruck für die Ableitung f an: c) Geben Sie einen geschlossenen Ausdruck für f an: k=0 bezeichnet. Aufgabe P. Potenzreihe II a) Für welche R konvergiert die Reihe n n? b) Finden Sie für diese einen geschlossenen Ausdruck für die Reihe. n=0

14 7. Gruppenübung Höhere Mathematik II Hausübungen Abgabe in der nächsten Gruppenübung): Aufgabe H 9. Uneigentliche Integrale Untersuchen Sie folgende uneigentliche Integrale auf Konvergenz: a) d b) π 0 sin) d c) + ln)) α d Aufgabe H 0. Gamma-Funktion Die Gamma-Funktion ist definiert durch Γ: R + R: α + e t t α dt. In der Vorlesung wurde gezeigt, dass dieses uneigentliche Integral in der Tat für alle α > 0 konvergiert. a) Zeigen Sie mit partieller Integration die Funktionalgleichung Γα + ) = αγα). b) Berechnen Sie Γ). c) Leiten Sie damit für n N die Identität Γn + ) = n! her. Anschaulich bedeutet dies, dass die Gamma-Funktion eine Fortsetzung der Abbildung N N: n n! auf R + ist. Aufgabe H. Es sei f : [a b,a + b] R mit a,b R eine integrierbare Funktion, die punktsymmetrisch zu a ist, das heißt für alle c [0,b] gilt fa c) = fa + c). Beweisen Sie, dass für alle d [0,b] gilt: a+d f) d = 0. a d 0+0

15 Dr. A. App Dipl.-Math. B. Krinn 8. Gruppenübung zur Vorlesung Prof. Dr. M. Stroppel Höhere Mathematik II Sommer 008 Aufgabe P 3. Mengen Gegeben sind die Mengen M = {,y) R > 0, y }, M = {,y) R < π, y sin) }, M 3 = {,y) R Q }, { M 4 =,y) R α,β R :,y) = lim n + a) Skizzieren Sie M, M, M 3, M 4. n α k, k=0 n k=0 )} ) k k)! βk. b) Bestimmen Sie für i {,, 3, 4} jeweils das Innere M i, den Rand M i und den Abschluss M i. c) Welche der Mengen M i ist beschränkt, welche konve? Aufgabe P 4. Funktionen mehrerer Veränderlicher Gegeben sind die Funktionen f : R R {0}) R:,y) + y y g: R R {0}) R:,y) y + y 3 a) Geben Sie Zähler und Nenner von f und g jeweils in Multiindenotation an. b) Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen f und g. Verwenden Sie dazu als Hilfsmittel Niveaulinien und achsenparallele Schnitte. c) Sind f und g stetig? Lassen sich f und g stetig auf R fortsetzen? Aufgabe P 5. Stetigkeit in mehreren Variablen Wir untersuchen die Funktion y f : R falls,y) 0, 0) R:,y) + y 4. 0 falls,y) = 0, 0) a) Betrachten Sie die Einschränkung von f auf einer beliebigen Ursprungsgeraden. Ist diese Einschränkung stetig? b) Ist f stetig? y

16 8. Gruppenübung Höhere Mathematik II Hausübungen Abgabe in der nächsten Gruppenübung): Aufgabe H. Integralkriterium Zeigen Sie mit Hilfe des Integralkriteriums, dass die folgende Reihe für alle α R mit α > konvergiert vgl. Aufgabe H 9 c)): k= k lnk)) α. Aufgabe H 3. Niveaulinien Skizzieren Sie für die folgenden Funktionen jeweils die Niveaulinien zu den Niveaus, 0, und sowie die Funktionen selbst. f : R R:,y) + y g: R R:,y) cos + y ) Aufgabe H 4. Gegeben ist die Funktion a) Skizzieren Sie die Mengen: p: R R:,y) 3 y y 3 y. G 0 = {,y) R p,y) ) = 0 } G + = {,y) R p,y) ) > 0 } G = {,y) R p,y) ) < 0 } b) Gegeben sind die Vektoren v =, 0) und v = 0, ). Bestimmen Sie in den Punkten P 0 =, 0), P =, 0) und P = 0, ) jeweils die Ableitungen von p in Richtung v und v mit Hilfe eines Differentialquotienten.

17 Dr. A. App Dipl.-Math. B. Krinn 9. Gruppenübung zur Vorlesung Prof. Dr. M. Stroppel Höhere Mathematik II Sommer 008 Aufgabe P 6. partielle Ableitungen a) berechnen Sie alle ersten partiellen Ableitungen der Funktion f : R 4 R: 3 sin 3 )e b) Berechnen Sie alle zweiten partiellen Ableitungen und stellen Sie die Hesse-Matri Hf auf. Welche Besonderheit hat diese Matri? Aufgabe P 7. Taylorpolynom Es sei f : R R:,y) 3 y y 3. a) Bestimmen Sie die Tangentialebene im Punkt,, f, )) and den Graphen von f. b) Berechnen Sie das Taylorpolynom T f, 0,y 0 ),, ) ) im Punkt 0,y 0 ) der Stufe um den Entwicklungspunkt, ). c) Zusatz: Bestimmen Sie auch das Taylorpolynom T 3 f, 0,y 0 ), 0, 0) ) im Punkt 0,y 0 ) der Stufe 3 um den Entwicklungspunkt 0, 0). Aufgabe P 8. Schmiegquadrik Gegeben ist die Funktion f : R R:,y) y 4 6 y a) Skizzieren Sie jeweils die Mengen der Punkte,y) R, für die f,y) = 0, f,y) > 0 beziehungsweise f,y) < 0 gilt. b) Berechnen Sie gradf und Hf. c) Bestimmen Sie den Typ der Schmiegquadrik an den Graph von f im Punkt 0, 0).

18 9. Gruppenübung Höhere Mathematik II Hausübungen Abgabe in der nächsten Gruppenübung): Aufgabe H 5. Taylorreihe a) Entwickeln Sie die Funktion f,y) = sin y nach der Taylorformel um den Entwicklungspunkt, π) bis inklusive Termen zweiter Ordnung. b) Entwickeln Sie die Funktion f,y) = y 4 3y + 3 um den Entwicklungspunkt, ) in ihre Taylorreihe. Aufgabe H 6. Schmiegquadrik Gegeben ist die Funktion f : R R:,y) sin + y). a) Berechnen Sie gradf und Hf. b) Bestimmen Sie die Schmiegquadrik an den Graph von f in den Punkten 0, 0) und π, ) π 4 4. Aufgabe H 7. Richtungsableitung Es sei f : R n R eine stetig differenzierbare Funktion und v R n \{ 0} sowie ṽ = v. v Zeigen Sie, dass die Ableitung längs v von f im Punkt a R n gerade das v -fache der Richtungsableitung von f in Richtung ṽ im Punkt a ist. Aufgabe H 8. Scheinklausur Bearbeiten Sie die erste Scheinklausur HM-II vom Sommersemester 006 ohne Abgabe):

19 Dr. A. App Dipl.-Math. B. Krinn 0. Gruppenübung zur Vorlesung Prof. Dr. M. Stroppel Höhere Mathematik II Sommer 008 Aufgabe P 9. Tetraeder des Grauens Wir betrachten das Tetraeder mit den Ecken A = 0, 0, 0), B =, 0, 0), C = 0, 3, 0) und D = 0, 0, 4). a) Bestimmen Sie eine Funktion f, die zu einem Punkt P =,y,z) die Summe der Quadrate der Abstände von den vier Eckpunkten angibt. b) Finden Sie den Punkt R im Raum, in dem die Funktion f ihr Minimum annimmt. c) Suchen Sie den Punkt R, der in der Ebene mit der Gleichung + y + z = 0 liegt und unter allen Punkten dieser Ebene die Funktion f minimiert sowie den Punkt auf der Kugel mit der Gleichung der den kleinsten Abstand hat. Aufgabe P 30. Etrema Gegeben ist die Funktion + y + z = f : R R:,y) y y +. a) Skizzieren Sie jeweils die Mengen der Punkte,y) R, für die f,y) = 0, f,y) > 0 beziehungsweise f,y) < 0 gilt. b) Berechnen Sie gradf und Hf. c) Bestimmen Sie den Typ der Schmiegquadrik an den Graph von f im Punkt 0, 0). d) Geben Sie alle kritischen Punkte von f an d. h. Punkte mit gradf = 0). e) Bestimmen Sie alle Etrema von f. f) Schränken Sie f auf den Einheitskreis {,y) R + y = } bzw. die Gerade {,y) R = y} ein und untersuchen Sie unter diesen Nebenbedingungen f erneut auf Etrema. Aufgabe P 3. Ausgleichsgerade Eine Messreihe ergab an den Stellen = 0,,, 3 die Punkte P = 0, 5), P =, 4), P 3 =, 4), P 4 = 3, ). Finden Sie die Gleichung der Geraden g, die die quadratischen Abstände zu den Messpunkten minimiert, also g i ) y i ) minimiert Hierbei sind mit i,y i ) die i gemessenen Punkte gemeint). Zusatz: Bestimmen sie die Gleichung der Parabel, die im oben genannten Sinn optimal liegt.

20 0. Gruppenübung Höhere Mathematik II Hausübungen Abgabe in der nächsten Gruppenübung): Aufgabe H 9. Tangente und Tangentialebene Die Funktion f sei gegeben durch ) f : R R: a) Man bestimme alle, ) mit gradf, ) = 0. b) Wie lautet die Gleichung der Tangentialebene an den Graphen {,,f, )), ) R } von f im Punkt,,f, ))? c) In welche Richtung wird ein Ball auf dem Graphen von f rollen, wenn man ihn im Punkt,, 5) loslässt? d) Man bestimme die Tangente an die Höhenlinie {, ) R f, ) = 5 } im Punkt, ). Aufgabe H 30. Definitheit Es sind die folgenden Matrizen gegeben: A := 7 0 6, B := , C := Untersuchen Sie die zugehörigen quadratischen Formen q A, q B und q C auf Definitheit. Berechnen Sie die Hessematri der Abbildung f : R 3 R: T A sowie die Jacobimatri der Abbildung g: R 3 R 3 : A. Aufgabe H 3. Jacobi-Matrizen Gegeben sind die Funktionen und f : R + R R R :,y,z) ln) + y yz ) s g: R R : s,t) + t te s. a) Berechnen Sie die Jacobi-Matrizen Jf, y, z) und Jgs, t). b) Berechnen Sie die Jacobi-Matri der Komposition Jg f), y, z). ).

21 Dr. A. App Dipl.-Math. B. Krinn. Gruppenübung zur Vorlesung Prof. Dr. M. Stroppel Höhere Mathematik II Sommer 008 Aufgabe P 3. Vektorfeld Gegeben ist das Vektorfeld: f : R R : ) ) e y y e y. + a) Bestimmen Sie die Jacobi-Matri, die Divergenz und die Rotation von f. b) Untersuchen Sie, ob f ein Potential besitzt. Bestimmen Sie gegebenenfalls ein Potential. Aufgabe P 33. Potential Gegeben sei das Vektorfeld f : R 3 R 3 : y z zαy y + z zy z ) y 4 z) α y y + z. Für welche Werte von α besitzt dieses Feld ein Potential? Berechnen Sie dieses. Aufgabe P 34. Identitäten für Differentialoperatoren Verifizieren Sie für stetig differenzierbare Funktionen f : R 3 R und g,h: R 3 R 3 folgende Identitäten: a) rotgradf) = 0 b) gradg h) = Jg) h + Jh) g c) rotfg) = f rotg g gradf Die obigen Identitäten gelten übrigens auch für ebene Vektorfelder, wenn man für Vektoren a,b R mit a = a,a ) und b = b,b ) definiert a b := a b a b.

22 . Gruppenübung Höhere Mathematik II Hausübungen Abgabe in der nächsten Gruppenübung): Aufgabe H 3. Eselsbrücken Das Spatprodukt dreier Vektoren a,b,c R 3 ist definiert als a b c). Aus der Beziehung a b c) = deta,b,c) ergibt sich: a b c) = c a b) = b a c). Es seien die beiden stetig differenzierbaren Vektorfelder f,g: R 3 R 3 gegeben. Unbedachte Verwendung der durch die Nabla-Schreibweise gegebenen Eselsbrücken könnte nun zu der irrigen Annahme führen divf g), g rotf und f rotg stimmten überein, da ja scheinbar f g), g f) und f g) übereinstimmen. Zeigen Sie, dass gilt: Insbesondere bedeutet dies im Allgemeinen: divf g) = g rotf) f rotg). g rotf divf g) f rotg. Geben Sie hierzu ein konkretes Gegenbeispiel an und widerlegen Sie somit den aus der Nabla- Schreibweise gewonnenen Trugschluss. Diskutieren Sie die Frage, warum die Merkregeln mit der Nabla-Schreibweise nicht zum Rechnen geeignet sind. Aufgabe H 33. Potentiale Untersuchen Sie, ob die folgenden Vektorfelder ein Potential besitzen und berechnen Sie dieses falls es eistiert). f : R 3 R 3 y+z : y y g: R 3 R 3 : y y z y. z z z y Aufgabe H 34. Jacobi-Matri und Richtungsableitung Es sei f : R n R eine stetig differenzierbare Funktion und tv g: R R n : t tv =. tv n mit v R n {0}. a) Berechnen Sie d d t fgt)) t=0. b) Vergleichen Sie das Ergebnis mit v f0), d. h. der Ableitung von f längs v im Punkt 0.

23 Dr. A. App Dipl.-Math. B. Krinn. Gruppenübung zur Vorlesung Prof. Dr. M. Stroppel Höhere Mathematik II Sommer 008 Aufgabe P 35. Potential, Kurvenintegral Gegeben ist das Vektorfeld mit α R. f : R + R + R R 3 :, y, z) a) Berechnen Sie rotf und div f. α z ), z y, lny) b) Bestimmen Sie, für welche Werte von α die Funktion f ein Potential besitzt und berechnen Sie dieses. c) Berechnen Sie jeweils für α = 0 und α = das Kurvenintegral von f längs K, wobei K parametrisiert wird durch ) C : [, ] K : t e t ),, sinπt). Aufgabe P 36. Parametrisierung, Kurvenintegrale Berechnen Sie das Kurvenintegral + y ) d s K über die unten skizzierten Wege K, K und K 3 vom Punkt 0, 0) zum Punkt, 0). K K 3 K Aufgabe P 37. Kurvenintegrale ) cos Skizzieren Sie die Kurve C : [0, π] R : t 3 t sin 3. Berechnen Sie das Kurvenintegral ) t v coshuv) f d mit f : R R: u,v). u coshuv) C

24 . Gruppenübung Höhere Mathematik II Aufgabe P 38. Kurvenintegrale a) Gegeben sei die Funktion f : R {, 0)} R :, ). ) + Weiter sei K die obere Hälfte eines Kreises um, 0) mit Radius. Berechnen Sie das Kurvenintegral K fs) ds. b) Gegeben sei das Vektorfeld g: R R + R : ) ) ln ). Weiter sei K der Graph der Funktion h: [, ] R: t e t, der von, e ) bis,e) durchlaufen wird. Berechnen Sie das Kurvenintegral K g) d. Aufgabe P 39. Kurvenintegrale Gegeben ist das folgende Vektorfeld: sinz) f α : R 3 R 3, y z αyz cosz) + y mit α R a) Für welches α R hat dieses Vektorfeld ein Potential? b) Bestimmen Sie in diesem Fall ein Potential. c) Gegeben ist die Kurve K mit der Parametrisierung Cϕ) = cosϕ, sin ϕ,ϕ) T mit 0 ϕ 3π. Berechnen Sie das Kurvenintegral entlang K für α = 0. d) Berechnen Sie das Kurvenintegral entlang K für α =. Aufgabe P 40. Zusammenhang zwischen Differentialoperatoren Zeigen Sie für zwei zweimal stetig differenzierbare Funktionen F,G: R 3 R die Beziehung div gradf gradg ) = 0. Hinweis: In Aufgabe H3 haben Sie divf g) bestimmt.

25 Dr. A. App Dipl.-Math. B. Krinn. Gruppenübung zur Vorlesung Prof. Dr. M. Stroppel Höhere Mathematik II Sommer 008 Aufgabe P 35. Potential, Kurvenintegral Gegeben ist das Vektorfeld mit α R. f : R + R + R R 3 :, y, z) a) Berechnen Sie rotf und div f. α z ), z y, lny) b) Bestimmen Sie, für welche Werte von α die Funktion f ein Potential besitzt und berechnen Sie dieses. c) Berechnen Sie jeweils für α = 0 und α = das Kurvenintegral von f längs K, wobei K parametrisiert wird durch ) C : [, ] K : t e t ),, sinπt). Aufgabe P 36. Parametrisierung, Kurvenintegrale Berechnen Sie das Kurvenintegral + y ) d s K über die unten skizzierten Wege K, K und K 3 vom Punkt 0, 0) zum Punkt, 0). K K 3 K Aufgabe P 37. Kurvenintegrale ) cos Skizzieren Sie die Kurve C : [0, π] R : t 3 t sin 3. Berechnen Sie das Kurvenintegral ) t v coshuv) f d mit f : R R: u,v). u coshuv) C

26 . Gruppenübung Höhere Mathematik II Aufgabe P 38. Kurvenintegrale a) Gegeben sei die Funktion f : R {, 0)} R :, ). ) + Weiter sei K die obere Hälfte eines Kreises um, 0) mit Radius. Berechnen Sie das Kurvenintegral K fs) ds. b) Gegeben sei das Vektorfeld g: R R + R : ) ) ln ). Weiter sei K der Graph der Funktion h: [, ] R: t e t, der von, e ) bis,e) durchlaufen wird. Berechnen Sie das Kurvenintegral K g) d. Aufgabe P 39. Kurvenintegrale Gegeben ist das folgende Vektorfeld: sinz) f α : R 3 R 3, y z αyz cosz) + y mit α R a) Für welches α R hat dieses Vektorfeld ein Potential? b) Bestimmen Sie in diesem Fall ein Potential. c) Gegeben ist die Kurve K mit der Parametrisierung Cϕ) = cosϕ, sin ϕ,ϕ) T mit 0 ϕ 3π. Berechnen Sie das Kurvenintegral entlang K für α = 0. d) Berechnen Sie das Kurvenintegral entlang K für α =. Aufgabe P 40. Zusammenhang zwischen Differentialoperatoren Zeigen Sie für zwei zweimal stetig differenzierbare Funktionen F,G: R 3 R die Beziehung div gradf gradg ) = 0. Hinweis: In Aufgabe H3 haben Sie divf g) bestimmt.