Sommersemester ( 1) k 3. k(k +1) A k + B. mit A,B R. als. k +1. S n :=

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1 D. Garmatter C. Apprich, B. Krinn J. Hörner, M. Werth Präsenzübungen 5. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 4 M. Künzer M. Stroppel Aufgabe P 49. Konvergenzkriterien für Reihen Entscheiden Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren. k 3 ( ) k (a) (b) (c) (d) (k +)! 7+6k k + k= k= k= (( ) k +)3 k+ 4 k k= Aufgabe P 5. ε-δ-kriterium Zeigen Sie mit Hilfe des ε-δ-kriteriums, dass die folgenden Funktionen f : R R an der angegebenen Stelle x stetig sind. (a) f(x) = 5x 3, x = (b) f(x) = x +x, x = Aufgabe P 5. Berechnen von Reihenwerten Berechnen Sie die Werte der folgenden Reihen. ( ) k 3 (a) (b) (c) k 4 k k(k +) k= k= k= (d) k= 3 k! Hinweis: Schreiben Sie k(k +) als A k + B k + mit A,B R. Aufgabe P 5. Leibniz-Kriterium ( ) k Gegeben ist die Reihe k. k= (a) Zeigen Sie, dass diese Reihe konvergiert. (b) Bestimmen Sie für n {,,3} jeweils die n-te Partialsumme S n := n k= ( ) k k. (c) Geben Sie ein n N an, für das sich S n vom Wert der Reihe um weniger als 6 unterscheidet. (d) Ist die Reihe absolut konvergent?

2 5. Gruppenübung Höhere Mathematik Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung): Aufgabe H 46. Konvergenz und Werte von Reihen Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und geben Sie ihren Wert an, falls er existiert. (a) k= 7 k 3 k+ (b) k= 3 k 7 k/ (k +3) (c) Aufgabe H 47. Parameterabhängige Reihe Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten der Reihe ( ) j a j j! a j j! j= in Abhängigkeit von dem Parameter a R {}. k=4 3 (3k +)(3k +7) Aufgabe H 48. Stetigkeit Gegeben sind die folgenden Funktionen f j : D j R, j {,}: x+ x f (x) = x, x x 3x+, f (x) = x, x = 3 6x +x 6, x, x = (a) Bestimmen Sie jeweils den maximalen Definitionsbereich D j R, für den die Abbildungsvorschrift sinnvoll ist. Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen f und f. (b) Finden Sie zu jedem < ε < ein δ > so, dass f (U δ () D ) U ε (f ()). (c) Existiert zu jedem ε > ein δ > so, dass f (U δ () D ) U ε (f ()) gilt? (d) Ist die Funktion f stetig an der Stelle x =? Ist f stetig an der Stelle x =? Aufgabe H 49. Sierpiński-Dreieck Gegeben sei ein gleichseitiges weißes Dreieck der Seitenlänge (Schritt ). Die Verbindungsstrecken der Seitenmittelpunkte bilden ein kleineres Dreieck, das schwarz eingefärbt wird (Schritt ). Wiederholt man diesen Vorgang für alle nun vorhandenen weißen Dreiecke, so erhält man die unten abgebildete Folge geometrischer Figuren. (a) Bestimmen Sie für n N die Anzahl der im n-ten Schritt neu entstehenden schwarzen Dreiecke sowie die Seitenlänge und den Flächeninhalt eines solchen Dreiecks. (b) GebenSiedieGesamtlänge L n allerseitenallernach n Schrittenvorhandenenschwarzen Dreiecke an und berechnen Sie den Grenzwert von L n für n. (c) GebenSiedieGesamtfläche A n allernach n SchrittenvorhandenenschwarzenDreiecke an und berechnen Sie den Grenzwert von A n für n. Schritt Schritt Schritt Schritt 3

3 D. Garmatter C. Apprich, B. Krinn J. Hörner, M. Werth Präsenzübungen 6. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 4 M. Künzer M. Stroppel Aufgabe P 53. Funktionsgrenzwerte Berechnen Sie folgende Grenzwerte. 3x 4 8x +5 (a) lim x 5x 4 8x 3 +3 (d) lim x 4x+3 x+3 x 3x 4 8x +5 (b) lim x + 5x 4 8x 3 +3 (e) lim x + 3x 4 8x +5 (c) lim x 5x 4 8x x+3 x+3 x (f) lim x 4x+3 x+3 x sin(x) (g) lim x + ln(x) sin(x) (h) lim x sin(x) Aufgabe P 54. Einseitige Funktionsgrenzwerte Gegeben sei die Abbildung (a) Ist f stetig? f: R {,,4} R: x x (x )(x 4) x(x ) x 4. (b) Bestimmen Sie jeweils die links- und rechtsseitigen Grenzwerte an den Lücken des Definitionsbereiches. (c) An welchen Stellen ist f stetig ergänzbar? (d) Skizzieren Sie den Graphen von f. Aufgabe P 55. Komplexe Wurzeln GegebenistdieFunktion w,die z C aufdiejenigekomplexequadratwurzelvon z abbildet, deren Argument kleiner als π ist. (a) Berechnen Sie w an den Stellen z {,,i,, i}. (b) Suchen Sie in der komplexen Zahlenebene zu jedem δ > ein z C mit z < δ und w(z) w() > (Skizze!). (c) Ist w stetig? Hinweis: Eine interaktive Darstellung des komplexen Wurzelziehens finden Sie unter

4 6. Gruppenübung Höhere Mathematik Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung): Aufgabe H 5. Einseitige Funktionsgrenzwerte Gegeben sei die Abbildung (a) Ist f stetig? f: R {,,5} R: x x4 5x 3 3x +7x (x 3 +3x 4) x 5 (b) Zerlegen Sie Zähler und Nenner soweit wie möglich in Faktoren. (c) Bestimmen Sie jeweils die links- und rechtsseitigen Grenzwerte an den Lücken des Definitionsbereiches. An welchen Stellen ist f stetig ergänzbar? (d) Skizzieren Sie den Graphen von f. Aufgabe H 5. Funktionsgrenzwerte Berechnen Sie folgende Grenzwerte (ohne Verwendung der Regel von l Hospital, aber unter Verwendung der Stetigkeit der Wurzelfunktion).. (a) lim x 3 5x 4 3x 3 3x +x 3x 4 +4x 3 +5x 5x+5 x (b) lim x 4x4 +3x 4x 4 +5x (cos(x)) 4 3sin(x)+cos(x) (c) lim x + x 4 +3 x + 7x3 +9 3x 3 +x (d) lim x + sin(x)+ln(ln(x)) Aufgabe H 5. Stetigkeit und Folgen Gegeben sei die Funktion { ( sin π ) f: R R: x x für x für x =. Ihr Computerplot ist rechts dargestellt. (a) Berechnen Sie für die Folge (a n ) n N mit a n = die Grenzwerte +4n lim a n und lim f(a n ). n n (b) Finden Sie eine Folge (b n ) n N mit lim b n = sowie lim f(b n ) =. n n (c) Finden Sie eine Folge (c n ) n N mit lim c n = so, dass (f(c n )) n N divergiert. n (d) Ist f stetig im Punkt x =? Entscheiden Sie dies unter Verwendung von..3.

5 D. Garmatter C. Apprich, B. Krinn J. Hörner, M. Werth Präsenzübungen 7. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 4 M. Künzer M. Stroppel Aufgabe P 56. Konvergenzradius Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen: (a) k 5 5 k x k (3z) k (b) k! k= k= ( (c) ) +( ) k k x k (d) k k x k k= Aufgabe P 57. Nullstellen Sei ein Polynom p: R R: x a +a x+...+a n x n mit reellen Koeffizienten und a n gegeben. (a) Begründen Sie: Ist n ungerade, so hat p mindestens eine reelle Nullstelle. (b) Begründen Sie: Ist n gerade, a n > und a <, so hat p mindestens zwei verschiedene reelle Nullstellen. (c) WievielereelleNullstellenhatdasPolynom p(x) = x 4 +x 3 6x 5x+5?Untersuchen Sie dazu die Vorzeichenwechsel von p. Geben Sie ein Intervall an, das mindestens eine Nullstelle enthält. k= Aufgabe P 58. Intervallhalbierungsmethode Bestimmen Sie näherungsweise eine Lösung von 8x 3 9x x = 3. Bestimmen Sie dazu mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode eine Nullstelle der Funktion f: R R: x 8x 3 9x x+3 im Intervall [,]. Führen Sie das Verfahren solange durch, bis eine Genauigkeit von,5 gewährleistet ist.

6 7. Gruppenübung Höhere Mathematik Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung): Aufgabe H 53. Gleichheitsproblem (a) Besitzt die Gleichung sin(x)+x = x mehrere reelle Lösungen? (b) Seien die folgenden Funktionen gegeben: f : (,+ ) R : x ln(x) und g : R R : x 4 x+cos(x)+. Zeigen Sie, dass die Gleichung f(x) = g(x) im Intervall (, + ) mindestens drei Lösungen hat. Sie dürfen dabei benutzen, dass ln auf R + stetig ist. Aufgabe H 54. Umkehrfunktionen Gegeben sind die Mengen M = R {,, } und N = R {} und die Funktionen f: M N: x x x, g: N M: x x + 4x +. (a) Berechnen Sie f(g(x)). Ist g die Umkehrfunktion von f? (b) GebenSieTeilmengen Ñ N und M M soan,dassdiejeweiligeneinschränkungen von f und g Umkehrfunktionen voneinander sind. (c) Bestimmen Sie lim g(x). x + (d) Skizzieren Sie die Graphen von f und g und markieren Sie die Graphen der Einschränkungen aus (b). Aufgabe H 55. Potenzreihen Geben Sie für die folgenden Potenzreihen die Koeffizienten a j und den Entwicklungspunkt z für die Darstellung in der Form von Definition.4. an. Bestimmen Sie den Konvergenzradius. Geben Sie an, für welche z R die Reihen konvergieren: (a) (c) n= n= ( nz) n( z n ) n+ (b) (n)! (z +3 i) n (d) n! Aufgabe H 56. Potenzreihen? Gegeben sind die Reihen f(z) = k= n! (n ) zn n= n=3 ( 5 (z 6iz 9) (z z +) k und g(z) = k k= ) n (z z ) k. k (a) Bestimmen Sie die Reihenwerte f(),f(),g(),g(). (b) Bestätigen Sie mit Hilfe der Dreiecksungleichung, dass für zwei Punkte a und b in einem Kreis auch deren Mittelpunkt (a + b)/ im selben Kreis liegt: a,b,z C, r R + : a U r (z ) b U r (z ) = a+b U r (z ). (c) Formen Sie f(z) in eine Potenzreihe um. Begründen Sie mit Hilfe der ersten beiden Aufgabenteile, warum f() konvergiert, ohne die Reihe selbst zu untersuchen. (d) Überprüfen Sie, dass g() nicht konvergiert. Begründen Sie damit und mit den ersten beiden Aufgabenteilen, dass sich g(z) nicht in eine Potenzreihe umformen lässt.

7 D. Garmatter C. Apprich, B. Krinn J. Hörner, M. Werth Präsenzübungen 8. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 4 M. Künzer M. Stroppel Aufgabe P 59. Ableitungsregeln (a) Bestimmen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen: f: R R: x ln ( +x + x), g: R R: x cos(x) e 3x (b) Gegeben seien zwei differenzierbare Funktionen f,g: R R mit sowie f() =, f () =, f() = 4, f () =, g() =, g () = 5, h : R R: x (g f)(x) und h : R R: x Berechnen Sie h () und h (). +(f(x)) +(g(x)). Aufgabe P 6. Frequenzanalyse Schreiben Sie die Funktion f: R R: x (cos(x)) 3 mit Hilfe der Formel von Euler und de Moivre als Linearkombination von Funktionen der Form sin(ax) und Funktionen der Form cos(bx) mit a,b N. Aufgabe P 6. Differenzierbarkeit (a) Sei Ist f differenzierbar? { x 3 +5x 7x+ für < x 3 f: R R: x cos(πx) sonst (b) Konstruieren Sie eine Funktion h : R R, die an der Stelle x = differenzierbar, aber nicht zweimal differenzierbar ist.. Aufgabe P 6. Binomische Reihe Bestimmen Sie mit Hilfe der binomischen Reihe die Potenzreihendarstellung der Funktion f : (,) R : x x.

8 8. Gruppenübung Höhere Mathematik Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung): Aufgabe H 57. Ableitungen Gegeben seien die Funktionen f: R + R: x xcosh(x), g: R + R: x (x) x/3 und h: R { } R: x ln x. (a) Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen. (b) Bestimmen Sie jeweils die erste und die zweite Ableitung. Geben Sie den Definitionsbereich dieser Ableitungsfunktionen an. (c) Leiten Sie durch vollständige Induktion eine allgemeine Formel für h (n) (x) her. Aufgabe H 58. Potenzreihen Sei f: [,+ ) R: x 4 +x. Geben Sie mit Hilfe von.4.6 eine Potenzreihe für f auf (,) an. Geben Sie die Partialsummen S, S, S und S 3 der Potenzreihe an. Zeichnen Sie die Graphen von f, S, S und S 3 auf [,] in ein Schaubild. Aufgabe H 59. Differenzierbarkeit (a) Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen { x, für x f : R R : x x, für x < g : R R : x x x + x. (b) Untersuchen Sie mit Hilfe des Differenzenquotienten, ob f an der Stelle x = und g an den Stellen x = und x = differenzierbar ist. (c) Finden Sie ein Polynom p so, dass die Funktion { ln(+x h: R R: x ) für x p(x) für x > zweimal differenzierbar, aber nicht dreimal differenzierbar ist. Aufgabe H6. Formel von Euler und de Moivre (a) Schreiben Sie f(x) = (sin(x)) (cos(x)) 3 als Linearkombination von Funktionen der Form sin(mx) und cos(nx), mit m, n N. (b) SchreibenSie g(x) = sin(4x) alslinearkombinationvontermenderform (sin(x)) j (cos(x)) k, mit j, k N. (c) Leiten Sie die folgenden Formeln her: und cos(x)cos(y) = cos(x+y) + cos(x y) und ( x+y ) ( x y ) cos(x)+cos(y) = cos cos, für alle x,y R.

9 D. Garmatter C. Apprich, B. Krinn J. Hörner, M. Werth Präsenzübungen 9. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 4 M. Künzer M. Stroppel Aufgabe P 63. Funktionsgrenzwerte Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte mit der Regel von l Hospital. x (a) lim x + e x (b) lim x + x ln(x) (c) lim x x ln(x) Aufgabe P 64. Umkehrfunktion Der Cotangens ist definiert durch cot: (,π) R: x cot(x) = cos(x) sin(x). Begründen Sie anhand des Graphen, dass die Funktion cot bijektiv ist. Die Umkehrfunktion von cot ist der Arcuscotangens arccot: R (,π). Begründen Sie, dass Satz.3. anwendbar ist, und berechnen Sie damit die Ableitung von arccot. Aufgabe P 65. Mittelwertsatz (a) Gegeben ist die Funktion f : R {} R: x x. Bestimmen Sie für die Funktion f eine Zwischenstelle ξ (, 3) so, dass f (ξ) = f(3) f() ist. 3 (b) Gegeben ist die Funktion g: R + R: x 3 x. Begründen Sie mit dem Mittelwertsatz, dass zu jedem x R + ein ξ(x) (x,x + ) existiert mit g (ξ(x)) = g(x + ) g(x). Bestimmen Sie damit lim ( 3 x + 3 x). x + Aufgabe P 66. Grenzen der Regel von l Hospital Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte. x sin ( ) x e (x) + x (a) lim (b) lim x tan(x) x + e (x ) Welche Probleme treten bei einem Versuch der Anwendung der Regel von l Hospital auf?

10 9. Gruppenübung Höhere Mathematik Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung): Aufgabe H 6. Gegeben ist die Funktion tanh: R R: x sinh(x) cosh(x). (a) Bestimmen Sie die Ableitung von tanh. Untersuchen Sie tanh auf Nullstellen, Extremalstellen und Monotonie. Bestimmen Sie lim tanh(x) und lim tanh(x). Skizzieren Sie den Graphen von tanh und geben Sie den Wertebereich x + x an. (b) Es ist artanh definiert als die Umkehrfunktion von tanh. Skizzieren Sie den Graphen von artanh und geben Sie den Definitionsbereich und den Wertebereich an. Begründen Sie, dass Satz.3. anwendbar ist, und berechnen Sie damit die Ableitung von artanh. (c) Beweisen Sie: artanh(x) = ( ) + x ln. x Hinweis: Satz.4.6 aus der Vorlesung kann dabei helfen. Aufgabe H 6. Monotonie und Mittelwertsatz (a) Zeigen Sie, dass für x R + {} gilt: x < ln(x) < x. Skizzieren Sie die Graphen dieser drei Funktionen in ein Koordinatensystem. (b) Zeigen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes, dass für x,y R + gilt: cos ( e x ) cos ( e y) x y. Begründen Sie außerdem, dass Gleichheit nur für x = y gilt. Aufgabe H 63. Funktionsgrenzwerte und Regel von l Hospital Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte. (sin(x)) (a) lim x sin(x ) x e x (b) lim x + (e x ) ( ) (c) lim x x ln(x + ) ( sin(x) (d) lim ) x x 3 x

11 D. Garmatter C. Apprich, B. Krinn J. Hörner, M. Werth Präsenzübungen. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 4 M. Künzer M. Stroppel Aufgabe P 67. Extrema Untersuchen Sie, ob folgende Funktionen f : R R: x f(x) an der Stelle x = ein lokales Extremum haben. (a) f(x) = x (b) f(x) = x 6 x 5 (c) f(x) = x (x )(x + ) Aufgabe P 68. Ein nützlicher Integrationstrick Zeigen Sie durch partielle Integration, dass für jede differenzierbare Funktion f die Formel [ ] f(x) dx = xf(x) xf (x) dx gilt. Berechnen Sie: (a) ln(x) dx (b) d dx ln( + x ) (c) arctan(x) dx Aufgabe P 69. Bestimmte Integrale Berechnen Sie: (a) 4 x dx (b) 4 x dx (c) π x cos(x) dx (d) e ln( x ) dx (e) / ( x ) / dx Aufgabe P 7. Taylorentwicklung Gegeben ist die Funktion f : R + R: x x. (a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom T 5 (f,x, ) der Stufe 5 in x = für f. (b) Schätzen Sie den Fehler ( ) ( 3 f T f, 3 ), mit Hilfe des Restglieds nach oben ab und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem tatsächlichen Fehler. (c) Skizzieren Sie die Graphen von f(x) und T (f,x, ) in ein Koordinatensystem.

12 . Gruppenübung Höhere Mathematik Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung): Aufgabe H 64. Extremwerte Das graue Dreieck wird durch die y-achse sowie durch die Tangente und Normale an den Graphen der Funktion f : R R: x x 4 im Punkt P begrenzt. Bestimmen Sie y und y in Abhängigkeit von der x- Koordinate von P. Für welches x min > wird der Flächeninhalt F des Dreiecks am kleinsten, und wie groß ist der minimale Wert F min? y y x P Aufgabe H 65. Taylorpolynom Sei f : R R : x cosh(x). (a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom T 4 (f,x,x ). (b) Skizzieren Sie die Graphen von f(x) und T 4 (f,x, ) in ein Koordinatensystem. (c) Berechnen Sie T 4 (f,, ). Verwenden Sie das Restglied R 4 (f,x, ), um eine Schranke für den Fehler f() T 4 (f,, ) zu erhalten. (d) Bestimmen Sie die Potenzreihe von f unter Verwendung der Exponentialreihe. Aufgabe H 66. Partielle Integration (a) Leiten Sie durch partielle Integration eine Stammfunktion für f : (, + ) R : x x 3 ln(x) her. (b) Leiten Sie durch partielle Integration eine Stammfunktion für f : R R : x x 3 arctan(x) (c) Berechnen Sie die Integrale her. (ln(x)) 3 dx und π x (cos(x)) dx. Aufgabe H 67. Integrationsformel Beweisen Sie, dass für jede differenzierbare Funktion f die Formel f(x)f (x) [ ] dx = + (f(x)) + (f(x)) gilt, und berechnen Sie hiermit die Integrale π/ sin(x) dx und + (cos(x)) (x + x) e x dx. + x ex

13 D. Garmatter C. Apprich, B. Krinn J. Hörner, M. Werth Präsenzübungen. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 4 M. Künzer M. Stroppel Aufgabe P 7. Partialbruchzerlegung Geben Sie den Ansatz für eine Partialbruchzerlegung der folgenden Terme an: (a) (d) x 6x+5 (x +) 3 (x 5) (b) (e) (x )(x 5) 3 x 4 (x +)(x 5) (c) (f) (x +)(x 5) x 4 + Berechnen Sie die folgenden Integrale. dx und x 6x+5 (x +)(x 5) dx Aufgabe P 7. Integration durch Substitution Berechnen Sie die folgenden Integrale. (a) 5 (3x 4) dx (b) xe x dx (c) tan(x) d x (d) +x dx Hinweis: Substitution x = sinh(t) Aufgabe P 73. Noch ein nützlicher Integrationstrick: Universalsubstitution Bei der Berechnung von Integralen, in denen trigonometrische Funktionen im Nenner auftreten, hilft oft die sogenannte Universalsubstitution u(x) = tan( x ) weiter. (a) Zeigen Sie: Für x R {π +kπ k Z} gilt: u(x) +(u(x)) = sin(x), (u(x)) +(u(x)) = cos(x) und du dx = +(u(x)) (b) Berechnen Sie die folgenden Integrale. dx und sin(x) cos(x) dx

14 . Gruppenübung Höhere Mathematik Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung): Aufgabe H 68. Integration durch Substitution Berechnen Sie die folgenden Integrale. (arctan(x)) 3 (a) dx +x (b) (c) (d) ln() e (x ex) dx sin(ln(x))dx x x dx Aufgabe H 69. Partialbruchzerlegung Berechnen Sie die folgenden Integrale. x (a) x 4 +8x +5 dx x 4 +x 3 +8x +4x+3 (b) dx x 4 +5x 3 +9x +7x+ (c) (x +x+5) dx Aufgabe H 7. Universalsubstitution Berechnen Sie die folgenden Integrale. (a) cos(x)+sin(x) dx (b) cos(x)(+sin(x)) dx Aufgabe H7. Formel von Euler und de Moivre (a) Berechnen Sie das folgende Integral. (sin(x)) (cos(x)) 3 dx Hinweis: vergleiche Aufgabe H 6. (b) Für m, n N sei f: R R: x (sin(x)) 3 (cos(x)) 4, s m : R R: x sin(mx), c n : R R: x cos(nx). Schreiben Sie f als Linearkombination der Funktionen c,s,c,s,c,... (c) Berechnen Sie das folgende Integral. (sin(x)) 3 (cos(x)) 4 dx

15 D. Garmatter C. Apprich, B. Krinn J. Hörner, M. Werth. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 4 M. Künzer M. Stroppel Präsenzübungen Aufgabe P 74. Uneigentliche Integrale Bestimmen Sie, falls möglich, die folgenden uneigentlichen Integrale: (a) dx (b) xe x dx (c) +x x dx Aufgabe P 75. Integrale (a) Sei b R + und g: [ b,b] R eine integrierbare Funktion. Es sei g ungerade, d.h. für alle x [ b,b] gelte g( x) = g(x). Berechnen Sie Sei nun die Funktion f: R R: x x +x 4 gegeben. (b) Skizzieren Sie den Graphen von f. (c) Bestimmen Sie f(x)dx. Entscheiden Sie, ob + b b f(x)dx existiert. g(x)dx. Aufgabe P 76. Ober- und Untersummen Für n N sei durch P = {x,x,...,x n } := eine Partition des Intervalls [, ] gegeben. { n, n,..., n } n (a) Bilden Sie zu dieser Partition die Ober- und Untersumme der Funktion f(x) = x. (b) Zeigen Sie, dass diese Summen für n gegen denselben Grenzwert konvergieren. (c) Wie lässt sich dieser Grenzwert als Flächeninhalt und als Integral interpretieren? Aufgabe P 77. Differentiation und Integration von Potenzreihen (a) Zeigen Sie, dass die Potenzreihen f(x) = x n+ und g(x) = n= nx n denselben Konvergenzradius besitzen, und stellen Sie f (x) als Potenzreihe dar. (b) Stellen Sie g(x) in geschlossener Form (d. h. ohne unendliche Summe) dar. Hinweis: Schreiben Sie n = (n+) und verwenden Sie Beispiel (c) Berechnen Sie den Reihenwert n= n n. n=

16 . Gruppenübung Höhere Mathematik Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung): Aufgabe H 7. Uneigentliche Integrale Untersuchen Sie, ob die folgenden uneigentlichen Integrale konvergieren, und berechnen Sie gegebenenfalls deren Werte. (a) π π sin(x) dx (b) 3 x+ dx (c) Aufgabe H 73. Uneigentliche Integrale Untersuchen Sie die folgenden Integrale auf Konvergenz: + sin(x) cos(x) (x ) (a) dx (b) dx (c) e x x 4 +x Aufgabe H 74. Ober- und Untersummen π sin(x) cos(x) + x + Gegeben seien f : [,] R : x sin(πx) und I := (a) Skizzieren Sie das Schaubild von f. dx (d) + 3t +t 6 dt x x8 + dx (d) x x dx (x +) 3 f(x) dx. (b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Ober- und Untersummen von f zu den Partitionen P := {, 3, 3,} und Q := {, 6, 5 6,} jeweils eine obere und eine untere Schranke für I. (c) Finden Sie eine Verfeinerung R von Q mit S(f,R) S(f,R),3. Hinweis: Zur Auswertung von f können elektronische Hilfsmittel benutzt werden. Aufgabe H 75. Differentiation und Integration von Potenzreihen (a) Berechnen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe u(x) = n= x n n n. BestimmenSiedurchgliedweisesDifferenziereneinePotenzreihendarstellungvon u (x). (b) Stellen Sie u (x) und u(x) auf (, ) in geschlossener Form dar. (c) Stellen Sie v(x) = x sin(s )ds als Potenzreihe dar. Trainingstipp: Scheinklausur HM II vom : scheinklausuren/6 6 7 SoSe6 HM.pdf

17 D. Garmatter C. Apprich, B. Krinn J. Hörner, M. Werth Präsenzübungen 3. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 4 M. Künzer M. Stroppel Aufgabe P 78. Ableitungen Bestimmen Sie für die Funktion f : R 4 R: x f(x) = f(x, x, x 3, x 4 ) = sin ( x + x + x ) 4 x 4 die partiellen Ableitungen ( ) (a) f x3 (x), (b) f(x), (c) D (,,,) f(x), (d) D (,,,) D (,,,) f (x). x4 x Aufgabe P 79. Es sei gegeben. Schnitte, Niveaumengen f : R {(, )} R: (x, y) x y x + y (a) Bestimmen Sie die achsenparallelen Schnitte durch den Graphen von f für x =, x = und y =, sowie die Nullstellenmenge von f und die Niveaumengen zu den Niveaus t {,,,, }. Skizzieren Sie dies in einem geeigneten Koordinatensystem. (b) Lässt sich f in (, ) stetig fortsetzen? Ist f beschränkt? Aufgabe P 8. Topologie Gegeben sind die Teilmengen von R M := {, }, M := (, ), M 3 := M M, M 4 := M M sowie die Teilmengen von R M 5 := M M, M 6 := M M 3, M 7 := M M. Bestimmen Sie für alle Mengen die inneren Punkte und die Randpunkte. Geben Sie an, ob die Mengen offen, abgeschlossen, beschränkt beziehungsweise kompakt sind.

18 3. Gruppenübung Höhere Mathematik Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung): Aufgabe H 76. Ableitungen Bestimmen Sie den Gradienten f und die Richtungsableitung v f(p )in den folgenden Fällen: (a) f(x, y) = y x, P = (3, 4), v = (, ) (b) f(x, y, z) = cos(y ) + ze xy, P = (,, π), v = 6 (,, ) (c) f(x, y, z) = ln(xyze x ), P = (,, ), v = 3 (,, ). Bestimmen Sie außerdem in (b) alle zweiten partiellen Ableitungen. Aufgabe H 77. Funktionen in Veränderlichen Finden Sie Funktionen f j : R R für j {,, 3, 4} mit folgenden Eigenschaften: (a) f (, ) =, f (, 5) = 3 und f (, ) = 7 (b) Die Niveaumenge von f zum Niveau ist { (x, y) R x + y = }, die Niveaumenge von f zum Niveau 4 ist { (x, y) R x + y = } und f ist stetig. (c) f 3 ist an jeder Stelle (x, y ) R {(, )} stetig und an der Stelle (, ) unstetig. (d) Die Ableitung von f 4 an der Stelle (, ) in Richtung (, ) ist 4 und die Ableitung von f 4 an der Stelle (, ) in Richtung (, ) ist 5. Aufgabe H 78. Nullstellenmenge skizzieren (a) Fertigen Sie jeweils eine Skizze der Nullstellenmenge und Vorzeichenverteilung von für α {,,, 4} an. f α : R R: (x, y) x(x + y x y + )(y αx ) (b) Begründen Sie mit Hilfe der Skizze und Satz 4..8, dass f Extremstellen hat. Aufgabe H 79. Stetigkeit und Folgen Gegeben sei die Funktion f : R R: (x, y) xy 3 x + y 6 für (x, y) (, ) für (x, y) = (, ) (a) Skizzieren Sie die Niveaumengen von f zu den Niveaus und. mindestens 3 lokale (b) Berechnen Sie für die Folge (a n ) n N mit a n = (, n n) die Grenzwerte lim a 3 n n und lim n). n (c) Finden Sie eine Folge (b n ) n N mit lim b n = (, ) sowie lim f(b n ) =. n n (d) Finden Sie eine Folge (c n ) n N mit lim c n = (, ) so, dass (f(c n )) n N divergiert. n (e) Ist f stetig im Punkt (, )?.

19 D. Garmatter C. Apprich, B. Krinn J. Hörner, M. Werth Präsenzübungen 4. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 4 M. Künzer M. Stroppel Aufgabe P 8. Lokale Extrema Bestimmen Sie alle kritischen Stellen von f und von g. Bestimmen Sie deren Typ: welche sind lokale Maximalstellen, welche sind lokale Minimalstellen, welche sind Sattelpunkte? (a) f: R R: (x,y) 3 x3 x +y 3 y (b) g: R 3 R: (x,y,z) x(x )+y(y )+3z(z ). Aufgabe P 8. Lokale Extrema und Nullstellenmenge Gegeben ist die Funktion f: R R: (x,y) x 3 y. (a) Bestimmen und skizzieren Sie die Nullstellenmenge N = {(x,y) R f(x,y) = } und die Vorzeichenverteilung von f. (b) Bestimmen Sie gradf und Hf. Bestimmen Sie det(hf(p)), für alle P N. (c) Bestimmen Sie nun alle kritischen Stellen von f und geben Sie deren Typ an. Aufgabe P 83. Taylorpolynom Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen die Taylorpolynome der Stufe zwei. (a) f: R R: (x,y) e x y um den Entwicklungspunkt (,) ( (b) g: R R: (x,y) xy ) x sin um den Entwicklungspunkt (, π) Aufgabe P 84. Taylorpolynom Bestimmen Sie für die Funktion f: {(x,y) R x+y > } R: (x,y) f(x,y) = ln x+y sowohl die lineare Taylor-Approximation T (f,(x,y),(,)) als auch die quadratische Taylor- Approximation T (f,(x,y),(,)) um den Entwicklungspunkt (,). Berechnen Sie damit jeweils näherungsweise f(,3,,95) und vergleichen Sie die beiden Näherungen mit dem tatsächlichen Wert. Hinweis: Zur Bestimmung des tatsächlichen Wertes sind elektronische Hilfsmittel erlaubt. 3

20 4. Gruppenübung Höhere Mathematik Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung): Aufgabe H 8. Taylorpolynom In der Relativitätstheorie wird die Energie E eines Teilchens der Masse m in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit beschrieben durch E: R 3 R: v E(v) = mc, v v c wobei v = (v,v,v 3 ) dengeschwindigkeitsvektorund c dielichtgeschwindigkeitbezeichnet. Berechnen Sie das Taylorpolynom der Funktion E der Stufe (a) um den Entwicklungspunkt v = (,,). (b) um den Entwicklungspunkt v = ( c,,). Aufgabe H 8. Lokale Extrema Bestimmen Sie jeweils alle kritischen Stellen von f. Bestimmen Sie deren Typ: welche sind lokale Maximalstellen, welche sind lokale Minimalstellen, welche sind Sattelpunkte? (a) f : R R : (x,y) (x y )(x 4). (b) f : R R : (x,y) exp(x 3 +3y 6xy). (c) f : R 3 R : (x,y,z) x +y +z +xy +yz. Aufgabe H 8. Lokale Extrema und Nullstellenmenge Gegeben ist die Funktion f: R R: (x,y) x 4 +x y x +y 4 y +. (a) Bestimmen und skizzieren Sie die Nullstellenmenge N und die Vorzeichenverteilung von f. (b) Bestimmen Sie gradf und Hf. Für welche P N ist det(hf(p)) =? (c) Bestimmen Sie nun alle kritischen Stellen von f und geben Sie deren Typ an. Aufgabe H 83. Taylorpolynom (a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom der Stufe zur Funktion f: R {(x,y) R x+y = } R: (x,y) x y x+y um den Entwicklungspunkt (, ). (b) Bestimmen Sie das Taylorpolynom der Stufe 3 zur Funktion g: R R: (x,y) 3 x3 x +y 3 y um den Entwicklungspunkt (, ). Begründen Sie, dass das zugehörige Restglied verschwindet. Hinweis: Benutzen Sie

21 D. Garmatter C. Apprich, B. Krinn J. Hörner, M. Werth 5. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 4 M. Künzer M. Stroppel Präsenzübungen Aufgabe P 85. Minimierung mit Nebenbedingung Bestimmen Sie mit der Methode von Lagrange das Minimum der Funktion f : R 3 R: (x,y,z) f(x,y,z) = x + y + z unter der Nebenbedingung ax + by + cz = d, a,b,c,d R +. Die Nebenbedingung definiert eine Ebene E. Bestimmen Sie den Punkt auf E mit minimalem Abstand vom Ursprung. Aufgabe P 86. Extrema auf kompakter Menge Bestimmen Sie die globalen Extrema der Funktion f(x,y) = 3x y auf dem grauen Bereich g = y g = D = {(x,y) R g (x,y) g (x,y) }, wobei g (x,y) = y x und g (x,y) = + x y. x Aufgabe P 87. Tangente und Tangentialebene Gegeben sei die Funktion f : R R: (x,x ) x 3 + x 3 + 3x x. (a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene an den Graphen Γ(f) = {(x,x,f(x,x )) (x,x ) R } von f im Punkt P = (,,f(, )). (b) Geben Sie die Tangente im Punkt (, ) an die Niveaulinie von f zum Niveau 8 an. (c) In welche Richtung wird ein Ball auf Γ(f) rollen, wenn man ihn in P loslässt? Aufgabe P 88. Jacobi-Matrizen (a) Bestimmen Sie die Jacobi-Matrix der Funktion ( ) ( ) x x f : R R : + y. y xy (b) Sei D R n, n N. Beweisen Sie für alle a D und alle total differenzierbaren Funktionen f : D R, g,h : D R n die verallgemeinerten Produktregeln J(fg) (a) = g(a) Jf (a) + f(a) Jg (a) J(g h) (a) = (h(a)) Jg (a) + (g(a)) Jh (a). und

22 5. Gruppenübung Höhere Mathematik Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung): Aufgabe H 84. Extrema auch mit Nebenbedingung Ein Tetraeder hat die Ecken A = (,, ), B = (,, ), C = (, 3, ), D = (,, 5). (a) Bestimmen Sie die Funktion S : R 3 R: P S(P), die die Summe der Quadrate der Entfernungen eines Punktes P von den Ecken des Tetraeders angibt. (b) Bestimmen Sie den Punkt R, für den S minimal ist. (c) Bestimmen Sie den Punkt K auf der Kugel mit der Gleichung x + y + z =, für den S minimal ist. (d) Welcher der Werte S(R) oder S(K) ist der größere? Aufgabe H 85. Abstand zweier Mengen Die Gerade G und die Ellipse E sind gegeben durch G = {(x,y) R x + 3y = 6} und E = {(x,y) R x + 9y = 9}. Skizzieren Sie G und E. Bestimmen Sie mit Hilfe von Lagrange-Multiplikatoren den Abstand von G und E. Hinweis: Es ist der Abstand zwischen zwei Punkten P = (x,y ) und P = (x,y ) zu minimieren, von denen der eine die Geradengleichung und der andere die Ellipsengleichung erfüllt die zu minimierende Funktion hat also vier Variablen. Da die Wurzelfunktion streng monoton wächst, kann statt des Abstands auch das Quadrat des Abstands minimiert werden. Aufgabe H 86. Jacobi Matrizen (a) Bestimmen Sie Jf (x,y,z) und Jf (,, 3) für die Funktion x ( ) f : R 3 R : y xy sin(πz). sin(πxyz) z (b) Bestimmen Sie total differenzierbare Funktionen g,h : R R so, dass ( ) ( ) 3x y Jg (, ) =, Jh (x,y) = 3 xy x, für alle (x,y) R, und h(, ) = (, ). Geben Sie J(g h) (, ) an. Aufgabe H 87. Tangente und Tangentialebene Gegeben seien die Funktion f : R 3 R : (x,y,z) x +y z und die Ebene E : z =. (a) Um was für ein geometrisches Objekt handelt es sich bei der Niveaumenge N = {(x,y,z) R 3 f(x,y,z) = }? (b) Berechnen Sie die Tangentialebenen an N in den Punkten (,, ) und (,, ). (c) Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der Tangente an E N im Punkt (,, ).

23 D. Garmatter C. Apprich, B. Krinn J. Hörner, M. Werth 6. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 4 M. Künzer M. Stroppel Präsenzübungen Aufgabe P 89. Kurven Geben Sie jeweils eine Parametrisierung der abgebildeten Kurven an. Strecke von ( 4,3) nach (4,4) x 4 Graph von f: R R: x x zwischen (,) und (,4) x x 4 4 x Aufgabe P 9. Kurvenintegrale Gegeben seien die Kurve K mit der Parametrisierung C: [,π] R : t (cos(t),sin(t)) und die Vektorfelder v : R R : (x,x ) (x,x ) sowie v : R R : (x,x ) ( x,x ). Fertigen Sie eine Skizze der beiden Felder und der Kurve an. Berechnen Sie v (x) dx und v (x) dx. Begründen Sie die Ergebnisse auch anhand der Skizze. K Aufgabe P 9. Potential Welche der folgenden Vektorfelder besitzen ein Potential? v : R R : (x,x ) (x,x ), v : R R : (x,x ) ( x,x ). Berechnen Sie ein Potential, falls es existiert. Überprüfen Sie damit die entsprechenden Ergebnisse aus Aufgabe P 9. K Aufgabe P 9. Potential Gegeben seien die Funktionen U : R R: (x,y) cos(xy), U : R R: (x,y) sin(xy), U 3 : R R: (x,y) (sin(xy)), ( ) v : R R : (x,y) ysin(xy), x sin(xy) ( ) v : R R : (x,y) xsin(xy). y sin(xy) Welche der Funktionen U, U, U 3 sind Potentiale von v? Welche sind Potentiale von v? Wie viele Elemente hat die Menge {U, U, U 3 }? Wie viele Elemente hat die Menge {[U ], [U ], [U 3 ]}?

24 6. Gruppenübung Höhere Mathematik Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung): Aufgabe H 88. Kurven Geben Sie jeweils eine Parametrisierung der abgebildeten Kurven an. Stück eines Kreises um (,) von ( 3,) nach (,) x 4 Streckenzug von (,) über (,3) und (,4) nach (,) x x 4 4 Berechnen Sie das Kurvenintegral des Feldes v: R R : (x,y) ( y,x) längs der beiden Kurven. Aufgabe H 89. Potential Berechnen Sie die Divergenz und die Rotation der folgenden Vektorfelder. 5y +5xy z v : R 3 R 3 : (x,y,z) e xz xy x y z 5y +5xy z v : R 3 R 3 : (x,y,z) e xz xy x y 3 z Untersuchen Sie, ob die Vektorfelder ein Potential besitzen. Berechnen Sie ein Potential, falls das möglich ist. Ist dieses Potential eine harmonische Funktion? Aufgabe H 9. Potential und Kurvenintegrale Gegeben seien für α R und r R + das Vektorfeld ( ) ( ) g α : R R x x : α x x ( ) +e x x x x ( ) cos(t) sowie die Parametrisierung des Kreises K r durch C r : [,π] R : t r. sin(t) (a) Bestimmen Sie, für welche α R das Vektorfeld g α ein Potential hat, und geben Sie für diese α ein Potential an. (b) Bestimmen Sie für jedes α R und jedes r R + das Kurvenintegral g α (x) dx. K r Aufgabe H 9. Zusatzaufgabe Finden Sie einen real existierenden Sattelpunkt, möglichst auf dem Campus der Universität Stuttgart. Schicken Sie ein selbst gemachtes Foto samt genauer Ortsangabe an wettbewerb@lexmath.uni-stuttgart.de Die besten Einsendungen werden prämiert. x

25 D. Garmatter C. Apprich, B. Krinn J. Hörner, M. Werth Präsenzübungen 7. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 4 M. Künzer M. Stroppel Aufgabe P 93. Kurvenintegrale Gegeben seien die Vektorfelder g: R R : (x,y) ( y,x + ) und h: R R : (x,y) (x +, y). Weiterhin sei K die Kurve, welche die untere Hälfte eines Kreises mit Mittelpunkt (, ) und Radius ist, der im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen wird. (a) Welches der Vektorfelder besitzt ein Potential? Berechnen Sie ein Potential, falls es existiert. (b) Verwenden Sie Satz 5.3., um das Kurvenintegral h(x) d x zu bestimmen. K (c) Verwenden Sie Definition 5.3., um das Kurvenintegral h(x) d x zu bestimmen. Aufgabe P 94. Zirkulation und Ausfluss Gegeben seien die Ellipse K = {(x,y) R 4 x + 4y = } und das Vektorfeld (a) Skizzieren Sie K. g: R R : (x,y) (xy,y x). (b) Geben Sie eine Parametrisierung C von K an. (c) Bestimmen Sie die Zirkulation von g längs K und den Ausfluss von g durch K. Aufgabe P 95. Parametrisierung, Kurvenintegrale Berechnen Sie das Kurvenintegral ( x + y ) ds K über die unten skizzierten Wege K, K und K 3 vom Punkt (, ) zum Punkt (, ). K K K 3 K

26 7. Gruppenübung Höhere Mathematik Hausübungen (Abgabe bis spätestens Freitag, 5. Juli 4): Aufgabe H 9. Potential mittels Kurvenintegral (a) Gegeben seien die vier Punkte P = (,, ), P = (a,, ), P 3 = (a,b, ), P 4 = (a,b,c). Finden Sie für i {,, 3} Parametrisierungen C i von Kurven, welche vom Punkt P i zum Punkt P i+ laufen. (b) Berechnen Sie ein Potential U des Vektorfeldes g: R 3 R 3 : (x,y,z) (y + z, x + z, x + y), indem Sie die Wegintegrale von g über C, C und C 3 summieren. (c) Bestimmen Sie grad U. Aufgabe H 93. Kurvenintegrale Gegeben seien das Vektorfeld {( )} v: R R : ( x x ) x + x ( x + x + x x 3 + x x + x ), sowie die Kurve K, parametrisiert durch C : [, π] R : t (a) Bestimmen Sie die Rotation von v. (b) Bestimmen Sie v(x) d x. K ( ) cos(t). sin(t) (c) Besitzt die Einschränkung von v auf R R + ein Potential? Geben Sie, falls möglich, ein solches Potential an. (d) Besitzt v ein Potential? Geben Sie, falls möglich, ein solches Potential an. Aufgabe H 94. Länge von Kurven Skizzieren Sie die durch die folgenden Funktionen parametrisierten Kurven und berechnen Sie jeweils ihre Länge. (a) C : [,π] R : t (cos(t), sin(t)) (b) C : [, ] R : t (t,t ) (c) C : [, ] R : t (cosh(t),t) (d) C : [, ] R 3 : t (cos(πt), sin(πt),t) Hinweis: Aufgabe P 7 (d)

27 7. Gruppenübung Höhere Mathematik Aufgabe H 95. Zirkulation und Ausfluss Die Geschwindigkeitsfelder zweier Strömungen seien durch f : R R : (u,v) ( u, v) und g : R R : (u,v) ( v, ) gegeben. Sei außerdem E die geschlossene Kurve mit Parametrisierung ( ) cos(t) sin(t) C : [, π] R : t. sin(t) + cos(t) (a) Welche Punkte auf E haben maximalen bzw. minimalen Abstand vom Ursprung? (b) Skizzieren Sie die Kurve E. (c) Berechnen Sie für jedes der beiden Geschwindigkeitsfelder die Zirkulation längs E und den Ausfluss durch E. Aufgabe H 96. Stetigkeit & Integration Gegeben seien die Menge L := {, π, π, 3π}, das Intervall D = [, 7π ] und die Funktion 4 (a) Skizzieren Sie die Graphen von g. g: D L R: x sin(x) sin(x) cos(x). (b) Geben Sie eine auf ganz D rechtsseitig stetige Funktion f : D R an, welche g fortsetzt, d.h. f D L = g. (c) Ist f stetig? (d) Berechnen Sie 7π 4 Aufgabe H 97. Integration f(x) dx. Berechnen Sie die folgenden Integrale: (a) x e x 3x 3 sin(x) dx (b) dx (c) x + 3x 8 dx + e x 3x + Aufgabe H 98. Gegeben seien f : R R : (x,y) x y + und K = {(x,y) R x + y = }. (a) Skizzieren Sie den Graphen der Einschränkung von f auf K. (b) Berechnen Sie die Extrema von f auf K mit der Multiplikatormethode von Lagrange. (c) Berechnen Sie diese Extrema mit Hilfe einer geeigneten Parametrisierung von K. (d) Zeichnen Sie die gefundenen Extrema in die Skizze ein.