Grundlagen der Wirtschaftsmathematik

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1 Prof. Dr. Jochen Schwarze Überarbeitung: Prof. Dr. Hermann Singer Dipl.-Stat. Anja Bittner Grundlagen der Wirtschaftsmathematik und Statistik Teil Statistik, Glossar

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3 Der vorliegende Kurs wird am Lehrstuhl für angewandte Statistik und empirische Sozialforschung (Prof. Dr. Hermann Singer) angeboten. Autor: Jochen Schwarze unter Mitarbeit von: Lidmila Fusková, Harald Kunitz Überarbeitung: Hermann Singer Anja Bittner Kursergänzende Lehrbücher siehe Literaturliste im Gesamtglossar oder Homepage des Lehrstuhls für angewandte Statistik und empirische Sozialforschung unter Lehre/Kursübersicht/Statistische Methodenlehre. Zur Unterstützung und Vertiefung einiger Lehrinhalte dieses Kurses sind auf der Homepage unter Aktuelles/Online- Übungen/Multimedia-Bereich interaktive Applets aus den Gebieten Finance, Economics und Statistics bereitgestellt.

4 Glossar INHALTSVERZEICHNIS Seite: 1 Inhaltsverzeichnis Alphabetische Übersicht 3 1 Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen Gleichverteilung (Rechteckverteilung) Binomialverteilung Normalverteilung χ 2 -Verteilung t-verteilung (Student-Verteilung) F -Verteilung Zusammenhänge und Approximationen von Verteilungen 66 2 Konfidenzintervalle Konfidenzintervall für den Parameter µ Konfidenzintervall für den Anteilswert π Konfidenzintervall für den Parameter σ Häufig vorkommende z- und t-werte Spezielle Testverfahren Test für den Erwartungswert µ Test für die Varianz σ Vergleich zweier Mittelwerte (Differenzentest) Vergleich zweier Varianzen (F -Test) Test für den Anteilswert π (Binomialtest) χ 2 -Anpassungstest χ 2 -Unabhängigkeitstest Vorzeichentest (Mediantest) Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test Wilcoxon-Rangsummen-Test Zufallszahlentabelle 83 Literatur 85

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6 Glossar Alphabetische Übersicht Seite: 3 Alphabetische Übersicht

7 Seite: 4 Alphabetische Übersicht Glossar A Bereich, in den die Testgröße fallen muss, um die Nullhypothese abzulehnen. Ablehnungsbereich KE 3, Abweichung mittlere absolute Abweichung d KE 1, mittlere quadratische Abweichung s 2 KE 1, Arithmetisches Mittel aus den absoluten Abweichungen der Reihenwerte von einem Mittelwert, meistens dem Median, berechnet. d = 1 n Varianz n m x i x med bzw. d = x j x med f(x j ) i=1 j=1 Standardabweichung KE 1, 2.3.2, KE 2, Standardabweichung Additionssatz KE 2, Auswahlsatz KE 3, Ereignis Der in der Endlichkeitskorrektur 1 n berücksichtigte Bruch n heißt N N Auswahlsatz.

8 Glossar Alphabetische Übersicht Seite: 5 B Die Prüfgröße T = X Y δ 0 = X Y δ 0 S D S 2 X n + S2 Y m Behrens- Fischer- Statistik KE 3, wird Behrens-Fischer-Statistik genannt (Vergleich zweier Mittelwert). Merkmalswert Im Falle linearer Regression heißt das Quadrat des Korrelationskoeffizienten nach Bravais-Pearson Bestimmtheitsmaß R 2. n R 2 = r 2 = s2 ŷ i=1 = (ŷ i y) 2 s 2 n y i=1 (y i y) 2 Schätzfunktionen (Verzerrung) Bindungen (Ties) liegen vor, wenn für die Beobachtungen identische Merkmalswerte vorkommen. ( ) n = k n! k!(n k)! Beobachtungswert KE 1, Bestimmtheitsmaß KE 1, 3.6 Bias KE 3, 1.2 Bindungen KE 1, Binomialkoeffizient KE 2, Grafische Darstellung mehrerer Kenngrößen einer Verteilung. In einem einfachen Box-Plot werden die Quartile x 0.25 und x 0.75 durch eine Box dargestellt, in deren Inneren der Median als Punkt oder als Linie dargestellt ist. Die Extremwerte x min und x max werden mit der Box durch Striche ( whisker ) verbunden. Box-Plot KE 1, 2.2.2

9 Seite: 6 Alphabetische Übersicht Glossar D Diagramm Balkendiagramm KE 1, 1.5 Flächendiagramm KE 1, 1.5 Histogramm KE 1, 1.5 Rechteckhöhe eines Histogramms KE 1, Kreisdiagramm KE 1, 1.5 Liniendiagramm (Kurvendiagramm) KE 1, 1.5 Veranschaulichung einer längenproportionalen Darstellung der Häufigkeiten mittels Balken, bei Vorliegen einer vertikalen Achse. Grafische Darstellung von Häufigkeiten durch Flächen (sog. flächenproportionale Darstellung). Grafische Darstellung der Häufigkeiten eines (klassierten) quantitativen Merkmals durch rechteckige Flächen über den Klassen in einem Koordinatensystem. Die Größe der Flächen ist zu den Häufigkeiten proportional. Die Rechteckhöhe der Klasse j wird mit rh j bezeichnet (h j : Anzahl der Beobachtungen, f j : relative Häufigkeit, b j : Klassenbreite). rh j = h j b j bzw. rh j = f j b j Grafische Darstellung von Häufigkeiten durch sektorale Aufteilung der Kreisfläche. Grafische Darstellung von Häufigkeiten in einem Koordinatensystem durch Kurven bzw. gradlinig verbundene Punkte. Säulendiagramm KE 1, 1.5 Stabdiagramm KE 1, 1.5 Streudiagramm KE 1, 3.1 Veranschaulichung einer höhenproportionalen Darstellung der Häufigkeiten mittels Säulen, bei Vorliegen einer horizontalen Achse. Veranschaulichung einer höhenproportionalen Darstellung der Häufigkeiten mittels Stäbe, bei Vorliegen einer horizontalen Achse. Grafische Darstellung von Wertepaaren metrischer Merkmale (x i, y i ) als Punkte in einem kartesischen Koordinatensystem.

10 Glossar Alphabetische Übersicht Seite: 7 Für eine Dichtefunktion f X (x) einer stetigen Zufallsvariablen X gilt: f X (x)dx = 1 (Normierungseigenschaft). f X (x) 0 für alle x R (Nicht-Negativitätseigenschaft). Dichtefunktion KE 2, Die Wahrscheinlichkeit, dass die stetige Zufallsvariable X zwischen zwei reellen Zahlen a und b liegt, lautet P (a X b) = b a f X (x)dx = F X (b) F X (a).

11 Seite: 8 Alphabetische Übersicht Glossar E Effizienz KE 3, 1.2 Einheit KE 1, Endlichkeitskorrektur KE 3, 2.1, KE 3, 4 Ereignis KE 2, 1.3 Additionssatz KE 2, Schätzfunktionen Die statistische Einheit (Element, Untersuchungseinheit, Merkmalsträger) ist der Träger der Informationen, die in einer statistischen Untersuchung von Interesse sind. Die Endlichkeitskorrektur bezeichnet den Faktor N n bzw. (1 n ), der N 1 N in Formeln zur Berechnung der Varianz σ 2 verwendet wird. X Jeder mögliche Ausgang eines Zufallsexperimentes. für zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse: P (A B) = P (A) + P (B) für A B =. für n sich gegenseitig ausschließende Ereignisse: Sind A 1, A 2,..., A n sich gegenseitig ausschließende Ereignisse eines Zufallsexperimentes (A i A j = für i j), dann gilt ( n ) P A i = i=1 n P (A i ). i=1 für zwei beliebige Ereignisse: P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) gegenseitig ausschließende Ereignisse KE 2, 1.3 Zwei Ereignisse A und B schließen sich gegenseitig aus, wenn für den Durchschnitt A B = gilt. Durchschnitt von Ereignissen KE 2, 1.3 Der Durchschnitt A B der Ereignisse A und B beschreibt das Ereignis, wenn sowohl das Ereignis A als auch das Ereignis B eintritt.

12 Glossar Alphabetische Übersicht Seite: 9 Ein Elementarereignis ω i ist eine einzelne nicht mehr zerlegbare Möglichkeit für den Ausgang eines Zufallsexperimentes. Elementarereignisse schließen sich gegenseitig aus. Ereignis A, das eintritt, wenn A nicht eintritt. für beliebige Ereignisse: P (A B) = P (B A) P (A) bzw. P (A B) = P (A B) P (B). Elementarereignis KE 2, 1.3 komplementäres Ereignis KE 2, 1.3 Multiplikationssatz KE 2, für unabhängige Ereignisse: P (A B) = P (A) P (B) Ereignis Ω, das immer eintritt. Die Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig, wenn gilt P (B A) = P (B A) = P (B) bzw. P (A B) = P (A B) = P (A). Gilt P (B A) P (B A) bzw. P (A B) P (A B), so sind die Ereignisse stochastisch abhängig. Ereignis, das nie eintritt. sicheres Ereignis KE 2, 1.3 unabhängige/ abhängige Ereignisse KE 2, unmögliches Ereignis KE 2, 1.3 Ein zusammengesetztes Ereignis A = k i=1 {ω i} entspricht der Vereini- zusammengesetztes gung von k Elementarereignissen (k 2). Ereignis KE 2, 1.3

13 Seite: 10 Alphabetische Übersicht Glossar Ergebnis KE 2, 1.3 Ergebnisraum KE 2, 1.3 Erhebung KE 1, 1.2 Primärerhebung KE 1, Sekundärerhebung KE 1, Teilerhebung KE 1, Vollerhebung KE 1, Erwartungstreue KE 3, 1.2 Elementarereignis Menge Ω = {ω 1, ω 2, ω 3,..., ω n } aller Elementarereignisse. Eine statistische Erhebung bezeichnet die Sammlung bzw. Beschaffung von Daten. Statistische Erhebung, in der das Datenmaterial mittels Befragung, Beobachtung (persönlich, telefonisch, postalisch) oder durch ein Experiment gewonnen wird. Statistische Erhebung, in der auf bereits vorhandene Daten zurückgegriffen wird. Erfassung eines Teils einer statistischen Masse, welcher Stichprobe genannt wird (Stichprobenerhebung). Erfassung aller Einheiten einer statistischen Masse (Totalerhebung). Schätzfunktionen Erwartungswert Erwartungswert einer linearen Funktion/ Transformation KE 2, Zufallsvariable Erwartungswert einer ZV KE 2, diskrete ZV: µ = E(X) = stetige ZV: µ = E(X) = n x i f X (x i ) i=1 xf X (x)dx

14 Glossar Alphabetische Übersicht Seite: 11 F n! = n Fakultät KE 2, Die Ablehnung einer zutreffenden Nullhypothese, obwohl sie richtig ist, wird als Fehler 1. Art oder auch α-fehler bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit β, mit der die Nullhypothese nicht abgelehnt wird, obwohl sie falsch ist, wird als Fehler 2. Art oder β-fehler bezeichnet. Allgemein entspricht die Anzahl der Freiheitsgrade der Anzahl unabhängiger Einzelinformationen minus der Anzahl der in die Berechnung der jeweiligen Größe eingehenden zusätzlichen Informationen. Fehler 1. Art (α-fehler) KE 3, Fehler 2. Art (β-fehler) KE 3, Freiheitsgrade KE 2, 3.5

15 Seite: 12 Alphabetische Übersicht Glossar G Gesetz der großen Zahlen KE 2, Gini-Koeffizient KE 1, Die relative Häufigkeit f für das Auftreten eines Ereignisses nähert sich der theoretischen Wahrscheinlichkeit P für dieses Ereignis, je häufiger das Zufallsexperiment durchgeführt wird. Lorenzsches Konzentrationsmaß

16 Glossar Alphabetische Übersicht Seite: 13 H Häufigkeit Anzahl h j = h(x j ) des Auftretens einer Merkmalsausprägung. Die relative Häufigkeit f j berechnet sich aus der absoluten Häufigkeit zu f j = f(x j ) = h(x j). n absolute Häufigkeit KE 1, 1.4 relative Häufigkeit KE 1, 1.4 Die Resthäufigkeiten werden aus den Summenhäufigkeiten berechnet. absolut: HR j = HR(x j ) = n H j = h j = n j =j+1 h j x j >x j relativ: F R j = F R(x j ) = 1 F j = f j = n j =j+1 f j x j >x j Kumulierte absolute oder relative Häufigkeiten. absolut: H j = H(x j ) = relativ: x j x j h j = F j = F (x j ) = H j n = x j x j f j = j h j j =1 j f j j =1 Darstellung einer Häufigkeitsverteilung in Form einer Tabelle. Darstellung einer zweidimensionalen Häufigkeitsverteilung in Form einer Tabelle. Gesamtheit der geordneten Merkmalsausprägungen einer statistischen Analyse und ihrer zugehörigen (absoluten oder relativen) Häufigkeiten. Häufigkeitsverteilung einer statistischen Reihe, deren Beobachtungen aus nur einem Merkmal bestehen. Häufigkeitsverteilung einer statistischen Reihe, deren Beobachtungen aus mehreren Merkmalen bestehen. Resthäufigkeiten KE 1, Summenhäufigkeiten KE 1, Häufigkeitstabelle KE 1, zweidimensionale Häufigkeitstabelle KE 1, Häufigkeitsverteilung KE 1, 1.4 eindimensionale Häufigkeitsvtlg. KE 1, 1.4 mehrdimensionale Häufigkeitsvtlg. KE 1, 1.4

17 Seite: 14 Alphabetische Übersicht Glossar zweidimensionale Häufigkeitsvtlg. KE 1, Häufigkeitsverteilung einer statistischen Reihe, deren Beobachtungen aus zwei Merkmalen bestehen. Tabellarische oder auch grafische Darstellung der geordneten Merkmalsausprägungen bzw. Merkmalsklassen und der zugehörigen Summenhäufigkeiten. Summenhäufigkeitsverteilung KE 1, Hypothese KE 3, 3 Alternativhypothese KE 3, Vermutung bzw. Annahme, die mittels statistischer Testverfahren überprüft wird. Das Gegenteil einer Nullhypothese H 0 wird als Alternativhypothese H 1 bezeichnet. H 0 zweiseitig: H 1 : θ θ 0 H 0 einseitig: H 1 : θ > θ 0 bzw. H 1 : θ < θ 0 Nullhypothese KE 3, einseitige Nullhypothese KE 3, Die Nullhypothese H 0 ist die mathematische Formulierung einer Vermutung. Die einseitige Nullhypothese H 0 : θ θ 0 bzw. H 0 : θ θ 0 wird auch Bereichshypothese genannt. zweiseitige Nullhypothese KE 3, Die zweiseitige Nullhypothese H 0 : genannt. θ = θ 0 wird auch Punkthypothese

18 Glossar Alphabetische Übersicht Seite: 15 I Die statistischen Einheiten müssen sachlich, räumlich und zeitlich voneinander abgegrenzt werden und somit eindeutig identifizierbar sein. Konfidenzintervall: Mit der Irrtumswahrscheinlichkeit α überdeckt das Konfidenzintervall nicht den Parameter θ. Testverfahren: Die vorgegebene Wahrscheinlichkeit α für den Fehler 1. Art wird Irrtumswahrscheinlichkeit oder auch Signifikanzniveau genannt. Identifikationskriterien KE 1, Irrtumswahrscheinlichkeit KE 3, 2, KE 3, 3.1.3

19 Seite: 16 Alphabetische Übersicht Glossar K Klasse KE 1, Randklasse KE 1, Klassenbreite KE 1, Klassengrenzen KE 1, Klassenmitte KE 1, Kombinatorik KE 2, Konfidenzgrenzen KE 3, 2 Zusammenfassung benachbarter Merkmalsausprägungen zu einer Klasse. Erste oder letzte Klasse, die häufig nach unten bzw. oben unbegrenzt ist (offene Randklasse). Differenz x j = x j x j 1 zweier aufeinanderfolgender Klassengrenzen. Die untere Klassengrenze der j-ten Klasse wird mit x j 1 und die obere Klassengrenze mit x j bezeichnet. Mittlerer Wert x j = x j 1 +x j einer Klasse, der üblicherweise für die Klasse 2 repräsentativ ist. Problemstellung: Aus einer Menge von n verschiedenen Elementen sollen k Elemente ausgewählt werden. ohne Zurücklegen mit Zurücklegen mit Berücksichtigung n! n k der Reihenfolge (n k)! ( ) ( ) ohne Berücksichtigung n n + k 1 der Reihenfolge k k Die Stichprobenfunktionen U und O geben die Grenzen des Konfidenzintervalls [U; O] an. Konfidenzintervall KE 3, 2 Die Stichprobenfunktionen U und O ergeben das zweiseitige Konfidenzintervall [U; O] mit P (U θ O) = 1 α, wobei die Irrtumswahrscheinlichkeit α vorgegeben wird. Die Zufallsintervalle [U; ) bzw. ( ; O] mit P (θ U) = 1 α bzw. P (θ O) = 1 α ergeben einseitige Konfidenzintervalle. symmetrisches Konfidenzintervall KE 3, 2 Für bezüglich der Wahrscheinlichkeit symmetrische Konfidenzintervalle gilt P (θ < U) = P (θ > O) = α. Desweiteren gibt es bezüglich eines 2 Punktschätzers symmetrische Konfidenzintervalle.

20 Glossar Alphabetische Übersicht Seite: 17 Im Zusammenhang mit Konfidenzintervallen entspricht die Größe 1 α dem Konfidenzniveau. Schätzfunktionen Zusammenhang zwischen qualitativen Merkmalen. Der Kontingenzkoeffizient χ C = 2 m mit χ 2 = n + χ 2 C 1 C an, wobei C der kleinere Wert von Zei- nimmt Werte von 0 bis lenzahl und Spaltenzahl ist. j=1 k=1 ( r h jk h j.h.k n h j. h.k n ) 2 Der korrigierte Kontingenzkoeffizient berechnet sich zu C C korr = C C 1. Tabellarische Darstellung der Häufigkeitsverteilung zweier nominalskalierter Merkmale. Zusammenhang zwischen quantitativen bzw. mindestens ordinalskalierten Merkmalen. Der Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson wird mit r bezeichnet. r = Cov(X, Y ) n i=1 = (x i x)(y i y) s x s n y i=1 (x i x) 2 n i=1 (y i y) 2 n i=1 = x iy i nx y ( n i=1 x2 i nx2 )( n i=1 y2 i ny2 ) Konfidenzniveau KE 3, 2 Konsistenz KE 3, 1.2 Kontingenz KE 1, 3.4 Kontingenzkoeffizient KE 1,?? korrigierter Kontingenzkoeffizient KE 1,?? Kontingenztabelle KE 1, 3.1.1, KE 1,?? Korrelation KE 1, 3.4 Korrelationskoeffizient r KE 1, 3.4.1

21 Seite: 18 Alphabetische Übersicht Glossar Der Korrelationskoeffizient nach Spearman, auch Rangkorrelationskoeffizient genannt, wird mit r s bezeichnet. n i=1 r s = (rg(x i) rg X )(rg(y i ) rg Y ) n i=1 (rg(x i) rg X ) 2 n i=1 (rg(y i) rg Y ) 2 Korrelationskoeffizient nach Spearman KE 1, = n i=1 rg(x i)rg(y i ) nrg X rg Y n i=1 rg(x i) 2 nrg 2 n X i=1 rg(y i) 2 nrg 2 Y mit rg X = 1 n n i=1 rg(x i) = 1 n n i=1 i = (n + 1)/2 = rg Y. Korrelationskoeffizient nach Spearman ohne Bindungen KE 1, Korrelationstabelle KE 1, Treten keine Bindungen auf, kann mit Hilfe der Rangdifferenzen d i = rg(x i ) rg(y i ) eine einfache Formel zur Berechnung von r s angegeben werden. r s = 1 6 n i=1 d2 i n(n 2 1) Häufigkeitstabelle zweier metrischer oder ordinalskalierter Merkmale. Kovarianz empirische Kovarianz KE 1, Die empirische Kovarianz Cov(X, Y ) berechnet sich zu: Cov(X, Y ) = 1 n = 1 n Cov(X, Y ) = = m r (x j x)(y k y) h jk j=1 k=1 m j=1 k=1 m j=1 k=1 m j=1 k=1 r x j y k h jk x y, r (x j x)(y k y) f jk r x j y k f jk x y

22 Glossar Alphabetische Übersicht Seite: 19 diskrete ZV: Cov(X, Y ) = m r [x i E(X)][y j E(Y )]f XY (x i, y j ) = i=1 m j=1 i=1 j=1 r x i y j f XY (x i, y j ) E(X)E(Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) Kovarianz einer ZV KE 2, Die Grenzen, durch die der Ablehnungsbereich eines Testverfahrens charakterisiert wird, heißen kritische Werte. Sie werden mit c u (untere Grenze) und c o (obere Grenze) bezeichnet und gehören selbst nicht zum Ablehnungsbereich. kritische Werte KE 3, Kurtosis Die empirische Kurtosis wird mit g 4 bezeichnet. g 4 = m 1 n 4 s = n i (x i x) 4 4 [ 1 n n i (x i x) 2] 2 Die Kurtosis einer Zufallsvariablen wird mit γ 4 bezeichnet. γ 4 = E([X E(X)]4 ) = E[(X µ)4 ] Var(X) 2 σ 4 empirische Kurtosis KE 1, 2.4 Kurtosis einer ZV KE 2, Kurtosis-Exzess Der empirische Kurtosis-Exzess wird mit g 4 bezeichnet. g 4 = g 4 3 empirischer Kurtosis-Exzess KE 1, 2.4 Der Kurtosis-Exzesss einer Zufallsvariablen wird mit γ 4 bezeichnet. γ 4 = γ 4 3 = E[(X µ)4 ] σ 4 3 Kurtosis-Exzess einer ZV KE 2, 2.3.3

23 Seite: 20 Alphabetische Übersicht Glossar L lexikografische Ordnung KE 1, Lorenzkurve KE 1, Es liegen n zweidimensionale Beobachtungspaare (x i, y i ) vor. Bei einer lexikografischen Ordnung werden die Paare zunächst nach den Ausprägungen eines Merkmals und anschließend für übereinstimmende Ausprägungen dieses Merkmals nach den Ausprägungen des anderen Merkmals geordnet. Gegeben sei eine geordnete Reihe x 1 x 2... x m. Die Lorenzkurve entspricht dem Polygonzug durch die Punkte (0, 0), (F 1, G 1 ),..., (F j, G j ),..., (1, 1) Lorenzsches Konzentrationsmaß KE 1, für j = 1,..., m mit (F m, G m ) = (1, 1). F j = j f j relative Summenhäufigkeit der j-ten j =1 Ausprägung bzw. Klasse G j = j g j relative Merkmalssumme der j-ten j =1 Ausprägung mit g j = x j h j m x k h k k=1 Das Lorenzsche Konzentrationsmaß, auch Gini-Koeffizient genannt, wird mit LKM bezeichnet. [ m ] LKM = 2K = (F j 1 + F j ) g j 1 j=1 benormiertes Lorenzsches Konzentrationsmaß KE 1, g j = F j = x jh j m x k h k k=1 j f j für j = 1,..., m und F 0 = 0. j =1 Das normierte Lorenzsche Konzentrationsmaß wird mit LKM norm zeichnet. LKM norm = n n 1 LKM

24 Glossar Alphabetische Übersicht Seite: 21 M Schätzfunktionen Der Median einer geordneten Reihe wird mit x med bezeichnet. Oberhalb und unterhalb des Medians liegen gleich viele Beobachtungen. Für Merkmale, bei denen ein arithmetisches Mittel gebildet werden kann, gilt: Mean Squared Error (MSE) KE 3, 1.2 Median KE 1, n ungerade: x med = x ( n+1 2 ) n gerade: x med = 1(x 2 ( n 2 ) + x ( n 2 +1) ) Eigenschaft einer statistischen Einheit, die im Rahmen einer statistischen Analyse interessiert. Für abhängige Merkmale gilt, dass die Werte bzw. die Gestalt der bedingten Verteilung des einen Merkmals davon abhängt, welche Ausprägung das andere Merkmal annimmt. Merkmal, welches endlich viele oder höchstens abzählbar unendlich viele Ausprägungen besitzt. Für alle bedingten Verteilungen zweier empirisch unabhängiger Merkmale X und Y gilt f(x j y k ) = f(x j y l ) für alle k, l = 1,..., r bzw. f(y k x j ) = f(y k x h ) für alle j, h = 1,..., m. Ansonsten heißen die Merkmale empirisch abhängig. Für empirisch unabhängige Merkmale gilt Merkmal KE 1, abhängiges Merkmal KE 1, diskretes Merkmal KE 1, unabhängiges, abhängiges Merkmal KE 1, f(x j ) f(x k ) = f(x j, y k ) bzw. f j. f.k = f jk. Merkmal, dessen Ausprägungen sich intensitätsmäßig abstufen lassen. Merkmal, dessen Ausprägungen sich nur hinsichtlich ihrer Art unterscheiden, d.h. es liegt keine Rangordnung vor. Merkmale, die durch einen Messvorgang erfasst werden, wobei sich die Ausprägungen zahlenmäßig unterscheiden. intensitätsmäßiges Merkmal KE 1, qualitatives Merkmal KE 1, quantitatives Merkmal KE 1, 1.3.1

25 Seite: 22 Alphabetische Übersicht Glossar Diskrete Merkmale, die in einem bestimmten Intervall so viele Wer- te annehmen können, dass diese zweckmäßig als stetig behandelt werden. quasi-stetiges Merkmal KE 1, stetiges Merkmal KE 1, unabhängiges Merkmal KE 1, Es liegen überabzählbar viele Ausprägungen vor. Für unabhängige Merkmale gilt, dass für alle Ausprägungen des einen Merkmals die gleiche bedingte Verteilung des anderen Merkmals vorliegt. Merkmalsausprägung Möglicher Wert oder Kategorie x i eines Merkmals. KE 1, Merkmalsträger KE 1, Merkmalswert KE 1, Statistische Einheit, an der Merkmale erhoben werden. Bestimmter, bei einer statistischen Einheit festgestellter Wert eines Merkmals (Beobachtungswert). Mittel arithmetisches Mittel x KE 1, geometrisches Mittel x geom KE 1, Ungewogen: Gewogen: Ungewogen: Gewogen: x = 1 n x i n i=1 x = 1 m x j h(x j ) = n j=1 x geom = n n i=1 x geom = n m j=1 x i x h(x j) j = m x j f(x j ) j=1 m j=1 x f(x j) j bedingter Mittelwert KE 1, Lagemaß bei Vorliegen einer zweidimensionalen Verteilung für die Randverteilungen bzw. bedingten Verteilungen. Modalklasse KE 1, Klasse, die am dichtesten besetzt ist.

26 Glossar Alphabetische Übersicht Seite: 23 Der Modalwert x mod, auch Modus genannt, entspricht der Merkmalsausprägung, welche am häufigsten vorkommt, d.h. h(x mod ) = max h(x j ). j Klasse von Parametern zur Charakterisierung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung durch eine Kenngröße. Das k-te Moment um Null wird mit µ k bezeichnet. diskrete ZV: µ k = E(Xk ) = n i=1 xk i f X (x i ) Modalwert KE 1, Momente KE 2, k-tes Moment um Null KE 2, stetige ZV: µ k = E(Xk ) = xk f X (x)dx Das zentrale Moment k-ter Ordnung wird mit µ k bezeichnet. diskrete ZV: stetitge ZV: µ k = E [ (X µ) k] = n i=1 (x i µ) k f X (x i ) µ k = E [ (X µ) k] = (x µ)k f X (x)dx Für die Varianz gilt der Steinersche Verschiebungssatz. Var(X) = E[(X µ) 2 ] = E(X 2 2Xµ + µ 2 ) = E(X 2 ) 2µµ + µ 2 = E(X 2 ) µ 2 = E(X 2 ) [E(X)] 2 zentrales Moment k-ter Ordnung KE 2, zentrales Moment zweiter Ordnung (Varianz) KE 2, Der empirische Momentenkoeffizient der Schiefe wird mit g 3 bezeichnet. g 3 = m 1 n 3 s = n i (x i x) 3 3 n i (x i x) 2] 3 2 [ 1 n Der Momentenkoeffizient der Schiefe einer Zufallsvariablen wird mit γ 3 bezeichnet. Ereignis γ 3 = E([X E(X)]3 ) Var(X) 3 2 = E[(X µ)3 ] σ 3 empirischer Momentenkoeffizient der Schiefe KE 1, 2.4 Momentenkoeffizient der Schiefe einer ZV KE 2, Momentenkoeffizient Multiplikationssatz KE 2, 1.5.4

27 Seite: 24 Alphabetische Übersicht Glossar P Permutation KE 2, Prüfgröße KE 3, Jede Anordnung von n Elementen heißt Permutation. Eine Stichprobenfunktion T = g(x 1,..., X n ), die zur Überprüfung einer Hypothese über einen Parameter θ verwendet wird, wird als Prüfgröße oder Teststatistik bezeichnet. p-wert Der p-wert, auch Überschreitungswahrscheinlichkeit genannt, gibt die KE 3, 3.2 Wahrscheinlichkeit an, dass unter der Hypothese H 0 der beobachtete Wert t = g(x 1,..., x n ) oder ein extremerer Wert der Prüfgröße T = g(x 1,..., X n ) ermittelt wird. H 0 : θ θ 0 P (T t) = p, H 0 : θ θ 0 P (T t) = p, H 0 : θ = θ 0 2 min(p (T t), P (T t)) = p.

28 Glossar Alphabetische Übersicht Seite: 25 Q Quantil Spezielle p-quantile, z.b 10%-Dezil, 20%-Dezil,...,90%-Dezil, welche häufig mit 1.Dezil, 2.Dezil,..., 9.Dezil abgekürzt werden. Das p-quantil der geordneten Reihe x (1),..., x (n) wird mit x p bezeichnet. x (i), i ist die kleinste ganze Zahl größer als n p, falls n p keine ganze Zahl ist. x p = 1 2 (x (i) + x (i+1) ), i = n p, falls n p eine ganze Zahl ist und ein Durchschnittswert berechnet werden kann. Dezil KE 1, p-quantil KE 1, Quartil Das 0.75-Quantil x Das 0.25-Quantil x Die Differenz x 0.75 x oberes Quartil KE 1, unteres Quartil KE 1, Quartilsabstand KE 1, 2.3.1

29 Seite: 26 Alphabetische Übersicht Glossar R Regression KE 1, 3.5 Kriterium der Kleinsten Quadrate KE 1, 3.5 Der Begriff Regression bezeichnet die Untersuchung der Abhängigkeit der Veränderungen eines quantitativen Merkmals von Änderungen eines anderen quantitativen Merkmals (=einfache Regression) oder von Änderungen mehrerer quantitativer Merkmale (=mehrfache Regression). Die Koeffizienten der Regressionsfunktion werden so bestimmt, dass die Summe der quadrierten Abweichungen der Beobachtungswerte y i von den Regressionsfunktionswerten ŷ i = f(x i ) ein Minimum wird. lineare Regression KE 1, Für die lineare Regressionsfunktion ŷ = a + bx ergeben sich nach dem Kriterium der Kleinsten Quadrate die Regressionskoeffizienten a und b zu x 2 a = i yi x i xi y i n x 2 i (, b = n xi y i x i yi x i ) 2 n x 2 i ( x i ) 2 bzw. a = y bx, b = xi y i nxy x 2 i nx 2. Normalgleichungen KE 1, Zur Bestimmung von a und b einer linearen Regression werden die Normalgleichungen verwendet. I. Normalgleichung: II. Normalgleichung: n i=1 y i = na + b n i=1 x i n i=1 y ix i = a n i=1 x i + b n i=1 x2 i Regressionsfunktion KE 1, 3.5 Reihe KE 1, 1.4 Funktion zur Beschreibung der Abhängigkeit zwischen quantitativen Merkmalen. Die Regressionsfunktion hat die allgemeine Form ŷ = f(x) mit dem Regressor (exogene, erklärende Variable) x und dem Regressand (endogene, erklärte Variable) y. Die Daten x 1,...,x n liegen in Form einer ungeordneten oder geordneten statistischen Reihe vor. Die Notation einer geordneten Reihe lautet x (1), x (2),..., x (n).

30 Glossar Alphabetische Übersicht Seite: 27 S Wahrscheinlichkeit Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit KE 2, Schätzfehler Für ein bezüglich des Punktschätzers symmetrisches Konfidenzintervall wird die halbe Länge des Konfidenzintervalls (O U)/2 als Schätzfehler bezeichnet. Ansonsten bezeichnet der größte Abstand der beiden Konfidenzgrenzen zu T = ˆΘ den Schätzfehler. Bezüglich Punktschätzungen wird die Differenz T θ als Schätzfehler bezeichnet. Für Schätzungen verwendete Stichprobenfunktionen T = g(x 1,..., X n ) heißen Stichprobenfunktion bzw. Statistik. Eine erwartungstreue Schätzfunktion T für den Parameter θ einer Grundgesamtheit ist effizient, wenn T eine endliche Varianz besitzt und wenn es für θ keine andere erwartungstreue Schätzfunktion T gibt, welche eine kleinere Varianz als T besitzt. Wird der Parameter θ mittels der Schätzfunktion T geschätzt, dann gilt für erwartungstreue (unverzerrte) Schätzfunktionen E(T ) = θ. Intervallschätzung KE 3, 2 Punktschätzung KE 3, 1.2 Schätzfunktion KE 3, 1.1 Eigenschaften v. Schätzfunktionen Effizienz KE 3, 1.2 Erwartungstreue KE 3, 1.2 Für im quadratischen Mittel konsistente Schätzfunktionen T gilt Konsistenz im lim MSE(T ) = 0. quadratischen n Mittel KE 3, 1.2 Für schwach konsistente Schätzfunktionen T gilt für beliebige ɛ > 0 die Beziehung lim P ( T θ ɛ) = 0. n schwache Konsistenz KE 3, 1.2 Die mittlere quadratische Abweichung (engl.: mean squared error (MSE)) MSE KE 3, 1.2

31 Seite: 28 Alphabetische Übersicht Glossar einer Schätzfunktion T ist durch MSE(T ) = E[(T θ) 2 ] gegeben. Für die mittlere quadratische Abweichung gilt MSE(T ) = Var(T ) + [E(T ) θ] 2 = Var(T ) + Bias(T ) 2. Verzerrung KE 3, 1.2 Die Differenz E(T ) θ heißt Verzerrung oder Bias. Schätzung Intervallschätzung KE 3, 1 Punktschätzung KE 3, 1 Schätzwert KE 3, 1.1 Schiefe KE 1, 2.4 Signifikanzniveau KE 3, Für den zu schätzenden Parameter wird ein Intervall bestimmt, das den wahren, unbekannten Wert des Parameters mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit überdeckt. Für den zu schätzenden Parameter wird ein einzelner Wert bestimmt. Der sich für bestimmte Stichprobenwerte x 1, x 2,..., x n ergebende Wert ˆθ einer Schätzfunktion T = ˆΘ. Momentenkoeffizient der Schiefe, Verteilung Irrtumswahrscheinlichkeit Skala metrische Skala (Kardinalskala) KE 1, Intervallskala KE 1, Verhältnisskala KE 1, Ein Merkmal ist metrisch skaliert, wenn zusätzlich zu den Eigenschaften der Ordinalskala die Unterscheidung der Abstände zwischen verschiedenen Merkmalsausprägungen hinzukommt. Metrische Skala, wobei die Abstände zwischen den Ausprägungen verglichen werden können. Es liegt kein natürlicher Nullpunkt vor. Metrische Skala, wobei zusätzlich zur Intervallskala auch Verhältnisse verglichen werden können. Es liegt ein natürlicher Nullpunkt vor.

32 Glossar Alphabetische Übersicht Seite: 29 Metrische Skala, wobei zusätzlich zur Verhältnisskala eine natürliche Einheit existiert. Skala, auf der Merkmalsausprägungen nach dem Kriterium gleich oder verschieden gemessen werden können (qualitative Merkmale). Jeder Merkmalsausprägung wird durch eine Zuordnungsvorschrift (Funktion, Abbildung) ein neuer Wert zugeordnet, wobei die Ordnungseigenschaften der Skala erhalten bleiben. Absolutskala KE 1, Nominalskala KE 1, Ordinalskala (Rangskala) KE 1, Eine Ordinal- oder Rangskala liegt vor, wenn die Merkmalswerte neben der qualitativen Unterschiedlichkeit eine natürliche Rangordnung besitzen. Skalentransformation KE 1, Skala sinnvolle Operationen Transformierbarkeit Nominalskala = eineindeutig Ordinalskala = ; < > streng monoton Intervallskala = ; < >; + linear: y i = ax i + b Verhältnisskala = ; < >; + ; : linear: y i = ax i Absolutskala = ; < >; + ; : identisch: y i = x i Die Spannweite wird mit w bezeichnet. w = max i x i min i x i Spannweite KE 1, Die empirische Standardabweichung s entspricht der Quadratwurzel aus der Varianz s 2. s = s 2 = 1 n (x i x) n 2 i=1 Standardabweichung empirische Standardabweichung KE 1, bzw. s = 1 n m m (x j x) 2 h(x j ) = (x j x) 2 f(x j ) j=1 j=1

33 Seite: 30 Alphabetische Übersicht Glossar Standardabweichung einer ZV KE 2, Die Standardabweichung einer Zufallsvariablen σ entspricht der Quadratwurzel aus der Varianz σ 2. σ = σ X = Var(X) Standardisierung Standardisierung von Daten KE 1, Standardisierung von ZV KE 2, Bei der Approximation einer diskreten Verteilung durch eine stetige Verteilung wird die Stetigkeitskorrektur verwendet. Die Wahrscheinlichkeit P (X = x i ) wird mittels F X (x i +0.5) F X (x i 0.5) bestimmt. Die Wahrscheinlichkeiten P (X x), P (X x), P (x 1 X x 2 ) werden mit um 0.5 verschobene Grenzen bestimmt. Stetigkeitskorrektur KE 2, 3.4 Auch z-transformation genannt. Die Beobachtung x i wird in den Wert z i = x i x transformiert. s Die standardisierte Zufallsvariable Z ergibt sich zu Z = X E(X) = X µ. Var(X) σ P (X x + 0.5) P (X x 0.5) P (x X x ) Stichprobe KE 1, Mehrere Stichproben werden zu einer Gesamtstichprobe zusammenge- fasst. gepoolte Stichprobe KE 3, Erhebung (Teilerhebung) verbundene Stichprobe KE 3, Stichprobenfunktion KE 3, 1.1 Von jeder Untersuchungseinheit werden mindestens zwei Beobachtungen erhoben. Liegen genau zwei Beobachtungen von jeder Untersuchungseinheit vor, so wird von gepaarten Beobachtungen gesprochen. Zufallsvariable, die eine Funktion der Stichprobenvariablen X 1, X 2,..., X n beschreibt, z.b. X = 1 n n i=1 X i.

34 Glossar Alphabetische Übersicht Seite: 31 Die Stichprobenvarianz wird mit S 2 bezeichnet. S 2 = 1 n 1 n (X i X) 2 Streuung bei Vorliegen einer zweidimensionalen Verteilung für die Randverteilungen bzw. bedingten Verteilungen. Gegeben sei die lineare Regressionsfunktion ŷ = a + bx. Für die Gesamtstreuung bzw. n s 2 y gilt die Streuungszerlegung. n (y i y) 2 = i=1 i n (ŷ i y) 2 + i=1 n (y i ŷ i ) 2, i=1 Stichprobenvarianz KE 3, bedingte Streuung KE 1, Streuungszerlegung KE 1, 3.6 SQT = SQE + SQR Dabei bezeichnet: SQT: Sum of Squares Total (Gesamtstreuung, n s 2 y) SQE: Sum of Squares Explained (erklärte Streuung, n s 2 ŷ ) SQR: Sum of Squares Residual (Reststreuung)

35 Seite: 32 Alphabetische Übersicht Glossar T Test KE 3, 3 Anpassungstest KE 3, 3, KE 3, 4.2 Ein Test ist ein Verfahren zur Prüfung bestimmter Vermutungen über Parameter oder auch über die Verteilung einer Grundgesamtheit. Überprüfung einer Hypothese über den Typ einer Verteilung eines Merkmals. Binomialtest KE 3, Differenzentest KE 3, Gauß-Test KE 3, konservativer Test KE 3, Test für den Anteilswert π. Vergleich zweier Mittelwerte, wobei die Nullhypothese H 0 : µ X µ Y = δ 0 aufgestellt wird. Test über den Parameter µ der Normalverteilung bei bekannter Varianz. Test, der das Signifikanzniveau nicht voll ausschöpft. nichtparametrische Testverfahren KE 3, 4.2 Testverfahren, bei denen keine Annahmen bezüglich des Verteilungstyps der Grundgesamtheit getroffen werden. Parametertest KE 3, 3, KE 3, 4 Überprüfung einer Hypothese über den numerischen Wert eines unbekannten Parameters. Signifikanztest KE 3, Test über den Parameter µ der Normalverteilung bei unbekannter Vari- anz. t-test KE 3, Test, für den P (H 1 annehmen H 0 richtig) α gilt. Unabhängigkeitsstest Überprüfung einer Hypothese über die Abhängigkeit bzw. Unabhängig- KE 3, 3, keit verschiedener Merkmale. KE 3, 4.2

36 Glossar Alphabetische Übersicht Seite: 33 Test, der zwei Varianzen miteinander vergleicht, wobei die Prüfgröße F -verteilt ist. Nichtparametrischer Test über die Lage einer Verteilung, der die Richtung der Beobachtungen in Form des Vorzeichens berücksichtigt. Nichtparametrischer Test zum Vergleich zweier Mittelwerte. Anstelle der Stichprobenwerte werden die Ränge der gepoolten Stichprobe betrachtet. Varianzentest (F -Test) KE 3, 3 Vorzeichentest KE 3, Wilcoxon- Rangsummen- Test KE 3, Nichtparametrischer Test über die Lage einer Verteilung. Im Vergleich zum Vorzeichentest wird die Größe der Beobachtungen in Form des Betrages berücksichtigt. Wilcoxon- Vorzeichen- Rang-Test KE 3, Prüfgröße Wahrscheinlichkeit Teststatistik KE 3, Theorem von Bayes KE 2, 1.5.5

37 Seite: 34 Alphabetische Übersicht Glossar V Variable KE 1, Merkmal mit den Ausprägungen Eigenschaft vorhanden bzw. Eigen- schaft nicht vorhanden binäre (dichotome) Variable KE 1, Merkmal (Mathematischer Ausdruck für Merkmal) Varianz empirische Varianz KE 1, Die empirische Varianz (mittlere quadratische Abweichung) wird mit s 2 bezeichnet. s 2 = 1 n (x i x) 2 = 1 n x 2 i x 2 n n i=1 i=1 bzw. s 2 = 1 n m (x j x) 2 h(x j ) = j=1 m (x j x) 2 f(x j ) = j=1 m x 2 jf(x j ) x 2. j=1 Varianz einer linearen Funktion/ Transformation KE 2, Zufallsvariable Varianz von X KE 3, Die Varianz des Stichprobenmittelwertes σ 2 wird für die Berechnung X von Konfidenzintervallen und von Prüfgrößen statistischer Verfahren benötigt.

38 Glossar Alphabetische Übersicht Seite: 35 Varianz σ 2 der Grundgesamtheit bekannt unbekannt (Schätzung) Stichprobe mit Zurücklegen Stichprobe ohne Zurücklegen n N n N < 0, 05 0, 05 σ2 σ 2 X = σ2 n X = σ2 n N n N 1 ˆσ 2 X = S2 n ˆσ 2 X = S2 n N n N Die Varianz einer Zufallsvariablen wird mit σ 2 = σ 2 X bezeichnet. diskrete ZV: σ 2 = Var(X) = stetitge ZV: σ 2 = Var(X) = n [x i E(X)] 2 f X (x i ) = i=1 [x E(X)] 2 f X (x)dx = n x 2 i f X (x i ) [E(X)] 2 i=1 x 2 f X (x)dx [E(X)] 2 Üblicherweise ist der Variationskoeffizient durch v = s definiert. Manch- Variations- x mal wird der Variationskoeffizient auch durch v = gemessen. d x med Varianz einer Zufallsvariablen KE 2, koeffizient KE 1, Verteilung Gegeben sei die zweidimensionale relative Häufigkeitsverteilung der Merkmale X und Y. Die relative Häufigkeitsverteilung des Merkmals X mit der Bezeichnung f(x j y k ), die sich für eine gegebene Ausprägung y k des Merkmals Y ergibt, heißt bedingte Verteilung bzw. konditionale Verteilung. empirische bedingte Verteilung KE 1, f(x j y k ) = f jk f.k = h jk h.k Betrachtet wird die Verteilung einer Zufallsvariablen bei gegebener zweidimensionaler Wahrscheinlichkeitstabelle, wenn für die andere Zufallsvariable ein bestimmter Wert vorgegeben wird. f X (x i y j ) = f XY (x i, y j ), f Y (y j ) m f X (x i y j ) = 1, f Y (y j ) > 0 i=1 bedingte Verteilung einer ZV KE 2, 2.5.2

39 Seite: 36 Alphabetische Übersicht Glossar bzw. f Y (y j x i ) = f XY (x i, y j ), f X (x i ) r f Y (y j x i ) = 1, f X (x i ) > 0. j=1 Verteilung nur eines Merkmals einer zweidimensionalen Häufigkeitsver- teilung, wobei das andere Merkmal unberücksichtigt bleibt (auch marginale Verteilung genannt). empirische Randverteilung KE 1, Randverteilung einer ZV KE 2, absolut: h j. = r h jk bzw. h.k = m k=1 relativ: f j. = r f jk bzw. f.k = m k=1 h jk j=1 f jk j=1 Die sich für eine diskrete zweidimensionale Zufallsvariable (X, Y ) ergebende Verteilung von X bzw. Y, welche die jeweils andere Zufallsvariable unberücksichtigt lässt. f X (x i ) = f Y (y j ) = r f XY (x i, y j ) j=1 m f XY (x i, y j ) i=1 Randverteilung von X Randverteilung von Y linksschiefe (rechtssteile) Verteilung KE 1, 2.4 Eingipflige Verteilung, welche von rechts nach links steil ansteigt und nach links flach abfällt. rechtsschiefe (linkssteile) Verteilung KE 1, 2.4 Eingipflige Verteilung, welche von links nach rechts steil ansteigt und nach rechts flach abfällt. symmetrische Verteilung KE 1, 2.4 Verteilung, welche in Bezug auf das arithmetische Mittel symmetrisch ist.

40 Glossar Alphabetische Übersicht Seite: 37 Die Funktion F X (x) mit F X (x) = P (X x) = P ( < X x). diskrete ZV: F X (x) = P (X x) = x i x f X (x i ) Verteilungsfunktion KE 2, stetige ZV: F X (x) = x f X (ξ) dξ Eigenschaften einer Verteilungsfunktion: (1) F X ist monoton steigend. (2) F X ist rechtsseitig stetig, d.h. es gilt lim c 0 F X (x + c) = F X (x). (3) lim x F X(x) = 0. (4) lim x F X (x) = 1. Allgemein hat eine Vierfeldertafel folgende Gestalt. B B A P (A B) P (A B) P (A) A P (A B) P (A B) P (A) P (B) P (B) 1 Vierfeldertafel KE 2, 1.5.3

41 Seite: 38 Alphabetische Übersicht Glossar W Wahrscheinlichkeit axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit KE 2, Wahrscheinlichkeitmaß P auf P(Ω) mit den Eigenschaften: (1) P ist nichtnegativ : P (A) 0. (2) P ist additiv : P (A B) = P (A) + P (B) für A B =. (3) P ist normiert : P (Ω) = 1 bzw. 0 P (A) 1. Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses B unter der Voraus- setzung, dass das Ereignis A bereits eingetreten ist. bedingte Wahrscheinlichkeit KE 2, P (B A) = P (A B) ; P (A) > 0. P (A) Entsprechend gilt: P (A B) = P (A B) ; P (B) > 0. P (B) Wahrscheinlichkeit nach Laplace KE 2, Unter der Voraussetzung der Gleichwahrscheinlichkeit der vorliegenden Elementarereignisse enspricht die Wahrscheinlichkeit nach Laplace dem Quotienten aus der Anzahl der für das Eintreten von A günstigen Fälle und der Anzahl aller möglichen Fälle. P (A) = Anzahl der für A günstigen Fälle Anzahl aller möglichen Fälle statistische Definition der Wahrscheinlichkeit KE 2, Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des Ereignisses A ist gleich dem Grenzwert der relativen Häufigkeiten, der sich ergibt, wenn das Zufallsexperiment unendlich oft durchgeführt wird. P (A) = lim n f n (A)

42 Glossar Alphabetische Übersicht Seite: 39 Es seien B, A 1, A 2,..., A n Ereignisse aus einem Ergebnisraum Ω mit n (1) P (B) > 0, (2) A i = Ω, (3) A i A j = für i j. i=1 Dann gilt das Theorem von Bayes: Theorem von Bayes KE 2, P (A j B) = P (B A j) P (A j ) n. P (B A i ) P (A i ) i=1 Es seien B, A 1, A 2,..., A n Ereignisse aus einem Ergebnisraum Ω mit n (1) P (B) > 0, (2) A i = Ω, (3) A i A j = für i j. i=1 Dann gilt der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit: Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit KE 2, P (B) = n P (B A i ) P (A i ) i=1 Tabellarische oder allgemein angegebene Zuordnungsvorschrift f X (x), durch die jedem Wert einer diskreten Zufallsvariablen die entsprechende Wahrscheinlichkeit zugeordnet wird mit Wahrscheinlichkeitsfunktion KE 2, f X (x i ) 1 und n f X (x i ) = 1. i=1 Allgemein hat eine Wahrscheinlichkeitstabelle folgende Gestalt. x i y j y 1... y r f X (x i ) x 1 f XY (x 1, y 1 )... f XY (x 1, y r ) r j=1 f XY (x 1, y j ) x m f XY (x m, y 1 )... f XY (x m, y r ) r j=1 f XY (x m, y j ) f Y (y j ) m i=1 f XY (x i, y 1 )... m i=1 f XY (x i, y r ) 1 Für diskrete Zufallsvariablen ergeben die Werte der Zufallsvariablen und die ihnen zugeordneten Wahrscheinlichkeiten zusammen die Wahrscheinlichkeitsverteilung. Kurtosis, Kurtosis-Exzess Wahrscheinlichkeitstabelle KE 2, Wahrscheinlichkeitsverteilung KE 2, Wölbung KE 1, 2.4

43 Seite: 40 Alphabetische Übersicht Glossar Z Für unabhängige Zufallsvariablen X 1, X 2,..., X n, die alle den gleichen Er- wartungswert µ und die gleiche Varianz σ 2 besitzen ist die Zufallsvariable zentraler Grenzwertsatz KE 2, Z n = n X i nµ i=1 σ n bzw. Z n = 1 n n X i µ i=1 σ n näherungsweise standardnormalverteilt. Zufallsexperiment KE 2, 1.3 Zufallsvariable (ZV) KE 2, 2.1 Ein beliebig oft wiederholbarer, nach einer ganz bestimmten Vorschrift auszuführender Vorgang mit zufälligem Ausgang. Eine Funktion X, die jedem Element ω des Ergebnisraumes Ω eine reelle Zahl zuordnet. X : ω X(ω) R (R: Menge der reellen Zahlen) lineare Funktion KE 2, Allgemein lautet eine lineare Funktion mehrerer Zufallsvariablen Y = a 1 X 1 + a 2 X 2 + a 3 X a n X n + b. E(Y ) = Var(Y ) = n a i E(X i ) + b i=1 n a 2 i Var(X i ) i=1 (bei paarweiser stochastischer Unabhängigkeit) Var(Y ) = n a 2 i Var(X i ) + 2 a i a j Cov(X i, X j ) i<j i=1 (bei stochastischer Abhängigkeit) Linearkombination Lineare Funktion mehrerer Zufallsvariablen ohne absolutes Glied. Z.B. KE 2, Y = a 1 X 1 + a 2 X 2 + a 3 X 3.

44 Glossar Alphabetische Übersicht Seite: 41 Eine lineare Transformation einer Zufallsvariablen X ist eine Funktion in der Form Y = ax + b. E(Y ) = E(aX + b) = ae(x) + b Var(Y ) = a 2 Var(X) lineare Transformation KE 2, Zwei diskrete Zufallsvariablen X und Y sind stochastisch unabhängig, wenn f XY (x i, y j ) = f X (x i )f Y (y j ) unabhängige/ abhängige Zufallsvariablen KE 2, für alle i und j gilt. Im anderen Fall werden die Zufallsvariablen als stochastisch abhängig bezeichnet.

45 Diese Seite bleibt aus technischen Gründen frei

46 Glossar Seite: 43 1 Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen 1.1 Gleichverteilung (Rechteckverteilung) a) Diskreter Fall f X (x i ) = 1 für i = 1,..., n n 0 sonst F X (x) = 0 für x < x 1 i für x i x < x i+1 ; i = 1,..., n 1 n 1 für x n x n Wahrscheinlichkeitsfunktion Verteilungsfunktion Parameter E(X) = 1 n Var(X) = 1 n Sonderfall x i = i: n i=1 x i n x 2 i [E(X)] 2 i=1 E(X) = n Erwartungswert Varianz Erwartungswert Var(X) = 1 12 (n2 1) Varianz

47 Seite: 44 1.Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen Glossar Dichtefunktion Verteilungsfunktion b) Stetiger Fall f X (x) = F X (x) = 1 für a < x < b b a 0 sonst 0 für x < a x a für a x < b b a 1 für b x Parameter a, b Erwartungswert E(X) = b + a 2 Varianz Var(X) = (b a)2 12

48 Glossar 1.2 Binomialverteilung Seite: Binomialverteilung Gegeben sei eine n-malige unabhängige Wiederholung von Bernoulliexperimenten, bei denen das Auftreten (bzw. Nichtauftreten) des Ereignisses A interessiert mit P (A) = π; P (A) = 1 π. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl des Auftretens von A an. f X (x) = F X (x) = ( ) n π x (1 π) n x x = 0,..., n x x ( ) n π k (1 π) n k x = 0, 1,..., n k k=0 Wahrscheinlichkeitsfunktion Verteilungsfunktion n, π E(X) = nπ, Var(X)=nπ(1 π). Ist X B(n, π) und Y B(m, π) so ist X +Y B(n+m, π). (Wichtig: Für X und Y liegen die gleichen Wahrscheinlichkeiten π vor.) Für nπ 5, n(1 π) 5 ist eine B(n, π)-verteilte Zufallsvariable näherungsweise normalverteilt mit den Parametern µ = nπ und σ 2 = nπ(1 π), d.h. X N(nπ, nπ(1 π)). Die Tabelle der Binomialverteilung enthält für n = 1 bis n = 20 die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion für π = 0.05; π = 0.1; π = 0.15;...; π = 0.5. Für Werte π > 0.5 ergeben sich die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion aus der Tabelle für π = 1 π, indem anstelle von x für die Zufallsvariable die Werte n x verwendet werden. Parameter Erwartungswert Varianz Reproduktivität Approximation Tabelle der Binomialverteilung

49 n x π=0.05 π=0.10 π=0.15 π=0.20 π=0.25 π=0.30 π=0.35 π=0.40 π=0.45 π=0.50 f(x) F(x) f(x) F(x) f(x) F(x) f(x) F(x) f(x) F(x) f(x) F(x) f(x) F(x) f(x) F(x) f(x) F(x) f(x) F(x) Seite: 46 1.Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen Glossar

50 n x π=0.05 π=0.10 π=0.15 π=0.20 π=0.25 π=0.30 π=0.35 π=0.40 π=0.45 π=0.50 f(x) F(x) f(x) F(x) f(x) F(x) f(x) F(x) f(x) F(x) f(x) F(x) f(x) F(x) f(x) F(x) f(x) F(x) f(x) F(x) Glossar 1.2 Binomialverteilung Seite: 47