Statistische Formelsammlung

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1 Horst Rinne Statistische Formelsammlung begründet von G. Creutz/R. Ehlers 3., durchgesehene Auflage 1988 Verlag Harri Deutsch Thun und Frankfurt/Main

2 4 Inhaltsverzeichnis Deskriptive Statistik 1. Grundlegende Konzepte Statistische Massen und statistische Einheiten Skalen und statistische Merkmale Phasen einer statistischen Untersuchung Eindimensionale Häufigkeitsverteilungen nominaler, ordinaler und diskreter Merkmale Häufigkeitsfunktionen Nominalmerkmal (nicht-häufbar) Ordinalmerkmal und diskretes Merkmal Empirische Verteilungsfunktion Perzentile Eindimensionale Häufigkeitsverteilungen stetiger Merkmale Häufigkeitsfunktion und Häufigkeitsdichte Empirische Verteilungsfunktion Bestimmung von Anteilsvverten Bestimmung von Perzentilen Maßzahlen für eindimensionale Häufigkeitsverteilungen Lageparameter Modus Perzentile, insbesondere der Median Bereichsmitte Schwerster Wert Arithmetisches Mittel Geometrisches Mittel 26

3 Harmonisches Mittel Größenbeziehung zwischen Lageparanietern Streuungsparameter Spannweite Perzentilsabstände Mittlere absolute Abweichungen Mittlere quadratische Abweichung, Varianz, Standardabweichung, Variationskoeffizient Empirische Momente Nullmomente Zentrale Momente Beziehung zwischen'momenten Schiefemaße Wölbungsmaße Konzentrationsmaße Maße der absoluten Konzentration Maße der relativen Konzentration Zweidimensionale Häufigkeitsverteilungen Vorbemerkungen Gemeinsame Häufigkeiten Randverteilungen und deren Parameter Bedingte Verteilungen und deren Parameter Statistische Unabhängigkeit Maße des Zusammenhangs zweier Merkmale Assoziationsmaße Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman Korrelationskoeffizient nach Bravais und Pearson Regressionsbeziehungen zweier Variablen Empirische Regression erster Art Empirische lineare Einfachregression Einige nicht-lineare Regressionsansätze mit zwei Variablen Empirische lineare Zweifachregression Verhältniszahlen Gliederungszahlen Beziehungszahlen Meßzahlen 48

4 Indexzahlen Preisindizes Mengen- oder Volumenindizes Wertindex Deflationierung Zusammenhang zwischen Indizes Analyse von Bestands- und Ereignismassen Fortschreibungsmodelle 52 "7.2. Abgangsmodelle, insbesondere Sterbetafel Elementare Zeitreihenanalyse Zeitreihenkomponenten und ihre Verknüpfung Globalschätzung Lokalschätzung Gleitende Durchschnitte Zeitreihenzerlegung mittels gleitender Durchschnitte bei konstanter Saisonfigur 57 Wahrscheinlichkeitstheorie 9. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Einführung in die Kombinatorik Permutationen Variationen Kombinationen und Binomialkoeffizienten Ereignisalgebra Definitionen Operationen mit Ereignissen Beziehungen zwischen Ereignissen Wahrscheinlichkeitsinterpretationen und die Axiomatik von Kolmogoroff Bedingte Wahrscheinlichkeiten Stochastische Unabhängigkeit Einige Sätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung 64

5 10. Zufallsvariable und deren Verteilung Eindimensionale diskrete Zufallsvariable Eindimensionale stetige Zufallsvariable Beschreibung eindimensionaler Verteilungen Perzentile Erwartungswerte Varianz und Standardabweichung Momente Schiefe- und Wölbungsmaße Zweidimensionale Zufallsvariable Zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsfunktion Zweidimensionale Dichte Zweidimensionale Verteilungsfunktion Randverteilungen und deren Parameter Bedingte Verteilungen und deren Parameter Stochastische Unabhängigkeit Momente einer zweidimensionalen Zufallsvariablen Mehrdimensionale Zufallsvariablen Einige Verteilungen diskreter Zufallsvariablen Bernoulli-Verteilung oder Null-Eins-Verteilung: Be(P) Binomialverteilung: Bi (n; P) Gleichverteilung: Gl (a; b; L) _ Hypergeometrische Verteilung: Hy (n; N; M) Multinomialverteilung: Mu (n; Pi; P 2 ;... ; P m ) Negative Binomialverteilung: Nb (c; P) Poisson-Verteilung: Po(A) Einige Verteilungen stetiger Zufallsvariablen Beta-Verteilung: Bt (c; d) Cauchy-Verteilung: Ca (a; b) Exponentialverteilung: Ex(A) Gamma- und Erlang-Verteilung: Ga (b; c) Lognormalverteilung: Ln (a; b 2 ) Normalverteilungen Eindimensionale Normalverteilung: No (ß\ a 2 ) Zweidimensionale Normalverteilung: Zn (ft x ; /«y; crf,; CT Y ; e) 87

6 Pareto-Verteilung: Pa (b; c) Potenzverteilung: Pt (b; c) Rechtecksverteilung: Re (a; b) Weibull-Verteilung: We (b; c) Gesetze der großen Zahlen und zentrale Grenzwertsätze Zentrale Grenzwertsätze Gesetze der großen Zahlen Stichprobenverteilungen Stichprobenvektor und Stichprobenfunktion Grenzverteilungen von Stichprobenfunktionen Verteilungen von Stichprobenfunktionen bei Stichproben aus normalverteilten Gesamtheiten t-verteilung (Student-Verteilung): t(v) x 2 -Verteilung: x 2 (v) F-Verteilung (Fisher-Verteilung): F (vi; v%) 98 Schätztheorie 15. Punktschätzung Eigenschaften von Schätzfunktionen Erwartungstreue Mediantreue Konsistenz Effizienz Suffizienz BLU- und BAN-Schätzer Konstruktionsprinzipien für Schätzfunktionen Momentenmethode Maximum-Likelihood-Methode Kleinst-Quadrate-Methode x 2 -Minimum-Methode Methode der Quantile Zusammenstellung einiger Schätzfunktionen 104

7 9 16. Intervallschätzung Schwankungs- oder Prognoseintervalle Konfidenzintervalle Interpretation und Konstruktion Konfidenzintervalle für ß und a 2 einer Normalverteilung Konfidenzintervalle für P einer Binomial- und einer hypergeometrischen Verteilung Konfidenzintervalle für X einer Poisson-Verteilung Bestimmung des Stichprobenumfang^ 110 Testtheorie 17. Grundbegriffe der Testtheorie Statistische Hypothesen und statistische Tests Kritischer Bereich und Annahmebereich Fehler erster und zweiter Art Gütefunktion und Operationscharakteristik Übersicht über die Entscheidungsalternativen eines Tests Parametertests Typen von Parametertests Parametertests bei normalverteilten Gesamtheiten Hypothesen über fi bei bekanntem a Hypothesen über /j, bei unbekanntem a Hypothesen über die Differenz fti // Vergleich mehrerer Erwartungswerte Hypothesen über a Hypothesen über zwei Varianzen a\ und a\ Vergleich mehrerer Varianzen Hypothesen über g Hypothesen über /i einer beliebigen Verteilung Hypothesen über P Vergleich zweier Wahrscheinlichkeiten Pi und P2 125

8 Anpassungs-, Homogenitäts- und Unabhängigkeitstests Anpassungstests x 2 -Anpassungstest Kolmogoroff-Smirnoff-Anpassungstest Homogenitätstests z 2 -Homogenitätstest Kolmogoroff-Smirnoff-Homogenitätstest Unabhängigkeitstest 129 Schätz- und Testverfahren im linearen Regressionsmodell 20. Das Modell der linearen Einfachregression Die Annahmen des klassischen Regressionsmodells Schätzfunktionen für die Modellparameter und deren Eigenschaften Prüfung der Modellannahmen Test auf Linearität Test auf Autokorrelationsfreiheit Test auf Homoskedastizität Test auf Strukturkonstanz Inferenzaussagen über die Modellparameter Aussagen über ßo Aussagen über ßi Aussagen über ß 0 und ßi Aussagen über erfy Prognosen Punkt- und Intervallprognosen für den bedingten Erwartungswert Intervallprognose für den Individualweft Das multiple lineare Regressionsmodell 138 Anhang A. Mathematische Zeichen 139 A.l. Beziehungszeichen 139 A.2. Zeichen der Algebra 140

9 11 A.3. Zeichen der Trigonometrie 140 A.4. Zeichen der Analysis 141 A.5. Zahlenmengen 142 A.6. Zeichen der Mengenalgebra 142 A.7. Symbole der Logik A.8. Griechisches Alphabet 143 A.9. Bezeichnung von Konstanten 144 B. Tabellen 145 B.l. Fakultäten 145 B.2. Binomialkoeffizienten 146 B.3. Standardnormalverteilung (Verteilungsfunktion) 147 B.4. ^-Verteilung (Perzentile) B.5. t-verteilung (Perzentile) 151 B.6. F-Verteilung (Perzentile-) 152 B.7. Schwellenwerte für den Kolmogoroff-Smirnoff-Test B.8. Schwellenwerte für den Durbin-Watson-Test 155 B.9. Digitale Zufallsziffern 156 B.10. In [0; 1] gleichverteilte Zufallszahlen 157 Literatur 158